下载文档原格式
椭圆的标准方程\(\frac{(x h)^2}{a^2} + \frac{(y k)^2}{b^2} = 1\)。
其中，\(h\)和\(k\)分别是椭圆的中心在x轴和y轴上的坐标，\(a\)和\(b\)分别是椭圆在x轴和y轴上的半轴长。
椭圆的标准方程是通过平移坐标系和缩放轴的长度得到的。
通过标准方程，我们可以轻松地确定椭圆的中心、半轴长和长短轴的方向。
接下来，我们将详细解释椭圆的标准方程及其相关概念。
首先，椭圆的中心坐标为\((h, k)\)，其中\(h\)和\(k\)分别代表椭圆中心在x轴和y轴上的坐标。
通过平移坐标系，我们可以将椭圆的中心移动到坐标原点，即\((0, 0)\)，这样椭圆的标准方程可以简化为：\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)。
接下来，我们来解释椭圆的半轴长\(a\)和\(b\)。
在椭圆上任意一点\((x, y)\)，其到两个焦点的距离之和等于常数，即\(2a\)。
因此，\(a\)代表椭圆在x轴上的半轴长，而\(b\)代表椭圆在y轴上的半轴长。
通常情况下，\(a > b\)，因此椭圆在x轴上的半轴长大于在y轴上的半轴长。
此外，椭圆的标准方程还能告诉我们椭圆的长短轴的方向。
如果\(a > b\)，则椭圆的长轴与x轴平行，短轴与y轴平行；如果\(a < b\)，则椭圆的长轴与y轴平行，短轴与x轴平行。
最后，我们来看一个例子。
假设椭圆的标准方程为\(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\)，我们可以通过比较标准方程和实际方程的形式，得出椭圆的中心坐标为\((0, 0)\)，长轴在x轴上，长轴的长度为\(2 \times 4 = 8\)，短轴在y轴上，短轴的长度为\(2 \times 3 = 6\)。
通过以上的解释，我们对椭圆的标准方程及其相关概念有了更深入的理解。
希望本文能够帮助读者更好地掌握椭圆的基本知识，加深对数学的理解和应用。
椭圆的标准公式椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
在直角坐标系中，椭圆的标准方程为：\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\]其中a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴，且a>b。
椭圆的标准方程是椭圆的一种基本形式，通过对标准方程的分析，我们可以得到椭圆的各种性质和特征。
接下来，我们将详细介绍椭圆的标准公式及其相关性质。
首先，我们来看一下椭圆标准方程中各个参数的含义。
在椭圆的标准方程中，a代表椭圆的长半轴，b代表椭圆的短半轴。
长半轴和短半轴的长度决定了椭圆的形状，长半轴越大，椭圆越“扁”，短半轴越小，椭圆越“尖”。
椭圆的标准方程中，分母中较大的那个数决定了椭圆的长半轴，而分母中较小的那个数决定了椭圆的短半轴。
因此，我们可以通过标准方程的形式直观地看出椭圆的长短轴方向，从而对椭圆的形状有一个直观的认识。
椭圆的标准方程还可以告诉我们椭圆的离心率。
椭圆的离心率e定义为焦点到准线的距离与焦点到椭圆上任意一点的距离之比。
而椭圆的标准方程中分母中较大的那个数与分母中较小的那个数之间的比值就是椭圆的离心率的平方。
因此，通过标准方程，我们可以直接得到椭圆的离心率，从而进一步了解椭圆的形状特征。
除此之外，椭圆的标准方程还可以告诉我们椭圆的焦点位置。
在椭圆的标准方程中，我们可以通过分母中的平方数来确定椭圆的焦点位置。
如果椭圆的标准方程为\[\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} = 1\]，那么椭圆的焦点位置就是\[(\pm\sqrt{a^2 b^2}, 0)\]。
通过这个公式，我们可以直接得到椭圆的焦点位置，从而进一步研究椭圆的性质。
综上所述，椭圆的标准方程是研究椭圆性质的重要工具，通过标准方程，我们可以直观地了解椭圆的形状特征，得到椭圆的离心率、焦点位置等重要信息。
因此，掌握椭圆的标准方程及其相关性质对于深入理解椭圆的性质具有重要意义。
高二椭圆知识点总结一、椭圆的基本概念1.1 椭圆的定义椭圆是平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
具体来说，设两点为F₁和F₂，距离之和为常数2a，那么椭圆E的定义：E = {P∈R² | |PF₁| + |PF₂| = 2a}其中，P为椭圆上的点，F₁和F₂为两个固定点，a为椭圆的半长轴。
