几何概型典型题型--约会问题

《几何概型中的约会型问题》作业
1、甲乙两艘船在驶向一个不能同时停泊两艘船的港口，他们在一昼夜内的任何时刻到达该港口的可能性相等，如果甲船停泊时间为1小时，乙船停泊时间为2小时，求它们任何一艘船都不需要等待的概率。

2、小明和小雪约了星期天下午在月牙塘公园见面，由于龙泉路最近在修路，可能会堵车，
小明说他大概4:00—5:00会到，小雪说她可能4:30—5:30到，他们约定先到的等二十分钟如果另一个还没来就可以先走了，假设他们在自己估计时间内到达的可能性相等，问他们两个能相遇的概率有多大？
3、水池的容积为20 立方米，向水池注水的水龙头A和B的流速均为1立方米/小时，它
们在一昼夜内随机开的时间为0~24小时，求水池不溢水的概率。

4、某同学到公共汽车站等车上学，可乘坐8路，23路，8路车10分钟一班，23路15分钟
一班，求这位同学等车时间不超过8分钟的概率。

5、、小明和小雪两人约定星期天下午4:00—5:00之间在小西门乘公共汽车一起去学校，在
这段时间内有3班公共汽车，公车准时到达时刻分别为4∶20，4∶40，5∶00，如果他们约定，见车就乘，求他们两个同乘一车的概率？
6、把一条长为6米的绳子截成三段，求
（1）若三段长均为整数，求能够成三角形的概率；
（2）若截成的三段长为任意值，求能够成三角形的概率。

几何概型知识与常有题型梳理几何概型和古典概型是随机概率中两类主要模型，是概率观察中的要点，下边就几何概型的知识与常有题型做一梳理，以期能使读者对于这一知识点做到脉络清楚，头头是道。

一基本知识解析1.几何概型的定义：假如每个事件发生的概率只与构成该事件地区的长度（面积或体积）成比率，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。

2.几何概型的概率公式：构成事件 A的地区长度（面积或体积）P（A）=的地区长度（面积或体；试验的所有结果所构成积）3.几何概型的特色：1）试验中所有可能出现的结果（基本领件）有无穷多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．4.几何概型与古典概型的比较：一方面，古典概型拥有有限性，即试验结果是可数的；而几何概型则是在试验中出现无穷多个结果，且与事件的地区长度（或面积、体积等）相关，即试验结果拥有无穷性，是不行数的。

这是两者的不一样之处；另一方面，古典概型与几何概型的试验结果都拥有等可能性，这是两者的共性。

经过以上对于几何概型的基本知识点的梳理，我们不难看出其要核是：要抓住几何概型拥有无穷性和等可能性两个特色，无穷性是指在一次试验中，基本领件的个数能够是无穷的，这是划分几何概型与古典概型的要点所在；等可能性是指每一个基本领件发生的可能性是均等的，这是解题的基本前提。

所以，用几何概型求解的概率问题和古典概型的基本思路是相同的，同属于“比率法”，即随机事件 A 的概率能够用“事件 A 包含的基本领件所占的图形的长度、面积（体积）和角度等”与“试验的基本领件所占总长度、面积（体积）和角度等”之比来表示。

下边就几何概型常有种类题作一概括梳理。

二常有题型梳理1.长度之比种类例 1. 小欲在国庆六十周年以后从某车站搭车出门观察，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求小等车时间不多于10 分钟的概率．例 2在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 M，并以线段 AM 为边作正方形，求这个正方形的2与 81cm 2面积介于 36cm之间的概率．2.面积、体积之比种类例 3. （ 08 高考 6） .在平面直角坐标系xoy 中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的地区， E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的地区，向 D 中任意投一点，则落入 E 中的概率为。

数学专题复习 几何概型—“约会问题”案例：圣诞节，小花、小楠两人约定明天7时到8时之间在城北中山公园门口会面，她们约定无论谁先到达，先到者应等候另一个人一刻钟，如果15分钟之后，另一人还未到达，这时先到者即可离去，那么，请思考后回答两人见面的概率是多少?思考：1、能直接得出两人碰面的概率吗？说说你的想法。

