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广东六校联盟2015届高三第三次联考数学(理)试题

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启用前：绝密广东六校联盟2015届高三第三次联考数学（理）试题（满分150分） 考试时间：120分钟参考公式：柱体的体积公式V Sh =，锥体的体积公式13V Sh =.一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题只有一个正确答案，请把正确答案填涂在答题卡相应位置）1. 设集合{}{}{}1,2,3,4,5,2,3,4,3,5U A B ===，则图中阴影部分所表示的集合为( ）A.{}2,3B.{}1,4C.{}5D.{}62. 已知复合命题()p q ∧⌝是真命题，则下列命题中也是真命题的是（ ）A.()p q ⌝∨B.p q ∨C.p q ∧D.()()p q ⌝∧⌝3. 已知向量()()()5,2,4,3,,a b c x y ==--=，若320a b c -+=，则c =（ ）A.()23,12--B.()23,12C.()7,0D.()7,0-4. 下列函数中，在其定义域上为奇函数的是（ ）A.xxy e e -=+B.y =C.tan y x =D.1ln1xy x+=- 5. 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（ ）A.263 B.83π+ C.143π D.73π 6. 已知等差数列{}n a 中，10,0a d >>，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 满足11b a =，44b a =，前n 项和为n T ，则（ ） A.44S T >B.44S T <C.44S T =D.44S T ≤7. 已知直线()1:2110l ax a y +++=，()()2:110l a x a y ++-=,若12l l ⊥，则a =（ ）A.2或12 B.13或1- C.13D.1- 8. 已知函数()f x 的定义域为D ，如果存在实数M ，使对任意的x D ∈，都有()f x M ≤，则称函数()f x 为有界函数，下列函数： ①()2,xf x x R -=∈ ②()()ln ,0,f x x x =∈+∞③()()()2,,00,1xf x x x =∈-∞+∞+； ④()()sin ,0,f x x x x =∈+∞U AB主视图 侧视图俯视图为有界函数的是（ ） A.②④ B.②③④C.①③D.①③④二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共计30分.）9. 函数()ln f x x x =在点()(),e f e 处的切线方程为___________________. 10. 在ABC ∆中，45,75,2A B c =︒=︒=，则此三角形的最短边的长度是________. 11. 已知递增的等差数列{}n a 满足21252,6a a a ==+，则n a =___________. 12. 已知圆2220x y x +-=上的点到直线:2l y kx =-的最近距离为，则k =______. 13. 如图，为了测量两座山峰上两点P 、Q 之间的距离，选择山坡上一段长度为米且和P ,Q 两点在同一平面内的路段AB 的 两个端点作为观测点，现测得四个角的大小分别是90PAB ∠=︒,60PAQ PBA PBQ ∠=∠=∠=︒,可求得P 、Q 两点间的距离为 米.14. 已知(){}:,3p M x y x x ∈+-≤；()(){}()222:,10q M x y x y r r ∈-+<>如果p 是q 的充分但不必要条件，则r 的取值范围是_ .三、解答题（本大题共六个小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤） 15.（本小题满分12分）已知函数()sin 1f x x x ωω=+（其中0,x R ω>∈）的最小正周期为6π. （1）求ω的值； （2）设,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，13217f πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()1135f βπ+=，求()cos αβ+的值. 16．（本小题满分12分）寒假期间校学生会拟组织一次社区服务活动，计划分出甲、乙两个小组，每组均组织①垃圾分类宣传，②网络知识讲座，③现场春联派送三项活动，甲组计划12的同学从事项目①，14的同学从事项目②，最后14的同学从事项目③；乙组计划15的同学从事项目①，另15的同学从事项目②，最后35的同学从事项目③，每个同学最多只能参加一个小组的一项活动，从事项目①的总人数不得多于20人，从事项目②的总人数不得多于10人，从事项目③的总人数不得多于18人，求人数足够的情况下，最多有多少同学能参加此次的社区服务活动？17.（本小题满分14分）如图，将长为4，宽为1的长方形折叠成长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的四个侧面，记底面上一边(),02AB t t =<<，连接A 1B,A 1C,A 1D.（1）当长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积最大时，求二面角B-A 1C-D 的值；（2，若有，求出P 点的位置，没有请说明理由.18.（本小题满分14分）已知数列{}n a 中，1141,13n n a a a +==-+ ，数列{}n b 满足()*1,1n n b n N a =∈+. （1）求数列{}n b 的通项公式； （2）证明：222121117nb b b +++<. 19.（本小题满分14分）已知直角坐标系中，圆O 的方程为222x y r +=()0r >，两点()()4,0,0,4A B ，动点P 满足(),01AP AB λλ=≤≤. （1）求动点P 的轨迹C 方程；（2）若对于轨迹C 上的任意一点P ，总存在过点P 的直线交圆O 于M,N 两点，且点M 是线段PN 的中点，求r 的取值范围.20.（本小题满分14分）已知函数()()ln f x x a ax =++. （1）求函数()f x 的单调区间和极值；C 1ABCD A 1 B 1D 1（2）若()1,0a ∈-，函数()()g x a f x '=的图像上存在12,P P 两点，其横坐标满足1216x x <<<，且()g x 的图像在此两点处的切线互相垂直，求a 的取值范围.六校联盟第三次联考理科数学参考答案及评分标准一、选择题：CBAD DABC二、填空题：9.20x y e --=；； 11.2n 12.0或者43-； 13. 900；14. r >)r ∈+∞或者直接)+∞均可三、解答题：15. 解：⑴ ()sin 12sin()13f x x x x πωωω=+=-+ …………3分26T ππω==，所以13ω=. ………………………………………………6分 ()12sin()133f x x π=-+注：如果()2cos()16f x x πω=-++等正确结果的话相应给分即可.⑵1132sin (3)12sin 12cos 12323217f ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以8cos 17α= ………………………………………………………………7分()11132sin (3)12sin 1335f πβπβπβ⎛⎫+=+-+=+= ⎪⎝⎭所以3sin 5β= …………………………………………………………………8分因为,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以154sin ,cos 175αβ====，10分所以()13cos cos cos sin sin 85αβαβαβ+=-=-. …………………………12分16.解：设甲组x 名同学，乙组y 名同学，根据题意有：……………………1分1120251110451318450,0x y x y x y x y ⎧+≤⎪⎪⎪+≤⎪⎨⎪+≤⎪⎪⎪≥≥⎩ 整理得： Ox y 54200x y += 52200x y += 512360x y += A （24，20）52200542005123600,0x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥≥⎩ 可行域如图： 参加活动的总人数z x y =+，变形为y x z =-+，当经过可行域内的点，斜率为1-的直线在y 轴上 截距最大时，目标函数z x y =+取得最大值. 由可行域图像可知，直线y x z =-+经过54200x y += 和512360x y +=的交点A 时，在y 轴上截距最大. ……………8分解方程组54200512360x y x y +=⎧⎨+=⎩得：24,20x y == ……………………………………10分所以max 242044z x y =+=+= …………………………………………………11分答：甲组24名同学参加，乙组20名同学参加，此时总人数达到最大值44人.………12分 17.解：法一：⑴ 根据题意，长方体体积为()()2221212t t V t t t t +-⎛⎫=-⨯=-≤= ⎪⎝⎭……2分当且仅当2t t =-，即1t =时体积V 有最大值为1 所以当长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积最大时，底面四边 形ABCD 为正方形 ……4分作BM ⊥A 1C 于M ，连接DM ，BD ……………5分因为四边形ABCD 为正方形，所以1A BC ∆与1A DC ∆全等，故DM ⊥A 1C ，所以BMD ∠即为所求二面角的平面角 ……6分因为BC ⊥平面AA 1B 1B ，所以1A BC ∆为直角三角形又11A B AC ==，所以11A B BC BM A C ⨯===，同理可得，DM = 在∆BMD中，根据余弦定理有：1cos 2BMD ∠==- ………………8分 因为()0,180BMD ∠∈︒︒，所以120BMD ∠=︒即此时二面角B-A 1C-D 的值是120︒. ……………………………………………………9分 ⑵ 若线段A 1C 上存在一点P ，使得 A 1C ⊥平面BPD ，则A 1C ⊥BD ………………10分 又A 1A ⊥平面ABCD,所以A 1A ⊥BD ，所以BD ⊥平面A 1AC所以BD ⊥AC ……………………………………………………………………12分底面四边形ABCD 为正方形，即只有ABCD 为正方形时，线段A 1C 上存在点P 满足要求，否则不存在 由⑴知，所求点P 即为BM ⊥AC 的垂足M此时，2111A B A P A C ===……………………………………………………14分 法二：根据题意可知，AA 1, AB,AD 两两垂直，以AB 为x 轴，AD 为y 轴，AA 1为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：………7分，约束条件和图像各3分，不化简不扣分ABC D A 1B 1C 1DM⑴长方体体积为()()2221212t t V t t t t +-⎛⎫=-⨯=-≤= ⎪⎝⎭………………………2分当且仅当2t t =-，即1t =时体积V 有最大值为1所以当长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积最大时，底面四边形ABCD 则()()()()()110,0,1,1,0,0,1,1,0,1,0,1,0,1,0A B C A B BC =-=，设平面A 1BC 的法向量(),,m x y z =，则00x z y -=⎧⎨=⎩取1x z ==，得：()1,0,1m = ………………6分同理可得平面A 1CD 的法向量()0,1,1n = ……7分 所以，1cos ,2m n m n m n⋅==⋅ ………………8分 又二面角B-A 1C-D 为钝角，故值是120︒.