2017届上海市十三校高三第二次联考文科数学试题及答案

2017-2018学年上海市长宁区、青浦区、宝山区、嘉定区高考数学二模试卷（文科）一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．设集合A={x||x|＜2，x∈R}，B={x|x2﹣4x+3≥0，x∈R}，则A∩B=．2．已知i为虚数单位，复数z满足=i，则|z|= ．3．设a＞0且a≠1，若函数f（x）=a x﹣1+2的反函数的图象经过定点P，则点P的坐标是．4．计算：= ．5．在平面直角坐标系内，直线l：2x+y﹣2=0，将l与两坐标轴围成的封闭图形绕y轴旋转一周，所得几何体的体积为．6．已知sin2θ+sinθ=0，θ∈（，π），则tan2θ= ．7．定义在R上的偶函数y=f（x），当x≥0时，f（x）=2x﹣4，则不等式f（x）≤0的解集是．8．在平面直角坐标系xOy中，有一定点A（1，1），若OA的垂直平分线过抛物线C：y2=2px （p＞0）的焦点，则抛物线C的方程为．9．已知x、y满足约束条件，则z=2x+y的最小值为．10．在（x2+）6（k为实常数）的展开式中，x3项的系数等于160，则k= ．11．从棱长为1的正方体的8个顶点中任取3个点，则以这三点为顶点的三角形的面积等于的概率是．12．已知数列{a n}满足a1+a2+…+a n=n2+3n（n∈N+），则= ．13．甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有10道选择题，每题均有4个选项，答对得3分，答错或不答得0分，甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有1道题的选项不同，如果甲最终的得分为27分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为．14．对于函数f（x）=，其中b＞0，若f（x）的定义域与值域相同，则非零实数a 的值为．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．“sinα=0”是“cosα=1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件16．下列正确的是（）A．若直线l1∥平面α，直线l2∥平面α，则l1∥l2B．若直线l上有两个点到平面α的距离相等，则l∥αC．直线l与平面α所成角的取值范围是（0，）D．若直线l1⊥平面α，直线l2⊥平面α，则l1∥l217．已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（﹣）•（﹣）=0，则||的最大值是（）A．1 B．2 C．D．18．已知直线l：y=2x+b与函数y=的图象交于A，B两点，记△OAB的面积为S（O为坐标原点），则函数S=f（b）是（）A．奇函数且在（0，+∞）上单调递增B．偶函数且在（0，+∞）上单调递增C．奇函数且在（0，+∞）上单调递减D．偶函数且在（0，+∞）上单调递减三、解答题（共5小题，满分60分）19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=AA1=2，D为侧棱AA1的中点；（1）求证：AC⊥平面BCC1B1；（2）求异面直线B1D与AC所成角的大小．20．已知函数f （x ）=sin2x+cos2x ﹣1（x ∈R ）；（1）写出函数f （x ）的最小正周期和单调递增区间；（2）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若f （B ）=0， =，且a+c=4，试求b 的值．21．定义在D 上的函数f （x ），若满足：对任意x ∈D ，存在常数M ＞0，都有|f （x ）|≤M 成立，则称f （x ）是D 上的有界函数，其中M 称为函数f （x ）的上界：（1）设f （x ）=，判断f （x ）在上是否有界函数，若是，请说明理由，并写出f （x ）的所有上界的值的集合，若不是，也请说明理由；（2）若函数g （x ）=1+a•（）x +（）x 在 ．【考点】交集及其运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可． 【解答】解：A={x||x|＜2，x ∈R}={x|﹣2＜x ＜2}， B={x|x 2﹣4x+3≥0，x ∈R}={x|x≥3或x≤1}， 则A∩B={x|﹣2＜x≤1}， 故答案为：（﹣2，1]．2．已知i 为虚数单位，复数z 满足=i ，则|z|= 1 ．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】设出z=a+bi ，得到1﹣a ﹣bi=﹣b+（a+1）i ，根据系数相等得到关于a ，b 的方程组，解出a ，b 的值，求出z ，从而求出z 的模．【解答】解：设z=a+bi ，则==i ，∴1﹣a ﹣bi=﹣b+（a+1）i ，∴，解得，故z=﹣i，|z|=1，故答案为：1．3．设a＞0且a≠1，若函数f（x）=a x﹣1+2的反函数的图象经过定点P，则点P的坐标是（3，1）．【考点】反函数．【分析】由于函数f（x）=a x﹣1+2经过定点（1，3），再利用反函数的性质即可得出．【解答】解：∵函数f（x）=a x﹣1+2经过定点（1，3），∴函数f（x）的反函数的图象经过定点P（3，1），故答案为：（3，1）．4．计算：= ．【考点】极限及其运算．【分析】先利用排列组合公式，将原式化简成的形式，再求极限．【解答】解：===．故答案为：．5．在平面直角坐标系内，直线l：2x+y﹣2=0，将l与两坐标轴围成的封闭图形绕y轴旋转一周，所得几何体的体积为．【考点】用定积分求简单几何体的体积．【分析】由题意此几何体的体积可以看作是：V=，求出积分即得所求体积．【解答】解：由题意可知：V=，∴V=π（y3﹣），=．故答案为．6．已知sin2θ+sinθ=0，θ∈（，π），则tan2θ= ．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由已知等式化简可得sinθ（2cosθ+1）=0，结合范围θ∈（，π），解得cosθ=﹣，利用同角三角函数基本关系式可求tanθ，利用二倍角的正切函数公式可求tan2θ的值．