【40套试卷合集】江苏省南京市南师附中集团新城中学2019-2020学年数学七上期中模拟试卷含答案

中考模拟数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．的倒数是（）A．﹣B．C．D．2．改革开放以来，我国国内生产总值由2006年的3645亿元增长到2016年的300 670亿元．将300 670用科学记数法表示应为（）A．0.30067×106B．3.0067×105C．3.0067×104D．30.067×1043．如图是婴儿车的平面示意图，其中AB∥CD，∠1=120°，∠3=40°，那么∠2的度数为（）A．80° B．90° C．100°D．102°4．小明因流感在医院观察，要掌握他在一周内的体温是否稳定，则医生需了解小明7天体温的（）A．众数 B．方差 C．平均数D．频数5．几个棱长为1的正方体组成的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（）A．4 B．5 C．6 D．76．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，则k的取值范围是（）A．k＞B．k≥C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠17．一个袋子中装有3个红球和2个黄球，这些球的形状、大小、质地完全相同，在看不到球的条件下，随机从袋中摸出2个球，其中2个球颜色不相同的概率是（）A．B．C．D．8．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（）A．2 B．C．D．9．如图所示，⊙O是以坐标原点O为圆心，4为半径的圆，点P的坐标为（，），弦AB经过点P，则图中阴影部分面积的最小值等于（）A．2π﹣4 B．4π﹣8 C．D．10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法：①2a+b=0，②当﹣1≤x≤3时，y＜0；③3a+c=0；④若（x1，y1）（x2、y2）在函数图象上，当0＜x1＜x2时，y1＜y2，其中正确的是（）A．①②④B．①③ C．①②③D．①③④二、填空题（每题3分，共15分）11．如果代数式有意义，那么字母x的取值范围是．12．如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若∠BAC和∠BOC互补，则弦BC 的长度为．13．如图所示，AB∥CD∥EF，AC与BD相交于点E，若CE=4，CF=3，AE=BC，则的值是．14．如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（7，3），点E在边AB上，且AE=1，已知点P为y轴上一动点，连接EP，过点O作直线EP的垂线段，垂足为点H，在点P从点F（0，）运动到原点O的过程中，点H的运动路径长为．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，点D是BC上一动点，连结AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点C′，连结C′D交AB于点E，连结BC′．当△BC′D是直角三角形时，DE的长为．三、解答题（共8个小题，满分75分）16．先化简，再求值：（）÷（﹣1），其中a是满足不等组的整数解．17．小明在学习了数据的收集、整理与描述后，为妈妈整理记录了10月份的家庭支出情况，并绘制成如下尚不完整的统计图表，请你根据图表信息完成下列各题：项目物业费伙食费服装费其他费金额/元800 400（1）10月份小明家共支出多少元？（2）在扇形统计图中，表示“其他费”的扇形圆心角为多少度？（3）请将表格补充完整；（4）请将条形统计图补充完整．18．如图所示，某工程队准备在山坡（山坡视为直线l）上修一条路，需要测量山坡的坡度，即tanα的值．测量员在山坡P处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为31°，塔底B 的仰角为26.6°．已知塔高BC=40米，塔所在的山高OB=240米，OA=300米，图中的点O、B、C、A、P在同一平面内．求：（1）P到OC的距离．（2）山坡的坡度tanα．（参考数据sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin31°≈0.52，ta n31°≈0.60）19．随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．（1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元？20．在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图形与反比例函数y=（k≠0）的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点，过点A作AH⊥y轴，垂足为H，OH=3，tan∠AOH=，点B的坐标为（m，﹣2）．（1）求△AHO的周长；（2）求该反比例函数和一次函数的解析式．21．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，O是AB边上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于点E．（1）若AC=6，BC=10，求⊙O的半径．（2）过点E作弦EF⊥AB于M，连接AF，若∠AFE=2∠ABC，求证：四边形ACEF是菱形．22．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合），以AD为边在AD 的右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）观察猜想：如图（1），当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系是：；②BC、CD、CF之间的数量关系为：（将结论直接写在横线上）（2）数学思考：如图（2），当点D在线段CB的延长线上时，上述①、②中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请你写出正确结论再给予证明．23．如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A坐标为（4，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线的顶点为N，在x轴上找一点，使C+N最小，并求出点的坐标；（3）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；（4）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2017年河南省三门峡市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共30分）1．的倒数是（）A．﹣B．C．D．【考点】28：实数的性质．【分析】根据倒数的定义求解即可．【解答】解：的倒数是，故选：C．2．改革开放以来，我国国内生产总值由2006年的3645亿元增长到2016年的300 670亿元．将300 670用科学记数法表示应为（）A．0.30067×106B．3.0067×105C．3.0067×104D．30.067×104【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将300 670用科学记数法表示应为3.0067×105，故选：B．3．如图是婴儿车的平面示意图，其中AB∥CD，∠1=120°，∠3=40°，那么∠2的度数为（）A．80° B．90° C．100°D．102°【考点】JA：平行线的性质．【分析】根据平行线性质求出∠A，根据三角形外角性质得出∠2=∠1﹣∠A，代入求出即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠A=∠3=40°，∵∠1=120°，∴∠2=∠1﹣∠A=80°，故选A．4．小明因流感在医院观察，要掌握他在一周内的体温是否稳定，则医生需了解小明7天体温的（）A．众数 B．方差 C．平均数D．频数【考点】WA：统计量的选择．【分析】根据方差的含义和求法，可得：小明因流感在医院观察，要掌握他在一周内的体温是否稳定，则医生需了解小明7天体温的方差．【解答】解：小明因流感在医院观察，要掌握他在一周内的体温是否稳定，则医生需了解小明7天体温的方差．故选：B．5．几个棱长为1的正方体组成的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】U3：由三视图判断几何体．【分析】根据三视图，该几何体的主视图以及俯视图可确定该几何体共有两行三列，故可得出该几何体的小正方体的个数，即可得出这个几何体的体积．【解答】解：综合三视图可知，这个几何体的底层应该有3+1=4个小正方体，第二层应该有1个小正方体，因此搭成这个几何体所用小正方体的个数是4+1=5个，所以这个几何体的体积是5．故选：B．6．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，则k的取值范围是（）A．k＞B．k≥C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠1【考点】AA：根的判别式；A1：一元二次方程的定义．【分析】根据判别式的意义得到△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，然后解不等式即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，∴△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，解得k＞；且k﹣1≠0，即k≠1．故选：C．7．一个袋子中装有3个红球和2个黄球，这些球的形状、大小、质地完全相同，在看不到球的条件下，随机从袋中摸出2个球，其中2个球颜色不相同的概率是（）A．B．C．D．【考点】6：列表法与树状图法．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与其中2个球的颜色不相同的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：画树形图得：∵共有20种等可能的结果，其中2个球的颜色不相同的有12种情况，∴其中2个球的颜色不相同的概率是=；故选D．8．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（）A．2 B．C．D．【考点】F：角平分线的性质；O：含30度角的直角三角形；P：直角三角形斜边上的中线；Q：勾股定理．【分析】由OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，易得△OCP是等腰三角形，∠COP=30°，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得PE的值，继而求得OP的长，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得DM的长．【解答】解：∵OP平分∠AOB，∠AOB=60°，∴∠AOP=∠COP=30°，∵CP∥OA，∴∠AOP=∠CPO，∴∠COP=∠CPO，∴OC=CP=2，∵∠PCE=∠AOB=60°，PE⊥OB，∴∠CPE=30°，∴CE=CP=1，∴PE==，∴OP=2PE=2，∵PD⊥OA，点M是OP的中点，∴DM=OP=．故选：C．9．如图所示，⊙O是以坐标原点O为圆心，4为半径的圆，点P的坐标为（，），弦AB经过点P，则图中阴影部分面积的最小值等于（）A．2π﹣4 B．4π﹣8 C．D．【考点】MO：扇形面积的计算；D5：坐标与图形性质．【分析】由题意当OP⊥AB时，阴影部分的面积最小，求出AB的长，∠AOB的大小即可解决问题．【解答】解：由题意当OP⊥AB时，阴影部分的面积最小，∵P（，），∴OP=2，∵OA=OB=4，∴PA=PB=2，∴tan∠AOP=tan∠BOP=，∴∠AOP=∠BOP=60°，∴∠AOB=120°，∴S阴=S扇形OAB﹣S△AOB=﹣•2=，故选D．10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法：①2a+b=0，②当﹣1≤x≤3时，y＜0；③3a+c=0；④若（x1，y1）（x2、y2）在函数图象上，当0＜x1＜x2时，y1＜y2，其中正确的是（）A．①②④B．①③ C．①②③D．①③④【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：∵函数图象的对称轴为：x=﹣==1，∴b=﹣2a，即2a+b=0，①正确；由图象可知，当﹣1＜x＜3时，y＜0，②错误；由图象可知，当x=1时，y=0，∴a﹣b+c=0，∵b=﹣2a，∴3a+c=0，③正确；∵抛物线的对称轴为x=1，开口方向向上，∴若（x1，y1）、（x2，y2）在函数图象上，当1＜x1＜x2时，y1＜y2；当x1＜x2＜1时，y1＞y2；故④错误；故选：B．二、填空题（每题3分，共15分）11．如果代数式有意义，那么字母x的取值范围是x≥﹣1且x≠2 ．【考点】72：二次根式有意义的条件；62：分式有意义的条件．【分析】先根据分式及二次根式有意义的条件列出关于x的不等式组，求出x的取值范围即可．【解答】解：∵代数式有意义，∴，解得x≥﹣1且x≠2．故答案为：x≥﹣1且x≠2．12．如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若∠BAC和∠BOC互补，则弦BC 的长度为4．【考点】MA：三角形的外接圆与外心；M2：垂径定理．【分析】首先过点O作OD⊥BC于D，由垂径定理可得BC=2BD，又由圆周角定理，可求得∠BOC的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得∠OBC的度数，利用余弦函数，即可求得答案．【解答】解：过点O作OD⊥BC于D，则BC=2BD，∵△ABC内接于⊙O，∠BAC与∠BOC互补，∴∠BOC=2∠A，∠BOC+∠A=180°，∴∠BOC=120°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB==30°，∵⊙O的半径为4，∴BD=OB•cos∠OBC=4×=2，∴BC=4．故答案为：4．13．如图所示，AB∥CD∥EF，AC与BD相交于点E，若CE=4，CF=3，AE=BC，则的值是．【考点】S4：平行线分线段成比例．【分析】先利用AB∥EF得到=，则可求出解得AE=12，然后利用AB∥CD，根据平行线分线段成比例定理可求出的值．【解答】解：∵AB∥EF，∴=，∵CE=4，CF=3，AE=BC，∴=，解得AE=12，∵AB∥CD，∴===．故答案为．14．如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（7，3），点E在边AB上，且AE=1，已知点P为y轴上一动点，连接EP，过点O作直线EP的垂线段，垂足为点H，在点P从点F（0，）运动到原点O的过程中，点H的运动路径长为．【考点】O4：轨迹；D5：坐标与图形性质．【分析】H经过的路径是以OE为直径的弧，连接OE，首先求得△OPE的面积，然后利用三角形面积公式求得OH的长，然后在直角△OEH中，利用三角函数求得∠OEH的度数，然后利用长公式即可求解．【解答】解：连接OE．S△OPE=××7=，在直角△OEA中，OE====5，PE==，∵S△OPE=PE•OH，即×OH=，∴OH=5，∴在直角△OEH中，sin∠OEH===，∴∠OEH=45°，点H的运动路径长是： =．故答案是：．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，点D是BC上一动点，连结AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点C′，连结C′D交AB于点E，连结BC′．当△BC′D是直角三角形时，DE的长为或．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．【分析】点E与点C′重合时．在Rt△ABC中，由勾股定理可求得BC=4，由翻折的性质可知：AE=AC=3、DC=DE．则EB=2．设DC=ED=x，则BD=4﹣x．在Rt△DBE中，依据勾股定理列方程求解即可；当∠EDB=90时．由翻折的性质可知：AC=AC′，∠C=∠C′=90°，然后证明四边形ACDC′为正方形，从而求得DB=1，然后证明DE∥AC，△BDE∽△BCA，依据相似三角形的性质可求得DE=．【解答】解：如图1所示；点E与点C′重合时．在Rt△ABC中，BC==4．由翻折的性质可知；AE=AC=3、DC=DE．则EB=2．设DC=ED=x，则BD=4﹣x．