…………9分（也可以通过证明B 1A ⊥平面A 1BC 写出平面A 1BC 的法向量）⑵ 根据题意有()()(),0,0,,2,0,0,2,0B t C t t D t --，若线段A 1C 上存在一点P 满足要求，不妨11A P AC λ=，可得()(),2,1Pt t λλλ--()()(),2,1,,2,0BP t t t BD t t λλλ=---=--1100BP A C BD A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即：()()()()22221020t t t t t t λλλ⎧-+---=⎪⎨-+-=⎪⎩…………………………11分 解得：21,3t λ== …………………………………………………………13分即只有当底面四边形是正方形时才有符合要求的点P ，位置是线段A 1C 上1:2:1A P PC =处. ………………………………………………………14分18.解：⑴ 12241233nn n n a a a a +++=-=++ …………………………………………2分 ()()11123111112221122n n n n n n n n a a b b a a a a +++++====+=+++++ …………………6分又112b =，所以数列{}n b 是首项为12，公差为12的等差数列，2n nb = …………8分 （也可以求出12341234,,,2222b b b b ====，猜想并用数学归纳法证明，给分建议为计算前2项1分，计算前3项或者更多2分，猜想通项公式2分，数学归纳法证明4分数学归纳法证明过程如下：① 当1n =时，112b =符合通项公式2n nb =； ② 假设当n k =时猜想成立，即112k k kb a ==+，21k a k =-那么当1n k =+时12111123113k k k a k k a a k k +----===++-+，1111111211k k k b k a k+++===-+++ 即1n k =+时猜想也能成立综合①②可知，对任意的*n N ∈都有2n nb =.⑵ 当1n =时，左边=21147b =<不等式成立；……………………………………9分当2n =时，左边=2212114157b b +=+=<不等式成立； …………………………10分当3n ≥时，()2214411411n b n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪--⎝⎭ 左边=22212111111111414()23341n b b b n n+++<++-+-++-- 11454()772n n=+-=-<不等式成立 …………………………………………………………………………14分19.解：⑴ 设(),P x y ，因为(),01AP AB λλ=≤≤，所以444x y λλ-=-⎧⎨=⎩消去λ并注意到01λ≤≤可得动点P 的轨迹C 即为线段AB ，方程为：()40,04x y x +-=≤≤ ……5分，不写出x 的范围扣1分⑵ 设()()()00,,,4,04N x y P t t t -≤≤，则004(,)22x t y tM ++- 方程组22200222004()()22x y r x t y t r ⎧+=⎪⎨++-+=⎪⎩即2220022200()(4)4x y rx t y t r⎧+=⎪⎨+++-=⎪⎩有解 ……7分 法一：将方程组两式相减得：()()22200224430tx t y t t r +-++--= ………8分原方程组有解等价于点()0,0到直线()()222:224430l tx t y t t r +-++--=的距离小于或等于r ，即r …………………………………………………………9分整理得：()()()22222221683444t t r t t r +--≤+-即()()22222816281690t t r tt r -+--+-≤也就是，22228169r t t r ≤-+≤对任意的04t ≤≤恒成立 ……………………10分根据二次函数22816y t t =-+的图像特征可知，在区间[]0,4上，当0t =或者4t =时，()2max281616tt -+=；当2t =时，()2min28168t t -+= …………………………12分所以21689r ≤≤，43r ≤≤ ……………………………………………………13分 特别的，当r =228x y +=与40x y +-=切于点()2,2，此时过C 上的点()2,2P 没有合乎要求的直线，故r ≠，即所求r 的范围为4,3r ⎡∈⎢⎣. ……14分法二：上述方程组有解即以()0,0为圆心，r 为半径的圆与以(),4t t --为圆心，2r 为半径的圆有公共点，故对于任意的04t ≤≤都有3r r ≤≤成立 ……9分整理得：22228169r t t r ≤-+≤对任意的04t ≤≤恒成立 ……………………10分根据二次函数22816y t t =-+图像特征可知，在区间[]0,4上，当0t =或者4t =时，()2max281616tt -+=；当2t =时，()2min28168t t -+= …………………………12分所以21689r ≤≤，43r ≤≤ ……………………………………………………13分 特别的，当r =228x y +=与40x y +-=切于点()2,2，此时过C 上的点()2,2P 没有合乎要求的直线，故r ≠，即所求r 的范围为4,3r ⎡∈⎢⎣. ……14分20.解：⑴函数()()ln f x x a ax =++的定义域为(),a -+∞，()1f x a x a'=++ ……1分 当0a >时，原函数在区间(),a -+∞上有()0f x '>，()f x 单调递增，无极值； 当0a =时，原函数在区间()0,+∞上有()0f x '>，()f x 单调递增，无极值；……2分当0a <时，令()10f x a x a '=+=+得：1x a a=-- ………………………………3分 当1(,)x a a a ∈---时，()0f x '>，原函数单调递增；当1(,)x a a∈--+∞时，()0f x '<，原函数单调递减 …………………………………………………………………………………4分所以()f x 的极大值为()21ln 1f a a a a ⎛⎫--=---- ⎪⎝⎭………………………………5分 ⑵ 由⑴知，当()1,0a ∈-时()()221,(,)11,(,)a a x a a x a ag x a f x a a a x a a x a x aa ⎧+∈---⎪⎪+'==+=⎨+⎪--∈--+∞⎪+⎩ ……………………6分 函数图像上存在符合要求的两点，必须12116x a x a<<--<<，得：13a -<<-+………………………………………………………………………8分 当1(,)x a a a∈---时，()2a g x a x a =++，函数在点1P 处的切线斜率为()121ak x a =-+； 当1(,)x a a ∈--+∞时，()2a g x a x a =--+，函数在点2P 处的切线斜率为()222ak x a =+；………………………………………………………………10分 函数图像在两点处切线互相垂直即为：()()22121aax a x a ⋅=++，即()()22212x a x a a ++= ………………………………11分因为121016a x a x a a a<+<+<-<+<+，故上式即为()()12x a x a a ++=- …12分 所以()()1116a a a a a a⎧-+<-⎪⎪⎨⎪-+>-⎪⎩，解得：2a -<<综合得：所求a的取值范围是(a ∈-. ………………………………14分。

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2015肇庆三模 广东省肇庆市2015届高三第三次统一检测数学理试题 扫描版含答案

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肇庆市2015届高中毕业班第三次统测数学（理科）参考答案及评分标准2015.4.23 一、选择题二、填空题9．94.5 10．(]3,2 11. ),34()6,(+∞--∞ 12. 10 13．417π 14．)4,2(π 15．3π三、解答题16．（本小题满分12分）解：（1）x x x x f 2cos cos sin 3)(-= （2分） 212cos 2sin 23+-=x x （4分） 21)62sin(--=πx （5分） 所以函数)(x f 的最小正周期ππ==22T . （6分） （2）由（1）得21cos 21)2sin(21]6)32(2sin[)32(-=-+=--+=+θπθππθπθf ， （7分） 由10321cos =-θ，得54cos =θ. （8分） 因为]0,2[πθ-∈，所以53sin -=θ. （9分） 所以2524cos sin 22sin -==θθθ，2571cos 22cos 2=-=θθ， （11分） 所以502314sin 2cos 4cos 2sin )42sin(-=-=-πθπθπθ. （12分）17．（本小题满分12分）解：（1）（2分）635.686.2314070110100)50209050(21022>=⨯⨯⨯⨯-⨯=K ， （5分） 所以按照99%的可靠性要求，能够判断成绩与课改有关. （6分） （2）随机变量的所有取值为0，1，2，3，4. （7分） 由于是有放回的抽取，所以可知每次抽取中抽到优秀的概率为3121070=， （8分） 8116)32()31()0(4004===C P ξ； 8132)32()31()1(3114===C P ξ； 2788124)32()31()2(2224====C P ξ； 818)32()31()3(1334===C P ξ； 811)32()31()4(0444===CP ξ. 所以的分布列为：（10分） 348114818327828132181160=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE . （12分） 18．（本小题满分14分）证明：（1）连接AC 交BD 于点G ，连接EG . （1分）因为四边形ABCD 是正方形，所以点G 是AC 的中点，（2分）又因为E 为PC 的中点，，因此EG //PA . （3分）而EG 平面EDB ，所以PA //平面EDB . （4分）（2）因为四边形ABCD 是正方形，所以AC BD . （5分）因为PD 底面ABCD ，AC 底面ABCD ，所以ACPD . （6分） 而PD ∩BD =D ，所以AC平面PBD . （7分） 又DF 平面PBD ，所以ACDF . （8分） （3）建立如图所示的空间直角坐标系，则有)0,0,0(D ，)1,0,0(P ，)0,0,1(A ，)0,1,1(B ，)0,1,0(C ，所以)21,21,0(E . （9分） 设)0)(,,(≠kl l k k F ，则)21,21,(--=l k k ，)1,1,1(-=. 由EF PB ，得0=⋅，即0)21(21=---+l k k ，即k l 2=， 故)2,,(k k k F . （10分） 设平面DEF 的一个法向量),,(z y x =，)21,21,0(=，)2,,(k k k =， 由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00DF n ，得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++02021210kz ky kx z y ，解得⎩⎨⎧-=-=z y z x ，取)1,1,1(--=n . （11分） 又)1,0,0(=是底面ABCD 的一个法向量， （12分） 所以3313100||||,cos =⨯++=>=<DP n ， （13分） 故平面ABCD 和平面DEF 所成二面角的余弦值为33. （14分）19．（本小题满分14分）解：（1）由1231=-+n n a a ，得)1(3211-=-+n n a a . （2分） 因为411=a ，所以4311-=-a . 因此数列{1-n a }是以43-为首项，32为公比的等比数列. （3分）所以1)32(431-⨯-=-n n a ，即1)32(431-⋅-=n n a （n N *∈）. （5分） 所以])32()32(1[431121-+++-=+++=n n n n a a a S （6分） 49)32(321)32(1432-+=--⨯-=-n n n n（n N *∈）. （8分） （2）由（1），得111)32(41])32(431[])32(431[--+⋅=⋅--⋅-=-=n n n n n n a a b . （9分） 下面用反证法证明：数列{n b }中的任意三项不可能成等差数列.