【解答】解：∵sin2θ+sinθ=0，⇒2sinθcosθ+sinθ=0，⇒sinθ（2cosθ+1）=0，∵θ∈（，π），sinθ≠0，∴2cosθ+1=0，解得：cosθ=﹣，∴tanθ=﹣=﹣，∴tan2θ==．故答案为：．7．定义在R上的偶函数y=f（x），当x≥0时，f（x）=2x﹣4，则不等式f（x）≤0的解集是．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据条件判断函数的单调性和函数的零点，利用函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可．【解答】解：当x≥0时，由f（x）=2x﹣4=0得x=2，且当x≥0时，函数f（x）为增函数，∵f（x）是偶函数，∴不等式f（x）≤0等价为f（|x|）≤f（2），即|x|≤2，即﹣2≤x≤2，即不等式的解集为，故答案为：．8．在平面直角坐标系xOy中，有一定点A（1，1），若OA的垂直平分线过抛物线C：y2=2px （p＞0）的焦点，则抛物线C的方程为y2=4x ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先求出线段OA的垂直平分线方程，然后表示出抛物线的焦点坐标并代入到所求方程中，进而可求得p的值，即可得到抛物线方程．【解答】解：∵点A（1，1），依题意我们容易求得直线的方程为x+y﹣1=0，把焦点坐标（，0）代入可求得焦参数p=2，从而得到抛物线C的方程为：y2=4x．故答案为：y2=4x．9．已知x、y满足约束条件，则z=2x+y的最小值为﹣6 ．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（﹣2，﹣2），化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A（﹣2，﹣2）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2×（﹣2）﹣2=﹣6．故答案为：﹣6．10．在（x2+）6（k为实常数）的展开式中，x3项的系数等于160，则k= 2 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】T r+1=k r x12﹣3r，令12﹣3r=3，解得r．即可得出．【解答】解：T r+1=（x2）6﹣r=k r x12﹣3r，令12﹣3r=3，解得r=3．∴T4=x3，∴20k3=160，解得k=2．故答案为：2．11．从棱长为1的正方体的8个顶点中任取3个点，则以这三点为顶点的三角形的面积等于的概率是．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】从正方体的8个顶点中任意取3个构成三角形的顶点共有取法，其中以这三点为顶点的三角形的面积S=的三角形共有24个，由此能求出结果．【解答】解：从正方体的8个顶点中任意取3个构成三角形的顶点共有取法，其中以这三点为顶点的三角形的面积S=的三角形如图中的△ABC，这类三角形共有24个∴P（S=）==．故答案为：．12．已知数列{a n}满足a1+a2+…+a n=n2+3n（n∈N+），则= 2n2+6n ．【考点】数列的求和．【分析】通过a1+a2+…+a n=n2+3n与a1+a2+…+a n﹣1=（n﹣1）2+3（n﹣1）作差，进而计算可知a n=2（n+1），分别利用等差数列、等比数列的求和公式计算即得结论．【解答】解：∵a1+a2+…+a n=n2+3n，∴当n≥2时，a1+a2+…+a n﹣1=（n﹣1）2+3（n﹣1），两式相减得：a n=（n2+3n）﹣=2（n+1），又∵a1=1+3=4满足上式，∴a n=2（n+1），=4+4n，∴=4n+4•=2n2+6n，故答案为：2n2+6n．13．甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有10道选择题，每题均有4个选项，答对得3分，答错或不答得0分，甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有1道题的选项不同，如果甲最终的得分为27分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为{24，27，30} ．【考点】集合的表示法；计数原理的应用．【分析】甲最终的得分为27分，可得：甲答对了10道题目中的9道，由于甲和乙都解答了所有的试题，甲必然有一道题目答错了，不妨设为第一题．由于他们只有1道题的选项不同，如果是第一道题，则乙可能答错，也可能答对，即可得出分数．如果是第一道题以外的一个题目，则乙一定答错，而第一道题，则乙也一定答错，即可得出．【解答】解：∵甲最终的得分为27分，∴甲答对了10道题目中的9道，∵甲和乙都解答了所有的试题，∴甲必然有一道题目答错了，不妨设为第一题．∵甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有1道题的选项不同，如果是第一道题，则乙可能答错，也可能答对，此时乙可得30分或27分．如果是第一道题以外的一个题目，则乙一定答错，而第一道题，则乙也一定答错，此时乙可得24分．综上可得：乙的所有可能的得分值组成的集合为{24，27，30}．故答案为：{24，27，30}．14．对于函数f（x）=，其中b＞0，若f（x）的定义域与值域相同，则非零实数a的值为﹣4 ．【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【分析】根据函数的定义域与值域相同，故可以求出参数表示的函数的定义域与值域，由两者相同，故比较二区间的端点得出参数满足的方程解方程求参数即可．【解答】解：若a＞0，由于ax2+bx≥0，即x（ax+b）≥0，∴对于正数b，f（x）的定义域为：D=（﹣∞，﹣]∪．由于此时max=f（﹣）=，故函数的值域 A=．由题意，有﹣=，由于b＞0，所以a=﹣4．故答案为：﹣4．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．