当前位置：文档之家 › 椭圆及其标准方程1

椭圆及其标准方程1

  • 格式：doc
  • 大小：56.50 KB
  • 文档页数：5

下载文档原格式

  / 5

合集下载

课件1：3.1.1 椭圆及其标准方程

课件1：3.1.1 椭圆及其标准方程

且m≠n).
(3)找关系：依据已知条件,建立关于a,b,c或m,n的方程组. (4)得方程:解方程组,将a,b,c或m,n代入所设方程即为所求. 提醒:焦点所在坐标轴不同,其标准方程的形式也不同.
习练·破
已知方程
x2 m2
y2 m2
=1表示焦点在x轴上的椭圆，
则m的取值范围是 ( )
A.m>2或m<-1
设|PF1|=m，|PF2|=n，则m+n=6①，
由余弦定理得，cos∠PF1F2=
m2 16 n2 2m 4
1 2
,
即m2-n2-4m+16=0②，
由①②解得m= 5，n 7 ,
2
2
故△PF1F2的面积是
1 2
m
|
F1F2
|
sin
60
1 2
5 2
4
3 5 3. 22
【答案】D
类题·通 1.椭圆定义的应用 (1)实现椭圆上的点与两个焦点连线长度之间的相互转化. (2)将椭圆上的点与两焦点连线的和看成一个整体， 求解定值问题.
3.1.1 椭圆及其标准方程
必备知识·素养奠基
1.椭圆的定义 (1)文字语言：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于_常__数__ (大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. (2)集合语言：P={M||MF1|+|MF2|=2a，2a>|F1F2|}.
36 27
课堂检测·素养达标
1.方程 x 22 y2 x 22 y2 =10化简的结果是 ()
A. x2 y2 1 25 16
x2 C.
y2
1

数学第三章1.1椭圆及其标准方程课件(北师大版选修2-1)

数学第三章1.1椭圆及其标准方程课件(北师大版选修2-1)
25 9
(2)由于椭圆的焦点在 y 轴上， ∴设它的标准方程 为ya22＋xb22＝ 1(a>b>0)．
由于椭圆经过点 (0， 2)和 (1， 0)，
∴
a42＋b02＝ a02＋b12＝
11， ，∴ab22＝ ＝
4， 1.
故所求椭圆的标准 方程为y2＋ x2＝ 1. 4
【名师点评】 本例中的解法体现了求椭圆 方程的一般方法，通过“定位”与“定量” 两个过程可求得所求椭圆的方程．
93
法二：由已知,设椭圆的方程是 Ax2＋By2＝1
(A>0， B>0， A≠ B)，
故6A＋B＝1， ⇒ 3A＋2B＝1，
A＝1， 9
B＝ 1， 3
即所求的椭圆的标 准方程是x2 ＋y2 ＝ 1. 93
椭圆定义及标准方程的应用
已知椭例圆2的焦点是F1(－1，0)，F2(1，0)， P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等 差中项． (1)求椭圆的方程； (2)若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求 △PF1F2的面积．
第三章 圆锥曲线与方程
•§1 椭 圆 •1．1 椭圆及其标准方程
学习导航
学习目标
重点难点 重点：椭圆的定义及其标准方程． 难点：椭圆的标准方程的推导过程．
新知初探思维启动
1.椭圆的定义 (1)椭圆的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数 (大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆． 这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点 F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距．
25 16
4.若方程xa22－ya2＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆， 则 a 的取值范围是______． 解析：∵a2>0，xa22－ya2＝1 即xa22＋－y2a＝1， ∴－a>a2，－1<a<0.

椭圆及其标准方程

椭圆及其标准方程

A.5
B.8
C.3或5
D.3
x2 y 2 3.已知 F1、F2 是椭圆 25 49 1 的两个焦点，过 F 的直 1 线与椭圆交于A、B两点，则 ABF2 的周长是 （ ）
A. 8 6 B.20 C.24 D.28 4.方程 Ax 2 By 2 1 什么时候表示椭圆？什么时候表示 焦点在x轴上的椭圆?什么时候表示焦点在y轴上的椭圆?
椭圆实物图
椭 圆 相 框
椭圆双层茶几
椭圆形钻戒
动画演示
椭圆的画法
通过试验形成概念
椭圆定义：
平面内与两定点 F 1、F2 的距离的和等于 常数（大于 F1F2 ）的点的轨迹是椭圆。
王新敞
奎屯 新疆
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点
间的距离叫做椭圆的焦距.
2、椭圆的标准方程
椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1、F2的距离的和为2a 怎样建立平面直角坐标系呢？
【关系】
c2 a2 b2
b 2x 2 a2 y 2 a2b 2
a c
2
2
0
x y2 2 1(a b 0) 2 a b
y
x y 2 1 (a b 0) 2 a b
它表示： (1)椭圆的焦点在x轴上 (2)焦点是F1（-C，0）,F2（C，0） (3)C2= a2 - b2
F1
2
2
这里c 2 a 2 b2
y
F2 M O F1
焦点F1 (0,c ), F2 (0, c )
x
y x 2 1(a b 0) 2 a b
2
2
这里c a b
2 2
2
y

