3.3 几何概型约会型问题的汇编

3.3 几何概型一、教学目标： 1. 知识与技能：（1）正确理解几何概型的概念； （2）掌握几何概型的概率公式：P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ；（3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型；（4）了解均匀随机数的概念；（5）掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法； （6）会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题．2. 情感态度与价值观：本节课主要特点是随机试验多，学习是养成勤学严谨的学习习惯。

二、重点与难点：1. 几何概型的概念、公式及应用；2. 利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中． 三、教学过程：1. 创设情境：在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的，还必须考虑有无限多个试验结果的情况。

例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个。

2. 基本概念：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型； （2）几何概型的概率公式：P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ；（3）几何概型的特点：① 试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；② 每个基本事件出现的可能性相等． 3. 例题分析：例1 判下列试验中事件A 发生的概度是古典概型，还是几何概型。

（1）抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；（2）如课本P132图3．3-1中的(2)所示，图中有一个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B 区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率。

分析：本题考查的几何概型与古典概型的特点，古典概型具有有限性和等可能性。

几何概型典例剖析一、几何概型的基本特性解决几何概型的求概率间题，关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率．几何概型的两个特征：(1)试验结果有无限多，(2)每个结果的出现是等可能的．事件A 可以理解为区域Ω的某一子区域，事件A 的概率只与区域A 的度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关．事件A 若满足几何概型，则事件A 的概率计算公式是：积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件）（A A P =. 与古典概率一样，几何概率也具有非负性（对任意事件A ，有0≤P （A ）≤1）、规范性（必然事件概率为1，不可能事件概率为0）和有限可加性（当事件A 1、A 2 、…、A n 互斥时，P （A 1+A 2 +…+A n ）= P （A 1）+P （A 2）+…+P （A n ）．另外几何概率还具有完全可加性，即当事件A 1、A 2 、A 3 、……互斥时，则∑∑∞=∞==11i i i i A P A P ）（）（.值得注意的是：如果随机事件所在区域是一个单点，因其长度、面积、体积均为0，所以其出现的概率为0，但它不是不可能事件；如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点，则其出现的概率为1，但它不是必然事件．二、几何概型的应用2.1 与(时间)长度有关的几何概型例1．国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30min 长的磁带上，从开始30s 处起，有l0s 长的一段内容含两间谍犯罪的信息，后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了，那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？分析:包含两个间谋谈话录音的部分在30s 到40s 之间，当按错健的时刻在这段时间之内时，部分被擦掉，当按错健的时刻在0到40s 之间时全部被擦掉，即在Os 到40s 之间，也即Omin 到32min 之间的时间段内按错键时含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉，而Omin 到30min 之间的时间段内任一时刻按错健的可能性是相等的，所以按错健使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率只与从开始到谈话内容结束的时间段长度有关，符合几何概型的条件．解析: 设事件A"按错健使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉”，事件A 发生就是在Omin 到32min 时间段内按错键，所以点评:此题有两个难点:一是等可能的判断;二是事件A 对应的区域是Omin 到32min 的时间段,而不是21min 到32min 的时间段.2.2 与面积有关的几何概型例2．射箭比赛的箭靶涂有5个彩色的分环，从外向内：白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”，奥运会的比赛靶面直径是122cm,靶心直径12.2cm ，运动员在70米外射箭，假设都能中靶，且射中靶面内任一点是等可能的，那么射中“黄心”的概率是多少？分析：由于箭都能中靶，且对中靶面的任一点是等可能的，因此符合几何极型的特征，可用几何概型的求概率公式求解．解：记“射中黄心”为事件B,由于中靶点随机地落在面积为41π×1222cm 2的大圆内，而当中靶点满在面积为41π×12.22cm 2的黄心时，事件B 发生，于是事件B 发生的概率:答：“射中靶心”的概率是0.01.点评: 在几何区域D 内随机取一点,记事件“该点落在其内部的一个区域d 内”为事件A,则事件A 发生的概率: 的度量的度量D d A P )(.2.3 与体积有关的几何概型例3.在1L 高产下麦种子里中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随即取出10mL ，含有麦锈病种子的概率是多少？点拨: 病种子在这1L 种子中的分布可以看作是随机的,取得10mL 种子可以看作区域d,所有种子可视为区域D.解：取出10mL 麦种，其中“含有麦锈病种子”这一事件记为A ，则P （A ）=.1001100010==所有种子的体积取出种子的体积点评: 本题事件A 的度量是用种子的体积,应用问题的度量视具体情况而定.2.4 创新应用型几何概型例4. （会面问题）热恋中的甲、乙两人约定在7时到8时之间在某处见面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．解析：以x 和y 分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间，则两人能够会面的充要条件是：|x-y|≤15，在平面上建立直角坐标系如图，则（x ，y ）的所有可能结果是边长为60的正方形，而可能会面的时间由图中的阴影部分所表示．这是一个几何概率问题，由等可能性知两人能会面的概率是P （A ）=167604560222=-=S S A 几何概型中有无限多个试验结果，只要明确几何概型的定义，掌握几何概型中事件的概率计算公式，问题是不难解决的．几何概型中的三种基本度量为长度、面积和体积，在解题时要准确把握，要把问题向它们作合理地转化．O x y 60 60 15 15。