“sinα=0”是“cosα=1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由sinα=0可得α=kπ（k∈Z），即可判断出结论．【解答】解：sinα=0可得α=kπ（k∈Z），∴cosα=±1，反之成立，∴“sinα=0”是“cosα=1”的必要不充分条件．故选：B16．下列正确的是（）A．若直线l1∥平面α，直线l2∥平面α，则l1∥l2B．若直线l上有两个点到平面α的距离相等，则l∥αC．直线l与平面α所成角的取值范围是（0，）D．若直线l1⊥平面α，直线l2⊥平面α，则l1∥l2【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据各选项条件举出反例．【解答】解：对于A，若直线l1∥平面α，直线l2∥平面α，则l1与l2可能平行，可能相交，也可能异面，故A错误．对于B，若直线l与平面α相交于O点，在交点两侧各取A，B两点使得OA=OB，则A，B到平面α的距离相等，但直线l与α不平行，故B错误．对于C，当直线l⊂α或l∥α时，直线l与平面α所成的角为0，当l⊥α时，直线l与平面α所成的角为，故C错误．对于D，由定理“垂直于同一个平面的两条直线平行“可知D正确．故选：D．17．已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（﹣）•（﹣）=0，则||的最大值是（）A．1 B．2 C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由向量垂直的条件可得•=0，运用向量的平方即为模的平方，可得|+|=，再化简运用向量的数量积的定义，结合余弦函数的值域，即可得到所求最大值．【解答】解：由题意可得•=0，可得|+|==，（﹣）•（﹣）=2+•﹣•（+）=||2﹣||•|+|cos＜（+，＞=0，即为||=cos＜+，＞，当cos＜+，＞=1即+，同向时，||的最大值是．故选：C．18．已知直线l：y=2x+b与函数y=的图象交于A，B两点，记△OAB的面积为S（O为坐标原点），则函数S=f（b）是（）A．奇函数且在（0，+∞）上单调递增B．偶函数且在（0，+∞）上单调递增C．奇函数且在（0，+∞）上单调递减D．偶函数且在（0，+∞）上单调递减【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【分析】根据条件求出AB的长度以及O到AB的距离，从而求出三角形OAB的面积函数，根据函数的表达式即可得到结论．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由2x+b=，即2x2+bx﹣1=0，则，则|AB|=，圆心到直线2x﹣y+b=0的距离d=，∴△OAB的面积S==，∴S=f（b）=，则函数f（b）为偶函数，当b＞0时，y=和都为增函数，∴当b＞0时，f（b）=为增函数．故选：B．三、解答题（共5小题，满分60分）19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=AA1=2，D为侧棱AA1的中点；（1）求证：AC⊥平面BCC1B1；（2）求异面直线B1D与AC所成角的大小．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由已知推导出AC⊥BC，CC1⊥AC，由此能证明AC⊥平面BCC1B1．（2）以C为原点，直线CA、CB、CC1为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线B1D与AC所成角的大小．【解答】证明：（1）∵底面△ABC是等腰直角三角形，且AC=BC，∴AC⊥BC，∵CC1⊥平面A1B1C1，∴CC1⊥AC，∵CC1∩BC=C，∴AC⊥平面BCC1B1．解：（2）以C为原点，直线CA、CB、CC1为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，2），B1（0，2，2），D（2，0，1），=（2，﹣2，﹣1），=（﹣2，0，0），设异面直线B1D与AC所成角为θ，则cosθ===．∴．∴异面直线B1D与AC所成角的大小为arccos．20．已知函数f（x）=sin2x+cos2x﹣1（x∈R）；（1）写出函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若f（B）=0， =，且a+c=4，试求b的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用两角和的正弦化简，由周期公式求得周期，再由相位在正弦函数的增区间内求得x的范围求得f（x）单调递增区间；（2）把f（B）=0代入函数解析式，求得B，展开数量积=，求得ac的值，结合a+c=4，利用余弦定理求得b的值．【解答】解：（1）f（x）=sin2x+cos2x﹣1=．∴T=；由，得．∴函数f（x）的单调递增区间为[]，k∈Z；（2）由f（B）==0，得．∴或，k∈Z．∵B是三角形内角，∴B=．而=ac•cosB=，∴ac=3．又a+c=4，∴a2+c2=（a+c）2﹣2ac=16﹣2×3=10．∴b2=a2+c2﹣2ac•cosB=7．则b=．21．定义在D上的函数f（x），若满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界：（1）设f（x）=，判断f（x）在上是否有界函数，若是，请说明理由，并写出f（x）的所有上界的值的集合，若不是，也请说明理由；（2）若函数g（x）=1+a•（）x+（）x在上是增函数；从而可得|f（x）|≤1，从而求得；（2）由题意知﹣3≤1+a•（）x+（）x≤3在上是增函数；故f（﹣）≤f（x）≤f（）；即﹣1≤f（x）≤，故|f（x）|≤1，故f（x）是有界函数；故f（x）的所有上界的值的集合是．22．