2020中考复习--黄金分割专题训练(一)(有答案)

2020中考复习--黄金分割专题训练（一）一、选择题1.若P是线段AB的黄金分割点(PA>PB)，设AB=1，则PA的长约为()A. 0.191B. 0.382C. 0.5D.0.6182.上海东方明珠电视塔高468m.其上球体位于塔身的黄金分割点，那么它到塔底部的距离大约是()A. 289.2mB. 178.8mC. 110.4mD. 468m3.如果把一条线段分为两部分，使其中较长的一段与整条线段的长度比是黄金比，那么较短一段与较长一段的长度比也是黄金比．由此，假设整条线段长为1，较长的一段为x，可以列出的方程为()A. 1−xx =x1B. 1−x1=1xC. x1−x=1−x1D. 1−xx=x√54.已知点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，AB=4，则线段AC的长是()A. 2√5−2B. 6−2√5C. √5−1D. 3−√55.一条线段的黄金分割点有()个A. 1B. 2C. 3D. 无数个6.在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连结BE，延长DA至点F，使得EF=BE，以AF为边作正方形AFGH，则H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形BCIH的面积为S2，则S1与S2的大小关系是()A. S1>S2B. S1<S2C. S1=S2D. 不能确定7.已知点C把线段AB分成两条线段AC、BC，且AC>BC，下列说法错误的是()A. 如果ACAB =BCAC，那么线段AB被点C黄金分割B. 如果AC2=AB⋅BC，那么线段AB被点C黄金分割1第2页，共15页 C. 如果线段AB 被点C 黄金分割，那么BC 与AB 的比叫做黄金比 D. 0.618是黄金比的近似值8. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =108°，AD 、AE 将∠BAC 三等分交边BC 于点D ，点E ，则下列结论中错误的是( )A. 点D 是线段BC 的黄金分割点B. 点E 是线段BC 的黄金分割点C. 点E 是线段CD 的黄金分割点D. EDBE =√5−12二、填空题9. 据有关测定，当气温处于人体正常体温(37℃)的黄金比值时，人体感到最舒适，则这个气温约为_________℃(结果保留整数)．10. 如果线段AB =10cm ，P 是线段AB 的黄金分割点，那么线段BP =________cm ． 11. 如图是一种贝壳的俯视图，点C 分线段AB 近似于黄金分割(BC <AC).已知AB =4 cm ，则BC 的长约为________cm.(结果精确到0.1)12. 在自然界中，蝴蝶的身长与双翅展开后的长度的比接近于0.618.若双翅展开后的长度约为5.62 cm ，则其身长约为_______cm(保留两位小数)13. 美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女模特身高165cm ，下半身长x(cm)与身高l(cm)的比值是0.60.为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为____．14. 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比.已知这本书的长为20 cm ，则宽约为 ________ (精确到1 cm)．15. 已知点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，若P 点为线段AB 上的任意一点，则P 点出现在线段AC 上的概率为________． 三、解答题16.拥有一个完美的身材是很多人的梦想，世界著名的雕像“维纳斯”就被认为是最美的身材。

初中数学黄金分割基础训练含答案一、选择题1．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（）A．12.36cm B．13.6cm C．32.36cm D．7.64cm2．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm3．如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，那么称线段AB被点C 黄金分割，AC与AB的比叫做黄金比，其比值是（）A．B．C．D．4．为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造一座高2m的雷锋人体雕像，向全体师生征集设计方案．小兵同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中．如图是小兵同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案，其中雷锋人体雕像下部的设计高度（精确到0.01m，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）是（）A．0.62m B．0.76m C．1.24m D．1.62m5．如果线段上一点P把线段分割为两条线段P A，PB，当P A2＝PB•AB，即P A≈0.618AB时，则称点P是线段AB的黄金分割点，现已知线段AB＝10，点P是线段AB的黄金分割点，如图所示，那么线段PB的长约为（）A．6.18B．0.382C．0.618D．3.82二、填空题6．如图，△ABC顶角是36°的等腰三角形（底与腰的比为的三角形是黄金三角形），若△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，已知AB＝4，则DE＝_____．7．如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割．已知AB＝10cm，则AC的长约为_____cm（结果精确到0.1cm）．8．黄金分割比是＝＝0.61803398…，将这个分割比用四舍五入法精确到0.001的近似数是_____．9．校团委举办“五•四手抄报比赛”．手抄报规格统一设计成：长是0.8米的黄金矩形（黄金矩形的长与宽的比是1.6：1），则宽为_____米．10．如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点（即AC是AB与BC的比例中项），支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则AC＝_____cm，DC＝_____cm．11．如图，已知线段AB，点C在AB上，且有，则的数值为_____；若AB的长度与中央电视台演播厅舞台的宽度一样长，那么节目主持人应站在_____位置最好．三、解答题12．一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人好看．如图，是一个参加空姐选拔的选手的身高情况，那么她应穿多高的鞋子才能好看？（精确到1cm）参考数据：黄金分割比为，＝2.236．13．宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感．现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：第一步：作一个正方形ABCD；第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；第四步：过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F．请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形．14．