数学专题复习 几何概型—“约会问题”案例：圣诞节，小花、小楠两人约定明天7时到8时之间在城北中山公园门口会面，她们约定无论谁先到达，先到者应等候另一个人一刻钟，如果15分钟之后，另一人还未到达，这时先到者即可离去，那么，请思考后回答两人见面的概率是多少?思考：1、能直接得出两人碰面的概率吗？说说你的想法。

2、两人碰面的可能结果是怎样的？与古典概型相比较谈谈你的看法。

3、 若两人碰面这个事件不是古典概型，那么如何计算两人碰面的概率。

案例分析与讨论：首先，让学生分析互相讨论，得出两人碰面这个事件的结果是无限的，而且碰面的结果只是7时到8时之间的任何一个时刻，且任一时刻的可能性是相同的。

在此基础上教师要引导学生与古典概型的特点互相比较，从而教师给出几何概型的定义。

其次，让学生思考，想法计算几何概型的概率，在这个阶段，教师可以让学生自由发挥，结合他们的知识水平，教师再加以适当的引导指正，最后得出几何概型的概率计算公式。

最后，让学生自己解决碰面的概率计算，教师再进行详细的解析，学生方可学懂学透。

下面是上述案例的概率分析：问题的解决要以x 轴和y 轴分别表示两人到达约会地点的时间，那么两人能见面的充要条件是15||≤-y x ，（如图1）由于),(y x 的所有可能结果是边长为60的正方形，可能会面的时间由图中阴影部分所表示，记“两人能见面”为事件A ，因此，两人见面的概率： 167604560)(222=-=A P 。

图1课堂反馈：思考下面的问题：某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率。

分析：某人醒来在整点间即60分钟是随机的，等待的时间不多于10分钟可以看作构成事件的区域，整点即60分钟可以看作所有结果构成的区域，因此本题的变量可以看作是时间的长度，于是可以通过长度比公式计算其概率。

可设“等待的时间不多于10分钟”这一事件记作事件A ，则6160106010)(==＝分钟里醒来的时间长度所有在分钟时间长度等待的时间不多于A P ；显然这是一个与长度有关的几何概型问题，问题比较简单，学生也易于理解。