设椭圆Г：（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），短轴的一个端点B 到F的距离等于焦距：（1）求椭圆Г的标准方程；（2）设C、D是四条直线x=±a，y=±b所围成的矩形在第一、第二象限的两个顶点，P是椭圆Г上任意一点，若，求证：m2+n2为定值；（3）过点F的直线l与椭圆Г交于不同的两点M、N，且满足于△BFM与△BFN的面积的比值为2，求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的右焦点为F（1，0），短轴的一个端点B到F的距离等于焦距，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆Г的标准方程．（2）求出C（2，），D（﹣2，），设P（x0，y0），则，由已知=，得=1，由此能证明m2+n2=为定值．（3）=2等价于=2，设l：y=k（x﹣1），由，得（3+4k2）y2+6ky﹣9k2=0，由此利用韦达定理、椭圆性质，结合已知条件能求出直线l的方程．【解答】解：（1）∵椭圆Г：（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），短轴的一个端点B到F的距离等于焦距，∴，解得a=2，b=，∴椭圆Г的标准方程为．证明：（2）∵C、D是四条直线x=±a，y=±b所围成的矩形在第一、第二象限的两个顶点，∴C（2，），D（﹣2，），设P（x0，y0），则，由已知=，得，∴=1，∴m2+n2=为定值．解：（3）=2等价于=2，当直线l的斜率不存在时， =1，不合题意，故直线l的斜率存在，设l：y=k（x﹣1），由，消去x，得（3+4k2）y2+6ky﹣9k2=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，由=2，得=﹣2，则，，∴3+4k2=8，k=，∴直线l的方程为y=．23．已知数列{a n}、{b n}满足：a，a n+b n=1，b；（1）求b1、b2、b3、b4；（2）求证：数列{}是等差数列，并求{b n}的通项公式；（3）设S n=a1a2+a2a3+…+a n a n+1，若不等式4aS n＜b n对任意n∈N*恒成立，求实数a的取值范围．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；数列递推式．【分析】（1）通过已知条件代入计算即得结论；（2）通过两边同时减1并取倒数，利用a n+b n=1化简可知数列{}是等差数列，进而计算可得结论；（3）通过（2）可知b n=，进而裂项可知a n a n+1=﹣，并项相加可知S n=，进而问题转化为求的最小值，计算即得结论．【解答】（1）解：依题意，b1=1﹣a1=1﹣=，b2===，a2=1﹣b2=1﹣=，==，a3=1﹣b3=1﹣=，==；（2）证明：∵，a n+b n=1，∴b n+1﹣1=﹣1=﹣1=，两边同时取倒数，得： ==﹣1=﹣1=﹣1=﹣1，∴数列{}是等差数列，又∵==﹣4，∴=﹣4﹣（n﹣1）=﹣（n+3），∴数列{b n}的通项公式b n=1﹣=；（3）解：由（2）可知b n=，∴a n=1﹣b n=，a n a n+1==﹣，∴S n=a1a2+a2a3+…+a n a n+1=﹣+﹣+…+﹣=﹣=，∵不等式4aS n＜b n对任意n∈N*恒成立，∴不等式4a•＜对任意n∈N*恒成立，∴a＜=1+，∵随着n的增大而减小，且=0，∴a≤1．2016年6月24日。

宝山2017二模一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.若集合{}|0A x x =>，{}|1B x x =<，则A B ⋂=____________2.已知复数z1z i ⋅=+（i 为虚数单位），则z =____________ 3.函数()sin cos cos sin x x f x x x=的最小正周期是____________4.已知双曲线()2221081x y a a -=>的一条渐近线方程3y x =，则a =____________ 5.若圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则圆柱的体积为____________6.已知,x y 满足0220x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值是____________7.直线12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的交点个数是____________8.已知函数()()()220log 01xx f x x x ⎧≤⎪=⎨<≤⎪⎩的反函数是()1f x -，则12f -1⎛⎫= ⎪⎝⎭____________9.设多项式()()()()23*11110,nx x x x x n N ++++++++≠∈的展开式中x 项的系数为n T ，则2limnn T n →∞=____________10.生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生的概率分别为0.01和p ，每道工序产生废品相互独立，若经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p =____________11.设向量()(),,,m x y n x y ==-，P 为曲线()10m n x ⋅=>上的一个动点，若点P 到直线10x y -+=的距离大于λ恒成立，则实数λ的最大值为____________12.设1210,,,x x x 为1,2,,10的一个排列，则满足对任意正整数,m n ，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同排列的个数为____________二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.设,a b R ∈，则“4a b +>”是“1a >且3b >”的（ ） A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件14.如图，P 为正方体1111ABCD A B C D -中1AC 与1BD 的交点，则PAC 在该正方体各个面上的射影可能是（ ）A. ①②③④B.①③C. ①④D.②④15.