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有限元的发展历史和趋势
一、发展历史
1、古代初期
从古代存在已久的古典有限元法源于单元方程理论，其发展溯源可见其有权威。
已有古典有限元技术，曾经是一个古典概率分析方法，并在一系列经典课本中展现出来，如古典电磁学、经典水力学等。
其在结构力学及电磁学等科学领域的应用，极大地推进了科研发展。
2、20世纪初
在20世纪初，有许多科学家把它应用于结构力学及建筑结构设计等方面，如J.H.Argyris在1918年提出的形式框架有限元法，C. Taylor 於1926年提出基于单元分析的结构有限元法，R. Clough在1960年发明的有限元法等。
在此时期，有许多研究者为改善古典有限元技术而努力，提出了许多新的有限元理论，如Galerkin形式有限元法，Ritz形式有限元法，Rayleigh-Ritz有限元法，几何与元素相结合的有限元法等。
3、20世纪60年代
在20世纪60年代，美国工程师B. A. Szabo首先把有限元法用于电磁场的研究，他在1963年出版了第一本专门介绍有限元法的著作《有限元法在电磁场理论中的应用》，在此后又出版了《有限元法的数学原理》（1969年）、《有限元法及其应用》（1972年）等。
20世纪70年代，许多科学家又着手开发新的有限元技术，从而把有限元法应用到各种工程。
有限元方法在应用数学中的发展趋势是什么有限元方法作为应用数学中的一个重要工具，在解决各种实际问题方面发挥着关键作用。
随着科学技术的不断进步和应用需求的日益复杂，有限元方法也在不断发展和演变。
在过去的几十年里，有限元方法已经取得了显著的成就。
它成功地应用于结构力学、流体力学、电磁学等众多领域，为工程设计和科学研究提供了准确而可靠的数值解。
然而，时代在发展，新的挑战和需求不断涌现，这也促使有限元方法朝着更先进、更高效、更精确的方向迈进。
一方面，随着计算机技术的飞速发展，计算能力得到了极大的提升。
这使得有限元方法能够处理更加大规模和复杂的问题。
以往由于计算资源的限制，一些复杂的三维模型或者多物理场耦合问题可能难以进行精确模拟。
如今，高性能计算的出现为有限元方法打开了新的大门，使其能够在更短的时间内获得更精细的结果。
同时，多物理场耦合问题的研究成为了有限元方法发展的一个重要方向。
在许多实际应用中，物理现象往往不是单一的，而是涉及多个物理场的相互作用。
例如，在能源领域，电池的性能不仅取决于电化学过程，还受到热传递和力学变形的影响。
有限元方法需要能够有效地处理这些多物理场耦合问题，以提供更全面和准确的模拟结果。
在精度方面，有限元方法也在不断改进。
传统的有限元方法在处理某些问题时可能会出现精度不足的情况，特别是对于具有奇异性或者复杂边界条件的问题。
为了提高精度，新的数值算法和单元类型不断被提出。
例如，自适应有限元方法能够根据问题的特点自动调整网格的疏密程度，从而在保证计算效率的前提下提高精度。
另外，有限元方法与其他数值方法的结合也成为了一个趋势。
例如，有限元方法与边界元方法的结合，可以更好地处理无界区域的问题；与蒙特卡罗方法的结合，可以用于处理不确定性和随机性问题。
这种结合能够充分发挥不同方法的优势，为解决复杂问题提供更强大的手段。
在模型的建立和优化方面，有限元方法也面临着新的挑战和机遇。
随着人工智能和机器学习技术的发展，如何利用这些技术来自动建立有限元模型、优化模型参数，成为了研究的热点。
有限元方法的发展及应用1 有限元法介绍1.1 有限元法定义有限元法（FEA，Finite Element Analysis）的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。
它是起源于20世纪50年代末60年代初兴起的应用数学、现代力学及计算机科学相互渗透、综合利用的边缘科学。
有限元法的基本思想是将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。
