第二章 轴心受压构件失稳34页PPT

N=1000kN, 柱的长度4.2m。柱截面为焊接工字形，具有轧制边 翼缘，尺寸2-10×220, 腹板1-685
4.2.6 轴心受压构件扭转和弯扭屈曲
1、扭转屈曲
根据弹性稳定理论，两端铰支且翘曲无约束的杆件，其扭 转屈曲临界力，可由下式计算：
《钢结构稳定理论与设计》 陈骥 著
NE

fy
弹塑性阶段
N A

Nv0
W 1 N
NE

fy
相对初弯曲 ε0 = v0 / ρ = v0 / (W/A)
N [1 A 1
0
N
] NE
fy
N A
1


1000

i


1

1 N

N
E



fy
上式的解即为Perry-Robertson公式(柏利公式)
i0—截面关于剪心的极回转半径。i02

e02
ix2

i
2 y
引进扭转屈曲换算长细比z ：
1、扭转屈曲
满足
I 0
z =5.07b/t
x (y) ≥ z =5.07b/t
z2
25.7
Ai02 It
25.7
Ix
Iy It
2t 2b3 12
25.7 4bt3 3
选择计算 §4.6 板件的稳定和屈曲后强度的利用
§4.3 实腹式柱和格构式柱的截面选择计算
4.3.1 实腹式柱的截面选择计算
1、实腹式轴心压杆的截面形式 ①考虑原则 ②常用截面
2、实腹式轴心压杆计算步骤
§4.3 实腹式柱和格构式柱的截面选择计算

aV
V
.
.
.
弯曲中心
形心 产生扭矩:Va
扭矩=0
具有双对称轴的截面,弯曲中心与形心重合；单 对称轴和无对称轴截面,弯曲中心与形心不重合.
弯曲产生的截面剪力不通过弯曲中心 〔通过形心〕产生的扭矩.可以认为这是 轴心压力因弯曲变形对杆件截面产生外 扭矩.
• 对于理想压杆,欧拉弯曲失稳临界力、欧 拉弯曲失稳临界力
Ncr
弯曲屈曲——屈曲模态为弯曲变形
计算临界力的基本假设：
▲ 杆件是理想直的,两端铰支； ▲ 轴心压力作用在两端,且为保向力； ▲ 屈曲变形属于小变形,平截面假设 成立,忽略杆 件长度的变化； ▲ 屈曲后的挠曲线〔屈曲模态〕可用正弦曲线描述. 目标：求弯曲屈曲临界荷载Nb,cr、临界应力b, cr [弹性临界荷载]
〔8〕1950年以后的试验证明：切线模量理论 值接近于试验值,并略微偏低是试验值的下限；双 模量理论值是试验值的上限.用切线模量理论于工 程是偏于安全的.最后被工程所接受.
这段历史说明：一个科学的认识过程是一个不 断深化、不断完善的过程；只有坚持真理、修 正错误才能逐渐达到科学的境界；实践是检验 真理的标准在科学发展史上早已是无争准则.
3.2 实际轴心受压构件的整体稳定
3.1节中讨论的轴心受压构件是一种理想情况.那时, 曾指出构件的特点有：作用在构件上的荷载是轴心压 力或轴心拉力；构件理想地直；构件无初应力. 这些理想化情形在实际工程中是不存在的.
Euler公式从提出到为轴心加载试验证实花了约 100年时间.说明轴心加载的不易；
〔2〕Considere认为切线模量理论有 误,提出双模量理论概念. 〔3〕Engesser认同Considere意见的正确 性,并于1895年导出了双模量.

二、工字形组合截面板件的局部屈曲
对于局部屈曲问题，通常有两种考虑方法： 方法1：不允许板件屈曲先于构件整体屈曲，目前一般钢结构就是不允许局部屈曲先于整体屈曲来限制板件宽厚比。 方法2：允许板件先于整体屈曲，采用有效截面的概念来考虑局部屈曲对构件承载力的不利影响，冷弯薄壁型钢结构，轻型门式刚架结构的腹板就是这样考虑的。
残余应力对压杆临界荷载的影响
对x-x轴屈曲时: 对y-y轴屈曲时:
残余应力对弱轴的影响比对强轴严重得多!
4、杆端约束对轴心受压构件整体稳定性的影响
杆件临界力： － 计算长度系数
四、压杆曲线的确定
焊接工字形截面轴心受压柱稳定系数
12种不同截面尺寸，不同残余应力和分布以及不同钢材牌号轴心压构件曲线。
板的挠度为： 板的屈曲力为： 式中 a、b 受压方向板的长度和板的宽度； m、n 板屈曲后纵向和横向的半波数。 当n =1时，
K为板的屈曲系数：
四边简支均匀受压板的屈曲系数
当a>b时，减小板的非加载边a的长度不能提高板的临界承载力。 不同的边界约束条件取不同的屈曲系数；
4、缀板构件：
为防止单肢件失稳先于整体失稳，规范规定： 缀板构件：单肢长细比小于等于40且不大于两方向长细比较大值0.5倍；
二、杆件的截面选择
肢件：对实轴的稳定计算同实腹式压杆那样计算确定截面尺寸； 肢件距离：对实轴和虚轴的等稳定条件所决定；
缀条构件：
预先估计缀条面积A1y
缀板构件：
三、缀件计算 1、剪力计算 当格构式压杆绕虚轴弯曲时，因变形而产生剪力（由缀材承受）。假设其初始挠曲线为y0=v0sin∏x／l，则任意截面处的总挠度为： 在杆的任意截面的弯矩： 任意截面的剪力：
3.塔架