宽与长之比为：1的矩形叫黄金矩形，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感，如图，如果在一个黄金矩形里画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的结论．15．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BOC＝108°，过点C作直线CD分别交直线AB和⊙O于点D、E，连接OE，DE＝AB，OD＝2．（1）求∠CDB的度数；（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金分割比．①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；②求弦CE的长；③在直线AB或CD上是否存在点P（点C、D除外），使△POE是黄金三角形？若存在，画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．16．若一个矩形的短边与长边的比值为（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形．（1）操作：请你在如图所示的黄金矩形ABCD（AB＞AD）中，以短边AD为一边作正方形AEFD；（2）探究：在（1）中的四边形EBCF是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由；（3）归纳：通过上述操作及探究，请概括出具有一般性的结论（不需要证明）．17．如图，已知△ABC中，D是AC边上一点，∠A＝36°，∠C＝72°，∠ADB＝108°．求证：（1）AD＝BD＝BC；（2）点D是线段AC的黄金分割点．初中数学黄金分割基础训练含答案参考答案与试题解析选择题1．解：方法1：设书的宽为x，则有（20+x）：20＝20：x，解得x＝12.36cm．方法2：书的宽为20×0.618＝12.36cm．故选：A．2．解：根据已知条件得下半身长是165×0.60＝99cm，设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：，解得：y≈8cm．故选：C．3．解：设AB＝1，AC＝x，根据已知条件中的比例式得，则x2＝1﹣x，x2﹣1+x＝0，x＝（负值舍去）．则比值是．故选：A．4．解：设雷锋人体雕像下部的设计高度为xm，那么雕像上部的高度为（2﹣x）m．依题意，得，解得x1＝﹣1+≈1.24，x2＝﹣1﹣（不合题意，舍去）．经检验，x＝﹣1+是原方程的根．故选：C．5．解：根据题意得：AP≈0.618×10＝6.18，则PB＝AB﹣AP＝10﹣6.18＝3.82．故选：D．填空题6．解：根据题意可知，BC＝AB，∵△ABC顶角是36°的等腰三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠C＝72°，又∵△BDC也是黄金三角形，∴∠CBD＝36°，BC＝BD，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝36°＝∠A，∴BD＝AD，同理可证DE＝DC，∴DE＝DC＝AC﹣AD＝AB﹣BC＝AB﹣AB＝6﹣2．故答案为：6﹣2．7．解：由题意知AC：AB＝BC：AC，∴AC：AB≈0.618，∴AC＝0.618×10cm≈6.2（结果精确到0.1cm）故答案为：6.2．8．解：0.61803398在四舍五入后，精确到0.001的近似值为0.618．9．解：设宽为x米，则，解得：x＝0.5．故本题答案为：0.5．10．解：由题意得：则AC＝BD＝AB＝80×＝40﹣40；AD＝AB﹣BD＝80﹣（40﹣40）＝120﹣40；DC＝AB﹣2AD＝80﹣160．故答案为：40﹣40，80﹣160．11．解：设AC＝x，则BC＝AB﹣x，∴x：AB＝（AB﹣x）：x，解得：AC＝x＝，∴的数值为，∴点C是线段AB的黄金分割点，故主持人应站在点C位置最好．故答案为：；C．解答题12．解：设应穿xcm高的鞋子，根据题意，得．解得x＝10cm．13．证明：在正方形ABCD中，取AB＝2a，∵N为BC的中点，∴NC＝BC＝a．在Rt△DNC中，．又∵NE＝ND，∴CE＝NE﹣NC＝（﹣1）a．∴．故矩形DCEF为黄金矩形．14．解：留下的矩形CDFE是黄金矩形．证明：∵四边形ABEF是正方形，∴AB＝DC＝AF，又∵，∴，即点F是线段AD的黄金分割点，∴，即，∴矩形CDFE是黄金矩形．15．解：（1）∵AB是⊙O的直径，DE＝AB，∴OA＝OC＝OE＝DE，则∠EOD＝∠CDB，∠OCE＝∠OEC，设∠CDB＝x，则∠EOD＝x，∠OCE＝∠OEC＝2x，又∠BOC＝108°，∴∠CDB+∠OCD＝108°，∴x+2x＝108，x＝36°．∴∠CDB＝36°．（2）①有三个：△DOE，△COE，△COD．∵OE＝DE，∠CDB＝36°，∴△DOE是黄金三角形；∵OC＝OE，∠COE＝180°﹣∠OCE﹣∠OEC＝36°．∴△COE是黄金三角形；∵∠COB＝108°，∴∠COD＝72°；又∠OCD＝2x＝72°，∴∠OCD＝∠COD．∴OD＝CD，∴△COD是黄金三角形；②∵△COD是黄金三角形，∴，∵OD＝2，∴OC＝﹣1，∵CD＝OD＝2，DE＝OC＝﹣1，∴CE＝CD﹣DE＝2﹣（﹣1）＝3﹣；③存在，有三个符合条件的点P1、P2、P3，如图所示，ⅰ以OE为底边的黄金三角形：作OE的垂直平分线分别交直线AB、CD得到点P1、P2；ⅱ以OE为腰的黄金三角形：点P3与点A重合．16．解：（1）如图．（2）探究：四边形EBCF是矩形，而且是黄金矩形．∵四边形AEFD是正方形，∴∠AEF＝90°∴∠BEF＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°∴∠BEF＝∠B＝∠C＝90°，∴四边形EBCF是矩形．【方法1】设∴∴矩形EBCF是黄金矩形．【方法2】设，∴∴矩形EBCF是黄金矩形．（3）归纳：在黄金矩形内以短边为边作一个正方形后，所得到的另外一个四边形是矩形，而且是黄金矩形．17．证明：（1）∵∠A＝36°，∠C＝72°，∴∠ABC＝180°﹣36°﹣72°＝72°，∵∠ADB＝108°，∴∠ABD＝180°﹣36°﹣108°＝36°，∴△ADB是等腰三角形，∵∠BDC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣108°＝72°，∴△BDC是等腰三角形，∴AD＝BD＝BC．（2）∵∠DBC＝∠A＝36°，∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC，∴BC：AC＝CD：BC，∴BC2＝AC•DC，∵BC＝AD，∴AD2＝AC•DC，∴点D是线段AC的黄金分割点．。

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！中考数学复习难题训练：黄金分割专题训练一、选择题1.若P是线段AB的黄金分割点(PA>PB)，设AB=1，则PA的长约为()A. 0.191B. 0.382C. 0.5D.0.6182.上海东方明珠电视塔高468m.其上球体位于塔身的黄金分割点，那么它到塔底部的距离大约是()A. 289.2mB. 178.8mC. 110.4mD. 468m3.如果把一条线段分为两部分，使其中较长的一段与整条线段的长度比是黄金比，那么较短一段与较长一段的长度比也是黄金比．由此，假设整条线段长为1，较长的一段为x，可以列出的方程为()A. 1−xx =x1B. 1−x1=1xC. x1−x=1−x1D. 1−xx=x√54.已知点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，AB=4，则线段AC的长是()A. 2√5−2B. 6−2√5C. √5−1D. 3−√55.一条线段的黄金分割点有()个A. 1B. 2C. 3D. 无数个6.