黄金分割__专题讲解

黄金分割的理解摘要：1.黄金分割的定义与概念2.黄金分割的起源与发展3.黄金分割在艺术领域的应用4.黄金分割在生活中的运用5.黄金分割的实际应用案例6.总结正文：一、黄金分割的定义与概念黄金分割，又称黄金律，是指各部分之间一定的数学比例关系。

具体来说，就是将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比。

这个比例关系可以用数学公式表示为：(a+b)/a = a/b，其中a为较大部分，b为较小部分。

这个比例关系在视觉上被认为是最具有美感的，因此被称为黄金分割。

二、黄金分割的起源与发展黄金分割的起源可以追溯到古希腊时期，大多数人认为它的起源来自于毕达哥斯拉。

毕达哥斯拉是古希腊著名的哲学家和数学家，他发现了黄金分割的数学原理，并将其运用到艺术、建筑和自然界中。

在后来的历史发展中，黄金分割逐渐被广泛应用于各种艺术领域，如绘画、雕塑、音乐等。

三、黄金分割在艺术领域的应用黄金分割在艺术领域的应用非常广泛，许多著名的艺术品都运用了黄金分割的原则。

例如，古希腊的帕特农神庙、达芬奇的《蒙娜丽莎》和《最后的晚餐》等作品，都运用了黄金分割来达到视觉上的美感。

在现代设计领域，黄金分割也被广泛应用，如建筑设计、平面设计等。

四、黄金分割在生活中的运用除了在艺术领域，黄金分割在生活中也有很多实际应用。

比如，在摄影构图中，运用黄金分割可以拍摄出更具美感的照片；在产品设计中，运用黄金分割可以使产品更具吸引力；在室内装修中，运用黄金分割可以使空间更加和谐。

五、黄金分割的实际应用案例在整形领域，黄金分割也被广泛应用。

一位名叫李寒杰的整形医生，通过运用黄金分割原则，为许多女性进行了成功的整形手术，使她们成为了受人追捧的对象。

这个案例充分说明了黄金分割在实际应用中的重要价值。

六、总结黄金分割是一种视觉上最具美感的比例关系，它起源于古希腊，并在后来的艺术、建筑、设计等领域得到了广泛应用。

黄金分割知识点黄金分割，是指将一条线段分为两部分，使其长部分与短部分之比等于整条线段与长部分之比。

这个比例被认为是最具和谐美感的比例，并被广泛应用于艺术、建筑、设计等领域。

本文将介绍一些与黄金分割相关的知识点。

一、黄金分割的发现与应用范围黄金分割的概念最早可以追溯到古希腊时期的数学家欧几里得。

他发现黄金分割的特性并尝试将其应用于各种领域。

在建筑中，黄金分割常用于确定建筑物的比例，使其具有更加和谐的外观。

在绘画中，艺术家们经常使用黄金分割来布局画面，以达到更好的视觉效果。

此外，在设计、摄影和音乐等领域，黄金分割也被广泛应用。

二、黄金分割的数学原理黄金分割的数学原理可以通过以下公式来表达：(a + b) / a = a / b = φ其中，a是整段线段的长度，b是短部分的长度，φ是黄金分割比例，约等于1.618。

三、黄金矩形与黄金螺旋黄金矩形是指两条边的比例等于黄金分割比例的矩形。

黄金矩形具有一些特殊的几何性质，例如，将一个正方形和一个由黄金分割形成的长方形拼接在一起，可以得到一个更大的黄金矩形；将黄金矩形继续拼接，可以得到一系列趋近于黄金螺旋的矩形。

