第02题 命题真假的判断-2019届原创精品之高中数学(理)黄金100题系列(解析版)

第2题 命题真假的判断I ．题源探究·黄金母题【例1】将下列命题改成“若p ，则q ”的形式，并判断真假 （1）垂直于同一条直线的两条直线平行； （2）负数的立方是负数； （3）对顶角相等．【解析】（1）若两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线平行．它是假命题．（2）若一个数是负数，则这个数的立方是负数．它是真命题． （3）若两个角是对顶角，则这两个角相等．它是真命题．精彩解读【试题来源】人教版A 版选修1-1，2-1第4页例3．【母题评析】本题考查了假言命题的形式及其真假的判定．作为基础题，命题的四种形式及其真假的判定，是历年来高考的一个常考点．【思路方法】可以借助相关的基础知识判定一个命题是真命题，而判断假命题只要举一个反例即可！II ．考场精彩·真题回放【例2】【2018高考北京理13】能说明“若()(0)f x f >对任意的(]0,2x ∈都成立，则()f x 在[]0,2上是增函数”为假命题的一个函数是 ． 【答案】sin y x =（答案不唯一）【解析】试题分析：举的反例要否定增函数，可以取一个分段函数，使得()()0f x f >且(]02,上是减函数． 试题解析：令(]000)2(4x f x x x =⎧⎪=⎨-∈⎪⎩,,,,，则()()0f x f >对任意的(]0,2x ∈都成立，但()f x 在[]02,上不是增函数． 又如，令()sin f x x =，则()()()000f f x f =>,对任意的(]0,2x ∈都成立，但()f x 在[]02,上不是增函数．【命题意图】本题考查全称命题真假的判断，属容易题．它考查学生的逻辑推理能力，考查学生分析问题与解决问题的能力． 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易．【难点中心】1．解答简易逻辑联结词相关问题，关键是要首先明确各命题的真假，利用或、且、非真值表，进一步作出判断；2．要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值0x ，使()0p x 不成立即可．通常举分段函数．III ．理论基础·解题原理考点一 四种命题及其真假的判断 （1）命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判定真假的陈述句叫做命题．其中，判定为真的命题叫真命题，判定为假的命题叫假命题．常用小写的拉丁字母p ，q ，r ，s ，……表示命题．（2）四种命题及其关系 ①四种命题及其关系②四种命题的真假关系同一个命题的逆命题与它的否命题互为逆否命题，互为逆否命题的两个命题同真假；互逆或互否的两个命题，它们的真假没有关系．因此任何一个命题的原命题、否命题、逆命题和逆否命题这四个命题中，真命题与假命题的个数总是偶数．考点二 含有逻辑联结词命题真假的判断逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词； 简单命题：不含逻辑联结词的命题；复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题．（1）复合命题有三种形式：p 或q （p q ∨）；p 且q （p q ∧）；非p （p ⌝）．（2）复合命题的真假判断：“p 或q ”形式复合命题的真假判断方法：一真必真；“p 且q ”形式复合命题的真假判断方法：一假必假；“非p ”形式复合命题的真假判断方法：真假相对．（3）含逻辑联结词命题真假的等价关系：①p q ∨真,p q ⇔至少一个真()()p q ⇔⌝∧⌝假； ②p q ∨假,p q ⇔都假()()p q ⇔⌝∧⌝真； ③p q ∧真,p q ⇔都真()()p q ⇔⌝∧⌝假； ④p q ∧假,p q ⇔至少一个假()()p q ⇔⌝∨⌝真； ⑤p ⌝真p ⇔假；p ⌝假p ⇔真．IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，一般难度较小，往往考查对基础知识的识记与理解．若为新定义题，则难度加大．【技能方法】（1）写出命题的四种形式中的某种时，要注意分清原命题的条件和结论，再比较每个命题的条件和结论与原命题之间的关系．判断命题真假的关键：一是识别命题的构成形式；二是将命题等价简化，再进行判断．判断命题真假的方法：一是联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断；二是利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断．要判断一个命题是假命题只需举出反例．