在Rt△DBE中，DE2+BE2=DB2，即x2+22=（4﹣x）2．解得：x=．∴DE=．如图2所示：∠EDB=90时．由翻折的性质可知：AC=AC′，∠C=∠C′=90°．∵∠C=∠C′=∠CDC′=90°，∴四边形ACDC′为矩形．又∵AC=AC′，∴四边形ACDC′为正方形．∴CD=AC=3．∴DB=BC﹣DC=4﹣3=1．∵DE∥AC，∴△BDE∽△BCA．∴，即．解得：DE=．点D在CB上运动，∠DBC′＜90°，故∠DBC′不可能为直角．故答案为：或．三、解答题（共8个小题，满分75分）16．先化简，再求值：（）÷（﹣1），其中a是满足不等组的整数解．【考点】6D：分式的化简求值；CC：一元一次不等式组的整数解．【分析】先算括号内的减法（通分后化成同分母的分式，再按同分母的分式相加减法则计算），同时把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算，求出不等式组的整数解，取使分式有意义的数代入求出即可．【解答】解：（）÷（﹣1）=•=•=，∵解不等式组得＜a＜5，∴a=2，3，4，∵原式中a≠0，2，4，∴a=3，∴当a=3时，原式==1．17．小明在学习了数据的收集、整理与描述后，为妈妈整理记录了10月份的家庭支出情况，并绘制成如下尚不完整的统计图表，请你根据图表信息完成下列各题：项目物业费伙食费服装费其他费金额/元800 400（1）10月份小明家共支出多少元？（2）在扇形统计图中，表示“其他费”的扇形圆心角为多少度？（3）请将表格补充完整；（4）请将条形统计图补充完整．【考点】VC：条形统计图；VA：统计表；VB：扇形统计图．【分析】（1）根据题意列式计算即可；（2）“其他费”的扇形圆心角为用360°去乘以“其他费”所占的百分比即可得到结论；（3）小明家共支出的费用乘以伙食费、服装费所占的百分数即可得到结论；（4）根据题意补充条形统计图即可；【解答】解：（1）10月份小明家共支出800÷16%=5000（元）；（2）“其他费”的扇形圆心角为360°×（1﹣40%﹣36%﹣16%）=28.8°；（3）伙食费=5000×36%=1800元；服装费=5000×40%=2000元；故答案为：1800，2000；（4）补充条形统计图如图所示；18．如图所示，某工程队准备在山坡（山坡视为直线l）上修一条路，需要测量山坡的坡度，即tanα的值．测量员在山坡P处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为31°，塔底B的仰角为26.6°．已知塔高BC=40米，塔所在的山高OB=240米，OA=300米，图中的点O、B、C、A、P在同一平面内．求：（1）P到OC的距离．（2）山坡的坡度tanα．（参考数据sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin31°≈0.52，tan31°≈0.60）【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．（1）过点P作PD⊥OC于D，PE⊥OA于E，则四边形ODPE为矩形，先解Rt△PBD，得出BD=PD•tan26.6°；【分析】解Rt△CPD，得出CD=PD•tan31°；再根据CD﹣BD=BC，列出方程，求出PD=400即可求得点P到OC的距离；（2）利用求得的线段PD的长求出PE=40，AE=100，然后在△APE中利用三角函数的定义即可求解．【解答】解：（1）如图，过点P作PD⊥OC于D，PE⊥OA于E，则四边形ODPE为矩形．在Rt△PBD中，∵∠BDP=90°，∠BPD=26.6°，∴BD=PD•tan∠BPD=PD•tan26.6°；在Rt△CPD中，∵∠CDP=90°，∠CPD=31°，∴CD=PD•tan∠CPD=PD•tan31°；∵CD﹣BD=BC，∴PD•tan31°﹣PD•tan26.6°=40，∴0.60PD﹣0.50PD=40，解得PD=400（米），∴P到OC的距离为400米；（2）在Rt△PBD中，BD=PD•tan26.6°≈400×0.50=200（米），∵OB=240米，∴PE=OD=OB﹣BD=40米，∵OE=PD=400米，∴AE=OE﹣OA=400﹣300=100（米），∴tanα===0.4，∴坡度为0.4．19．随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．（1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元？【考点】AD：一元二次方程的应用；B7：分式方程的应用．【分析】（1）设每台B种空气净化器为x元，A种净化器为（x+300）元，根据用6000元购进B种空气净化器的数量与用7500元购进A种空气净化器的数量相同，列方程求解；（2）根据总利润=单件利润×销量列出一元二次方程求解即可．【解答】解：（1）设每台B型空气净化器为x元，A型净化器为（x+300）元，由题意得， =，解得：x=1200，经检验x=1200是原方程的根，则x+300=1500，答：每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元；（2）设B型空气净化器的售价为x元，根据题意得；（x﹣1200）（4+）=3200，解得：x=1600，答：如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为1600元．20．在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图形与反比例函数y=（k≠0）的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点，过点A作AH⊥y轴，垂足为H，OH=3，tan∠AOH=，点B的坐标为（m，﹣2）．（1）求△AHO的周长；（2）求该反比例函数和一次函数的解析式．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）根据正切函数，可得AH的长，根据勾股定理，可得AO的长，根据三角形的周长，可得答案；（2）根据待定系数法，可得函数解析式．【解答】解：（1）由OH=3，tan∠AOH=，得AH=4．即A（﹣4，3）．由勾股定理，得AO==5，△AHO的周长=AO+AH+OH=3+4+5=12；（2）将A点坐标代入y=（k≠0），得k=﹣4×3=﹣12，反比例函数的解析式为y=；当y=﹣2时，﹣2=，解得x=6，即B（6，﹣2）．将A、B点坐标代入y=ax+b，得，解得，一次函数的解析式为y=﹣x+1．21．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，O是AB边上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于点E．（1）若AC=6，BC=10，求⊙O的半径．（2）过点E作弦EF⊥AB于M，连接AF，若∠AFE=2∠ABC，求证：四边形ACEF是菱形．【考点】MC：切线的性质；Q：勾股定理；L9：菱形的判定．【分析】（1）连接OE，设圆的半径为r，在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AB的长，根据BC与圆相切，得到OE垂直于BC，进而得到一对直角相等，再由一对公共角，利用两角相等的三角形相似得到△BOE与△ABC相似，由相似得比例求出r的值即可；（2）利用同弧所对的圆周角相等，得到∠AOE=4∠B，进而求出∠B与∠F的度数，根据EF与AD垂直，得到一对直角相等，确定出∠MEB=∠F=60°，CA与EF平行，进而得到CB与AF平行，确定出四边形ACEF 为平行四边形，再由∠CAB为直角，得到CA为圆的切线，利用切线长定理得到CA=CE，利用邻边相等的平行四边形为菱形即可得证．【解答】（1）解：连接OE，设圆O半径为r，在Rt△ABC中，AC=6，BC=10，根据勾股定理得：AB==8，∵BC与圆O相切，∴OE⊥BC，∴∠OEB=∠BAC=90°，∵∠B=∠B，∴△BOE∽△BCA，∴=，即=，解得：r=3；（2）∵=，∠AFE=2∠ABC，∴∠AOE=2∠AFE=4∠ABC，∵∠AOE=∠OEB+∠ABC，∴∠ABC=30°，∠F=60°，∵EF⊥AD，∴∠EMB=∠CAB=90°，∴∠MEB=∠F=60°，CA∥EF，∴CB∥AF，∴四边形ACEF为平行四边形，∵∠CAB=90°，OA为半径，∴CA为圆O的切线，∵BC为圆O的切线，∴CA=CE，∴平行四边形ACEF为菱形．22．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合），以AD为边在AD 的右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）观察猜想：如图（1），当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系是：BC⊥CF ；②BC、CD、CF之间的数量关系为：BC=CF+CD （将结论直接写在横线上）（2）数学思考：如图（2），当点D在线段CB的延长线上时，上述①、②中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请你写出正确结论再给予证明．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）①根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质即可得到结论；②由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质得到CF=BD，∠ACF=∠ABD，根据余角的性质即可得到结论；（2）根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论．【解答】解：（1）①正方形ADEF中，AD=AF，∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，在△DAB与△FAC中，∵，∴△DAB≌△FAC，∴∠B=∠ACF，∴∠ACB+∠ACF=90°，即BC⊥CF；故答案为：BC⊥CF；②△DAB≌△FAC，∴CF=BD，∵BC=BD+CD，∴BC=CF+CD；故答案为：BC=CF+CD；（2）CF⊥BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC．∵正方形ADEF中，AD=AF，∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，在△DAB与△FAC中，∵，∴△DAB≌△FAC，∴∠ABD=∠ACF，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=45°．∴∠ABD=180°﹣45°=135°，∴∠BCF=∠ACF﹣∠ACB=135°﹣45°=90°，∴CF⊥BC．∵CD=DB+BC，DB=CF，∴CD=CF+BC．23．如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A坐标为（4，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线的顶点为N，在x轴上找一点，使C+N最小，并求出点的坐标；（3）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；（4）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）把A、C两点坐标代入抛物线解析式可求得a、c的值，可求得抛物线解析；（2）可求得点C关于x轴的对称点C′的坐标，连接C′N交x轴于点，再求得直线C′的解析式，可求得点坐标；（3）过点E作EG⊥x轴于点G，设Q（m，0），可表示出AB、BQ，再证明△BQE≌△BAC，可表示出EG，可得出△CQE关于m的解析式，再根据二次函数的性质可求得Q点的坐标；（4）分DO=DF、FO=FD和OD=OF三种情况，分别根据等腰三角形的性质求得F点的坐标，进一步求得P点坐标即可．【解答】解：（1）∵抛物线经过点C（0，4），A（4，0），∴，解得，∴抛物线解析式为y=﹣；（2）由（1）可求得抛物线顶点为N（1，），如图1，作点C关于x轴的对称点C′（0，﹣4），连接C′N交x轴于点，则点即为所求，设直线C′N的解析式为y=kx+b，把C′、N点坐标代入可得，解得，∴直线C′N的解析式为y=，令y=0，解得x=，∴点的坐标为（，0）；（3）设点Q（m，0），过点E作EG⊥x轴于点G，如图2，由﹣=0，得x1=﹣2，x2=4，∴点B的坐标为（﹣2，0），AB=6，BQ=m+2，又∵QE∥AC，∴△BQE≌△BAC，∴，即，解得EG=；∴S△CQE=S△CBQ﹣S△EBQ===．又∵﹣2≤m≤4，∴当m=1时，S△CQE有最大值3，此时Q（1，0）；（4）存在．在△ODF中，（ⅰ）若DO=DF，∵A（4，0），D（2，0），∴AD=OD=DF=2．又在Rt△AOC中，OA=OC=4，∴∠OAC=45°．∴∠DFA=∠OAC=45°．∴∠ADF=90°．此时，点F的坐标为（2，2）．由﹣=2，得x1=1+，x2=1﹣．此时，点P的坐标为：P1（1+，2）或P2（1﹣，2）；（ⅱ）若FO=FD，过点F作FM⊥x轴于点M．由等腰三角形的性质得：OM=OD=1，∴AM=3．∴在等腰直角△AMF中，MF=AM=3．∴F（1，3）．由﹣=3，得x1=1+，x2=1﹣．此时，点P的坐标为：P3（1+，3）或P4（1﹣，3）；（ⅲ）若OD=OF，∵OA=OC=4，且∠AOC=90°．∴AC=4．∴点O到AC的距离为2．而OF=OD=2＜2，与OF≥2矛盾．∴在AC上不存在点使得OF=OD=2．此时，不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形．综上所述，存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形．所求点P的坐标为：（1+，2）或（1﹣，2）或（1+，3）或（1﹣，3）．中考模拟数学试卷满分120分, 考试时间100分钟.一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分） 1．下列计算正确的是（ ） A ．347a a a +=B ．347a a a ⋅=C ．347()a a =D ．632a a a ÷=2．温家宝总理强调，“十二五”期间，将新建保障性住房36 000 000套，用于解决中低收入和新参加工作的大学生住房的需求．把36 000 000用科学记数法表示应是（ ） A. 3.6×107B. 3.6×106C. 36×106D. 0.36×1083. 如图，已知△ABC 中，∠ABC=45°，F 是高AD 和BE 的交点，CD=4，则线段DF 的长度为（ ） A ．22B ． 4C ．32D ．424.如图，一束光线从y 轴上点A （0，1）发出，经过x 轴上点C 反射后，经过点B （6，2），则光线从A 点到B 点经过的路线长度为（ ）A ．6B ．37C ．35D ．85．用四个全等的矩形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积是144，小正方形的面积是4,若用x ，y 表示矩形的长和宽(x ＞y)，则下列关系式中不正确的是（ ） A. x+y=12 B. x －y=2． C. xy=35 D. x 2＋y 2=1446．已知1212,1212+--=+-=--xx x x N M ，x 为整数，则N M ,的大小关系是（ ） A. N M > B. N M = C. N M < D. 无法确定7．如图，△MBC 中，∠B=90°，∠C=60°，MB=23，点A 在MB 上，以AB 为直径作⊙O 与MC 相切于点D ，则CD 的长为（ ）A. 2B. 3C. 2D. 3 8．如图，A 、B 是双曲线 y ＝kx (k ＞0) 上的点， A 、B 两点的横坐标分别是a 、2a ，线段AB 的延长线交x 轴于点C ，若S △AOC ＝6．则k 的值为( ) A.1 B.2 C.4 D.无法确定9．Rt △ABC 中，∠C=90°，c b a 、、分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，那么c 等于 （ ） A.cos sin a A b B + B.sin sin a A b B + C.B b A a sin sin + D.BbA a sin cos + yxO BCA第7题第8题图第15题图10.如图，P 是菱形ABCD 的对角线AC 上一动点，过P 垂直于AC 的直线交菱形ABCD 的边于M 、N 两点，设AC=2，BD=1，AP=x ，则△AMN 的面积为y ，则y 关于x 的函数图象的大致形状是（ ）A. B. C. D. 二、认真填一填（本题有6小题，每小题4分，共24分）11.多项式324x x -+在实数范围进行因式分解可得 .12.如图，已知△ABC 是等边三角形，点B 、C 、D 、E 在同一直线上，且CG=CD ，DF=DE ，则∠E ＝ 度． 13.用一张半径为24cm 的扇形纸片做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10cm ，那么这张扇形纸片的面积是 ． 14.线段a x y +-=21（1≤x ≤3），当a 的值由-1增加到2时，该线段运动所经过的平面区域的面积为 ．15.如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需要 个五边形．16.如图，有n+1个等腰梯形，上底、两腰长皆为1，下底长为2，且下底均在同一直线上，设四边形P 1M 1N 1N 2面积为S 1，四边形P 2M 2N 2N 3的面积为S 2，……，四边形P n M n N n N n+1的面积记为S n ，则S n = .三、全面答一答（本题有7小题，共66分） 17．计算（本小题满分6分） （1） 计算：－(1-)2012－(3.14－π)0×2sin30º＋2-1×4（2）先化简，再求值：（2-a ）（211--a a ）,其中2=a18．（本小题满分8分）如图在8×8的正方形格中建立直角坐标系，已知A （2，4），B （4，2）．C 是第一象限内的一个格点，由点C 与线段AB 组成一个以AB 为底，且腰长为无理数的等腰三角形．（1）填空：C 点的坐标是_ _____，△ABC 的面积是___________；（2）在图上将△ABC 绕点C 旋转180º得到△A 1B 1C 1，写出点A 1、B 1的坐标，以及在旋转过程中线段AB 所扫过的面积.第12题图第16题图M 4M 3M 2M 1第10题图yxO AB第13题图。

