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中考数学专题复习 相似的基本概念与黄金分割

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变式：已知
ab ac bc k ，则 k 的值是__________． c b a
4.已知
a+b+c a+b+d a+c+d b+c+d = = = =m ,当 a+b+c+d=0,则 m 的值是_________. d c b a
b c a c a b a b c (a b c 0) ，且 m 5 n 2 6n 9 ，则 a b c k ( m n) 自变量为 x 的反比例函数 y 的图像分布在第__________象限． x
2. 已知数 3、6，请再写出一个数，使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项，这个 数是_________.
3.线段 m，n，p 的第四比例项是______.
4.下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A．4cm、2cm、1cm、3cm B．1cm、2cm、3cm、5cm C．25cm、35cm、45cm、55cm D．1cm、把（ AC BC ）去掉答案又是如何?请思考? 1.请用尺规作图作出线段 AB 的黄金分割点,保留作图痕迹.
A
B
）
2.已知如图，点 C 是线段 AB 的黄金分割点（AC＞BC） ，则下列结论中正确的是（
A. AB2 =AC 2 BC 2
B.BC 2 AC BA
相似的基本概念与黄金分割
一、比例中项概念: 数的比例中项与长度的比列中项区别
:1) 若 线 段 a 是 3 和 9 的 比 例 中 项 ， 则 a 的 值 为 2) 若 x 是 3 和 6 的 比 例 中 项 ， 则 x 的 值 为 ______. 1. 若 a＝8cm，b＝6cm，c＝4cm，则 a、b、c 的第四比例项 d＝ _________ cm； a、c 的 比例中项 x＝_________ cm .
5．已知 k
a+b+c-d a+b-c+d a-b+c+d -a+b+c+d = = = 则 d c b a （a+b+c）（b+c+d)（a+b+d）（a+c+d） 的值 abcd
6.已知 _________. 7.好题分享:已知三个数 x，y，z 满足 ， ， ，则
概念:黄金分割 若点 P 分线段 AB 得到较长线段是较短线段和整条线段的比例中项，则称点 P 是线段 AB 的黄金分割点；
AB 5 1 ≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形， BC 2
黄金矩形给人以美感． 在黄金矩形 ABCD 内作正方形 CDEF， 得到一个小矩形 ABFE （如图） ， 请问矩形 ABFE 是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性．
8.以长为 2 的线段 AB 为边作正方形 ABCD，取 AB 的中点 P，连结 PD，在 BA 的延长线上 取点 F，使 PF=PD，以 AF 为边作正方形 AMEF，点 M 在 AD 上，如图， （1）求 AM、DM 的长.（2）求证： .
5．如果 a：b=3：2，且 b 是 a、c 的比例中项，则 b：c=______.
．
二、设”K”法求值（等比与合比性质的综合运用） x y z 2x 3y 【例题区】 ．若 0 ，则 =__________． z 2 3 4
1.若 z= . ， 则 m:n= ； 若 x:y:z=2:4:7， 且 3x-y+2z=32， 则 x= ， y= ，
5 1 5 1 较长线段 较短线段 叫做黄金比值。 , 2 2 整条线段 较长线段
例题： 已知线段 AB 10cm ， 点 C 是线段 AB 的黄金分割点 （ AC BC ） ， 则 AC 的长为 （ A． (5 5 10)cm B． (15 5 5 )cm C． (5 5 5)cm ） ．
的三角形是黄金三角形） ，若
△ABC、△BDC、△DEC 都是黄金三角形，已知 AB=4，则 DE=
5．如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片 ABCD ，先折出 BC 的中点 E ，再折出 线段 AE ， 然后通过折叠使 EB 落到线段 EA 上， 折出点 B 的新位置 B ， 因而 EB EB ． 类 似地，在 AB 上折出点 B 使 AB AB ．这是 B 就是 AB 的黄金分割点．请你证明这个结 论．
6.定义：如图 1，点 C 在线段 AB 上，若满足 AC2=BC•AB，则称点 C 为线段 AB 的黄金分 割点． 如图 2，△ABC 中，AB=AC=1，∠A=36° ，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D． （1）求证：点 D 是线段 AC 的黄金分割点； （2）求出线段 AD 的长．
7.如果一个矩形 ABCD（AB＜BC）中，
C.
5 1 BC 2 AC
3．如图，已知 P 是线段 AB 的黄金分割点，且 PA PB ，若 S1 表示 PA 为一边的正方形的 面积， S 2 表示长是 AB ，宽是 PB 的矩形的面积，则 S1 _____ S 2 ． （填“＞”“=”或“＜”）
4.如图，△ABC 顶角是 36° 的等腰三角形（底与腰的比为
（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？
2．已知 a : b : c 2 : 3 : 4 ，且 2a 3b 2c 10 ，求 a, b, c 的值．
3．已知
a b c k ，则直线 y kx 2k 一定经过（ bc ac ab
B．第二、三象限 C．第三、四象限
） ． D．第一、四象限
A．第一、二象限

