多面体与球的内切和外接常见类型归纳

多面体的外接球及内切球一、长方体、正方体（1）球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。

设正方体的棱长为a ，球半径为R 。

如图3，截面图为正方形EFGH 的内切圆，得2a R =； （2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，易得a R 22=。

（3）正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面1AA 作截面图得，圆O 为矩形C C AA 11的外接圆，易得a O A R 231==。

（4）长方体的外接球：R =12√a 2+b 2+c 2例1、在球面上有四个点P 、A 、B 、C .如果PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且a PC PB PA ===,那么这个球的表面积是______.练习1、已知三棱锥D －ABC 中，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，BD ＝5，AC ＝2，BC ⊥AD ，则该三棱锥的外接球的表面积为( )A ．6πB ．6πC ．5πD ．8π答案 B解析 ∵由勾股定理易知AB ⊥BC ，DA ⊥BC ，∴BC ⊥平面DAB ．∴CD ＝BD 2＋BC 2＝6．∴AC 2＋AD 2＝CD 2．∴DA ⊥AC ．取CD 的中点O ，由直角三角形的性质知O 到点A ，B ，C ，D 的距离均为62，其即为三棱锥的外接球球心．故三棱锥的外接球的表面积为4π×⎝⎛⎭⎫622＝6π． 练习2、如图，边长为2的正方形ABCD 中，点E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，将△AED ，△EBF ，△FCD 分别沿DE ，EF ，FD 折起，使A ，B ，C 三点重合于点A ′，若四面体A ′EFD 的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为( )A. 2 B ．62 C.112D ．52【解析】易知四面体A ′EFD 的三条侧棱A ′E ，A ′F ，A ′D 两两垂直，且A ′E ＝1，A ′F ＝1，A ′D ＝2，把四面体A ′EFD 补成从顶点A ′出发的三条棱长分别为1，1，2的一个长方体，则长方体的外接球即为四面体A ′EFD 的外接球，球的半径为r ＝1212＋12＋22＝62.故选B. 【答案】 B二、根据性质确定球心1、正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)． 外接球：球心是正四面体的中心；半径r ＝64a (a 为正四面体的棱长)． 内切球：球心是正四面体的中心；半径r ＝612a (a 为正四面体的棱长)． 例2、正四面体的外接球和内切球的半径是多少？2、其它多面体例3、正三棱锥A ­BCD 内接于球O ，且底面边长为3，侧棱长为2，则球O 的表面积为________． 【解析】如图，M 为底面△BCD 的中心，易知AM ⊥MD ，DM ＝1，AM ＝ 3.在Rt △DOM 中，OD 2＝OM 2＋MD 2，即OD 2＝(3－OD )2＋1，解得OD ＝233，故球O 的表面积为4π×⎝⎛⎭⎫2332＝163π. 【答案】163π 练习3、已知三棱锥S ­ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S ­ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．【解析】设球O 的半径为R ，因为SC 为球O 的直径，所以点O 为SC 的中点，连接AO ，OB ，因为SA ＝AC ，SB ＝BC ，所以AO ⊥SC ，BO ⊥SC ，因为平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，所以AO ⊥平面SCB ，所以V S ­ABC ＝V A ­SBC ＝13×S △SBC ×AO ＝13×(12×SC ×OB )×AO ，即9＝13×(12×2R ×R )×R ，解得R ＝3，所以球O 的表面积为S ＝4πR 2＝4π×32＝36π.练习4、如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1O 2的体积为V 1，表面积为S 1，球O 的体积为V 2，表面积为S 2，则V 1V 2的值是__________，S 1S 2＝________.【解析】 (1)设圆柱内切球的半径为R ，则由题设可得圆柱O 1O 2的底面圆的半径为R ，高为2R ，所以V 1V 2＝πR 2·2R 43πR 3＝32.S 1S 2＝2πR ·2R ＋2πR 24πR 2＝32. 【答案】 (1)32 32例4、在边长为32的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，沿对角线BD 折成二面角C BD A --为120︒的四面体ABCD ，则此四面体的外接球表面积为．【解析】取BD 的中点M ，ABD △和CBD △的外接圆半径为221==r r ，ABD △和CBD △的外心21,O O 到弦BD 的距离（弦心距）为121==d d ，四边形21MO OO 的外接圆直径2=OM ，7=R ，28πS =．三、空间向量法在外接球中的应用例5、在四面体ABCD 中BC =CD =BD =AB ，90ABC ∠=，二面角A ­BC ­D 的平面角为150，则求四面体ABCD 外接球的表面积。

多面体的外接球和内切球一、结论1、球与多面体的接、切定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面体的外接球。