第三章概率3.3 几何概型1．几何概型（1）几何概型的概念如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.（2）几何概型的特点①试验中所有可能出现的结果（基本事件）有________多个.②每个基本事件发生的可能性________.（3）古典概型与几何概型的异同点相同点：古典概型与几何概型中每一个基本事件发生的可能性都是相等的.不同点：古典概型要求随机试验的基本事件的总数必须是有限多个；几何概型要求随机试验的基本事件的个数是无限的，而且几何概型解决的问题一般都与几何知识有关.2．几何概型的概率公式在几何概型中，事件A的概率的计算公式为：()P A ________________.3．均匀随机数的产生（1）均匀随机数的定义在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会一样，称这样的随机数为均匀随机数.我们常用的是[0,1]上的均匀随机数.（2）均匀随机数的特征由均匀随机数的定义,可得随机数的特征：①随机数是在一定范围内产生的；②在这个范围内的每一个数被取到的可能性相等.（3）[0,1]上的均匀随机数利用计算器的RAND（）函数可以产生0~1之间的均匀随机数,试验的结果是区间［0,1］上的任何一个实数,而且出现任何一个实数是等可能的.因此,可以用计算器产生0~1之间的均匀随机数进行随机模拟.用带有PRB功能的计算器产生均匀随机数的方法如图所示：K 知识参考答案：1．（2）①无限 ②相等 2．A 构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）K —重点 理解几何概型的概念及基本特点，掌握概率的计算公式 K —难点 理解几何概型的概念及基本特点K —易错几何概型中测度的选取容易弄错，导致计算错误1．与长度有关的几何概型的求法求解与长度有关的几何概型的问题的关键是将所有基本事件及事件A 包含的基本事件转化为相应长度，进而求解．此处的“长度”可以是线段的长短，也可以是时间的长短等.注意：在寻找事件A 发生对应的区域时，确定边界点是问题的关键，但边界点能否取到不会影响事件A 的概率.【例1】从区间[]2,2-中随机选取一个实数a ，则函数()1421x x f x a +=-⋅+有零点的概率是A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】A【解析】()14214221x x x x f x a a +=-⋅+=-⋅+,令20x t =>，则()()221f x g t t at ==-+.若函数()1421x x f x a +=-⋅+有零点，即方程14210x x a +-⋅+=有实根，即方程2210t at -+=有大于零的实根.由根与系数的关系得1210t t =>，故方程的两个根同号，则1220t t a +=>，解得0a >.又因为2440a ∆=-≥，解得1a ≤-或1a ≥.综上所述，满足题意的a 的取值范围是12a ≤≤.故由几何概型可知函数()1421x x f x a +=-⋅+有零点的概率是()211224-=--.故本题正确答案为A【名师点睛】本题考查的是函数的零点和几何概型问题.本题中的函数()1421x x f x a +=-⋅+有零点，通过换元20x t =>，转化为方程2210t at -+=有大于零的实根，由2440a ∆=-≥，1210t t =>且1220t t a +=>，解得12a ≤≤，由几何概型可知函数()1421x x f x a +=-⋅+有零点的概率是14. 2．与面积有关的几何概型的求法求解与面积有关的几何概型的问题的关键是构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征找出两个“面积”，套用几何概型的概率计算公式，从而求得随机事件的概率.“面积比”是求几何概型的一种重要的方法.【例2】已知一个三角形的三边长分别是5,5,6，一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是A ．π12- B ．π13-C ．π112-D ．π16-【答案】D 【解析】如图，∵三角形的三边长分别是5,5,6，∴三角形的高4AD =，则三角形ABC 的面积164122S =⨯⨯=.易知蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2对应的区域为图中的阴影部分， 三个小扇形的面积之和为一个整圆的面积的12，又圆的半径为2，则阴影部分的面积为21112π2122π2S =-⨯⨯=-，根据几何概型的概率计算公式可得所求的概率为122ππ1126-=-，故选D.【名师点睛】本题主要考查几何概型的概率计算，根据条件求出相应的面积是解决本题的关键，考查转化思想以及计算能力.求出蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2对应图形的面积及三角形的面积，利用几何概型的概率计算公式即可得到结论. 3．与体积有关的几何概型的求法用体积计算概率时，要注意所求概率与所求事件构成的区域的体积的关系，准确计算出所求事件构成的区域的体积，确定出基本事件构成的区域的体积，求体积比即可.一般当所给随机事件是用三个连续变量进行描述或当概率问题涉及体积时，可以考虑用此方法求解.【例3】已知在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD ,底面ABCD 是正方形,2PA AB ==,在该四棱锥内部或表面任取一点O ,则三棱锥O PAB -的体积不小于23的概率为______. 【解析】如图,取,,,AD BC PC PD 的中点分别为,,,E F G H ,连接,,,,EF FG GH HE 当点O 在几何体CDEFGH 内部或表面上时,23O PAB V -≥.在几何体CDEFGH 中,易知56CDEFGH G CDEF G DEH V V V --=+=, 又83P ABCDV -=,则所求概率为5568163=.【名师点睛】本题主要考查几何概型、棱锥的体积公式，考查了空间想象能力与计算能力. 4．随机模拟的应用（1）求解不规则图形的面积：利用随机模拟试验可以近似计算不规则图形A 的面积,解题的依据是根据随机模拟估计概率()A P A =随机取的点落在中的随机取点频数的总次数，然后根据()P A =A 随机取点的全部结构成事件的区域面果构成的积区域面积列等式求解.（2）估算随机事件的概率：用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟.应用随机模拟方法设计模拟试验，可用计算器产生随机数，通过随机数的特征来估计概率.注意，用随机模拟方法得到的结果只能是概率的近似值或估计值，每次试验得到的结果可能不同，而所求事件的概率是一个确定的数值.【例4】设函数y =f (x )在区间[0,1]上的图象是连续不断的一条曲线,且恒有0≤f (x )≤1,可以用随机模拟方法近似计算由曲线y =f (x )及直线x =0,x =1,y =0所围成区域的面积S .先产生两组(每组N 个)区间[0,1]上的均匀随机数x 1,x 2,…,x N 和y 1,y 2,…,y N ,由此得到N 个点(x i ,y i )(i =1,2,…,N ).再数出其中满足y i ≤f (x i )(i =1,2,…,N )的点数N 1,那么由随机模拟方法可得S 的近似值为__________．【解析】这种随机模拟的方法是在[0,1]内生成N 个点,而在曲线y =f (x )及直线x =0,x =1,y =0所围成的区域内的点有N 1个,所以1N S SN ≈矩形,又矩形的面积是1,所以由随机模拟方法得到S 的近似值为1N N. 【名师点睛】用随机模拟的方法构造几何概型求面积,即可求出所求面积的近似值. 【例5】（1）在边长为1的正方形ABCD 内任取一点M ，求事件“||1AM ≤”的概率；（2）某班在一次数学活动中，老师让全班56名同学每人随机写下一对都小于1的正实数x ，y ，统计出两数能与1构成锐角三角形的三边长的数对(,)x y 共有12对，请据此估计π的近似值（精确到0.001）． 【解析】（1）如图，在边长为1的正方形ABCD 内任取一点M ，满足条件的点M 落在扇形BAD 内（图中阴影部分），由几何概型的概率计算公式，得π(||1)4ABCDS P AM S ≤==阴影部分正方形， 故事件“||1AM ≤”的概率为π4．（2）以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，任取两个小于1的正实数x ，y ，所有基本事件构成区域01(,)|01x x y y Ω⎧⎫<<⎧⎪⎪=⎨⎨⎬<<⎪⎪⎩⎩⎭，即正方形ABCD 内部；事件N =“以x ，y 与1为边长能构成锐角三角形”包含的基本事件构成区域220101(,)|11x y N x y x y x y ⎧⎫<<⎧⎪⎪⎪<<⎪⎪⎪=⎨⎨⎬+>⎪⎪⎪⎪⎪⎪+>⎩⎩⎭，即扇形BAD 以外正方形ABCD 以内的阴影部分. 由（1）知π()14P N =-，全班56名同学每人随机写下一对都小于1的正实数x ，y ，可以看作在区域Ω中任取56个点；满足“以x ，y 与1为边长能构成锐角三角形”的(,)x y 共有12对，即有12个点落在区域N 中，故其概率为1235614=，用频率估计概率，有π31414-≈，即π11414≈，故1122π4 3.143147≈⨯=≈，即π的近似值为3.143．【方法点睛】本题主要考查了几何概型问题，其中解答中涉及几何概型及其概率的计算、几何概型的应用等知识点，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，此类问题的解答中仔细审题，转化为几何的度量关系是解答的关键． 5．几何概型中测度的选取不正确【例6】在等腰直角三角形ABC 中,直角顶点为C . （1）在斜边AB 上任取一点M ,求AM <AC 的概率;（2）在∠ACB 的内部,以C 为端点任作一条射线CM ,与线段AB 交于点M ,求AM <AC 的概率.（2）在∠ACB 的内部作射线CM ，则所求概率为2AC AC AB AB '==【错因分析】第（2）问的解析中错误的原因在于选择的观察角度不正确，因为在∠ACB 的内部作射线CM 是均匀分布的，所以射线CM 作在任何位置都是等可能的，则涉及的测度应该是角度而不是长度. 【正解】（1）如图所示,在AB 上取一点C ',使AC '=AC ,连接CC '. 由题意,知AB 2 C.由于点M 是在斜边AB 上任取的,所以点M 等可能分布在线段AB 上,因此基本事件的区域应是线段AB . 所以()22AC P AM AC AB AC'<===.（2）由于在∠ACB 内作射线CM ,等可能分布的是CM 在∠ACB 内的任一位置(如图所示),因此基本事件的区域应是∠ACB ,又1(18045)67.52ACC '∠=-=，90ACB ∠=，所以()ACC P AM AC ACB '∠<==∠的角度的角度67.53904=.【名师点睛】在确立几何概型的基本事件时,一定要选择好观察角度,注意判断基本事件的等可能性.1．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，向游戏盘上投掷一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是A B C D2．