2019-2020学年南京市建邺区新城中学七年级下学期期末数学试卷一、选择题（本大题共5小题，共10.0分）1.下列图形中，直线a与直线b平行的是()A. B.C. D.2.如下图，已知圆心角∠AOB的度数为100°，则圆周角∠ACB的度数是()A. 80°B. 100°C. 120°D. 130°3.下列运算正确的是()A. (−x2)3=−x5B. x2⋅x4=x8C. x3+x3=2x3D. (x−y)2=x2−y24.如图，在△ABC与△BAD中，AC=BD，若使△ABC≌△BAD，下列添加的条件错误的是()A. ∠C=∠DB. ∠BAC=∠ABDC. AE=BED. CE=DE5.某校七(2)班42名同学为“希望工程”捐款，共捐款320元，捐款情况如下表：表格中捐款6元和8元的人数不小心被墨水污染已看不清楚.若设捐款6元的有x名同学，捐款8元的有y名同学，根据题意，可得方程组()A. {x+y=298x+6y=226B. {x+y=296x+8y=226C. {x+y=296x+8y=320D. {x+y=298x+6y=320二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）6.某种计算机完成一次基本运算的时间约为0.0000000001s，把0.0000000001用科学记数法可以表示为______．7.写出“角平分线上任意一点到角的两边距离相等”的逆命题______．8.如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，若不添加任何字母与辅助线，要使△ABC≌△DCB，则还需增加的一个条件是______．9.如图，AB//CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EH平分∠BEF，若∠1=70°，∠2=______°.10.若16x2+mxy+9y2是完全平方式，那么m的值是______ ．11.在平面直角坐标系中，如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称该点是格点．若格点P(2m−1,m+2)在第二象限，则m的值为______．12.如图，已知AB//CD，∠1=115°，∠2=65°，则∠C=______°.13.如图Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2，AC=3，则cosA=______．14. 通信市场竞争日益激列，某通信公司的手机市话费标准按原标准每分钟降低a 元后，再次下调了20％，现在收费标准是每分钟b 元，则原收费标准每分钟是________．15. 若x +y =7，则x 2+y 22+xy = ______ ．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）16. 先化简：3(3x 4y 2+xy 2−2)−(−3x 2y)2−14(x 2y +4)，再代入求值，其中x =2，y =−2．四、解答题（本大题共9小题，共64.0分）17. 因式分解：(1)a 2x 2y −axy 2；(2)x 3−2x 2y +xy 2．18. 解不等式组并写出非负整数解．{x −3(x −2)≥4 ①1+2x 3>x −1 ②19. 如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且AE =CG ，BF =DH ，求证：EG 与FH 互相平分(提示：可连接EF ，FG ，GH ，HE ，证四边形EFGH 为平行四边形即可)．20. 解方程组(1){x −y =52x +y =4(2){23x +12y =6x −3y =4(3){2x −3y =12x −z =5x +3y +z =421. 补全下列推理过程：如图，已知△ABC中，AB=AC点D、E分别在AB、AC上，且BD=CE，如何说明BE=CD呢？解：因为AB=AC______所以∠ABC=∠ACB______又因为BD=CE______BC=CB______所以△BCD≌△CBE______所以BE=CD______22.用方程解答下列问题：(1)x与4之和的1.2倍等于x与14只差的3.6倍，求x；(2)y的3倍与1.5之和的二分之一等于y与1之差的四分之一，求y．23.为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息：(说明：①每户产生的污水量等于该户的用水量，②水费=自来水费+污水处理费)已知小明家2014年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水35吨，交水费150元．(1)求a、b的值．(2)实行“阶梯水价”收费之后，该市一户居民6月用水27吨，其当月交水费多少元？24. 如图所示，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，根据下列条件，求出∠BOC的度数．(1)如图1，已知∠ABC+∠ACB=100°，则∠BOC=______．(2)如图2，已知∠A=90°，求∠BOC的度数．(3)从上述计算中，你能发现∠BOC与∠A的关系吗？请直接写出∠BOC与∠A的关系．25. 某智能手机越来越受到大众的喜爱，各种款式相继投放市场，某店经营的A款手机去年销售总额为50000元，今年每部销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．(1)今年A款手机每部售价多少元？(2)该店计划新进一批A款手机和B款手机共90部，且B款手机的进货数量不超过A款手机数量的两倍，应如何进货才能使这批手机获利最多？已知A，B两款手机的进货和销售价格如下表：A款手机B款手机进货价格(元)11001400销售价格(元)今年的销售价格2000【答案与解析】1.答案：B解析：解：A.∵117°+73°=190°≠180°，∴不能得到直线a与直线b平行；B.∵122°+58°=180°，∴能得到直线a与直线b平行；C.∵85°≠75°，∴不能得到直线a与直线b平行；D.∵125°+45°=170°≠180°，∴不能得到直线a与直线b平行；故选：B．根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行进行判断即可．本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．2.答案：D解析：解：∵∠AOB=100°，∴它所对的是100°，设D为优弧上任一点为360°−100°=260°；∴∠ACB=130°．故选D．3.答案：C解析：此题主要考查了幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘法法则，合并同类项以及完全平方公式．A：根据幂的乘方和积的乘方的运算法则计算即可．B：根据同底数幂的乘法法则计算即可．C ：根据合并同类项的方法计算即可．D ：根据完全平方公式判断即可．解：∵(−x 2)3=−x 6，∴选项A 错误；∵x 2⋅x 4=x 6，∴选项B 错误；∵x 3+x 3=2x 3，∴选项C 正确；∵(x −y)2=x 2−2xy +y 2，∴选项D 错误．故选：C ．4.答案：A解析：解：∵AC =BD ，而AB 为公共边，∴当∠BAC =∠ABD 时，根据“SAS ”可判断△ABC≌△BAD ，当AE =BE 时，则∠BAC =∠ABD ，根据“SAS ”可判断△ABC≌△BAD ，当DE =CE ，则AE =BE ，所以∠BAC =∠ABD ，根据“SAS ”可判断△ABC≌△BAD ．故选：A ．利用全等三角形的判定方法对各选项进行判断．本题考查了全等三角形的判定：灵活运用全等三角形的5种判定方法．5.答案：B解析：本题考查了二元一次方程组的应用，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．根据捐款学生42名，捐款金额是320元，即可得出方程组．解：设捐款6元的有x 名同学，捐款8元的有y 名同学，由题意得，{x +y +6+7=4224+6x +8y +70=320，即{x +y =296x +8y =226． 故选：B ．6.答案：1×10−10解析：解：0.0000000001=1×10−10．故选：1×10−10．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查了科学记数法．解题的关键是掌握用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．7.答案：到角两边距离相等的点在角的角平分线上解析：解：将原命题题设与结论对调，得到逆命题：到角两边距离相等的点在角的角平分线上．故答案为：到角两边距离相等的点在角的角平分线上首先要分清原命题的题设与结论，题设是角平分线上的点，可改为点在角平分线上，结论是该点到角的两边距离相等，然后将结论与题设对调即可．本题考查了角平分线的性质及命题的改写问题．找准原命题的题设与结论是正确解答本题的关键．8.答案：∠ABC=∠DCB或AC=DB解析：解：∵AB=DC，BC=BC，∴当∠ABC=∠DCB(SAS)或AC=DB(SSS)时，△ABC≌△DCB．故填∠ABC=∠DCB或AC=DB．本题是三角形全等知识点常见考题，应注意的一点是“不添加任何字母与辅助线”，已知条件中已经具备一对应边相等和一公共边，所以只能加的是已知两边的夹角相等或第3边对应相等．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL，不论是哪个判定定理，都必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．9.答案：125解析：解：∵EH平分∠BEF，∴∠BEH=∠HEF，∵AB//CD，∠1=70°，∴∠1+∠BEF=180°，即∠BEF=110°，∴∠FEH=55°，∴∠2=∠1+∠FEH=70°+55°=125°．故答案为：125．根据平行线的性质和角平分线定义求出∠FEH，再根据三角形外角性质计算即可．本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质，解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．10.答案：±24解析：解：∵16x2+mxy+9y2=(4x)2+mxy+(3y)2，∴m=±2×4×3=±24，故答案为：±24．根据已知算式得出m=±2×4×3，求出即可．本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，注意：完全平方式有两个：a2+ 2ab+b2和a2−2ab+b2．11.答案：−1或0解析：解：∵格点P(2m−1,m+2)在第二象限，∴{2m−1<0 ①m+2>0 ②，解不等式①得，m<12，解不等式②得，m>−2，∴不等式的解集为−2<m<12，∵点的横、纵坐标均为整数，∴m是整数，∴m的值为−1或0．故答案为：−1或0．根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组，然后求解即可．本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−)．12.答案：50解析：此题主要考查了平行线的性质、三角形的内角和定理，正确得出∠FGD=∠1=115°是解题关键．直接利用平行线的性质结合三角形内角和定理分析得出答案．解：∵AB//CD，∠1=115°，∴∠FGD=∠1=115°，∴∠FGC=180°−115°=65°，∵∠C+∠2+∠FGC=180°，∠2=65°，∴∠C=180°−65°−65°=50°．故答案为50．13.答案：34解析：解：∵直角△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∴AB=2CD=2×2=4，则cosA=ACAB =34．故答案是：34．首先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得AB的长，然后利用余弦函数的定义求解．本题考查了直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及三角函数的定义，求得AB的长是关键．14.答案：a+1.25b解析：此题考查了列代数式及方程思想的应用，可设原收费标准是x元/分，根据降价a元后，再次下调了20%后是b元/分作为相等关系列出方程，用含a，b的代数式表示x即可求解．解：设原收费标准每分钟是x元，则(x−a)(1−20%)=b，解得x=a+1.25b．故填a+1.25b．15.答案：492解析：解：∵x+y=7，∴(x+y)2=49，∴x2+y22+xy=x2+y22+2xy2=(x+y)22=492，故答案为492．根据x+y=7，可得出(x+y)2=49，再整理原式代入即可．本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．16.答案：解：原式=9x4y2+3xy2−6−9x4y2−14x2y−1=3xy2−14x2y−7，当x=2，y=−2时，原式=24+2−7=19．解析：此题考查了整式的混合运算−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．17.答案：解：(1)a2x2y−axy2=axy(ax−y)；(2)x3−2x2y+xy2，=x(x2−2xy+y2)，=x(x−y)2．解析：(1)提取公因式axy即可；(2)先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．18.答案：解：解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x<4，在数轴上表示不等式①、②的解集，如图所示：这两个不等式解集的公共部分是x≤1．∴不等式组的解集是x≤1，非负整数解有0、1．解析：先解不等式，再利用数轴找出解集的公共部分，求出不等式组的解集，最后在其解集中找出非负整数．19.答案：证明：连接EF，FG，GH，HE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∠B=∠D，AB=CD，AD=BC，∵AE=CG，BF=DH，∴AH=CF，BE=DG，在△AEH和△CFG中，{AE =CG ∠A =∠C AH =CF，∴△AEH≌△CGF(SAS)，∴EH =GF ，同理：GH =EF ，∴四边形EFGH 为平行四边形，∴EG 与FH 互相平分．解析：首先连接EF ，FG ，GH ，HE ，由在平行四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且AE =CG ，BF =DH ，易证得△AEH≌△CFG ，即可得FG =EH ，继而可得HG =EF ，即可证得四边形EFGH 为平行四边形，继而证得EG 与FH 互相平分．此题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题比较适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．20.答案：解：(1){x −y =5 ①2x +y =4 ②， ①+②，得：3x =9，解得：x =3，把x =3代入①得：3−y =5，解得：y =−2，则方程组的解为{x =3y =−2； (2)方程组整理得：{4x +3y =36 ①x −3y =4 ②， ①+②，得：5x =40，解得：x =8，把 x =8代入②得：y =43，则方程组的解为{x =8y =43．