（2）从集合的角度认识“或、且、非”：“或”是具有“选择性”的逻辑联结词，“或”的符号是“∨”，与集合的并集符号“”含义一致；“且”是具有“兼有性”的逻辑联结词，“且”的符号是“∧”，与集合的交集符号“”含义一致；“非”是具有“否定性”的逻辑联结词，“非”的符号是“⌝”，与集合的补集符号“C ”含义一致．因此常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个逻辑联结词构成的命题问题．【易错指导】（1）在四种命题的构造中，否命题和逆否命题都涉及对一些词语的否定，要特别注意下表中常见词语的否定．对构成它的命题,p q 的真假的判断对，但是对含有逻辑联结词的命题的真值表中的“且”与“或”搞混，应注意“p q ∧”是两真才真，一假必假；“p q ∨”是一真必真，两假才假，应注意区别．（3）否命题与命题的否定是两个不同的概念，它们的区别如下表： V ．举一反三·触类旁通考向1 四种命题及其真假的判断【例3】【2018河南豫南九校期末考】下列说法正确的是（ ） A ．“函数()f x 为奇函数”是“()00f =”的充分不必要条件B ．在ABC ∆中，“A B <”是“sin sin A B <”的既不充分也不必要条件 C ．若命题p q ∧为假命题，则,p q 都是假命题D ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠” 【答案】D【例4】【2018吉林长春五校1月联考】以下有关命题的说法错误．．的是（ ） A ．命题“若220x x --=，则1x =-”的逆否命题为“若1x ≠-，则220x x --≠” B ．“220x x +-=”是“1x =”成立的必要不充分条件C ．对于命题0p x R ∃∈：，使得20010x x -+<，则:p x R ⌝∀∈，均有210x x -+≥D ．若p q ∨为真命题，则p ⌝与q 至少有一个为真命题 【答案】D【解析】对于A ．命题“若220x x --=，则1x =-”的逆否命题为“若1x ≠-，则220x x --≠”正确；对于B ．“220x x +-=”则“12x x ==-或”，故“220x x +-=”是“1x =”成立的必要不充分条件，正确；对于C ．对于命题0p x R ∃∈：，使得20010x x -+<，则:p x R ⌝∀∈，均有210x x -+≥，正确；对于D ．若p q ∨为真命题，则p 与q 至少有一个为真命题，故D 错误，故选D【例5】【2018超级全能生9月联考】下列说法正确的是（ ）A ．命题“若2340x x --=，则4x =．”的否命题是“若2340x x --=，则4x ≠．”B ．0a >是函数ay x =在定义域上单调递增的充分不必要条件 C ．()000,0,34xx x ∃∈-∞<D ．若命题:,3500n P n N ∀∈>，则00:,3500np n N ⌝∃∈≤【答案】D【解析】“若p 则q”的否命题是“若P ⌝则q ⌝”，所以A 错．23y x =在定义上并不是单调递增函数，所以B 错．不存在()000,0,34xxx ∈-∞<，C 错．全称性命题的否定是特称性命题，D 对，选D ．【跟踪练习】1．【2018河南郑州一模】下列说法正确的是（ ） A ．“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤” B ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题 C ．()00,x ∃∈+∞，使0034xx>成立D ．“若1sin 2α≠，则6πα≠”是真命题 【答案】D2．【2018湖南十四校联考二】下列有关命题的说法中错误的是（ ） A ．设,a b R ∈，则“a b >”是“a a b b >”的充要条件 B ．若p q ∨为真命题，则p ，q 中至少有一个为真命题C ．命题：“若()y f x =是幂函数，则()y f x =的图象不经过第四象限”的否命题是假命题D ．命题“*n N ∀∈，()*f n N ∈且()f n n ≤”的否定形式是“*0n N ∃∈，()*0f n N ∉且()00f n n >”【答案】D【解析】A ．设f x x x =（） ，则220{ 0x x f x x x ≥=-，（），＜，则当0x ≥时，函数f x （）为增函数，当0x ＜ 时，函数f x （）为增函数，00f =∴（）， 函数f x （））在-∞+∞（，） 上是增函数，则若a b ＞，则f a f b （）＞（），即|a a b b ＞|成立，则“a b >”是“a a b b >”的充要条件，故A 正确；B 若p q ∨为真命题，则p ，q 中至少有一个为真命题，正确；C 命题的逆命题是若()y f x =的图象不经过第四象限，则()y f x =是幂函数，错误比如函数2x y = 的函数图象不经过第四象限，满足条件，但函数f x （）是指数函数，故命题的逆命题是假命题，则命题的否命题也是假命题，故C 正确，D ．