百校联盟2019届TOP20三月联考(全国I卷)理科数学

2019年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅰ卷理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A. }{43x x -<<B. }{42x x -<<-C. }{22x x -<<D. }{23x x <<2.设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A. 22+11()x y += B. 22(1)1x y -+=C. 22(1)1x y +-=D. 22(+1)1y x +=3.已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. b c a <<4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190cm5.函数f (x )=2sin cos x x x x ++在[—π，π]的图像大致为A. B.C. D.6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A.516B.1132C.2132D.11167.已知非零向量a，b满足a=2b，且（a–b）⊥b，则a与b的夹角为A. π6B.π3C.2π3D.5π68.如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A. A=12A+B. A=12A+ C. A=112A+D. A=112A+9.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A. 25n a n =-B.310n a n =-C. 228n S n n =-D. 2122n S n n =- 10.已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A. 2212x y +=B. 22132x y +=C. 22143x y += D. 22154x y +=11.关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]ππ-有4个零点 ④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A. ①②④B. ②④C. ①④D. ①③12.已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，PB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A. B. C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

...⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯A．5 B．6 C ．7 D．8 绝密★启用前⋯⋯○⋯⋯⋯⋯2019年第一次全国大联考【新课标Ⅰ卷】6．函数 f (x) x|x|sin 2x的大致图象是⋯⋯⋯⋯理科数学⋯⋯线⋯⋯⋯⋯⋯⋯○⋯⋯⋯⋯⋯⋯订⋯⋯⋯⋯⋯⋯__ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __：号考_ __ __ __ __ __ __ __：⋯⋯线⋯⋯⋯⋯⋯⋯○⋯⋯⋯⋯⋯⋯订⋯⋯⋯⋯⋯⋯4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题（本题共12 小题，每小题 5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U Z，集合P { x | x(x 3) 0,x Z}，Q { x | x 0} ，则(e U P) Q等于（考试时间：120 分钟试卷满分：150 分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

A B 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

...○ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 装 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ○ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 外级 班 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ： 名 姓 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ： 校 学○ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 装 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ○ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 内A ． (0,3)B ．{ 1,2}C ． (0, 2)D ． {2}2．若复数 z 满足z (1 i) 1 i ， i 为虚数单位，则 z 2019 A ． 2i B ． i C ． iD ． 2i3．已知命题 p ：“对任意的 x 1， ln x 0 ”的否定是 “存在 x 0 1， ln x 0 0”，命题 q ：“0 k 1”是“方程223 2xyx ky k表示圆”的充要条件，则下列命题为真命题的是A ． p qB ． p qC ．p q D ． p q4．已知单位向量a ,b 满足|a b | 2a b 0 ，则 | a +2b |= A ．3 B ．2 C ． 9D ．4π5．已知 a x x ，若执行如图所示的程序框图，则输出k 的值是sin d27．已知二项式 8．如图所示为某三棱锥的三视图，若该三棱锥的体积为 1 2n ( x) 2 x的展开式中，第 3 项的二项式系数比第2 项的二项式系数大 9，则该展开式中的常 8 x，则图中 的值为3CD数项为 A ．20B ． 20C ．40D ． 40⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯ ⋯ ○ ⋯ ⋯⋯ ⋯ ○ ⋯A ． 3B ．72C ．4D ．92⋯ ⋯ ⋯ ⋯理科数学试题 第 1 页（共 6 页）理科数学试题 第 2 页（共 6 页）⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9．如图，边长为 a 的正三角形内有三个半径相同的圆，这三个圆分别与正三角形的其中两边相切，且相邻的两个圆互相外切，则在正三角形内任取一点，该点恰好落在阴影部分的概率为xh(x) g( x) 2cos x4s inx2______．⋯⋯○⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯内外A ．2 3 π12B ．2 3 π4 3C．2 3 π12+8 3D．2 3 π6+4 3⋯⋯⋯⋯⋯⋯此⋯⋯⋯⋯⋯⋯10．已知在锐角三角形ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a,b,c ，若n s i 2 A 2n s i n s i B0 C ，则的取值范围为n s i B n i s Cn s i A16．已知直线l : kx y 1 0与抛物线2C : y 4x 交于A，B 两点，O 为坐标原点，抛物线 C 的准线与x卷○⋯⋯⋯○⋯⋯A ．（2, 3 ）B．（1, 2）C．（2, 6 ）D．（1, 6 ）轴的交点为P ，若OA OB 0，则PA PB 取最小值时的直线l 的方程为______．⋯⋯⋯只⋯⋯⋯11．若函数1 2x x( ) ( 0)f (x) 2 x恰有三个零点，则 a 的取值范围为三、解答题（本大题共 6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）装装⋯⋯装⋯⋯A ．1[ , 0]e⋯⋯⋯⋯订⋯⋯⋯12．已知双曲线C：x ln x a(x 0)B．（10, ）C．e2 2x yF l，过左焦点的直线的倾斜角满足11[0, ]eD．（1e,0 ）tan13，若直线l已知{ }a 是公差为2的等差数列，且a1a2 a3 12，{b n} 是公比为3的等比数列，且n（1）求数列{a } ，{b n } 的通项公式；n（2）令c n a n b n ，求{c n} 的前n 项和S n ．1b a ．1 32○⋯⋯不○⋯⋯1(a 0,b 0)2 2ab⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯分别与双曲线 的两条渐近线 相交于 A ，B 两点，且线段A B 的垂直平分线 恰好经过双曲线 的右焦点 F 2 ， 18．（本小题满分 12分）则该双曲线 的离心率为如图，在直三棱柱A BC A 1B 1C 1 中， CA 1， CB2 ， BCA 90 ，侧棱 AA 12 ， M 为 AB 的中点．密⋯ 订⋯ ⋯⋯ 订 ⋯A ． 6B ．5C ．62D ．5 2⋯ ⋯ ⋯封 ⋯⋯ ⋯第Ⅱ卷⋯ ○⋯ ⋯ ○⋯二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）3y x 2⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯ ⋯⋯ 13．已知实数 x, y 满足约束条件 y2x 12y x 8，则目标函数22z x y 的最大值为 ______．线 ⋯线 ⋯ 14．若2f ( x) log ( x1 x) 2x ，则满足不等式32f (m2m 3) 0的 m 的取值范围为 ______．（1）求异面直线A B 1,CA 1所成角的余弦值；⋯ ⋯ ⋯⋯ ⋯ ⋯15．已知函数πf x A x A 的部分图象如图所示，将函数f (x) 的图象先向( ) sin( )(0,0,| | )2（2）若 N 为 A 1A 上一动点，求 N 在何位置时 CB 1 ⊥ BN ； （3）求二面角 BCMB1的余弦值．⋯ ⋯ ○⋯ ⋯ ⋯ ○右平移 1个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的π倍，得到函数g(x) 的图象，若理科数学试题第 3 页（共 6 页）理科数学试题 第 4 页（共 6 页）⋯ ⋯ ⋯⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯... ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯○⋯⋯⋯○19．（本小题满分12分）2018 年11 月26 日，南方科技大学的贺建奎团队宣布一对名为露露和娜娜的基因编辑婴儿于11月在已知椭圆2 2x y2 2 1(a b0)a b过点( 2,1)，离心率是22，直线l 过椭圆的右焦点 F ，且与椭圆⋯⋯⋯⋯中国健康诞生，这对双胞胎的一个基因经过修改，使她们出生后即能天然抵抗艾滋病病毒，这是世界交于M ,N两点( M ，N 两点均位于y轴的右侧)，与y 轴交于Q点．⋯⋯⋯⋯首例免疫艾滋病的基因编辑婴儿.当即122位生物医学领域科学家联名谴责，称“此项技术早就可以做”，（1）求椭圆的标准方程；⋯⋯线⋯⋯⋯⋯⋯⋯○⋯⋯⋯⋯⋯⋯订⋯⋯⋯⋯⋯__ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __：号考_ __ __ __ __ __ __ __⋯⋯线⋯⋯⋯⋯⋯⋯○⋯⋯⋯⋯⋯⋯订⋯⋯⋯⋯⋯不做的原因是巨大的风险和伦理问题，直指这项所谓研究的生物医学伦理审查形同虚设，直接进行人体实验，只能用“疯狂”来形容.针对这件事某部门就“基因编辑婴儿”的看法随机抽取40 人进行了问卷调查，其中男、女各20 人，将问卷得分情况制作茎叶图如下：1 1 4（2）是否存在直线l ，使得说明理由．2112．（本小题满分分）af (x) 1ln x已知函数x（2 a 2）当时，求函数0 成立？若存在，求出l 的方程；若不存在，请|QM | |QN | |QF |( a 0 ).（1）讨论函数 f ( x) 在区间(0, 2) 上的单调性；g( x) f(x)1x的最值；...（3）已知n N* ，且n 2 ，求证：n 1 1 1 1 1ln.2 234 n请考生在第22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目⋯○⋯⋯⋯⋯⋯⋯装⋯⋯⋯⋯⋯⋯○⋯⋯⋯⋯⋯⋯外⋯⋯：级班_ __ __ __ __ __ __：名姓_ __ __ __ __ __ __ _：校学⋯○⋯⋯⋯⋯⋯⋯装⋯⋯⋯⋯⋯⋯○⋯⋯⋯⋯⋯⋯内⋯⋯1 80 A A（）将得分不低于分的称为“类”调查对象，某部门想要进一步了解“类”调查对象的更多信息，将调查所得的频率视为概率.①若从“A类”调查对象中抽取 2 人，求抽取的 2 人是同性的概率；②若从“A类”调查对象中抽取 3 人，设被抽到的 3 人中女性人数为，求的分布列与数学期望.（2）通过问卷调查，得到如下2 2列联表.完成列联表，并说明能否有99 ％的把握认为是否是“A类”调查对象与性别有关？不是“A类”调查对象是“A类”调查对象总计.，其中n ab c d计分．22．（本小题满分10分）选修4-4 ：坐标系与参数方程x 1ty 3t在平面直角坐标系xOy中，直线...⋯⋯⋯⋯男女总计附参考公式与数据：K22 n(ad bc)(a b)( a c )(b d )(cd)2 0.050 0.010 0.001P K k( )l的参数方程为（t 为参的正半轴为极线Q1延长的轨．2（1）曲线程；（2）(0重的最大值.23．（本小题满分10...分）选修 4-5 ：不等式选讲已知函数f (x ) |x 3| m |x |.m 2f (x ) 5（1 ）若 ，求不等式 的解集；⋯⋯ ⋯ ⋯ k3.841 6.635 10.828（2）若关于x 的不等式f (x) 1在 R 上恒成立，求实数 m 的取值范围.○ ⋯ ⋯○ ⋯20．（本小题满分 12分）⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 理科数学试题 第 5 页（共6 页）理科数学试题 第 6 页（共6 页）⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯。