椭圆及其标准方程(26张PPT)高二上学期数学选择性必修第一册

椭圆及其标准方程(26张PPT)高二上学期数学选择性必修第一册
F1(0,-c)、F2(0,c)
椭圆的两种标准方程中，总是 a＞b＞0. 所以哪个项的分母大，焦点就在那个轴上；反过来，焦点在哪个轴上，相应的那个项的分母就越大.
b2 = a2 –c2
x
y
o
归纳总结，方程特征
(2a>2c)
极速练习
焦点坐标为：
焦距等于______
课堂整理——解决问题
P( x , y )
设 P( x，y )是椭圆上任意一点
设F1F=2c，则有F1(-c，0)、F2(c，0)
椭圆上的点满足PF1+PF2为定值，设为2a，则2a>2c
O
b2x2+a2y2=a2b2
探究：如何建立椭圆的方程？
数学求简求美意识
合作探究——推导方程
化简方法2
焦半径
合作探究——推导方程
情境导入
——生活中的椭圆
椭圆及其标准方程
明确目标——整体把握
椭圆及其标准方程
复习回顾，引入新知
圆是如何绘制的？如何精确的绘制椭圆呢?
椭圆及其标准方程
(1)取一条细绳(2)把它的两端固定在板上的两个定点F1、F2(3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形
请同学们以小组为单位利用手中的画板，绳子和笔尝试绘制椭圆
18
课时小结
课堂整理——解决问题
一、椭圆定义：
注明：①若2a=2c，则轨迹为线段； ②若2a<2c，则点的轨迹不存在 二、椭圆的标准方程 焦点在x轴上时，
焦点在y轴上时，
三、椭圆方程的求法：定义法、待定系数法
作业布置
一.课本P52、1、2、4
椭圆及其标准方程
教材版本：北师大版 学 科：数学 年 级：高二年级 学 期：上

3.1.1椭圆及其标准方程

3.1.1椭圆及其标准方程

的值为（ ）
A．1
B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】因为椭圆 x2
9
y2
1 ，所以 a 3 ，设椭圆的另一个焦点为 F2 ，则
AF2
2a 2 6 2 4 ，
而 OB 是△AF1F2 的中位线，所以 OB
AF2 2
2．
故选：B．
2．已知椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) ，M
4．椭圆 x2 y2 1的焦距为（
）
10 2
A． 4 2
B． 4 3
C． 2 2
D． 2 3
【答案】A
【解析】在椭圆 x2 y2 1 中， a 10 ，b 10 2
因此，椭圆 x2 y2 1的焦距为 2c 4 2 . 10 2
2 ，则c
a2 b2 2 2 ，
故选：A.
5．已知椭圆 x2 y2 1 的焦点在 x 轴上，焦距为 4，则 m 等于（ ）
又焦距为 4， 2m 12 2 ，得 m 8 ． 故选： A ．
6．设
F1
，F2
是椭圆
x2 16
y2 4
1 的左右焦点，过 F1 的直线l
交椭圆于 A
，B 两点，则 AF2
BF2
的最大值为（ ）
A．14
B．13
C．12
D．10
【答案】A
【解析】因为 AF1 AF2 BF1 BF2 4a 16，所以 AB AF2 BF2 16 ，
(2)注意事项:将定义中的常数记为 2a,则 当 2a> |F1F2|时，点的轨迹是椭圆. 当 2a=|F1F2|时，点的轨迹是线段 F1F2 当 2a<|F1F2|时,点的轨迹不存在.

椭圆及其标准方程1

椭圆及其标准方程1
大于|F1F2| 这两个定点(F1，F2 )叫做椭圆的焦点 两焦点的距离叫做椭圆的焦距
| MF1 | | MF2 || F1F2 |
• F 1 • F 2
M
M的轨迹是线段F1F2 无轨迹
| MF1 | | MF2 || F1F2 | | MF1 | | MF2 || F1F2 |
M的轨迹是椭圆
变式题组二
1.如果方程x2 +ky 2 =1表示焦点在y轴上的椭圆， 那么实数k的取值范围是（ ） (A)（0，+¥ ） (B)（0，2） (C)（1，+¥ ） (D)（0，1） x2 y 2 2.椭圆 + =1的焦距是2，则实数m的值是（ m 4 (A)5 (B)8 (C)3或5 (D)3 x2 y 2 3.已知F1、F2是椭圆 + = 1的两个焦点，过 25 49 F1的直线与椭圆交于A、B两点，则D ABF2的 周长为（ (A)8 6 ） (B)20 (C)24 (D)28 ）
§2.1
椭圆及其标准方程（一）
小实验：取一条定长的细绳 实验1：把它的两端都固定在同一点处，套上笔，拉紧绳子， 移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是什么？ 圆
定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆.
定点 —— 圆心；定长 —— 半径. 标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2
实验2：现把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在两个点上， 套上笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹又是什么？动手 看看？
F1
2. 椭圆的标准方程 y
F1 O F2
y
F1
x
O F2
x
x2 y2 2 1 2 a b
y2 x2 2 1 2 a b