这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。
由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。
有限元法最初应用在工程科学技术中,用于模拟并且解决工程力学、热学、电磁学等物理问题。
1.2 有限元法优缺点有限元方法是目前解决科学和工程问题最有效的数值方法，与其它数值方法相比，它具有适用于任意几何形状和边界条件、材料和几何非线性问题、容易编程、成熟的大型商用软件较多等优点。
（1）概念浅显，容易掌握，可以在不同理论层面上建立起对有限元法的理解，既可以通过非常直观的物理解释来理解，也可以建立基于严格的数学理论分析。
（2）有很强的适用性，应用范围极其广泛。
它不仅能成功地处理线性弹性力学问题、费均质材料、各向异性材料、非线性应立-应变关系、大变形问题、动力学问题已及复杂非线性边界条件等问题，而且随着其基本理论和方法的逐步完善和改进，能成功地用来求解如热传导、流体力学、电磁场等领域的各类线性、非线性问题。
他几乎适用于求解所有的连续介质和场问题，以至于目前开始向纳米量级的分子动力学渗透。
（3）有限元法采用矩阵形式表达，便于编制计算机软件。
这样，不仅可以充分利用高速计算机所提供的方便，使问题得以快速求解，而且可以使求解问题的方法规范化、软件商业化，为有限元法推广和应用奠定了良好的基础。
有限元的发展历史现状及应用前景有限元方法是一种数值计算方法，主要用于求解连续介质的力学问题。
它通过将连续介质离散成有限数量的元素，并基于一定的数学方法和力学理论，将问题转化为求解代数方程组的问题。
有限元方法在解决复杂工程问题、优化设计和预测结构性能等方面具有广泛的应用。
有限元方法的历史可以追溯到19世纪末的工程力学中。
当时，许多工程问题的解决都要依赖于解析方法，但对于复杂的几何形状和边界条件来说，解析方法无法有效地求解。
1956年，美国工程师D.R. Courtney提出了有限元方法的一般形式。
此后，有限元方法得到了快速发展，成为计算力学领域的重要工具。
有限元方法的原理是将连续介质离散成有限数量的元素，如三角形单元或四边形单元，并将元素之间的关系用数学公式表达出来。
通过构建系统方程组，根据边界条件，可以求解出未知变量的数值解。
有限元方法通过近似处理和插值方法，能够在不同的几何形状和边界条件下求解力学问题。
有限元方法的应用非常广泛。
在工程领域中，有限元方法在结构力学、热传导、流体力学等方面得到了广泛应用。
在建筑工程中，有限元方法可以用于分析建筑结构的强度和刚度，评估结构的安全性。
在航空航天领域，有限元方法可以用于分析飞机部件的应力分布和疲劳寿命，优化结构设计。
在汽车工业中，有限元方法可用于分析汽车部件的刚度和强度，提高车辆的安全性和性能。
此外，在地震工程、电力工程、化工工程等领域，有限元方法也发挥着重要的作用。
未来，有限元方法的应用前景非常广阔。
随着计算机技术和数值算法的不断发展，有限元方法的计算效率将进一步提高，可以求解更加复杂和大规模的问题。
有限元方法在模拟和解决多物理场耦合问题方面也将得到更多的应用。
例如，结构-流体耦合问题、热-结构耦合问题等。
此外，随着材料科学和生物医学工程的发展，有限元方法还将应用于材料力学、生物力学等领域。
总之，有限元方法作为一种求解力学问题的数值计算方法，在工程领域具有重要的地位和广泛的应用。
医学有限元的发展历程一、有限元方法的起源与基础理论有限元方法（Finite Element Method，简称FEM）起源于20世纪40年代，由Courant首次提出用于解决流体力学问题。
这种方法的核心思想是将连续的求解域离散化为有限个小的、互连的子域（即有限元），从而将复杂的偏微分方程简化为每个小单元上的代数方程。
二、医学领域有限元的早期应用在医学领域，有限元方法的应用起步较晚，但发展迅速。
早期主要应用于生物力学和生物医学工程领域，如骨骼生物力学、心脏模型等。