一个圆及其内接正三角形如图所示，某人随机地向该圆内扎针，则针扎到阴影区域的概率为 A 3B 33C 3D 33．在棱长为3的正方体内任取一个点，则这个点到各面的距离都大于1的概率为A ．13B ．19C ．127D ．344．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于等于a 的概率为A．22B．2π2C．16D．1π65．在长为12 cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形的面积大于20 cm2的概率为A．16B．13C．23D．456．在区间[–π，π]内随机取两个实数，分别记为a，b，则使得函数f（x）=x2+2ax–b2+π有零点的概率为A．78B．34C．12D．147．已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为12，则ADAB=A．12B．14C．3D．78．如图，长方体ABCD–A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A–A1BD内的概率为___________．9．如图所示，在平面直角坐标系内，任作一条射线OA，则射线OA落在阴影内的概率为___________．10．向圆内随机投掷一点，此点落在该圆的内接正n（n≥3，n∈N）边形内的概率为P n，下列论断正确的是A．随着n的增大，P n减小B ．随着n 的增大，P n 先增大后减小C ．随着n 的增大，P n 增大D ．随着n 的增大，P n 先减小后增大11．某同学到公共汽车站乘车去学校，可乘坐8路、23路公共汽车，其中8路车每10分钟一班，23路车每15分钟一班，则该同学等车不超过8分钟的概率为___________．12．一只受伤的丹顶鹤在如图所示（直角梯形）的草原上飞过，其中AD=2，DC=2，BC=1．它可随机落在该草原上任何一处，若落在扇形沼泽区域ADE 以外，丹顶鹤能生还，求该丹顶鹤生还的概率．13．利用计算机随机模拟方法计算y=4x 2与y=4所围成的区域Ω的面积时，可以执行以下算法步骤：第一步，利用计算机产生两个在[0，1]内的随机数a ，b ； 第二步，对随机数a ，b 实施变换：112-14a a b b =⎧⎨=⎩，得到点A （a 1，b 1）；第三步，判断点A （a 1，b 1）的坐标是否满足b 1<421a ；第四步，累计所产生的点A 的个数m 及满足b 1<421a 的点A 的个数n ；第五步，判断m 是否小于M （一个设定的数），若是，则回到第一步，否则，输出n 并终止算法． 若设定的M=150，且输出的n=51，请据此用随机模拟方法估计出区域Ω的面积（结果保留到小数点后两位）．14．已知|p|≤3，|q|≤3，点（p，q）均匀分布．（1）点M（x，y）的横、纵坐标由掷骰子确定，第一次确定横坐标，第二次确定纵坐标，求点M（x，y）落在上述区域的概率；（2）求方程x2+2px–q2+1=0有两个实数根的概率．15．已知关于x的一元二次方程x2–2（a–2）x–b2+16=0．（1）若a，b是一枚骰子先后投掷两次所得到的点数，求该一元二次方程有两个正实数根的概率；（2）若a∈[2，6]，b∈[0，4]，求该一元二次方程没有实数根的概率．16．城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客的需求，为此，某市公交公司在某站台的60名候车的乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成五组，如下表所示：组别一二三四五候车时间/min [0，5）[5，10）[10，15） [15，20） [20，25）人数 2 6 4 2 1（1）估计这15名乘客的平均候车时间；（2）估计这60名乘客中候车时间少于10 min的人数；（3）若从第三、四组的6人中选2人进行进一步的问卷调查，求抽到的2人恰好来自不同组的概率．17．（2018•新课标Ⅰ）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，A C．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则A ．p 1=p 2B ．p 1=p 3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 318．（2017•新课标Ⅰ）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．8πC ．12D ．4π 19．（2017•江苏）记函数f （x ）=26x x +-定义域为D ．在区间[–4，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是__________．1 2 3 4 5 6 7 10 17 18 ABCDCBDCAB1．【答案】A【解析】四个选项中小明中奖的概率分别为3111,,,8433，故应选A 中的游戏盘．2．【答案】B【解析】设正三角形的边长为a ，圆的半径为R ，则R=33a ，所以正三角形的面积为34a 2，圆的面积S=πR2=13πa2．由几何概型的概率计算公式，得针扎到阴影区域的概率P=22341π3aa=334π，故选B．4．【答案】D【解析】点P到点A的距离小于等于a可以看作是随机的，点P到点A的距离小于等于a可视作构成事件的区域，棱长为a的正方体1111ABCD A B C D-可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算概率．3314π183π6aPa⨯==，故选D．5．【答案】C【解析】设AC=x cm，则BC=（12–x）cm，若矩形的面积大于20 cm2，则x（12–x）>20，解得2<x<10，故所求概率P=10-212=23．6．【答案】B【解析】由题意，知点（a，b）在边长为2π的正方形边上及内部．要使函数f（x）=x2+2ax–b2+π有零点，需满足4a2+4b2–4π≥0，即a2+b2≥π，a2+b2≥ππ阴影部分所示，所以其面积为4π2–π2=3π2，所以函数f（x）有零点的概率为223π4π=34．8．【答案】16【解析】设事件M 为“此动点在三棱锥A –A 1BD 内”，则P （M ）=11111--A A BD ABCD A B C D V V 三棱锥长方体=11111--A ABD ABCD A B C D V V 三棱锥长方体=11111-1·3ABDABCD A B C D AA S V 长方体=1111·32·ABCDABCD AA S AA S 矩形矩形=16．9．【答案】16【解析】以O 为起点的射线OA 等可能地落在坐标系中，区域角度为360°，而射线OA 落在阴影内的区域角度为60°，所以射线OA 落在阴影内的概率是60360︒︒=16． 10．【答案】C【解析】根据几何概型的概率计算公式有P n =n S S 正边形圆，而圆的面积固定，正n 边形的面积随n 的增大而增大，所以P n 也增大． 11．【答案】6875【解析】设该同学到站x 分钟后23路车到站，y 分钟后8路车到站，则0≤x ≤15，0≤y ≤10，如图．若等车不超过8分钟，即8分钟内乘坐8路车或23路车，记为事件M ，则事件M 所对应的区域（如图中阴影部分）的面积为8×8+2×8+7×8=136，整个区域（矩形OABC ）的面积为10×15=150，所以所求概率P （M ）=136150=6875．12．【答案】1–π10． 【解析】过点D 作DF ⊥AB 于点F ，如图所示．在Rt △AFD 中，因为AD=2，DF=BC=1，所以AF=1，∠A=45°，所以梯形ABCD 的面积S 1=12×（2+2+1）×1=52． 扇形DAE 的面积S 2=π×（2）2×45360︒︒=π4．根据几何概型的概率计算公式，得丹顶鹤生还的概率P=121S S S -=5π2452-=1–π10．13．【答案】S Ω≈5.28．【解析】因为0101a b ≤≤⎧⎨≤≤⎩，且11214a a b b =-⎧⎨=⎩，所以111104a b -≤≤⎧⎨≤≤⎩，依题意区域Ω为如图所示的阴影部分，设区域Ω的面积为S Ω，则ABCDS S Ω矩形≈150-51150， 所以42S Ω⨯≈99150，解得S Ω≈5.28． 14．【答案】（1）14．（2）36π36-．【解析】（1）点M （x ，y ）的横、纵坐标由掷骰子确定，第一次确定横坐标，第二次确定纵坐标， 共有36个不同的坐标，而落在已知区域的点M 有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3）， （3，1），（3，2），（3，3），共9个，所以点M（x，y）落在已知区域的概率P1=936=14．（2）因为方程x2+2px–q2+1=0有两个实数根，所以Δ=（2p）2–4（–q2+1）≥0，解得p2+q2≥1，又|p|≤3，|q|≤3，故由图易知满足条件的点（p，q）所在区域的面积为36–π，所以方程x2+2px–q2+1=0有两个实数根的概率P2=36π36．（2）试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4}，其面积为S（Ω）=16．设“该一元二次方程没有实数根”为事件B，则构成事件B的区域Ω'={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4，（a–2）2+b2<16}，其面积为S（Ω'）=14×π×42=4π，故所求的概率为P（B）=4π16=π4．【名师点睛】几何概型和古典概型中每个基本事件发生的可能性都是相等的，古典概型要求基本事件有有限个，而几何概型要求基本事件有无限个，且几何概型多与事件的区域面积（长度或体积）有关．16．【答案】（1）10.5（min）．（2）32．（3）8 15．【解析】（1）这15名乘客的平均候车时间约为115×（2.5×2+7.5×6+12.5×4+17.5×2+22.5×1）=115×157.5=10.5（min ）． （2）这15名乘客中候车时间少于10 min 的频率为2615+=815，所以这60名乘客中候车时间少于10 min 的人数大约为60×815=32．17．【答案】A【解析】如图：设BC =2r 1，AB =2r 2，AC =2r 3，∴r 12=r 22+r 32，∴S Ⅰ=12×4r 2r 3=2r 2r 3，S Ⅲ=12×πr 12–2r 2r 3，S Ⅱ=12×πr 32+12×πr 22–S Ⅲ=12×πr 32+12×πr 22–12×πr 12+2r 2r 3=2r 2r 3，∴S Ⅰ=S Ⅱ，∴P 1=P 2，故选A ． 18．【答案】B【解析】根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，则黑色部分的面积S =2π，则对应概率P =24π=8π，故选B ．19．【答案】59【解析】由6+x –x 2≥0得x 2–x –6≤0，得–2≤x ≤3，则D =[–2，3]，则在区间[–4，5]上随机取一个数x ， 则x ∈D 的概率P =()()3254----=59，故答案为：59．。