假设数列{n b }中存在三项t s r b b b ,,（t s r <<）按某种顺序成等差数列，由于数列{n b }是首项为41，公比为32的等比数列，于是有t s r b b b >>，则只能有t r s b b b +=2成立.（11分） 所以111)32(41)32(41)32(412---⋅+⋅=⋅⋅t r s ， 两边同乘r t --1123，化简得r t r t s t r s ----+=⋅⋅23322. （13分） 因为t s r <<，所以上式左边为偶数，右边为奇数，故上式不可能成立，导致矛盾. 故数列{n b }中的任意三项不可能成等差数列. （14分）20．（本小题满分14分）解：（1）设),(11y x B ，22,(y x D ）.把2+=x y 代入12222=-by a x ，并整理得044)(2222222=----b a a x a x a b ，（1分） 则222214a b a x x -=+，22222214ab b a a x x -+-=. （2分） 由M （1，3）为BD 的中点，得12222221=-=+ab a x x ，即223a b =， （3分） 故a b ac 222=+=， （4分）所以C 的离心率为2==a c e . （5分） （2）由（1），得C 的方程为132222=-a y a x ，)0,(a A ，)0,2(a F ，221=+x x ，0234221<+-=a x x ，故不妨设a x -≤1，a x ≥2， （6分） 1221212121233)2()2(||x a a x a x y a x BF -=-+-=+-=， （7分）a x a x a x y a x DF -=-+-=+-=2222222222233)2()2(||， （8分）8454)(2)2)(2(||||22212121++=--+=--=⋅a a a x x x x a a x x a DF BF （9分） 又17||||=⋅DF BF ，所以178452=++a a ， 解得1=a 或59-=a （舍去）. （10分） 所以)0,1(A ，221=+x x ，2721-=x x . （11分） )2,1(),1(1111+-=-=x x y x ，)2,1(22+-=x x ， （12分） 05)(2)2)(2()1)(1(21212121=+++=+++--=⋅x x x x x x x x AD AB ， （13分） 所以⊥，即△ABD 是为直角三角形. （14分）21．（本小题满分14分）解：（1）函数xx m mx x f 2ln )2()(-+-=的定义域为（0，+∞）. 22)1)(2(22)(x x mx x x m m x f --=++-='， （1分） ①当0=m 时，令0)(='x f ，解得1=x .当10<<x 时，0)(>'x f ；当1>x 时，0)(<'x f ；所以)(x f 的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）； （2分） ②当0≠m 时，令0)(='x f ，解得mx 21=，12=x . 当0<m 时，当10<<x 时，0)(>'x f ；当1>x 时，0)(<'x f ；所以)(x f 的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）； （3分）当20<<m 时，当10<<x 时，0)(>'x f ；当m x 21<<时，0)(<'x f ；当mx 2>时，0)(>'x f ；所以)(x f 的单调增区间为（0，1）与（m 2，+∞），单调减区间为（1，m2）； （4分）当2=m 时，0)1(2)(2≥-='xx x f ，所以)(x f 的单调增区间为（0，+∞）； （5分）当2>m 时，当m x 20<<时，0)(>'x f ；当12<<x m时，0)(<'x f ；当1>x 时，0)(>'x f ；所以)(x f 的单调增区间为（0，m 2）与（1，+∞），单调减区间为（m 2，1）. （6分）综上，当0≤m 时，)(x f 的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）；当20<<m 时，)(x f 的单调增区间为（0，1）与（m 2，+∞），单调减区间为（1，m 2）； 当2=m 时，)(x f 的单调增区间为（0，+∞）；当2>m 时，)(x f 的单调增区间为（0，m 2）与（1，+∞），单调减区间为（m2，1）. （7分）（2）对于任意的]2,1[,21∈x x ，都有1)()(21≤-x g x f 恒成立，等价于]2,1[∈x 时，ma x mi n ()()1f xg x ≤+成立. （9分） 由（1）得当0<m 时，)(x f 在（1，+∞）上单调递减，所以当]2,1[∈x 时，2)1()(m a x -==m f x f . （10分）22)1ln(111)1ln(1)(xx x x x x x x g +-+-=+-+='， 令)1ln(111)(+-+-=x x x h ，而2211()(1)1(1)x h x x x x '=-=-+++ 所以)1ln(111)(+-+-=x x x h 在（0，+∞）上单调递减. 在[1，2]上，2ln ln 2ln 212ln 211)1(-=-=--=e h ，因为22<e ，所以0)1(<h ； 所以在[1，2]上，0)(<x h ，0)(<'x g ；所以)(x g 在[1，2]上单调递减，所以当]2,1[∈x 时，23ln )2()(min ==g x g . （12分） 故ln 3212m -≤+，即23ln 3+≤m ， （13分） 因为0<m ，所以存在0<m 时，对于任意的]2,1[,21∈x x ，都有1)()(21≤-x g x f 恒成立，且m的取值范围是（-∞，0）. （14分）。

2015年高三三模试卷理科数学附答案

2015年高三三模试卷理科数学附答案

O ππ3π6112015年高三三模试卷理科数学一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.)1、设复数11221,2,z z i z ai z =+=+若为纯虚数，则实数a =（ ）A ．-2B ．2C ．-1D ．12、 已知命题x x R x p lg 2,:>-∈∃，命题:1,ln(1)x q x e x ∀>->+，则（ ） A.命题q p ∨是假命题 B.命题q p ∧是真命题 C.命题)(q p ⌝∧是真命题 D.命题)(q p ⌝∨是假命题3、已知某随机变量X 的概率密度函数为P (x )=⎩⎨⎧>≤-0,0,0x e x x ,则随机变量X 在区间(1,2)内的概率为( )A ．e 2+eB ．21e e + C ．e 2-e D ．21ee - 4．下列命题中正确的是（ ）A.如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行B.过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直C.平面α不垂直平面β，但平面α内存在直线垂直于平面βD.若直线l 不垂直于平面α，则在平面α内不存在与l 垂直的直线 5．设0>ω，函数)sin(ϕω+=x y )(πϕπ<<-的图象向左平移3π个单位后，得到下面的图像，则ϕω,的值为（ ）（A ）32,1πϕω== （B ）32,2πϕω== （C ）3,1πϕω-== （D ）3,2πϕω-==6、ABCDEF 6个同学和1个数学老师站成一排合影留念，数学老师穿白色文化衫，A,B 和C,D 同学分别穿着白色和黑色文化衫，E 和F 分别穿着红色和橙色的文化衫.若老师站中间，穿着白色文化衫的不相邻，则不同的站法种数为( )A.72B.192C. 112D.1607、 设函数)(x f 的导函数为)(x f '，对任意∈x R 都有)()(x f x f >'成立，则（ ）A ．3(ln 2)2(ln3)f f > B.3(ln 2)2(ln 3)f f =C ．3(ln 2)2(ln3)f f < D.3(ln 2)2(ln3)f f 与的大小不确定8、过双曲线2222x y a b-=1（a >0，b >0）的左焦点F 引圆x 2+y 2=a 2的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于点P ，若T 为线段FP 的中点，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．x ±y =0B ．2x ±y =0C ．4x ±y =0D ．x ±2y =09、已知,40,tan 12sin sin 22πθθθθ<<=++k 则)4sin(πθ-的值( ) A ．随着k 的增大而增大 B ．有时随着k 的增大而增大，有时随着k 的增大而减小 C ．随着k 的增大而减小 D ．是一个与k 无关的常数10、已知符号函数1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则函数1()sgn(ln )(23)x f x x -=--的零点个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.411、平面α、β、γ两两互相垂直，点A ∈α，点A 到β、γ的距离都是3，P 是α内的动点，P 到β的距离是到点A 距离的2倍，则点P 的轨迹上的点到γ的距离的最小值是( ) A ． 3－ 3B ．3+ 3C ．1D ．312、定义在R 上的函数)(x f y = 是增函数，且函数)3(-=x f y 的图像关于（3，0）成中心对称，若t s ,满足不等式22(2)(2)0f s s f t t -+-≥，则当14s ≤≤时，3t s +的取值范围是( ) A ．]10,2[- B ．[4，16] C ．]10,4[ D ．]16,2[-第II 卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分).13、右面程序框图中，已知f 0(x)=xe x ，则输出的结果是___ __；14、已知{x 1, x 2, x3, x 4}⊆{x >0|(x -3)sinπx =1}, 则x 1+x 2+x 3+x 4的最小值为___ __；15、ABC ∆内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且3450OA OB OC ++=，则该ABC ∆的面积___ __；16、某几何体的三视图如图，若该几何体的各顶点都在一个球面上，则此球的表面积为___ __；（2sin aR A=，其中R 为三角形外接圆半径）三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 17、（本小题满分12分）在各项均为正数的等比数列{}n a 中, 已知3212+=a a , 且23a ,4a ,35a 成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n n a b 3log =,求数列{}n n b a 的前n 项和n S ．18.（本小题满分12分）已知某几何体直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，60°3388主视图侧视图（1）求证：BN 11C B N ⊥平面； （2）11sin C N CNB θθ设为直线与平面所成的角,求的值； （3）设M 为AB 中点，在BC 边上找一点P ，使MP //平面1CNB 并求BPPC的值 19、（本小题满分12分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：31()f x x =,2()5xf x =,3()2f x =，421()21x xf x -=+，5()sin()2f x x π=+，6()cos f x x x =. （Ⅰ）从中任意拿取2张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数。

2015-2016学年广东省“六校联盟”高三(上)第三次联考数学试卷(文科)(解析版)

2015-2016学年广东省“六校联盟”高三(上)第三次联考数学试卷(文科)(解析版)