随着计算机技术的进步，特别是X射线CT技术的出现，医学影像数据可用于生成详细的人体组织结构模型，从而为有限元分析提供了更精确的物理模型。
三、医学有限元在生物力学研究中的应用生物力学是医学有限元应用的重要领域。
通过有限元分析，可以模拟人体各种生理和病理状态下的生物力学行为，如骨骼应力分布、关节运动、血流动力学等。
这些研究有助于深入理解疾病的发病机制，并为疾病的诊断和治疗提供依据。
四、医学有限元在组织工程和再生医学中的应用组织工程和再生医学是近年来发展迅速的领域，有限元方法在模拟和预测组织或器官的生长、发育和功能方面具有重要价值。
例如，通过建立有限元模型来模拟软骨、骨骼、肌肉等组织的生长和修复过程，有助于优化组织工程的设计和实验方案。
五、医学有限元在药物研发和个性化治疗中的应用随着个性化医疗的发展，有限元方法在药物研发和个性化治疗中的应用逐渐增多。
例如，利用有限元模拟药物在人体内的分布和扩散过程，可以预测药物的疗效和副作用，为新药研发提供有力支持。
此外，通过建立患者的个体化有限元模型，可以制定个性化的治疗方案，提高治疗效果。
六、医学有限元技术的进步和挑战随着计算技术的不断进步，医学有限元分析的规模和精度也在不断提高。
例如，高精度算法的发展使得模型的计算更加精确和快速；大规模并行计算技术的应用使得可以对更大规模的人体组织结构进行模拟和分析。
然而，医学有限元技术的发展仍面临一些挑战，如建立更精确的生物材料模型、处理复杂的边界条件和多物理场耦合问题等。
有限元方法的发展史有限元方法是一种数学计算方法，用于解决连续介质力学问题。
它的发展历史可以追溯到20世纪50年代，经过几十年的发展和完善，如今已成为工程和科学领域中最常用的数值计算方法之一。
有限元方法的发展始于20世纪50年代，当时工程师和科学家们面临着处理复杂结构和材料行为的问题。
传统的解析方法往往无法应用于这些问题，因此需要一种新的计算方法来模拟和分析实际情况。
有限元方法的出现正好满足了这一需求。
最早的有限元方法是由地球物理学家Turner等人在20世纪50年代末提出的。
他们使用有限差分法来近似计算连续介质的力学行为。
随着计算机技术的进步，有限元方法得以快速发展。
1960年代，有限元方法开始在工程领域得到广泛应用，特别是在结构力学和固体力学领域。
有限元方法的发展受益于计算机硬件和软件技术的进步。
计算机的出现大大提高了计算能力和效率，使得有限元方法可以应用于更加复杂的问题。
同时，有限元方法的软件也逐渐得到了完善和发展，使得用户能够更加方便地进行模拟和分析。
在有限元方法的发展过程中，还出现了许多改进和扩展的方法。
例如，有限元方法可以用于处理非线性材料行为、动力学问题、热传导问题等。
不断的改进和扩展使得有限元方法的应用领域越来越广泛，已经涉及到了各个工程和科学领域。
近年来，随着计算机技术的不断进步，有限元方法也在不断发展。
高性能计算机和并行计算技术的出现，使得有限元方法可以应用于更加复杂和大规模的问题。
同时，有限元方法的优化和自适应技术也得到了广泛研究和应用，进一步提高了计算效率和准确性。
有限元方法的发展经历了几十年的演变和完善，从最初的简单近似到如今的复杂应用，它已经成为工程和科学领域中不可或缺的数值计算方法。
随着计算机技术的不断进步和应用需求的不断增加，有限元方法将继续发展，并为解决更加复杂和真实的问题提供有效的数值计算手段。
有限元方法的发展及应用有限元方法的发展可以追溯到20世纪50年代，当时数学家、工程师和物理学家开始使用有限元方法来解决结构力学问题。
最早的有限元方法是基于简单的三角形或四边形划分网格，通过近似的方式将连续介质离散化为有限数量的元素。
然后，通过求解一个代数方程组来得到数值解。
这种方法由于计算量小、理论基础牢固而得到了广泛应用。
随着计算机科学的发展，有限元方法得到了更广泛的应用。
计算机技术的进步使得复杂的有限元模型能够被处理，并且计算速度得到了大幅提升。
有限元方法的应用也从最初的结构力学问题扩展到了流体力学、热传导、电磁场、生物医学工程等领域。