理科数学试题第1页（共6页）理科数学试题第2页（共6页）绝密★启用前|2019年第一次全国大联考【新课标Ⅲ卷】理科数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合}4|{2≤=x x A ，}02|{≤-=x xx B ，则=B A A ．)2,0[B ．]2,0[C ．]0,2[-D ．]2,2[-2．设i 为虚数单位，复数sin i cos z αα=+，若0tan ≥α，则复数z 在复平面内所对应的点不可能在A ．第一象限B ．实轴上C ．第三象限D ．虚轴上3．将一长为4，宽为2的矩形ABCD 沿AB 、DC 的中点E 、F 连线折成如图所示的几何体，若折叠后AB AE =，则该几何体的正视图面积为A ．4B ．32C ．2D ．34．已知定义在R 上的奇函数)(x f 单调递增，且|)(|)(x f x g =，则不等式0)62()(<--x g x g 的解集为A ．)6,2(B ．)2,6(--C ．),6()2,(+∞-∞ D ．),2()6,(+∞---∞ 5．执行如图所示的程序框图，输出的结果为A ．122019-B ．222019-C ．122020-D ．222020-6．已知函数()sin(23f x x ωπ=-（0>ω）的最小正周期为2π，则下列说法正确的是A ．1=ωB ．函数()f x 在(,42ππ上单调递增C ．函数()f x 的图象关于直线2x π=对称D ．函数()f x 的图象关于点(,0)3π对称7．若二项式nxx )1(-的展开式中第m 项为常数项，则m ，n 应满足A ．)1(32-=m n B ．m n 32=C ．)1(32+=m n D ．mn =28．已知一只蚂蚁在底面半径为5cm ，高为12cm 的圆锥侧面爬行，若蚂蚁在圆锥侧面上任意一点出现的可能性相等，且将蚂蚁看作一个点，则蚂蚁距离圆锥顶点超过5cm 的概率为A ．1312B ．135C ．169144D ．16925理科数学试题第3页（共6页）理科数学试题第4页（共6页）………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………此卷只装订不密封………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………9．已知数列}{n a 满足n n tS n 122-=，其中n S 为数列}{n a 的前n 项和，若13542a a a ++=，2428a a +=，则当n S 取最大值时，=n A ．7B ．6C ．5D ．410．在矩形ABCD 中，2=AB ，4=AD ，AC 与BD 相交于点O ，过点A 作BD AE ⊥，垂足为E ，则AE AC ⋅=A ．58B ．516C ．532D ．811．已知抛物线C ：2(0)y ax a =>，若直线l ：a x y -=4被抛物线C 截得的弦长为17，则与抛物线C相切且平行于直线l 的直线方程为A ．024=+-y x B ．014=+-y x C ．0128=+-y x D ．0128=--y x 12．已知函数x xmmx x f ln 1)(+--=，要使函数)(x f 0>恒成立，则正实数m 应满足A ．211e 1m m m--<B ．121e 1m m m--<C ．211e 1m m m-->D ．121e 1mm m-->第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≥-20202x y x y x 所表示的平面区域为Ω，则区域Ω的外接圆的面积为_____________．14．已知函数2)(3++-=mx x x f ，nx x x g -=22)(，且曲线()y f x =在点))2(,2(f 处的切线与曲线()y g x =在点))1(,1(g 处的切线平行，则22n m +的最小值为____________．15．设双曲线C ：12222=-by a x （0,0>>b a ）的左、右焦点分别为21,F F ，以2F 为圆心作一圆，使该圆过线段2OF 的中点，若该圆与双曲线C 的两渐近线有公共点，则双曲线C 的离心率的取值范围是____________．16．在面积为4的正方形ABCD 中，M 是线段AB 的中点，现将图形沿,MC MD 折起，使线段,MA MB重合，得到一个四面体A CDM -（其中点B 重合于点A ），则该四面体外接球的表面积为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）在ABC △中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,21)(4sin 1)2AC c -=-．（1）求证：a 2，b ，c 成等差数列；（2）若4=c ，求BC 边上的高的取值范围．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是梯形，AB DC ∥，⊥AD 平面PAB ，且2AB AD ==，4ABC π∠=．（1）求证：平面PAD ⊥平面PBC ；（2）若PB PA =，求平面PAD 与平面PCD 所成锐二面角的大小．19．（本小题满分12分）2018年3月，国家癌症中心发布了中国最新癌症数据，下表统计了我国男、女性癌症发病率前5类的数据：我国癌症发病率（单位：发病人数/10万）TOP5（1）记男、女性癌症前5类发病率的平均值分别为21x x ，计算并比较1x 与2x 的大小；（2）定义高于本性别前5类发病率平均值的癌种为高发病率癌种，在男、女性前5类癌种中各取两理科数学试题第5页（共6页）理科数学试题第6页（共6页）类癌种，试分别求男、女性别含有高发病率癌种的类数的分布列，并比较两个性别含有高发病率癌种的类数的均值．20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为21,F F ，2||21=F F ，过2F 的直线l 与椭圆C交于B A ,两点，1ABF △的周长为24.（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点A 作y 轴的垂线m ，则x 轴上是否存在一点)0,(0x P ，使得直线PB 与直线m 的交点恒在一条定直线上？若存在，求该点的坐标及该定直线的方程，若不存在，请说明理由.21．（本小题满分12分）已知函数⎩⎨⎧-<+--≥+=1,11),2ln()(2x x ax x x x f ()a ∈R ．（1）若函数)(x f 在定义域内是增函数，求实数a 的取值范围；（2）设2()()(1)g x x bx f x x =+-≥-，若1≥b ，证明：函数)(x g 至少有1个零点．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为2cos 12sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（ϕ为参数），以直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）将曲线C 的参数方程化为极坐标方程；（2）已知直线l 的极坐标方程为αθ=（,[0,)ρα∈∈πR ），若曲线C 上至少有3个点到直线l 的距离为1，求α的取值范围．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数ax a x x f ++=|23|)(．（1）若2)2(>f ，求实数a 的取值范围；（2）当)1,32(ax -∈时，0|1|)(≤-+x x f 恒成立，求实数a 的取值范围．2019年第一次全国大联考【新课标Ⅲ卷】理科数学·全解全析123456789101112ABBCDDACBCBC1．A 【解析】易得}22|{}4|{2≤≤-=≤=x x x x A ，}02|{≤-=x xx B }20|{<≤=x x ，所以=B A )2,0[，故选A ．5．D 【解析】由图知输出的结果2019123201920202(21)22222221S ⨯-=++++==-- ．故选D.6．D 【解析】由已知22T ωπ==2π，解得2=ω，故()sin(43f x x π=-，若(,42x ππ∈，则254(,333x πππ-∈，由正弦函数的图象可知函数()f x 在(,)42ππ上有增有减；若2x π=，则5433x ππ-=，此时函数()f x 取不到最大值或者最小值，故2x π=不是函数()f x 图象的对称轴；若3x π=，则43x π-=π，此时函数()=0f x ，故()f x 的图象关于点(,0)3π对称.逐一观察各选项可知，答案为D.7．A 【解析】由题意，n xx 1(-的通项为321(1)C n r r rr nT x -+=-，当r n 23=即r n 32=时，所得项为常数项，其中1-=m r ，所以m ，n 应满足)1(32-=m n ，故选A.8．C 【解析】易得圆锥的母线长为13cm ，当蚂蚁距离圆锥顶点不超过5cm 时，蚂蚁应爬行在底面半径为25cm 13，母线长为5cm 的小圆锥侧面上，由几何概型可知，蚂蚁距离圆锥顶点超过5cm 的概率为255144131513169π⨯⨯-=π⨯⨯，故选C ．9．B 【解析】由13542a a a ++=，2428a a +=，可得705=S ，由已知得512525⨯-=tS ，得21-=t ，故n n S n 12212-=-，即72)6(224222+--=+-=n n n S n ，所以当6=n 时,n S 取得最大值．故选B.11．B 【解析】设抛物线C 的焦点为F ，则)0,4(a F ，可得直线:4l y x a =-过焦点F ，设直线l 交抛物线C 于点),(),,(2211y x B y x A ，由抛物线定义可知2||21ax x AB ++=，联立直线l 与抛物线C 的方程，消去y 得091622=+-a ax x ，所以a x x 16921=+，则172169||=+=a a AB ，解得16=a ，则抛物线C 的方程为x y 162=.设与抛物线C 相切且平行于直线l 的直线方程为b x y +=4，联立方程⎩⎨⎧+==bx y x y 4162，消去y 得0)168(1622=+-+b x b x ，则22(816)4160b b ∆=--⨯=，解得1=b ，故所求直线方程为014=+-y x .故选B.12．C 【解析】由题意，得2222111(1)(1)()m mx x m mx m x f x m x x x x-++--++'=++==（0x >），令10mx m -+=，由0>m ，得1m x m -=.当10≤<m 时，01≤-m m ，此时函数)(x f 在),0(+∞上单调递增，且0→x 时，0→mx ，-∞→--xm1，-∞→x ln ，故-∞→)(x f ，不合题意，舍去；当1>m 时，01>-m m ，此时函数)(x f 在)1,0(m m -上单调递减，在),1(+∞-m m 上单调递增，所以1()(min mm f x f -=m m m m 1ln1-++-=m m m 1ln 12-+-=，要使函数)(x f 0>恒成立，只需01ln 12>-+-mm m ，即211e1m m m -->.故选C.13．254π【解析】由题意作出区域Ω，如图中阴影部分所示，易知432121212tan =⨯+-=∠MON ，故=∠MON sin 53，又3=MN ，设OMN △的外接圆的半径为R ，则由正弦定理得R MON MN 2sin =∠，即25=R ，故所求外接圆的面积为2525(24π⨯=π.15．)332,1(【解析】由题意设双曲线C 的半焦距为c ，则右焦点)0,(2c F 到渐近线x a by ±=的距离均为b b a bc =+22||，圆2F 的半径为2c ，要使圆2F 与双曲线C 的两渐近线有公共点，需满足b c>2，即)(4222a c c ->，解得3422<ac ，又双曲线的离心率1>e ，故双曲线C 的离心率的取值范围为332,1(.16．193π【解析】作出图形如图（1）所示，由图可知在四面体A CDM -中，MA AD ⊥，MA AC ⊥，AC AD A = ，故MA ⊥平面ACD ，将图形旋转得到如图（2）所示的三棱锥M ACD -，其中ACD △为等边三角形，过ACD △的中心1O 作平面ACD 的垂线1l ，过线段MC 的中点2O 作平面MAC 的垂线2l ，易得直线1l 与2l 相交，记12l l O = ，则O 即为三棱锥M ACD -外接球的球心.设外接球的半径为R ，连接OC 、1O C ，可得1112O C OO ==,在1Rt OO C △中，2222111912OC OO O C R =+==，故外接球的表面积21943S R π=π=，故答案为193π.图（1）图（2）17．（本小题满分12分）（2）由（1）可知，22c a b +=，在ABC △中，由余弦定理，知222222222(232cos 228c a c a c ba c B acac ac++-+-+-===≥84ac -=（当且仅当2223a c =时，等号成立），（8分）∴426)426(1cos 1sin 22+=--≤-=B B ，（10分）则BC 边上的高264264sin +=+⨯≤⋅=B c h ，∴BC 边上的高的取值范围为]26,0(+．（12分）18．（本小题满分12分）∴PB PA ⊥，（4分）∵⊥AD 平面PAB ，∴PB AD ⊥，又A AD PA = ，∴⊥PB 平面PAD ，又⊂PB 平面PBC ，∴平面PAD ⊥平面PBC .（6分）（2）由PB PA =，可得AB PE ⊥，故以E 为原点，EC EB EP ,,所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图，同（1），设1=AD ，则)0,0,1(P ，)0,1,0(-A ，)1,1,0(-D ，)1,0,0(C ，则(1,1,1)PD =-- ，(0,0,1)AD = ，(0,1,0)CD =-，（8分）∴平面PCD 的一个法向量为2(1,0,1)=n ，（10分）∴1212121cos ,||||7⋅==n n n n n n 21=，故平面PAD 与平面PCD 所成锐二面角的大小为3π．（12分）19．（本小题满分12分）【解析】（1）由统计表可得11(74.3141.0838.3730.5526.46)42.1545x =⨯++++=，21(41.8239.0823.4318.9918.36)28.3365x =⨯++++=.可知21x x >.（4分）（2）由定义，知男性中只有肺癌属于高发率癌种，女性中乳腺癌、肺癌为高发病率癌种，（6分）设X 、Y 分别为男、女性前5类癌种中抽到的高发病率癌种的类数，则X 的可能取值有0，1，2425C 3(0)C 5P X ===,111425C C 2(1)C 5P X ===.故X 的分布列为X 01P3525（8分）故52521530)(=⨯+⨯=X E .Y 的可能取值有0，1，22325C 3(0)C 10P Y ===,112325C C 3(1)C 5P Y ===,2225C 1(2)C 10P Y ===.故Y 的分布列为Y012P31035110（10分）故3314()012105105E Y =⨯+⨯+⨯=.可得)()(Y E X E <，故男性前5类癌种中含有高发病率癌种的类数的均值较小.（12分）20．（本小题满分12分）（2）显然过点2F 的直线l 不与x 轴重合，可设直线l 的方程为1+=ty x ，且),(11y x A ，),(22y x B ，联立方程22121x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得012)2(22=-++ty y t ，根据根与系数的关系，得22221+-=+t t y y ，21221+-=t y y ，（6分）联立直线m 与直线PB 的方程⎪⎩⎪⎨⎧--==)(00221x x x x y y y y ，消去y ，整理得)(100221x x x ty y y --+=，解得0210121x y y x y y ty x +-+=，将21221+-=t y y ，22221+--=t ty y 代入，得20222232(22t ty x y t t x x y --++++=+020********002232(23)222t t tx y x y x y x y t t t x x y y -+⋅-+--++++=+=+，（10分）若存在点)0,(0x P 满足直线PB 与直线m 的交点恒在一条定直线上，可令230=x ，则0202202(23)22tx y x y t x x y --++=+=，与t 无关，故在x 轴上存在点P ，使直线PB 与直线m 的交点恒在一条定直线上，此时点P 的坐标为)0,23(，定直线的方程为2=x .（12分）令)12()4(22-+++b x b x 0=（*），则22(4)8(21)(4)80b b b ∆=+--=-+>，∴方程（*）有两个不相等的实根，且48)4()4(21+--+-=b b x ，48)4()4(22+-++-=b b x ,若11->x，整理得0b +<，又1b ≥，∴0b +<不成立，故11-≤x ；若12->x 1>-，得3<b ，当31<≤b 时，函数)(x g 在2[1,]x -上单调递减，在),(2+∞x 上单调递增，（9分）∵01)1(≤-=-b g ，(1)1ln 32ln 30g b =+-≥->，∴当1=b 时，函数)(x g 有2个零点，当31<<b 时，函数)(x g 有1个零点，（10分）若12-≤x ，1≤-，得3≥b ，此时()0g'x ≥，故函数)(x g 在),1[+∞-上单调递增，∴()(1)1g x g b ≥-=-，∵01<-b ，∴函数)(x g 有1个零点.综上，若1b ≥，函数)(x g 至少有1个零点．（12分）（2）（法一）由（1）知曲线C 是以)1,3(为圆心，2为半径的圆，当曲线C 上至少有3个点到直线l 的距离为1时，此时圆心到直线l 的距离不大于1，（5分）设直线l 的直角坐标方程为kx y =，即0=-y kx ，其中αtan =k ，∴圆心)1,3(到直线l 的距离为11|13|2≤+-=k k d ，解得30≤≤k ，即0tan α≤≤（8分）∵[0,)α∈π，∴[0,]3απ∈．（10分）（法二）由题意及（1）知曲线C 是以)1,3(为圆心，2为半径的圆，直线l 与圆C 相交于原点，当曲线C 上至少有3个点到直线l 的距离为1时，直线l 与圆C 相交的弦长不小于32，将αθ=代入曲线C 的极坐标方程4sin()3ρθπ=+，得4sin()3απ+≥，即sin(32απ+≥，（8分）又[0,)α∈π，∴4[,333απππ+∈，故2[,333απππ+∈，即α的取值范围是[0,]3π．（10分）文科数学试题第1页（共6页）文科数学试题第2页（共6页）绝密★启用前|2019年第一次全国大联考【新课标Ⅲ卷】文科数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