黄金螺旋在数学和自然界中都有广泛的存在，例如，太阳花的种子排列、螺旋形的银河系臂等，都可以近似于黄金螺旋。

四、黄金分割与美学黄金分割在美学上具有重要的意义。

人们普遍认为，符合黄金分割比例的物体或图像具有更加美观的外观。

这是因为黄金分割比例在人类大脑中会引起一种积极的情感反应，给人以和谐、平衡的感觉。

许多著名的美术作品和建筑设计都采用了黄金分割，从而深深影响了人们对美的感知。

五、黄金分割的争议尽管黄金分割在艺术与设计领域有着广泛的应用，但其真正的美学效应尚未有明确的科学证据支持。

一些研究指出，黄金分割的美学效应可能是主观的，因为不同文化和不同个体对美的定义和感知方式存在差异。

此外，一些人认为过分追求黄金分割可能导致刻板的设计模式和缺乏创新。

总结起来，黄金分割是一个有趣而广泛应用的概念。

九年级黄金分割知识点课程黄金分割是数学中的一个重要概念，也是美学中常见的一种比例关系。

在九年级的数学课程中，学生将接触到这一知识点，并深入了解其应用。

本文将围绕九年级黄金分割知识点课程展开讲述，包括黄金分割的定义、性质、推导方法以及一些实际应用。

一、黄金分割的定义黄金分割是指一条线段分成两部分，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值。

用数学符号表示为a/b=(a+b)/a=Φ （phi），其中Φ为黄金分割常数，约等于1.618。

二、黄金分割的性质1. 黄金分割点对称性：在一条线段上，黄金分割点将这条线段分成两部分，这两部分的比值等于整体线段与较大部分的比值。

2. 黄金分割点的延伸：无论是将整体线段延伸至左侧还是右侧的与原线段等比例的线段，其分割点仍然是黄金分割点。

3. 黄金矩形性质：将一个正方形的一边延伸至黄金分割点，形成的长方形即为黄金矩形。

黄金矩形具有自相似性和美学上的和谐感。

三、黄金分割的推导方法黄金分割的推导方法主要有几何法和代数法两种。

1. 几何法：通过将线段分割，得到与之相似的子线段，并运用相似三角形的性质，可以推导出黄金分割比例。

2. 代数法：假设整体线段为a，较小部分的长度为b，根据黄金分割的定义可得到a/b = (a+b)/a，解方程可得黄金分割比例。

四、黄金分割的实际应用黄金分割不仅在数学中有重要意义，也在自然界和人类创作中有广泛应用。

1. 建筑设计：许多古代和现代的建筑作品都运用了黄金分割比例，如古代希腊建筑中的帕特农神庙和现代的肯尼迪图书馆。

2. 绘画和摄影：黄金分割比例用于画面的构图和角度的选择，可以使画面更加美观和和谐。

3. 音乐和舞蹈：黄金分割比例用于音乐中的乐谱结构和舞蹈中的动作设计，可以营造出一种流畅而和谐的感觉。

4. 金融市场：黄金分割被应用于金融领域的技术分析中，用于预测价格波动和市场趋势。

总结：九年级的黄金分割知识点课程涵盖了黄金分割的定义、性质、推导方法和实际应用。

黄金分割及其应用知识点黄金分割是一种数学比例，被广泛应用于艺术、建筑、设计、金融等领域。

它在人类历史中扮演着重要的角色，并被认为是一种美学原则。

本文将介绍黄金分割的概念、特点以及其在不同领域的应用知识点。

1. 黄金分割的定义和原理黄金分割是指将一条线段分割为两部分，使较长部分与全长之比等于较短部分与较长部分之比。

这个比例通常用希腊字母φ（phi）表示，其值约为1.618。

黄金分割原理基于数学上的黄金数，即满足以下关系式：物体的全长 / 较长部分 = 较长部分 / 较短部分= φ2. 黄金分割的特点黄金分割具有以下几个显著的特点：- 唯一性：黄金分割的比例是唯一确定的，不受线段长度的影响。

无论线段长短如何，比值始终为φ。

- 不变性：进行黄金分割后所得到的较长部分与全长的比例，与全长与较短部分的比例相等，始终为φ。

- 近似性：黄金分割是一种无理数，无法精确表示，但可以通过不断逼近φ来得到近似值。

由于黄金分割在视觉上产生一种和谐、美感的效果，它经常在建筑和艺术中得到应用：- 建筑设计：黄金分割被广泛用于建筑中的比例和布局，例如古希腊的帕特农神庙和文艺复兴时期的建筑。

建筑师可以利用黄金分割比例来划分空间、安放柱子和窗户等，以达到视觉上的和谐与美感。

- 绘画与摄影：艺术家常常使用黄金分割来划定画面的重要元素和构图，使画面更具吸引力与平衡感。

摄影中的黄金分割线条也有助于构建有层次感的照片。

- 雕塑与雕刻：黄金分割比例被广泛用于人物雕塑和艺术品的创作，帮助艺术家在立体空间上的分配和平衡。

4. 黄金分割在设计和排版中的应用可视化设计和排版领域也广泛应用黄金分割，以达到更好的视觉效果和用户体验：- 网页设计：黄金分割可以用来划分网页的布局、排列网页元素和图像，使界面更具吸引力和可读性。

