椭圆及其标准方程1

椭圆的一般方程和标准公式
椭圆是一个常见的二维几何图形，其一般方程和标准公式如下：
1.椭圆的一般方程：
椭圆的一般方程表示为：
A(x - h)^2 + B(y - k)^2 = 1
其中，(h, k)表示椭圆的中心坐标，A和B是正实数，且A > B。

2.椭圆的标准公式：
椭圆的标准公式表示为：
(x - h)^2/a^2 + (y - k)^2/b^2 = 1
其中，(h, k)表示椭圆的中心坐标，a和b分别表示椭圆在x轴和y轴上的半长轴长度。

具体详细解释如下：
●中心坐标(h, k)：椭圆的中心点在坐标平面上的位置，坐标为(h, k)。

●半长轴长度a：椭圆在x轴上的半长轴长度，表示椭圆沿着x轴正方向延伸
的距离。

●半短轴长度b：椭圆在y轴上的半短轴长度，表示椭圆沿着y轴正方向延伸
的距离。

椭圆的标准公式以中心点(h, k) 为中心，沿x轴和y轴方向分别以a和b为轴长度绘制。

当a和b相等时，椭圆退化为一个圆。

若a大于b，则椭圆在x轴方向上更为扁平，称为长轴椭圆；若b大于a，则椭圆在y轴方向上更为扁平，称为短轴椭圆。

注意事项：
●椭圆的方程中，A和B的值与a和b的关系为A = 1/a^2，B = 1/b^2。

●当椭圆的中心不在原点时，方程中的坐标需要进行平移，即(x - h) 和(y - k)。

●椭圆的方程也可以表示为离心率和焦点的形式，但这超出了一般方程和标准
公式的范围。

通过了解椭圆的一般方程和标准公式，您可以利用这些公式来描述和绘制椭圆的几何形状，并对椭圆的中心、半长轴和半短轴进行准确的计算和描绘。

第1节椭圆及其标准方程撰写：刘一博审核：冬焱三点剖析：一、教学大纲及考试大纲要求：1. 理解椭圆的定义明确焦点、焦距的概念2. 熟练掌握椭圆的标准方程，会根据所给的条件画出椭圆的草图并确定椭圆的标准方程3. 能由椭圆定义推导椭圆的方程4. 能正确运用椭圆的定义与标准方程解题；5. 学会用待定系数法与定义法求曲线的方程6. 掌握转移法（代换法，中间变量法，相关点法）求动点轨迹方程的方法与解决椭圆有关问题二、重点与难点1．重点是椭圆的定义和标准方程；用待定系数法与定义法求曲线的方程运用中间变量法求动点的轨迹2．椭圆标准方程的推导; 待定系数法运用中间变量法求动点的轨迹三、本节知识理解1.学法点拨1．认真理解和掌握好有关平行、垂直、夹角、距离等基础知识、基本方法及基本问题．2．认真掌握有关对称的四种基本类型问题的解法．即：1°点关于点的对称问题；2°直线关于点的对称问题；3°点关于直线的对称问题；4°直线关于直线的对称问题．3．在由两直线的位置关系确定有关字母的值或讨论直线Ax+By+C=0中各系数间的关系和直线所在直角坐标系中的象限等问题时，要充分利用分类讨论、数形结合、特殊值检验等基本的数学方法和思想．4．平面解析几何的核心是坐标法。

它需要运用运动变化的观点，运用代数的方法研究几何问题，因此解析几何问题无论从知识上还是研究方法上都要注意与函数、方程、不等式、三角及平面几何内容相联系，本部分内容在这方面体现的也很明显．5．两条直线的位置关系是解析几何的基础。

同时本部分内容所涉及的“数形结合”对称”化归”等方法也是解析几何的重要思想方法．因此对于本部分内容要切实学好、学透、用活．6．在历年的高考试题中，本部分内容也是常考问题的热点之一。