绝密★启用前2019届百师联盟全国高三模拟考（三）全国Ⅰ卷数学（理）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．设集合A ＝{y |y ＝2x﹣1，x ∈R }，B ＝{x |﹣2≤x ≤3，x ∈Z }，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，3] B ．[﹣1，3] C ．{0，1，2，3} D ．{﹣1，0，1，2，3} C先求集合A ，再用列举法表示出集合B ，再根据交集的定义求解即可． 解：解：∵集合A ＝{y |y ＝2x ﹣1，x ∈R }＝{y |y ＞﹣1}，B ＝{x |﹣2≤x ≤3，x ∈Z }＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，∴A ∩B ＝{0，1，2，3}， 故选：C ． 点评：本题主要考查集合的交集运算，属于基础题． 2．若复数1a iz i-=+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,1- B ．(),1-∞-C ．()1,+∞D ．()0,∞+B 复数11122a i a a z i i --+==-+，在复平面内对应的点在第二象限，可得关于a 的不等式组，解得a 的范围. 解：11122a i a a z i i --+==-+， 由其在复平面对应的点在第二象限， 得1010a a -<⎧⎨+<⎩，则1a <-.故选：B. 点评：本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．在ABC ∆中，D 为BC 中点，且12AE ED =u u u r u u u r ，若BE AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+=（ ） A ．1 B ．23-C ．13-D ．34-B选取向量AB u u u r ，AC u u u r 为基底，由向量线性运算，求出BE u u u r，即可求得结果. 解：13BE AE AB AD AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，1()2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r，5166BE AB AC AB AC λμ∴=-+=+u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r ，56λ∴=-，16μ=，23λμ∴+=-.故选：B. 点评：本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题.4．已知向量(3sin ,2)a x =-r ，(1,cos )b x =r ，当a b ⊥r r 时，cos 22x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．1213- B ．1213C ．613-D ．613A根据向量的坐标运算，求出tan x ，22tan cos 22tan 1x x x π⎛⎫+=- ⎪+⎝⎭，即可求解. 解：a b⊥Q r r ，23sin 2cos 0,tan 3a b x x x ⋅=-=∴=r r 222sin cos cos 2sin 22sin cos x x x x x x π⎛⎫∴+=-=- ⎪+⎝⎭22tan 12tan 113x x =-=-+.故选:A. 点评：本题考查向量的坐标运算、诱导公式、二倍角公式、同角间的三角函数关系，属于中档题.5．10212x ⎛- ⎝的展开式中有理项有（ ） A ．3项 B ．4项C ．5项D ．7项B由二项展开式定理求出通项，求出x 的指数为整数时r 的个数，即可求解. 解：720103110(1)2r r r rr T C x--+=-，010r ≤≤，当0r =，3，6，9时，1r T +为有理项，共4项. 故选:B. 点评：本题考查二项展开式项的特征，熟练掌握二项展开式的通项公式是解题的关键，属于基础题.6．已知正项等比数列{}n a 中，存在两项,m n a a ，13a =，65423a a a =+，则14m n +的最小值是（ ） A ．32B ．2C ．73D ．94C由已知求出等比数列{}n a 的公比，进而求出4m n +=，尝试用基本不等式，但*,m n ∈N 取不到等号，所以考虑直接取,m n 的值代入比较即可.解：65423a a a =+Q ，2230q q ∴--=，3q ∴=或1q =-（舍）.13a =Q ，2221139m n m n a a a a +-∴⋅=⋅=，4m n ∴+=.当1m =，3n =时1473m n +=； 当2m =，2n =时1452m n +=； 当3m =，1n =时，14133m n +=，所以最小值为73. 故选:C. 点评：本题考查等比数列通项公式基本量的计算及最小值，属于基础题.7．已知双曲线2222:1x y a bΓ-=(0,0)a b >>的一条渐近线为l ，圆22:()4C x c y -+=与l 相切于点A ，若12AF F ∆的面积为23，则双曲线Γ的离心率为（ ） A ．2 B ．23C ．73D ．21 D由圆22:()4C x c y -+=与l 相切可知，圆心(,0)C c 到l 的距离为2，即2b =.又122223AF F AOF S S ab ∆===V ，由此求出a 的值，利用离心率公式，求出e .解：由题意得2b =，1223AF F S ab ∆==，3a ∴=，222113b e a ∴=+=. 故选：D. 点评：本题考查了双曲线的几何性质，直线与圆相切的性质，离心率的求法，属于中档题. 8．如图网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有棱中最长棱的长度为（ ）A ．2B ．2C ．23D ．1C利用正方体将三视图还原，观察可得最长棱为AD ，算出长度. 解：几何体的直观图如图所示，易得最长的棱长为23AD =故选：C. 点评：本题考查了三视图还原几何体的问题，其中利用正方体作衬托是关键，属于基础题. 9．函数ln ||()xx x f x e =的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．A利用特殊点的坐标代入，排除掉C ，D ；再由1()12f -<判断A 选项正确. 解：1.11.1ln |1.1|( 1.1)0f e--=<，排除掉C ，D ； 1211ln 122()22f e e---==122e <=Q 2e <，1()212f e ∴-=<.故选：A ． 点评：本题考查了由函数解析式判断函数的大致图象问题，代入特殊点，采用排除法求解是解决这类问题的一种常用方法，属于中档题.10．某公园新购进3盆锦紫苏、2盆虞美人、1盆郁金香，6盆盆栽，现将这6盆盆栽摆成一排，要求郁金香不在两边，任两盆锦紫苏不相邻的摆法共（ ）种 A ．96 B ．120 C ．48 D ．72B间接法求解，两盆锦紫苏不相邻，被另3盆隔开有3334A A ，扣除郁金香在两边有23232A A ，即可求出结论. 解：使用插空法，先排2盆虞美人、1盆郁金香有33A 种， 然后将3盆锦紫苏放入到4个位置中有34A 种， 根据分步乘法计数原理有3334A A ，扣除郁金香在两边， 排2盆虞美人、1盆郁金香有222A 种， 再将3盆锦紫苏放入到3个位置中有33A ， 根据分步计数原理有23232A A ，所以共有332334232120A A A A -=种.故选:B. 点评：本题考查排列应用问题、分步乘法计数原理，不相邻问题插空法是解题的关键，属于中档题.11．已知关于x sin 2x x m π⎛⎫+-=⎪⎝⎭在区间[)0,2π上有两个根1x ，2x ，且12x x π-≥，则实数m 的取值范围是（ ） A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．[)1,2C ．[)0,1D ．[]0,1C先利用三角恒等变换将题中的方程化简，构造新的函数2sin()6y x π=+，将方程的解的问题转化为函数图象的交点问题，画出函数图象，再结合12x x π-≥，解得m 的取值范围. 解：由题化简得3sin cos x x m +=，2sin()6m x π=+，作出2sin()6y x π=+的图象，又由12x x π-≥易知01m ≤<． 故选：C. 点评：本题考查了三角恒等变换，方程的根的问题，利用数形结合法，求得范围.属于中档题.12．已知函数2,0()2,0x xx f x e x x x ⎧>⎪=⎨⎪--≤⎩若函数1()()()2g x f x k x =-+在R 上零点最多，则实数k 的取值范围是（ ） A ．2(0,)3eB ．2(,0)3e-C ．(2eD ．2eD将函数的零点个数问题转化为函数()y f x =与直线1()2y k x =+的交点的个数问题，画出函数()y f x =的图象，易知直线1()2y k x =+过定点1(,0)2-，故与()f x 在0x <时的图象必有两个交点，故只需与()f x 在0x >时的图象有两个交点，再与切线问题相结合，即可求解. 解：由图知()y f x =与1()2y k x =+有4个公共点即可，即()0,k k ∈切，当设切点()00,x y ，则000011()2x x x k e x k x e -⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，0122x k e ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩2k e∴∈.故选：D. 点评：本题考查了函数的零点个数的问题，曲线的切线问题，注意运用转化思想和数形结合思想，属于较难的压轴题.二、填空题13．已知ABC ∆内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．4a =，6b =，3A π=则cos2B =_________．716利用正弦定理求得角B ，再利用二倍角的余弦公式，即可求解. 解：63=32sin B ∴=187cos 2126416B =-⨯=． 故答案为：716. 点评：本题考查了正弦定理求角，三角恒等变换，属于基础题.14．已知x，y满足约束条件26010x yx yx+-≤⎧⎪-+≤⎨⎪⎩…，则22z x y=+的最大值为________．9根据题意，画出可行域，将目标函数看成可行域内的点与原点距离的平方，利用图象即可求解.解：可行域如图所示，易知当0x=，3y=时，22z x y=+的最大值为9．故答案为：9.点评：本题考查了利用几何法解决非线性规划问题，属于中档题.15．已知椭圆22:1yC xm+=，2,0)M，若椭圆C上存在点N使得OMN∆为等边三角形（O为原点），则椭圆C的离心率为_________．6根据题意求出点N的坐标，将其代入椭圆的方程，求出参数m的值，再根据离心率的定义求值.解：由题意得26N，将其代入椭圆方程得3m=，所以2633e==.. 点评：本题考查了椭圆的标准方程及几何性质，属于中档题.16．已知四棱锥P ABCD -，底面四边形ABCD 为正方形，PA PB PC PD ===，四棱锥的体积为3，在该四棱锥内放置一球O ，则球O 体积的最大值为_________．12由题知，该四棱锥为正四棱锥P ABCD -，作出该正四棱锥的高PH 和斜高PE ，连接HE ，则球心O 必在Rt PHE V 的PH 边上，设OEH θ∠=，由球与四棱锥的内切关系可知2PEH θ∠=，设2AB a =，用a 和θ表示四棱锥的体积，解得a 和θ的关系，进而表示出内切球的半径，并求出半径的最大值，进而求出球的体积的最大值. 解：设OEH θ∠=，2AB a =，由球O 内切于四棱锥可知，2PEH θ∠=，EH a =， 则tan 2PH a θ=，球O 的半径tan R a θ=，214tan 23P ABCD V a a θ-∴=⨯⨯=，3tan 22a θ∴=32tan 2a θ∴=，333332tan 22tan 2tan 21tan R a θθθθθθ===⨯-()221tan 416θθ-=≤当且仅当tan 2θ=时，等号成立，此时431612o V π==..点评：本题考查了棱锥的体积问题，内切球问题，考查空间想象能力，属于较难的填空压轴题.三、解答题17．已知数列{}n a 满足15a =，122n n a a ++=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()24n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n S ．（1）1232n n a -=+⨯；（2）13(1)26n n S n +=-⨯+（1）根据递推公式，用配凑法构造等比数列{}2n a -，求其通项公式，进而求出{}n a 的通项公式；（2）求出数列{}n b 的通项公式，利用错位相减法求数列{}n b 的前n 项和n S . 解：解：（1）122n n a a -+=Q ，()1222n n a a -∴-=-，123a -={}2n a ∴-是首项为3，公比为2的等比数列．所以1232n n a --=⨯，1232n n a -∴=+⨯．（2）()432432nnn b n n =+⨯-=⨯()12331222322n n S n =⨯⨯+⨯+⨯++⨯L ()2341231222322n n S n +=⨯⨯+⨯+⨯++⨯L ()()1231121232222233212n n n n n S n n ++⨯--=⨯++++-⨯=⨯-⨯-L13(1)26n n S n +∴=-⨯+.点评：本题考查了由数列的递推公式求通项公式，错位相减法求数列的前n 项和的问题，属于中档题.18．如图，在棱长为22的正方形ABCD 中，E ，F 分别为CD ，BC 边上的中点，现以EF 为折痕将点C 旋转至点P 的位置，使得P EF A --为直二面角．（1）证明：EF PA ⊥；（2）求PD 与面ABF 所成角的正弦值． （1）证明见详解；（2）66（1）在折叠前的正方形ABCD 中，作出对角线AC ，BD ，由正方形性质知AC BD ⊥，又EF //BD ，则AC EF ⊥于点H ，则由直二面角可知PH ⊥面ABEFD ，故PH EF ⊥.又AH EF ⊥，则EF ⊥面PAH ，故命题得证；（2）作出线面角PDH ∠，在直角三角形中求解该角的正弦值. 解：解：（1）证明：在正方形ABCD 中，连结AC 交EF 于H ． 因为,AC BD EF ⊥//BD ，故可得AC EF ⊥， 即,EF AH EF CH ⊥⊥ 又旋转不改变上述垂直关系， 且,AH CH ⊂平面PAH ,EF ∴⊥面PAH ，又PA ⊂Q 面PAH ，所以EF PA ⊥（2）因为P EF A --为直二面角，故平面PEF ⊥平面AEF , 又其交线为EF ,且,PH EF PH ⊥⊂平面PEF ,故可得PH ⊥底面ABF ，连结DH ，则PDH ∠即为PD 与面ABF 所成角，连结BD 交AH 于O ，在Rt ODH △中，225DH DO OH =+=，1PH CH ==在Rt PHD ∆中226DP DH PH =+=，6sin 66PH PDH DP ∠===． 所以PD 与面ABF 所成角的正弦值为6． 点评：本题考查了线面垂直的证明与性质，利用定义求线面角，属于中档题.19．某网络商城在2019年1月1日开展“庆元旦”活动，当天各店铺销售额破十亿，为了提高各店铺销售的积极性，采用摇号抽奖的方式，抽取了40家店铺进行红包奖励.如图是抽取的40家店铺元旦当天的销售额（单位：千元）的频率分布直方图.（1）求抽取的这40家店铺，元旦当天销售额的平均值；（2）估计抽取的40家店铺中元旦当天销售额不低于4000元的有多少家；（3）为了了解抽取的各店铺的销售方案，销售额在[)0,2和[]8,10的店铺中共抽取两家店铺进行销售研究，求抽取的店铺销售额在[)0,2中的个数ζ的分布列和数学期望.（1）5500元；（2）32家；（3）分布列见解析；23（1）根据频率分布直方图求出各组频率，再由平均数公式，即可求解； （2）求出[4000,10000]的频率即可；（3）[)0,2中的个数ζ的所有可能取值为0，1，2，求出ζ可能值的概率，得到分布列，由期望公式即可求解. 解：（1）频率分布直方图销售额的平均值为2(0.02510.07530.250.1570.059) 5.5⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=千元，所以销售额的平均值为5500元；（2）不低于4000元的有40(0.20.150.05)232⨯++⨯=家 （3）销售额在[)0,2的店铺有2家， 销售额在[]8,10的店铺有4家.选取两家，设销售额在[)0,2的有ζ家.则ζ的所有可能取值为0，1，2.0224262(0)5C C p C ζ===，1124268(1)15C C p C ζ===， 2024261(2)15C C p C ζ=== 所以ζ的分布列为数学期望8121215153E ζ=⨯+⨯= 点评：本题考查应用频率分布直方图求平均数和频数，考查离散型随机变量的分布列和期望，属于基础题.20．直线l 与抛物线2:2C y px =(0)p >相交于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥，若P ，Q到x 轴距离的乘积为16． （1）求C 的方程；（2）设点F 为抛物线C 的焦点，当PFQ ∆面积最小时，求直线l 的方程． （1）24y x =；（2）4x =（1）设出两点的坐标，由距离之积为16，可得1216y y =-.利用向量的数量积坐标运算，将OP OQ ⊥转化为12120OP OQ x x y y ⋅=+=u u u r u u u r.再利用两点均在抛物线上，即可求得p 的值，从而求出抛物线的方程；（2）设出直线l 的方程，代入抛物线方程，由韦达定理发现直线l 恒过定点()4,0M ，将PFQ ∆面积用参数t 表示，求出其最值，并得出此时的直线方程. 解：解：（1）由题设()11,P x y ，()22,Q x y因为P ，Q 到x 轴的距离的积为16，所以1216y y =-，又因为OP OQ ⊥，12120OP OQ x x y y ∴⋅=+=u u u r u u u r，221212225616224y y x x p p p ∴==⋅=，2p ∴=所以抛物线C 的方程为24y x =．（2）因为直线l 与抛物线两个公共点，所以l 的斜率不为0， 所以设:PQ l x ty m =+联立24x ty m y x=+⎧⎨=⎩，得2440y ty m --=，即124y y t +=，12164y y m =-=-，4m ∴=即直线l 恒过定点()4,0M ，所以121||2PFQ S FM y y ∆=-= 当0t =时，PFQ ∆面积取得最小值12，此时4x =. 点评：本题考查了抛物线的标准方程的求法，直线与抛物线相交的问题，其中垂直条件的转化，直线过定点均为该题的关键，属于综合性较强的题. 21．已知函数21()2xf x xe a x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭(0,)x ∈+∞. （1）讨论()f x 的单调性；（2）曲线()f x 在点()()22f ,处的切线斜率为()231e -.（i ）求a ；（ii ）若2()()(1)x k f x x '-≥-+，求整数k 的最大值. （1）在(ln ,)a +∞上增；在()0,ln a 上减；（2）（i ）1；（ii ）2（1）求导求出()f x '，对a 分类讨论，求出()0,()0f x f x ''><的解，即可得出结论；（2）（i ）由2(2)3(1)f e '=-，求出a 的值；（ii ）由（i ）得所求问题转化为()()110xx k e x --++≥，(0,)x ∈+∞恒成立，设()()()11x g x x k e x =--++，(0,)x ∈+∞，只需min ()0g x ≥，根据()g x 的单调性，即可求解. 解：（1）()()(1)xf x x e a '=+-当1a ≤时，()0f x '>，即()f x 在()0,∞+上增；当1a >时，()0f x '>，ln x a >，()0f x '<，0ln x a <<， 即()f x 在(ln ,)a +∞上增；在()0,ln a 上减； （2）（i ）()()22(2)331f e a e '=-=-，1a \=.（ⅱ）2()()(1)x k f x x '-≥-+，即()()110xx k e x --++≥，即()()()11xg x x k e x =--++，只需min ()0g x ≥.()(1)x g x x k e '=-+当1k ≤时，()0g x '>，()g x 在()0,∞+单调递增， 所以()(0)10g x g >=>满足题意；当1k >时，()0g x '>，1x k >-，()0g x '>，01x k <<-所以()g x 在()0,1k -上减，在()1,k -+∞上增，1min ()(1)10k g x g k e k -∴=-=-++≥令1()1k h k ek -=-++，1()1k h k e -'=-.(1)0h '=.()h k '在(1,)+∞单调递减，所以()0h k '<所以()h k 在()1,+∞上单调递减(1)10h =>，(2)30h e =->，2(3)40h e =-<综上可知，整数k 的最大值为2. 点评：本题考查函数导数的综合应用，涉及函数的单调性、导数的几何意义、极值最值、不等式恒成立，考查分类讨论思想，属于中档题.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为112212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）和曲线1cos :sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知点M 是射线1:l θα=([0,])2πα∈与直线l 的公共点，点N是1l 与曲线C 的公共点，求||||ON OM 的最大值．（1）sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2cos ρθ=；（2）max ()2ON OM = （1）先将直线l 和圆C 的参数方程化成普通方程，再分别求出极坐标方程； （2）写出点M 和点N 的极坐标，根据极径的定义分别表示出ON 和OM ，利用三角函数的性质求出||||ON OM 的最大值.解：解：（1）1:2l x y +=，1cos sin 2ρθρθ+=，即极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 22:(1)1C x y -+=，极坐标方程2cos ρθ=．（2）由题可知12(,)sin cos M ααα+，(2cos ,)N αα ||2cos 1||2sin cos N MON OM ραραα==+4cos (sin cos )ααα=+ 2sin 22(cos 21)αα=++)24πα=++，∴当8πα=时，max ()2ON OM =. 点评：本题考查了参数方程、普通方程和极坐标方程的互化问题，极径的定义，以及三角函数的恒等变换，属于中档题.23．已知函数()2|2|f x x m =--(0)m >，若(2)0f x +<的解集为()2,2-． （1）求m 的值；（2）若正实数a ，b ，c 满足23++=a b c m ，求证：1119234a b c ++≥． （1）4m =；（2）证明见详解.（1）将不等式(2)0f x +<的解集用m 表示出来，结合题中的解集，求出m 的值； （2）利用柯西不等式证明. 解：解：（1）(2)2||0f x x m +=-<，||2m x <， 22m m x ∴-<<， 因为()20f x +<的解集为()2,2-，所以22m=， 4m ∴=；（2）由（1）234a b c ++= 由柯西不等式2111()(23)(111)923a b c a b c++++≥++=， 1119234a b c ∴++≥ 当且仅当43a =，23b =，49c =，等号成立．点评：本题考查了绝对值不等式的解法，利用柯西不等式证明不等式的问题，属于中档题.。

