椭圆及其标准方程(1)

椭圆及标准方程椭圆是平面上到定点F1、F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

设F1(-c,0)，F2(c,0)，点P(x,y)，则PF1+PF2=2a。

椭圆的标准方程为，x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)。

椭圆的性质：1.椭圆的离心率0<e<1，焦点到中心的距离为ae。

2.椭圆的长轴2a，短轴2b，焦距2ae。

3.椭圆的离心角θ满足e=cosθ，离心率e与离心角θ的关系为e=cosθ。

4.椭圆的面积为πab。

5.椭圆的焦点到直径的距离等于直径的一半。

6.椭圆的焦点到切线的距离等于焦点到法线的距离。

7.椭圆的切线与法线的交点坐标分别为(x1,y1)和(x1,-y1)。

8.椭圆的渐近线方程为y=±b/ax。

9.椭圆的参数方程为x=acosθ，y=bsinθ。

10.椭圆的极坐标方程为r=a(1-e^2)/(1+ecosθ)。

椭圆的标准方程推导：设椭圆的长轴为2a，短轴为2b，焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)，中心为O(0,0)，点P(x,y)。

则有PF1+PF2=2a，根据两点之间的距离公式可得。

√((x+c)^2+y^2)+√((x-c)^2+y^2)=2a。

整理得到。

(√((x+c)^2+y^2))^2+(√((x-c)^2+y^2))^2=4a^2。

化简得到。

x^2/a^2+y^2/b^2=1。

从而得到椭圆的标准方程。

椭圆的标准方程性质：1.椭圆的标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)。

2.椭圆的中心在原点O(0,0)。

3.椭圆的长轴在x轴上，短轴在y轴上。

4.椭圆的焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)，离心率e=c/a。

5.椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距2ae。

6.椭圆的面积为πab。

7.椭圆的离心角θ满足e=cosθ，离心率e与离心角θ的关系为e=cosθ。

8.椭圆的参数方程为x=acosθ，y=bsinθ。

学案编号：B51 第 1 页 共 2 页P F 2F 1§2.2.1椭圆及其标准方程(1)【使用说明】1、课前完成预习学案，掌握基本题型；2、认真限时规范书写，课上小组合作探讨，答疑解惑。

3、A 、B 层全部掌握，C 层选做。

【学习目标】1．从具体情境中抽象出椭圆的模型；2．掌握椭圆的定义； 3．掌握椭圆的标准方程． 【问题导学】（预习教材理P 38~ P 40，文P 32~ P 34找出疑惑之处） 复习1：过两点(0,1),(2,0)的直线方程 ．复习2：方程22(3)(1)4x y -++= 表示以 为圆心, 为半径的 ．【合作探究】取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 ．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ 思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？ 经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数．新知１： 我们把平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ．反思：若将常数记为2a ，为什么122a F F >？ 当122a F F =时，其轨迹为 ； 当122a F F <时，其轨迹为 ．试试：已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，到1F ，2F 两点的距离之和等于8的点的轨迹是 ．小结：应用椭圆的定义注意两点：①分清动点和定点；②看是否满足常数122a F F >．新知２：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程 ()222210x y a b a b +=>> 其中222b ac =-若焦点在y 轴上，两个焦点坐标 ，则椭圆的标准方程是 ．我的疑惑：记录下你的疑惑，让我们在课堂上共同解决。