(3){2x −3y =1①2x −z =5②x +3y +z =4③，②+③得：3x +3y =9④，①+④得：5x =10，解得：x =2，把x =2代入①得：y =1，把x =2代入②得：z =−1，则方程组的解为{x =2y =1z =−1．解析：(1)方程组利用加减消元法求出解即可；(2)方程组整理后，利用加减消元法求出解即可；(3)方程组利用加减消元法求出解即可．此题考查了解三元一次方程组，解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．21.答案：已知 等边对等角 已知 公共边 SAS 全等三角形的对应边相等解析：解：∵AB =AC(已知)∴∠ABC =∠ACB(等边对等角)又∵BD =CE(已知)，BC =CB(公共边)∴△BCD≌△CBE(SAS)∴BE =CD(全等三角形的对应边相等)故答案为：已知，等边对等角，已知，公共边，SAS ，全等三角形的对应边相等．由“SAS ”可证△BCD≌△CBE ，可得BE =CD ．本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．22.答案：解：(1)根据题意得：1.2(x +4)=3.6(x −14)，解得：x =23；(2)根据题意得：12(3y +1.5)=14(y −1)，解得：y =−45．解析：(1)首先列出一元一次方程，然后去括号，移项、合并同类项即可求解；(2)首先列出一元一次方程，然后去括号，移项、合并同类项即可求解．本题考查了一元一次方程的解法，正确列出方程是关键． 23.答案：解：(1)由题意可得：{17a +3b +0.8×20=6617a +13b +6×5+0.8×35=150，解得{a =2.2b =4.2； 答：a =2.2，b =4.2；(2)(27−17)×4.2+17×2.2+27×0.8=101元．答：当月交水费101元．解析：(1)根据4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水35吨，交水费150元列出a 和b 的二元一次方程组，求出a 和b 的值即可；(2)根据阶梯水价计费模式求出当月水费即可．本题主要考查了列二元一次方程解实际问题的运用，解答时由水费=自来水费+污水处理费建立方程是关键．24.答案：(1)130°；(2)∵在三角形ABC 中∠A =90°，∴∠ABC +∠ACB =180°−90°=90°，又∵∠OBC +∠BCO =12(∠ABC +∠ACB)=45°，∴∠BOC =180°−45°=135°；(3)在三角形ABC 中中∠ABC +∠ACB =180°−∠A ，又∵∠OBC +∠BCO =12(∠ABC +∠ACB)，∴∠BOC =90°+12∠A ．解析：解：(1)∵在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点O ，如图1，已知∠ABC +∠ACB =100°， ∴∠OBC =12∠ABC ，∠BCO =12∠ACB ，∴∠OBC +∠BCO =12(∠ABC +∠ACB)=12×100°=50°，∵在三角形BOA 中有∠BOA =180°−∠OBC −∠BCO =180°−50°=130°，故答案为：130°；(2)见答案(3)见答案(1)(2)根据题意可知∠OBC +∠BCO =12(∠ABC +∠ACB)，然后在三角形BOC 中利用三角形内角和即可求得∠BOC 的度数；(3)利用三角形内角和定理分别在三角形ABC和三角形BOC中：∠BOC=180°−∠OBC−∠OCB即可得出结论．本题考查的是三角形内角和定理，能求出∠OBC+∠OCB的度数是解答此题的关键．25.答案：解：(1)设今年A款手机每部售价x元，则去年售价每部为(x+400)元，由题意，得，50000x+400=50000(1−20%)x，解得：x=1600．经检验，x=1600是原方程的根，且符合题意．答：今年A款手机每部售价1600元；(2)设今年新进A款手机a部，则B款手机(60−a)部，获利y元，由题意，得y=(1600−1100)a+(2000−1400)(60−a)=−100a+36000．∵B款手机的进货数量不超过A款手机数量的两倍，∴60−a≤2a，∴a≥20，∵y=−100a+36000．∴k=−100<0，∴y随a的增大而减小．∴a=20时，y最大=34000元．∴B款手机的数量为：60−20=40部．答：当新进A款手机20部，B款手机40部时，这批手机获利最大．解析：(1)设今年A款手机的每部售价x元，则去年售价每部为(x+400)元，由卖出的数量相同建立方程求出其解即可；(2)设今年新进A款手机a部，则B款手机(60−a)部，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出y的最大值．本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，一次函数的解析式的运用，解答时由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关健．。

江苏省南京市新城中学2019-2020学年中考数学模拟试卷一、选择题1．在△ABC中，AB=10，AC=2BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（）A．10 B．8 C．6或10 D．8或102．如图，AB∥CD，DA⊥CE于点A．若∠D＝35°，则∠EAB的度数为( )A.35°B.45°C.55°D.65°3．用弹簧秤将一长方体铁块悬于没有盛水的水槽中，再向水槽匀速注入水，直至铁块完全浸没在水中（如图），则能反映弹簧秤的读数y（单位：N）与水面高度x（单位：cm）之间的函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．4．某市连续10天的最低气温统计如下（单位：℃）：4，5，4，7，7，8，7，6，5，7，该市这10天的最低气温的中位数是（）A．6℃B．6.5℃C．7℃D．7.5℃5．如图，边长分别为2和4的两个等边三角形，开始它们在左边重叠，大△ABC固定不动，然后把小△A′B′C′自左向右平移，直至移到点B′到C重合时停止，设小三角形移动的距离为x，两个三角形的重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象是( )A. B.C. D.6．在2015-2016CBA 常规赛季中，易建联罚球投篮的命中率大约是82.3%，下列说法错误的是（ ）A ．易建联罚球投篮2次，一定全部命中B ．易建联罚球投篮2次，不一定全部命中C ．易建联罚球投篮1次，命中的可能性较大D ．易建联罚球投篮1次，不命中的可能性较小7．下列各式的计算中正确的是（ ）A ．325a a a +=B ．236a a a ⋅=C ．632a a a ÷=D ．326()a a -=8．一个两位数，十位数字比个位数字的2倍大1，若将这个两位数减去36恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，则这个两位数是（ ）A ．86B ．68C ．97D ．739．将一幅三角尺如图所示的方式摆放（两条直角边在同一条直线上，且两锐角顶点重合），连接另外两条锐角顶点，并测得147∠=，则2∠的度数为（ ）A ．60°B ．58°C ．45°D ．43°10．如图，平行四边形纸片ABCD ，CD=5，BC=2，∠A=60°，将纸片折叠，使点A 落在射线AD 上（记为点A′），折痕与AB 交于点P ，设AP 的长为x ，折叠后纸片重叠部分的面积为y ，可以表示y 与x 之间关系的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图，在四边形AOBC 中，若∠1＝∠2，∠3+∠4＝180°，则下列结论正确的有（ ）（1）A 、O 、B 、C 四点共圆（2）AC ＝BC（3）cos ∠1＝2a b c+ （4）S 四边形AOBC ＝()sin 12a b c +⋅∠A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 12．下列式子值最小的是（ ）A ．﹣1+2019B ．﹣1﹣2019C ．﹣1×2019D ．2019﹣1 二、填空题 13．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格点上，则∠BED 的余弦值等于_____．14．一元二次方程x 2﹣3x ﹣4=0与x 2+4x+5=0的所有实数根之和等于_____．15．如图，∠3=40°，直线b 平移后得到直线a ，则∠1+∠2=_____°．16．方程4806002x x-＝45的解是_____． 17．小华用家里的旧纸盒做了一个底面半径为3cm ，高为4cm 的圆锥模型，则此圆锥的侧面积是___cm 2．18．单项式9x m y 3与单项式4x 2y n 是同类项，则m+n 的值是_____．三、解答题19．给定关于x 的二次函数y ＝kx 2﹣4kx+3（k≠0），（1）当该二次函数与x 轴只有一个公共点时，求k 的值；（2）当该二次函数与x 轴有2个公共点时，设这两个公共点为A 、B ，已知AB ＝2，求k 的值；（3）由于k 的变化，该二次函数的图象性质也随之变化，但也有不会变化的性质，某数学学习小组在探究时得出以下结论：①与y 轴的交点不变；②对称轴不变；③一定经过两个定点；请判断以上结论是否正确，并说明理由．20．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，以AC 为直径的⊙O 交BC 于点D ，点E 在AB 上，连接DE 并延长交CA 的延长线于点F ，且∠AEF ＝2∠C ．（1）判断直线FD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若AE ＝2，EF ＝4，求⊙O 的半径．21．先化简，再求值：22121111x x x x ⎛⎫++-÷ ⎪--⎝⎭，其中x ． 22．如图，在平面直角坐标系中，Rt △AOC 的直角边OA 在y 轴正半轴上，且顶点O 与坐标原点重合，点C 的坐标为（1，2），直线y ＝﹣x+b 过点C ，与x 轴交于点B ，与y 轴交于点D ．（1）B 点的坐标为 ，D 点的坐标为 ；（2）动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度，沿O→A→C 的路线向点C 运动，同时动点Q 从点B 出发，以相同速度沿BO 的方向向点O 运动，过点Q 作QH ⊥x 轴，交线段BC 或线段CO 于点H ．当点P 到达点C 时，点P 和点Q 都停止运动，在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒：①设△CPH 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式；②是否存在以Q 、P 、H 为顶点的三角形的面积与S 相等？若存在，直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．23．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A 、B 、O 、P 均在格点上.I. OB 的长等于______________；Ⅱ.点M 在射线OA 上，点N 在射线OB 上，当PMN 的周长最小时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出PMN ，并简要说明点M ，N 的位置是如何找到的（不要求证明）____________ .24．已知：如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AD 上，点F 在边BC 上，且AE=CF ，作EG ∥FH ，分别与对角线BD 交于点G 、H ，连接EH ，FG ．（1）求证：△BFH ≌△DEG ；（2）连接DF ，若BF=DF ，则四边形EGFH 是什么特殊四边形？证明你的结论．25．如图，在ABC ∆中，4AB AC ==，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，交AC 于点E ，点P 是AB 的延长线上一点，且∠PDB=12∠A ，连接DE ，OE ． (1)求证：PD 是O 的切线．(2)填空： ①当P ∠的度数为______时，四边形OBDE 是菱形；②当45BAC ∠=︒时，CDE ∆的面积为_________．【参考答案】***一、选择题13．1214．-115．22016．x ＝417．15π．18．5三、解答题19．（1）32（2）1（3）①②③ 【解析】【分析】（1）由抛物线与x 轴只有一个交点，可知△=0；（2）由抛物线与x 轴有两个交点且AB=2，可知A 、B 坐标，代入解析式，可得k 值；（3）通过解析式求出对称轴，与y 轴交点，并根据系数的关系得出判断．【详解】（1）∵二次函数y＝kx2﹣4kx+3与x轴只有一个公共点，∴关于x的方程kx2﹣4kx+3＝0有两个相等的实数根，∴△＝（﹣4k）2﹣4×3k＝16k2﹣12k＝0，解得：k1＝0，k2＝32，k≠0，∴k＝32；（2）∵AB＝2，抛物线对称轴为x＝2，∴A、B点坐标为（1，0），（3，0），将（1，0）代入解析式，可得k＝1，（3）①∵当x＝0时，y＝3，∴二次函数图象与y轴的交点为（0，3），①正确；②∵抛物线的对称轴为x＝2，∴抛物线的对称轴不变，②正确；③二次函数y＝kx2﹣4kx+3＝k（x2﹣4x）+3，将其看成y关于k的一次函数，令k的系数为0，即x2﹣4x＝0，解得：x1＝0，x2＝4，∴抛物线一定经过两个定点（0，3）和（4，3），③正确．综上可知：正确的结论有①②③．【点睛】本题考查了二次函数的性质，与x、y轴的交点问题，对称轴问题，以及系数与图象的关系问题，是一道很好的综合问题．20．（1）直线FD与⊙O相切，理由详见解析；（2）⊙O的半径为【解析】【分析】（1）连接OD，根据已知条件得到∠AEF＝∠AOD，等量代换得到∠AOD＋∠AED＝180°，求得∠ODF＝90°，于是得到结论；（2）解直角三角形得到∠F＝30°，AF=OF＝2OD，于是得到OD＝FA，即可得到结论．【详解】解：（1）直线FD与⊙O相切；理由：连接OD，∵∠AEF＝2∠C，∠AOD＝2∠C，∴∠AEF＝∠AOD，∵∠AEF+∠AED＝180°，∴∠AOD+∠AED＝180°，∵∠BAC＝90°，∴∠ODF＝90°，∴直线FD与⊙O相切；（2）∵∠BAC＝90°，AE＝2，EF＝4，∴∠F＝30°，AF=，∵∠ODF＝90°，∴OF ＝2OD ，∴OD ＝FA ，∴⊙O的半径为【点睛】本题利用了切线的判定和性质，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．21．21x x -+,4-【解析】【分析】根据分式的运算法则即可求出答案【详解】 原式＝22(1)(1)1(1)x x x x x -+--+＝21x x -+ ， 当x时，原式＝21x x -==+．【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 22．（1）（3，0）；（0，3）；（2）①S ＝ 22153(02)2256(23)t t t t t t ⎧-+<⎪⎨⎪-+-<<⎩…；②存在，t ＝1或73时，以Q 、P 、H 为顶点的三角形的面积与S 相等．【解析】【分析】（1）把点C 坐标代入直线求得b 的值即得到直线解析式，令y ＝0求点B 坐标，令x ＝0求点D 坐标．（2）①由Rt △AOC 中∠OAC ＝90°求得OA+AC ＝OB ＝3，即t 的取值范围为0≤t＜3且t≠2．画图发现有两种情况：当0≤t＜2时，点P 在线段OA 上，点H 在线段BC 上，可证得PH ∥x 轴，故S ＝S △CPH ＝12PH•AP，用t 表示PH 、AP 的值再代入即能用t 表示S ；当2＜t ＜3时，点P 在线段AC 上，点H 在线段OC 上，此时以PC 为底、点H 到CP 距离h 为高来求S ，用t 表示CP 、h 的值再代入即能用t 表示S ．再把两式统一写成S 关于t 的分段函数关系式．②与①类似把点P 、Q 的位置分两种情况讨论计算；其中P 在AC 上、H 在OC 上时，以QH 为底求△QPH 的面积，需对点P 到QH 的距离PE 的表示再进行一次分类．用t 表示△QPH 面积后与S 相等列得方程，解之求得t 的值．【详解】解：（1）∵直线y＝﹣x+b过点C（1，2）∴﹣1+b＝2∴b＝3，即直线为y＝﹣x+3当y＝0时，﹣x+3＝0，得x＝3；当x＝0时，y＝3∴B（3，0），D（0，3）故答案为：（3，0）；（0，3）．