如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线12,l l 同侧，且P 到12,l l 的距离分别为1，3.点,M N 分别在12,l l 上，8PM PN +=，则PM PN ⋅的最大值为（ ）A. 15B. 12C. 10D. 916.若存在t R ∈与正数m ，使()()F t m F t m -=+成立，则称“函数()F x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，设()()20x f x x xλ+=>，若对于任意()2,6t ∈，总存在正数m ，使得“函数()f x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，则实数λ的取值范围是（ ）A. (]0,2B. (]1,2C. []1,2D. []1,4三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是线段BC 、1CD 的中点. （1）求异面直线EF 与1AA 所成角的大小； （2）求直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小.18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知抛物线()220y px p =>，其准线方程为10x +=，直线l 过点()(),00T t t >且与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点.（1）求抛物线方程，并证明：OA OB ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关； （2）若P 为抛物线上的动点，记PT 的最小值为函数()d t ，求()d t 的解析式.19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[](),m n D m n ⊆<，同时满足：①()f x 在[],m n 内是单调函数；②当定义域是[],m n 时，()f x 的值域也是[],m n 则称函数()f x 是区间[],m n 上的“保值函数”.（1）求证：函数()22g x x x =-不是定义域[]0,1上的“保值函数”；（2）已知()()2112,0f x a R a a a x=+-∈≠是区间[],m n 上的“保值函数”，求a 的取值范围.20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）数列{}n a 中，已知()12121,,n n n a a a a k a a ++===+对任意*n N ∈都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S .（这里,a k 均为实数） （1）若{}n a 是等差数列，求k ； （2）若11,2a k ==-，求n S ; （3）是否存在实数k ，使数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项12,,m m m a a a ++按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）设T,R 若存在常数0M >，使得对任意t T ∈，均有t M ≤，则称T 为有界集合，同时称M 为集合T 的上界.（1）设121|,21x xA y y x R ⎧⎫-==∈⎨⎬+⎩⎭、21|sin 2A x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，试判断1A 、2A 是否为有界集合，并说明理由；（2）已知()2f x x u =+，记()()()()()()11,2,3,n n f x f x f x f f x n -===.若m R ∈，1,4u ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，且(){}*|n B f m n N =∈为有界集合，求u 的值及m 的取值范围；（3）设a 、b 、c 均为正数，将()2a b -、()2b c -、()2c a -中的最小数记为d ，是否存在正数()0,1λ∈，使得λ为有界集合222{|,dC y y a b c ==++a 、b 、c 均为正数}的上界，若存在，试求λ的最小值；若不存在，请说明理由.宝山区答案1.(0,1)2.13. π4.35. 5.16. 37. 28. 19.1210. 0.03 11.212.512 13. B14. C15.A16.A17. （1） （2）arctan 218.（1）24y x =，证明略（2）2)(t),(0t 2)d t ⎧≥⎪=⎨<<⎪⎩19. （1）证明略（2）12a或32a 20. （1）12k =（2）2(21,),(2,)n n n k k N S n n k k N **⎧-=-∈=⎨=∈⎩ （3）25k =-21.（1）1A 为有界集合，上界为1；2A 不是有界集合 （2）14u =，11,22m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ （3）15λ=解析：（2）设()()011,,,1,2,3,...n n a m a f m a f a n -====，则()n n a f m =∵()2114a f m m u ==+≥，则222111111024a a a a u a u ⎛⎫-=-+=-+-≥ ⎪⎝⎭且211111024n n n n n a a a u a a ---⎛⎫-=-+-≥⇒≥ ⎪⎝⎭若(){}*|N n B f m n =∈为有界集合，则设其上界为0M ，既有*0,N n a M n ≤∈∴()()()112211112211......n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a ------=-+-++-+=-+-++-+2222121111111...242424n n a u a u a u m u --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-++-+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭222212111111...22244n n a a a m n u u n u u --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-++-+≥-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦若0n a M ≤恒成立，则014n u u M ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭恒成立，又11044u u ≥⇒-≥ ∴14u =，∴()214f x x =+ 设12m λ=+（i ）0λ>，则()22101011112422a a f m m a a λλλ⎛⎫⎛⎫-=-=++-+=⇒>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴111...2n n a a a m ->>>>>记()()212g x f x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则当1212x x >>时，()()12g x g x >∴()()()2111110n n n n n g a f a a a a g m a a λ----=-=->=-=∴()211n a a n λ>+-，若0na M ≤恒成立，则0λ=，矛盾。

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上海十三校 2009—2010 学年高三年级联考数学试题(文)考生注意: 1. 每位考生应同时领到试卷与答题纸两份材料, 所有解答必须写在答题纸上规定位置, 写在试卷上或答题纸上非规定位置一律无效; 2.答卷前,考生务必将学校,姓名,学号等相关信息在答题纸上填写清楚; 3.本试卷共 23 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 一,填空题(本大题满分 56 分,共 14 小题,每小题满分 4 分)2 1.已知集合 A = {( x, y ) | y = x 2 x},B = {( x, y ) | y = 0}, 则A ∩ B =.2.函数 y = arccos( x 2 1) 的定义域为3.函数 y = ( ). . . . . . .1 8x+2的值域是4.函数 f ( x ) = sin x + cos x 的单调减区间为5.不等式 (| x | + x )(sin x 2) < 0 的解集为6.在等差数列 {a n }中, a5 = 3, a 6 = 2, 则a 4 + a 5 + + a10 =7.若方程 x 2 2 x + lg(2a 2 a ) = 0 有一个正根和一个负根,则实数 a 的取值范围是8.若二次函数 f ( x ) = ax 2 + 2 x + c ( x ∈R )的值域为[0,+∞ ) ,则 f (1) 的最小值为9. 已知定义在 R 上的函数 f (x ) , 都有f ( x + 2) = f ( x ) 成立, a n == f (n) , 设则数列 {a n } 中值不同的项最多有项.10.设函数 f (x ) 在 R 上有定义,下列函数:① y = | f ( x) | ;② y =| x | f ( x 2 ) ;③ y = f ( x ); ④ y = f ( x ) + f ( x ) 中偶函数的有 11. S n = 设 (写出所有正确的序号)1 1 1 1 3 + + ++ (n ∈ N * ), 且S n+1 S n +2 = , 则 n 的值是 2 6 12 n(n + 1) 4.12.用数学归纳法证明: ( n + 1) + ( n + 2)+ + ( n + n) = 当 n = k + 1 时等式左边与 n=k 时的等式左边的差等于 13.已知 a n = 2n+3n(3n + 1) (n ∈ N * ) 的第二步中, 2. ., bn = 2 n 1 , 则满足a n bn + 1 > a n + bn 的正整数 n 的值为第 1 页共 9 页14.从数列 {1 }(n ∈ N * ) 中可以找出无限项构成一个新的等比数列 {bn } ,使得该新数列的 n2 1 . 各项和为 ,则此数列 {bn } 的通项公式为 7( )二,选择题(本大题满分 16 分,共 4 小题,每小题满分 4 分) 15. "a=1"是"函数 f ( x) =| x a | 在区间( ∞,1] 上为减函数"的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件16. RtPOB中, ∠PBO = 90°, 以 O 为圆心,OB 为半径作圆弧交 OP 于点 A,若弧 AB 等分 POB 的面积,且∠AOB = α弧度,则 A. tan α = α B. tan α = 2α C. sin α = 2 cos αD. 2 sin α = cos α ( )17. 设函数 f ( x ) = ( x 2 10 x + c1 )( x2 10 x + c 2 )( x 2 10 x + c3 )( x 2 10 x +c 4 )( x 2 10 x + c5 ) 设集合 M = {x | f ( x ) = 0} = {x1 , x 2 , x9 } N , 设c1 ≥ c 2 ≥c3 ≥ c 4 ≥ c 5 , c1 c 5 则*为 A.20( B.18 C.16 D.14a)18.设实数 a1 , a 2 , a 3 , a 4 是一个等差数列,且满足 1 < a1 < 3, a3 = 4 .若定义bn = 2 n ,给出下列命题: (1)b1 , b2 , b3 , b4 是一个等差数列: (2)b1 < b2 ;(3)b2 > 4 ;(4)b4 > 32 ; (5) b2 : b4 = 256. 其中真命题的个数为 A.2 B.3 C.4 D.5 ( )三,解答题(本大题满分 78 分,共 5 小题) 19. (本题满分 14 分) 在 ABC 中 , a , b , c 分别是三个内角 A , B , C 所对边的长 , 已知tan B = 3 , cos C =1 , 3b = 3 6 .