事故树的定量分析

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例题解答 【例 3-11】 以图 3-12事故树为例,
试用最小割集法、
最小径集法计算顶
事件的发生概率。
设各基本事件的发 生概率为: q1 =0.01; q2=0.02; q3=0.03;
q4=0.04; q5=0.05
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解: 该事故树有三个最小割集: E1={X1, X2, X3,}; E2={X1, X4}; E3={X3, X5} 事故树有四个最小径集: P1={X1, X3,}; P2={X1, X5}; P3={X3, X4}; P3={X2, X4, X5}
xi P 1 xi P2 xi P3
[1 (1 q1 )(1 q2 )] [1 (1 q3 )(1 q4 )] [1 (1 q5 )(1 q6 )]
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如果事故树的各最小径集中彼此有重复事件，则式3-20 不成立。与最小割集中有重复事件时的情况相似，须将 式3-20 展开，消去可能出现的重复因子。通过理论推 证，可用下式计算顶事件发生概率：
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式中 q --单元故障概率; λ --单元故障率, 是指单位时间内故障发 生的频率; μ--单元修复率, 是指单位时间内元件修 复的频率。
K0
式中K --综合考虑温度、湿度、振动及其他 条件影响的修正系数, 一般K=1-10; λ0-- 单元故障率的实验值,一般可根据 实验或统计求得,等于元件平均故障间隔期(MTBF) 的倒数, 即: 3
r 1 xi k r
1 (1 qi )(1 qi )(1 qi )
xi k1 xi k 2 xi k3
1 (1 q1q3 )(1 q2 q4 )(1 q5 q6 )
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如果各个最小割集中彼此有重复事件，则式 3-18不成立，
如某事故树有三个最小割集：
代数和,即为顶事件的发生概率。
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[ 例 3-7 ] 试用式(3-17) 计算图 3-15 所示事故 树的顶事件发生概率。 解: 基本事件的状态组合及顶事件的状态值见 表3-14, 并列出每一种状态所对应的qp(q)和qp,因 而得到: 表 3-14 事故树 P(T) 计算表
X1 X2 X3 011 111 φ(X) 000001 11 00000 P(T) qp(q) q1(1- q2)q3 q1q2(1- q3) q1q2q3 0.019
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单元修复率μ一般可根据统计分析用下式求得:
1 MTTR
式中,MTTR 为平均修复时间,是指系统单元出现故 障,从开始维修到恢复正常工作所需的平均时间。 一般,MTBF>>MTTR, 所以λ<<μ,则其故障概率为:
q
5

(2) 不可维修系统的单元故障概率。不可维修系 统的单元故障概率为:
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qp 00 000 0.009 0.009 0.001
000 001 010 100 101 110
该方法规律性强, 适于编制程序上机计
算, 可用来计算较复杂系统事故发生概
率。但当 n 值较大时, 计算中要涉及2n 个状态组合, 并需求出相应顶事件的状 态, 因而计算工作量很大, 花费时间较 长。
g 1 (1 qi )
r 1 xi Pr p p
1r s p xi Pr Ps