3.3几许概型（二）
一、概率与线性规划的交汇问题
1假定你家订了一份报纸，送报人可能在早上6:30～7:30之间把报纸送到你家，你父亲脱离
家去上班的时刻在早上7:00～8:00之间，如果把“你父亲在脱离家之前能得到报纸”称为
事情A，求P(A).
2. 甲乙两人相约上午8点到9点在某地会晤，先到者等候另一人20分钟，过期离去，求甲
乙两人能会晤的概率.
3. 将一长为18cm的线段随机地分红三段，则这三段可以组成一三角形的概率是多少？
二、抽取与分组问题
2. 在一个盒中装有6支圆珠笔.其间3支一等品，2支二等品和1支三等品，从中任取3支，
问下列事情的概率有多大？
1.恰有一支一等品；
2.恰有两支一等品；
3.没有三等品.
【答案】（1）（2）（3）
3. 柜子里有3双不同的鞋，随机地取出2只，
试求下列事情的概率，并阐明它们的联系：
1.取出的鞋不成对；
2.取出的鞋都是左脚的；
3.取出的鞋都是同一只脚的；
4.取出的鞋是一仅仅左脚的，一仅仅右脚的，但它们不成
对.
三、概率与方程、函数的交汇问题
作业
《习案》作业：三十五。