1.2 椭圆的几何性质椭圆有如下几何性质：（1）椭圆的离心率：椭圆的形状由离心率e来表征。
（2）椭圆的焦点：椭圆的两个焦点分别为F₁和F₂。
（3）椭圆的半长轴和半短轴：半长轴为椭圆的长轴的一半，半短轴为椭圆的短轴的一半。
1.3 椭圆和圆的关系可以看到，当两个焦点重合时，椭圆变成了圆。
这也说明圆是椭圆的一种特殊情况，也就是说圆是椭圆的特例。
二、椭圆的方程和性质2.1 椭圆的标准方程椭圆的标准方程为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1其中，a为椭圆的半长轴，b为椭圆的半短轴。
2.2 椭圆的参数方程椭圆的参数方程为：x = a*cosθy = b*sinθ其中，θ为参数，a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。
2.3 椭圆的性质椭圆有许多重要的性质，如焦点、离心率、长轴、短轴等。
椭圆的性质对于解析几何的学习非常重要。
在实际应用中，我们可以利用这些性质进行问题的求解和分析。
2.4 椭圆的参数方程与标准方程的转化椭圆的参数方程与标准方程可以相互转化，通过参数方程与三角函数之间的关系，我们可以得到椭圆的标准方程。
三、椭圆的相关计算3.1 椭圆的面积椭圆的面积可以通过参数方程和积分来计算，最终可以得到椭圆的面积公式为：S = πab其中，a和b为椭圆的半长轴和半短轴。
3.2 椭圆的周长椭圆的周长也可以通过参数方程和积分来计算，最终可以得到椭圆的周长公式为：L = 4aE(e)其中，a为椭圆的半长轴，E(e)为椭圆的第二类椭圆积分，e为椭圆的离心率。
3.3 椭圆方程的化简对于一些复杂的椭圆方程，我们可以通过一些方法对椭圆方程进行化简，使得问题的求解变得更加简单。
椭圆的标准方程公式
椭圆的定义是平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹，这两个定点
称为焦点，常数称为椭圆的离心率。
椭圆还有一个重要的特点是长轴和短轴，它们分别是椭圆的两个焦点之间的距离和椭圆的两个端点之间的距离。
椭圆的标准方程公式可以通过这些特点来表示，一般形式为：
\[ \frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 \]
其中，\( (h, k) \) 是椭圆的中心坐标，\( a \) 和 \( b \) 分别是椭圆长轴和短轴的
长度。
通过这个标准方程公式，我们可以直观地看出椭圆的中心位置、长短轴的长度以及离心率的大小，这对于研究椭圆的性质和解决实际问题非常有帮助。
在实际应用中，椭圆的标准方程公式可以帮助我们解决很多问题。
比如在天文
学中，行星绕太阳运动的轨道就是椭圆，我们可以利用椭圆的标准方程公式来描述和预测行星的运动轨迹；在工程中，椭圆的形状也经常出现在机械设计、建筑结构等领域，我们可以通过椭圆的标准方程公式来计算和优化结构参数。
除了标准方程公式外，椭圆还有其他一些重要的性质和公式，比如椭圆的焦点、直径、离心率等。
这些性质和公式都可以通过标准方程来推导和解释，它们共同构成了椭圆这一重要几何图形的完整描述。
总之，椭圆的标准方程公式是描述椭圆形状的重要工具，通过这个公式我们可
以清晰地了解椭圆的性质和特点。
在实际应用中，椭圆的标准方程公式也具有重要的意义，它可以帮助我们解决很多实际问题。
因此，对椭圆的标准方程公式及其相关知识点进行深入学习和理解，对于提高数学水平和应用能力都是非常有益的。
希望本文对读者有所帮助，谢谢阅读！。
椭圆的标准方程怎么求首先，我们来回顾一下椭圆的定义。
设椭圆的两个焦点分别为F1和F2，两个焦点之间的距离为2c，椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b。
根据椭圆的定义，椭圆上任意一点P到两个焦点的距离之和等于常数2a，即|PF1| + |PF2| = 2a。
根据勾股定理，我们可以得到椭圆上任意一点P(x, y)到两个焦点的距离之和的平方等于两个焦点之间的距离的平方，即(x-c)² + y² + (x+c)² + y² = 4a²。
接下来，我们来推导椭圆的标准方程。
首先，我们将上式展开并化简，得到x ² 2cx + c² + y² + x² + 2cx + c² + y² = 4a²，即2x² + 2y² = 4a² 2c²。
由于椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b，根据椭圆的定义，我们知道a² = b² + c²。