cr 按稳定极限承载力理论的计算方法
轴心受压构件考虑初始缺陷后的受力属于压弯状态 ，用数值积分法求解微分方程，可以考虑影响轴 心压杆稳定极限承载力的许多因素，如截面的形 状和尺寸、材料的力学性能、残余应力的分布和 大小、构件的初弯曲和初扭曲、荷载作用点的初 偏心、构件的失稳方向等等，因此是比较精确的 方法。我国钢结构设计规范采用了这个方法。
5.3.3 轴心压杆的弯曲失稳、扭转失稳、弯扭失稳
在弹塑性阶段，当研究式（a）时，只要截面上的
残余应力对称于y轴，同时又有 u0=0 和 θ0=0，则
该式将始终与其它两式无关，可以单独研究。这样， 压杆将只发生y方向位移，整体失稳呈弯曲变形状 态，成为弯曲失稳。
同样，式（b）也是弯曲失稳，只是弯曲失稳的 方向不同而已。
m
0 1 N
N Ex
NEX ——绕x轴的欧拉临界应力
5.3.4 弯曲失稳的极限承载力
由边缘纤维屈服准则可得 N Nm 将perΔrym公m NA代式入NW上xm式，fy并解出平均A应力W xc r
fy 后，即得
crfy(1 20)E x fy(1 20)E x2fyEx
0 ——初偏心率 0 A ； W x0
5.2 轴心受压构件的强度
以净截面的平均应力强度为准则，即
σ N fy f An rR
轴心受压构件，当截面无削弱时，强度不必计算。
轴心受压实腹构件的整体稳定
5.3.1 理想轴心压杆的整体稳定
1、整体稳定的临界应力
理想轴心压杆：假定杆件完全挺直、荷载沿杆件形心轴作 用, 杆件在受荷之前无初始应力、初弯曲和初偏心, 截面沿杆 件是均匀的。
欧拉双曲线
O
lp
非弹性 弹性
阶段 阶段

P
对上式求导两次可消去等式
右端的杆端约束力：
P
EIy Py 0
令 P k 2 ，得 y k 2 y 0 EI
此微分方程与杆端约束力 无关，故能代表各种支承情况， 称压杆屈曲的高阶微分方程。
P
ppt课件
V MA MB l
P
10
§2 轴心受压构件的弯曲屈曲
方程的通解为： y Asin kz B cos kz Cz D
其各阶导数为：
y Ak cos kz Bk sin kz C y Ak2 sin kz Bk 2 cos kz y Ak3 cos kz Bk 3 sin kz k 2 ( y C)
EI 此常系数二阶齐次微分方程的通解：
y Asinkx Bcoskx A, B为待定系数，由边界条件确定。
ppt课件
6
§2 轴心受压构件的弯曲屈曲
由边界条件得：
（1） y x0 0 B 0, 则 y Asinkx
（2） y xl 0 Asinkl 0
A 0 sinkl 0
2
l
临界力：Pcr

4 2EI
l2
P EI
Pcr,m

4m2 2EI (m 1,2,3)
l2
（2）求解第二式（为超越方程，需采用数值解法或图解法）
在坐标系中分别画出曲线 y tan kl 和 y kl ，其交点
即为方程的解。
2
2
ppt课件
13
§2 轴心受压构件的弯曲屈曲
取相交点的最小值，得
sin
x
l
。
v0
为不定值，在小变形假设的前提下，

△1 △2
a 1-2
2

l13 48EI1
γ1
e
T= l-a1
γ1
θ1
因此,剪切角γ1:
1-2 c
1-2 d a
1

1 2 0.5l1
0x x2 π2EA1
l-21
l-21
1-2
b f
0 x
0x

2 x

π 2 Al12 24 I 1
1
2
k1 kb

式中：k1 EI1
l
（
1
单
个
分
肢
对
其
弱
轴
的线
刚
度
）
；
kb EIb a（两侧缀板线刚度之和）。
因为分肢截面积A1 0.5A ；A1l12 I1 12，所以：
0x
x2

π2 12
1
2
k1 kb

12

由于规范规定 kb k1 6
这时：
π2 12
1
2、利用腹板屈曲后强度； 腹板中的纵向压应力为非均匀分布： fy
近似以虚线应力图形代替板件屈
be/2
be/2
曲后纵向压应力的分布
有效截面
20tw 235 f y 20tw 235 f y
因此，在计算构件的强度和稳
定性时，腹板截面取有效截面
tw
betW。
h0
3、对于H形、工字形和箱形截面腹 板高厚比不满足以上规定时，也可 以设纵向加劲肋来加强腹板。
2、工字型截面腹板：
h0 25 0.5 235
tw
fy