椭圆及其标准方程(一)1

椭圆及其标准方程(一)1

b a c 5 4 9
2 2 2 2 2
x y 1 ∴ 所求的椭圆的标准方程为 25 9
2
2
教材例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（2）两个焦点的坐标分别是（0，－2）、（0，2）， 并且椭圆经过点 3 , 5
2 2
解：∵ 椭圆的焦点在y轴上，
教材例2 ：
2c=6， 2a=16-6=10，c=3，a=5, b a c 5 3 16. 但当点A在直线BC上，即y=0时，A、B、C三点不能 构成三角形，所以点 A的轨迹方程是: 2 2
2 2 2 2 2
x y 1. ( y 0). 25 16
教材例3: 如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，
所以 ( x c) 2 y 2 2a ( x c) 2 y 2 两边平方得 : ( x c) 2 y 2 4a 2 4a ( x c) 2 y 2 ( x c) 2 y 2 即 : a 2 cx a ( x c) 2 y 2
2 2
y x ∴ 所求的椭圆的标准方程为 1 10 6
b a c 10 4 6 2 2
2
已知B、C是两个定点，|BC|=6， 且△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程。 分析：在解析几何里，求符合某种条件的点的轨 迹方程，要建立适当的坐标系。为选择适当的坐标系， 常常需要画出草图。 经画图分析，点A的轨迹是椭圆。 Y 解：建立如图坐标系，使 A x轴经过点B、C，原点O与 BC的中点重合。 O C X |BC|=6 ，|AB|+|AC|=16－6=10， B 所以点A的轨迹是椭圆，
教材例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：

椭圆标准方程1-PPT课件

椭圆标准方程1-PPT课件

F2（0，c）
[3]c2= a2 - b2
学贵有疑，小疑则小进，大疑则大 进 8
比较：
x y 2 1( a b 0 ) 2 a b
y x 1 ( a b 0 ) 2 2 a b
焦点在分母大 学贵有疑，小疑则小进，大疑则大 的那个轴上 进
2 2
y
M
2
2
F1
0 y F2
F2
2 10
a 10
2 2
Hale Waihona Puke 12又∵c=2∴b2=a2-c2=10-4=6
y x 1 学贵有疑，小疑则小进，大疑则大 故所求椭圆的标准方程为： 10 6 进
求椭圆标准方程的解题步骤：
（1）确定焦点的位置； （2）设出椭圆的标准方程；
（3）用待定系数法确定a、b 的值，写出椭圆的标准方程.
x y 1 故所求椭圆的标准方程为： 学贵有疑，小疑则小进，大疑则大 25 9 进
2
2
11
练习[二]
[五]定义应用
写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
（2）两个焦点的坐标分别是（0，-2）、（0，2）， 并且椭圆经过点（-1.5，2.5）. y2 x2 （2）解：依题意，可设椭圆方程为： 2 2 1 (ab0 ) a b 3 3 2 5 2 2 5 2 2 a ( ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) 2 2 2 2
2
2
2
2
⑵
⑶
练习[二]
[五]定义应用
写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0）， 椭圆上一点P到两焦点的距离的和等于10；
（2）两个焦点的坐标分别是（0，-2）、（0，2）， 并且椭圆经过点（-1.5，2.5）. 2 x y2 （1）解：依题意，可设椭圆方程为： 2 2 1 (ab0 ) a b ∵2a=10,∴a=5,又∵c=4 ∴b2=a2-c2=52-42=9

椭圆的标准方程1

椭圆的标准方程1
F1 0
y M
所以有 MF1+ MF2=2a
F2
x
∴ ∴
4
( x c ) 2 y 2 2a ( x c ) 2 y 2
a cx a ( x c ) y
2 2
2
a 2a 2 2 2 2 2

F1
F2

3
[1] 建系: 以过焦点F1，F2的直线为x轴，线段F 1 F 2 的
垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则
F 1( c ,0 ), F 2( c ,0 )
[2] 设点: 设 M(x,y) 为椭圆上的任意一点
[3] 找关系: M与F1,F2 距离 之和 等于2a (2a>2c), [4] 代坐标: ( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 2a [5] 化简:
2 2 2
例1： 求适合下列条件的椭圆标准方 程：
(1)a=4，b=1，焦点在 x 轴上； (2)a=4，c=2，焦点在 y 轴上；
说出适合下列条件的椭圆标准方程
（1）a
5, c 3 ，焦点在x 轴上；
2 y x 1 25 16 2
（2）b 1, c 15 ，焦点在y 轴上。
2
2
2
∴
(a c ) x a y a (a c )
2 2 2 2 2 2 2
2 2
a c 0 a c 0 令 a 2 c 2 b2 , b 0
∴ b 2 x 2 a 2 y 2 a 2b 2
则，椭圆的方程为：
x y 1 2 2 a b
2
a2-c2=b2 分母哪个大，焦点就在哪个轴上
作业： P96 习题8.1 1、2 、3

椭圆及其标准方程(第一课时)