2019届高三3月份校级一模考试试题数学理试题Word版含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数(),2z a i a R z a =+∈=若，则的值为 A ．1 BC ．1±D ．2．己知集合{}{}2=230,2A x x x B x x A B --≤=<⋂=，则A ．(1，3)B ．(]1,3C ．[－1，2)D ．(－1，2)3．已知倾斜角为θ的直线l 与直线230x y +-=垂直，则sin θ=A ．5-B ．5C ．5-D ．5 4．已知0,1a b c >>>，则下列各式成立的是 A ．sin sin a b > B ．abcc > C ．ccab <D ．11c c b a--<5．数列{}na 是等差数列，11a=，公差d ∈[1，2]，且4101615a a a λ++=，则实数λ的最大值为A ．72B ．5319C ．2319-D ．12- 6．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是注：90后指1990年及以后出生，80后指1980—1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20％C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多7．设()b<”的,1,a b∈+∞，则“a b>”是“log1aA．充分且不必要条件B．必要且不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件8．甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A、B、C三个不同社区进行志愿服务活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人．其中甲必须去A社区，乙不去B社区，则不同的安排方法A ．32e e + B ．22e e + C ．32e e - D ．22e e -二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

你永远是最棒的2019 年第一次全国大联考【新课标Ⅲ卷】理科数学·全解全析1．A 【解析】易得 A = {x | x 2≤ 4} = {x | -2 ≤ x ≤ 2}， B = {x |x ≤ 0} = {x | 0 ≤ x < 2} ，所以 x - 2A B = [0,2) ，故选 A ．12 3 2019 2 ⨯ (2 2019-1) = 2 2020- 2 ．故选 D. 5．D 【解析】由图知输出的结果 S = 2 + 2 + 2+ + 2 = 2 -16．D 【解析】由已知 T = 2π = π ，解得 ω = 2，故 f ( x ) = sin(4 x π ，若 x ∈( π , π ) ，则 2 π 2 π 5π2ω345π4 x - ∈ ( , ) ，由正弦函数的图象可知函数 f ( x ) 在 ( π , π ) 上有增有减；若 x = π ，则 4x - π = ，3 3 3 π4 2 2 π 3 3 此时函数 f ( x ) 取不到最大值或者最小值，故 x = 不是函数 f ( x ) 图象的对称轴；若 x = ，则 2 π π 3 4x - = π ，此时函数 f ( x )=0 ，故 f ( x ) 的图象关于点 ( , 0) 对称.逐一观察各选项可知，答案为 D.3 37．A 【解析】由题意， (x -1n的通项为 T = ( -1) r C r x n - 3r ，当 n =3 r 即 2n = 3r 时，所得项为常数 2r +1 n2项，其中 r = m -1，所以 m ， n 应满足 2n = 3(m -1) ，故选 A.你永远是最棒的 8．C 【解析】易得圆锥的母线长为13 cm ，当蚂蚁距离圆锥顶点不超过 5 cm 时，蚂蚁应爬行在底面半径为25cm ，母线长为 5 cm 的小圆锥侧面上，由几何概型可知，蚂蚁距离圆锥顶点超过 5 cm 的概率为 1325 ⨯ 5π⨯ 1441 - 13 = ，故选 C ． π⨯ 5 ⨯13 1699．B 【解析】由 a + a + a = 42 ， a + a = 28 ，可得 S = 70 ，由已知得 tS = 52-12 ⨯ 5 ，得 t = - 1 ，13 5 245521故 - S = n 2-12n ，即 S = -2n 2 + 24n = -2(n - 6)2+ 72 ，所以当 n = 6 时, S 取得最大值．故选 B.2 nnn11．B 【解析】设抛物线 C 的焦点为 F ，则 F (a4 ,0) ，可得直线 l : y = 4x - a 过焦点 F ，设直线 l 交抛物线 C于点 A (x 1 , y 1 ), B (x 2 , y 2 ) ，由抛物线定义可知 | AB |= x 1 + x 2 + a2 ，联立直线 l 与抛物线 C 的方程，消去y 得16 x 2 - 9ax + a 2= 0 ，所以 x 1 + x 2 = 169 a ，则 | AB |= 169a + a 2 = 17 ，解得 a =16 ，则抛物线C 的方程为 y 2 = 16x . 设与抛物线 C 相切且平行于直线 l 的直线方程为 y = 4x + b ，联立方程⎧ 2= 16x，消去 y 得16x2+ (8b -16)x + b 2= 0 ，则 ∆ = (8b - 16) 2 - 4 ⨯ 16b 2 = 0 ，解得 b =1，故⎨y⎩y = 4x + b所求直线方程为 4x - y +1 = 0 .故选 B.． 【解析】由题意，得 f '1 - m 1 mx 2+ x + 1 - m ( mx - m + 1)( x +1) （ x > 0 ），令12C x 2 + x = x 2=( x ) = m +x 2 mx - m + 1 = 0 ，由 m > 0 ，得 x = m -1 .当 0 < m ≤1 时， m -1 ≤ 0 ，此时函数 f (x ) 在 (0,+∞) 上单m m 调递增，且 x → 0 时， mx → 0 ， - 1- m → -∞ ， ln x → -∞ ，故 f (x ) → -∞ ，不合题意，舍去；m -1 x m -1 m -1当 m >1时， > 0 ，此时函数 f (x ) 在 (0, ) 上单调递减，在 ( ,+∞) 上单调递增，所以 m m m你永远是最棒的f (x )min = f ( m-1) = m -1 + m + ln m -1mm= 2m -1 + ln m -1，要使函数 f (x ) > 0 恒成立，只需m 2m -1 + ln m -1 > 0 ，即 m -1 e 2 m -1> 1 .故选 C. m m13．254 π【解析】由题意作出区域 Ω ，如图中阴影部分所示，2 - 13 3易知 tan ∠MON = 2 =，故 sin ∠MON = ，又 MN = 3，设 △OMN 的外接圆的半径为 R ，1 +2 ⨯ 12则由正弦定理得 MN = 2R ，即 R = 5 ，故所求外接圆的面积为 π⨯ ( 5 )2 = 25π .sin ∠MON 2 2 415．(1, 2 33 ) 【解析】由题意设双曲线 C 的半焦距为 c ，则右焦点 F 2 (c ,0) 到渐近线 y = ± ba x 的距离均为| bc | = b ，圆 F 的半径为 c ，要使圆 F 与双曲线 C 的两渐近线有公共点，需满足 c > b ，即a +b 22 22c 242) .c 2> 4(c 2- a 2) ，解得 < ，又双曲线的离心率 e >1 ，故双曲线 C 的离心率的取值范围为 (1, 3a 2 3 316． 193π【解析】作出图形如图（1）所示，由图可知在四面体 A - CDM 中， MA ⊥ AD ， MA ⊥AC ，AC AD = A ，故 MA ⊥ 平面 ACD ，将图形旋转得到如图（2）所示的三棱锥 M - ACD ，其中△ACD自信是迈向成功的第一步你永远是最棒的为等边三角形，过△ACD 的中心 O1作平面 ACD 的垂线 l1，过线段 MC 的中点 O2作平面 MAC 的垂线 l2，易得直线 l1与 l2相交，记 l1l 2= O ，则 O 即为三棱锥 M - ACD 外接球的球心.设外接球的半径为 R，连接OC、O C，可得O C=2,OO=1,在Rt△OO C中，OC2= OO 2+ O C 2=19= R2，1131211112故外接球的表面积 S =4πR2=19π，故答案为19π.33图（1）图（2）17．（本小题满分 12 分）（2）由（1）可知，b=2a+ c，2a + c222a 2+ c 2- b2a+ c- ()2a2+ 3c2- 22a c在△ABC 中，由余弦定理，知cos B ==2=≥2ac2ac8ac你永远是最棒的2 6 a c - 2 2 a c = 6 - 2 （当且仅当 2 a 2 = 3c 2 时，等号成立），（8 分）8ac41 - (- ) = + ，（10 分）6 2 6 2 ∴ sin B = 1 - cos 2B ≤ 4 4则 BC 边上的高 h = c ⋅sin B ≤ 4 ⨯+ =6 2+，624∴ BC 边上的高的取值范围为 (0, 6 + 2 ] ．（12 分）18．（本小题满分 12 分）∴ PA ⊥ PB ，（4 分）∵ AD ⊥ 平面 PAB ，∴ AD ⊥ PB ，又 PA AD = A ，∴ PB ⊥ 平面 PAD ， 又 PB ⊂ 平面 PBC ，∴平面 PAD ⊥ 平面 PBC .（6 分）（2）由 PA = PB ，可得 PE ⊥ AB ，故以 E 为原点， EP , EB , EC 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，如图，同（1），设 AD = 1 ，则 P (1,0,0) ，A (0,-1,0) ，D (0,-1,1) ，C (0,0,1) ，则 PD = ( - 1, -1,1) ，AD = (0, 0,1) ，CD = (0, -1, 0) ，（8 分）∴平面 PCD 的一个法向量为 n 2 = (1, 0,1) ，（10 分）∴ cosn , n = n 1 ⋅n 2 =1 = 1 ，12| n 1 || n 2 | 2 ⨯ 2 2π故平面 PAD 与平面 PCD 所成锐二面角的大小为 3 ．（12 分）19．（本小题满分 12 分）【解析】（1）由统计表可得 x 1 =15 ⨯ (74.31 + 41.08 + 38.37 + 30.55 + 26.46) =42.154 ， x 2 =15 ⨯ (41.82 + 39.08 + 23.43 + 18.99 + 18.36) = 28.336 .可知 x 1 > x 2 .（4 分）（2）由定义，知男性中只有肺癌属于高发率癌种，女性中乳腺癌、肺癌为高发病率癌种，（6 分）设 X 、 Y 分别为男、女性前 5 类癌种中抽到的高发病率癌种的类数，则X 的可能取值有 0，1，P ( X = 0) = C 42= 3, P ( X = 1) = C 11C 14= 2.C 52 5 C 525故 X 的分布列为（8 分）故 E ( X ) = 0 ⨯ 53 +1⨯ 52 = 52.Y 的可能取值有 0，1，2P (Y = 0) = C 32 = 3 , P (Y = 1) = C 12 C 13 = 3, P (Y = 2) = C 22 = 1 .C 52 10 C 52 5 C 52 10故 Y 的分布列为（10 分）故 E (Y ) = 0 ⨯ 103+ 1 ⨯ 53 + 2 ⨯ 101 = 54.可得 E ( X ) < E (Y ) ，故男性前 5 类癌种中含有高发病率癌种的类数的均值较小.（12 分）20．（本小题满分 12 分）（2）显然过点 F 2 的直线 l 不与 x 轴重合，可设直线 l 的方程为 x = ty +1，且 A (x 1 , y 1 ) ， B (x 2 , y 2 ) ，⎧ 2⎪ x + y 2 = 1，消去 x 2 2+ 2ty -1 = 0 ，联立方程 ⎨ 2得 (t + 2) y⎪⎩x = ty +1根据根与系数的关系，得 y + y2 = - 2t ， y y 2= -1 ，（6 分）1t 2 + 2 1t 2 + 2⎧y = y 1y 2联立直线 m 与直线 PB⎪y 2(x -x 0 )，消去 y，整理得 y1=(x - x 0 ) ，的方程⎨y =ty +1 - x⎪x 2 - x 0 2 0⎩解得 x = ty 1 y 2 + y 1 - x 0 y 1+ x ，将 y y 2 =-1， y = - y 2t 代入， 01t 2+ 2 12t 2+ 2y 2-3t- y+ x( y+2t)t 2+2t 2+2得 x =202+ x0y2-3t+2t⋅ x- y+ x y t(2x-3)-y+ x yt 2+2t 2+2t 2+2=0202+ x =0202+ x，（10 分）y20y2若存在点 P(x0,0)满足直线 PB 与直线 m 的交点恒在一条定直线上，3t(2 x0- 3) -y2+x0y2可令 x0=，则 x =t 2+2+ x0= 2 ，与t无关，2y2故在 x 轴上存在点P，使直线PB与直线 m 的交点恒在一条定直线上，此时点P的坐标为(32,0)，定直线的方程为 x =2.（12分）令2x2+ (b+ 4)x+ (2b-1) = 0 （*），则∆ = (b+ 4) 2- 8(2b- 1) = (b- 4) 2+ 8 > 0 ，∴方程（*）有两个不相等的实根，且x=- (b+ 4) - (b- 4)+ 8， x=- (b+ 4) + (b- 4)+ 8,1424若 x 1> -1，整理得b+ (b- 4) 2+ 8 < 0 ，又b≥ 1，∴b+ (b- 4) 2+ 8 < 0 不成立，故x1≤ -1；你永远是最棒的若 x> -1，解不等式- (b+ 4) + (b- 4)2+ 8> -1，得b< 3 ，24当1 ≤b< 3 时，函数g(x)在[-1,x2]上单调递减，在 (x2 ,+∞) 上单调递增，（9分）∵g(-1)=1- b ≤0， g (1)=1+ b -ln 3≥2-ln 3>0，∴当 b =1时，函数g(x)有2个零点，当1 <b< 3 时，函数g(x)有1个零点，（10分）- (b+ 4)若 x2≤ -1，解不等式+ (b- 4)2+ 8≤ -1，得 b ≥3，此时g'(x)≥0，故函数4上单调递增，∴ g ( x )≥ g (-1)= 1 -b，∵1 -b< 0 ，∴函数g ( x) 有1个零点.综上，若 b ≥1，函数g(x)至少有1个零点．（12分）（2）（法一）由（1）知曲线C是以(3,1) 为圆心，2为半径的圆，当曲线 C 上至少有3个点到直线 l 的距离为1时，此时圆心到直线 l 的距离不大于1，（5分）设直线 l 的直角坐标方程为y=kx，即kx-y=0，其中 k =tanα，∴圆心 (|3k -1 |≤ 1，解得 0 ≤k≤，即 0 ≤ tan α ≤到直线l的距离为dk +1∵α ∈ [0, π) ，∴α ∈[0,π] ．（10分）3g( x) 在[-1,+∞)3 ，（8分）你永远是最棒的（法二）由题意及（1）知曲线 C 是以 (3,1) 为圆心，2 为半径的圆，直线 l 与圆 C 相交于原点，当曲线 C 上至少有 3 个点到直线 l 的距离为 1 时，直线 l 与圆 C 相交的弦长不小于 2 3 ，将 θ = α 代入曲线 C 的极坐标方程 ρ = 4 sin(θ + π3) ，得 4 sin(α + π3 ) ≥ 2 3 ，即 sin(α + π3 ) ≥ 23 ，（8 分）又 α ∈ [0, π) ，∴α + π3 ∈[ π3 , 43π) ，故α + π3 ∈[ π3 , 23π] ，即α 的取值范围是[0, π3 ] ．（10 分）∴ | 3x + 2a | +ax + | x -1|≤ 0 ，即为 3x + 2a + ax - x +1 ≤ 0 ，化简得 (2 + a )x + 2a +1 ≤ 0 ，（8 分）∵ x ∈ (- 2a,1) 时， f (x )+ | x -1 |≤ 0 恒成立，3⎧ 2a⎪(2 + a )(- ) + 2a +1 ≤ 03⎪ 3∴ ⎨(2 + a ) ⨯1+ 2a +1 ≤ 0 ，解得 - < a ≤ -1 ．2⎪ 2a⎪< 1 ⎩- 3故实数 a 的取值范围为 ( - 32 , -1] .（10 分）自信是迈向成功的第一步。