在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连结BE，延长DA至点F，使得EF=BE，以AF为边作正方形AFGH，则H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形BCIH的面积为S2，则S1与S2的大小关系是()A. S1>S2B. S1<S2C. S1=S2D. 不能确定7.已知点C把线段AB分成两条线段AC、BC，且AC>BC，下列说法错误的是()A. 如果ACAB =BCAC，那么线段AB被点C黄金分割B. 如果AC2=AB⋅BC，那么线段AB被点C黄金分割C. 如果线段AB被点C黄金分割，那么BC与AB的比叫做黄金比D. 0.618是黄金比的近似值8.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，AD、AE将∠BAC三等分交边BC于点D，点E，则下列结论中错误的是()A. 点D是线段BC的黄金分割点B. 点E是线段BC的黄金分割点C. 点E是线段CD的黄金分割点D. EDBE =√5−12二、填空题9.据有关测定，当气温处于人体正常体温(37℃)的黄金比值时，人体感到最舒适，则这个气温约为_________℃(结果保留整数)．10.如果线段AB=10cm，P是线段AB的黄金分割点，那么线段BP=________cm．11.如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割(BC<AC).已知AB=4cm，则BC的长约为________cm.(结果精确到0.1)12.在自然界中，蝴蝶的身长与双翅展开后的长度的比接近于0.618.若双翅展开后的长度约为5.62cm，则其身长约为_______cm(保留两位小数)13.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女模特身高165cm，下半身长x(cm)与身高l(cm)的比值是0.60.为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为____．14.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比.已知这本书的长为20cm，则宽约为________(精确到1cm)．15.已知点C为线段AB的黄金分割点，且AC>BC，若P点为线段AB上的任意一点，则P点出现在线段AC上的概率为________．三、解答题16.拥有一个完美的身材是很多人的梦想，世界著名的雕像“维纳斯”就被认为是最美的身材。

优异当先翱翔梦想第 4 课时黄金切割一、目标导航1．黄金切割定义 :点 C 把线段 AB 分红两条线段AC 和 BC，假如 AC:AB=BC:AC，那么称线段 AB 被点C 黄金切割．点 C 叫做线段 AB 的黄金切割点， AC 与 AB 的比叫做黄金比．AC 5 10.618 ．2．2AB二、基础过关1．若点 P 是 AB 的黄金切割点，则线段AP、 PB、 AB 知足关系式2．黄金矩形的宽与长的比大概为________（精准到0．001）．3．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金切割点处最自然得体，若舞台AB 长为 20m，试计算主持人应走到离 A 点起码 m 处？，假如他向 B 点再走m，也处在比较得体的地点．（结果精准到 0． 1m）三、能力提高4．有以下命题：①假如线段 d 是线段 a， b， c 的第四比率项，则有．a c；②假如点 C 是线段 AB b d的中点，那么AC 是 AB、 BC 的比率中项；③假如点 C 是线段 AB 的黄金切割点，且AC>BC，那么 AC 是 AB 与 BC 的比率中项；④假如点 C 是线段 AB 的黄金切割点， AC>BC ，且 AB=2，则 AC= 5－1．此中正确的判断有（）A． 1个B．2 个C．3 个D．4 个5．已知点M将线段AB黄金切割 ( AM＞BM) ，则以下各式中不正确的选项是 ( )A． AM∶ BM=AB∶ AM B．AM=5 1AB 2． = 51AB．≈0． 618ABC BMD AM2优异当先翱翔梦想6．已知 C 是线段AB 的黄金切割点(AC＞ BC），则AC∶BC = () A．( 5 －1)∶2B．（5+1）∶ 2C．（ 3－5）∶2D．（3+ 5 ）∶ 2 7．在长度为１的线段上找到两个黄金切割点Ｐ，Ｑ．则ＰＱ＝（）51C．5235A ．B．35 D ．2 28．已知线段 MN = 1 ，在 MN 上有一点 A，假如 AN =35．求证：点 A 是 MN 的黄金切割点．2四、聚沙成塔9．如图，以长为2 的线段 AB 为边作正方形 ABCD ，取 AB 的中点 P，连接 PD，在 BA 的延伸线上取点 F，使 PF=PD，以 AF 为边作正方形 AMEF ，点 M 在 AD 上．（1）求 AM 、DM 的长．（2）求证： AM2=AD ·DM ．（3）依据（ 2）的结论你能找出图中的黄金切割点吗？10．假如一个矩形( ＜)中，AB5 1ABCDAB BC≈0．618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形BC2给人以美感．在黄金矩形ABCD内作正方形 CDEF，获得一个小矩形ABFE(如图)，请问矩形ABFE是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性．优异当先翱翔梦想参照答案1． AP 2或 PB2；4． C；5． C；6． B；7． C；=BP·AB=AP·AB； 2． 0.618； 3． 7.6， 4.88 证得25 ；⑵略；⑶点M 是线段 AD 的黄金切割点；AM =AN·MN 即可； 9．⑴ AM = 5－ 1； DM =3 －10．经过计算可得AE 5 1，因此矩形 ABFE 是黄金矩形．AB2。

北师大版九年级数学上册第四章4.4.4黄金分割 同步测试题一、选择题1．已知点C 把线段AB 分成两条线段AC ，BC ，下列说法错误的是( )A ．如果AC AB ＝BCAC ，那么线段AB 被点C 黄金分割B ．如果AC 2＝AB ·BC ，那么线段AB 被点C 黄金分割C ．如果线段AB 被点C 黄金分割，那么AC 与AB 的比叫做黄金比D ．一条线段有两个黄金分割点2．已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，则下列各式中正确的是( )A ．AB 2＝AC ·BC B ．BC 2＝AC ·AB C ．AC 2＝BC ·ABD ．AC 2＝2AB ·BC3．已知AB ＝2 cm ，C 为AB 上的黄金分割点，且AC ＞BC ，则AC 的值为( )A ．(5－1)cmB ．0.618 cmC ．(3－5)cmD.3－52cm4．若点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，则下列说法正确的有( )①AB ＝5＋12AC ；②AC ＝3－52AB ；③AB ∶AC ＝AC ∶BC ；④AC ≈0.618AB. A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5.我们把宽与长的比值等于黄金比5－12的矩形称为黄金矩形．如图，在黄金矩形ABCD(AB ＞BC)的边AB 上取一点E ，使得BE ＝BC ，连接DE ，则AEAD等于( )A.22B.5－12C.3－52D.5＋12二、填空题6.已知线段AB，点P是它的黄金分割点，AP＞BP，设以AP为边的正方形的面积为S1，以PB，AB为边的矩形的面积为S1与S2的关系是S1＝S2．7．相邻两边长的比值是黄金分割数的矩形，叫做黄金矩形，从外形看，它最具美感．现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20 cm，那么相邻一条边的边长等于(105－10)cm.8．已知线段AB＝4 cm，C为AB的黄金分割点，则AC的长为(25－2)cm或(6－25)cm．