高考数学复习点拨约会型几何概型问题第一篇：高考数学复习点拨约会型几何概型问题谈“约会型”概率问题的求解由两个量决定的概率问题，求解时通过坐标系，借助于纵、横两轴产生公共区域的面积，结合面积产生问题的结论，我们称此类问题为“约会型”概率问题；“约会型”概率问题的求解，关键在于合理、恰当引入变量，再将具体问题“数学化”，透过数学模型，产生结论。

请看以下几例：例1、甲、乙两人约定在晚上7时到8时之间在公园门口会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，这时即可离去，那么两人见面的概率是多少？解：以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间，那么两人能见面的充要条件是|x-y|≤15，如图由于(x,y)的所有可能结果是边长为60的正方形，可能会面的时间由图中阴影部分所表示，记“两人能见面”为事件A602-4527=因此，两人见面的概率P(A)=16602点评：显然，“以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间”很关键，由这一句，将一个实际问题引入了数学之门，进一步分析会发现：要见面x,y必须满足|x-y|≤15，于是，结论也就顺其自然的产生了。

例2、A、B两列火车都要在同一车站的同一停车位停车10分钟，假设它们在下午一时与下午二时随机到达，求这两列火车必须等待的概率；解：以x轴和y轴分别表示A、B两列火车到达的时间两列火车必须等待，则|x-y|≤10，如图由于(x,y)的所有可能结果是边长为60的正方形，可能等待的时间由图中阴影部分所表示，记“两列火车必须等待” 为事件A 602-50211=因此，这两列火车必须等待的概率是P(A)= 23660点评：本题与例1相同，“火车必须等待”，那么它们的到达时间差必须不大于10分钟，于是，将A、B两列火车到达车站的时间分别用x,y 表示，结论很快产生。

例3、小明每天早上在六点半至七点半之间离开家去学校上学，小强每天早上六点到七点之间到达小明家，约小明一同前往学校，问小强能见到小明的概率是多少？解：如图，方形区域内任何一点的横坐标表示小强的到达时间，纵坐标表示小明离开家的时间，由于区域内任意一点的出现是等可能的，因此，符合几何概型的条件；由题意，只要点落在阴影部分内，就表示小强能见到小明，即事件A发生，用心爱心专心⎧6≤x≤7⎪所以，由⎨6.5≤y≤7.5⎪y>x⎩1602-⨯30272得P(A)=，=86027即小强能见到小明的概率是。