命题“*n N ∀∈，()*f n N ∈且()f n n ≤”的否定形式是**0000“”n N f n N f n n ∃∈∉，（）或（）＞ ，故d 错误，故选D ．【名师点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题，含有量词的命题的否定，复合命题以及充分条件和必要条件的判断，知识点较多综合性较强，但难度不大．3．【2018江西八校4月联考】给出下列四个命题：①“若0x 为()=y f x 的极值点，则()0'0f x =”的逆命题为真命题； ②“平面向量a ，b 的夹角是钝角”的充分不必要条件是•0a b < ③若命题1:01p x >-，则1:01p x ⌝≤-； ④命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈均有210x x ++≥”． 其中不正确．．．的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C考向2 含有逻辑联结词命题真假的判断【例6】【2018湖北八校12月联考】已知命题:,p a b R ∃∈，a b >且11a b>，命题:q x R ∀∈，3sin cos 2x x +<．下列命题是真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧ C ．p q ∧⌝ D ．p q ⌝∧⌝【答案】A【解析】对于命题p ，当1,1a b ==-时，a b >且11a b>成立，故命题p 为真命题；对于命题q ，∵sin cos 4x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，，故x R ∀∈，3sin cos 2x x +<为真命题，由以上可得p q∧为真，故选A ．【例7】【2018豫南九校联考二】已知命题p ： 0x R ∃∈，使得0sin x =q ：在ABC ∆中，若A B >，则sin sin A B >，下列判断正确的是（ ）A ．q 为假B ．p q ∨为假C ．p q ∧为假D ．p 为真 【答案】C【解析】∵0sin 1x ≤<，∴命题p 为假命题；∵A B >，∴a b >，由正弦定理易得： sin sin A B >，命题q 为真命题；∴p q ∧为假命题，故选C ．【例8】【2018福建漳州1月调研】已知命题p ：椭圆25x 2＋9y 2＝225与双曲线x 2－3y 2＝12有相同的焦点；命题q ：函数()f x =的最小值为52，下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(p ⌝)∧q C ．⌝ (p ∨q) D ．p ∧(⌝q) 【答案】B【跟踪练习】1．【2018福建闽侯四中期末考】已知命题:p “a b >”是“22ab>”的充要条件； :,ln xq x R e x ∃∈<，则（ ）A ．p q ⌝∨为真命题B ．p q ∧⌝为假命题C ．p q ∧为真命题D ．p q ∨为真命题 【答案】D【解析】函数2x y =是增函数，所以22a b a b >⇔>，所以是充要条件，所以命题p 使正确的，为真命题，由图像可知x y e =和ln y x =关于直线y x =对称，没有交点，所以不存在x R ∈，使ln x e x <，所以命题q 使错误的，为假命题，根据复合命题的真假可知p q ∨是真命题，故选D ．2．【2018广西防城港市1月模拟】已知命题:p “若20x x ->，则1x >”；命题:q “若,x y R ∈，220x y +=，则0xy =”，则下列命题是真命题的是（ ）A ．()p q ∨⌝B ．p q ∨C ．p q ∧D ．()()p q ⌝∧⌝ 【答案】B3．【2018华大新高考联盟1月考】设命题:p 向量()()1,1,0,2a b ==，则a 在b 方向上的投影为1，命题2:1q x <是1x <的必要非充分条件，则下列说法正确的是（ ）A ．命题p q ∨是假命题B ．命题p q ∧是真命题C ．命题()p q ⌝∨是真命题D ．命题()p q ∧⌝是真命题 【答案】D【解析】由题意可得： 022,2,2a b a b ⋅=+===，则2cos ,a b ==，则两向量,a b的夹角为4π，a 在b 方向上的投影为cos14a π⨯==，命题p 为真命题，很明显命题q 为假命题， 逐一考查所给的选项：A ．命题p q ∨是真命题；B ．命题p q ∧是假命题；C ．命题()p q ⌝∨是假命题；D ．命题()p q ∨⌝是真命题，故选D ．【名师点睛】p q ∧为真，即p 与q 同时为真．p q ∧为假，即p 与q 中至少有一个为假；p ∨ q 为真，即p 与q 至少有一个为真．pq 为假，即p 与q 同时为假．。