9．宽与长的比是5－12(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：如图，作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连接EF；以点F为圆心，FD的长为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中是黄金矩形的是矩形DCGH．10．如图，△ABC是顶角为36°的等腰三角形，若△ABC，△BDC，△DEC都是黄金三角形(底与腰的比为5－12的三角形是黄金三角形)．已知AB＝4，则DE＝6－25．11．乐器上一根弦AB长80 cm，两个端点A，B固定在乐器板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则CD的长为(805－160)cm.9．如图，连接正五边形ABCDE的各条对角线围成一个新的五边形MNPQR.图中有很多顶角为36°的等腰三角形，我们把这种三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形的底与腰之比为5－1 2.若AB＝5－12，则MN＝5－2．三、解答题12．如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，点F在BC的延长线上，且EF＝DE，以CF为边作正方形CFGH，点H在CD边上．试说明点H是线段CD的黄金分割点．13.如图，以长为2 cm的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AFEM，点M落在AD上．(1)试求AM，DM的长；(2)点M是线段AD的黄金分割点吗？请说明理由．14．如图，在△ABC中，AC＝BC，在边AB上截取AD＝AC，连接CD，若点D恰好是线段AB 的一个黄金分割点，且有AD＞BD，求∠A的度数．15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E.若AE＝BC，则点E是线段AB的黄金分割点吗？说明你的理由．参考答案1-5、CCACB6、S1＝S2．7、(105－10)cm.8、(25－2)cm或(6－25)cm．9、矩形DCGH．10、6－25．11、5－2．12、解：∵点E是BC的中点，∴EC＝1.∴EF＝DE＝22＋12＝ 5. ∴CF＝5－1.∵四边形CFGH是正方形，∴CH＝CF＝5－1.∴CHCD＝5－12.∴点H是线段CD的黄金分割点．13、解：(1)在Rt△APD中，AP＝1 cm，AD＝2 cm，由勾股定理，得PD＝AD2＋AP2＝ 5 cm.∴AM＝AF＝PF－AP＝PD－AP＝(5－1)cm.∴DM＝AD－AM＝(3－5)cm.(2)点M是线段AD的黄金分割点，理由如下：∵AM2＝(5－1)2＝6－25，AD·DM＝2×(3－5)＝6－25，∴AM2＝AD·DM.∴点M是线段AD的黄金分割点．14、解：∵点D是线段AB的一个黄金分割点，且AD＞BD，∴AD2＝BD·AB.∵AD＝AC＝BC，∴BC2＝BD·AB，即BC∶BD＝AB∶BC.∵∠CBD＝∠ABC，∴△BCD∽△BAC.∴∠A＝∠BCD.设∠A＝x，则∠B＝x，∠BCD＝x，∴∠ADC＝∠BCD＋∠B＝2x.∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝2x.在△ABC中，x＋(2x＋x)＋x＝180°，解得x＝36°，∴∠A＝36°.15、解：点E是线段AB的黄金分割点．理由如下：连接EC.∵DE是AC的垂直平分线，∴EA＝EC.又∵AE＝BC，∴EC＝BC.∴∠BEC＝∠B.∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B.∴∠BEC＝∠ACB.又∵∠B＝∠B，∴△CEB∽△ACB.∴BEBC＝BCAB，即BC2＝BE·AB，又∵AE＝BC，∴AE2＝BE·AB.∴点E是线段AB的黄金分割点1、在最软入的时候，你会想起谁。

4.2 黄金分割 同步练习◆基础训练一、选择题1．若3a=4b ，则（a-b ）：（a+b ）的值是（ ）．A ．17B ．C ．-17D ．-7 2．已知P 是线段AB 上一点，且AP ：PB=2：5，则AB ：PB 等于（ ）．A ．7：5B ．5：2C ．2：7D ．5：73．已知线段AB ，点P 是它的黄金分割点，AP>BP ，设以AP 为边的正方形的面积为S 1，•以PB 、AB 为边的矩形面积为S 2，则S 1与S 2的关系是（ ）．A ．S 1>S 2B ．S 1<S 2C ．S 1=S 2D ．S 1≥S 2二、填空题4．若点C 是线段AB 的黄金分割点且AC>BC ，则______,AB BC AC AB==_______． 5．等边△ABC 中，AD ⊥BC ，AB=4，则高AD 与边长AB 的比是______．三、解答题6．求下列各式中的x ：（1）7：4=11：x ； （2）2：3=（5-x ）：x ．7．已知a b =112,a c c b a b c-+=-求证:．◆能力提高一、填空题8．在线段AB上取一点P，使AP：PB=1：3，则AP：AB=______，BC：PB=______．9．如图，已知3,(1)2AB AC BC CEAD AE DE AE===则:=______，（2）若BD=10cm，则AD=______；（3）若△ADE的周长为16cm，则△ABC的周长为_______．二、解答题10．已知两数4和8，试写出第三个数，使这三个数中，其中一个数是其余两个数的比例中项，那么第三个数是多少？11．在相同时刻的物高和影长成比例．已知上午9点时，高为1.5m的测杆的影长为2.5m，此时一古塔在地面的影长是50m，求古塔的高．如果上午10点时，1.5m•高的测杆的影长为2m，中午12点时，1.5m高的测杆的影长为1m，求古塔的影长是20m的时刻．◆拓展训练12．用厘米作为长度单位量一下几何作业本，求出长与宽的比．•如果你来设计作业本的大小，你能利用所学的知识设计一种既美观又实用的“黄金作业本”吗？答案:1．A 2．A 3．C 4．1344,2 6.(1)227（2）x=3 7．由已知得ac-ab=ab-bc ，∴ac+bc=2ab ，∴2112a b ab c a b c+=+=即． 8．1：4，4：3 9．（1）52 （2）4cm （3）24cm10．2或16或±．30m ，中午12点 12．略.。

苏科版2019-2020学年第二学期初三数学同步练习6.2黄金分割的同步练习题一、单选题1．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，∠ADE ＝∠B ，已知AE ＝6，37AD AB =，则EC 的长是（ ）A ．4.5B ．8C ．10.5D ．14 2．若23a b =，则a b b +的值为（ ） A ．23 B ．53C ．35D ．32 3．下列各线段中，能成比例的是（ ）A ．3cm 、5cm 、7cm 、9cmB ．2cm 、5cm 、6cm 、8cmC ．3cm 、6cm 、9cm 、18cmD ．1cm 、3cm 、4cm 、6cm4．若长度分别为2，3，6，x 的四条线段是成比例线段，则x 的值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．125．如图，345////l l l ，1l 交3l 、4l 、5l 于点E 、A 、C ，2l 交3l 、4l 、5l 于点D 、A 、B ，以下结论错误的是（ ）A ．EA DA AC AB = B ．BA CA BD CE =C ．CA DA CE DB =D ．EA DA EC DB= 6．如图，在ABC ∆中，,D E 分别是,AB AC 边上的点，//DE BC ，若2,3,4AD AB DE ===，则BC 等于（ ）A ．5B ．6C ．7D ．87．