多以选择题、填空题形式出现，也与圆锥曲线内容及代数有关知识结合在一起命题，成为试卷中的中等题和难题3.要点诠释精题精讲例1写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10；(2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P到两焦点的距离和为26. (3)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0).(4)与椭圆226x5y120+=有相同焦点，且过点（23-,25）解：（1）因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为12222=+byax)0(>>ba9454,582,10222222=-=-=∴==∴==cabcaca所以所求椭圆标准方程为192522=+yx选题意图：该题训练焦点在不同坐标轴上的椭圆标准方程，考查cba,,关系掌握情况. 解：(1)∵椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为：)0(12222>>=+babyax∵10)35()35(222=+-+++=a，2c=6.∴3,5==ca∴163522222=-=-=cab∴所求椭圆的方程为：1162522=+yx.(2)∵椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为)0(12222>>=+babxay.∴.144222=-=cab∴所求椭圆方程为：114416922=+xy⑵因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为12222=+bx a y )0(>>b a 由椭圆的定义知，22)225()23(2++-=a ＋22)225()23(-+-10211023+=102= 10=∴a 又2=c6410222=-=-=∴c a b所以所求标准方程为161022=+x y 另法：∵ 42222-=-=a c a b∴可设所求方程142222=-+a x a y ，后将点（23-,25）的坐标代入可求出a ，从而求出椭圆方程点评：题（１）根据定义求若将焦点改为(0,-4)、（0，4）其结果如何；题（２）由学生的思考与练习，总结有两种求法：其一由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；其二是由已知焦距，求出长轴与短轴的关系，设出椭圆方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出方程例2求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)焦点在x 轴上，且经过点(2，0)和点(0，1).(2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2.(3)已知椭圆经过两点（)5,3()25,23与-，求椭圆的标准方程 选题意图：训练待定系数法求方程的思想方法，考查椭圆上离焦点最近的点为长轴一端点等基本知识.解：(1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以可设它的标准方程为：)0(12222>>=+b a by a x ∵椭圆经过点(2，0)和(0，1)∴⎪⎩⎪⎨⎧==∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+14a 1101022222222b b a b a 故所求椭圆的标准方程为1422=+y x （２）∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为：)0(12222>>=+b a b x a y ∵Ｐ（０，－１０）在椭圆上，∴a ＝１０. 又∵P 到它较近的一焦点的距离等于2， ∴－c －（－１０）＝２，故c =8. ∴36222=-=c a b .∴所求椭圆的标准方程是13610022=+x y . (3)解：设椭圆的标准方程),0,0(122n m n m ny m x ≠>>=+ 则有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-1)5()3(1)25()23(2222n mnm ，解得 10,6==n m 所以，所求椭圆的标准方程为110622=+y x 说明：(1)标准方程决定的椭圆中，与坐标轴的交点 横坐标(或纵坐标)实际即为a 与b 的值.(2)后面的学习中将证明椭圆长轴端点距焦点最远 或最近.例3已知B ，C 是两个定点，｜BC ｜＝6，且ABC ∆的 周长等于16，求顶点A 的轨迹方程坐标解：以BC 所在直线为x 轴，BC 中垂线为y 轴建立直角系，设顶点),(y x A ，根据已知条件得|AB|+|AC|=10 再根据椭圆定义得4,3,5===b c a 所以顶点A 的轨迹方程为1162522=+y x （y ≠0）（特别强调检验) 因为A 为△ABC 的顶点，故点A 不在x 轴上，所以方程中要注明y ≠0的条件例4如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ˊ，求线段PP ˊ的中点M 的轨迹（若M 分 PP ˊ之比为21，求点M 的轨迹） ),(y x ，解：（1）当M 是线段PP ˊ的中点时，设动点M 的坐标为则P 的坐标为)2,(y x因为点P 在圆心为坐标原点半径为2的圆上，所以有 4)2(22=+y x ，即 1422=+y x 所以点M 的轨迹是椭圆，方程是1422=+y x （2）当M 分 PP ˊ之比为21时，设动点M 的坐标为),(y x ，则P 的坐标为)23,(y x 因为点P 在圆心为坐标原点半径为2的圆上，所以有 4)23(22=+y x ，即1169422=+y x 所以点M 的轨迹是椭圆，方程是1169422=+y x 例5已知x 轴上的一定点A （1,0），Q 为椭圆1422=+y x上的动点，求AQ 中点M 的轨迹方程 解：设动点M 的坐标为),(y x ，则Q 的坐标为)2,12(y x -因为点Q 为椭圆1422=+y x 上的点， 所以有1)2(4)12(22=+-y x ，即14)21(22=+-y x 所以点M 的轨迹方程是14)21(22=+-y x例6长度为5的线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，点M 在线段AB 上，且AM 2=，求点M 的轨迹方程解：设动点M 的坐标为),(y x ，则A 的坐标为)0,35(x B 的坐标为)25,0(y因为2||=AB ， 所以有 4)25()35(22=+y x ，即442592522=+y x 所以点M 的轨迹方程是442592522=+y x例7（1）已知定圆05562=--+x y x ，动圆M 和已知圆内切且过点P(-3，0)，求圆心M 的轨迹及其方程（2）已知两圆22212C x 4y 169C y 9:()-+=+=2和：(x+4)，动圆在圆1C 的内部且和圆1C 内切，和圆2C 相外切，求动圆圆心的轨迹方程。