有限元方法在工程领域具有很大的应用潜力。
在结构工程中，有限元方法可以用于分析房屋、桥梁和建筑物等结构的强度和刚度。
在汽车工程中，有限元方法可以用于分析汽车的碰撞和安全性能。
在航空航天工程中，有限元方法可以用于分析飞机的气动力学特性和结构强度。
在电子工程和电力工程中，有限元方法可以用于分析电路和传输线的电磁场特性。
有限元方法的应用不仅限于工程领域，还涉及到了其他学科的研究。
在生物医学工程中，有限元方法可以用于模拟人体组织的生物力学行为，如骨骼系统、心脏和血管的应力分布等。
在地球科学中，有限元方法可以用于分析地下水流动、地震波传播和岩土工程等问题。
在物理学中，有限元方法可以用于分析电磁场、热传导和量子力学等问题。
总之，有限元方法的发展及其应用已经取得了巨大的成功。
它在工程、力学、物理和地球科学等领域中得到了广泛应用，并为实际工程问题的解决提供了有效的数值方法。
然而，有限元方法的进一步发展仍面临着一些挑战，需要继续改进算法和技术，以满足更加复杂和多样化的工程问题的需求。
有限元法的发展现状及应用1. 引言有限元法是一种数值计算方法，广泛应用于工程领域中的结构力学、流体力学、热传导等问题的求解。
它通过将复杂的连续介质问题离散化为有限个简单的子域，然后利用数值方法求解这些子域上的方程，最终得到整个问题的近似解。
自从有限元法在20世纪60年代初被提出以来，它得到了迅猛发展，并在各个领域中得到了广泛应用。
2. 有限元法的发展历程2.1 早期发展有限元法最早是由Courant于1943年提出，并在20世纪50年代由Turner等人进一步发展。
最初，有限元法主要应用于结构力学领域中简单结构的分析计算。
2.2 理论基础完善20世纪60年代以后，随着计算机技术和数值方法理论的进步，有限元法得到了进一步发展。
Galerkin方法、变分原理和能量原理等理论基础被广泛应用于有限元法中，为其提供了坚实的理论基础。
2.3 算法改进和扩展在20世纪70年代和80年代，有限元法的算法得到了进一步改进和扩展。
有限元法的自适应网格技术和自适应加密技术的引入，使得有限元法能够更加高效地处理复杂问题。
同时，有限元法也逐渐扩展到了流体力学、热传导、电磁场等领域。
3. 有限元法在结构力学中的应用3.1 静力分析有限元法在结构力学中最常见的应用是进行静力分析。
通过将结构离散化为有限个单元，然后利用数值方法求解每个单元上的平衡方程，最终得到整个结构的受力情况。
3.2 动力分析除了静力分析外，有限元法还可以进行动态分析。
通过求解结构振动问题，可以得到结构在外部激励下的响应情况。
这对于地震工程、机械振动等领域非常重要。
3.3 疲劳寿命预测疲劳寿命预测是工程中一个重要问题。
通过将材料疲劳损伤模型与有限元方法相结合，可以对材料在复杂载荷下的疲劳寿命进行预测，从而指导工程设计和使用。
4. 有限元法在流体力学中的应用4.1 流体流动分析有限元法在流体力学中的应用主要集中在流体流动分析。
通过将连续介质分割为有限个单元，然后求解每个单元上的Navier-Stokes方程，可以得到整个流场的解。
有限元方法的发展史有限元方法（Finite Element Method，简称FEM）是一种近代工程分析方法。
随着计算机技术的发展，有限元方法在工程领域的应用越来越广泛，成为一种计算力学分析的重要工具。
本文将对有限元方法的发展史进行详细介绍。
1943年，理查德·康特（Richard Courant）率先提出了有限元法的基本理论，此法取代了解析方法的繁琐计算，简化并优化了力学问题的求解。
他和他的团队在二战期间发展出了有限差分法，这也是有限元方法的前身。
康特等人将连续体问题离散化为有限小的单元，然后将整个系统表示为这些单元的集合。
20世纪50年代，由A.A.安德龙（A.A. Andronov）等人提出的有限元方法被广泛应用于工程实践。
他们将结构问题转化为代数方程组的求解问题，利用电子计算机来求解这些方程组，大大提高了求解效率。