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九年级数学上册 第四章 图形的相似知识归纳 北师大版

九年级数学上册 第四章 图形的相似知识归纳 北师大版

图形的相似1． 比例线段的有关概念==在比例式::中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a c(a b c d )a d b c a c b db 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b =c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项． 2． 比例性质①基本性质：a b cdad bc =⇔= ②更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()()⎧=⎪⎪⎪=⎪=⇒⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩交换内项交换外项同时交换内外项同时交换比的前项和后项a bc d d c a cb a d b b dc a b da c②合比性质：±±a b c d a b b c d d =⇒= ③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n ab===+++⇒++++++=()03． 黄金分割在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果ACBCAB AC =，即AC 2=AB ×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．其中AB AC 215-=≈0.618AB ． 4． 平行线分线段成比例定理①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3．则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF=== ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 5． 相似三角形的判定①两角对应相等，两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； ③三边对应成比例，两三角形相似． 6． 相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等,对应边成比例；②相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；③相似三角形周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方． 7． 六种相似基本模型：CABD CABDE E D BACDE ∥BC∠B ∠AED∠B ∠ACDADBCDOBACO DCBAX 型母子型AC ∥BD∠B ∠CAD 是Rt △ABC 斜边上的高8． 射影定理由_____________，得______________，即_______________； 由_____________，得______________，即_______________； 由_____________，得______________，即_______________．9． 中位线1) 三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段． 三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半． 三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的线段的长是对应中线长的31． 2) 梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段．梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底边和的一半． 10. 位似①如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比． ②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．AD B C。