定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是多面体的内切球。

球的内切问题(等体积法)例如：在四棱锥P -ABCD 中，内切球为球O ，求球半径r .方法如下：V P -ABCD =V O -ABCD +V O -PBC +V O -PCD +V O -PAD +V O -PAB即：V P -ABCD =13S ABCD ⋅r +13S PBC ⋅r +13S PCD ⋅r +13S PAD ⋅r +13S PAB ⋅r ，可求出r .球的外接问题1.公式法正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点2.补形法(补长方体或正方体)①墙角模型(三条线两个垂直)题设：三条棱两两垂直(重点考察三视图)②对棱相等模型(补形为长方体)题设：三棱锥(即四面体)中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径(AB =CD ，AD =BC ，AC =BD )3.单面定球心法(定+算)步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥P-ABC中，选中底面ΔABC，确定其外接圆圆心O1(正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心2r=asin A)；②过外心O1做(找)底面ΔABC的垂线，如图中PO1⊥面ABC,则球心一定在直线(注意不一定在线段PO1上)PO1上；③计算求半径R:在直线PO1上任取一点O如图：则OP=OA=R，利用公式OA2=O1A2+OO12可计算出球半径R.4.双面定球心法(两次单面定球心)如图：在三棱锥P-ABC中：①选定底面ΔABC，定ΔABC外接圆圆心O1②选定面ΔPAB，定ΔPAB外接圆圆心O2③分别过O1做面ABC的垂线，和O2做面PAB的垂线，两垂线交点即为外接球球心O.二、典型例题1(2023春·湖南湘潭·高二统考期末)棱长为1的正方体的外接球的表面积为()A.3π4B.3πC.12πD.16π【答案】B【详解】解：易知，正方体的体对角线是其外接球的直径，设外接球的半径为R，则2R=12+12+12=3，故R=3 2．所以S=4πR2=4π×322=3π．故选：B．【反思】本例属于正方体外接球问题，其外接球半径公式可直接记忆.2(2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习)在四面体PABC中，PA⊥AB，PA⊥AC，∠BAC= 120°，AB=AC=AP=2，则该四面体的外接球的表面积为()A.12πB.16πC.18πD.20π【答案】D【详解】因为PA⊥AB，PA⊥AC，AB∩AC=A,AB,AC⊂平面ABC,所以PA⊥平面ABC.设底面△ABC的外心为G，外接球的球心为O，则OG⊥平面ABC，所以PA⎳OG.设D为PA的中点，因为OP=OA，所以DO⊥PA.因为PA⊥平面ABC，AG⊂平面ABC,所以PA⊥AG，所以OD⎳AG.因此四边形ODAG为平行四边形，所以OG=AD=12PA=1.因为∠BAC=120°，AB=AC=2，所以BC=AB2+AC2-2AB⋅AC cos∠BAC=4+4-2×2×2×-1 2=23,由正弦定理，得2AG=2332=4⇒AG=2.所以该外接球的半径R满足R2=OG2+AG2=5,故该外接球的表面积为S=4πR2=20π.故选:D.【反思】本例属于单面定球心问题①用正弦定理求出ΔABC外心G；②过G做平面ABC的垂线，则外接球球心O在此垂线上；③通过计算算出半径.3(2023秋·湖南娄底·高三校联考期末)《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图P-ABCD 是阳马，PA⊥平面ABCD，PA=5，AB=3，BC=4．则该阳马的外接球的表面积为()A.1252π3B.50π C.100π D.500π3【答案】B【详解】因PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，则PA⊥AB，PA⊥AD，又因四边形ABCD为矩形，则AB⊥AD.则阳马的外接球与以PA，AB，AD为长宽高的长方体的外接球相同.又PA=5，AB=3，AD=BC=4．则外接球的直径为长方体体对角线，故外接球半径为：R=PA 2+AB 2+AD 22=32+42+522=522，则外接球的表面积为：S =4πR 2=4π⋅504=50π.故选：B【反思】本例属于墙角型模型，通过补形，将原图形补成长方体模型，借助长方体模型求外接球半径.4(2023·全国·高三专题练习)已知菱形ABCD 的各边长为2,∠D =60°．如图所示，将ΔACD 沿AC 折起，使得点D 到达点S 的位置，连接SB ，得到三棱锥S -ABC ，此时SB =3．E 是线段SA 的中点，点F 在三棱锥S -ABC 的外接球上运动，且始终保持EF ⊥AC ，则点F 的轨迹的周长为()A.233π B.433π C.533π D.2213π【答案】C【详解】取AC 中点M ，则AC ⊥BM ,AC ⊥SM ,BM ∩SM =M ，∴AC ⊥平面SMB ，SM =MB =3，又SB =3，∴∠SBM =∠MSB =30°，作EH ⊥AC 于H ，设点F 轨迹所在平面为α，则平面α经过点H 且AC ⊥α，设三棱锥S -ABC 外接球的球心为O ,△SAC ,△BAC 的中心分别为O 1,O 2，易知OO 1⊥平面SAC ,OO 2⊥平面BAC ，且O ,O 1,O 2,M 四点共面，由题可得∠OMO 1=12∠O 1MO 2=60°，O 1M =13SM =33，解Rt △OO 1M ，得OO 1=3O 1M =1，又O 1S =23SM =233，则三棱锥S -ABC 外接球半径r =OO 21+O 1S 2=73，易知O 到平面α的距离d =MH =12，故平面α截外接球所得截面圆的半径为r 1=r 2-d 2=73-14=536，∴截面圆的周长为l =2πr 1=533π，即点F 轨迹的周长为533π．故选：C 【反思】此题典型的双面定球心。