这一时期，有限元方法在结构分析、流体力学和热传导等工程领域中得到了更加深入的研究。
20世纪60年代是有限元方法发展的一个重要时期。
1960年，美国加利福尼亚大学伯克利分校的Robert H. Clough等人发展出了框架系统的有限元方法。
他们将结构分析问题转化为参数模态，从而能够更加准确地描述结构的动力响应。
此外，芬克尔斯坦（Finkelstein）还对有限元法进行了系统的理论建立，提出了杰出的分析方法。
20世纪70年代，有限元方法进一步发展成熟。
计算机技术的进步使得更多复杂问题能够应用有限元方法进行求解。
这一时期，传热学、振动学、固体力学和流体结构相互作用等领域都开始应用有限元方法进行研究。
20世纪80年代，有限元方法进一步推动了工程技术的进步。
有限元软件逐渐发展成熟，商业化软件的问世进一步促进了该方法的推广和应用。
有限元方法的应用领域持续扩展，涉及到了各种工程领域，包括土木工程、航空航天工程、海洋工程、汽车工程等。
随着计算机硬件和软件技术的不断进步，有限元方法的计算能力和求解精度不断提高。
有限元方法的发展及应用摘要：有限元法是一种高效能、常用的计算方法。
有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的，所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中。
自从1969年以来，某些学者在流体力学中应用加权余数法中的迦辽金法或最小二乘法等同样获得了有限元方程，因而有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类物理场中，而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系。
基本思想：由解给定的泊松方程化为求解泛函的极值问题。
1有限元法介绍1.1有限元法定义有限元法（FEA，Finite Element Analysis）的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。
它是起源于20世纪50年代末60年代初兴起的应用数学、现代力学及计算机科学相互渗透、综合利用的边缘科学。
有限元法的基本思想是将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。
这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。
由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。
有限元法最初应用在工程科学技术中,用于模拟并且解决工程力学、热学、电磁学等物理问题。
1.2有限元法优缺点有限元方法是目前解决科学和工程问题最有效的数值方法，与其它数值方法相比，它具有适用于任意几何形状和边界条件、材料和几何非线性问题、容易编程、成熟的大型商用软件较多等优点。
（1）概念浅显，容易掌握，可以在不同理论层面上建立起对有限元法的理解，既可以通过非常直观的物理解释来理解，也可以建立基于严格的数学理论分析。
（2）有很强的适用性，应用范围极其广泛。
它不仅能成功地处理线性弹性力学问题、费均质材料、各向异性材料、非线性应立-应变关系、大变形问题、动力学问题已及复杂非线性边界条件等问题，而且随着其基本理论和方法的逐步完善和改进，能成功地用来求解如热传导、流体力学、电磁场等领域的各类线性、非线性问题。
他几乎适用于求解所有的连续介质和场问题，以至于目前开始向纳米量级的分子动力学渗透。
（3）有限元法采用矩阵形式表达，便于编制计算机软件。
这样，不仅可以充分利用高速计算机所提供的方便，使问题得以快速求解，而且可以使求解问题的方法规范化、软件商业化，为有限元法推广和应用奠定了良好的基础。
但是，在求解一些特殊问题，特别是间断问题时，有限元方法存在着某些固有的缺陷。
例如：（1）有限元采用的是连续性的位移近似函数，对于裂纹类强间断问题，为获得足够的计算精度，需要对网格进行足够的细分，计算量极大。