3.3 几何概型案例探究判断下列试验中事件A 发生的概率是否是古典概型？若不是，它又是什么概型呢？ （1）抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；（2）如右图所示，图中有一个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B 区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率.分析：本题探究的是几何概型与古典概型的特点，古典概型具有有限性和等可能性，而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度有关 解：（1）抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6=36种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型.（2）游戏中指针指向B 区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部分”.概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域长度有关，因此属于几何概型. 请同学们再想想下面问题. 某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各地的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于10分钟的概率.分析：假设他在0～60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的，但在0到60分钟之间有无穷多个时刻，不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.我们可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班，他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的，所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件. 解：设A={等待的时间不多于10分钟}，我们所关心的事件A 恰好是到站等车的时刻位于［50，60］这一时间段内，因此由几何概型的概率公式，得 P （A ）=61605060=-． 即“等待的时间不多于10分钟”的概率为61．自学导引1．对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型（geometric probability model ）. 2．几何概型的两个基本特征：（1）无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个. （2）等可能性：每个结果的发生具有等可能性.3．一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率 P （A ）=的测度的测度D d .这里要求D 的测度不为0，其中“测度”的意义依D 确定，当D 分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等.4．几何概型的试验中，事件A 发生的概率P （A ）只与子区域d 的测度（长度、面积、体积）成正比，而与子区域d 的位置和形状无关.疑难剖析古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型的基本事件则有无限多个.计算几何概型的概率要先计算基本事件总体与事件A 包含的基本事件对应的区域的测度（角度、面积、体积），而这可能遇到困难，这是本节难点之一.实际上本节的重点不在于计算，而在于如何利用几何知识，把问题转化为各种几何概型的概率问题.同时要注意判断基本事件的等可能性，这需要严谨思维，切忌想当然，需要从问题的实际背景中去判断.【例1】 在等腰Rt △ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 的长小于AC 的长的概率.思路分析：点M 随机地落在线段AB 上，故线段AB 为区域D ．当点M 位于图中线段AC′上时，AM<AC ．故线段AC′即为区域D ．解：在AB 上截取AC′=AC ．于是P （AM<AC)=P(AM<AC′)= 22=='AB AC AB C A .思维陷阱：如右图，在等腰Rt △ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM<AC 的概率.错解：在AB 上取AC′=AC,在∠ACB 内作射线CM 看作在线段AC 上任取一点M ，过C 、M 作射线CM ，则概率为22=='AB AC AB C A . 错因分析：虽然在线段上任取一点是等可能的，但过点C 和任取的点所作的射线是不均匀的，因而不能把等可能取点看作等可能作射线.因此在确定基本事件时，一定要注意选择好观察角度，注意判断基本事件发生的等可能性正解：在∠ACB 内的射线CM 是均匀分布的，所以射线CM 作在任何位置都是等可能的.在AB 上取AC′=AC ，则∠ACC′=67．5°，故满足条件的概率为905.67=0.75． 思维启示：判断基本事件应从“等可能”的角度入手，选择好观察角度.【例2】 如右图，在直角坐标系内，∠xOT=60°，任作一条射线OA ，求射线OA 落在∠xOT 内的概率.思路分析：以O 为起点作射线OA 是随机的，因而射线OA 落在任何位置都是等可能的.落在∠xOT 内的概率只与∠xOT 的大小有关，符合几何概型的条件. 记B={射线OA 落在∠xOT 内}. ∵∠xOT=60°, ∴P(B)=36060=61． 思维启示：此题关键是搞清过O 作射线OA 可以在平面内任意作，而且是均匀的.因而基本事件的发生是等可能的.【例3】 如右图，在墙上挂着一块边长为16cm 的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2cm 、4cm 、6cm,某人站在3 m 之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时都不算，可重投，问：（1）投中大圆内的概率是多少？（2）投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？ （3）投中大圆之外的概率是多少？思路分析：投中正方形木板上每一点（投中线上或没投中都不算）都是一个基本事件，这一点可以是正方形木板上任意一点，因而基本事件有无限多个，且每个基本事件发生的可能性都相等，所以投中某一部分的概率只与这部分的几何度量（面积）有关，这符合几何概型的条件.解：记A={投镖击中大圆内}，B={投镖击中小圆与中圆形成的圆环}， C={投镖击中大圆之外}. S 正方形=162=256， S 大圆=π×62=36π, S 中圆=π×42=16π, S 小圆=π×22=4π． ∴P(A)=ππ64925636=正方形大圆S S ．P(B)=ππππ64325612256416==-=-正方形小圆中圆S S S ．P(C)=ππ649125636256-=-=-正方形大圆正方形S S S ．答：投中大圆内的概率是649π；投中小圆与中圆形成的圆环的概率为643π；投中大圆之外的概率是1-649π． 思维启示：投中线上或没投中不算，是为了保证投中正方形内各部分的任意一点都是等可能的，因而可用几何概型的概率公式求概率. 【例4】 在500mL 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2mL 水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率.思路分析：由于草履虫在水中什么位置是随机的，而取水样也具有随机性，所以取哪一部分水样的可能性相等.因而取到草履虫的概率只与所取水样的体积有关.这符合几何概型的条件.解：记事件A={在取出的2mL 水样中有草履虫}.由几何概率公式得，P （A ）=5002=0.004． 【例5】 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去.求两人能会面的概率.思路分析：甲、乙两人中每人到达会面地点的时刻都是6时到7时之间的任一时刻，如果在平面直角坐标系内用x 轴表示甲到达约会地点的时间，y 轴表示乙到达约会地点的时间，用0分到60分表示6时到7时的时间段，则横轴0到60与纵轴0到60的正方形中任一点的坐标（x,y ），就表示甲、乙两人分别在6时到7时时间段内到达的时间.而能会面的时间由|x-y|≤15所对应的图中阴影部分表示.由于每人到达的时间都是随机的，所以正方形内每个点都是等可能被取到的（即基本事件等可能发生）.所以两人能会面的概率只与阴影部分的面积有关，这就转化为面积型几何概率问题.解：以x 和y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x-y|≤15．在如右图所示平面直角坐标系下，(x,y)的所有可能结果是边长为60的正方形，而事件A“两人能够会面”的可能结果由上图中的阴影部分表示.由几何概率公式得：P （A ）=16760035751600302526003604560222==-=-=S S A 答：两人能会面的概率是167． 思维启示：本题的难点是把两个时间分别用x,y 两个坐标表示，构成平面内的点（x,y ），从而把时间这个一维长度问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型几何概率问题.拓展迁移 【拓展点】 乔和摩进行了30分钟的关于他们前一天夜里进行的活动的谈话，然而谈话却被监听录音机录了下来，联邦调查局拿到磁带并发现其中有10秒钟长的一段内容包含他们俩犯罪的信息，然而后来发现，这段谈话的一部分被联邦调查局的一名工作人员擦掉了，该工作人员声称她完全是无意中按错了键，使从此处往后的所有内容都被擦掉了.试问：如果这10秒钟的谈话记录开始于磁带记录后的半分钟处，那么含有犯罪内容的谈话被部分或全部偶然擦掉的概率将是多大？ 分析：包含两人犯罪的谈话录音的部分在30 s 到40s 之间，当按错键的时刻在这段时间内时，部分被擦掉，当按错键的时刻在0到30 s 之间时全部被擦掉，即在0到40s 之间即0到32min 之间的时间段内按错键时含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉，而0到30 min之间的时间段内任一时刻按错键的可能性是相等的，所以按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率只与从开始到谈话内容结束的时间段长度有关，符合几何概型的条件. 解：记A={按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉}，A 发生就是在0到32min 时间段内按错键.P （A ）=4513032．。