椭圆及其标准方程(第一课时)
x y 1 (2). a=5，c=3，焦点在y轴上; 16 25
2 2
2
(3). 点P是椭圆上的一点，且满足：
PF1 6, PF2 14, F1F2 16.
x y 1, 100 36
2 2
x y 1 36 100
2
2
范例分析
x y 例题3. 过椭圆 100 36 1, 的右焦点F2作垂
疑难破解 问题1. 曲线的方程 平方并整理得：
c ( x c) y a x a
2 2
2 2 2
a
2
c
2
x
2
2
a y a a c
2 2

x y 2 2 1 2 a a c
2
疑难破解 问题2. 关键字母的几何意义 a 表示线段 PF1 . c 表示线段 OF1 .
2 2 2 2
③
疑难破解 问题1. 求曲线方程的方法
( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 2a ① c 2 2 2 2 ( x c) y ( x c) y 2 x ③ a
①+③得：
c ( x c) y a x a
2 2
例题1. 计算题 2 2 x y 1 的焦点在 y 轴上， ③ 椭圆 m 1 3 m
范例分析
则m的取值范围是 1<m<2
m 1 0 提示：由题意得 3 m 0 3 m m 1
.
范例分析
例题2. 求椭圆的标准方程：
x 2 y 1 (1). a=4，b=1，焦点在x轴上; 16
② 焦点在x轴上：
2
2
x F1

3.1.1椭圆及其标准方程

3.1.1椭圆及其标准方程

△ F1PF2 称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时 要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理、勾 股定理等知识．对于求焦点三角形的面积，若已知∠F1PF2， 1 可利用 S＝2|PF1|· |PF2|sin∠F1PF2 求面积，这时可把|PF1|· |PF2| 看成一个整体，运用公式 |PF1|2＋|PF2|2＝4a2－2|PF1||PF2|及余 弦定理求出|PF1|· |PF2|，而无需单独求出|PF1|和|PF2|，这样可以 减少运算量．
x2 y2 y2 x2 ∴椭圆的标准方程为 当焦点在 x 轴上时，设椭圆的标准方程为 x2 y2 ＋ ＝1(a＞b＞0)． a2 b2
2 2 － 2 3 2 ＋ 2 ＝1， b a 依题意有 2 － 2 3 1 ＋ 2＝1， 2 b a 2 a ＝15， 解得 2 b ＝5.
即|PF2|＝4－|PF1|. 6 将②代入①解得|PF1|＝5，
②
1 1 6 3 3 3 ∴S△ PF1F2＝2|PF1|· |F1F2|· sin 120° ＝2× 2× 2 ＝ 5 . 5× 3 因此所求△ PF1F2 的面积是5 3.
[一点通]
椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点 F1、F2 构成的
[一点通] 求椭圆标准方程的一般步骤为：
[例 2]
如图所示， 已知椭圆的方程
x2 y2 为 4 ＋ 3 ＝1，若点 P 在椭圆上，F1，F2 为椭圆的两个焦点，且∠PF1F2＝120° ， 求△ PF1F2 的面积． [思路点拨] 因为∠PF1F2＝120°，|F1F2|＝2c，所以要
求S△PF1F2，只要求|PF1|即可．可由椭圆的定义|PF1|＋|PF2| ＝2a，并结合余弦定理求解．