（2）①∵Rt△AOC中，∠OAC＝90°，C（1，2）∴A（0，2），OA＝2，AC＝1∵OB＝OD＝3，∠BOD＝90°∴OA+AC＝OB＝3，∠OBD＝45°∴0≤t＜3，且t≠2i）当0≤t＜2时，点P在线段OA上，点H在线段BC上，如图1∴OP＝BQ＝t∴AP＝OA﹣OP＝2﹣t，OQ＝OB﹣BQ＝3﹣t∵HQ⊥x轴于点Q∴∠BQH＝90°∴△BQH是等腰直角三角形∴HQ＝BQ＝t∴HQ∥OP且HQ＝OP∴四边形OPHQ是平行四边形∴PH∥x轴，PH＝OQ＝3﹣t∴S＝S△CPH＝12PH•AP＝12（3﹣t）（2﹣t）＝12t2﹣52t+3ii）当2＜t＜3时，点P在线段AC上，点H在线段OC上，如图2∴CP＝OA+AC﹣t＝3﹣t，x H＝OQ＝3﹣t∵直线OC解析式为：y＝2x∴QH＝y H＝2（3﹣t）＝6﹣2t∴点H 到CP 的距离h ＝2﹣（6﹣2t ）＝2t ﹣4∴S ＝S △CPH ＝12CP•h＝12（3﹣t ）（2t ﹣4）＝﹣t 2+5t ﹣6 综上所述，S 关于t 的函数关系式为S ＝ 22153(02)2256(23)t t t t t t ⎧-+<⎪⎨⎪-+-<<⎩… ②存在以Q 、P 、H 为顶点的三角形的面积与S 相等．i ）当0≤t＜2时，如图3∵S △CPH ＝S △QPH ，两三角形有公共底边为PH∴点C 和点Q 到PH 距离相等，即AP ＝OP∴t ＝2﹣t∴t ＝1ii ）当2＜t≤2.5时，如图4，延长QH 交AC 于点E∴AE ＝OQ ＝3﹣t ，AP ＝t ﹣2，QH ＝6﹣2t∴PE ＝AE ﹣AP ＝（3﹣t ）﹣（t ﹣2）＝5﹣2t∴S △QPH ＝12QH•PE＝12（6﹣2t ）（5﹣2t ）＝2t 2﹣11t+15 ∵S △CPH ＝S △QPH ∴﹣t 2+5t ﹣6＝2t 2﹣11t+15解得：t 1＝3（舍去），t 2＝73iii ）当2.5＜t ＜3时，如图5，延长QH 交AC 于点E∴PE＝AP﹣AE＝（t﹣2）﹣（3﹣t）＝2t﹣5∴S△QPH＝12QH•PE＝12（6﹣2t）（2t﹣5）＝﹣2t2+11t﹣15∴﹣t2+5t﹣6＝﹣2t2+11t﹣15 解得：t1＝t2＝3（舍去）综上所述，t＝1或73时，以Q、P、H为顶点的三角形的面积与S相等．【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，解一元二次方程．由于点P、Q位置不同导致求三角形的计算不同是解决本题的关键，需画出图形数形结合地进行分类讨论．23图见解析，选取点P关于直线OA的对称点1P；选取点C，连接PC并延长，选取点EF，连接EF与PC延长线交于点2P；连接12P P，分别交OA、OB于M、N，连接PM、PN，则PMN的周长最小.【解析】【分析】I.根据勾股定理求出OB的长.Ⅱ. 如图，选取点P关于直线OA的对称点1P；选取点C，连接PC并延长，选取点EF，连接EF与PC延长线交于点2P；根据直角边长都为2和3，EF和PC为斜边的两个三角形全等，得出∠BCP=∠FEG，再根据EG//PH，所以∠BEG=∠BPH,再根据三角形的内角和定理和等量代换，得出∠EP2P=90︒，再根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形得出四边行BEFO为平行四边形，从而得EF//OB，得出PP2⊥OB,再根据BE=BP，从而得出OB垂直平分PP2，连接P2P1与OB、OA分别相交于M点和N点，即可解决问题．【详解】I.在Rt OBD中，OB==Ⅱ.如图，选取点P关于直线OA的对称点1P；选取点C，连接PC并延长，选取点EF，连接EF与PC延长线交于点2P；连接12P P，分别交OA、OB于M、N，连接PM、PN.则点M、N即为所求．证明：由网格图可得，直角边长都为2和3，且EF和PC为斜边的两个三角形全等∠∴BCP=∠FEGEG//PH∠∴BEG=∠BPH在PCH中，∠BCP+∠BPC+∠BPH=90︒∠∴FEG+∠BEG+∠BPC=90︒∠∴EP2P=90︒∴PP2⊥EF根据勾股定理可得，BE=OF，EF=OB,∴四边行BEFO为平行四边形∴EF//OB∴PP2⊥OBBE=BP, EF//OB∴OB垂直平分PP2∴点P与点P关于OB对称2连接P2P1与OB、OA分别相交于M点和N点，则此时PMN的周长最小【点睛】此题考查了应用与设计作图轴对称—最短距离、平行四边形的性质与判定、勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题．24．(1)见解析；（2）四边形EGFH是菱形，理由见解析【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，OB=OD，由平行线的性质得出∠FBH=∠EDG，∠OHF=∠OGE，得出∠BHF=∠DGE，求出BF=DE，由AAS即可得出结论；（2）先证明四边形EGFH是平行四边形，再由等腰三角形的性质得出EF⊥GH，即可得出四边形EGFH是菱形．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠FBH=∠EDG，∵AE=CF，∴BF=DE，∵EG∥FH，∴∠OHF=∠OGE，∴∠BHF=∠DGE，在△BFH和△DEG中，FBH EDG BHF DGEBF DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴BFH ≌△DEG （AAS ）；（2）解：四边形EGFH 是菱形；理由如下：连接DF ，设EF 交BD 于O ．如图所示：由（1）得：BFH ≌△DEG ，∴FH=EG ，又∵EG ∥FH ，∴四边形EGFH 是平行四边形，∵DE=BF ，∠EOD=∠BOF ，∠EDO=∠FBO ，∴△EDO ≌△FBO ，∴OB=OD ，∵BF=DF ，OB=OD ，∴EF ⊥BD ，∴EF ⊥GH ，∴四边形EGFH 是菱形．【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，矩形的性质，解题关键在于利用平行四边形的性质求证25．（1）证明见解析；（2）①30°；②2【解析】【分析】（1）要证明切线，按照圆周角定理和已知的2倍角关系，证明∠ODP 为直角（2）当四边形OBDE 为菱形时，△OBD 为等边三角形，则∠P 为30°（3）连接AD ，过点E 作BC 的垂线，通过平行相似得到a 、b 的第一种关系，根据勾股定理得到a 、b 的第二种关系，用a 、b 表示出△CDE 的面积，再代入a 与b 的关系，获得面积值．【详解】（1）如图，连接OD∵OB ＝OD ，∠PDB ＝12∠A ∴∠ODB ＝∠ABD ＝90°﹣12∠A ＝90°﹣∠PDB∴∠ODB+∠PDB ＝90°∴∠ODP ＝90°又∵OD 是⊙O 的半径∴PD 是⊙O 的切线（2）①30°若四边形OBDE 为菱形，则OB ＝BD ＝DE ＝EO ＝OD∴△OBD 为等边三角形∴∠ABD ＝∠A ＝60°∴∠PDB ＝30°∴∠P ＝30°即当∠P 为30°时，四边形OBDE 为菱形②2如图所示∵AO ＝OE ＝2，∠AOE ＝90°∴AE ＝12x x ∴EC ＝4﹣12x x ∵∠BAC ＝45°∴∠EDB ＝135°∴∠EDC ＝45°设DF ＝EF ＝b ，FC ＝a∵△EFC ∽△ADC ∴CF EF EC CD AD AC ==∴a a b =+ ∵a 2+b 2＝（4﹣12x x ）2解得21),4a b b ==-211())222CDE S a b b b b b ∆=+=-+==. 【点睛】本题考查了圆的基本性质，菱形的性质，（3）是本题的难点，需要以相似和勾股的关系建立方程并表示出关于面积的代数式．。

江苏省南京师大附中2019-2020学年度第一学期期末试题高一数学试卷一、单项选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合 U = R ，集合{}2|320A x x x =-+>，则U C A =（ ） A. (1,2) B. [1,2 ] C. (-2，-1 ) D. [ -2，-1] 【答案】B ；【解析】因为A ()(),12,=-∞+∞，U = R ,所以U C A =[ 1,2] ．2. 设13331log ,4,log 24a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）．A. c >a> bB. b> a> cC. c> b> aD. b> c> a 【答案】D ；【解析】0,1,01a b c <><<,所以 b> c> a ．3. 如图，已知点 C 为△OAB 边AB 上一点，且AC=2CB ，若存在实数m ，n ，使得OC mOA nOB =+，则m- n 的值为（ ）．A.13-B. 0C.13D.23【答案】A ；【解析】由等和线定理，易得1233OC OA OB =+，所以m- n =13-.4.已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象如图所示，则ϕ的值为（ ）．A.6π B.6π- C.4π- D.4π【答案】D ； 【解析】由图可知，322T π=，所以223T πω==，所以()22sin 3f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又因为328f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以232382k ππϕπ⨯+=+，解得()24k k Z πϕπ=+∈，因为2πϕ<，所以4πϕ=.5. 函数()21log 1x f x x -=++的定义域是 ( )A. [1,+∞ )B. (0,1)C. (-1,0 ]D. (−∞ −1]【答案】C ；【解析】由对数的真数大于 0 ，及二次根式内非负，得101x x ->+且21103x⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，解得11x -<<且x ≤0 ，所以定义域为 (-1,0 ]．6. 设a ，b 是实数，已知角θ的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (a ，1 )，B(-2，b )，且1sin 3θ=，则ab的值为（ ）． A. -4 B.-2 C. 4 D. ±4【答案】A ；【解析】由三角函数的定义，13==，且a< 0，解得b a ==-，所以4ab=-. 7. 函数()2sin2xy x x R =∈的图象大致为（ ）．【答案】D ；【解析】由该函数为奇函数，排除选项 A ，B ，由2x π=时，函数值为 0，可排除选项 C ，故选 D ．8. 若函数()()lg 12f x x =-+，则对于任意的()12,1,x x ∈+∞，()()122f x f x +与122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小关系是（ ）． A.()()122f x f x +≥122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. ()()122f x f x +≤122x x f +⎛⎫⎪⎝⎭C.()()122f x f x +=122x x f +⎛⎫⎪⎝⎭D.不确定【答案】B ；【解析】观察图象，可得函数“凹凸性”如图，故选 B ．二、多项选择题：本小题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 下列计算结果为有理数的有（ ）． A.23log 3log 2⋅ B. lg2 +lg5 C.1ln22e - D.5sin6π 【答案】ABCD ；【解析】23log 3log 21⋅=；lg2+ lg5=1；1ln220e -=；51sin62π=， 故选 ABCD ．10. 对于定义在 R 上的函数()f x ，下列判断错误的有（ ）． A.若()()22f f ->，则函数()f x 是 R 的单调增函数 B.若()()22f f -≠，则函数()f x 不是偶函数C.若()00f =，则函数()f x 是奇函数D.函数()f x 在区间 (−∞，0]上是单调增函数，在区间 (0,+∞)上也是单调增函数，则()f x 是 R 上的单调增函数 【答案】ACD ；【解析】A 选项，由()()22f f ->，则()f x 在 R 上必定不是增函数； B 选项，正确；C 选项，()2f x x =，满足()00f =，但不是奇函数；D 选项，该函数为分段函数，在 x =0 处，有可能会出现右侧比左侧低的情况，故错误． 11. 设 a 为实数，则直线y =a 和函数41y x =+的图象的公共点个数可以是（ ）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】ABC ；【解析】41y x =+是偶函数，且在 [0,+∞ ) 上递增，画出草图，可知y=a 与该函数的交点个数可能为 0，1，2．12. 设函数()f x 的定义域为D ，若对于任意x ∈D ，存在y ∈D 使()()2f x f y C -=（C为常数）成立，则称函数()f x 在D 上的“半差值”为C ．下列四个函数中，满足所在定义域上“半差值”为1的函数是（ ）． A.()31y x x R =+∈ B. ()2xy x R =∈C. ()()ln 0,y x x =∈+∞ D. y=sin2x+1( x ∈R)【答案】AC ；【解析】即对任意定义域中的 x ，存在 y ，使得f(y)=f(x)-2；由于AC 值域为R ，故满足； 对于B ，当x=0时，函数值为1，此时不存在自变量y ，使得函数值为-1，故B 不满足； 对于D ，当2x π=-时，函数值为−1，此时不存在自变量y ，使得函数值为−3 ,故D 不满足，所以选AC ．三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分．13. 设m 为实数，若函数()22f x x mx =+-在区间 (−∞,2)上是单调减函数，则m 的取值范围是 ． 【答案】m ≤−4；【解析】()f x 为开口向上的二次函数，对称轴为直线2mx =-,要使得函数在(−∞,2)上递减，则22m-≥，解得4m ≤-. 14. 把函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象上每一点的横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变），得到图象为1C ；再把1C 上每一点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到图象为2C ，则2C 对应的解析式为 ．【答案】2sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【解析】1C :sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,2C :2sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.15. 若()()cos ,1,2cos ,2sin AB AC θθθ=-=，其中θ∈[0,π]，则BC 的最大值为 ． 【答案】3；【解析】()cos ,2sin 1,BC AC AB θθ=-=+ 所以()2222cos 2sin 13sin 4sin 2,BC θθθθ=++=++因为[]0,θπ∈，令[]sin 0,1t θ=∈，所以22342,BC t t =++所以当t=1时，取最大值 9，所以BC 的最大值为 3．16. 已知函数()22,1,1x x f x x x -≥⎧=⎨<⎩，那么()()3f f = ；若存在实数 a ，使得()()()f a f f a =，则a 的个数是 ．【答案】 1 ；4； 【解析】()()()311;ff f =-=令()f a t =，即满足()f t t =，①t=1，即a=±1时，经检验，均满足题意；②t <1，即 −1 <a <1 或 a >1时，()2f t t =，由2t t =，解得t =0或1（舍去）；再由()0t f a ==解得a = 0或 2 ；③t > 1，即a < − 1时，()2f t t =-，由t= 2−t ，解得 t = 1 （舍去）； 综上所述：共有 4 个 a ．四、解答题：本小题共6小题，共70分．解答应写出应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. （10 分）设 t 为实数，已知向量()()1,2,1,.a b t ==- ⑴ 若 t = 3，求a b +和a b -的值；⑵ 若向量a b +与3a b -所成角为 135° ，求 t 的值． 【答案】⑴a b += 5，5a b -=；⑵ t = 2；【解析】⑴ 当 t = 3时，()1,3b =-,()0,5a b +=,()2,1a b -=- 所以a b += 5，5a b -=；⑵ ()0,2a b t +=+,()34,23a b t -=-,()()3223cos13532a b a b t t a b a b+⋅-+-===-+⋅-+, 平方化简得：23440t t --=，解得1222,.3t t ==-经检验，当23t =-时，夹角为 45° 舍去，故 t = 2． 