求边 AB 的长与 ABC 的面积.第 2 页共 9 页20. (本题满分 14 分) 某农村在 2003 年底共有人口1500 人,全年农业生产总值为3000 万元,从 2004 年起计划 10 年内该要的总产值每年增加 50 万元,人口每年净增 a 人.设从 2004 年起的第 x 年年底(2004 年为第一年, x ∈ N )该村人均产值为 y 万元.*(1)写出 y 与 x 之间的函数关系式; (2) 为使该村的人均产值年年都有增长, 那么该村每年人口的净增量不能超过多少人?[来源:学*科*网 Z*X*X*K][来源:学科网 ZXXK]21. (本题满分 16 分) 已知定义在区间[ π , 时, f ( x ) = sin x. (1)作出 y = f ( x ) 的图像; (2)求 y = f ( x ) 的解析式; (3)当 a ∈ [ 1,1] 时,讨论关于 x 的方程 f ( x ) = a 的解的个数.3πππ ] 上的函数 y = f (x) 图像关于直线 x = 对称, x ≥当 2 4 4第 3 页共 9 页[来源:]22. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) = a2 x + a 2 2 ( x ∈ R, x ≠ 0) ,其中 a 为常数,且 a < 0. 2x 1(1)若 f (x ) 是奇函数,求 a 的取值集合A; (2)当 a=-1 时, 求 f (x ) 的反函数; (3)对于问题(1)中的 A,当 a ∈ {a | a < 0, a A} 时,不等式x 2 10 x + 9 < a ( x 4) 恒成立,求 x 的取值范围.第 4 页共 9 页23. (本题满分 18 分) 已知函数 f ( x) = kx + m, 当x ∈ [ a1 , b1 ] 时,f (x ) 的值域为 [ a 2 , b2 ] , x ∈ [ a 2 , b2 ] 当时, f (x ) 的值域为 [ a 3 , b3 ] ,依次类推,一般地,当 x ∈ [ a n 1 , bn 1 ] 时, f (x) 的值域为[a n , bn ] ,其中 k,m 为常数,且 a1 = 0, b1 = 1.(1)若 k=1,求数列 {a n }, {bn } 的通项公式; (2)项 m=2,问是否存在常数 k > 0 ,使得数列 {bn } 满足 lim bn = 4 ? 若存在,求 k 的 n →∞值;若不存在,请说明理由; (3)若 k < 0 ,设数列 {a n }, {bn } 的前 n 项和分别为Sn,Tn,求T2010 S 2010 .[来源:学科网][来源:学+科+网]第 5 页共 9 页[来源:学科网][来源:学科网 ZXXK]参考答案一,填空题(本大题满分 56 分,共 14 小题,每小题满分 4 分) 1.{(0,0) (2,0)} 4. [ 2kπ+ 6.-49 8.4 12.3k+2` 2. [ 2 , 2 ] 3. (0,+∞)π4,2kπ +5π ](k ∈ Z ) 5. (0,+∞) 4 1 1 7. ( ,0) ∪ ( ,1) 2 29.4 13.2 10.②④ 14. bn = ( ) 11.5[来源:学科网 ZXXK]1 8n二,选择题(本大题满分 16 分,共 4 小题,每小题满分 4 分) 15.A 16.B 17.C 三,解答题(本大题满分 78 分,共 5 小题) 19. (本题满分14 分) 解:在 ABC中,因为 tan B =18.C1 3 3 , cos C = , 则 sin B = , 3 2…………2 分sin C = 1 cos 2 C =2 2 3由正弦定理c b c 3 6 = 得 = sin C sin B 2 2 3 3 2…………5 分解得 c=8,即 AB=8.…………7 分又 A+B+C=π,则 sin A = sin(C + B ) = sin C cos B + cos C sin B ……9 分第 6 页共 9 页因 cos B =1 2 2+ 3 , 则 sin A = , 2 6…………11 分S ABC =1 bcs sin A = 62 + 8 3. 2…………14 分综上,AB=8, S ABC = 6 2 + 8 3. 20. (本题满分 14 分) 解: (1)由题意得,第 x 年总产值为(3000+50x)万元人口数为 1500+ax, 则 y = f ( x) = ............1 分 (2)分…………5 分…………6 分3000 + 50 x , 1500 + axx ∈ [1,10], x ∈ N *(2)方法一,由题意得,任取 x1 , x 2 ∈[1,10], x1 < x 2 ,f ( x 2 ) f ( x1 ) =恒成立,3000 + 50 x 2 3000 + 50 x1 ( x 2 x1 )(50 × 1500 3000a) = >0 1500 + ax 2 1500 + ax1 (1500 + ax 2 )(1500 + ax1 )…………11 分…………13 分…………14 分[来源:学科网][来源:]则 50 × 1500 > 3000a, 得a < 25, 因 a是自然数,则该每年人口的净增量不能超过 24 分.方法二,由题意得, f ( x + 1) f ( x) > 0, x ∈ [1,9], x ∈ N * 恒成立……8 分又 f ( x + 1) f ( x) > 03000 + 50( x + 1) 3000 + 50 x > ,…………11 分 1500 + a ( x + 1) `500 + ax…………13 分…………14 分所以 3000a < 1500 × 50得a < 25, 因 a 是自然数,则该每年人口的净增量不能超过 24 分. 21. (本题满分 16 分) 解: (1) y = f (x ) 的图像如图所示.