（2）在采用拉格朗日法求解金属冲压成形、裂纹动态扩展、流固耦合、局部剪切等涉及特大变形问题时，有限元网格可能会产生严重扭曲，使计算精度急剧下降甚至计算无法继续，因此，需要不断地进行网格重构，计算量极大。
同时，为了模拟裂纹的动态扩展过程，也需要不断地进行网格重构。
（3）在处理夹杂问题时，单元的边须位于夹杂与基体的界面处，即使对于网格自动化程度很高的二维问题这也很不容易，而三维问题则更复杂。
1.3有限元法的派生有限元法作为数值方法中的基础方法，有其一定的使用范围，也由于一定的弊端决定了其不完全通用性。
在有限元方法基础上，发展出有其特殊使用范围的更精准的派生数值方法，下面介绍几种重要的数值方法。
1.3.1有限差分法有限差分法（FDM，Finite Difference Method）已经发展的一些近似数值分析方法中，最初常用的是有限差分法，它可以处理一些相当困难的问题。
但对于几何形状复杂的边界条件，其解的精度受到限制，甚至发生困难。
作为60年代最重要的科技成就之一的有单元法。
在理论和工程应用上都得到迅速发展，几乎所有用经典力学解析方法难以解决的工程力学问题郁可以用有限元方法求解。
它将连续的求解域离散为一组有限个单元的组合体，解析地模拟或逼近求解区域。
由于单元能按各种不同的联结方式组合在一起，且单元本身又可有不同的几何形状，因此可以适应几何形状复杂的求解域。
有限元的另一特点是利用每一单元内假设的近似函数来表示全求解区域上待求的未知场函数。
单元内的近似函数由未知场函数在各个单元结点上数值以及插值函数表达，这就使未知场函数的结点值成为新的未知量，把一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题，只要结点来知量解出，便可以确定单元组合体上的场函数。
随着单元数目的增加，近似解收敛于精确解。
但是有限元方法常常需要很大的存贮容量，甚至大得无法计算；由于相邻界面上只能位移协调，对于奇异性问题（应力出现间断）的处理比较麻烦。
这是有限单元法的不足之处。
1.3.2边界元法边界元法（BEM，Boundary Element Method）是在有限元法之后发展起来的一种较精确有效的工程数值分析方法。
与有限元法在连续体域内划分单元的基本思想不同，边界元法是在定义域的边界上划分单元，用满足控制方程的函数去逼近边界条件，通过对边界分元插值离散，化为代数方程组求解。
降低了问题的维数，可用较简单的单元准确地模拟边界形状，利用微分算子的解析的基本解作为边界积分方程的核函数，而具有解析与数值相结合的特点，通常具有较高的精度。
边界元法的主要缺点是它的应用范围以存在相应微分算子的基本解为前提，对于非均匀介质等问题难以应用，故其适用范围远不如有限元法广泛，而且通常由它建立的求解代数方程组的系数阵是非对称满阵，对解题规模产生较大限制。
上述两种数值方法的主要区别在于，边界元法是“边界”方法，而有限元法是“区域”方法，但都是针对连续介质而言，只能获得某一荷载或边界条件下的稳定解。
对于节理裂隙发育的岩体或颗粒散体的处理则要麻烦得多，更无法进行大变形、分离、回转及塌落过程的模拟。
这就使得人们去探索和寻求适合模拟节理岩体和颗粒散体运动变形特性的有效数值方法。
1.3.3离散元法离散元法（DEM，Distinct Element Method）是由Cundall P A(1971)首先提出并应用于岩土体稳定性分析的一种数值分析方法。
它是一种动态的数值分析方法,可以用来模拟边坡岩体的非均质、不连续和大变形等特点,因而,也就成为目前较为流行的一种岩土体稳定性分析数值方法。
该方法在进行计算时,首先将边坡岩体划分为若干刚性块体(目前已可以考虑块体的弹性变形),以牛顿第二运动定律为基础,结合不同本构关系,考虑块体受力后的运动及由此导致的受力状态和块体运动随时间的变化。
它允许块体间发生平动、转动,甚至脱离母体下落,结合CAD技术可以在计算机上形象地反应出边坡岩体中的应力场、位移及速度等力学参量的全程变化。