2015-2016学年广东省“六校联盟”高三（上）第三次联考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知U={y|y=lnx，x＞1}，A={y|y=，x＞3}，则∁U A=（）A． B．（0，+∞）C．[）D．（﹣∞，0]∪[）2．（5分）已知a为实数，若复数z=（a2﹣1）+（a+1）i为纯虚数，则的值为（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i3．（5分）已知在等比数列{a n}中，a1+a3=10，a4+a6=，则等比数列{a n}的公比q的值为（）A．B．C．2 D．84．（5分）设，则a，b，c的大小关系是（）A．a=b＜c B．a=b＞c C．a＜b＜c D．a＞b＞c5．（5分）如图，在△ABC中，已知，则=（）A．B．C．D．6．（5分）直线经过A（2，1），B（1，m2）（m∈R）两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是（）A．0≤α＜πB．或πC．D．或π7．（5分）已知命题p：函数y=a x+2+3（a＞0且a≠1）的图象恒过（﹣2，4）点；命题q：已知平面α∥平面β，则直线m∥α是直线m∥β的充要条件．则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧￢q C．p∧￢q D．￢p∧q8．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，现用油漆对该型号零件表面进项防锈处理，若100平方厘米的零件表面约需用油漆10克，那么对100个该型号零件表面进行防锈处理约需油漆（）（π取3.14）A．1.13千克 B．1.45千克 C．1.57千克 D．1.97千克9．（5分）《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布．A．B．C．D．10．（5分）设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|=4|PF2|，则△PF1F2的面积等于（）A．B． C．24 D．4811．（5分）x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，如[1.2]=1，[﹣1.2]=﹣2；则函数f（x）=[x[x]]在（﹣1，1）上（）A．是奇函数 B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．是增函数12．（5分）已知a＞0，且a≠1，则函数f（x）=a x+（x﹣1）2﹣2a的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．与a有关二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卷相应位置上）13．（5分）若向量=（cosα，1），=（1，2tanα），且，则sinα=．14．（5分）设x，y＞0，x+y=9，则的最大值为．15．（5分）点（a，b）在两直线y=x﹣2和y=x﹣4之间的带状区域内（含边界），则f（a，b）=a2﹣2ab+b2+2a ﹣2b的最小值与最大值的和为．16．（5分）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边，且2asin（C+）=b．（1）求角A的值：（11）若AB=3，AC边上的中线BD的长为，求△ABC的面积．18．（12分）已知各项均为正数的等比数列{a n}的首项a1=2，S n为其前n项和，且2S3=5S1+3S2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，c n=，记数列{c n}的前n项和T n，求的最大值．19．（12分）如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB．（1）求直线EC与平面ABE所成角的余弦值；（2）线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出；若不存在，说明理由．20．（12分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣3，0），F2（3，0），直线y=kx与椭圆交于A、B两点．（Ⅰ）若三角形AF1F2的周长为4+6，求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若|k|＞，且以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，求椭圆离心率e的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+2lnx，函数f（x）与g（x）=x有相同极值点．（1）求函数f（x）的最大值；（2）求实数a的值；（3）若∀x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，求实数k的取值范围．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆上上的点（不与点A、C重合），延长BD至F．（1）求证：AD延长线DF平分∠CDE；（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC边上的高为2+，求△ABC外接圆的面积．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=．（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；（2）若点P是曲线C上的动点，求P到直线l的距离的最小值，并求出P点的坐标．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|．（1）求不等式f（x）＞4的解集；（2）若不等式f（x）的解集非空，求实数a的取值范围．2015-2016学年广东省“六校联盟”高三（上）第三次联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（2015秋•广东月考）已知U={y|y=lnx，x＞1}，A={y|y=，x＞3}，则∁U A=（）A． B．（0，+∞）C．[）D．（﹣∞，0]∪[）【分析】化简集合U、A，求出A在U中的补集．【解答】解：U={y|y=lnx，x＞1}={y|y＞0}=（0，+∞），A={y|y=，x＞3}={y|0＜y＜}，∴∁U A={y|y≥}=[，+∞）．故选：C．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2．（5分）（2016春•衡水校级月考）已知a为实数，若复数z=（a2﹣1）+（a+1）i为纯虚数，则的值为（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【分析】利用纯虚数的定义、复数的运算法则即可得出．【解答】解：复数z=（a2﹣1）+（a+1）i为纯虚数，∴，a=1．则====﹣1．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）（2011•广东校级模拟）已知在等比数列{a n}中，a1+a3=10，a4+a6=，则等比数列{a n}的公比q 的值为（）A．B．C．2 D．8【分析】先设公比为q，用a4+a6除以a1+a3正好等于q3进而求得q．【解答】解：依题意，设公比为q，由于a1+a3=10，a4+a6=，所以q3==，∴q=，故选B【点评】本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．4．（5分）（2015秋•广东月考）设，则a，b，c的大小关系是（）A．a=b＜c B．a=b＞c C．a＜b＜c D．a＞b＞c【分析】利用对数的性质、运算法则、换底公式求解．【解答】解：∵设，∴a=，b===a，c==a，∴a=b＞c．故选：B．【点评】本题考查对数值大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则、换底公式的合理运用．5．（5分）（2016•河南模拟）如图，在△ABC中，已知，则=（）A．B．C．D．【分析】根据向量的减法法则，结合题中等式得=3（），化简可得=+，得到本题答案．【解答】解：∵=，∴由已知，得=3（）化简=+故选：C【点评】本题给出△ABC中，点D是BC边的一个三等分点，求向量关于、的表示式，着重考查了平面向量的减法法则和平面向量的基本定理及其意义等知识，属于中档题．6．（5分）（2012秋•大田县校级期中）直线经过A（2，1），B（1，m2）（m∈R）两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是（）A．0≤α＜πB．或πC．D．或π【分析】由倾斜角的范围可得0≤θ＜π，进而可得l的斜率为K==1﹣m2，进而可得K的范围，由倾斜角与斜率的关系，可得tanθ≤1，进而由正切函数的图象分析可得答案．【解答】解：由倾斜角的范围可得0≤θ＜π，根据斜率的计算公式，可得l的斜率为K==1﹣m2，由二次函数的性质易得k≤1，由倾斜角与斜率的关系，可得tanα≤1，由正切函数的图象，可得θ的范围是，，故选B【点评】本题考查直线的倾斜角，结合斜率的计算公式，结合斜率与倾斜角的关系是解决问题的关键，属基础题．7．（5分）（2015秋•广东月考）已知命题p：函数y=a x+2+3（a＞0且a≠1）的图象恒过（﹣2，4）点；命题q：已知平面α∥平面β，则直线m∥α是直线m∥β的充要条件．则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧￢q C．p∧￢q D．￢p∧q【分析】分别判断命题p和命题q的真假，再利用符合命题真假表判断选项是否为真命题．【解答】选项中“∧”表示逻辑联结词“且”，易判断命题p为真命题．∵直线m∥α是直线m∥β的即不充分也不必要条件，故命题q为假命题．∴￢q为真命题，A选项：p真q假，故p∧q为假B选项：￢p为假￢q为真，故￢p∧￢q为假C选项：p为真￢q为真，故p∧￢q为真D选项：￢p为假q为假，故￢p∧q为假故答案选C【点评】考查复合命题的真假判断，指数型函数过定点问题，空间线面位置关系．是常规题型，属于基础题．8．（5分）（2016•河南模拟）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，现用油漆对该型号零件表面进项防锈处理，若100平方厘米的零件表面约需用油漆10克，那么对100个该型号零件表面进行防锈处理约需油漆（）（π取3.14）A．1.13千克 B．1.45千克 C．1.57千克 D．1.97千克【分析】根据三视图得出几何体是由两个圆柱组成，求出组合体的表面积，再计算100个该型号零件表面进行防锈处理约需油漆数．【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，所以组合体的表面积是：32π+2π•3•2+22π+2π•2•4+π（32﹣22）=46π=46×3.14≈145（cm3）；对100个该型号零件表面进行防锈处理约需油漆为：×10×100=1450（克）=1.45（千克）．故选：B．【点评】本题考查了三视图与几何体的关系，几何体的表面积的求法，也考查了空间想象能力以及计算能力，是基础题目．9．（5分）（2016•茂名二模）《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布．A．B．C．D．【分析】利用等差数列的前n项和公式求解．【解答】解：设从第2天起每天比前一天多织d尺布m则由题意知，解得d=．故选：D．【点评】本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式的求解．10．（5分）（2016•黄山一模）设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|=4|PF2|，则△PF1F2的面积等于（）A．B． C．24 D．48【分析】先由双曲线的方程求出|F1F2|=10，再由3|PF1|=4|PF2|，求出|PF1|=8，|PF2|=6，由此能求出△PF1F2的面积．【解答】解：F1（﹣5，0），F2（5，0），|F1F2|=10，∵3|PF1|=4|PF2|，∴设|PF2|=x，则，由双曲线的性质知，解得x=6．∴|PF1|=8，|PF2|=6，∴∠F1PF2=90°，∴△PF1F2的面积=．故选C．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．11．