高中数学教案——椭圆及其标准方程 第一课时

高中数学教案——椭圆及其标准方程 第一课时

课题：8．1椭圆及其标准方程（一）教学目的：1．理解椭圆的定义明确焦点、焦距的概念2．熟练掌握椭圆的标准方程，会根据所给的条件画出椭圆的草图并确定椭圆的标准方程3．能由椭圆定义推导椭圆的方程4．启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力教学重点：椭圆的定义和标准方程教学难点：椭圆标准方程的推导授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：高中数学学科课程标准对本节课的教学要求达到“掌握”的层次，即在对有关概念有理性的认识，能用自己的语言进行叙述和解释，了解它们与其他知识联系的基础上，通过训练形成技能，并能作简单的应用根据数学学科的特点、学生身心发展的合理需要和社会的政治经济、科学技术的需求，本节课从知识、能力和情感三个层面确定了相应的教学目标椭圆的定义是一种发生性定义，是通过描述椭圆形成过程进行定义的 作为椭圆本质属性的揭示和椭圆方程建立的基石，理应作为本堂课的教学重点 同时，椭圆的标准方程作为今后研究椭圆性质的根本依据，自然成为本节课的另一教学重点学生对“曲线与方程”的内在联系(数形结合思想的具体表现)仅在“圆的方程”一节中有过一次感性认识 但由于学生比较了解圆的性质，从“曲线与方程”的内在联系角度来看，学生并未真正有所感受 所以，椭圆定义和椭圆标准方程的联系成为了本堂课的教学难点圆锥曲线的有关知识不仅在生产、日常生活和科学技术中有着广泛的应用，而且是今后进一步数学的基础 教科书以椭圆为学习圆锥曲线的开始和重点，并以之来介绍求圆锥曲线方程和利用方程讨论几何性质的一般方法，可见本节内容所处的重要地位通过本节学习，学生一方面认识到一般椭圆与圆的区别与联系，另一方面也为利用方程研究椭圆的几何性质以及为学生类比椭圆的研究过程和方法，学习双曲线、抛物线奠定了基础 根据本节教材的重点、难点，课时拟作如下安排：第一课时，椭圆的定义及标准方程的推导；第二课时，椭圆标准方程的两种形式及运用待定系数法求椭圆的标准方程；第三课时，以椭圆为载体的动点轨迹方程的探求 教学过程：一、复习引入：1．1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起,海尔·波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空 1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行周期及轨道的的周长（说明椭圆在天文学和实际生产生活实践中的广泛应用，指出研究椭圆的重要性和必要性，从而导入本节课的主题） 2.复习求轨迹方程的基本步骤：3．手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的21,F F 两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉 近，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆分析：（1）轨迹上的点是怎么来的？（2）在这个运动过程中，什么是不变的？答：两个定点，绳长即不论运动到何处，绳长不变（即轨迹上与两个定点距离之和不变） 二、讲解新课： 1 椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方： （1）两个定点---两点间距离确定（2）绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定较扁（→线段）在同样的绳长下，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（→圆） 由此，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为下面离心率概念作铺垫) 2.根据定义推导椭圆标准方程：取过焦点21,F F 的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴设),(y x P 为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是c 2（0>c ）.则)0,(),0,(21c F c F -，又设M 与21,F F 距离之和等于a 2(c a 22>)（常数）{}a PF PF P P 221=+=∴221)(y c x PF ++= 又，a y c x y c x 2)()(2222=+-+++∴，化简，得 )()(22222222c a a y a x c a -=+-，由定义c a 22>,022>-∴c a令222b c a =-∴代入，得 222222b a y a x b =+，两边同除22b a 得 12222=+by a x此即为椭圆的标准方程它所表示的椭圆的焦点在x 轴上，焦点是)0,()0,(21c F c F -，中心在坐标原点的椭圆方程 其中22b c a +=注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程如果椭圆的焦点在y 轴上（选取方式不同，调换y x ,轴）焦点则变成),0(),,0(21c F c F -,只要将方程12222=+by a x 中的y x ,调换，即可得12222=+bx a y ，也是椭圆的标准方程 理解：所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在12222=+by a x 与12222=+b x a y 这两个标准方程中，都有0>>b a 的要求，如方程),0,0(122n m n m n y m x ≠>>=+就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式1=+b y a x 类比，如12222=+by a x 中，由于b a >，所以在x 轴上的“截距”更大，因而焦点在x 轴上(即看22,y x 分母的大小)三、讲解范例：例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离 之和等于10；⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（23-,25） 解：（1）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为12222=+by a x )0(>>b a9454,582,10222222=-=-=∴==∴==c a b c a c a所以所求椭圆标准方程为92522=+y x ⑵ 因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为12222=+b x a y )0(>>b a 由椭圆的定义知，22)225()23(2++-=a ＋22)225()23(-+-10211023+=102= 10=∴a 又2=c6410222=-=-=∴c a b所以所求标准方程为161022=+x y 另法：∵ 42222-=-=a c a b∴可设所求方程142222=-+a x a y ，后将点（23-,25）的坐标代入可求出a ，从而求出椭圆方程点评：题（１）根据定义求 若将焦点改为(0,-4)、（0，4）其结果如何；题（２）由学生的思考与练习，总结有两种求法：其一由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；其二是由已知焦距，求出长轴与短轴的关系，设出椭圆方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出方程 四、课堂练习：1 椭圆192522=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ）A.5B.6C.4D.102.椭圆11692522=+y x 的焦点坐标是（ ） A.(±5，0) B.(0，±5)C.(0，±12)D.(±12，0)3.已知椭圆的方程为18222=+my x ，焦点在x 轴上，则其焦距为（ ） A.228m - B.2m -22 C.282-m D.222-m4.1,6==c a ,焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是5.方程1)42sin(322=+-παy x 表示椭圆，则α的取值范围是（ ） .838παπ≤≤-Ｂ.k k k (838ππαππ+<<-∈Ｚ） Ｃ.838παπ<<- Ｄ. k k k (83282ππαππ+<<-∈Ｚ） 参考答案： 1.A2.C3.A4.1353622=+x y 5.Ｂ五、小结 ：本节课学习了椭圆的定义及标准方程,应注意以下几点: ①椭圆的定义中, 022>>c a ；②椭圆的标准方程中,焦点的位置看x ,y 的分母大小来确定； ③a 、b 、c 的几何意义 六、课后作业：1．判断下列方程是否表上椭圆，若是，求出c b a ,,的值①12222=+y x ；②12422=+y x ；③12422=-y x ；④9422=+x y 答案：①表示园；②是椭圆2,2,2===c b a ；③不是椭圆（是双曲线）；④369422=+x y 可以表示为1322222=+y x ，是椭圆，,2,3===c b a 2 椭圆191622=+y x 的焦距是 ，焦点坐标为 ；若CD 为过左焦点1F 的弦，则CD F 2∆的周长为答案：4);0,7(),0,7(;72221=-=a F F c3． 方程1422=+ky x 的曲线是焦点在y 上的椭圆 ，求k 的取值范围答案：0<<k4 化简方程：)3()3(2222=-++++y x y x答案：1251622=+y x 5 椭圆13610022=+y x 上一点P 到焦点F 1的距离等于6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是 答案：46 动点P 到两定点1F (-4,0)，2F (4,0)的距离的和是8，则动点P 的轨迹为 _______ 答案：是线段21F F ，即)44(0≤≤-=x y七、板书设计（略）八、课后记：写出适合下列条件的椭圆的标准方程:(口答)(1)a=4,b=3,焦点在x 轴；(2)a=5,c=2,焦点在y 轴上.（答案：19y 16x 22=+；121x 25y 22=+）(2) 已知三角形ΔABC 的一边∠长为6,周长为16,求顶点A 的轨迹方程解：以BC 边为x 轴，BC 线段的中垂线为y 轴建立直角坐标系，则A 点的轨迹是椭圆，其方程为：116y 25x 22=+ 若以BC 边为y 轴，BC 线段的中垂线为x 轴建立直角坐标系，则A 点的轨迹是椭圆，其方程为：125y 16x 22=+。