已知线段MN ＝4cm ，P 是线段MN 的黄金分割点，MP ＞NP ，那么线段MP 的长度等于（ ）A ．（）cmB ．（2）cmC ．）cmD ．1）cm 8．如果c a b k a b b c c a===+++，那么k 的值为（ ）． A ．1- B ．12C ．2或1-D ．12或1-二、填空题9．若34x y =，则23x y x y +=-_______． 10．已知线段4AB =，点P 是线段AB 的黄金分割点（AP BP >），那么线段AP =______.（结果保留根号）11．已知：432x y z ==，则3x y z x-+=_____． 12．在比例尺为1:5000的地图上,量得甲,乙两地的距离为30cm,则甲,乙两地的实际距离是__________千米． 13．如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B 到点C 的方向平移到△DEF 的位置，AB ＝10，DH ＝4，平移距离为6，则阴影部分面积是_____14．如图，在正方形ABCD 中，点E 是对角线BD 上一点，连接AE ，将DE 绕D 点逆时针方向旋转90︒到DF ，连接BF ，交DC 于点G ，若3DG =，2CG =，则线段AE 的长为___________．15．已知a 、b 、c 满足2a 3b 4c ==，且6a 9b 4c 20+-=，2a b c -+的值为______．16．如图1，把一张正方形纸片对折得到长方形ABCD ，再沿∠ADC 的平分线DE 折叠，如图2，点C 落在点C ′处，最后按图3所示方式折叠，使点A 落在DE 的中点A ′处，折痕是FG ，若原正方形纸片的边长为6cm ，则FG =____cm ．三、解答题17．已知：245x y z ==，求223x y z x y z +--+的值．18．已知a ，b ，c ，是△ABC 的三边，满足33a +=24b +=75c +，且a+b+c=24 （1）试求a ，b ，c 的值．（2）试求△ABC 的面积．19．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，AC 与BD 交于点O ，过点B 作//BE CD 交CA 的延长线于点E .求证：2OC AO OE =⋅.20．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上，CE ＝2BE ，AC 、DE 相交于点F ．（1）求DF：EF的值；（2）如果u u rCB=ar，u u rCB=br，试用ar、br表示向量EFu u u r．21．菱形ABCD中，点P为CD上一点，连接BP．（1）如图1，若BP⊥CD，菱形ABCD边长为10，PD＝4，连接AP，求AP的长．（2）如图2，连接对角线AC、BD相交于点O，点N为BP的中点，过P作PM⊥AC于M，连接ON、MN．试判断△MON的形状，并说明理由．22．如图，已知△ABC是等边三角形，以AC为斜边作Rt△ADC，∠ADC=90°，且AD∥BC，连结BD交AC于点E(1)求证：BC=2AD(2)若BC=4，求BE的长．23小张巧妙的运用了数学思想．具体方法是这样的：如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作⊥⊥，连结AC、EC．已知AB=1，DE=5，BD=8，设BC=x．则AC=AB BD ED BD,CE=AC+CE的最小值．(1)我们知道当A、C、E在同一直线上时，AC+CE值等于，此时x= ；(2)题中“小张巧妙的运用了数学思想”是指哪种主要的数学思想；(选填：函数思想，分类讨论思想、类比思想、数形结合思想)(3)的最小值．参考答案1．B2．B3．C4．C5．C6．B7．B8．D9．109 -．10．211．7 412．1.5 13．4814．25 715．11 316．17．13.18．（1）a=6，b=10，c=8；（2）24 19．略.20．（1）3=2DFEF；（2）24515EF b a=-u u u v v v.21．（1）；（2）△OMN是等腰三角形，22．（1）略；（2）BE=23．（1）10，43；（2）数形结合思想；（3）13。

第4课时 黄金分割一、目标导航1．黄金分割定义:点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC :AB =BC :AC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割．点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．2．618.0215≈-=AB AC ．二、基础过关1．若点P 是AB 的黄金分割点，则线段AP 、PB 、AB 满足关系式 ．2．黄金矩形的宽与长的比大约为________（精确到0．001）．3．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台AB 长为20m ，试计算主持人应走到离A 点至少 m 处？，如果他向B 点再走m ，也处在比较得体的位置．（结果精确到0．1m ）三、能力提升4．有以下命题：①如果线段d 是线段a ， b ，c 的第四比例项，则有d c b a =；②如果点C 是线段AB 的中点，那么AC 是AB 、BC 的比例中项；③如果点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，那么AC 是AB 与BC 的比例中项；④如果点C 是线段AB 的黄金分割点，AC >BC ，且AB =2，则AC =5－1．其中正确的判断有（ ）A ． 1个B ．2个C ．3个D ．4个5．已知点M 将线段AB 黄金分割(AM ＞BM )，则下列各式中不正确的是( )A ．AM ∶BM =AB ∶AM B ．AM =215-AB C ．BM =215-AB D ．AM ≈0．618AB6．已知C是线段AB的黄金分割点(AC＞BC），则AC∶BC = ( )A．(5－1)∶2 B．（5+1）∶2 C．（3－5）∶2 D．（3+5）∶2 7．在长度为１的线段上找到两个黄金分割点Ｐ，Ｑ．则ＰＱ＝（）A．215-B．53-C．25-D．253-8．已知线段MN = 1，在MN上有一点A，如果AN =253-．求证：点A是MN的黄金分割点．四、聚沙成塔9．如图，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连结PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．（1）求AM、DM的长．（2）求证：AM2=AD·DM．（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？10．如果一个矩形ABCD(AB＜BC)中，215-=BCAB≈0．618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE(如图)，请问矩形ABFE是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性．参考答案1． AP 2=BP ·AB 或PB 2=AP ·AB ；2．0.618；3．7.6，4.8；4．C ；5．C ；6．B ；7．C ；8证得AM 2=AN ·MN 即可；9．⑴AM =5－1；DM =3－5；⑵略；⑶点M 是线段AD 的黄金分割点；10．通过计算可得215-=AB AE ，所以矩形ABFE 是黄金矩形．。