多面体的外接球与内切球定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。

定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。

1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。

2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。

3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。

4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。

5、体积分割是求内切球半径的通用做法。

例1：在球面上有四个点P 、A 、B 、C .如果PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且a PC PB PA ===,求这个球的表面积是: .解：根据题意可得，C B A P 、、、位于一个棱长为a 的正方体上，故球为正方体的外接球，a R 23=，故这个球的表面积为22232344a a R S πππ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛== 1.设,,,P A B C 是球O 面上的四点,且,,PA PB PC 两两互相垂直,若PA PB PC a ===,则球心O 到截面ABC 的距离是 .2.正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( )A . 1∶3B . 1∶3C . 1∶33D . 1∶9 3.若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 .4.在正三棱锥S ABC -中，侧棱SC SAB ⊥侧面，侧棱2SC =，则此正三棱锥的外接球的表面积为5.设正方体的全面积为24，那么其内切球的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．6.将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为7.三棱锥P ﹣ABC 中，△ABC 为等边三角形，PA=PB=PC=2，PA ⊥PB ，三棱锥P ﹣ABC 的外接球的表面积为（ ） A ．48π B ．12π C ．4π D ．32π秒杀秘籍：正方体的外接球与内切球设正方体的棱长为a ，求（1）内切球半径；（2）外接球半径；（3）与棱相切的球半径。

多面体外接球、内切球半径常见的5种求法如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体,这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.公式法例1一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同9一个球面上，且该六棱柱的体积为三，底面周长为3,则这个球的体积为86x=3,f1JQ———解设正六棱柱的底面边长为X,高为则有9后，2'§=6x甘"，]入=右.正六棱柱的底面圆的半径r=~,球心到底面的距离d=—.:.外接球的半径22R=J/+J?=]....v球=—.3小结本题是运用公式R2=r-+d2求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.多面体几何性质法例2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是A.16^B.20ttC.24>tD.32i解设正四棱柱的底面边长为X,外接球的半径为R,则有4/=16,解得%=2, 2R=a/22+22+42=2^6,:.R=£.这个球的表面积是4*=24^,选C.小结本题是运用''正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例3若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为右，则其外接球的表面积是—.解据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，...把这个三棱锥可以补成一个棱长为73的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为R,则有（27?）2=（、厅『+（、行『+（^3）2=9./.R2=|,故其外接球的表面积S=4*=9兀.小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为0、/?、c,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为A,则有2R=7a2+b2+c2.寻求轴截面圆半径法例4正四棱锥S-ABC。