（5分）（2015秋•广东月考）x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，如[1.2]=1，[﹣1.2]=﹣2；则函数f（x）=[x[x]]在（﹣1，1）上（）A．是奇函数 B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．是增函数【分析】根据[x]的定义，求出函数的解析式，即可得出结论．【解答】解：当x∈（﹣1，1）时，f（x）=x[x]]=[x•0]=0，∴函数f（x）=[x[x]]在（﹣1，1）上既是奇函数又是偶函数，故选：C．【点评】本题考查函数的性质，考查学生的计算能力，正确化简是关键．12．（5分）（2016•河南模拟）已知a＞0，且a≠1，则函数f（x）=a x+（x﹣1）2﹣2a的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．与a有关【分析】令g（x）=a x﹣2a，h（x）=﹣（x﹣1）2，而x=1时：g（x）=a x﹣2a=﹣a＜0，h（x）=﹣（x﹣1）2=0，从而得出函数有2个交点，即函数f（x）有2个零点．【解答】解：令f（x）=0，得：a x﹣2a=﹣（x﹣1）2，令g（x）=a x﹣2a，h（x）=﹣（x﹣1）2，x=1时：a x﹣2a=﹣a＜0，﹣（x﹣1）2=0，a＞1时，画出函数g（x）和h（x）的草图，如图示：，两个函数有2个交点；0＜a＜1时，画出函数g（x）和h（x）的草图，如图示：，两个函数有2个交点，故选：B．【点评】本题考查了函数的零点问题，考查转化思想，考查数形结合思想，是一道基础题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卷相应位置上）13．（5分）（2015秋•广东月考）若向量=（cosα，1），=（1，2tanα），且，则sinα=．【分析】根据平面向量平行（共线）的坐标表示，列出方程，求出sinα的值．【解答】解：∵向量=（cosα，1），=（1，2tanα），且，∴cosα•2tanα﹣1×1=0，即2sinα=1，∴sinα=．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量平行（共线）的坐标表示与运算问题，也考查了同角的三角函数的关系与应用问题，是基础题目．14．（5分）（2015秋•广东月考）设x，y＞0，x+y=9，则的最大值为．【分析】根据题意，分析可得（x+1）+（y+5）=15，令t=，对t求平方可得t2=（x+1）+（y+5）+2，由基本不等式计算可得t2的最大值，进而计算可得t的最大值，即可得答案．【解答】解：根据题意，设x，y＞0，x+y=9，则（x+1）+（y+5）=15；令t=，则t2=（x+1）+（y+5）+2=15+2≤15+[（x+1）（y+5）]=30，故t≤，即的最大值为；故答案为：【点评】本题考查基本不等式的运用，注意将（x+1）与（y+5）看成一个整体，利用基本不等式分析求解．15．（5分）（2015秋•广东月考）点（a，b）在两直线y=x﹣2和y=x﹣4之间的带状区域内（含边界），则f（a，b）=a2﹣2ab+b2+2a﹣2b的最小值与最大值的和为32．【分析】要先画出满足约束条件y=x﹣2和y=x﹣4的平面区域，又由f（a，b）=a2﹣2ab+b2+2a﹣2b=（a﹣b）2+2（a﹣b），我们只要求出（a﹣b）的取值范围，然后根据二次函数在定区间上的最值问题即可求解【解答】解：由f（a，b）=a2﹣2ab+b2+2a﹣2b=（a﹣b）2+2（a﹣b）=（a﹣b+1）2﹣1又（a，b）在两直线y=x﹣2和y=x﹣4之间的带状区域内（含边界）如图所示：得2≤（a﹣b）≤4，根据二次函数在定区间上的最小值为f（2）=8，根据二次函数在定区间上的最大值为f（4）=24，∴f（a，b）=a2﹣2ab+b2+2a﹣2b的最小值与最大值的和为8+24=32，故答案为：32．【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，数形结合是解决问题的基本方法，是中档题．16．（5分）（2015秋•福州校级期末）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为．【分析】由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，设上下底面中心连线EF的中点O，则O 就是球心，则其外接球的半径为OA1，又设D为A1C1中点，在直角三角形EDA1中，EA1==在直角三角形OEA1中，OE=，由勾股定理∴，球的表面积为，故答案为：．【点评】本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2016•太原三模）已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边，且2asin（C+）=b．（1）求角A的值：（11）若AB=3，AC边上的中线BD的长为，求△ABC的面积．【分析】（1）利用正弦定理，结合和角的正弦公式，即可求角A的值：（2）若AB=3，AC边上的中线BD的长为，求出AC，再求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵2asin（C+）=b，∴2sinAsin（C+）=sin（A+C），∴sinAsinC+sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC，∴sinAsinC=cosAsinC，∴tanA=，∴A=60°；（2）设AC=2x，∵AB=3，AC边上的中线BD的长为，∴13=9+x2﹣2×3×x×cos60°，∴x=4，∴AC=8，∴△ABC的面积S==6．【点评】本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（12分）（2015秋•广东月考）已知各项均为正数的等比数列{a n}的首项a1=2，S n为其前n项和，且2S3=5S1+3S2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，c n=，记数列{c n}的前n项和T n，求的最大值．【分析】（1）由等比数列的通项公式可知：2（a1+a1•q+a1•q2）=5a1+2（（a1+a1•q），即可求得q=2，求得数列{a n}的通项公式；（2）由（1）可知：b n=log2a n=n，c n===﹣，采用“裂项法”即可求得数列{c n}的前n 项和T n，由==，由基本不等式的性质即可求得的最大值．【解答】解：（1）∵2S3=5S1+3S2，∴2（a1+a1•q+a1•q2）=5a1+2（（a1+a1•q），…（1分）整理得：2q2﹣q﹣6=0 …（2分）解得：q=2或q=﹣…（3分）∵数列{a n}的各项均为正数，∴q=﹣不合题意…（4分）∴{a n}的通项公式为：a n=2n；…（5分）（2）由（1）可知：b n=log2a n=n，…（6分）∴c n===﹣，…（7分）∴数列{c n}的前n项和T n=c1+c2+…+c n，=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣），=1﹣，=…（8分）==，…（9分）∵n++5≥2+5=9，当且仅当n=，即n=2时等号成立…（10分）∴≤…（11分）的最大值是．…（12分）【点评】本题考查等比数列的通项公式及性质，考查“裂项法”求数列的前n项和，基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．19．（12分）（2016•河南模拟）如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB ∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB．（1）求直线EC与平面ABE所成角的余弦值；（2）线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出；若不存在，说明理由．【分析】（1）由已知可得BC⊥平面ABE，则∠CEB即为直线EC与平面ABE所成的角，设BC=a，则AB=2a，BE=a，可求CE=a，直角三角形CBE中，即可求得sin∠CEB=的值，进而可求直线EC与平面ABE所成角的余弦值．（2）连结AC，交BD于点M，在AE上取点F，使=，连结MF、BF、DF，证明FM∥EC，即可证明EC∥平面FBD，从而可得点F满足=时，有EC∥平面FBD．【解答】解：（1）因为平面ABE⊥平面ABCD，且AB⊥BC，所以BC⊥平面ABE．…（1分）则∠CEB即为直线EC与平面ABE所成的角…（2分）设BC=a，则AB=2a，BE=a，所以CE=a，…（3分）直角三角形CBE中，sin∠CEB===…（4分）可得：…（5分）即直线EC与平面ABE所成角的余弦值为．…（6分）（2）存在点F，且=时，有EC∥平面FBD．证明如下：…（7分）连结AC，交BD于点M，在AE上取点F，使=，连结MF、BF、DF因为AB∥CD，AB=2CD，所以，…（8分）所以，…（9分）因为=，所以FM∥EC…（10分）EC⊄平面FBD，所以EC∥平面FBD．即点F满足=时，有EC∥平面FBD．…（12分）【点评】本题主要考查直线和平面所成角的计算，以及线面平行的判断，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．20．（12分）（2016秋•天河区校级月考）已知椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣3，0），F2（3，0），直线y=kx与椭圆交于A、B两点．（Ⅰ）若三角形AF1F2的周长为4+6，求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若|k|＞，且以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，求椭圆离心率e的取值范围．【分析】（Ⅰ）由题意得，解出即可得出．（Ⅱ）由，化为（b2+a2k2）x2﹣a2b2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．由AF2⊥BF2，可得•=0，再利用根与系数的关系化简整理即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，解得a2=12，b2=3．∴椭圆的方程为．（Ⅱ）由，化为（b2+a2k2）x2﹣a2b2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．∴x1+x2=0，x1x2=，易知，AF2⊥BF2，∵=（x1﹣3，y1），=（x2﹣3，y2），∴•=（x1﹣3）（x2﹣3）+y1y2=（1+k2）x1x2﹣3（x1+x2）+9=（1+k2）x1x2+9=0．∴+9=0，将其整理为k2==﹣1﹣．∵|k|＞，∴12＜a2＜18，解得，∴离心率．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、圆的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）（2014•甘肃一模）已知函数f（x）=﹣x2+2lnx，函数f（x）与g（x）=x有相同极值点．（1）求函数f（x）的最大值；（2）求实数a的值；（3）若∀x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）求导函数，确定函数的单调性，从而可得函数f（x）的最大值；（2）求导函数，利用函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点，可得x=1是函数g（x）的极值点，从而可求a的值；（3）先求出x1∈[，3]时，f（x1）min=f（3）=﹣9+2ln3，f（x1）max=f（1）=﹣1；x2∈[，3]时，g（x2）min=g（1）=2，g（x2）max=g（3）=，再将对于“x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，等价变形，分类讨论，即可求得实数k的取值范围．【解答】解（1）f′（x）=﹣2x+=﹣2×（x＞0），由f′（x）＞0得0＜x＜1；由f′（x）＜0得x＞1．∴f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数．