将这个关系代入上式，得到x²/a² + y²/b² = 1。
因此，椭圆的标准方程为x²/a² + y²/b² = 1。
这就是椭圆的标准方程。
在标准方程中，a代表椭圆长轴的长度的一半，b代表椭圆短轴的长度的一半。
有了椭圆的标准方程，我们就可以通过标准方程来确定椭圆的性质和特征。
例如，我们可以通过标准方程来确定椭圆的长轴、短轴长度，焦距，离心率等重要参数。
同时，标准方程也可以帮助我们更好地理解椭圆的几何性质，从而更好地应用椭圆在数学和物理学中的各种问题中。
总之，椭圆的标准方程求法并不复杂，只需要根据椭圆的定义和勾股定理进行推导，就可以得到椭圆的标准方程。
标准方程可以帮助我们更好地理解和应用椭圆的性质，对于深入学习解析几何和应用数学都有着重要的意义。
高二数学讲义第六讲 椭圆的标准方程知识梳理1. 椭圆定义：（1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点.当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在;当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段；12220220022a c a c F F a c >>⇔⎫⎪=>⇔↔⎬⎪<<⇔⎭椭圆线段无意义，轨迹不存在 数形结合 （2）椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10<<e )的点的轨迹为椭圆，(椭圆的焦半径公式：|PF 1|=a+ex 0, |PF 2|=a-ex 0)。
（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）. 2.椭圆的方程与几何性质:○2、参数方程：cos sin x a y b φφ=⎧⎨=⎩),(00y x P 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的位置关系:当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆外; 当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆内; 当12222=+by a x 时,点P 在椭圆上;直线与椭圆相交0>∆⇔;直线与椭圆相切0=∆⇔;直线与椭圆相离0<∆⇔5.几个概念： ①通径：2b 2a ; ③点与椭圆的位置关系： ④22221x y a b+=上任意一点P 与两焦点21,F F 构成的三角形可称为椭圆的焦点三角形. ⑤弦长公式：；⑥椭圆在点P （x 0，y 0)处的切线方程：00221x x y ya b+=; ○7基本三角形：中心焦点短轴顶点这三点构成椭圆的基本三角形。
课 题：8．1椭圆及其标准方程（一）教学目的：1．理解椭圆的定义明确焦点、焦距的概念2．熟练掌握椭圆的标准方程，会根据所给的条件画出椭圆的草图并确定椭圆的标准方程 3．能由椭圆定义推导椭圆的方程4．启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力 教学重点：椭圆的定义和标准方程 教学难点：椭圆标准方程的推导 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：高中数学学科课程标准对本节课的教学要求达到“掌握”的层次，即在对有关概念有理性的认识，能用自己的语言进行叙述和解释，了解它们与其他知识联系的基础上，通过训练形成技能，并能作简单的应用根据数学学科的特点、学生身心发展的合理需要和社会的政治经济、科学技术的需求，本节课从知识、能力和情感三个层面确定了相应的教学目标椭圆的定义是一种发生性定义，是通过描述椭圆形成过程进行定义的 作为椭圆本质属性的揭示和椭圆方程建立的基石，理应作为本堂课的教学重点同时，椭圆的标准方程作为今后研究椭圆性质的根本依据，自然成为本节课的另一教学重点学生对“曲线与方程”的内在联系(数形结合思想的具体表现)仅在“圆的方程”一节中有过一次感性认识 但由于学生比较了解圆的性质，从“曲线与方程”的内在联系角度来看，学生并未真正有所感受 所以，椭圆定义和椭圆标准方程的联系成为了本堂课的教学难点圆锥曲线是平面解析几何研究的主要对象 圆锥曲线的有关知识不仅在生产、日常生活和科学技术中有着广泛的应用，而且是今后进一步数学的基础教科书以椭圆为学习圆锥曲线的开始和重点，并以之来介绍求圆锥曲线方程和利用方程讨论几何性质的一般方法，可见本节内容所处的重要地位通过本节学习，学生一方面认识到一般椭圆与圆的区别与联系，另一方面也为利用方程研究椭圆的几何性质以及为学生类比椭圆的研究过程和方法，学习双曲线、抛物线奠定了基础根据本节教材的重点、难点，课时拟作如下安排：第一课时，椭圆的定义及标准方程的推导；第二课时，椭圆标准方程的两种形式及运用待定系数法求椭圆的标准方程；第三课时，以椭圆为载体的动点轨迹方程的探求 教学过程：一、复习引入：1．