椭圆及其标准方程(1)

椭圆及其标准方程(1)
广东省阳春市第一中学
椭圆及其标准方程
广东省阳春市第一中学
学习新课
1. 椭圆的定义： 把平面内与两个定点F1、F2的距离 的和等于常数(大于|F1 F2|)的点的轨迹叫 作椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
|MF1|+ |MF2|＞|F1F2| |MF1|+ |MF2|=|F1F2| 椭圆 线段
|MF1|＋|MF2|＝2a (a>c)
广东省阳春市第一中学
学习新课
y M
b
F1 O
a c F2 x
|MF1|＋|MF2|＝2a(a>c)
广东省阳春市第一中学
学习新课
椭圆的标准方程： x
y 2 1 (a＞b＞0). 2 a b
2
2
它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点
是F1(c, 0)、F2(－c, 0)，且c2＝a2－b2.
广东省阳春市第一中学
2005年10月12日上午9时，“神舟六号”载 人飞船顺利升空，实现多人多天飞行，标志着我 国航天事业又上了一个新台阶，请问： “神舟 六号”载人飞船的运行轨道是什么？
神舟六号在进入太空后，先以远地点347公里、近地 点200公里的椭圆轨道运行，后经过变轨调整为距地343公 里的圆形轨道.
广东省阳春市第一中学
学习新课
如果使点F1、F2在y轴上，点F1、F2 的坐标是F1(0,－c)、F2(0, c)， y
则椭圆方程为：
y x 2 1 (a＞b＞0). 2 a b
问:任意一个椭圆的标准方程, 该如何判断它的焦点位置, 求出焦点坐标?
2
2
F2
O
F1
x
广东省阳春市第一中学

椭圆及其标准方程(1)

椭圆及其标准方程(1)
A． B．
C． D．
3．如果椭圆 上一点 到焦点 的距离等于6，那么点 到另一个焦点 的距离是（）．
A．4 B．14 C．12 D．8
4．椭圆两焦点间的距离为 ，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于 和 ，则椭圆的标准方程
是．
5．如果点 在运动过程中，总满足关系式 ，点 的轨迹是，它的方程是．
课后作业
A． B．6 C． D．12
练2．方程 表示焦点在 轴上的椭圆，求实数 的范围．
三、总结提升
※学习小结
1.椭圆的定义：
2.椭圆的标准方程：
※知识拓展
1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起,海尔·波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空 1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象 天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行周期及轨道的的周长．
思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？
经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的保持不变，即笔尖等于常数．
新知１：我们把平面内与两个定点 的距离之和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
反思：若将常数记为 ，为什么 ？
当 时，其轨迹为；
⑵ ，焦点在 轴上；
⑶ ．
变式：方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的范围．
小结：椭圆标准方程中： ； ．
例2已知椭圆两个焦点的坐标分别是 ， ，并且经过点 ，求它的标准方程．
变式：椭圆过点 ， ， ，求它的标准方程．

椭圆的定义和标准方程

椭圆的定义和标准方程
2 2
1. 已知椭圆经过点P(3,0), 且a 3b, 求椭圆的标准方程。
变式训练
(2)当椭圆的焦点在y轴上时 y x 设方程为 2 2 1(a b 0) a b 9 1 y2 x2 2 则 b 得a 9, b 3, 1 81 9 a 3b x2 y2 x2 综合(1)( 2)得椭圆的标准方程为 y 2 1或 1 9 81 9
2
2
2
例 1 已知动点 P 到点 F1 (0, 2) , F2 (0, 2) 的距离之 和为 12,求动点 P 的轨迹方程.
解:⑴由椭圆定义可知,动点 P 的轨迹是椭圆, 且焦点是 F1 (0, 2) , F2 (0, 2) ,∴ c 2 . ∵ PF1 PF2 12 ,∴ 2a 12 ,∴ a 6 , ∴ b2 a 2 c 2 36 4 32 x2 y2 1. ∴所求的轨迹方程为 32 36
例 2 已知 B、C 是两个定点， BC 6 ，且△ABC 的周长 等于 16，求顶点 A 的轨迹方程.
解:如图,以直线 BC 为 x 轴,线段 BC 的中点为原点,建立 平面直角坐标系,则 B(3,0), C (3,0) .
设顶点 A 的坐标为 ( x , y )
∵ AB AC BC 16 , ∴ BA CA 10 . x2 y2 ∴由椭圆定义及标准方程知识可知 1 25 16 又∵A、B、C 三点不共线，∴ y 0 .
2
o
M
x
F1

b a o c F2 x

F1
y2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
其中F1(-c,0)，F2(c,0)
b2=a2— c2 其中F1(0,-c)，F2(0,c) 共同点：椭圆的标准方程表示焦点在坐标轴上，中心 在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.