18. （12 分）设实数 x 满足 sinx+ cos x= c ，其中 c 为常数． ⑴ 当c =时，求44sin cos x x +的数值；⑵ 求值：()33443cos cos 2sin cos x x x xππ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭-（用含 c 的式子表示）．【答案】⑴12;⑵212c c +;【解析】⑴1+ 2sinx cosx = 2，所以sinx cosx=12; ()24422221sin cos sin cos 2sin cos 2x x x x x x +=+-=; （2）()()()33334422223cos cos sin cos 1sin cos 2sin cos sin cos sin cos sin cos x x x x x x x x x x x x x x ππ⎛⎫+++ ⎪-+⎝⎭==-+-+ 由sinx+ cos x= c ，所以平方得：1+ 2sinx cosx = 2c ，sinx cosx =212c -所以原式=221122c c c c++=. 19. （12 分）设 a 为正实数．如图，一个水轮的半径为a m ，水轮圆心 O 距离水面2am ，已知水轮每分钟逆时针转动 5 圈．当水轮上的点 P 从水中浮现时（即图中点0P ）开始计算时间． ⑴ 将点 P 距离水面的高度 h(m )表示为时间 t(s)的函数； ⑵ 点 P 第一次达到最高点需要多少时间．【答案】⑴sin ,0;662a h a t t ππ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭⑵ 4s ；【解析】⑴ 如图，以水轮圆心 O 为原点，与水面平行的直线为 x 轴建立直角坐标系．当t= 0时，点 P的坐标为,2a ⎫-⎪⎪⎝⎭，角度为6π-;根据水轮每分钟逆时针转动 5 圈，可知水轮转动的角速度为6πrad / s,所以 t 时刻，角度为66t ππ-;根据三角函数定义，可得sin ,0;662a h a t t ππ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭⑵ 当32a h =时，sin 166t ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以2662t k ππππ-=+，解得t=4+12k ()k N ∈，所以当k= 0时， t = 4，即第一次达到最高点时需要 4s ．20. （12 分）设向量()11,a x y =,()22,b x y =，其中0a ≠． ⑴ 若//a b ，求证：12210x y x y -= ； ⑵ 若12210x y x y -= ，求证：//a b ．【解析】()11,a x y =,()22,b x y =，其中0a ≠，所以11,x y 不全为 0，不妨设10x ≠; ⑴ 如果//a b ，则存在实数λ，使得b a λ= ，即()()()221111,,,x y x y x y λλλ==,所以2121x x y y λλ=⎧⎨=⎩,则()()122111110x y x y x y x y λλ-=-=⑵ 反之，如果12210x y x y -=，因为10x ≠，所以()()22221222111111,,,,x xx y y x y x y x y x x x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ， 令21x x λ=，则b a λ=，所以//a b ． 21. （12 分）⑴ 运用函数单调性定义，证明：函数()31f x x x=-在区间 (0,+∞)上是单调减函数； ⑵ 设 a 为实数， 0 <a < 1 ，若 0 <x < y ，试比较33yx a a -和4334x y x y a a ++-的大小，并说明理由．【答案】⑴ 答案见解析；⑵33yx aa -<4334x y x y a a ++-【解析】⑴ 对任意的()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，()()()()()222121211212213333121211x x x x x x f x f x x x x x x x x x -++⎛⎫⎛⎫-=---=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为210,x x ->22332121120,0x x x x x x ++>>，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x > ，所以函数()f x 在区间 (0,+∞) 上是单调减函数；⑵ 因为 0<a<1，所以()x g x a =在R 上是单调减函数， 因为 0< x< y ，所以 0<3x<3y ， 0< 4x+ 3y<3x+4y ， 所以()()33330yx g y g x aa <⇒-< ，且()()4334g x y g x y +>+⇒43340x yx y a a ++->，所以33yx aa -<4334x y x y a a ++-.22. （12 分） ⑴ 已知函数()()11,1x f x x x R x -=≠-∈+，试判断函数()f x 的单调性，并说明理由； ⑵ 已知函数()()1lg1,1x g x x x R x -=≠±∈+. （i ）判断()g x 的奇偶性，并说明理由；（ii ）求证：对于任意的x ,y ∈R ，且x ≠±1 ，y ≠±1，xy ≠−1都有()()1x y g x g y g xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭①.⑶ 由⑵可知满足①式的函数是存在的，如()()1lg 1,1x g x x x R x -=≠±∈+．问：满足①的函数是否存在无穷多个？说明理由．【答案】⑴()f x 在(−∞，−1)和(-1,+∞)上单调递增；⑵答案见解析；⑶存在无穷多个； 【解析】⑴ 对任意的()12,,1x x ∈-∞-，且12x x <，则()()()()()12121212122111111x x x x f x f x x x x x ----=-=++++， 因为()()12120,110x x x x -<++>，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在区间(−∞，−1)上是单调递增，同理可得()f x 在区间(-1,+∞)上单调递增； ⑵（i ）()g x 的定义域为()()(),11,11,-∞--+∞，对任意的()()(),11,11,x ∈-∞--+∞，有()()(),11,11,x -∈-∞--+∞，且()()1111lg lg lg lg101111x x x x g x g x x x x x ⎛⎫------+-=+=⋅== ⎪+-++-+⎝⎭， 所以()g x 为奇函数，又()()22g g ≠-，所以()g x 不是偶函数；（ii ）对于任意的x,y ∈R ，且x ≠±1 ，y ≠±1，xy ≠−1， 因为()()111111lglg lg lg111111x y x y x y g x g y x y x y x y ⎛⎫------+=+=⋅=⋅ ⎪++++++⎝⎭， 所以111lg lg lg 1111x yx y x y xy xy g x y xy x y xy xy+-⎛⎫++--+=== ⎪+++++⎝⎭++()()1111x y g x g y x y --⋅=+++； ⑶ 设()lg k g x k =⋅11x x -+()k g x =⋅，则对于任意的x, y ∈R ，且x ≠±1 ，y ≠±1，xy ≠−1，都有即()k g x 满足①，因为 k 有无穷多个，所以这样的()k g x 也有无穷多个．。

南京师大附中2019-2020学年度第二学期高一年级期中考试数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 10y --=的倾斜角是（ ）. A.6π B.3π C.23π D.56π 2. 若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ）.A.725B.15C. 15-D. 725-3. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c. 已知22,cos 3a c A ===.则边b 的长为（ ）.A.B. C. 2 D. 34. 已知1cos tan()3ααβ=-=-，,αβ均为锐角，则β=（ ）. A.512π B. 3π C. 4π D. 6π5. 在△ABC 中，2cos sin sin B A C =.则△ABC 的形状一定是（ ）. A.等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形6. 过点(3,4)P -向圆221x y +=引圆的两条切线PA ，PB ，则弦AB 的长为（ ）.A.B. C. D. 7. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c. 若满足2,30b A ==︒的三角形有两个，则边长a 的取值范围是（ ）. A. 01a << B. 1a = C. 12a << D. 2a ≥8. 直线(2)4y k x =-+与曲线0x 有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ ）.A. 53(,]124B. 51(,]122C. 13(,]24D. 1[,)2+∞二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有不止一项是符合题目要求的. 全部选对的得5分，选对但不全的得3分，错选或不答的得0分.9. 若圆221:(1)1C x y -+=与圆222:880C x y x y m +-++=相切，则m 的值可以是（ ）. A. 16B. 7C. 4-D. 7-10. 下列命题中正确的有（ ）. A. 空间内三点确定一个平面 B. 棱柱的侧面一定是平行四边形C. 分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上D. 一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内11. 两直线(2)0m x y m +-+=，0x y +=与x 轴相交且能构成三角形，则m 不能取到的值有（ ）. A. 3-B. 2-C. 1-D. 012. 已知圆222:22(1)2230()C x y mx m y m m m R ++-+++-=∈上存在两个点到点(0,1)A -的距离为4，则m 的可能的值为（ ）. A. 1 B. 1- C. 3- D. 5-三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知直线1:4270l x y +-=和2:210l x y +-=，直线m 分别与12,l l 交于A ，B 两点，则线段AB 长度的最小值为 .14. 函数()2cos sin()3f x x x π=⋅+的最大值为 .15. 已知△ABC ，AB=AC=4，BC=2，点D 为AB 延长线上一点，BD=2，连接CD ，则△BDC 的面积是 ，cos BDC ∠= .16. 在平面直角坐标系xOy 中，过点(0,3)M -的直线l 与圆223x y +=交于A ，B 两点，且2MB MA =u u u r u u u r，则直线l 的方程为 .四、解答题：本大题共6小题，共70分. 17. （本小题满分10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 3cos c B b C a B +=. （1）求cos B 的值；（2）若2c =，△ABC 的面积为b 的值.18. （本小题满分10分）（1）用符号表示下来语句，并画出同时满足这四个语句的一个几何图形： ①直线l 在平面α内； ②直线m 不在平面α内； ③直线m 与平面α交于点A ； ④直线l 不经过点A .（2）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 的中点，F 为棱1CC 的三等分点，画出由1,,D E F 三点所确定的平面β与平面ABCD 的交线.（保留作图痕迹）19. （本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知两直线1:330l x y --=和2:10l x y ++=，定点(1,2)A . （1）若1l 与2l 相交于点P ，求直线AP 的方程；（2）若1l 恰好是△ABC 的角平分线BD 所在的直线，2l 是中线CM 所在的直线，求△ABC 的边BC 所在直线的方程.20. （本小题满分12分）（1）已知1sin cos 5θθ+=，求sin 2θ的值；（2）记函数()sin 2sin cos f x x x x =++，求()f x 的值域.21. （本小题满分12分）为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD. 其中3AB =百米，AD BCD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形. 拟修建两条小路AC ，BD （路的宽度忽略不计），设BAD θ∠=，(,)2πθπ∈.（1）当cos θ=时，求小路AC 的长度； （2）当草坪ABCD 的面积最大时，求此小路BD 的长度.22. （本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在y 轴上的圆C 经过两点(0,2)M 和(1,3)N ，直线l 的方程为y kx =. （1）求圆C 的方程；（2）当1k =时，Q 为直线l 上的定点，若圆C 上存在唯一一点P 满足PO =，求定点Q 的坐标；（3）设点A ，B 为圆C 上任意两个不同的点，若以AB 为直径的圆与直线l 都没有公共点，求实数k 的取值范围.南京师大附中2019-2020学年度第二学期高一年级期中考试数学试卷 · 解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.10y --=的倾斜角是（ ）.A.6πB.3π C.23π D.56π 【答案】B【解析】tan ,03k πααπα==≤<⇒=【考点】直线的斜率与倾斜角2. 若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ）.A.725B.15C. 15-D. 725-【答案】D 【解析】27sin 2cos(2)2cos ()12425ππααα=-=--=-【考点】二倍角公式；诱导公式3. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知22,cos 3a c A ===.则边b 的长为（ ）.A.B. C. 2 D. 3【答案】D【解析】在△AB C 中，由余弦定理2222cos bc A b c a =+-,带入数据，解得3b =或13（舍）.【考点】余弦定理解三角形 4.已知1cos tan()3ααβ=-=-，,αβ均为锐角，则β=（ ）. A.512πB.3π C.4π D.6π 【答案】C 【解析】因为α为锐角，且cos α=所以sin α==，sin 1tan cos 2ααα==，于是11()tan tan()23tan tan[()]1111tan tan()1()23ααββααβααβ----=--===+-+-，又β为锐角，所以4πβ=. 【考点】同角三角函数关系；两角和与差的三角函数5. 在△ABC 中，2cos sin sin B A C =.则△ABC 的形状一定是（ ）. A.等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 【答案】A【解析】因为sin sin()C A B =+，所以2cos sin sin()B A A B =+，即2cos sin sin cos cos sin B A A B A B =+，即cos sin sin cos B A A B =， 于是tan tan A B =，所以A B =，△ABC 为等腰三角形. 【考点】两角和与差的三角函数；诱导公式6. 过点(3,4)P -向圆221x y +=引圆的两条切线PA ，PB ，则弦AB 的长为（ ）.A. B.C.D.【答案】B【解析】因为5OP ==，半径1OA =，所以PA PB ===由面积法可知，2PA OA AB OP ⋅⋅==【考点】圆的切线问题；与圆有关的几何问题7. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c. 若满足2,30b A ==︒的三角形有两个，则边长a 的取值范围是（ ）. A. 01a << B. 1a = C. 12a << D. 2a ≥ 【答案】C【解析】如图，2,30b A ==︒，垂线段11CB =，所以12a <<时，三角形有两解.【考点】判断三角形解的个数8. 