- 平面设计：海报、名片、杂志等平面设计常使用黄金分割比例进行版面的构图和内容的排列，使视觉效果更加平衡和美观。

- 字体排版：黄金分割比例可用于确定文字的行高、字母间距、段落长度等，以提供更好的阅读体验。

4·2黄金分割1.（即AC 2＝BC ·AB ），那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.2. 黄金分割的尺规作图法：如图：已知线段AB（2）连结AD ，在DA 上取DE ＝DB （3）在AB 上截取AC ＝AE ，则点C 是线段AB 的黄金分割点3.实际应用①、“黄金三角形”：顶角为︒36的等腰三角形,作底角B 的平分线BD,则D 就是AC 边上的黄金分割点.②、“黄金矩形”：矩形的宽与长的比等于黄金数.1.已知：如图,AB=1,AC=215-. 求证：BC AB AC ⋅=2 黄金分割：点把线段分成两条线段和（），如果C AB AC BC AC >BC AC AB BC AC =黄金比为：：512106181-≈.（）经过点作，使1B BD AB BD =12⊥AB A BC【解析】∵AB=1,AC=215-, ∴BC=1－AC=1－253215-=-. ∵22)215(-=AC =253-,BC AB ⨯=1×253253-=-, ∴BC AB AC ⨯=22.的值.【解析】∵点C 是线段AB 的黄金分割点3. 已知线段BC 求作点A ，使点A 将BC 黄金分割.∴点A 即为所求. 已知点是线段的黄金分割点，且，若＝，求、C AB AC >BC AC 3cm AB BC AB∴=-AC AB 512∴-=()512AB AC AB cm =⨯-=+23513532()BC AB AB AC AB AC AB =-=-=--=-11512352。

九年级数学黄金分割知识点黄金分割是一种美学原则，也是一种数学概念。

它源自古希腊艺术与建筑，被广泛应用于文化和设计领域。

黄金分割是一种比例关系，其比值约为1:1.618。

在九年级数学中，黄金分割也是一个重要的知识点，它与数列、图形等内容密切相关。

一、黄金分割比例黄金分割比例是指一个线段一分为二时，较长部分与整体的比值等于整体与较短部分的比值。

即如果将一个线段分成两部分，较长部分与整体的比值约等于1.618，而较短部分与整体的比值约等于0.618。

这个比例是无限不循环小数，被简化为1.618。

二、黄金分割的应用黄金分割在几何学和自然科学中有广泛的应用。

在几何学中，一些特殊的图形，如黄金矩形和黄金三角形，具有黄金分割的性质。

黄金矩形是指长和宽之比为黄金分割比例的矩形。

黄金三角形是一个直角三角形，其两条腰的比例接近黄金分割。

这些图形在建筑和设计中被广泛使用，给人一种美感和和谐感。

黄金分割还与数列和斐波那契数列有密切关系。

斐波那契数列是一个无限序列，每个数字是前两个数字之和。

斐波那契数列的前两个数字是1，1，然后依次为2，3，5，8等等。

当我们计算斐波那契数列中相邻数字的比值时，会发现它们逐渐接近黄金分割比例。

例如，5/3≈1.667，8/5≈1.6，13/8≈1.625。

这种关系在数学中被广泛探讨，可以通过递归公式定义斐波那契数列。

三、黄金分割与美学黄金分割被认为是一种美学原则，用于艺术和设计中。

在绘画、摄影、雕塑等艺术形式中，黄金分割被用来划分画面，使得画面更加平衡和美观。

例如，在绘画中，艺术家可以将水平和垂直线分为黄金分割比例的两部分，以创建一种独特的视觉效果。

黄金分割也被应用于肖像摄影和建筑设计中，以达到更好的组合和比例感。

四、黄金分割的历史黄金分割作为一个数学概念，最早由古希腊数学家欧几里得提出。

在欧几里得的《几何原本》中，他给出了一种构造黄金分割比例的方法。

随后，黄金分割在文艺复兴时期再次受到重视，成为艺术和建筑中的一个重要原则。

专题4.4 黄金分割（知识讲解）【学习目标】1、理解黄金分割的概念；2、会找一条线段的黄金分割点；3、会判断一个点是否为一条线段的黄金分割点。

【要点梳理】要点一：黄金分割的定义： 点C 把线段AB 分割成AC 和CB 两段,如果AC BCAB AC=,那么线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.特别说明：51AC AB -=≈0.618AB(叫做黄金分割值). 要点二： 作一条线段的黄金分割点：如图，已知线段AB ，按照如下方法作图：（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD =21AB . （2）连接AD ，在DA 上截取DE =DB . （3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点.特别说明：一条线段的黄金分割点有两个.要点三： 黄金三角形和黄金矩形黄金三角形有2种:1、等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°;这种三角形既美观又标准。