课时作业10 椭圆及其标准方程（1）知识点一椭圆的定义及简单应用1。

已知在平面直角坐标系中，点A（－3,0),B（3,0)，点P为一动点，且｜PA|＋|PB|＝2a(a≥0）,给出下列说法：①当a＝2时，点P的轨迹不存在；②当a＝4时，点P的轨迹是椭圆,且焦距为3；③当a＝4时,点P的轨迹是椭圆，且焦距为6;④当a＝3时,点P的轨迹是以AB为直径的圆．其中正确的说法是（）A．①②B．①③C．②③D．②④答案B解析当a＝2时，2a＝4<|AB|，故点P的轨迹不存在,①正确;当a＝4时,2a＝8>｜AB｜，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为｜AB|＝6,②错误，③正确；当a＝3时，点P的轨迹为线段AB,④错误．2．已知椭圆错误!＋错误!＝1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为（）A．2 B．3 C．5 D．7答案D解析由椭圆方程知a＝5，根据椭圆定义有｜PF1｜＋｜PF2|＝2a＝10.若|PF1｜＝3，则｜PF2|＝7.3．设F1，F2是椭圆错误!＋错误!＝1的焦点，P为椭圆上一点，则△PF1F2的周长为（)A．16 B．18 C．20 D．不确定答案B解析∵a＝5,b＝3，∴c＝4又｜PF1|＋｜PF2|＝2a＝10，｜F1F2|＝2c＝8，∴△PF1F2的周长为｜PF1|＋|PF2|＋|F1F2｜＝2a＋2c＝10＋8＝18，故选B。

知识点二求椭圆的标准方程4.写出适合下列条件的椭圆的标准方程．(1）a＝5，c＝2;(2）经过P1(错误!,1)，P2（－错误!,－错误!)两点;（3）以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点,且经过点M(2,6)．解（1)由b2＝a2－c2，得b2＝25－4＝21.∴椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝1或错误!＋错误!＝1。

(2)解法一：①当焦点在x轴上时,设椭圆方程为错误!＋错误!＝1(a>b〉0）．由已知，得错误!⇒错误!即所求椭圆的标准方程是错误!＋错误!＝1。

椭圆定义及其标准方程（一）一、教学目标根据课程标准的要求，本节教材的特点及所教学生的认知情况，把教学目标拟定如下：1、知识目标：理解椭圆的定义；明确焦点、焦距的概念；了解用椭圆定义推导椭圆的标准方程的过程；掌握a、b、c之间的关系，会由其中的两个求出第三个；学会运用定义法和数形结合等方法解题2、能力目标：让学生感知数学知识与实际生活的普遍联系；培养学生类比、数形结合的数学思想方法，提高学生的学习能力；培养学生在运用网络和数学工具探究和解决数学问题的能力；培养学生运动、变化的辨证唯物主义观点；3、情感目标：培养学生不怕困难、勇于探索的优良作风；增强学生审美体验，提高数学思维的情趣，给学生以成功的体验；形成学习数学知识的积极态度。

二、重点、难点及关键1、重点：椭圆的定义和标准方程；2、难点：椭圆标准方程的推导；初步掌握椭圆方程求法；3、关键：创设具体的椭圆的直观情景；结合建立坐标系的一般原则，从“对称美”和“简洁美”出发作必要的点拨。

三、教学方法：启发探索式教学法四、教学手段及设施环境运用多媒体和实物投影仪、几何画板和网页辅助教学，在语音多媒体教室网络授课五、教学环节脉络：见后附图六、教学过程1、课前准备活动①（1）指导学生使用“几何画板”，让学生了解几何画板的基本操作，可以自行画出两点之间的线段并测量出线段的长度，会通过拖动相关的点或者线段来观察相应测量值的变化情况；（2）复习圆的标准方程和求一般曲线方程的基本步骤；（3）让学生学会网页浏览的基本要求和方式，会上传或下载一些网络上的信息。

①目的：了解并熟悉如何恰当建立直角坐标系来解决有关数学问题；使学生掌握利用网络查找资料的方法，培养学生的信息素养；了解相关数学软件，培养学生自主创新意识。

2、正课活动（1）、创设情景、引入概念【问】我们在物理和地理课上就已经知道，在我们的银河系中，九大行星和一些彗星在绕太阳运转的轨迹是什么呢？①【学生回答问题】【引入】点击下一页，我们还可以看到一些生活中的实用品也是椭圆形的。