椭圆的定义及标准方程1

椭圆的定义及标准方程1

x2 y 2 已知经过椭圆 1 的右焦点F 2 25 16 作垂直于x轴的直线AB，交椭圆于A，B 两点， 1是椭圆的左焦点。 F （1）求AF 1B的周长； （2）如果AB不垂直于x轴，AF 1B的周长 有变化吗？为什么？
y A
F1 o F2
B
x
例1 已知△ABC的一边BC固定，长为6，周长为16， 求顶点A的轨迹方程。
例3 设点A，B的坐标分别为（-5，0），（5，0）. 直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是 4 ，求 9 点M的轨迹方程.
y
M
A
o
B x
练习1 平面内有两个定点的距离是8，写出到 这两个定点的距离的和是10的点的轨迹方程。
（1）判断：1）和是常数；2)常数大于两个定点之 间的距离。故点的轨迹是椭圆。 （2）取过两个定点的直线做 x 轴，它的线段垂 直平分线做 y 轴，建立直角坐标系，从而保证 方程是标准方程。 （3）根据已知求出a、c，再推出a、b
则a
m2 1 b m c 1 焦点坐标 (0, 1),(0,1)
已知椭圆的两个焦点的坐标分别是
5 3 （-2，0）和（2，0），并且经过 ( , ) ， 2 2
求出椭圆的标准方程。
x y 答案 1 10 6
2
2
练习3
写出适合下列条件的椭圆的标准方程 2 x 2 y 1 (1)a 4, b 1, 焦点在x轴上； 16 x2 y2 (2)a 4, b 15, 焦点在y轴上； 15 16 1 2 2 2 2 x y x y (3)a b 10, c 2 5. 36 16 1 或 16 36 1
x0 2 x, y0 y
P( x0 , y0 )在圆x 2 y2 4上
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

椭圆及其标准方程1
教学目标
1．掌握椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；
2．能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握使用待定系数法求椭圆的标准方程；
3．通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察水平和探索水平；
4．通过椭圆的标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数形结合和等价转化的思想方法，提升使用坐标法解决几何问题的水平；
5．通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识．
教学建议
教材分析
1．知识结构
2．重点难点分析
重点是椭圆的定义及椭圆标准方程的两种形式．难点是椭圆标准方程的建立和推导．关键是掌握建立坐标系与根式化简的方法．椭圆及其标准方程这个节教材整体来看是两大块内容：一是椭圆的定义；二是椭圆的标准方程．椭圆是圆锥曲线这个章所要研究的三种圆锥曲线中首先遇到的，所以教材把对椭圆的研究放在了重点，在双曲线和抛物线的教学中巩固和应用．先讲椭圆也与第七章的圆的方程衔接自然．学好椭圆对于学生学好圆锥曲线是非常重要的．
（1）对于椭圆的定义的理解，要抓住椭圆上的点所要满足的条件，即椭圆上点的几何性质，能够对比圆的定义来理解．
另外要注意到定义中对“常数”的限定即常数要大于．这样规定是为了避免出现两种特殊情况，即：“当常数等于时轨迹是一条线段；当常数小于时无轨迹”．这样有利于集中精力进一步研究椭圆的标准方程和几何性质．但讲解椭圆的定义时注意不要忽略这两种特殊情况，以保证对椭圆定义的准确性．
（2）根据椭圆的定义求标准方程，应注意下面几点：
①曲线的方程依赖于坐标系，建立适当的坐标系，是求曲线方程首先应该注意的地方．应让学生观察椭圆的图形或根据椭圆的定义实行推理，发现椭圆有两条互相垂直的对称轴，以这两条对称轴作为坐标系的两轴，不但能够使方程的推导过程变得简单，而且也能够使最终得出的方程形式整齐和简洁．
②设椭圆的焦距为，椭圆上任一点到两个焦点的距离为，令，这些措施，都是为了简化推导过程和最后得到的方程形式整齐、简洁，要让学生认真领会．
③在方程的推导过程中遇到了无理方程的化简，这既是我们今后在求轨迹方程时经常遇到的问题，又是学生的难点．要注意说明这类方程的化简方法：①方程中只有一个根式时，需将它单独留在方程的一侧，把其他项移至另一侧；②方程中有两个根式时，需将它们分别放在方程的两侧，并使其中一侧只有一项．
④教科书上对椭圆标准方程的推导，实际上只给出了“椭圆上点的坐标都适合方程“而没有证明，”方程
的解为坐标的点都在椭圆上”．这实际上是方程的同解变形问题，难度较大，对同学们不作要求．
（3）两种标准方程的椭圆异同点
中心在原点、焦点分别在轴上，轴上的椭圆标准方程分别为：，．它们的相同点是：形状相同、大小相同，都有，．不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同．
椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大；
椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大．
另外，形如中，只要，，同号，就是椭圆方程，它能够化为．
（4）教科书上通过例3介绍了另一种求轨迹方程的常用方法——中间变量法．例3有三个作用：第一是教给学生利用中间变量求点的轨迹的方法；第二是向学生说明，如果求得的点的轨迹的方程形式与椭圆的标准方程相同，那么这个轨迹是椭圆；第三是使学生知道，一个圆按某一个方向作伸缩变换能够得到椭圆．
教法建议
（1）使学生了解圆锥曲线在生产和科学技术中的应用，激发学生的学习兴趣．
为激发学生学习圆锥曲线的兴趣，体会圆锥曲线知识在实际生活中的作用，可由实际问题引入，从中提出圆锥曲线要研究的问题，使学生对所要研究的内容心中有数，如书中所给的例子，还能够启发学生寻找身边与圆锥曲线相关的例子。