2、两人碰面的可能结果是怎样的？与古典概型相比较谈谈你的看法。

3、 若两人碰面这个事件不是古典概型，那么如何计算两人碰面的概率。

案例分析与讨论：首先，让学生分析互相讨论，得出两人碰面这个事件的结果是无限的，而且碰面的结果只是7时到8时之间的任何一个时刻，且任一时刻的可能性是相同的。

在此基础上教师要引导学生与古典概型的特点互相比较，从而教师给出几何概型的定义。

其次，让学生思考，想法计算几何概型的概率，在这个阶段，教师可以让学生自由发挥，结合他们的知识水平，教师再加以适当的引导指正，最后得出几何概型的概率计算公式。

最后，让学生自己解决碰面的概率计算，教师再进行详细的解析，学生方可学懂学透。

下面是上述案例的概率分析：问题的解决要以x 轴和y 轴分别表示两人到达约会地点的时间，那么两人能见面的充要条件是15||≤-y x ，（如图1）由于),(y x 的所有可能结果是边长为60的正方形，可能会面的时间由图中阴影部分所表示，记“两人能见面”为事件A ，因此，两人见面的概率： 167604560)(222=-=A P 。

图1课堂反馈：思考下面的问题：某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率。

分析：某人醒来在整点间即60分钟是随机的，等待的时间不多于10分钟可以看作构成事件的区域，整点即60分钟可以看作所有结果构成的区域，因此本题的变量可以看作是时间的长度，于是可以通过长度比公式计算其概率。

可设“等待的时间不多于10分钟”这一事件记作事件A ，则6160106010)(==＝分钟里醒来的时间长度所有在分钟时间长度等待的时间不多于A P ；显然这是一个与长度有关的几何概型问题，问题比较简单，学生也易于理解。

第一章 事件与概率（一次半）基础班（8次 学时8×3=24小时）概率论：它是研究随机现象统计规律性的一门数学科学。

简史：起源于赌博。

17世纪法国Pascal 和Fermat 解决Mere （公平赌博）问题等并提出了排列与组合的新知识。

18世纪早期J.Bernoulli 提出了概率论历史上第一个极限定理（贝努里大数定理），19世纪初Laplace 提出了古典概率定义。

20世纪30年代Kolmogorov 建立了概率的公理化定义（19世纪末Cantor 集合论和20世纪30年代Lebesgue 测试论）。

历史上Gauss 、De Moirve 、、Chebeshev 、Liapunov 、Borel 、Khinchine 、Markov 、K.Pearson 、Fisher 、Cramer 、Wiener 、Doob 、Ito 、许宝禄、Rao 等人亦对概率统计发展作出了重要贡献。

1.1随机事件、样本空间①、②、③、④例子，称满足○a 、○b 、○c 条件的试验为随机试验，记为E ，基本事件（样本点）：用e 表示;随机事件：用“A,B,…”表示;样本空间（必然事件）：用S 表示。

Remark ：（1）A 发生A e e i i ∈∃⇔,，e i 出现了；（2）S 引入意义。

1.2事件的关系与运算（两种语言刻划）一、六种关系：{}{}{}{}1.0,1,2,....,1000,...,0,1,2,3,4,5,0,1,2,3,4,5,....,100,7,8,9,10,11,12,,.S A B C A B C ====例观查某电话呼叫台接到的呼叫次数的随机试验,,求之间的关系二、四个运算性质：Remark ：（1）两个事件互斥（互不相容） 两个事件互为对立事件；（2）A －B=B A =A －AB ；（3）事件的假设与事件的相互表示是学好概率论与数理统计的基本功。

例1 某人向一目标射击三次，A i 表示第i 次命中（i=1,2,3）,B j 表示命中j 次（j=0,1,2,3）,用A i 表示B j 。

数学专题复习概率中相遇问题的处理方法在高考中有一类概率题型使许多考生感到吃力，那就是“相遇问题” 其实这类问题就是新课标中的新增内容一一几何概型的应用，下面用几个例子来说明这类问题的处理方法。

例1男女两人约定晚上7点至8点在某商场约会，如果女的不等男的，那么两人如期相会的概率是多
少？
分析：设男的到达时刻为x,女的到达时
刻为y，则x<y。

如图容易得出相会概率
为p -
2
例2男女两人约定晚上7点至8点在某商场约会，并约好先到的必须等候，男的要等30分钟，女的只等20分钟，那么两人如期相会的概率是
多少?
y x 30
为y ，则0 y 。

如图容易得出相会概率
1 1 60 60 — 30 30 — 40 40 为p 2
— 60 60 例3 某同学到公交车站等车上学，可乘 116路和
128路，116路公
交车8分钟一班，128路公交车10分钟一班，
求这位同学等车不超过 6 分钟的概率。

分析：设116路公交车到达时刻为x ，128路公交车到达时刻为y ，构 建面积几何概型，如图：记“ 6分钟内乘客128路或116路车”为事件A, 则A 所占区域面积为6 10 2 6 72,整个区域的面积为10 8 80。

由几何概 型概率公式得P(A) 72 -，即该同学等等车不超过6分钟的概率为0.9.
80 10
I y
分析：设男的到达时刻为x ,女的到达时刻
0 y 60
47 72。