几何概型疑点辨析及生活应用解疑解一、几何概型的定义1.几何概型的定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成正比，则称这样的概率模型为几何概型．2．几何概型的概率计算公式，在几何概型中，事件A 的概率的计算公式如下： ())()(A 面积或体积的区间长度试验的全部结果所构成面积或体积的区间长度构成事件=A P 二、疑点辨析1.概率为零的事件不一定是不可能事件不可能事件的概率一定为零，即若∅=A ，则0)(=A P 。

但反之不然，概率为零的事件却不一定是不可能事件，即若0)(=A P ，则不一定有∅=A 。

例如,在几何概率中，设}4:),{(22≤+=Ωy x y x ，}1:),{(22=+=y x y x A .Ω为圆域，而A 为其中一圆周.则 040)(==Ω=π的面积的面积A A P 。

显然，A 是可能发生的，即若向Ω内随机投点，点落在圆周122=+y x 上的情况是可能发生的。

仅在样本点有限（比如古典概型）或样本点可数这种特殊的情况下,若0)(=A P ，则∅=A 。

2.在求解几何概率问题时,几何度量找不准是经常出错的原因之一.例 在0～1之间随机选择两个数,这两个数对应的点把0～1之间的线段分成了三条线段,试求这三条线段能构成三角形的概率.错解:因为⎪⎩⎪⎨⎧<+>+121y x y x 所以121<+<y x ,于是()211211,01,21==⎪⎭⎫ ⎝⎛=P 。

错解分析：本题误把长度看作几何度量．正确解法：设三条线段的长度分别为,1,,y x y x --则⎪⎩⎪⎨⎧<--<<<<<1101010y x y x 即⎩⎨⎧+-<<<<1010x y x . 在平面上建立如图所示的直角坐标系，直线1,0,1,0+-====x y y x x 围成如图所示三角形区域G ，每一对()y x ,对应着G 内的点()y x ,，由题意知,每个试验结果出现的可能性相等，因此，试验属于几何概型，三条线段能构成三角形，当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧>->--->+y y x x y x y x 111即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<+->212121y x x y因此图中的阴影区域g 就表示“三条线段能构成三角形”,容易求得g 的面积为81,G 的面积为21,则P (这三条线段能构成三角形)41G ==的面积的面积g . 三、生活应用解疑解:在奖品的诱惑面前要冷静在一所小学的门口有人设一游戏（如图）吸引许多小学生参加。