几何中的相似三角形与黄金分割

几何中的相似三角形与黄金分割

几何中的相似三角形与黄金分割在几何中，相似三角形与黄金分割是两个重要的概念。

本文将详细介绍这两个概念，并探讨它们之间的关系。

一、相似三角形的定义与性质相似三角形是指具有相同形状但大小可以不同的三角形。

具体而言，如果两个三角形的对应角度相等，那么它们是相似三角形。

相似三角形有以下性质：1. 对应边成比例：相似三角形中，对应边的长度之比相等。

即若有三角形ABC与DEF相似，则有AB/DE=BC/EF=AC/DF。

2. 对应角度相等：相似三角形中，对应角度相等。

即若有三角形ABC与DEF相似，则∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。

基于这些性质，我们可以利用相似三角形解决各种几何问题，如计算未知边长、求解角度等。

二、黄金分割的定义与特点黄金分割是指将一条线段分割为两部分，使整条线段与较短部分的比例等于较短部分与较长部分的比例。

这一比例值为约1.618，常用希腊字母φ（phi）表示。

黄金分割具有以下几个特点：1. 黄金比例的几何构造：给定线段AB，我们可以通过黄金分割来确定一点C，使得AC/AB=AB/BC=φ。

具体构造方法有多种，较为常用的是作一条垂直于AB的线段，然后将线段分割为AB和BC两部分，使得AB/BC=φ。

2. 黄金矩形：若给定一个长宽比为φ的矩形，我们称之为黄金矩形。

黄金矩形具有以下特点：将其较短边的长度记为a，较长边的长度记为b，则有a/b=b/(a+b)=φ。

黄金矩形在艺术与建筑中应用广泛，被认为具有较好的审美效果。

相似三角形与黄金分割之间存在紧密的关系。

下面将探讨这两个概念之间的联系。

三、相似三角形与黄金分割的关系在一些几何问题中，相似三角形的性质可以与黄金分割的特点相结合，从而得到有趣的结果。

1. 证明黄金比例性质：可以利用相似三角形的性质来证明黄金分割的比例为φ。

具体而言，我们可以考虑一个黄金矩形，然后构造相似三角形，并利用对应边成比例的性质进行推导。

2. 构造黄金比例的线段：通过相似三角形的几何构造，我们可以构造出两条线段，它们的长度之比为黄金分割的比例φ。

北师大版九年级数学上册第四章 图形的相似 黄金分割

北师大版九年级数学上册第四章 图形的相似 黄金分割


大自然与黄金分割
图中主叶脉与叶柄和主叶脉的 长度之和比约为 0.618.
蝴蝶身长与双翅展开后 的长度之比，普通树叶的 宽与长之比也接近 0.618.
人体肚脐不但是黄金点美化身型，有时
还是医疗效果黄金点，许多民间名医在肚
脐上贴药治好了某些疾病. 人体最感舒适的
人
温度是 23℃ (体温)，也是正常人体温(37℃)
离地面的高度 h = 3×0.618 = 1.854 m
4.如图所示，乐器上的一根弦 AB = 80 cm，两个端点 A、B 固定在乐器板面上，支撑点 C 是靠近点 B 的黄 金分割点，支撑点 D 是靠近点 A 的黄金分割点，则 AC =__________cm，DC =___________cm.
都接近于0.618.
东方明珠塔，塔高 468 米. 设计师在 263 米处设计了一 个球体，使平直单调的塔身 变得丰富多彩，非常协调、 美观.
当堂小结
黄金 分割
定义
点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和BC，
如果
AC AB
BC AC
，那么称线段
AB
被点
C
黄金分割.点 C 叫做线段 AB 的黄金分割
2
D
②连接 AD，在 AD 上截取 DE = DB.
E
③在 AB 上截取 AC = AE.
A
CB
思考：点 C 是线段 AB 的黄金分割点吗?
令BD = 1 ，则AD = 2
12
1 2
2
=
5 ，AC = AE = 2
5 -1 22
= 5 -1，BC = 1- AC = 1- 5 -1 = 3 - 5 ；
B．S1＜S2
C．S1 = S2
中考数学专题复习《相似(含位似)》课件

中考数学专题复习《相似(含位似)》课件


知识点3：相似三角形
概 对应角相等，对应边成比例的三角形叫作相似三角形.相似三角形对应边的比叫 念 作相似比.
1.相似三角形的对应角相等，对应边成比例； 性 2.相似三角形的对应高线的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 质
.
13..平相行似于三三角角形形的一周边长的比直等线于和相其似他比两，边面相积交比，等所于构相成似的比三的角平形方与. 原三角形相似； 2.两组角对应相等的两个三角形相似； 判 3.两边对应成比例且两边夹角相等的两个三角形相似； 定 4.三边对应成比例的两个三角形相似； 5.两直角三角形满足一组锐角相等或两直角边对应成比例或
知识点5：图形的位似
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点， 概念 对应边互相平行，那么这样的图形叫作位似图形，这个点叫做位
似中心，此时的相似比又称为位似比.
1.位似图形任意一对对应点到位似中心的距离比等于位似比； 2.位似图形任意一组对应边都互相平行(或在一条直线上)； 性质 3.在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，相似比为k，那 么位似图形上的对应点的坐标的比等于k或－k.
知识点1：比例线段及性质
比例 线段
比例 Байду номын сангаас项
比例 的性
质
黄金分割： 概念 【温馨提示】一条线段上有两个黄金分割点
知识点2：平行线分线段成比例
图示
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，简称平 基本
行线分线段成比例. 事实
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得 推论 的对应线段成比例.
作图步骤
(1)确定位似中心; (2)确定原图形中各顶点关于位似中心的对应点; (3)描出新图形.