…………4 分(2)任取 x ∈ [ π ,π4], 则ππ 3ππ x ∈ [ , ],因函数y = f ( x) 图像关于直线 x = 对称, 2 4 2 4第 7 页共 9 页则 f ( x) = f ( 又当 x ≥π2x)…………6 分π4时, f ( x) = sin x, 则f ( x) = f (π2x) = sin(π2x) = cos x ……8 分π cos x, x ∈π , 4 即 f ( x) = sin x, x ∈ [ π , 3π ] 4 2(3)当 a ∈ ( 1,…………10 分2 )时, 方程 4 解. 2…………12 分当a =2 时, 方程3 解. 2…………14 分当a ∈2 ,1 ∪ {1}时,. 方程 2 解. 2…………16 分22. (本题满分 16 分) 解: )由必要条件 f ( 1) + f (1) = 0得a 2 a 2 = 0, a < 0, (1 所以 a=-1, 下面证充分性,当 a=-1 时, f ( x) = 任取 x ≠ 0, x ∈ R , …………2 分1+ 2x , 1 2xf ( x) + f ( x) =由 A={-1}.1 + 2x 1 +2 x 2 x + 1 + = = 0 恒成立, 1 2x 1 2 x 2 x 1…………4 分…………5 分(2)当 a= -1 时, f ( x ) =1+ 2x , 其值域是(∞,1) ∪(1,+∞) …………7 分 1 2x得 x = log 2y 1 x 1 , 互换x, y得f 1 ( x) = log 2 , x ∈ (∞,1) ∪ (1,+∞) ……10 分 y +1 x +1 (3) 原问题转化为 g ( a ) = ( x 4) a ( x 2 10 x + 9) > 0, a ∈ {a | a < 0, a ≠ 1, a ≠ 4} 恒成立,则x 4 < 0 g ( 0) ≥ 0…………12 分或x 4 = 0 g ( 0) > 0…………14 分第 8 页共 9 页则 x 的取值范围为[,4]. 23. (本大题满分18 分)…………16 分解: (1)因为 f ( x) = x + m, 当x ∈ [ a n 1 , bn 1 ]时, f ( x)为单调增函数, 所以其值域为 [ a n 1 + m, bn 1 + m] 于是 a n = a n 1 + m, bn = bn 1 + m( n ∈ N , n ≥ 2) *............2 分............4 分 (6)分又 a1 = 0, b1 = 1, 所以a n = ( n 1) m, bn = 1 + ( n 1) m.(2)因为 f ( x ) = x + mf ( x) = kx + m( k > 0), 当x ∈ [ a n 1 , bn 1 ]时, f ( x )为单调增函数所以 f ( x )的值域为[ka n 1 + m, kbn 1 + m],因m = 2, 则bn = kbn 1 + 2( n ≥ 2) ……8 分法一:假设存在常数 k > 0 ,使得数列 {bn }满足 lim bn = 4, 则 lim bn = k lim bn 1 + 2 , n →∞ n →∞ n →∞得 4 = 4k + 2, 则k =1 符合. 2n →∞…………12 分法二:假设存在常数 k>0,使得数列 {bn } 满足 lim bn = 4. 当 k=1 不符合. ……9 分当k ≠ 1时, bn = kbn 1 + 2( n ≥ 2) bn + 则 bn = (1 +2 2 = k (bn1 + )(n ≥ 2) , k 1 k 1…………11 分…………12 分2 2 )k n 1 , k 1 k 1 2 1 当 0 < k < 1时, lim bn = = 4, 得k = 符合. n→∞ 1 k 2 (3)因为 k < 0, 当x ∈ [ a n 1 , bn 1 ]时, f ( x )为单调减函数, 所以 f (x ) 的值域为 [ kbn 1 + m, ka n 1 + m] 于是 a n = kbn 1 + m, bn = ka n 1 + m( n ∈ N , n ≥ 2) *[来源:学.科.网]…………14 分则 bn a n = k (bn 1 a n 1 ) 又 b1 a1 = 1 则有…………16 分[来源:Z|xx|]T2010 S 20102010, (k = 1) = 1 k 2010 1 + k ) , (k < 0, k ≠ 1)…………18 分第 9 页共 9 页1本文由chensong0808贡献doc文档可能在WAP端浏览体验不佳。

上海市上海中学高三综合练习（二）（数学）班级___________ 学号________ 姓名_______________ 成绩__________一、选择题：1. 复平面上有圆C ：|z|=2，已知1z 1z 11+-（z 1≠-1）是纯虚数，则复数z 1的对应点P （ ） A ．必在圆C 上 B ．必在圆C 内部 C ．必在圆C 外部 D ．不能确定2. 一给定函数y=f(x)的图象在下列图中，并且对任意a 1(0,1)，由关系式a n+1=f(a n )得到的数列{a n }满足a n+1>a n ,nN *，则该函数的图象是（ ）(A ） （B ） （C ） （D ）3.已知p ：方程x 2+ax+b=0有且仅有整数解，q ：a ，b 是整数，则p 是q 的 ( )A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件 C.充要条件 D 、既不充分又不必要条件4.有一个各条棱长均为α的正四棱锥,现用一张正方形的包装纸将其完全包住,不能裁剪,可以折叠,那么包装纸的最小边长为( ) A.(1+3)a B. 231+a C. 226+a D. (2+6)a二、填空题： 5、方程112x 22=++-a y a 表示椭圆,则a ∈__________ 6.已知( a x －x 2 )n 的展开式中二项式系数之和为512，且展开式中x 3的系数为9，常数a 的值为__________。

7． 下列函数中周期是2的函数是_________________①．1cos 22-=x y π ②．x x y ππcos sin += ③．)32tan(ππ+=x y ④ ．sin cos y x x ππ=8.函数)01(31<≤-=+x y x 的反函数是______________9. 已知集合A = {}x |－2<x <5 ，B = {}x |p + 1<x <2p －1 ，A ∪B = A ，则实数p 的取值范围是____________。