课时作业10 椭圆及其标准方程（1）知识点一椭圆的定义及简单应用1。

已知在平面直角坐标系中，点A（－3,0),B（3,0)，点P为一动点，且｜PA|＋|PB|＝2a(a≥0）,给出下列说法：①当a＝2时，点P的轨迹不存在；②当a＝4时，点P的轨迹是椭圆,且焦距为3；③当a＝4时,点P的轨迹是椭圆，且焦距为6;④当a＝3时,点P的轨迹是以AB为直径的圆．其中正确的说法是（）A．①②B．①③C．②③D．②④答案B解析当a＝2时，2a＝4<|AB|，故点P的轨迹不存在,①正确;当a＝4时,2a＝8>｜AB｜，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为｜AB|＝6,②错误，③正确；当a＝3时，点P的轨迹为线段AB,④错误．2．已知椭圆错误!＋错误!＝1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为（）A．2 B．3 C．5 D．7答案D解析由椭圆方程知a＝5，根据椭圆定义有｜PF1｜＋｜PF2|＝2a＝10.若|PF1｜＝3，则｜PF2|＝7.3．设F1，F2是椭圆错误!＋错误!＝1的焦点，P为椭圆上一点，则△PF1F2的周长为（)A．16 B．18 C．20 D．不确定答案B解析∵a＝5,b＝3，∴c＝4又｜PF1|＋｜PF2|＝2a＝10，｜F1F2|＝2c＝8，∴△PF1F2的周长为｜PF1|＋|PF2|＋|F1F2｜＝2a＋2c＝10＋8＝18，故选B。

知识点二求椭圆的标准方程4.写出适合下列条件的椭圆的标准方程．(1）a＝5，c＝2;(2）经过P1(错误!,1)，P2（－错误!,－错误!)两点;（3）以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点,且经过点M(2,6)．解（1)由b2＝a2－c2，得b2＝25－4＝21.∴椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝1或错误!＋错误!＝1。