直线(2)4y k x =-+与曲线0x 有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ ）. A. 53(,]124B. 51(,]122C. 13(,]24D. 1[,)2+∞【答案】B【解析】曲线可化简为22(1)4(0)x y x +-=≤.于是过点（2，0）的直线与该半圆有两个交点，数形结合，解得51122k <≤. 【考点】直线与圆的位置关系二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有不止一项是符合题目要求的. 全部选对的得5分，选对但不全的得3分，错选或不答的得0分.9. 若圆221:(1)1C x y -+=与圆222:880C x y x y m +-++=相切，则m 的值可以是（ ）. A. 16B. 7C. 4-D. 7-【答案】AC【解析】圆2C 可化简为22(4)(4)32(32)x y m m -++=-<.于是151CC ==，解得16m =或4-.【考点】圆的方程；圆与圆的位置关系 10. 下列命题中正确的有（ ）. A. 空间内三点确定一个平面 B. 棱柱的侧面一定是平行四边形C. 分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上D. 一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内 【答案】BC【解析】对于A 选项，要强调该三点不在同一直线上，故A 错误； 对于B 选项，由棱柱的定义可知，其侧面一定是平行四边形，故B 正确； 对于C 选项，可用反证法证明，故C 正确； 对于D 选项，要强调该直线不经过给定两边的交点，故D 错误. 【考点】点、线、面的位置关系11. 两直线(2)0m x y m +-+=，0x y +=与x 轴相交且能构成三角形，则m 不能取到的值有（ ）. A. 3- B. 2- C. 1- D. 0 【答案】ABD【解析】由题知，三条直线中任意两条均有交点，且三条直线不能经过同一点. 于是: ①20m +≠；②21m +≠-；③(2)000m m +⋅-+≠.综上，2m ≠-且3m ≠-且0m ≠. 【考点】平面内两直线的位置关系12. 已知圆222:22(1)2230()C x y mx m y m m m R ++-+++-=∈上存在两个点到点(0,1)A -的距离为4，则m 的可能的值为（ ）. A. 1 B. 1- C. 3- D. 5-【答案】ACD【解析】由题知，圆222:()[(1)]2C x m y m ++-+=与圆222:(1)4A x y ++=相交.故4242CA -<<+，即26<，解得(1,2)1)m ∈-U ，选ACD【考点】点与圆的位置关系；圆与圆的位置关系三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知直线1:4270l x y +-=和2:210l x y +-=，直线m 分别与12,l l 交于A ，B 两点，则线段AB 长度的最小值为 .【解析】由题知，2:4220l x y +-=，两直线间的距离d ==【考点】平行线之间的距离公式14. 函数()2cos sin()3f x x x π=⋅+的最大值为 .【答案】1【解析】11()2cos (sin )sin 2cos2)sin(2)223f x x x x x x x π==+=++，最大值1+【考点】三角恒等变换；辅助角公式；三角函数的图像和性质15. 已知△ABC ，AB=AC=4，BC=2，点D 为AB 延长线上一点，BD=2，连接CD ，则△BDC 的面积是 ，cos BDC ∠= .【解析】△BDC 的面积为△ABC 面积的一半，△ABC 中，BC ABC 的面积为122⋅=所以△BDC . 21cos cos22cos 14ABC BDC BDC ∠=∠=∠-=，解得cos BDC ∠=BDC ∠为锐角，所以cos BDC ∠= 【考点】三角形面积公式；正余弦定理解三角形16. 在平面直角坐标系xOy 中，过点(0,3)M -的直线l 与圆223x y +=交于A ，B 两点，且2MB MA =u u u r u u u r，则直线l 的方程为 .【答案】3y =-【解析】由题知，点A 为MB 的中点，设直线:3l y kx =-，将直线带入圆的方程，结合122x x =，解得k =3y =-【考点】直线和圆的位置关系，韦达定理四、解答题：本大题共6小题，共70分. 17. （本小题满分10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 3cos c B b C a B +=. （1）求cos B 的值；（2）若2c =，△ABC 的面积为b 的值. 【答案】（1）1cos 3B =；（2）3b =. 【解析】（1）在△ABC 中，由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，设sin ak A=，则sin ,sin ,sin a k A b k B c k C ===，带入cos cos 3cos c B b C a B +=，化简得sin 3sin cos A A B =，因为,(0,),sin 0,sin 0A B A B π∈>>，所以1cos 3B =；（2）由（1）可知，sin 0B >，sin B ==，又1sin 2ABC S ac B ∆=，所以122a ⋅=，解得3a =.在△ABC 中，由余弦定理2222cos ac B a c b =+-，所以2221232323b ⋅⋅⋅=+-，解得3b =.【考点】解三角形；三角恒等变换18. （本小题满分10分）（1）用符号表示下来语句，并画出同时满足这四个语句的一个几何图形： ①直线l 在平面α内； ②直线m 不在平面α内； ③直线m 与平面α交于点A ； ④直线l 不经过点A .（2）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 的中点，F 为棱1CC 的三等分点，画出由1,,D E F 三点所确定的平面β与平面ABCD 的交线.（保留作图痕迹）【答案】（1）l α⊂；m α⊄；m A α=I ；A l ∉；示意图如下：（2）如图，直线IL 即为所求.【考点】空间点、线、面之间的位置关系19. （本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知两直线1:330l x y --=和2:10l x y ++=，定点(1,2)A . （1）若1l 与2l 相交于点P ，求直线AP 的方程；（2）若1l 恰好是△ABC 的角平分线BD 所在的直线，2l 是中线CM 所在的直线，求△ABC 的边BC 所在直线的方程. 【答案】（1）:31AP y x =-；（2）7110x y --=.【解析】（1）联立两直线，解得P （0，-1），所以直线AP 的斜率k=3，AP ：y=3x-1.（2）设点B 的坐标为(33,)t t +，则点342(,)22t t M ++，所以3421022t t ++++=， 解得2t =-，即(3,2)B --，所以22131AB k --==--. 由到角公式得， 111111BC AB BCAB k k k k k k k k --=++,即11133111133BC BC k k --=++，解得17BCk =， 所以BC 所在直线方程为12(3)7y x +=+化简得7110x y --=【考点】直线方程；两直线的位置关系；到角公式20. （本小题满分12分）（1）已知1sin cos 5θθ+=，求sin 2θ的值； （2）记函数()sin 2sin cos f x x x x =++，求()f x 的值域.【答案】（1）24sin 225θ=-；（2）5[,14-. 【解析】（1）因为1sin cos 5θθ+=，所以221sin cos 2sin cos 25θθθθ++= 即 11sin 225θ+=，所以24sin 225θ=-（2）记sin cos t θθ+=，显然)4t x π=+，所以[t ∈.将sin cos t θθ+=两边平方，得2sin 21t θ=-故2215()()1(),[24f x g t t t t t ==+-=+-∈所以min 15()()24f x g =-=-，max ()1f x g ==+所以()f x 的值域为5[,14- 【考点】同角三角函数关系式；三角函数的图像和性质21. （本小题满分12分）为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD. 其中3AB =百米，AD BCD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形. 拟修建两条小路AC ，BD （路的宽度忽略不计），设BAD θ∠=，(,)2πθπ∈.（1）当cos θ=时，求小路AC 的长度； （2）当草坪ABCD 的面积最大时，求此小路BD 的长度.【答案】（1）AC =（2）BD =.【解析】（1）当cos θ=时，在△ABD 中，由余弦定理得BD =，222164cos sin2205AD BD AB ADB ADC AD BD +-∠=====∠⋅因为ADC ∠为钝角，所以3cos 5ADC ∠==- 在△ADC 中，由余弦定理得，AC = （2）在△ABD 中，由余弦定理得BD =所以211sin 7,(0,)22S AB AD BD θθθθπ=⋅⋅+=+-∈ 于是157sin(),tan 2,(,0)22S πθϕϕϕ=++=-∈-其中.所以， 当2πθϕ+=时，S 最大，此时11sin tan tan 2cos θθϕθ==-=，又因为(0,)θπ∈，所以(,)2πθπ∈，解得cos θ=所以此时BD =答：（1）AC =百米，（2）当四边形面积最大时，小路BD =.【考点】解三角形的应用22. （本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在y 轴上的圆C 经过两点(0,2)M 和(1,3)N ，直线l 的方程为y kx =.（1）求圆C 的方程；（2）当1k =时，Q 为直线l 上的定点，若圆C 上存在唯一一点P 满足PO =，求定点Q 的坐标；（3）设点A ，B 为圆C 上任意两个不同的点，若以AB 为直径的圆与直线l 都没有公共点，求实数k 的取值范围.【答案】（1）22(3)1x y +-=；（2）(2Q 或(2 ；（3）(k ∈.【解析】（1）设圆的方程为222()(0)x y b r r +-=>，将M,N 坐标带入，得：2222220(2)1(3)b r b r ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩，解得31b r =⎧⎨=⎩，所以圆的方程为22(3)1x y +-=.（2）设(,)Q t t ，(,)P x y ，化简得222(2)(2)4x t y t t -+-=，此圆与圆C 相切，所以有21t =±，解得2t =(2Q ++或(2（3）记以AB 为直径的圆为圆M ，设圆M 上有一动点000(,)P x y ，设(01)CM d d =<≤.则圆M 的半径12M r AB ==于是0CP ==u u u r 其中θ为0CM MP u u u u r u u u u r ，的夹角，[0,]θπ∈.因为01[0,]2CM MP ⋅=u u u u r u u u u r ，所以0CP ∈u u u r .故点0P 在以(0,3)C ，所以点C 到直线l 的距离d >(22k ∈-. 【考点】圆与方程；阿波罗尼斯圆；隐圆问题。

江苏省南京市新城中学2019-2020学年中考数学模拟调研测试题一、选择题1．某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比第一季度的产值增长了（ ） A.2x% B.1+2x%C.（1+x%）x%D.（2+x%）x%2．函数11y x =-中自变量x 的取值范围是（ ） A ．2x ≤B ．2x ≤且1x ≠C ．x ＜2且1x ≠D ．1x ≠3．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图，在平面直角坐标系中，过点A 且与x 轴平行的直线交抛物线y ＝13（x+1）2于B ，C 两点，若线段BC 的长为6，则点A 的坐标为（ ）A.（0，1）B.（0，4.5）C.（0，3）D.（0，6）5．如图，点E 、F 是正方形ABCD 的边BC 上的两点（不与B 、C 两点重合），过点B 作BG ⊥AE 于点G ，连接FG 、DF ，若AB ＝2，则DF+GF 的最小值为（ ）A. ﹣1B.C.3D.46．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A ．5x 2﹣4x ＝﹣2 B ．（x ﹣1）（5x ﹣1）＝5x 2C ．4x 2﹣5x+1＝0D ．（x ﹣4）2＝07．如图分别是某班全体学生上学时乘车、步行、骑车人数的分布直方图和扇形统计图(两图都不完整),下列结论错误的是( )A ．该班总人数为50B ．步行人数为30C ．乘车人数是骑车人数的2.5倍D ．骑车人数占20%8．如图，在四边形AOBC 中，若∠1＝∠2，∠3+∠4＝180°，则下列结论正确的有（ ）（1）A 、O 、B 、C 四点共圆 （2）AC ＝BC （3）cos ∠1＝2a bc+ （4）S 四边形AOBC ＝()sin 12a b c +⋅∠A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，DE BC ∥，点F 在BC 上，AF 与DE 交于点G ，则下列结论中错误的是（ ）.A.AD AGBD FG= B.DG GEBF FC= C.AD AEDG GE= D.AG GEAF FC= 10．如图，直角三角形纸片ABC 中，AB ＝3，AC ＝4．D 为斜边BC 的中点，第1次将纸片折叠，使点A 与点D 重合，折痕与AD 交于点P 1；设P 1D 的中点为D 1，第2次将纸片折叠，使点A 与点D 1重合，折痕与AD 交于点P 2；设P 2D 1的中点为D 2，第3次将纸片折叠，使点A 与点D 2重合，折痕与AD 交于点P 3••；设P n ﹣1D n ﹣2的中点为D n ﹣1，第n 次将纸片折叠，使点A 与点D n ﹣1重合，折痕与AD 交于点P n （n ＞2），则AP 2019的长为（ ）A.20192020534⨯ B.20192020354⨯ C.20182019534⨯ D.20182019354⨯ 11．已知a 2﹣b 2＝6，a+b ＝2，则a ﹣b 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．如图，在平面直角坐标系中，过y 轴正半轴上一点C 作直线l ，分别与2y x=-（x ＜0）和3y x =（x＞0）的图象相交于点A 、B ，且C 是AB 的中点，则△ABO 的面积是（ ）A ．32B ．52C ．2D ．5二、填空题13．如图，在Rt ABC △中，90︒∠=C ，2BC =，30A ︒∠=，点D 是AB 的中点，P 是AC 边上一动点，连接DP ，将DPA 沿着DP 折叠，A 点落到F 处，DF 与AC 交于点E ，当DPF 的一边与BC 平行时，线段DE 的长为_____.14．已知关于x 的不等式2x+m ＞3的解如图所示，则m 的值为_____．15．不等式1﹣x≥2的解集是_____．16．如图，AB 为圆O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点E ，连接OC ，若OC ＝5，CD ＝8，则AE ＝______．17．如图，已知90ACB ∠=︒，直线//MN AB ，若133∠=︒，则2∠=___________.18．在20km 越野赛中，甲乙两选手的行程y （单位：km ）随时间x （单位：h ）变化的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法： ①两人相遇前，甲的速度小于乙的速度； ②出发后1小时，两人行程均为10km ； ③出发后1.5小时，甲的行程比乙多3km ； ④甲比乙先到达终点． 其中正确的有_____个．三、解答题19．如图所示，△ABC为Rt△，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，点E为边AC上的点，连结DE，过点E 作EF⊥ED交BC于F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，已知AC＝8．（1）如图1所示，当BC＝6，点G在边AB上时，求DE的长．（2）如图2所示，若12DEEF=，点G在边BC上时，求BC的长．（3）①若14DEEF=，且点G恰好落在Rt△ABC的边上，求BC的长．②若12DEEF n=（n为正整数），且点G恰好落在Rt△ABC的边上，请直接写出BC的长．20．已知二次函数y=a（x-m）2-a（x-m）（a，m为常数，且a≠0）．（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；（2）设该函数的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0），且x12+x22=25，求m的值；（3）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，且△ABC的面积为1，求a的值．