黄金分割专项练习30题（有答案）1．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC?AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC 中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长．2．如图，用长为40cm的细铁丝围成一个矩形ABCD（AB＞AD）．（1）若这个矩形的面积等于99cm2，求AB的长度；（2）这个矩形的面积可能等于101cm2吗？若能，求出AB的长度，若不能，说明理由；（3）若这个矩形为黄金矩形（AD与AB之比等于黄金比），求该矩形的面积．（结果保留根号）3．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC?AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB=AC=2，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长．4．作一个等腰三角形，使得腰与底之比为黄金比．（1）尺规作图并保留作图痕迹；（2）写出你的作法；（3）证明：腰与底之比为黄金比．5．（1）已知线段AB的长为2，P是AB的黄金分割点，求AP的长；（2）求作线段AB的黄金分割点P，要求尺规作图，且使AP＞PB．6．如图，线段AB的长度为1．（1）线段AB上的点C满足系式AC2=BC?AB，求线段AC的长度；（选做）（2）线段AC上的点D满足关系式AD2=CD?AC，求线段AD的长度；（选做）（3）线段AD上的点E满足关系式AE2=DE?AD，求线段AE的长度；上面各题的结果反映了什么规律？（提示：在每一小题中设x和l）7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠1=∠2，请问点D是不是线段AC的黄金分割点．请说明理由．8．在△ABC中，AB=AC=2，BC=﹣1，∠A=36°，BD平分∠ABC，交于AC于D．试说明点D是线段AC的黄金分割点．9．在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形，如在矩形ABCD中，当时，称矩形ABCD为黄金矩形ABCD．请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．10．如图，设AB是已知线段，在AB上作正方形ABCD；取AD的中点E，连接EB；延长DA至F，使EF=EB；以线段AF为边作正方形AFGH．则点H是AB的黄金分割点．为什么说上述的方法作出的点H是这条线段的黄金分割点，你能说出其中的道理吗？请试一试，说一说．11．如图，已知△ABC中，D是AC边上一点，∠A=36°，∠C=72°，∠ADB=108°．求证：（1）AD=BD=BC；（2）点D是线段AC的黄金分割点．12．已知AB=2，点C是AB的黄金分割线，点D在AB上，且AD2=BD?AB，求的值．13．如果一个矩形ABCD（AB＜BC）中，≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE（如图），请问矩形ABFE是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性．14．五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点C，D分别是线段AB的黄金分割点，AB=20cm，求EC+CD的长．15．人的肚脐是人的身高的黄金分割点，一般来讲，当肚脐到脚底的长度与身高的比为0.618时，是比较好看的黄金身段．一个身高1.70m的人，他的肚脐到脚底的长度为多少时才是黄金身段（保留两位小数）？16．如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．（1）求AM，DM的长；（2）点M是AD的黄金分割点吗？为什么？17．如图，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，设以AP为边长的正方形面积为S1，以PB为宽和以AB为长的矩形面积为S2，试比较S1与S2的大小．18．如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD延长线上的一点，且D为AE的黄金分割点，即，BE交DC于点F，已知，求CF的长．19．图1是一张宽与长之比为的矩形纸片，我们称这样的矩形为黄金矩形．同学们都知道按图2所示的折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形ABEF和一个矩形EFDC，那么EFDC这个矩形还是黄金矩形吗？若是，请根据图2证明你的结论；若不是，请说明理由．20．（如图1），点P将线段AB分成一条较小线段AP和一条较大线段BP，如果，那么称点P为线段AB的黄金分割点，设=k，则k就是黄金比，并且k≈0.618．（1）以图1中的AP为底，BP为腰得到等腰△APB（如图2），等腰△APB即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足≈0.618的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：；（2）如图1，设AB=1，请你说明为什么k约为0.618；（3）由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为S1和面积为S2的两部分（设S1＜S2），如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（如图3），点P是线段AB的黄金分割点，那么直线CP是△ABC的黄金分割线吗？请说明理由；（4）图3中的△ABC的黄金分割线有几条？21．在人体躯干（脚底到肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618，越给人以美感．张女士原来脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60m，她应该选择多高的高跟鞋穿上看起来更美？（精确到十分位）22．已知线段AB，按照如下的方法作图：以AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接EB，延长DA到F，使EF=EB，以线段AF为边，作正方形AFGH，那么点H是线段AB的黄金分割点吗？请说明理由．23．如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′=EB．类似地，在AB上折出点B″使AB″=AB′．这时B″就是AB的黄金分割点．请你证明这个结论．24．如图，用纸折出黄金分割点：裁一张边长为2的正方形纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置F，因而EF=EB．类似的，在AB上折出点M使AM=AF．则M是AB的黄金分割点吗？若是请你证明，若不是请说明理由．25．如图，在△ABC中，点D在边AB上，且DB=DC=AC，已知∠ACE=108°，BC=2．（1）求∠B的度数；（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比．①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；②求AD的长；③在直线AB或BC上是否存在点P（点A、B除外），使△PDC是黄金三角形？若存在，在备用图中画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．26．宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感．现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：第一步：作一个正方形ABCD；第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；第四步：过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F．