1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起,海尔·波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行周期及轨道的的周长（说明椭圆在天文学和实际生产生活实践中的广泛应用，指出研究椭圆的重要性和必要性，从而导入本节课的主题）2.复习求轨迹方程的基本步骤：3．手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在 画图板上的21,F F 两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉 近，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆 分析：（1）轨迹上的点是怎么来的？（2）在这个运动过程中，什么是不变的？答：两个定点，绳长即不论运动到何处，绳长不变（即轨迹上与两个定点距离之和不变） 二、讲解新课： 1椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方： （1）两个定点---两点间距离确定（2）绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定（→线段）在同样的绳长下，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（→圆） 由此，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为下面离心率概念作铺垫) 2.根据定义推导椭圆标准方程：取过焦点21,F F 的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴 设),(y x P 为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是c 2（0>c ）.则)0,(),0,(21c F c F -，又设M 与21,F F 距离之和等于a 2(c a 22>)（常数）{}a PF PF P P 221=+=∴221)(y c x PF ++= 又，a y c x y c x 2)()(2222=+-+++∴，化简，得 )()(22222222c a a y a x c a -=+-，由定义c a 22>,022>-∴c a令222b c a =-∴代入，得 222222b a y a x b =+，两边同除22b a 得 12222=+by a x此即为椭圆的标准方程它所表示的椭圆的焦点在x 轴上，焦点是)0,()0,(21c F c F -，中心在坐标原点的椭圆方程 其中222b c a +=注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程如果椭圆的焦点在y 轴上（选取方式不同，调换y x ,轴）焦点则变成),0(),,0(21c F c F -,只要将方程12222=+by a x 中的y x ,调换，即可得12222=+bx a y ，也是椭圆的标准方程 理解：所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在12222=+by a x 与12222=+b x a y 这两个标准方程中，都有0>>b a 的要求，如方程),0,0(122n m n m n y m x ≠>>=+就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式1=+b y a x 类比，如12222=+by a x 中，由于b a >，所以在x 轴上的“截距”更大，因而焦点在x 轴上(即看22,y x 分母的大小)三、讲解范例：例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离 之和等于10；⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（23-,25） 