2019届高三全国大联考月考试卷数学（理科）时臺：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1 -设复数z=x+yi ，其中x ，y 是实数，i 是虚数单位，若亡=%+i ，则复数z 的共辘 复数在复平面内对应的点位于（）A •第一象限B.第二象限 C •第三象限 D.第四象限JI2 •已知向量a 与b 的夹角是了,且|创=1，|创=4，若Qa+Ab ）J.a ，则实数久的值为（B ）A 3门3小2小 2 A ，2 B. —2 C 亍D. —j 3 •下列说法中正确的是（）A •若样本数据兀I ，x 2，…，x “的平均数为5，则样本数据2X| + 1，2X 2+12x fl +］ 的平均数为10B •用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加某项活动，若抽取的学号为5，16，27， 38，49，则该班学生人数可能为60C •某种圆环形零件的外径服从正态分布N （4，0.25）（单位：cm ），质检员从某批零件屮随 机抽取一个，测得其外径为5.6 cm ，则这批零件不合格D ・对某样本通过独立性检验，得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，则在该样 本吸烟的人群中有95%的人可能患肺病 A ・ _84C • -245.已知函数ZU ）是定义在R 上的奇函数，且./W 在R 上单调递增 喏a ，b ，c 成等差数列， 且b ＞0，则下列结论正确的是（）A ・〃）＞（），且/（a ）+j （c ）＞0B ・弘）＞0，且C ・."）＜0,且.他/）+张）＞0D •妙＜0，且 fia ）+f （c ）＜06 •设x 为区间［—2，2］内的均匀随机数，则计算机执行下列程序后，输出的y 值落在区 INPUT A ：IF x<=0 THENy=2 xELSEEND IFPRINT yEND C.£ D.1间㊁，3内的概率为（）1B. D. 8424A 3 厂5 J " A4 B-8 C2 D-87・已知函数Xx） = sin2x-2sin2x+l 给出下列四个结论：（）①两数./U ）的最小正周期是2 JI ；②函数./U ）在区间+，斗上是减函数；③函数./U ）的兀— L 兀图象关于直线■对称；④函数./U ）的图象可由函数y=yj2s'm 2x 的图象向左平移才个单位 得到.其中正确结论的个数是A • 1 B. 2C - 3 D. 48.已知命题/?：若a>2Rb>2 » WJ a+b<ab ；命题q ： |无>0，使（兀一 1）公=1，则下列 命题中为真命题的是（A ）A • pf\q B.（絲 p ）/\qC ・〃/\（綁 g ） D.（綁 “）A （綁 q ）9 •己知实数兀，y 满足W +，则z=2|x| —创的最大值为（）A - 5 B. 4C - 3 D. 210 •如图，在平面四边形A BCD 中，AB=AD=CD=] » AB1AD ，BD 丄CD 将该四边形 沿对角线3D 折成一个直二面角A-BD-C ，则四面体ABCD 的外接球的体积为（）A 净B.》C • 2 JI D. 3H2 ?11 -设双曲线升一”=l （Q>0，b>0）的左、右焦点分别为尺，F 2，0为坐标原点，若双曲 线上存在点M 满足\MF ｝\ = 2\MO\=2\MF 2\，则双曲线的离心率为（）A - 6 B. 3 C.V6 D 萌12 •对于给定的正整数n ，设集合乙=｛ 1，2，3，…r ｝，A ，且AH •记/（A ） 为集合A 中的最大元素，当4取遍X”的所有非空子集时，对应的所有/（A ）的和记为SS ），则 S （2 018）=（）A ・ 2 018X22018+l B. 2 （）18X220I 7+1C ・ 2 017X220,7+l D. 2 017X220,8+lm 的值为_・15 •已知函数fiix ） = \2x —l\—a ，若存在实数兀|，兀2（七工兀2），使得/（兀1）=几丫2）= — 1，则a 的取值范围是_（1，2）_ •16・设数列｛為｝的前n 项和为已知心=1，且5=4—（1+令讪詁），则数列｛如 的通项公式是a n = _____________ .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必 考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（—）必考题：60分.17・（本小题满分12分）如图，在平面四边形 ABCD 中，AB=4，AD=2，ZBAD=60° ，ZBC£>= 120° .⑴若BC=2也，求ZCBD 的大小；二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分.1 13 •已知14 亍，则 •如图，在△4BC 中，AD=jDC ，P 是线段BD 上一点，^AP=mAB+^AC ，则实数（2）设△BCD的面积为S，求S的取值范围.18・(本小题满分12分)如图，在三棱锥P-ABC中，明丄底面ABC ^AB=2，AC=4，ZBAC=\20°，D为BC 的中点.(1)求证：AD±PB；(2)若二面角A — PB—C的大小为45°‘求三棱锥P-ABC的体积.19•(本小题满分12分)有甲、乙两家外卖公司，其送餐员的FI工资方案如下：甲公司底薪80元，送餐员每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分送餐员每单抽成6元，超过40单的部分送餐员侮单抽成7元.现从这两家公司各随机选取一名送餐员分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数分布表：(1)从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天，求这3天的送餐单数都不小于40单的概率；(2)假设同一个公司的送餐员一天的送餐单数相同，将频率视为概率，回答下列两个问题:(i )求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望；(ii)小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日均工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？说明你的理由.20•(本小题满分12分)'-2 , 已知椭圆C：孑+”=l(a>b>0)的一个焦点与抛物线)?=4萌兀的焦点重合，且直线y=- x与圆?+/- 10x+20=0 相切.(1)求椭圆C的方程；(2)设斜率为£ II不过原点的直线/与椭圆C相交于4、B两点，0为坐标原点，直线Q4，OB的斜率分别为，k2，若k「k，他成等比数列，推断|OAF + |OB|2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由.21•(本小题满分12分)已知函数/!>)=『一a(x—l)，Q UR，e为自然对数的底数.(1)若存在x o e(l，+oo)，使心0)<0，求实数a的取值范圉; ⑵若夬兀)有两个不同零点X\ 'X2y证明：X\+X2>X\X2.（二）选考题：共10分•请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22•（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平而直角坐标系xOy屮、以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴、建立极坐标系、已知曲线G的极坐标方程为/?=4cos°，直线/的参数方程为S （r为参数）.（1）求曲线G的直角坐标方程及直线/的普通方程；%—2cos a ‘JX （2）若曲线C2的参数方程为（«为参数），点P在曲线C】上，其极角为莎‘y=sin a q点Q为曲线C2上的动点，求线段PQ的中点M到直线I的距离的最大值.23•（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数fix）=\x+a\ + \x~2\，其中d为实常数.⑴若函数7U）的最小值为3，求a的值；（2）若当兀丘［1 » 2］时，不等式4|恒成立»求d的取值范围.。