请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形．27．在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，把像这样的三角形叫做黄金三角形．（1）请你设计三种不同的分法，将黄金三角形ABC分割成三个等腰三角形，使得分割成的三角形中含有两个黄金三角形（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数，不要求写画法，不要求证明．分别画在图1，图2，图3中）注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法．（2）如图4中，BF平分∠ABC交AC于F，取AB的中点E，连接EF并延长交BC的延长线于M．试判断CM 与AB之间的数量关系？只需说明结果，不用证明．答：CM与AB之间的数量关系是．28．折纸与证明﹣﹣﹣用纸折出黄金分割点：第一步：如图（1），先将一张正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF；再折出矩形BCFE的对角线BF．第二步：如图（2），将AB边折到BF上，得到折痕BG，试说明点G为线段AD的黄金分割点（AG＞GD）29．三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图1，在△ABC中，已知：AB=AC，且∠A=36°．（1）在图1中，用尺规作AB的垂直平分线交AC于D，并连接BD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）△BCD是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；（3）设，试求k的值；（4）如图2，在△A1B1C1中，已知A1B1=A1C1，∠A1=108°，且A1B1=AB，请直接写出的值．30．如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．（4）如图4，点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF是平行四边形ABCD的黄金分割线．请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD各边黄金分割点．黄金分割专项练习30题参考答案: 1．（1）证明：∵AB=AC=1，∴∠ABC=∠C=（180°﹣∠A）=（180°﹣36°）=72°，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=36°，∴∠BDC=180°﹣36°﹣72°=72°，∴DA=DB，BD=BC，∴AD=BD=BC，易得△BDC∽△ABC，∴BC：AC=CD：BC，即BC2=CD?AC，∴AD2=CD?AC，∴点D是线段AC的黄金分割点；（2）设AD=x，则CD=AC﹣AD=1﹣x，∵AD2=CD?AC，∴x2=1﹣x，解得x1=，x2=，即AD的长为2．解：（1）设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，根据题意得x（20﹣x）=99，整理得x2﹣20x+99=0，解得x1=9，x2=11，当x=9时，20﹣x=11；当x=11时，20﹣11=9，而AB＞AD，所以x=11，即AB的长为11cm；（2）不能．理由如下：设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，根据题意得x（20﹣x）=101，整理得x2﹣20x+101=0，因为△=202﹣4×101=﹣4＜0，所以方程没有实数解，所以这个矩形的面积可能等于101cm2；（3）设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，根据题意得20﹣x=x，解得x=10（﹣1），则20﹣x=10（3﹣），所以矩形的面积=10（﹣1）?10（3﹣）=（400﹣800）cm2．3．解：（1）∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=72°，∴AD=BD，BC=BD，∴△ABC∽△BDC，∴=，即=， ∴AD 2=AC?CD ．∴点D 是线段AC 的黄金分割点．（2）∵点D 是线段AC 的黄金分割点，∴AD=AC ，∵AC=2，∴AD=﹣14．解：（1）腰与底之比为黄金比为黄金比如图，（2）作法：①画线段AB 作为三角形底边；②取AB 的一半作AB 的垂线AC ，连接BC ，在BC 上取CD=CA ．③分别以A 点和B 点为圆心、以BD 为半径划弧，交点为E ；④分别连接EA 、EB ，则△ABE 即是所求的三角形．（3）证明：设AB=2，则AC=1，BC=，AE=BE=BD=BC ﹣CD=﹣1，=． 5．解：（1）由于P 为线段AB=2的黄金分割点，则AP=2×=﹣1，或AP=2﹣（﹣1）=3﹣； （2）如图，点P 是线段AB 的一个黄金分割点．6．解：（1）设AC=x ，则BC=AB ﹣AC=1﹣x ，∵AC 2=BC?AB ，∴x 2=1×（1﹣x ），整理得x 2+x ﹣1=0，解得x 1=，x 2=（舍去），所以线段AC 的长度为； （2）设线段AD 的长度为x ，AC=l ，∵AD 2=CD?AC ，∴x 2=l×（l ﹣x ），∴x 1=，x 2=（舍去），∴线段AD 的长度AC ；（3）同理得到线段AE 的长度AD ； 上面各题的结果反映：若线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC=AC ：BC ），则C 点为AB 的黄金分割点7．解：D 是AC 的黄金分割点．理由如下：∵在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB==72°．∵∠1=∠2，∴∠1=∠2=∠ABC=36°．∴在△BDC中，∠BDC=180°﹣∠2﹣∠C=72°，∴∠C=∠BDC，∴BC=BD．∵∠A=∠1，∴AD=BC．∵△ABC和△BDC中，∠2=∠A，∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴，又∵AB=AC，AD=BC=BD，∴，∴AD2=AC?CD，即D是AC的黄金分割点8．证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=（180°﹣36°）=72°，∵BD平分∠ABC，交于AC于D，∴∠DBC=×∠ABC=×72°=36°，∴∠A=∠DBC，又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ABC，∴∵AB=AC，∴=，∵AB=AC=2，BC=﹣1，∴（﹣1）2=2×（2﹣AD），解得AD=，AD：AC=（）：2．∴点D是线段AC的黄金分割点．9．证明：在AB上截取AE=BC，DF=BC，连接EF．∵AE=BC，DF=BC，∴AE=DF=BC=AD，又∵∠ADF=90°，∴四边形AEFD是正方形．BE=，∴，∴矩形BCFE的宽与长的比是黄金分割比，矩形BCFE是黄金矩形．∴黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．10．解：设正方形ABCD的边长为2，在Rt△AEB中，依题意，得AE=1，AB=2，由勾股定理知EB===，∴AH=AF=EF﹣AE=EB﹣AE=﹣1，HB=AB﹣AH=3﹣；∴AH2=（）2=6﹣2，AB?HB=2×（3﹣）=6﹣2，∴AH2=AB?HB，所以点H是线段AB的黄金分割点．11．证明：（1）∵∠A=36°，∠C=72°，∴∠ABC=180°﹣36°﹣72°=72°，∵∠ADB=108°，∴∠ABD=180°﹣36°﹣108°=36°，∴△ADB是等腰三角形，∵∠BDC=180°﹣∠ADC=180°﹣108°=72°，∴△BDC是等腰三角形，∴AD=BD=BC．