p ( 1 q ) ( 1 ) i (1 qi )(3 21) xi Pr
r、s—最小径集的序号 xi Pr Ps —第i个基本事件属于最小割集Kr和Ks的并集
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其中 qk qk 是最小割集K1、K2的交集概率
1 2
由于 K1 K 2 x1 x3 x2 x3 而
x1 x3 x2 x3 x1 x2 x3
所以 qk1 qk 2 q1q2q3 同理 q q q q q q q k1 k 3 1 2 3 4 5
q k 2 q k 3 q 2 q3 q 4 q5 qk1 qk 2 qk3 q1q2 q3 q4 q5
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从式 (3-17) 可看出: 在 n 个基本事件两 种状态的所有组合中,只有当Φp(X) =1 时,该 组合才对顶事件的发生概率产生影响。所以在
用该式计算时,只需考虑Φp(X) =1的所有状态
组合。首先列出基本事件的状态值表, 根据事
故树的结构求得结构函数Φp(X) 值,最后求出
使Φp(X) =1的各基本事件对应状态的概率积的
0.019
但当事故树中含有重复出现的基本事件时,
或基本事件可能在几个最小割集中重复出现时,
最小割集之间是相交的, 这时, 应按以下几种
方法计算。
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1. 状态枚举法
设某事故树有 n 个基本事件, 这 n 个基本事件 两种状态的组合数为 2n 个。根据事故树模型的结 构分析可知, 所谓顶事件的发生概率,是指结构函 数φ(x)=1的概率。因此,顶事件的发生概率P(T)可 用下式定义:
r 1 xi k r
k
k—最小割集的个数 kr—第r个最小割集，r 是最小割集的序号
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【例3-9】若某事故树有如下几个最小割集，求其顶上 事件发生的概率。
K1 {x1, x3}, K2 {x2 , x4}, K3 {x5 , x6}
解：由根据式3-18，顶上事件发生的概率为：
3
g qi
q 1 e
t
式中 ,t 为元件的运行时间。如果把e-λt按 级数展开, 略去后面的高阶无穷小, 则可近似 为:
q t
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2. 人的失误概率 人的失误是另一种基本事件, 系统运行中人的失 误是导致事故发生的一个重要原因。人的失误通常 是指作业者实际完成的功能与系统所要求的功能之 间的偏差。人的失误概率通常是指作业者在一定条 件下和规定时间内完成某项规定功能时出现偏差或 失误的概率, 它表示人的失误的可能性大小, 因此, 人的失误概率也就是人的不可靠度。一般根据1-可 靠度获得。
i 1 n
qA—与门事件的概率
qi—与门连接的第i个基本事件的发生概率 n —与门连接的输入事件数
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2）或门连接的事件，计算概率和
qB qi 1 (1 qi )
i 1 i 1
n
n
qB—或门事件的概率
qi—或门连接的第i个基本事件的发生概率 n —或门连接的输入事件数
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3 最小割集法
事故树可以用其最小割集的等效树来表示。这时, 顶事件与各最小割集用或门连接，每个最小割集与其包 含的基本事件用与门连接。 如果各最小割集间没有重复的基本事件，则可按照
直接分步算法计算，先计算各个最小割集内各基本事
件的概率积，再计算各最小割集的概率和，从而求得
顶事件发生概率，即：
g qi (3 18)
r 1 xi k r
k
1 r s k xi k r k s

k
k 1 q ( 1 ) i qi (3 19) r 1 xi k r
k
r、s—最小割集的序号 xi kr ks —第i个基本事件属于最小割集Kr和Ks的并集 26
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最小径集法
用最小径集作事故树的等效图时，顶事来自与第二步，求A1的概率，其为与门连接，有
q A1 q2 q3q4 q A2 0.8 1.0 0.5 0.106525 0.04261
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第三步，顶上事件发生的概率，或门连接，有
g 1 (1 q A1 )(1 q1 ) 1 (1 0.04261 )(1 0.01) 0.052184
1 0 MTBF
式中,MTBF 为平均故障间隔期, 是指相邻两故障 间隔期内正常工作的平均时间, 一般可按下式计 算获得:
1 MTBF ti n i1
n
式中 n—试验元件个数 ti—元件i从运行到故障 发生所经历的时间。2种
式中
n--各单元发生故障的总次数； ti--第i-1次到第i次故障间隔时间。
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例如, 有研究表明,人的舒适温度一般是19∽22 ℃ , 当人在作业时,环境温度超过27 ℃时, 人体失误 概率大约会上升40% 。因此, 还需要用修正系数 K 加 以修正 , 从而得到作业者单个动作 的失误概率为: q = k (1-R) 式中 k -- 修正系数,k = a· b· c· d· e; a -- 作业时间系数; b -- 操作频率系数; c -- 危险状况系数; d -- 心理、生理条件系数; e -- 环境条件系数。 a 、 b 、 c 、 d 、 e 的取值见表3-13 。
是最小径集的序号
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【例3-10】若某事故树有如下几个最小径集，求其顶 上事件发生的概率。
P 1 {x1 , x2 }, P 2 {x3 , x4 }, P 3 {x5 , x6 }
解：根据式3-20，其顶上事件发生的概率为：
g qi
r 1 xi Pr 3
qi qi qi
各最小径集用与门连接，每个最小径集与其包含 的事件用或门连接。因此，若各最小径集中彼此 没有重复事件时，则可先求最小径集内各基本事 件的概率和，再求各最小径集的概率积，从而求
顶上事件的发生概率，即：
g qi (3 20)
r 1 xi Pr
P
P—最小径集的个数
Pr—第r个最小径集，r
K1 {x1 , x3}, K2 {x2 , x3}, K1 {x2 , x4 , x5}
则其顶上事件发生的概率为各最小割集的概率和，即
g qk r
r 1
3
1 (1 qk1 )(1 qk2 )(1 qk3 ) (qk1 qk 2 qk3 ) (qk1 qk2 qk1 qk3 qk2 qk3 ) qk1 qk 2 qk3