(2)解法一：①当焦点在x轴上时,设椭圆方程为错误!＋错误!＝1(a>b〉0）．由已知，得错误!⇒错误!即所求椭圆的标准方程是错误!＋错误!＝1。

椭圆及其标准方程1教学目标 1.把握椭圆的定义，把握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；2.能依据条件确定椭圆的标准方程，把握运用待定系数法求椭圆的标准方程；3.通过对椭圆概念的引入教学，培育同学的观看力量和探究力量；4.通过椭圆的标准方程的推导，使同学进一步把握求曲线方程的一般方法，并渗透数形结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标法解决几何问题的力量；5.通过让同学大胆探究椭圆的定义和标准方程，激发同学学习数学的乐观性，培育同学的学习爱好和创新意识.教学建议教材分析1. 学问结构 2.重点难点分析重点是椭圆的定义及椭圆标准方程的两种形式.难点是椭圆标准方程的建立和推导.关键是把握建立坐标系与根式化简的方法. 椭圆及其标准方程这一节教材整体来看是两大块内容：一是椭圆的定义；二是椭圆的标准方程.椭圆是圆锥曲线这一章所要讨论的三种圆锥曲线中首先遇到的，所以教材把对椭圆的讨论放在了重点，在双曲线和抛物线的教学中巩固和应用.先讲椭圆也与第七章的圆的方程连接自然.学好椭圆对于同学学好圆锥曲线是特别重要的. （1）对于椭圆的定义的理解，要抓住椭圆上的点所要满意的条件，即椭圆上点的几何性质，可以对比圆的定义来理解. 另外要留意到定义中对“常数”的限定即常数要大于.这样规定是为了避开消失两种特别状况，即：“当常数等于时轨迹是一条线段；当常数小于时无轨迹”.这样有利于集中精力进一步讨论椭圆的标准方程和几何性质.但讲解椭圆的定义时留意不要忽视这两种特别状况，以保证对椭圆定义的精确性. （2）依据椭圆的定义求标准方程，应留意下面几点：①曲线的方程依靠于坐标系，建立适当的坐标系，是求曲线方程首先应当留意的地方.应让同学观看椭圆的图形或依据椭圆的定义进行推理，发觉椭圆有两条相互垂直的对称轴，以这两条对称轴作为坐标系的两轴，不但可以使方程的推导过程变得简洁，而且也可以使最终得出的方程形式整齐和简洁. ②设椭圆的焦距为，椭圆上任一点到两个焦点的距离为，令，这些措施，都是为了简化推导过程和最终得到的方程形式整齐、简洁，要让同学仔细领悟. ③在方程的推导过程中遇到了无理方程的化简，这既是我们今后在求轨迹方程时常常遇到的问题，又是同学的难点.要留意说明这类方程的化简方法：①方程中只有一个根式时，需将它单独留在方程的一侧，把其他项移至另一侧；②方程中有两个根式时，需将它们分别放在方程的两侧，并使其中一侧只有一项. ④教科书上对椭圆标准方程的推导，实际上只给出了“椭圆上点的坐标都适合方程“而没有证明，”方程的解为坐标的点都在椭圆上”.这实际上是方程的同解变形问题，难度较大，对同学们不作要求. （3）两种标准方程的椭圆异同点中心在原点、焦点分别在轴上，轴上的椭圆标准方程分别为：，.它们的相同点是：外形相同、大小相同，都有，.不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同. 椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大；椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大. 另外，形如中，只要，，同号，就是椭圆方程，它可以化为. （4）教科书上通过例3介绍了另一种求轨迹方程的常用方法——中间变量法.例3有三个作用：第一是教给同学利用中间变量求点的轨迹的方法；其次是向同学说明，假如求得的点的轨迹的方程形式与椭圆的标准方程相同，那么这个轨迹是椭圆；第三是使同学知道，一个圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆.教法建议（1）使同学了解圆锥曲线在生产和科学技术中的应用，激发同学的学习爱好. 为激发同学学习圆锥曲线的爱好，体会圆锥曲线学问在实际生活中的作用，可由实际问题引入，从中提出圆锥曲线要讨论的问题，使同学对所要讨论的内容心中有数，如书中所给的例子，还可以启发同学查找身边与圆锥曲线有关的例子。

2.1.1 椭圆及其标准方程(1)高考要求：知识与技能目标: 理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法； 过程与方法目标: 通过引导学生亲自动手尝试画图、发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义,培养学生观察、辨析、归纳问题的能力.情感、态度与价值观目标: 通过引入参量b 对椭圆方程的化简，培养学生用对称的美学思维来体现数学的简洁美、对称美；通过讨论椭圆方程推导的等价性养成学生扎实严谨的科学态度.重点：椭圆的定义及其标准方程． 难点：椭圆标准方程的推导．三：教学过程1. 引入探究：取一条定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的21,F F 两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个什么图形？ 并让计算机再演示一遍，并引导学生观察的同时思考：笔尖（动点）满足什么几何条件？ 即不论运动到何处，绳长不变（即轨迹上与两个定点距离之和不变）2. 类比圆的定义，探究椭圆的定义圆的定义是什么?圆的标准方程的形式怎样？如何推导圆的标准方程呢？由引入得到一个结论：与两个定点21,F F 的距离之和等于常数的点的轨迹叫作椭圆。

此时再引导学生思考：这个作为椭圆的定义，严密吗？如果不严密，该如何修改呢？接着通过动画演示两种特殊的情况，从而完善并得出椭圆的定义。

深化概念:注：1、平面内.2、若|F F ||PF ||PF |2121>+，则点P 的轨迹为 椭圆. 若|F F ||PF ||PF |2121=+，则点P 的轨迹为线段. 若|F F ||PF ||PF |2121<+, 则点P 的轨迹不存在. 准确理解椭圆的定义.联系生活：情境1.生活中,你见过哪些类似椭圆的图形或物体?情境2.让学生观察倾斜的圆柱形水杯的水面边界线，并从中抽象出数学模型. 情境3.联系天体运行的轨道.航天神七渗透数学源于生活,圆锥曲线在生产和技术中有着广泛的应用.定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。