∴函数f（x）的最大值为f（1）=﹣1．（2）∵g（x）=x+，∴g′（x）=1﹣．由（1）知，x=1是函数f（x）的极值点．又∵函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点，∴x=1是函数g（x）的极值点．∴g′（1）=1﹣a=0，解得a=1．经检验，当a=1时，函数g（x）取到极小值，符合题意（3）∵f（）=﹣﹣2，f（1）=﹣1，f（3）=﹣9+2ln3，∵﹣9+2ln3＜﹣﹣2＜﹣1，即f（3）＜f（）＜f（1），∴∀x1∈（，3），f（x1）min=f（3）=﹣9+2ln3，f（x1）max=f（1）=﹣1．由①知g（x）=x+，∴g′（x）=1﹣．故g（x）在[，1）时，g′（x）＜0；当x∈（1，3]时，g′（x）＞0．故g（x）在[，e）上为减函数，在（1，3]上为增函数．∵g（）=e+，g（1）=2，g（3）=3+=，而2＜e+＜，∴g（1）＜g（）＜g（3）．∴∀x2∈[，e]，g（x2）min=g（1）=2，g（x2）max=g（3）=．当k﹣1＞0，即k＞1时，对于∀x1，x2∈[，e]，不等式≤1恒成立⇔k﹣1≥[f（x1）﹣g（x2）]max⇔k≥[f（x1）﹣g（x2）]max+1．∵f（x1）﹣g（x2）≤f（1）﹣g（1）=﹣1﹣2=﹣3，∴k≥﹣3+1=﹣2，又∵k＞1，∴k＞1．当k﹣1＜0，即k＜1时，对于∀x1，x2∈[，e]，不等式≤1恒成立⇔k﹣1≤[f（x1）﹣g（x2）]min⇔k≤[f（x1）﹣g（x2）]min+1．∵f（x1）﹣g（x2）≥f（3）﹣g（3）=﹣9+2ln3﹣=﹣+2ln3，∴k≤﹣+2ln3．又∵k＜1，∴k≤﹣+2ln3．综上，所求的实数k的取值范围为（﹣∞，﹣+2ln3））∪（1，+∞）．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（2015•新余二模）已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆上上的点（不与点A、C重合），延长BD至F．（1）求证：AD延长线DF平分∠CDE；（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC边上的高为2+，求△ABC外接圆的面积．【分析】（1）根据A，B，C，D四点共圆，可得∠ABC=∠CDF，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，从而得解．（2）设O为外接圆圆心，连接AO并延长交BC于H，则AH⊥BC．连接OC，设圆半径为r，则r+r=2+，求出r，即可求△ABC外接圆的面积．【解答】（1）证明：如图，∵A，B，C，D四点共圆，∴∠CDF=∠ABC．又AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，又由对顶角相等得∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF，即AD的延长线DF平分∠CDE．…（5分）（2）解：设O为外接圆圆心，连接AO并延长交BC于H，则AH⊥BC．连接OC，由题意∠OAC=∠OCA=15°，∠ACB=75°，∴∠OCH=60°，设圆半径为r，则r+r=2+，得r=2，外接圆的面积为4π．…（10分）【点评】本题以圆为载体，考查圆的内接四边形的性质，考查等腰三角形的性质，考查外接圆的面积，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2016•衡阳三模）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=．（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；（2）若点P是曲线C上的动点，求P到直线l的距离的最小值，并求出P点的坐标．【分析】本题（1）可以先消参数，求出直线l的普通方程，再利用公式将曲线C的极坐标方程化成平面直角坐标方程，（2）利用点到直线的距离公式，求出P到直线l的距离的最小值，再根据函数取最值的情况求出P点的坐标，得到本题结论．【解答】解：（1）∵，∴x﹣y=1．∴直线的极坐标方程为：ρcosθ﹣ρsinθ=1．即，即．∵，∴，∴ρcos2θ=sinθ，∴（ρcosθ）2=ρsinθ即曲线C的普通方程为y=x2．（2）设P（x0，y0），，∴P到直线的距离：．∴当时，，∴此时，∴当P点为时，P到直线的距离最小，最小值为．【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为平面直角坐标方程、点到直线的距离公式，本题难度不大，属于基础题．选修4-5：不等式选讲24．（2016•河南模拟）设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|．（1）求不等式f（x）＞4的解集；（2）若不等式f（x）的解集非空，求实数a的取值范围．【分析】（1）根据绝对值的性质表示成分段函数形式，进行解不等式即可．（2）设，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：（1）函数f（x）=，…（3分）若x≥3，由f（x）＞4得x﹣＞4，得x＞，若1＜x＜3，由f（x）＞4得x+＞4，得x＞7，此时x无解，若x≤1，由f（x）＞4得﹣x+＞4，得x＜﹣1，此时x＜﹣1，综上f（x）＞4的解集为（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）…（5分）（2）设，g（x）表示过点，斜率为a的直线，…（6分）的解集非空，即y=f（x）的图象在g（x）图象下方有图象，或与g（x）图象有交点，…（7分）当经过点A（3，2）时，（3+）a=2，得a=，当，与y=﹣x+平行时，a=﹣，结合图象可知…（10分）【点评】本题主要考查绝对值不等式的求解，以及不等式恒成立问题，利用数形结合是解决本题的关键．。

20152016年广东省“六校联盟”高三上第三次联考数学试卷文科解析版

20152016年广东省“六校联盟”高三上第三次联考数学试卷文科解析版

2015-2016学年广东省“六校联盟”高三（上）第三次联考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知U={y|y=lnx，x＞1}，A={y|y=，x＞3}，则∁U A=（）A． B．（0，+∞）C．[）D．（﹣∞，0]∪[）2．（5分）已知a为实数，若复数z=（a2﹣1）+（a+1）i为纯虚数，则的值为（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i3．（5分）已知在等比数列{a n}中，a1+a3=10，a4+a6=，则等比数列{a n}的公比q的值为（）A．B．C．2 D．84．（5分）设，则a，b，c的大小关系是（）A．a=b＜c B．a=b＞c C．a＜b＜c D．a＞b＞c5．（5分）如图，在△ABC中，已知，则=（）A．B．C．D．6．（5分）直线经过A（2，1），B（1，m2）（m∈R）两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是（）A．0≤α＜πB．或πC．D．或π7．（5分）已知命题p：函数y=a x+2+3（a＞0且a≠1）的图象恒过（﹣2，4）点；命题q：已知平面α∥平面β，则直线m∥α是直线m∥β的充要条件．则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧￢q C．p∧￢q D．￢p∧q8．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，现用油漆对该型号零件表面进项防锈处理，若100平方厘米的零件表面约需用油漆10克，那么对100个该型号零件表面进行防锈处理约需油漆（）（π取）A．千克 B．千克 C．千克 D．千克9．（5分）《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布．A．B．C．D．10．（5分）设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|=4|PF2|，则△PF1F2的面积等于（）A．B． C．24 D．4811．（5分）x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，如[]=1，[﹣]=﹣2；则函数f（x）=[x[x]]在（﹣1，1）上（）A．是奇函数 B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．是增函数12．（5分）已知a＞0，且a≠1，则函数f（x）=a x+（x﹣1）2﹣2a的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．与a有关二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卷相应位置上）13．（5分）若向量=（cosα，1），=（1，2tanα），且，则sinα=．14．（5分）设x，y＞0，x+y=9，则的最大值为．15．（5分）点（a，b）在两直线y=x﹣2和y=x﹣4之间的带状区域内（含边界），则f（a，b）=a2﹣2ab+b2+2a ﹣2b的最小值与最大值的和为．16．（5分）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边，且2asin（C+）=b．（1）求角A的值：（11）若AB=3，AC边上的中线BD的长为，求△ABC的面积．18．（12分）已知各项均为正数的等比数列{a n}的首项a1=2，S n为其前n项和，且2S3=5S1+3S2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，c n=，记数列{c n}的前n项和T n，求的最大值．19．（12分）如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB．（1）求直线EC与平面ABE所成角的余弦值；（2）线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出；若不存在，说明理由．20．（12分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣3，0），F2（3，0），直线y=kx与椭圆交于A、B两点．（Ⅰ）若三角形AF1F2的周长为4+6，求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若|k|＞，且以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，求椭圆离心率e的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+2lnx，函数f（x）与g（x）=x有相同极值点．（1）求函数f（x）的最大值；（2）求实数a的值；（3）若∀x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，求实数k的取值范围．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆上上的点（不与点A、C重合），延长BD至F．（1）求证：AD延长线DF平分∠CDE；（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC边上的高为2+，求△ABC外接圆的面积．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=．（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；（2）若点P是曲线C上的动点，求P到直线l的距离的最小值，并求出P点的坐标．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|．（1）求不等式f（x）＞4的解集；（2）若不等式f（x）的解集非空，求实数a的取值范围．2015-2016学年广东省“六校联盟”高三（上）第三次联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（2015秋•广东月考）已知U={y|y=lnx，x＞1}，A={y|y=，x＞3}，则∁U A=（）A． B．