解：（1）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为12222=+by a x )0(>>b a9454,582,10222222=-=-=∴==∴==c a b c a c a所以所求椭圆标准方程为192522=+y x ⑵ 因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为12222=+bx a y )0(>>b a 由椭圆的定义知，22)225()23(2++-=a ＋22)225()23(-+-10211023+=102= 10=∴a 又2=c6410222=-=-=∴c a b所以所求标准方程为161022=+x y 另法：∵ 42222-=-=a c a b∴可设所求方程142222=-+a x a y ，后将点（23-,25）的坐标代入可求出a ，从而求出椭圆方程点评：题（１）根据定义求若将焦点改为(0,-4)、（0，4）其结果如何；题（２）由学生的思考与练习，总结有两种求法：其一由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；其二是由已知焦距，求出长轴与短轴的关系，设出椭圆方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出方程 四、课堂练习：1 椭圆192522=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ） A.5 B.6 C.4 D.102.椭圆11692522=+y x 的焦点坐标是（ ） A.(±5，0) B.(0，±5) C.(0，±12) D.(±12，0)3.已知椭圆的方程为18222=+my x ，焦点在x 轴上，则其焦距为（ ） A.228m - B.2m -22C.282-mD.222-m 4.1,6==c a ,焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是5.方程1)42sin(322=+-παy x 表示椭圆，则α的取值范围是（ ） Ａ. 838παπ≤≤-Ｂ. k k k (838ππαππ+<<-∈Ｚ） Ｃ. 838παπ<<- Ｄ. k k k (83282ππαππ+<<-∈Ｚ） 参考答案：1.A2.C3.A4.1353622=+x y 5. Ｂ 五、小结 ：本节课学习了椭圆的定义及标准方程,应注意以下几点: ①椭圆的定义中, 022>>c a ；②椭圆的标准方程中,焦点的位置看x ,y 的分母大小来确定； ③a 、b 、c 的几何意义 六、课后作业：1．判断下列方程是否表上椭圆，若是，求出c b a ,,的值①12222=+y x ；②12422=+y x ；③12422=-y x ；④369422=+x y 答案：①表示园；②是椭圆2,2,2===c b a ；③不是椭圆（是双曲线）；④369422=+x y 可以表示为1322222=+y x ，是椭圆，5,2,3===c b a2 椭圆191622=+y x 的焦距是 ，焦点坐标为 ；若CD 为过左焦点1F 的弦，则CD F 2∆的周长为答案：164);0,7(),0,7(;72221=-=a F F c3． 方程1422=+ky x 的曲线是焦点在y 上的椭圆 ，求k 的取值范围 答案：40<<k4 化简方程：10)3()3(2222=-++++y x y x答案：1251622=+y x 5 椭圆13610022=+y x 上一点P 到焦点F 1的距离等于6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是 答案：46 动点P 到两定点1F (-4,0)，2F (4,0)的距离的和是8，则动点P 的轨迹为 _______ 答案：是线段21F F ，即)44(0≤≤-=x y 七、板书设计（略）八、课后记：写出适合下列条件的椭圆的标准方程:(口答)(1)a=4,b=3,焦点在x 轴；(2)a=5,c=2,焦点在y 轴上.（答案：19y 16x 22=+；121x 25y 22=+） (2) 已知三角形ΔABC 的一边∠长为6,周长为16,求顶点A 的轨迹方程解：以BC 边为x 轴，BC 线段的中垂线为y 轴建立直角坐标系，则A 点的轨迹是椭圆，其方程为：116y 25x 22=+ 若以BC 边为y 轴，BC 线段的中垂线为x 轴建立直角坐标系，则A 点的轨迹是椭圆，其方程为：125y 16x 22=+。