数学中的约会问题数学中的约会问题在数学中，约会问题是一个经典的问题，它涉及到时间、日期和计算等多个方面。

该问题的解决需要一定的数学知识和技巧。

下面是一些与约会问题相关的子问题以及相应的解释说明。

1. 阶乘的运算阶乘是指从1乘积到某个给定的正整数的连续整数的乘积，通常以n!表示，其中n是一个正整数。

阶乘的运算在约会问题中经常用到，特别是在计算可能的排列组合数量时。

2. 排列和组合排列是指从一组元素中取出一部分进行组合，得到不同的顺序。

组合是指从一组元素中取出一部分进行组合，不考虑顺序。

在约会问题中，排列和组合的概念常常用于计算可能的安排和选择方式。

3. 时间和日期的表示在约会问题中，时间和日期的正确表示和计算非常重要。

在数学中，通常采用24小时制和日期格式（年-月-日）进行表示。

而对于约会问题，还需考虑到星期几、季节等因素，以便更全面地解决问题。

4. 方程的求解约会问题中，有时需要通过解方程来得到正确的答案。

方程求解是数学中的基本概念，其涉及到代数、解析几何等多个领域的知识和技巧。

通过解方程，可以求得满足约束条件的变量值，从而解决约会问题。

5. 概率和统计概率和统计在约会问题中也有一定的应用。

通过统计和概率分析，可以得到一些可能的情况和结果的概率，从而为问题的解决提供参考。

概率和统计的概念和计算方法对于确定约会的时间和结果非常有帮助。

6. 优化问题约会问题有时也可以看作是一个优化问题，即找到最佳解决方案。

优化问题涉及到目标函数和约束条件的确定，以及对可能解的搜索和比较。

通过应用优化方法，可以最大程度地满足约会者的需求和要求。

7. 约会问题的变种除了常见的约会问题，还存在一些约会问题的变种，例如考虑多人约会、不同地点的约会等。

这些变种问题可能需要更加复杂的数学模型和计算方法，但基本的解决思路和技巧仍然适用。

以上是数学中的约会问题及其相关子问题的列举和解释说明。

通过运用数学知识和技巧，可以有效地解决约会问题，提高约会的效率和成功率。

高考数学复习点拨约会型几何概型问题第一篇：高考数学复习点拨约会型几何概型问题谈“约会型”概率问题的求解由两个量决定的概率问题，求解时通过坐标系，借助于纵、横两轴产生公共区域的面积，结合面积产生问题的结论，我们称此类问题为“约会型”概率问题；“约会型”概率问题的求解，关键在于合理、恰当引入变量，再将具体问题“数学化”，透过数学模型，产生结论。

请看以下几例：例1、甲、乙两人约定在晚上7时到8时之间在公园门口会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，这时即可离去，那么两人见面的概率是多少？解：以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间，那么两人能见面的充要条件是|x-y|≤15，如图由于(x,y)的所有可能结果是边长为60的正方形，可能会面的时间由图中阴影部分所表示，记“两人能见面”为事件A602-4527=因此，两人见面的概率P(A)=16602点评：显然，“以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间”很关键，由这一句，将一个实际问题引入了数学之门，进一步分析会发现：要见面x,y必须满足|x-y|≤15，于是，结论也就顺其自然的产生了。

例2、A、B两列火车都要在同一车站的同一停车位停车10分钟，假设它们在下午一时与下午二时随机到达，求这两列火车必须等待的概率；解：以x轴和y轴分别表示A、B两列火车到达的时间两列火车必须等待，则|x-y|≤10，如图由于(x,y)的所有可能结果是边长为60的正方形，可能等待的时间由图中阴影部分所表示，记“两列火车必须等待” 为事件A 602-50211=因此，这两列火车必须等待的概率是P(A)= 23660点评：本题与例1相同，“火车必须等待”，那么它们的到达时间差必须不大于10分钟，于是，将A、B两列火车到达车站的时间分别用x,y 表示，结论很快产生。

例3、小明每天早上在六点半至七点半之间离开家去学校上学，小强每天早上六点到七点之间到达小明家，约小明一同前往学校，问小强能见到小明的概率是多少？解：如图，方形区域内任何一点的横坐标表示小强的到达时间，纵坐标表示小明离开家的时间，由于区域内任意一点的出现是等可能的，因此，符合几何概型的条件；由题意，只要点落在阴影部分内，就表示小强能见到小明，即事件A发生，用心爱心专心⎧6≤x≤7⎪所以，由⎨6.5≤y≤7.5⎪y>x⎩1602-⨯30272得P(A)=，=86027即小强能见到小明的概率是。