这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比:； 2、等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°;这样的三角形的一腰与底之长之比为黄金比:黄金矩形:黄金矩形(Golden Rectangle)的长宽之比为黄金分割率，换言之，矩形的短边为长边的 0.618倍。

黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦。

在很多艺术品以及大自然中都能找到它，希腊雅典的巴特农神庙就是一个很好的例子。

达芬奇的脸符合黄金矩形，同样也应用了该比例布局。

512512512【典型例题】类型一、黄金分割的作法1．作出线段AB 的黄金分割点（不写作法，保留作图痕迹）【分析】作法：（1）延长线段AB 至F ，使AB BF =，分别以A 、F 为圆心，以大于等于线段AB 的长为半径作弧，两弧相交于点G ，连接BG ，则BG AB ⊥，在BG 上取点D ，使2ABBD =；（2）连接AD ，在AD 上截取DE DB =．（3）在AB 上截取AC AE =．点C 就是线段AB 的黄金分割点．解：如图，点C 即为所求．【点拨】本题主要是考查了黄金分割点的概念，熟记黄金分割分成的两条线段和原线段之间的关系，能够熟练求解和作图．【变式1】黄金分割为“最美丽”的几何比率，广泛应用于图案设计，下图是一个包装盒的俯视图，线段AB 是这个俯视图的中轴线．某公司想在中轴线AB 上找到黄金分割点，安装视频播放器．（1）请你用尺规作图的方式找出这个点（作出一点即可，保留作图痕迹）； （2）请证明你找到的点是黄金分割点．【分析】（1）过点B 作AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取BC ，使BC=12AB ，连接AC ，以C 为圆心，BC 为半径画弧，交AC 于点D ，以A 为圆心，AD 为半径画弧，交AB 于E ，则点E 即为线段AB 的黄金分割点；（2）设BC=a ，则AB=2a ，，通过计算证明2AE BE AB =⋅即可解决问题．解：（1）如图：点E 即为所求；（2）设BC=a ，则AB=2a ，， ∴CD=BC=a ，-a ，∴22226)AE a a =-=-，222(2)6AB BE a a a a ⋅=⋅+=-， ∴2AE BE AB =⋅，∴点E 是线段AB 的黄金分割点．【点拨】此题考查黄金分割，黄金分割的作图，勾股定理，正确掌握黄金分割的知识并熟练应用解决问题是解题的关键．【变式2】回顾：“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用，通．的矩形叫做“黄金矩形” ． 若要将一张边长为2的正方形纸片ABCD 剪出一个以AB 为边的“黄金矩形ABEF ”，请在BC 边上作出这个黄金矩形的顶点E ．（要求：尺规作图，保留作图痕迹．如用铅笔作图，必须用黑色水笔把线条描清楚．）【分析】此题主要是确定矩形的长边，根据黄金比，只需要保证较短的边是较长的边倍即可，这里可以熟练的运用勾股定理进行分析．解：第一步，用圆规作出BC的中点H，则由题意可知112BH BC==，第二步，连接AH，以H为圆心，以BH为半径画弧交AH于O，由勾股定理知AH OH=HB所以AO=AH-OH1，第三步，以A为圆心，以AO为半径画弧交AD于F，过F点作FE∴BC交BC于E，∴AF=AO1，∴AFAB=故矩形ABEF即为所求．【点拨】本题考查了作图-应用与设计，矩形的性质，正方形的性质等知识，此题主要类型二、由黄金分割点求值2．（1）已知a＝4.5，b＝2，c是a，b的比例中项，求c；（2）如图，C 是AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，AB ＝4，求AC 的长．【答案】（1）3c =±；（2）2 【分析】（1）由c 是a ，b 的比例中项，可得29c ab ==，由此求解即可； （2）根据黄金分割点的定义进行求解即可． 解：（1）∴a ＝4.5，b ＝2，c 是a ，b 的比例中项，∴29c ab ==， ∴3c =±；（2）∴C 是AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，∴2AC AB ==． 【点拨】本题主要考查了黄金分割点以及比例中项，正确理解比例中项和黄金分割点的定义是解题的关键．【变式1】如图所示，以长为2的定线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF PD =，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上．