例如，我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的轨道——椭圆上运行，太阳系的其他行星也如此，太阳则位于椭圆的一个焦点上．如果这些行星运动的速度增大到某种水准，它们就会沿抛物线或双曲线运行．人类发射人造地球卫星或人造行星就要遵循这个原理．相对于一个物体，按万有引力定律受它吸引的另一个物体的运动，不可能有任何其他的轨道．因而，圆锥曲线在这种意义上讲，它构成了我们宇宙的基本形式，另外，工厂通气塔的外形线、探照灯反光镜的轴截面曲线，都和圆锥曲线相关，圆锥曲线在实际生活中的价值是极大的．
（2）安排学生课下切割圆锥形的事物，使学生了解圆锥曲线名称的来历
为了让学生了解圆锥曲线名称的来历，但为了节约课堂时间，教学时应安排让学生课后亲自动手切割圆锥形的萝卜、胶泥等，以加深对圆锥曲线的理解．
（3）对椭圆的定义的引入，要注意借助于直观、形象的模型或教具，让学生从感性理解入手，逐步上升到理性理解，形成准确的概念。

教师可从太阳、地球、人造地球卫星的运行轨道，谈到圆萝卜的切片、阳光下圆盘在地面上的影子等等，让学生先对椭圆有一个直观的了解。

教师可事先准备好一根细线及两根钉子，在给出椭圆在数学上的严格定义之前，教师先在黑板上取两个定点（两定点之间的距离小于细线的长度），再让两名学生按教师的要求在黑板上画一个椭圆。

画好后，教师再在黑板上取两个定点（两定点之间的距离大于细线的长度），然后再请刚才两名学生按同样的要求作图。

学生通过观察两次作图的过程，总结出经验和教训，教师因势利导，让学生自己得出椭圆的严格的定义。

这样，学生对这个定义就会有深刻的了解。

（4）将提出的问题分解为若干个子问题，借助多媒体课件来体现椭圆的定义的实质
在教学时，能够设置几个问题，让学生动手动脑，独立思考，自主探索，使学生根据提出的问题，利用多媒体，通过观察、实验、分析去寻找解决问题的途径。

在椭圆的定义的教学过程中，能够提出“到两定点的距离的和为定值的点的轨迹一定是椭圆吗”，让学生通过课件演示“改变焦距或定值”，观察轨迹的形状，从而挖掘出定义的内涵，这样就使得学生对椭圆的定义留下了深刻的印象。

（5）注意椭圆的定义与椭圆的标准方程的联系
在讲解椭圆的定义时，就要启发学生注意椭圆的图形特征，一般学生比较容易发现椭圆的对称性，这样在建立坐标系时，学生就比较容易选择适当的坐标系了，即使焦点在坐标轴上，对称中心是原点（此时不要过多的研究几何性质）．虽然这时学生并不一定能说明白为什么这样选择坐标系，但在有了一定感性理解的基础上再讲解选择适当坐标系的一般原则，学生就较为容易接受，也向学生逐步渗透了坐标法．
（6）推导椭圆的标准方程时教师要注意化解难点，适时地补充根式化简的方法．
推导椭圆的标准方程时，因为列出的方程为两个跟式的和等于一个非零常数，化简时要实行两次平方，方程中字母超过三个，且次数高、项数多，教学时要注意化解难点，尽量不要把跟式化简的困难影响学生对椭圆的标准方程的推导过程的整体理解．通过具体的例子使学生循序渐进的解决带跟式的方程的化简，即：（1）方程中只有一个跟式时，需将它单独留在方程的一边，把其他各项移至另一边；（2）方程中有两个跟式时，需将它们放在方程的两边，并使其中一边只有一项．（为了避免二次平方运算）
（7）讲解了焦点在x轴上的椭圆的标准方程后，教师要启发学生自己研究焦点在y轴上的标准方程，然后鼓励学生探索椭圆的两种标准方程的异同点，加深对椭圆的理解
（8）在学习新知识的基础上要巩固旧知识
椭圆也是一种曲线，所以第七章所讲的曲线和方程的知识仍然使用，在推导椭圆的标准方程中要注意进一步巩固曲线和方程的概念．对于教材上在推出椭圆的标准方程后，并没有证明所求得的方程确是椭圆的方程，要注意向学生说明并不与前面所讲的曲线和方程的概念
矛盾，而是因为椭圆方程的化简过程是等价变形，而证明过程较繁，所以教材没有要求也没有给出证明过程，但学生要注意并不是以后都不需要证明，注意只有方程的化简是等价变形的才能够不用证明，而实际上学生在遇到一些具体的题目时，还需要具体问题具体分析．（9）要突出教师的主导作用，又要强调学生的主体作用，课上尽量让全体学生参与讨论，由基础较差的学生提出猜想，由基础较好的学生协助证明，培养学生的团结协作的团队精神。