2019届百师联盟全国高三模拟考（三）全国Ⅰ卷数学（理）试题一、单选题1．设集合A ＝{y |y ＝2x ﹣1，x ∈R }，B ＝{x |﹣2≤x ≤3，x ∈Z }，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，3] B ．[﹣1，3]C ．{0，1，2，3}D ．{﹣1，0，1，2，3} 【答案】C【解析】先求集合A ，再用列举法表示出集合B ，再根据交集的定义求解即可． 【详解】解：∵集合A ＝{y |y ＝2x ﹣1，x ∈R }＝{y |y ＞﹣1}， B ＝{x |﹣2≤x ≤3，x ∈Z }＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}， ∴A ∩B ＝{0，1，2，3}， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题． 2．若复数1a iz i-=+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,1- B ．(),1-∞-C ．()1,+∞D ．()0,∞+【答案】B 【解析】复数11122a i a a z i i --+==-+，在复平面内对应的点在第二象限，可得关于a 的不等式组，解得a 的范围. 【详解】11122a i a a z i i --+==-+， 由其在复平面对应的点在第二象限，得1010a a -<⎧⎨+<⎩，则1a <-.故选：B. 【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．在ABC ∆中，D 为BC 中点，且12AE ED =u u u r u u u r ，若BE AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+=（ ） A ．1 B ．23-C ．13-D ．34-【答案】B【解析】选取向量AB u u u r ，AC u u u r 为基底，由向量线性运算，求出BE u u u r，即可求得结果.【详解】13BE AE AB AD AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，1()2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r，5166BE AB AC AB AC λμ∴=-+=+u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r ，56λ∴=-，16μ=，23λμ∴+=-.故选：B. 【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题. 4．已知向量(3sin ,2)a x =-r，(1,cos )b x =r，当a b ⊥rr时，cos 22x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．1213-B ．1213C ．613-D ．613【答案】A【解析】根据向量的坐标运算，求出tan x ，22tan cos 22tan 1x x x π⎛⎫+=- ⎪+⎝⎭，即可求解. 【详解】a b⊥Q r r ，23sin 2cos 0,tan 3a b x x x ⋅=-=∴=r r 222sin cos cos 2sin 22sin cos x x x x x x π⎛⎫∴+=-=- ⎪+⎝⎭22tan 12tan 113x x =-=-+.故选:A. 【点睛】本题考查向量的坐标运算、诱导公式、二倍角公式、同角间的三角函数关系，属于中档题.5．10212x ⎛ ⎝的展开式中有理项有（ ） A ．3项 B ．4项C ．5项D ．7项【答案】B【解析】由二项展开式定理求出通项，求出x 的指数为整数时r 的个数，即可求解. 【详解】720103110(1)2r r r rr T C x--+=-，010r ≤≤，当0r =，3，6，9时，1r T +为有理项，共4项. 故选:B. 【点睛】本题考查二项展开式项的特征，熟练掌握二项展开式的通项公式是解题的关键，属于基础题.6．已知正项等比数列{}n a 中，存在两项,m n a a ，13a =，65423a a a =+，则14m n +的最小值是（ ） A ．32B ．2C ．73D ．94【答案】C【解析】由已知求出等比数列{}n a 的公比，进而求出4m n +=，尝试用基本不等式，但*,m n ∈N 取不到等号，所以考虑直接取,m n 的值代入比较即可. 【详解】65423a a a =+Q ，2230q q ∴--=，3q ∴=或1q =-（舍）.13a =Q ，2221139m n m n a a a a +-∴⋅=⋅=，4m n ∴+=.当1m =，3n =时1473m n +=； 当2m =，2n =时1452m n +=； 当3m =，1n =时，14133m n +=，所以最小值为73. 故选:C. 【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算及最小值，属于基础题.7．已知双曲线2222:1x y a bΓ-=(0,0)a b >>的一条渐近线为l ，圆22:()4C x c y -+=与l 相切于点A ，若12AF F ∆的面积为23，则双曲线Γ的离心率为（ ） A ．2 B ．23C ．73D ．21 【答案】D【解析】由圆22:()4C x c y -+=与l 相切可知，圆心(,0)C c 到l 的距离为2，即2b =.又122223AF F AOF S S ab ∆===V ，由此求出a 的值，利用离心率公式，求出e . 【详解】由题意得2b =，1223AF F S ab ∆==，3a ∴=，222113b e a ∴=+=.故选：D. 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，直线与圆相切的性质，离心率的求法，属于中档题. 8．如图网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有棱中最长棱的长度为（ ）A ．2B ．22C ．23D ．1【答案】C【解析】利用正方体将三视图还原，观察可得最长棱为AD ，算出长度. 【详解】几何体的直观图如图所示，易得最长的棱长为23AD =故选：C. 【点睛】本题考查了三视图还原几何体的问题，其中利用正方体作衬托是关键，属于基础题. 9．函数ln ||()xx x f x e =的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】利用特殊点的坐标代入，排除掉C ，D ；再由1()12f -<判断A 选项正确. 【详解】1.11.1ln |1.1|( 1.1)0f e--=<，排除掉C ，D ； 1211ln 122()22f e e---==122e <=Q 2e <，1()212f e ∴-=<.故选：A ． 【点睛】本题考查了由函数解析式判断函数的大致图象问题，代入特殊点，采用排除法求解是解决这类问题的一种常用方法，属于中档题.10．某公园新购进3盆锦紫苏、2盆虞美人、1盆郁金香，6盆盆栽，现将这6盆盆栽摆成一排，要求郁金香不在两边，任两盆锦紫苏不相邻的摆法共（ ）种 A ．96 B ．120 C ．48 D ．72【答案】B【解析】间接法求解，两盆锦紫苏不相邻，被另3盆隔开有3334A A ，扣除郁金香在两边有23232A A ，即可求出结论. 【详解】使用插空法，先排2盆虞美人、1盆郁金香有33A 种， 然后将3盆锦紫苏放入到4个位置中有34A 种， 根据分步乘法计数原理有3334A A ，扣除郁金香在两边， 排2盆虞美人、1盆郁金香有222A 种， 再将3盆锦紫苏放入到3个位置中有33A ， 根据分步计数原理有23232A A ，所以共有332334232120A A A A -=种.故选:B. 【点睛】本题考查排列应用问题、分步乘法计数原理，不相邻问题插空法是解题的关键，属于中档题.11．已知关于x sin 2x x m π⎛⎫+-=⎪⎝⎭在区间[)0,2π上有两个根1x ，2x ，且12x x π-≥，则实数m 的取值范围是（ ） A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．[)1,2C ．[)0,1D ．[]0,1【答案】C【解析】先利用三角恒等变换将题中的方程化简，构造新的函数2sin()6y x π=+，将方程的解的问题转化为函数图象的交点问题，画出函数图象，再结合12x x π-≥，解得m 的取值范围. 【详解】由题化简得3sin cos x x m +=，2sin()6m x π=+，作出2sin()6y x π=+的图象，又由12x x π-≥易知01m ≤<． 故选：C. 【点睛】本题考查了三角恒等变换，方程的根的问题，利用数形结合法，求得范围.属于中档题.12．已知函数2,0()2,0x xx f x e x x x ⎧>⎪=⎨⎪--≤⎩若函数1()()()2g x f x k x =-+在R 上零点最多，则实数k 的取值范围是（ ） A ．2(0,)3eB ．2(,0)3e-C ．(2eD ．2e【答案】D【解析】将函数的零点个数问题转化为函数()y f x =与直线1()2y k x =+的交点的个数问题，画出函数()y f x =的图象，易知直线1()2y k x =+过定点1(,0)2-，故与()f x 在0x <时的图象必有两个交点，故只需与()f x 在0x >时的图象有两个交点，再与切线问题相结合，即可求解. 【详解】由图知()y f x =与1()2y k x =+有4个公共点即可，即()0,k k ∈切，当设切点()00,x y ，则000011()2x x x k e x k x e -⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，0122x k e ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩2k e∴∈.故选：D. 【点睛】本题考查了函数的零点个数的问题，曲线的切线问题，注意运用转化思想和数形结合思想，属于较难的压轴题.二、填空题13．已知ABC ∆内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．4a =，6b =，3A π=则cos2B =_________．【答案】716【解析】利用正弦定理求得角B ，再利用二倍角的余弦公式，即可求解. 【详解】63=32sin B ∴=187cos 2126416B =-⨯=． 故答案为：716. 【点睛】本题考查了正弦定理求角，三角恒等变换，属于基础题.14．已知x ，y 满足约束条件260100x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪⎩…，则22z x y =+的最大值为________．【答案】9【解析】根据题意，画出可行域，将目标函数看成可行域内的点与原点距离的平方，利用图象即可求解. 【详解】 可行域如图所示，易知当0x =，3y =时，22z x y =+的最大值为9． 故答案为：9. 【点睛】本题考查了利用几何法解决非线性规划问题，属于中档题.15．已知椭圆22:1y C x m+=，2,0)M ，若椭圆C 上存在点N 使得OMN ∆为等边三角形（O 为原点），则椭圆C 的离心率为_________． 6【解析】根据题意求出点N 的坐标，将其代入椭圆的方程，求出参数m 的值，再根据离心率的定义求值. 【详解】 由题意得26N ， 将其代入椭圆方程得3m =， 所以2633e ==.. 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及几何性质，属于中档题.16．已知四棱锥P ABCD -，底面四边形ABCD 为正方形，PA PB PC PD ===，四棱锥的体积为3，在该四棱锥内放置一球O ，则球O 体积的最大值为_________．【答案】12【解析】由题知，该四棱锥为正四棱锥P ABCD -，作出该正四棱锥的高PH 和斜高PE ，连接HE ，则球心O 必在Rt PHE V 的PH 边上，设OEH θ∠=，由球与四棱锥的内切关系可知2PEH θ∠=，设2AB a =，用a 和θ表示四棱锥的体积，解得a 和θ的关系，进而表示出内切球的半径，并求出半径的最大值，进而求出球的体积的最大值. 