（1）求AM DM ，的长；（2）点M 是AD 的黄金分割点吗？为什么？【答案】（1）AM 1，DM =32）是，理由见分析 【分析】（1）要求AM 的长，只需求得AF 的长，又AF PF AP =-，PF PD =，则1AM AF =，3DM AD AM =-=（2）根据（1）中的数据得：AM AD =M 是AD 的黄金分割点．解：（1）在Rt APD 中，1AP =，2AD =，由勾股定理知PD1AM AF PF AP PD AP ∴==-=-，3DM AD AM =-=故AM 1，DM 的长为3 （2）点M 是AD 的黄金分割点．由于AMAD= ∴点M 是AD 的黄金分割点．【点拨】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．先求得线段AM ，DM 的长，然后求得线段AM 和AD ，DM 和AM 之间的比，根据黄金分割的概念进行判断．【变式2】如图，设线段AC ＝1.（1）过点C 画CD∴AC ，使CD 12＝AC ；连接AD ，以点D 为圆心，DC 的长为半径画弧，交AD 于点E ；以点A 为圆心，AE 的长为半径画弧，交AC 于点B ．（2）在所画图中，点B 是线段AC 的黄金分割点吗？为什么？【答案】（1）作图见分析；（2）是，理由见分析 【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；（2）设AC ＝1，则DE ＝DC 12＝，利用勾股定理得到AD AE则AB B 是线段AC 的黄金分割点． 解：（1）如图，点B 为所作；（2）点B 是线段AC 的黄金分割点．理由如下：设AC ＝1，则CD 12＝，∴DE ＝DC 12＝，=∴AE ＝AD ﹣DE 12，∴ABBC ，BC AB =21AB AC =＝ 即BC ABAB AC＝， ∴点B 是线段AC 的黄金分割点． 【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC ＝AC ：BC ），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．求出线段长是解决问题的关键类型三、证明黄金分割点3．已知线段MN = 1，在MN 上有一点A ，如果AN=352，求证：点A 是MN的黄金分割点【分析】首先得出AM 的长，进而得出2AM AN MN =求出即可． 证明：作下图：线段1MN =，在MN 上有一点A ，AN ， 1AM ∴== 22AM ∴= 2AM AN MN ∴=，∴点A 是MN 的黄金分割点．【点拨】本题主要考查了黄金分割，解题的关键是根据已知得出2AM AN MN =． 【变式1】如图，用纸折出黄金分割点：裁一张边长为2的正方形纸片ABCD ，先折出BC 的中点E ，再折出线段AE ，然后通过折叠使EB 落在线段EA 上，折出点B 的新位置F ，因而EF ＝EB ．类似的，在AB 上折出点M 使AM ＝AF ．则M 是AB 的黄金分割点吗？若是请你证明，若不是请说明理由．【答案】是，证明见分析【分析】设正方形ABCD的边长为2，根据勾股定理求出AE的长，再根据E为BC的中点和翻折不变性，求出AM的长，二者相比即可得到黄金比．解：M是AB的黄金分割点，理由如下：∴正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，∴BE＝1∴AE∴EF＝BE＝1，∴AF＝AE﹣EF=1，∴AM＝AF=1，∴AM：AB1）：2，∴点M是线段AB的黄金分割点．【点评】本题考查了黄金分割的应用，知道黄金比并能求出黄金比是解题的关键，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫）叫做黄金比．【变式2】阅读理解：二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．=的矩形叫黄金矩形．如图1，已知黄金矩形ABCD的宽AB(1)求黄金矩形ABCD 中BC 边的长；(2)如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以AB 为边的正方形ABEF ，得到新的矩形DCEF ，猜想矩形DCEF 是否为黄金矩形，并证明你的结论．【答案】是黄金矩形，见分析 【分析】（1）根据黄金矩形的定义，列出比例式计算即可．（2）求得CD ，EC =BC -AB EC DC =即可．解：(1)∴ 的矩形叫黄金矩形，黄金矩形ABCD 的宽AB =∴AB BC ==，∴BC == (2)矩形DCEF 是黄金矩形．