该方法对块状结构、层状破裂或一般碎裂结构岩体比较适合。
1.3.4广义有限元法广义有限元方法（GFEM，Generalized Finite Method）是常规有限元方法在思想上的延伸，它基于单位分解方法,通过在结点处引入广义自由度，对结点自由度进行再次插值,从而提高有限元方法的逼近精度，或满足对特定问题的特殊逼近要求。
基于广义有限元方法对单元形状函数构造理论的深入研究，具有任意内部特征（空洞、夹杂、裂纹等）及外部特征（凹角、角点、棱边等）的复杂问题,都将在简单、且与区域无关的有限元网格上加以求解。
1.3.5扩展有限元法扩展有限元（XFEM，Extended Finite Element Method）是在标准有限元方法的框架下，提出来的一种用于解决裂纹、孔洞、夹杂等间断问题的数值方法。
在有限元的近似函数中，增加能反映待求问题间断特性的附加函数项，采用水平集方法（LSM）描述间断面的几何特性及其移动规律。
扩展有限元方法与标准有限元方法相比，具有计算精度高、勿需网格重构等特点。
2有限元法的发展有限元法是R.Courant于1943年首先提出的。
自从提出有限元概念以来,有限元理论及其应用得到了迅速发展。
过去不能解决或能解决但求解精度不高的问题，都得到了新的解决方案。
传统的FEM假设：分析域是无限的；材料是同质的，甚至在大部分的分析中认为材料是各向同性的;对边界条件简化处理。
但实际问题往往是分析域有限、材料各向异性或边界条件难以确定等。
为解决这类问题,美国学者提出用GFEM（Gener-alized Finite Element Method）解决分析域内含有大量孔洞特征的问题；比利时学者提出用HSM（the Hybrid metis Singular element of Membrane plate）解决实际开裂问题。
在FEM应用领域不断扩展、求解精度不断提高的同时，FEM也从分析比较向优化设计方向发展。
印度Mahanty博士用ANSYS对拖拉机前桥进行优化设计，结果不但降低了约40%的前桥自重，还避免了在制造过程中的大量焊接工艺，降低了生产成本。
FEM在国内的应用也十分广泛。
自从我国成功开发了国内第一个通用有限元程序系统JIGFEX后，有限元法渗透到工程分析的各个领域中，从大型的三峡工程到微米级器件都采用FEM进行分析，在我国经济发展中拥有广阔的发展前景。
目前在进行大型复杂工程结构中的物理场分析时，为了估计并控制误差,常用基于后验误差估计的自适应有限元法。
基于后处理法计算误差,与传统算法不同，将网格自适应过程分成均匀化和变密度化2个迭代过程。
在均匀化迭代过程中，采用均匀网格尺寸对整体区域进行网格划分，以便得到一个合适的起始均匀网格；在变密度化迭代过程中只进行网格的细化操作，并充分利用上一次迭代的结果，在单元所在的曲边三角形区域内部进行局部网格细化，保证了全局网格尺寸分布的合理性，使得不同尺寸的网格能光滑衔接，从而提高网格质量。
整个方案简单易行，稳定可靠，数次迭代即可快速收敛,生成的网格布局合理，质量高。
2.1有限元法的国内外研究现状FEM作为求解数学物理问题的一种数值方法，已经历了50余年的发展。
20世纪50年代，它作为处理固体力学问题的方法出现。
1943年，Courant第一次提出单元概念。
1945~1955年,Argyris等人在结构矩阵分析方面取得了很大进展。
1956年，Turner、Clough等人把刚架位移法的思路推广应用于弹性力学平面问题。
1960年,Clough首先把解决弹性力学平面问题的方法称为“有限元法”,并描绘为“有限元法=Rayleigh Ritz法+分片函数”。
几乎与此同时,我国数学家冯康也独立提出了类似方法。
FEM理论研究的重大进展，引起了数学界的高度重视。
自20世纪60年代以来,人们加强了对FEM数学基础的研究。
如大型线性方程组和特征值问题的数值方法、离散误差分析、解的收敛性和稳定性等。
FEM理论研究成果为其应用奠定了基础,计算机技术的发展为其提供了条件。