（0，+∞）C．[）D．（﹣∞，0]∪[）【分析】化简集合U、A，求出A在U中的补集．【解答】解：U={y|y=lnx，x＞1}={y|y＞0}=（0，+∞），A={y|y=，x＞3}={y|0＜y＜}，∴∁U A={y|y≥}=[，+∞）．故选：C．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2．（5分）（2016春•衡水校级月考）已知a为实数，若复数z=（a2﹣1）+（a+1）i为纯虚数，则的值为（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【分析】利用纯虚数的定义、复数的运算法则即可得出．【解答】解：复数z=（a2﹣1）+（a+1）i为纯虚数，∴，a=1．则====﹣1．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）（2011•广东校级模拟）已知在等比数列{a n}中，a1+a3=10，a4+a6=，则等比数列{a n}的公比q 的值为（）A．B．C．2 D．8【分析】先设公比为q，用a4+a6除以a1+a3正好等于q3进而求得q．【解答】解：依题意，设公比为q，由于a1+a3=10，a4+a6=，所以q3==，∴q=，故选B【点评】本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．4．（5分）（2015秋•广东月考）设，则a，b，c的大小关系是（）A．a=b＜c B．a=b＞c C．a＜b＜c D．a＞b＞c【分析】利用对数的性质、运算法则、换底公式求解．【解答】解：∵设，∴a=，b===a，c==a，∴a=b＞c．故选：B．【点评】本题考查对数值大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则、换底公式的合理运用．5．（5分）（2016•河南模拟）如图，在△ABC中，已知，则=（）A．B．C．D．【分析】根据向量的减法法则，结合题中等式得=3（），化简可得=+，得到本题答案．【解答】解：∵=，∴由已知，得=3（）化简=+故选：C【点评】本题给出△ABC中，点D是BC边的一个三等分点，求向量关于、的表示式，着重考查了平面向量的减法法则和平面向量的基本定理及其意义等知识，属于中档题．6．（5分）（2012秋•大田县校级期中）直线经过A（2，1），B（1，m2）（m∈R）两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是（）A．0≤α＜πB．或πC．D．或π【分析】由倾斜角的范围可得0≤θ＜π，进而可得l的斜率为K==1﹣m2，进而可得K的范围，由倾斜角与斜率的关系，可得tanθ≤1，进而由正切函数的图象分析可得答案．【解答】解：由倾斜角的范围可得0≤θ＜π，根据斜率的计算公式，可得l的斜率为K==1﹣m2，由二次函数的性质易得k≤1，由倾斜角与斜率的关系，可得tanα≤1，由正切函数的图象，可得θ的范围是，，故选B【点评】本题考查直线的倾斜角，结合斜率的计算公式，结合斜率与倾斜角的关系是解决问题的关键，属基础题．7．（5分）（2015秋•广东月考）已知命题p：函数y=a x+2+3（a＞0且a≠1）的图象恒过（﹣2，4）点；命题q：已知平面α∥平面β，则直线m∥α是直线m∥β的充要条件．则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧￢q C．p∧￢q D．￢p∧q【分析】分别判断命题p和命题q的真假，再利用符合命题真假表判断选项是否为真命题．【解答】选项中“∧”表示逻辑联结词“且”，易判断命题p为真命题．∵直线m∥α是直线m∥β的即不充分也不必要条件，故命题q为假命题．∴￢q为真命题，A选项：p真q假，故p∧q为假B选项：￢p为假￢q为真，故￢p∧￢q为假C选项：p为真￢q为真，故p∧￢q为真D选项：￢p为假q为假，故￢p∧q为假故答案选C【点评】考查复合命题的真假判断，指数型函数过定点问题，空间线面位置关系．是常规题型，属于基础题．8．（5分）（2016•河南模拟）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，现用油漆对该型号零件表面进项防锈处理，若100平方厘米的零件表面约需用油漆10克，那么对100个该型号零件表面进行防锈处理约需油漆（）（π取）A．千克 B．千克 C．千克 D．千克【分析】根据三视图得出几何体是由两个圆柱组成，求出组合体的表面积，再计算100个该型号零件表面进行防锈处理约需油漆数．【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，所以组合体的表面积是：32π+2π•3•2+22π+2π•2•4+π（32﹣22）=46π=46×≈145（cm3）；对100个该型号零件表面进行防锈处理约需油漆为：×10×100=1450（克）=（千克）．故选：B．【点评】本题考查了三视图与几何体的关系，几何体的表面积的求法，也考查了空间想象能力以及计算能力，是基础题目．9．（5分）（2016•茂名二模）《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布．A．B．C．D．【分析】利用等差数列的前n项和公式求解．【解答】解：设从第2天起每天比前一天多织d尺布m则由题意知，解得d=．故选：D．【点评】本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式的求解．10．（5分）（2016•黄山一模）设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|=4|PF2|，则△PF1F2的面积等于（）A．B． C．24 D．48【分析】先由双曲线的方程求出|F1F2|=10，再由3|PF1|=4|PF2|，求出|PF1|=8，|PF2|=6，由此能求出△PF1F2的面积．【解答】解：F1（﹣5，0），F2（5，0），|F1F2|=10，∵3|PF1|=4|PF2|，∴设|PF2|=x，则，由双曲线的性质知，解得x=6．∴|PF1|=8，|PF2|=6，∴∠F1PF2=90°，∴△PF1F2的面积=．故选C．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．11．（5分）（2015秋•广东月考）x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，如[]=1，[﹣]=﹣2；则函数f （x）=[x[x]]在（﹣1，1）上（）A．是奇函数 B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．是增函数【分析】根据[x]的定义，求出函数的解析式，即可得出结论．【解答】解：当x∈（﹣1，1）时，f（x）=x[x]]=[x•0]=0，∴函数f（x）=[x[x]]在（﹣1，1）上既是奇函数又是偶函数，故选：C．【点评】本题考查函数的性质，考查学生的计算能力，正确化简是关键．12．（5分）（2016•河南模拟）已知a＞0，且a≠1，则函数f（x）=a x+（x﹣1）2﹣2a的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．与a有关【分析】令g（x）=a x﹣2a，h（x）=﹣（x﹣1）2，而x=1时：g（x）=a x﹣2a=﹣a＜0，h（x）=﹣（x﹣1）2=0，从而得出函数有2个交点，即函数f（x）有2个零点．【解答】解：令f（x）=0，得：a x﹣2a=﹣（x﹣1）2，令g（x）=a x﹣2a，h（x）=﹣（x﹣1）2，x=1时：a x﹣2a=﹣a＜0，﹣（x﹣1）2=0，a＞1时，画出函数g（x）和h（x）的草图，如图示：，两个函数有2个交点；0＜a＜1时，画出函数g（x）和h（x）的草图，如图示：，两个函数有2个交点，故选：B．【点评】本题考查了函数的零点问题，考查转化思想，考查数形结合思想，是一道基础题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卷相应位置上）13．（5分）（2015秋•广东月考）若向量=（cosα，1），=（1，2tanα），且，则sinα=．【分析】根据平面向量平行（共线）的坐标表示，列出方程，求出sinα的值．【解答】解：∵向量=（cosα，1），=（1，2tanα），且，∴cosα•2tanα﹣1×1=0，即2sinα=1，∴sinα=．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量平行（共线）的坐标表示与运算问题，也考查了同角的三角函数的关系与应用问题，是基础题目．14．（5分）（2015秋•广东月考）设x，y＞0，x+y=9，则的最大值为．【分析】根据题意，分析可得（x+1）+（y+5）=15，令t=，对t求平方可得t2=（x+1）+（y+5）+2，由基本不等式计算可得t2的最大值，进而计算可得t的最大值，即可得答案．【解答】解：根据题意，设x，y＞0，x+y=9，则（x+1）+（y+5）=15；令t=，则t2=（x+1）+（y+5）+2=15+2≤15+[（x+1）（y+5）]=30，故t≤，即的最大值为；故答案为：【点评】本题考查基本不等式的运用，注意将（x+1）与（y+5）看成一个整体，利用基本不等式分析求解．15．（5分）（2015秋•广东月考）点（a，b）在两直线y=x﹣2和y=x﹣4之间的带状区域内（含边界），则f（a，b）=a2﹣2ab+b2+2a﹣2b的最小值与最大值的和为32．【分析】要先画出满足约束条件y=x﹣2和y=x﹣4的平面区域，又由f（a，b）=a2﹣2ab+b2+2a﹣2b=（a﹣b）2+2（a﹣b），我们只要求出（a﹣b）的取值范围，然后根据二次函数在定区间上的最值问题即可求解【解答】解：由f（a，b）=a2﹣2ab+b2+2a﹣2b=（a﹣b）2+2（a﹣b）=（a﹣b+1）2﹣1又（a，b）在两直线y=x﹣2和y=x﹣4之间的带状区域内（含边界）如图所示：得2≤（a﹣b）≤4，根据二次函数在定区间上的最小值为f（2）=8，根据二次函数在定区间上的最大值为f（4）=24，∴f（a，b）=a2﹣2ab+b2+2a﹣2b的最小值与最大值的和为8+24=32，故答案为：32．【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，数形结合是解决问题的基本方法，是中档题．16．（5分）（2015秋•福州校级期末）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为．【分析】由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，设上下底面中心连线EF的中点O，则O 就是球心，则其外接球的半径为OA1，又设D为A1C1中点，在直角三角形EDA1中，EA1==在直角三角形OEA1中，OE=，由勾股定理∴，球的表面积为，故答案为：．【点评】本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2016•太原三模）已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边，且2asin（C+）=b．（1）求角A的值：（11）若AB=3，AC边上的中线BD的长为，求△ABC的面积．【分析】（1）利用正弦定理，结合和角的正弦公式，即可求角A的值：（2）若AB=3，AC边上的中线BD的长为，求出AC，再求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵2asin（C+）=b，∴2sinAsin（C+）=sin（A+C），∴sinAsinC+sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC，∴sinAsinC=cosAsinC，∴tanA=，∴A=60°；（2）设AC=2x，∵AB=3，AC边上的中线BD的长为，∴13=9+x2﹣2×3×x×cos60°，∴x=4，∴AC=8，∴△ABC的面积S==6．【点评】本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（12分）（2015秋•广东月考）已知各项均为正数的等比数列{a n}的首项a1=2，S n为其前n项和，且2S3=5S1+3S2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，c n=，记数列{c n}的前n项和T n，求的最大值．