21．在一条笔直的公路上有A、B两地，甲骑自行车从A地到B地；乙骑电动车从B地到A地，到达A地后立即按原路返回，如图是甲、乙两人离B地的距离y（km）与行驶时x（h）之间的函数图象，根据图象解答以下问题：（1）写出A、B两地之间的距离；（2）直接写出y甲、y乙与x之间的函数关系式，请求出点M的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；（3）若两人之间保持的距离不超过3km时，能够用无线对讲机保持联系，请直接写出甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系时x的取值范围．22．如图，已知五边形ABCDE是正五边形，连结AC、AD.证明：∠ACD=∠ADC．23．如图，点D是△ABC的边AB上一点，点E为AC的中点，过点C作CF∥AB交DE延长线于点F．（1）求证：AD＝CF．（2）连接AF，CD，求证：四边形ADCF为平行四边形．24．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把结果填写在表格中：（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元．（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？25．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，过点D作DE⊥AD交直线AC于点E，点O是对角线AC的中点，点F是线段AD上一点，连接FO并延长交BC于点G．（1）如图1，若AC＝4，cos∠CAD＝45，求△ADE的面积；（2）如图2，点H为DC是延长线上一点，连接HF，若∠H＝30°，DE＝BG，求证：DH＝．【参考答案】***一、选择题13．1或2 14．5 15．x≥3 16．2 17．57°. 18．1 三、解答题19．（1）DE ＝154；（2）BC ＝4．（3）①BC ＝2，BC ＝，②BC ＝4n或8n ． 【解析】 【分析】（1）利用关系式tan ∠A ＝DE BCAD AC=，即可解决问题． （2）如图2中，设DE ＝x ，则EF ＝EC ＝2x ．证明AE ＝EC ，BC ＝2DE 即可解决问题． （3）①分点G 在BC 或AB 上两种情形分别求解．②解法类似①． 【详解】 （1）如图1中，在Rt △ABC 中，∵AC ＝8，BC ＝6，∴AB =10， ∵D 是AB 中点， ∴AD ＝DB ＝5， ∵∠A ＝∠A ， ∴tan ∠A ＝DE BCAD AC=， ∴658DE =， ∴154DE =．（2）如图2中，设DE ＝x ，则EF ＝EC ＝2x ．∵DE ∥BC ，AD ＝DB ， ∴AE ＝EC ＝2x ， ∴4x ＝8， ∴x ＝2， ∴DE ＝12BC ， ∴BC ＝2DE ＝4．（3）①当点G 落在BC 边上时，如图2中，设DE ＝x ，则EF ＝EC ＝4x ， 可得：AE ＝EC ＝4x ，8x ＝8， ∴x ＝1， ∴BC ＝2DE ＝2． 当点G 落在AB 边上时，作DH ⊥AC 于H ，设DH ＝x ，则CE ＝4x ，BC ＝2x ，EH ＝4﹣4x ，利用△HDE ∽△CAB ，可得4428x xx -=，解得8x =，则16BC =．②若12DE EF n =（n 为正整数）时，同法可知：4BC n=或8n ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题． 20．（1）证明见解析；（2）m 的值为-4或3；（3）a 的值是±8． 【解析】 【分析】（1）把（x-m ）看作一个整体，令y=0，利用根的判别式进行判断即可；（2）令y=0，利用因式分解法解方程求出x 1=m ，x 2=m+1，根据x 12+x 22=25，代入得到关于m 的方程，解方程即可求解；（3）根据两点间的距离公式求出AB ，再把抛物线转化为顶点式形式求出顶点坐标，再利用三角形的面积公式列式进行计算即可得解． 【详解】（1）证明：令y=0，a （x-m ）2-a （x-m ）=0， △=（-a ）2-4a×0=a 2，∵a≠0， ∴a 2＞0，∴不论a 与m 为何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点； （2）解：y=0，则a （x-m ）2-a （x-m ）=a （x-m ）（x-m-1）=0， 解得x 1=m ，x 2=m+1， ∵x 12+x 22=25， ∴m 2+（m+1）2=25， 解得m 1=-4，m 2=3． 故m 的值为-4或3； （3）解：∵x 1=m ，x 2=m+1， ∴AB=（m+1）-m=1，y=a （x-m ）2-a （x-m ）=a （x-m-12）2-4a ，△ABC 的面积=12×1×|-4a |=1，解得a=±8． 故a 的值是±8． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，主要利用了根的判别式，三角形的面积，把（x-m ）看作一个整体求解更加简便．21．（1）30；（2）y 甲=-15x+30， y 乙=30x ()01x ≤≤， y 乙=-30x+60()12x 〈≤，点M （2,203）甲乙经过23小时第一次相遇，此时离B 地20千米；（3）311925155x x 或≤≤≤≤【解析】 【分析】（1）x=0时甲的y 值即为A 、B 两地的距离；（2）根据图象求出甲、乙两人的速度，再利用相遇问题求出相遇时间，然后求出乙的路程即可得到点M 的坐标以及实际意义；（3）分相遇前和相遇后两种情况求出x 的值，再求出最后两人都到达B 地前两人相距3千米的时间，然后写出两个取值范围即可. 【详解】解：（1）由图像可知， x=0时，甲距离B 地30千米， 所以，A 、B 两地的距离为30千米； （2）由图可知，甲的速度：302=15千米/时，乙的速度：301=30千米/时，30÷（15+30）=23， 23×30=20千米， 所以，点M 的坐标为（23，20），表示23小时后两车相遇，此时距离B 地20千米； （3）设x 小时时，甲、乙两人相距3km ，①若是相遇前，则15x+30x=30-3， 解得x=35， ②若是相遇后，则15x+30x=30+3， 解得x=1115， ③若是到达B 地前，则15x-30（x-1）=3， 解得x=95， 所以，当311515x ≤≤或925x ≤≤时，甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系. 【点睛】本题考查了一次函数的应用，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，难点在于（3）要分情况讨论.22．详见解析 【解析】 【分析】根据正五边形的性质，可证∠B=∠E ，AB=AE=BC=DE ，再利用SAS 证明△ABC ≌△AED ，利用全等三角形的性质，就可证得AC=AD ，然后根据等边对等角，可证得结论. 【详解】解：∵正五边形ABCDE ∴∠B=∠E ，AB=AE=BC=DE 在△ABC 和△AED 中AB AEB E BC DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△AED （SAS ） ∴AC=AD ∴∠ACD=∠ADC 【点睛】考核知识点：全等三角形的判定与性质，正多边形的定义. 23．（1）详见解析；（2）详见解析． 【解析】 【分析】（1）根据CF ∥AB 就可以得出∠A ＝∠ECF ，∠ADE ＝∠F ，证明△ADE ≌△CFE 就可以求出结论； （2）由△ADE ≌△CFE 就可以得出DE ＝FE ，又有AE ＝CE 于是就得出结论． 【详解】解：（1）证明：∵CF ∥AB ， ∴∠ADE ＝∠F ，∠FCE ＝∠A ． ∵点E 为AC 的中点， ∴AE ＝EC ．∵在△ADE 和△CFE 中，ADE F FCE A AE EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADE ≌△CFE （AAS ）． ∴AD ＝CF ；（2）∵△ADE ≌△CFE ， ∴DE ＝FE ． ∵AE ＝EC ，∴四边形ADCF 为平行四边形．【点睛】本题考查了中点的旋转的运用于，全等三角形的判定及性质的运用，平行四边形的判定方法的运用，解答时证明三角形全等是关键．24．（1）见解析；（2）玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润；（3）商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元． 【解析】 【分析】（1）由销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具得y=600﹣（x ﹣40）×10=1000﹣10x ，利润=（x ﹣30）×(1000﹣10x )=﹣10x 2+1300x ﹣30000；（2）令﹣10x 2+1300x ﹣30000=10000，求出x 的值即可；（3）首先求出x 的取值范围，然后把w=﹣10x 2+1300x ﹣30000转化成y=﹣10（x ﹣65）2+12250，结合x 的取值范围，求出最大利润． 【详解】解：：（1）根据题意可得：y=600﹣（x ﹣40）×10=1000﹣10x ， 利润=（x ﹣30）×(1000﹣10x )=﹣10x 2+1300x ﹣30000；（2）﹣10x 2+1300x ﹣30000=10000 解之得：x 1=50，x 2=80．答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润．（3）根据题意得：1001054044x x -≥⎧⎨≥⎩解之得：44≤x≤46，w=﹣10x 2+1300x ﹣30000=﹣10（x ﹣65）2+12250，∵a=﹣10＜0，对称轴是直线x=65，∴当44≤x≤46时，w 随x 增大而增大，∴当x=46时，W 最大值=8640（元）． 答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．25．（1）758；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到∠CAD＝∠ACB，因为AB⊥AC，根据三角函数得到cos∠CAD4BC，cos∠CAD＝ADAE，再根据勾股定理进行计算即可得到答案；（2）作FK⊥DH于K，根据题意，由三角函数得到HK FH，根据全等三角形的判定（ASA）得到△BOG≌△DOF（ASA），根据全等三角形的性质得到BG＝DF，结合题意根据全等三角形的判定（AAS）和性质即可得到答案.【详解】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠CAD＝∠ACB，∵AB⊥AC，∴cos∠CAD＝45＝cos∠ACB＝ACBC＝4BC，∴BC＝AD＝5，∵cos∠CAD＝AD AE，∴5AE＝45，∴AE＝254，DE 154，S△ADE＝12AD•DE＝12×5×154＝758；（2）证明：作FK⊥DH于K，如图2所示：∵∠H＝30°，∴∠HFK＝60°，∴HK，连接BD，则OB＝OD，∠OBG＝∠ODF，∠BOG＝∠DOF，在△BOG和△DOF中，OBG ODF OB ODBOG DOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BOG≌△DOF（ASA），∴BG＝DF，∵DE＝BG，∴DE＝DF，∵AB⊥AC，AB∥CD，∴CD⊥AC，∴∠DCE＝∠FKD＝90°，∵∠CDE+∠CED＝90°，∠CDE+∠KDF＝90°，∴∠CED＝∠KDF，在△DCE和△FKD中，DCE FKDCED KDF DE DF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DCE≌△FKD（AAS），∴DK＝CE，∴DH＝DK+HK＝CE+2FH．【点睛】本题考查三角函数、全等三角形的判定（ASA、AAS）和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定（ASA、AAS）和性质.。

2019~2020学年江苏南京建邺区南京师范⼤学附属中学新城初级中学初⼀上学期期末数学试卷⼀、选择题（本⼤题共6⼩题，每⼩题2分，共12分。

在每⼩题所给出的四个选项中，恰好有⼀项是符合题⽬要求的）1.A.B.C.D.下列各式中，结果为正数的是（ ）．2.A.的次数是B.与是同类项C.不是单项式D.的系数是下列说法正确的是（ ）．3.A. B. C. D.将如图所示的绕直⻆边旋转⼀周，所得⼏何体的主视图是（ ）．4.A.B.C.D.若直线外⼀点与直线上四点的连线段⻓分别为，，，，则点到直线的距离最接近（ ）．5.有理数在数轴上的位置如图所示，下列各数中，可能在到之间的是（ ）．6.找出以下图形变化的规律，则第个图形中⿊⾊正⽅形的数量是（ ）．A. B. C. D.⼆、填空题（本⼤题共10⼩题，每⼩题2分，共20分）7.⽐较⼤⼩： （选填“”、“”、“”）．8.地球与太阳的平均距离⼤约为，将⽤科学记数法表示为 ．9.已知关于的⽅程的解是，则的值为 ．10.若，则 ．11.若，则的余⻆的度数是 ．12.某种商品的进价为元，出售标价为元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则商店最低可打 折．13.观察下⾯的单项式：，，，，…根据你发现的规律，第个式⼦是 ．14.在时钟上，当分时，时针与分针的夹⻆度数为 ．15.如图，将⼀张⻓⽅形纸条折叠，若，则的度数为 ．16.如图，⻓⽅形中，，，为的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点．若点运动的时间为秒，则当时，的⾯积等于．三、解答题（本⼤题共10⼩题，共68分）17.（1）（2）计算：．．18.（1）（2）解⽅程．．．19.先化简，再求值：，其中，．20.（1）（2）（3）如图，每个⼩⽅格都是边⻓为个单位的⼩正⽅形，，，三点都是格点（每个⼩⽅格的顶点叫格点）．找出格点，并且满⾜线段所在直线与线段所在直线互相垂直．计算格点的⾯积为 ．标明格点，使得与⾯积相等．21.把⼀些图书分给某班学⽣阅读，如果每⼈分本，则剩余本；如果每⼈分本，则还缺本，请⽤⽅程的知识求出这个班级有多少学⽣．22.已知线段，点在直线上，线段，分别为线段和的中点，请画出示意图，求线段的⻓．23.（1）（2）如图，直线、相交于点，已知，把分成两个⻆，且．求的度数．若平分，问：是的⻆平分线吗？试说明理由．24.（1）（2）（3）在桌⾯上，有个完全相同的⼩正⽅体堆成的⼀个⼏何体，如图所示．左视图俯视图请画出这个⼏何体的左视图和俯视图．若将此⼏何体的表⾯喷上红漆（放在桌⾯上的⼀⾯不喷），则三个⾯是红⾊的⼩正⽅体有 个．若现在你的⼿头上还有⼀些相同的⼩正⽅体可添放在⼏何体上，要保持主视图和左视图不变，则最多可以添加 个⼩正⽅体．25.（1）某物流公司的甲、⼄两辆货⻋分别从相距千⽶的、两地同时出发相向⽽⾏，并以各⾃的速度匀速⾏驶，两⻋⾏驶⼩时时甲⻋先到达配货站地，此时两⻋相距千⽶，甲⻋在地⽤⼩时配货，然后按原速度开往地；两⻋⾏驶⼩时时⼄⻋也经过地，未停留继续开往地．（友情提醒：画出线段图帮助分析）甲⻋的速度是 千⽶⼩时，⼄⻋的速度是 千⽶⼩时，、两地的距离是 千⽶，、两地的距离是 千⽶．（2）这⼀天，⼄⻋出发多⻓时间，两⻋相距千⽶？26.（1）（2）（3）（4）（5）在数学的学习过程中，我们要不断地归纳，思考和迁移，这样才能提⾼我们解决问题的能⼒：规律发现：在学完《数轴》这节课后，⼩明的作业有⼏道⼩题，请你帮他把余下的空完成．点表示的数是，点表示的数是，则线段的中点表示的数为 ．点表示的数是，点表示的数是，则线段的中点表示的数为 ．发现：点表示的数是，点表示的数是，则线段的中点表示的数为 ．直接运⽤：将数轴按如图所示从某⼀点开始折出⼀个等边三⻆形，设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则的值为 ，若将从图中位置向右滚动，则数字对应的点将与的顶点 重合．类⽐迁移：如图，，，，若射线绕点每秒的速度顺时针旋转，射线绕点每秒的速度顺时针旋转，射线以每秒的速度逆时针旋转，三线同时旋转，当⼀条射线与射线重合时，三条射线同时停⽌运动，问：运动⼏秒时，其中⼀条射线是另外两条射线夹⻆的平分线？图（）图（）参考答案一、选择题1.B2.B3.D4.A5.C6.D二、填空题7.<8.1.5×109.-510.-211.57°34′12.713.-128a814.105°15.5616.10/3或6三、解答题17.（1）-2（2）518.（1）x=-4/3（2）x=-319.-1120.（1）（2）4.5（3）21.4522.4cm或2cm23.（1）30°（2）是24.（1）（2）2（3）425.（1）120；60；120；180（2）x=5/6或19/626.（1）4（2）6（3）（a+b）/2（4）-3；B（5）t=3/2或15/7或12/5。