（2）∵∠DBC=∠A=36°，∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴BC：AC=CD：BC，∴BC2=AC?DC，∵BC=AD，∴AD2=AC?DC，∴点D是线段AC的黄金分割点．12．解：∵D在AB上，且AD2=BD?AB，∴点D是AB的黄金分割点而点C是AB的黄金分割点，∴AC=AB=﹣1，AD=AB﹣AB=AB=3﹣或AD=﹣1，AC=3﹣，∴CD=﹣1﹣（3﹣）=2﹣4，∴==或==．13．解：矩形ABFE是黄金矩形．∵AD=BC，DE=AB，∴==﹣1==．∴矩形ABFE是黄金矩形．14．解：∵D为AB的黄金分割点（AD＞BD），∴AD=AB=10﹣10，∵EC+CD=AC+CD=AD，∴EC+CD=（10﹣10）cm．15．解：设他的肚脐到脚底的长度为xm时才是黄金身段，根据题意得x：1.70=0.618，即x=1.70×0.618≈1.1（m）．答：他的肚脐到脚底的长度为1.1m时才是黄金身段．16．解：（1）在Rt△APD中，AP=1，AD=2，由勾股定理知PD===，∴AM=AF=PF﹣AP=PD﹣AP=﹣1，DM=AD﹣AM=3﹣．故AM的长为﹣1，DM的长为3﹣；（2）点M是AD的黄金分割点．由于=，∴点M是AD的黄金分割点．17．解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，∴AP2=BP×AB，又∵S1=AP2，S2=PB×AB，∴S1=S2．18．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠CBF=∠AEB，∠BCF=∠BAE，∴△BCF∽△EAB，∴，即，把AD=，AB=+1代入得，=，解得：CF=2．故答案为：2．19．解：矩形EFDC是黄金矩形，证明：∵四边形ABEF是正方形，∴AB=DC=AF，又∵，∴，即点F是线段AD的黄金分割点．∴，∴，∴矩形CDFE是黄金矩形．20．解：（1）满足≈0.618的矩形是黄金矩形；（2）由=k得，BP=1×k=k，从而AP=1﹣k，由得，BP2=AP×AB，即k2=（1﹣k）×1，解得k=，∵k＞0，∴k=≈0.618；（3）因为点P是线段AB的黄金分割点，所以，设△ABC的AB上的高为h，则，∴∴直线CP是△ABC的黄金分割线．（4）由（2）知，在BC边上也存在这样的黄金分割点Q，则AQ也是黄金分割线，设AQ与CP交于点W，则过点W的直线均是△ABC的黄金分割线，故黄金分割线有无数条．21．解：根据已知条件得下半身长是160×0.6=96cm，设选择的高跟鞋的高度是xcm，则根据黄金分割的定义得：=0.618，解得：x≈7.5cm．故她应该选择7.5cm左右的高跟鞋穿上看起来更美．22．解：设正方形ABCD的边长为2a，在Rt△AEB中，依题意，得AE=a，AB=2a，由勾股定理知EB==a，∴AH=AF=EF﹣AE=EB﹣AE=（﹣1）a，HB=AB﹣AH=（3﹣）a；∴AH2=（6﹣2）a2，AB?HB=2a×（3﹣）a=（6﹣2）a2，∴AH2=AB?HB，所以点H是线段AB的黄金分割点．23．证明：设正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，∴BE=1∴AE==，又∵B′E=BE=1，∴AB′=AE﹣B′E=﹣1，∴AB″∴点B″是线段AB的黄金分割点．24．证明：∵正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，∴BE=1∴AE==，∵EF=BE=1，∴AF=AE﹣EF=﹣1，∴AM=AF=﹣1，∴AM：AB=（﹣1）：2，∴点M是线段AB的黄金分割点．25．解：（1）∵BD=DC=AC．则∠B=∠DCB，∠CDA=∠A．设∠B=x，则∠DCB=x，∠CDA=∠A=2x．又∠BOC=108°，∴∠B+∠A=108°．∴x+2x=108，x=36°．∴∠B=36°；（2）①有三个：△BDC，△ADC，△BAC．∵DB=DC，∠B=36°，∴△DBC是黄金三角形，（或∵CD=CA，∠ACD=180°﹣∠CDA﹣∠A=36°．∴△CDA是黄金三角形．或∵∠ACE=108°，∴∠ACB=72°．又∠A=2x=72°，∴∠A=∠ACB．∴BA=BC．∴△BAC是黄金三角形．②△BAC是黄金三角形，∴，∵BC=2，∴AC=﹣1．∵BA=BC=2，BD=AC=﹣1，∴AD=BA﹣BD=2﹣（﹣1）=3﹣，③存在，有三个符合条件的点P1、P2、P3．ⅰ）以CD为底边的黄金三角形：作CD的垂直平分线分别交直线AB、BC得到点P1、P2．ⅱ）以CD为腰的黄金三角形：以点C为圆心，CD为半径作弧与BC的交点为点P3．26．证明：在正方形ABCD中，取AB=2a，∵N为BC的中点，∴NC=BC=a．在Rt△DNC中，．又∵NE=ND，∴CE=NE﹣NC=（﹣1）a．∴．故矩形DCEF为黄金矩形．27．解：（1）（2）CM=AB（4分）28．证明：如图，连接GF，设正方形ABCD的边长为1，则DF=．在Rt△BCF中，BF==，则A′F=BF﹣BA′=﹣1．设AG=A′G=x，则GD=1﹣x，在Rt△A′GF和Rt△DGF中，有A'F2+A'G2=DF2+DG2，即，解得x=，即点G是AD的黄金分割点（AG＞GD）．29．解：（1）如图所示；（2）△BCD是黄金三角形．证明如下：∵点D在AB的垂直平分线上，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A．∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=72°，∴∠ABD=∠DBC=36°．又∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，∴∠BDC=∠C，∴BD=BC，∴△BCD是黄金三角形．（3）设BC=x，AC=y，由（2）知，AD=BD=BC=x．∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，∴△BDC∽△ABC，∴，即，整理，得x2+xy﹣y2=0，解得．因为x、y均为正数，所以．（4）．理由：延长BC到E，使CE=AC，连接AE．∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ACB=∠B=72°，∴∠ACE=180°﹣72°=108°，∴∠ACE=∠B1A1C1．∵A1B1=AB，∴AC=CE=A1B1=A1C1，∴△ACE≌△B1A1C1，∴AE=B1C1．由（3）知，∴，，∴．30．解：（1）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：设△ABC的边AB上的高为h．则，，，∴，．又∵点D为边AB的黄金分割点，∴，∴．故直线CD是△ABC的黄金分割线．（2）∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，∴，即，故三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．（3）∵DF∥CE，∴△DFC和△DFE的公共边DF上的高也相等，∴S△DFC=S△DFE，∴S△ADC=S△ADF+S△DFC=S△ADF+S△DFE=S△AEF，S△BDC=S四边形BEFC．又∵，∴．因此，直线EF也是△ABC的黄金分割线．（7分）（4）画法不惟一，现提供两种画法；画法一：如答图1，取EF的中点G，再过点G作一条直线分别交AB，DC于M，N点，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．画法二：如答图2，在DF上取一点N，连接EN，再过点F作FM∥NE交AB于点M，连接MN，则直线MN 就是平行四边形ABCD的黄金分割线．（9分）。