【分析】（1）由等比数列的通项公式可知：2（a1+a1•q+a1•q2）=5a1+2（（a1+a1•q），即可求得q=2，求得数列{a n}的通项公式；（2）由（1）可知：b n=log2a n=n，c n===﹣，采用“裂项法”即可求得数列{c n}的前n 项和T n，由==，由基本不等式的性质即可求得的最大值．【解答】解：（1）∵2S3=5S1+3S2，∴2（a1+a1•q+a1•q2）=5a1+2（（a1+a1•q），…（1分）整理得：2q2﹣q﹣6=0 …（2分）解得：q=2或q=﹣…（3分）∵数列{a n}的各项均为正数，∴q=﹣不合题意…（4分）∴{a n}的通项公式为：a n=2n；…（5分）（2）由（1）可知：b n=log2a n=n，…（6分）∴c n===﹣，…（7分）∴数列{c n}的前n项和T n=c1+c2+…+c n，=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣），=1﹣，=…（8分）==，…（9分）∵n++5≥2+5=9，当且仅当n=，即n=2时等号成立…（10分）∴≤…（11分）的最大值是．…（12分）【点评】本题考查等比数列的通项公式及性质，考查“裂项法”求数列的前n项和，基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．19．（12分）（2016•河南模拟）如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB ∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB．（1）求直线EC与平面ABE所成角的余弦值；（2）线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出；若不存在，说明理由．【分析】（1）由已知可得BC⊥平面ABE，则∠CEB即为直线EC与平面ABE所成的角，设BC=a，则AB=2a，BE=a，可求CE=a，直角三角形CBE中，即可求得sin∠CEB=的值，进而可求直线EC与平面ABE所成角的余弦值．（2）连结AC，交BD于点M，在AE上取点F，使=，连结MF、BF、DF，证明FM∥EC，即可证明EC∥平面FBD，从而可得点F满足=时，有EC∥平面FBD．【解答】解：（1）因为平面ABE⊥平面ABCD，且AB⊥BC，所以BC⊥平面ABE．…（1分）则∠CEB即为直线EC与平面ABE所成的角…（2分）设BC=a，则AB=2a，BE=a，所以CE=a，…（3分）直角三角形CBE中，sin∠CEB===…（4分）可得：…（5分）即直线EC与平面ABE所成角的余弦值为．…（6分）（2）存在点F，且=时，有EC∥平面FBD．证明如下：…（7分）连结AC，交BD于点M，在AE上取点F，使=，连结MF、BF、DF因为AB∥CD，AB=2CD，所以，…（8分）所以，…（9分）因为=，所以FM∥EC…（10分）EC⊄平面FBD，所以EC∥平面FBD．即点F满足=时，有EC∥平面FBD．…（12分）【点评】本题主要考查直线和平面所成角的计算，以及线面平行的判断，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．20．（12分）（2016秋•天河区校级月考）已知椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣3，0），F2（3，0），直线y=kx与椭圆交于A、B两点．（Ⅰ）若三角形AF1F2的周长为4+6，求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若|k|＞，且以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，求椭圆离心率e的取值范围．【分析】（Ⅰ）由题意得，解出即可得出．（Ⅱ）由，化为（b2+a2k2）x2﹣a2b2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．由AF2⊥BF2，可得•=0，再利用根与系数的关系化简整理即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，解得a2=12，b2=3．∴椭圆的方程为．（Ⅱ）由，化为（b2+a2k2）x2﹣a2b2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．∴x1+x2=0，x1x2=，易知，AF2⊥BF2，∵=（x1﹣3，y1），=（x2﹣3，y2），∴•=（x1﹣3）（x2﹣3）+y1y2=（1+k2）x1x2﹣3（x1+x2）+9=（1+k2）x1x2+9=0．∴+9=0，将其整理为k2==﹣1﹣．∵|k|＞，∴12＜a2＜18，解得，∴离心率．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、圆的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）（2014•甘肃一模）已知函数f（x）=﹣x2+2lnx，函数f（x）与g（x）=x有相同极值点．（1）求函数f（x）的最大值；（2）求实数a的值；（3）若∀x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）求导函数，确定函数的单调性，从而可得函数f（x）的最大值；（2）求导函数，利用函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点，可得x=1是函数g（x）的极值点，从而可求a的值；（3）先求出x1∈[，3]时，f（x1）min=f（3）=﹣9+2ln3，f（x1）max=f（1）=﹣1；x2∈[，3]时，g（x2）min=g（1）=2，g（x2）max=g（3）=，再将对于“x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，等价变形，分类讨论，即可求得实数k的取值范围．【解答】解（1）f′（x）=﹣2x+=﹣2×（x＞0），由f′（x）＞0得0＜x＜1；由f′（x）＜0得x＞1．∴f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数．∴函数f（x）的最大值为f（1）=﹣1．（2）∵g（x）=x+，∴g′（x）=1﹣．由（1）知，x=1是函数f（x）的极值点．又∵函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点，∴x=1是函数g（x）的极值点．∴g′（1）=1﹣a=0，解得a=1．经检验，当a=1时，函数g（x）取到极小值，符合题意（3）∵f（）=﹣﹣2，f（1）=﹣1，f（3）=﹣9+2ln3，∵﹣9+2ln3＜﹣﹣2＜﹣1，即f（3）＜f（）＜f（1），∴∀x1∈（，3），f（x1）min=f（3）=﹣9+2ln3，f（x1）max=f（1）=﹣1．由①知g（x）=x+，∴g′（x）=1﹣．故g（x）在[，1）时，g′（x）＜0；当x∈（1，3]时，g′（x）＞0．故g（x）在[，e）上为减函数，在（1，3]上为增函数．∵g（）=e+，g（1）=2，g（3）=3+=，而2＜e+＜，∴g（1）＜g（）＜g（3）．∴∀x2∈[，e]，g（x2）min=g（1）=2，g（x2）max=g（3）=．当k﹣1＞0，即k＞1时，对于∀x1，x2∈[，e]，不等式≤1恒成立⇔k﹣1≥[f（x1）﹣g（x2）]max⇔k≥[f（x1）﹣g（x2）]max+1．∵f（x1）﹣g（x2）≤f（1）﹣g（1）=﹣1﹣2=﹣3，∴k≥﹣3+1=﹣2，又∵k＞1，∴k＞1．当k﹣1＜0，即k＜1时，对于∀x1，x2∈[，e]，不等式≤1恒成立⇔k﹣1≤[f（x1）﹣g（x2）]min⇔k≤[f（x1）﹣g（x2）]min+1．∵f（x1）﹣g（x2）≥f（3）﹣g（3）=﹣9+2ln3﹣=﹣+2ln3，∴k≤﹣+2ln3．又∵k＜1，∴k≤﹣+2ln3．综上，所求的实数k的取值范围为（﹣∞，﹣+2ln3））∪（1，+∞）．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（2015•新余二模）已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆上上的点（不与点A、C重合），延长BD至F．（1）求证：AD延长线DF平分∠CDE；（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC边上的高为2+，求△ABC外接圆的面积．【分析】（1）根据A，B，C，D四点共圆，可得∠ABC=∠CDF，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，从而得解．（2）设O为外接圆圆心，连接AO并延长交BC于H，则AH⊥BC．连接OC，设圆半径为r，则r+r=2+，求出r，即可求△ABC外接圆的面积．【解答】（1）证明：如图，∵A，B，C，D四点共圆，∴∠CDF=∠ABC．又AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，又由对顶角相等得∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF，即AD的延长线DF平分∠CDE．…（5分）（2）解：设O为外接圆圆心，连接AO并延长交BC于H，则AH⊥BC．连接OC，由题意∠OAC=∠OCA=15°，∠ACB=75°，∴∠OCH=60°，设圆半径为r，则r+r=2+，得r=2，外接圆的面积为4π．…（10分）【点评】本题以圆为载体，考查圆的内接四边形的性质，考查等腰三角形的性质，考查外接圆的面积，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2016•衡阳三模）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=．（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；（2）若点P是曲线C上的动点，求P到直线l的距离的最小值，并求出P点的坐标．【分析】本题（1）可以先消参数，求出直线l的普通方程，再利用公式将曲线C的极坐标方程化成平面直角坐标方程，（2）利用点到直线的距离公式，求出P到直线l的距离的最小值，再根据函数取最值的情况求出P点的坐标，得到本题结论．【解答】解：（1）∵，∴x﹣y=1．∴直线的极坐标方程为：ρcosθ﹣ρsinθ=1．即，即．∵，∴，∴ρcos2θ=sinθ，∴（ρcosθ）2=ρsinθ即曲线C的普通方程为y=x2．（2）设P（x0，y0），，∴P到直线的距离：．∴当时，，∴此时，∴当P点为时，P到直线的距离最小，最小值为．【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为平面直角坐标方程、点到直线的距离公式，本题难度不大，属于基础题．选修4-5：不等式选讲24．（2016•河南模拟）设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|．（1）求不等式f（x）＞4的解集；（2）若不等式f（x）的解集非空，求实数a的取值范围．【分析】（1）根据绝对值的性质表示成分段函数形式，进行解不等式即可．（2）设，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：（1）函数f（x）=，…（3分）若x≥3，由f（x）＞4得x﹣＞4，得x＞，若1＜x＜3，由f（x）＞4得x+＞4，得x＞7，此时x无解，若x≤1，由f（x）＞4得﹣x+＞4，得x＜﹣1，此时x＜﹣1，综上f（x）＞4的解集为（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）…（5分）（2）设，g（x）表示过点，斜率为a的直线，…（6分）的解集非空，即y=f（x）的图象在g（x）图象下方有图象，或与g（x）图象有交点，…（7分）当经过点A（3，2）时，（3+）a=2，得a=，当，与y=﹣x+平行时，a=﹣，结合图象可知…（10分）【点评】本题主要考查绝对值不等式的求解，以及不等式恒成立问题，利用数形结合是解决本题的关键．。