理由如下：∴ 黄金矩形裁剪掉一个以AB 为边的正方形ABEF ，得到新的矩形DCEF ，∴CD =AB =，EC =BC -AB∴EC DC=，故矩形DCEF 是黄金矩形．【点拨】本题考查了黄金矩形，二次根式的分母有理化，熟练掌握有理化的方法，理解定义是解题的关键．类型四、黄金分割点的应用4．梯形ABCD 中，AD//BC ，对角线AC 和BD 相交于点O ，G 1和G 2分别为三角形AOB 和三角形COD 的重心．（1）求证：G 1G 2//AD ；（2）延长AG 1交BC 于点P ，当P 为BC 的黄金分割点时，求ADBC的值．【答案】（1）证明见分析；（2）AD BC 【分析】（1）连接1BG 、2CG 并延长交AO 、OD 于点E 、F ，连接EF ．易得EF 为AOD △的中位线，故EF//AD ，根据重心的性质可得12121=2EG FG BG CG =，即EF //12G G ，即可得证； （2）根据点P为黄金分割点，可得PC BC 解：（1）连接1BG 、2CG 并延长交AO 、OD 于点E 、F ，连接EF ．因为1G 、2G 为三角形AOB 和三角形COD 的重心， 所以点E 、F 为AO 、DO 的中点， 所以EF 为AOD △的中位线， 所以EF//AD ， 又因为12121=2EG FG BG CG =， 所以EF //12G G ， 所以12G G //AD ． （2）因为点P 为黄金分割点，所以PC BC 又因为RQ 是中位线，所以RQ//BC ，12RQ BC =， 因为AD//PQ ， 所以1=2PQ DQ RO BO AD OA OD DO ==，所以AD BC 【点拨】本题考查重心的定义和性质、三角形中位线的性质、黄金分割，掌握重心的性质是解题的关键．【变式1】如图，某人跳芭蕾舞，踮起脚尖时显得下半身比上半身更修长．若以裙子的腰节为分界点，身材比例正好符合黄金分割，已知从脚尖到头顶高度为176cm ，那么裙子的腰节到脚尖的距离为______cm ．（结果保留根号）【答案】88##88+885【分析】根据黄金分割的黄金数得腰节到脚尖的距离：脚尖到头顶距离即可解答．解：设腰节到脚尖的距离为x cm ，根据题意，得：176x =，解得：88x =，∴腰节到脚尖的距离为（88）cm ，故答案为：88．=较长线段：全线段是解答的关键．【变式2】（1）数学活动一的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，都采用了黄金矩形的设计．在数学活动课上，小红按如下步骤折叠出一个矩形：第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图∴的方法折出一个正方形ABCD ，然后把纸片展平；第二步，如图∴，把这个正方形ABCD 对折成两个完全重合的矩形，再把纸片展平； 第三步，如图∴，折出内侧矩形EFBC 的对角线CF ，并把CF 折到图中所示FN 处； 第四步，如图∴，展平纸片，按照点N 折出NM ，得到矩形BNMC ．若2AD =，请证明矩形BNMC 是黄金矩形．（2）数学活动二如图∴，点C 在线段AB 上，且满足::AC BC BC AB =，即2BC AC AB =⋅，此时，我们说点C 是线段AB 的黄金分割点，且通过计算可得BC AB =．小红发现还可以从活动一的第三步开始修改折叠方式，如图∴，折出右侧矩形EFBC 的对角线EB ，把AB 边沿BG 折叠，使得A 点落在对角线BE 上的K 点处，若2AD =，请通过计算说明G 点是AD 的黄金分割点．【答案】（1）证明见分析，（2）证明见分析【分析】（1）由正方形ABCD 的边长为2，根据折叠可知FB ，由勾股定理可得FC ，易得出BN 的值，再求BN ：BC 的值即可判断；（2）如图，连接,GE 设,AG x 则,2,GK x GD x 再利用轴对称的性质与勾股定理求解52,KE 再利用勾股定理建立方程求解x ，从而可得答案．证明：（1）根据第一步折叠可知，ABCD 是正方形，由正方形边长为2， 根据第二步可知，1,FB在∴FCB 中，根据勾股定理， 得22215,FC 根据第三步可知，5,FCFN ∴51,BN∴ 51.2BNBC ∴矩形BNMC 是黄金矩形．（2）如图，连接,GE 正方形的边长2,AD由对折可得：1,2,,90,AFBF CE DE BA BK AG GK A GKB 22215,52,90,BE EK GKE设,AG x,2,GK x GD x所以由勾股定理可得：22222152,x x解得：1,x = 51,2AGAD 所以G 点是AD 的黄金分割点． 【点拨】本题考查的是成比例线段，黄金分割点的含义，正方形的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，理解题意利用轴对称的性质逐步计算是解本题的关键．。