【详解】设OEH θ∠=，2AB a =，由球O 内切于四棱锥可知，2PEH θ∠=，EH a =， 则tan 2PH a θ=，球O 的半径tan R a θ=，214tan 23P ABCD V a a θ-∴=⨯⨯=，3tan 22a θ∴=32tan 2a θ∴=，333332tan 22tan 2tan 21tan R a θθθθθθ===⨯-()221tan 416θθ-=≤当且仅当tan 2θ=时，等号成立，此时43o V π==..【点睛】本题考查了棱锥的体积问题，内切球问题，考查空间想象能力，属于较难的填空压轴题.三、解答题17．已知数列{}n a 满足15a =，122n n a a ++=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()24n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（1）1232n n a -=+⨯；（2）13(1)26n n S n +=-⨯+【解析】（1）根据递推公式，用配凑法构造等比数列{}2n a -，求其通项公式，进而求出{}n a 的通项公式；（2）求出数列{}n b 的通项公式，利用错位相减法求数列{}n b 的前n 项和n S .【详解】解：（1）122n n a a -+=Q ，()1222n n a a -∴-=-，123a -={}2n a ∴-是首项为3，公比为2的等比数列．所以1232n n a --=⨯，1232n n a -∴=+⨯．（2）()432432n nn b n n =+⨯-=⨯ ()12331222322n n S n =⨯⨯+⨯+⨯++⨯L()2341231222322n n S n +=⨯⨯+⨯+⨯++⨯L()()1231121232222233212n n n n n S n n ++⨯--=⨯++++-⨯=⨯-⨯-L13(1)26n n S n +∴=-⨯+.【点睛】本题考查了由数列的递推公式求通项公式，错位相减法求数列的前n 项和的问题，属于中档题.18．如图，在棱长为22的正方形ABCD 中，E ，F 分别为CD ，BC 边上的中点，现以EF 为折痕将点C 旋转至点P 的位置，使得P EF A --为直二面角．（1）证明：EF PA ⊥；（2）求PD 与面ABF 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见详解；（2）66【解析】（1）在折叠前的正方形ABCD 中，作出对角线AC ，BD ，由正方形性质知AC BD ⊥，又EF //BD ，则AC EF ⊥于点H ，则由直二面角可知PH ⊥面ABEFD ，故PH EF ⊥.又AH EF ⊥，则EF ⊥面PAH ，故命题得证；（2）作出线面角PDH ∠，在直角三角形中求解该角的正弦值.【详解】解：（1）证明：在正方形ABCD 中，连结AC 交EF 于H ．因为,AC BD EF ⊥//BD ，故可得AC EF ⊥，即,EF AH EF CH ⊥⊥又旋转不改变上述垂直关系，且,AH CH ⊂平面PAH ,EF ∴⊥面PAH ，又PA ⊂Q 面PAH ，所以EF PA ⊥（2）因为P EF A --为直二面角，故平面PEF ⊥平面AEF ,又其交线为EF ,且,PH EF PH ⊥⊂平面PEF ,故可得PH ⊥底面ABF ，连结DH ，则PDH ∠即为PD 与面ABF 所成角，连结BD 交AH 于O ，在Rt ODH △中， 225DH DO OH =+=，1PH CH ==在Rt PHD ∆中226DP DH PH =+=，6sin 66PH PDH DP ∠===． 所以PD 与面ABF 所成角的正弦值为6． 【点睛】本题考查了线面垂直的证明与性质，利用定义求线面角，属于中档题.19．某网络商城在2019年1月1日开展“庆元旦”活动，当天各店铺销售额破十亿，为了提高各店铺销售的积极性，采用摇号抽奖的方式，抽取了40家店铺进行红包奖励.如图是抽取的40家店铺元旦当天的销售额（单位：千元）的频率分布直方图.（1）求抽取的这40家店铺，元旦当天销售额的平均值；（2）估计抽取的40家店铺中元旦当天销售额不低于4000元的有多少家；（3）为了了解抽取的各店铺的销售方案，销售额在[)0,2和[]8,10的店铺中共抽取两家店铺进行销售研究，求抽取的店铺销售额在[)0,2中的个数ζ的分布列和数学期望.【答案】（1）5500元；（2）32家；（3）分布列见解析；23【解析】（1）根据频率分布直方图求出各组频率，再由平均数公式，即可求解； （2）求出[4000,10000]的频率即可；（3）[)0,2中的个数ζ的所有可能取值为0，1，2，求出ζ可能值的概率，得到分布列，由期望公式即可求解.【详解】（1）频率分布直方图销售额的平均值为2(0.02510.07530.250.1570.059) 5.5⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=千元，所以销售额的平均值为5500元；（2）不低于4000元的有40(0.20.150.05)232⨯++⨯=家（3）销售额在[)0,2的店铺有2家，销售额在[]8,10的店铺有4家.选取两家，设销售额在[)0,2的有ζ家.则ζ的所有可能取值为0，1，2.0224262(0)5C C p C ζ===，1124268(1)15C C p C ζ===， 2024261(2)15C C p C ζ=== 所以ζ的分布列为数学期望8121215153E ζ=⨯+⨯= 【点睛】 本题考查应用频率分布直方图求平均数和频数，考查离散型随机变量的分布列和期望，属于基础题.20．直线l 与抛物线2:2C y px =(0)p >相交于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥，若P ，Q到x 轴距离的乘积为16．（1）求C 的方程；（2）设点F 为抛物线C 的焦点，当PFQ ∆面积最小时，求直线l 的方程．【答案】（1）24y x =；（2）4x =【解析】（1）设出两点的坐标，由距离之积为16，可得1216y y =-.利用向量的数量积坐标运算，将OP OQ ⊥转化为12120OP OQ x x y y ⋅=+=u u u r u u u r .再利用两点均在抛物线上，即可求得p 的值，从而求出抛物线的方程；（2）设出直线l 的方程，代入抛物线方程，由韦达定理发现直线l 恒过定点()4,0M ，将PFQ ∆面积用参数t 表示，求出其最值，并得出此时的直线方程.【详解】解：（1）由题设()11,P x y ，()22,Q x y因为P ，Q 到x 轴的距离的积为16，所以1216y y =-，又因为OP OQ ⊥，12120OP OQ x x y y ∴⋅=+=u u u r u u u r ，221212225616224y y x x p p p ∴==⋅=，2p ∴= 所以抛物线C 的方程为24y x =．（2）因为直线l 与抛物线两个公共点，所以l 的斜率不为0，所以设:PQ l x ty m =+ 联立24x ty m y x=+⎧⎨=⎩，得2440y ty m --=， 即124y y t +=，12164y y m =-=-，4m ∴=即直线l 恒过定点()4,0M ，所以121||2PFQ S FM y y ∆=-= 当0t =时，PFQ ∆面积取得最小值12，此时4x =.【点睛】本题考查了抛物线的标准方程的求法，直线与抛物线相交的问题，其中垂直条件的转化，直线过定点均为该题的关键，属于综合性较强的题.21．已知函数21()2x f x xe a x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭(0,)x ∈+∞. （1）讨论()f x 的单调性；（2）曲线()f x 在点()()22f ,处的切线斜率为()231e -. （i ）求a ；（ii ）若2()()(1)x k f x x '-≥-+，求整数k 的最大值.【答案】（1）在(ln ,)a +∞上增；在()0,ln a 上减；（2）（i ）1；（ii ）2【解析】（1）求导求出()f x '，对a 分类讨论，求出()0,()0f x f x ''><的解，即可得出结论；（2）（i ）由2(2)3(1)f e '=-，求出a 的值；（ii ）由（i ）得所求问题转化为()()110x x k e x --++≥，(0,)x ∈+∞恒成立，设 ()()()11x g x x k e x =--++，(0,)x ∈+∞，只需min ()0g x ≥，根据()g x 的单调性，即可求解.【详解】（1）()()(1)x f x x e a '=+-当1a ≤时，()0f x '>，即()f x 在()0,∞+上增；当1a >时，()0f x '>，ln x a >，()0f x '<，0ln x a <<，即()f x 在(ln ,)a +∞上增；在()0,ln a 上减；（2）（i ）()()22(2)331f e a e '=-=-，1a \=.（ⅱ）2()()(1)x k f x x '-≥-+，即()()110x x k e x --++≥， 即()()()11x g x x k e x =--++，只需min ()0g x ≥. ()(1)x g x x k e '=-+当1k ≤时，()0g x '>，()g x 在()0,∞+单调递增，所以()(0)10g x g >=>满足题意；当1k >时，()0g x '>，1x k >-，()0g x '>，01x k <<-所以()g x 在()0,1k -上减，在()1,k -+∞上增，1min ()(1)10k g x g k e k -∴=-=-++≥令1()1k h k e k -=-++，1()1k h k e -'=-.(1)0h '=.()h k '在(1,)+∞单调递减，所以()0h k '<所以()h k 在()1,+∞上单调递减(1)10h =>，(2)30h e =->，2(3)40h e =-<综上可知，整数k 的最大值为2.【点睛】本题考查函数导数的综合应用，涉及函数的单调性、导数的几何意义、极值最值、不等式恒成立，考查分类讨论思想，属于中档题.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为112212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）和曲线1cos :sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知点M 是射线1:l θα=([0,])2πα∈与直线l 的公共点，点N 是1l 与曲线C 的公共点，求||||ON OM 的最大值． 【答案】（1）sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2cos ρθ=；（2）max ()2ON OM = 【解析】（1）先将直线l 和圆C 的参数方程化成普通方程，再分别求出极坐标方程； （2）写出点M 和点N 的极坐标，根据极径的定义分别表示出ON 和OM ，利用三角函数的性质求出||||ON OM 的最大值. 【详解】解：（1）1:2l x y +=，1cos sin 2ρθρθ+=，即极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 22:(1)1C x y -+=，极坐标方程2cos ρθ=．（2）由题可知12(,)sin cos M ααα+，(2cos ,)N αα ||2cos 1||2sin cos N M ON OM ραραα==+ 4cos (sin cos )ααα=+2sin 22(cos 21)αα=++)24πα=++， ∴当8πα=时，max ()2ON OM =. 【点睛】本题考查了参数方程、普通方程和极坐标方程的互化问题，极径的定义，以及三角函数的恒等变换，属于中档题.23．已知函数()2|2|f x x m =--(0)m >，若(2)0f x +<的解集为()2,2-． （1）求m 的值；（2）若正实数a ，b ，c 满足23++=a b c m ，求证：1119234a b c ++≥． 【答案】（1）4m =；（2）证明见详解.【解析】（1）将不等式(2)0f x +<的解集用m 表示出来，结合题中的解集，求出m 的值；（2）利用柯西不等式证明.【详解】解：（1）(2)2||0f x x m +=-<，||2m x <，22m m x ∴-<<， 因为()20f x +<的解集为()2,2-，所以22m =， 4m ∴=；（2）由（1）234a b c ++= 由柯西不等式2111()(23)(111)923a b c a b c++++≥++=， 1119234a b c ∴++≥ 当且仅当43a =，23b =，49c =，等号成立． 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，利用柯西不等式证明不等式的问题，属于中档题.。