多里体与球的内切战中接罕睹典型归纳之阳早格格创做正在寻常教教中，坐体几许的多里体与球的位子闭系，是培植教死的坐体感，空间设念本领的佳课本.但是教死正在二个几许体的拉拢后，往往感触无从下脚.针对于那种情况，笔者把凡是教教中有闭那圆里的习题加以归纳战归类如下：一．正四周体与球如图所示，设正四周体的棱少为a，r为内切球的半径，R为中接球的半径.则下斜下，OE=r=SE-SO，又SD=BD,BD=SE-OE,则正在特性分解：1．由于正四周体是一个核心对于成图形，所以它的内切球与中接球的球心为共一个.2．此论断不妨影象.例题一.1一球里上，则此球的表面积为（）分解：借帮论断，所以2、球的内接正四周体又有一个内切球，则大球与小球的表面积之比是（ ）分解：借帮R=3r ，问案为9：1.二、特殊三棱锥与球 四个里皆是曲角三角形的三棱锥.果为，，球心降正在SC 的中面处.所以三．正圆体与球. 1．正圆体的中接球即正圆体的8个定面皆正在球里上.闭键找出截里图:ABCD 为正圆体的体对于角里.设正圆体的边少为a ，则，BD=2R ，AD=a ， C2．正圆体的内切球.（1）与正圆体的各里相 切.如图：ABCD 为正圆CD BACC D体的仄止正里的正圆形.（2）与正圆体的各棱相切.如图：大圆是正圆形ABCD的中接圆.AB=CD=a，3．正在正圆体以一个顶面为接面的三条棱组成的三棱锥，特性是：三棱锥的三条侧棱互相笔曲且相等，它的中接球可把三棱锥补产死正圆体的中接球，再供解.例题：1.正圆体的周到积是24，它的顶面皆正在共一球里上，那个球的表面积是剖析：隐然，球是正圆体的中接球，a=2，则2．一个球与棱少为1 的正圆体的12条棱皆相切，则球的体积剖析：如果精确了上头的论断，问题很简单办理3．将棱少为1 的正圆体削成体积最大的球，则球的体积为剖析：削成体积最大，即央供球是正圆体的内切球，与正圆体的俄各里皆相切4．P 、A 、B 、C 、是球O 里上的四个面，PA 、PB 、PC 二二笔曲，且PA=PB=PC=1，则球的体积是剖析：共过条件分解，可采与把三棱锥补产死正圆体，则球是正圆体的中接球，所以四、正棱柱与球 1．正三棱柱中接球.如图所示：过A 面做AD 笔曲BC,D 为三角形ABC 的核心，D 1共样得到.则球心O 必降正在DD 1的中面上.利用三角形OAD 为曲角三角形，OA=R,可供出R. 2.正四棱柱中接球.讲理与上头相似.主假如找截里，构制曲角三角形，利用勾股定理供得.例题：1.的内接正三棱柱，则那一正三棱柱的体积是 剖析：如上图，OA=,OD=，a ＝6，2. 正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的各个顶面皆正在半径为R的球里上，则正四棱柱B的正里积有最值，为剖析：截里如图：ABCD 为正四棱柱的体对于角里OD=R ，设AD=a ，底里正圆形的边少为b ，则有，则R 2=（a/2）2+）2，五、少圆体与球 1．少圆体的中接球.截里图如左图：真量构制曲角三角形，通联半径与少圆体的少宽下.半径为体对于角线的一半.2．正在少圆体以一个顶面为接面的三条棱组成的三棱锥，特性是：三棱锥的三条侧棱互相笔曲没有相等，它的中接球可把三棱锥补产死少圆体的中接球，再供解.例题：一个三棱锥三条棱二二笔曲，其少分别是3，4，5，则它的中接球的表面积是剖析：共过条件分解，可采与把三棱锥补产死少圆体，则球是少圆体的中接球，所以。

多面体外接球、内切球半径常见的5种求法 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h，则有263,1,296,8x x x h h =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩ ∴正六棱柱的底面圆的半径12r =，球心到底面的距离d =.∴外接球的半径1R ==.43V π∴=球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.多面体几何性质法例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A.16πB.20πC.24πD.32π解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =.∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例3 若三棱锥的三个侧棱两两垂直，则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为.设其外接球的半径为R ，则有()222229R =++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==.小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R =寻求轴截面圆半径法例4 正四棱锥S ABCD -S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .解 设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图3所示.∴由球的截面的性质，可得1OO ABCD ⊥平面.又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上.∴ASC ∆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在ASC ∆中，由2SA SC AC ===，得222SA SC AC +=.∴ASC AC ∆∆是以为斜边的Rt . ∴12AC =是外接圆的半径，也是外接球的半径.故43V π=球. 小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.确定球心位置法例5 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为 A.12512π B.1259π C.1256π D.1253π 解 设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD ===.∴点O 到四面体的四个顶点A B C D 、、、的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径52R OA ==.故3412536V R ππ==球.选C. 出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，︒=∠120BAC ，2===AC AD AB解：由已知建立空间直角坐标系)000(，，A )002(，，B )200(，，D 3，， CD A B S O 1图3A O D B 图4C y设球心坐标为),,(z y x O 则DO CO BO AO ===,由空间两点间距离公式知222222)2(z y x z y x ++-=++ 222222)2(-++=++z y x z y x 222222)3()1(z y x z y x +-+-=++解得 1331===z y x所以半径为3211331222=++=）（R 【结论】：空间两点间距离公式：221221221)()()(z z y y x x PQ -+-+-=四面体是正四面体外接球与内切球的圆心为正四面体高上的一个点，根据勾股定理知，假设正四面体的边长为a 时，它的外接球半径为a 46。