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2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共4页,23小题,满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（B)填涂在答题卡的相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1。

已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A 。

}{43x x -<<B 。

}{42x x -<<- C. }{22x x -<< D. }{23x x <<【答案】C 【解析】 【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．【点睛】不能领会交集的含义易致误,区分交集与并集的不同,交集取公共部分,并集包括二者部分．2.设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为（x ，y )，则 A 。

2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则（ ） A ．{|0}AB x x =< B ．A B =RC ．{|1}A B x x =>D ．A B =∅2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A ．14B ．π8C ．12D ．π43．设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R ．其中的真命题为（ ） A ．13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．85．函数()f x 在(,)-∞+∞递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是（ ） A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]6．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为（ ） A ．15B ．20C ．30D ．357．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成， 正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，A ．10B ．12C ．14D ．168．右面程序框图是为了求出满足3n −2n >1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）A ．A >1000和n =n +1B ．A >1000和n =n +2C ．A ≤1000和n =n +1D ．A ≤1000和n =n +29．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是（ ） A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 210．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ） A ．16B ．14C ．12D ．1011．设x 、y 、z 为正数，且235x y z==，则（ ）A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，是（ ） A ．440B ．330C ．220D ．110二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= ．14．设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则32z x y =-的最小值为 ．15．已知双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若∠MAN =60°，则C 的离心率为____ ____．16．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O ．D 、E 、F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△F AB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△F AB ，使得D 、E 、F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为_______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长．18．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=．（1）证明：平面P AB ⊥平面P AD ；（2）若P A =PD =AB =DC ，90APD ∠=，求二面角A -PB -C 的余弦值．19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ．（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s ==≈，其中i x为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）． 附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=，160.99740.9592=0.09≈．20．（12分）已知椭圆C ：2222=1x y a b+（a >b >0），四点P 1（1，1），P 2（0，1），P 3（–1，2），P 4（1，2）中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点．21．（12分）已知函数2()(2)x xf x ae a e x =+--．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3cossinxyθθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l的参数方程为41x a tty t=+⎧⎨=-⎩（为参数）．（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l a．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数f(x) = –x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│．（1）当a=1时，求不等式f(x) ≥ g(x)的解集；（2）若不等式f(x) ≥ g(x)的解集包含[–1，1]，求a的取值范围．参考答案（理科数学）一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12A B B C D C B D D A D A二、填空题13．2314．5 15．23316．415三、解答题。

沾作•怨II 的rrasK 域内作衿.扨出咒色炻形边枢限定^域的衿戈尤效! 21. (12分〉沾在各战II 的答趙区域内作答.扨出觅色矩形边fe 限定KW 的答龙尤效！2019年第一次全国大联考【新课标1卷】 理科数学_答题卡姓 名: 准考证号:■战II 的荇战K 域内作符.超出觅色s （形边抿阳定lx :域的符絮尤效！19. <12分〉SS注意事项1 •：贴条形码区1 • 1 1 11. 答埋前，考生先将自己的姓名,准考证号坝写油 楚.汴认rt .检作监考M 所粘贴的条形码。

2.选抒思必须用2B 铅笔坝涂:非选抒题必须用 0.5mm 忠色签卞笔答题,不得用铅笵或脚珠笵答 题：屮体.1:佾、*£迹沾晰•3.消按题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出 区域书写的答案无效:在A *捣纸、试埋卷上答理 无效。

4. 保持卡面淸洁，+要折叠、不驳#破*5.正确塡涂》缺考此栏考生禁填□标记不是“A 类”调査对象 是“A 类”调査对象 总计男女总汁18. (12分)一、选择题（每小题5分，共60分）1 [A ] [B | [C | [D |2 [A | [B | [C ] [D ]3 [A | [B ] (C ) [D ) 4|A | [B | (C ) [D |MAIIB ) [C | [DI 6 [A ] |B ) [C | |D | 7 [A ) [B | [C | [DI 8[AJ |B | IC | |D |9|A ]|B ][C ][D | I 0[A ||B |IC ||D ) II|A 1|B )|C )|D | I 2[A ||B |[C ]|D 113. （每小题5分，共20分）14. 15.16.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. <12分〉理科数7（共6贞>理科数学箱3页（共6 9D选做题＜10分)i«考生从给出的22、23两题中任选@作答.并用2B铅笔在答®卡上把所选的题号涂黑.注意所做题目必须与所涂腰号一致,如*多做.则按所做的第S计分。