数学高一(北师大)必修3素材 3.2古典概型中的不同取法

高中数学必修三古典概型的几种解题技巧古典概型是概率论中最基本的概率模型之一，它涉及到对已知的随机试验的多种可能结果和其对应概率的求解。

在高中数学必修三中，古典概型的解题技巧是学生必须掌握的一部分内容。

下面将介绍几种常见的古典概型解题技巧。

1. 直接计数法直接计数法是指通过对试验结果的数量进行计数，从而求解概率。

该方法一般适用于试验结果较少且容易确定的情况。

有5个小球，其中2个红色，3个蓝色，求从中任意抽取2个小球，抽到两个红色小球的概率。

按照直接计数法，我们可以将这个问题转化为从5个小球中抽取2个小球的问题，同时我们知道其中2个小球是红色的。

我们可以计算红色小球和非红色小球的组合数，然后除以所有小球的组合数来求解概率。

2. 互补事件法互补事件法是指通过求解事件的互补事件概率来求解事件的概率。

互补事件是指与事件A互补的事件，即事件A不发生的事件。

对于互补事件，其概率加上事件的概率必然等于1。

有一个盒子中有3个红球和2个蓝球，从中任意抽取一个球，求抽到一个红球的概率。

按照互补事件法，我们可以将该事件的互补事件定义为抽到一个蓝球的事件。

我们可以先求解抽到一个蓝球的概率，然后用1减去该概率来求解抽到一个红球的概率。

3. 排列组合法排列组合法是指通过排列组合的知识来求解概率。

它适用于试验结果较多且不易直接计数的情况。

有8个字母a，b，c，d，e，f，g，h，从中任意抽取3个字母，求抽取的三个字母都是元音字母的概率。

按照排列组合法，我们可以先计算所有情况的数量，即从8个字母中任意抽取3个字母的组合数，然后计算抽取的三个字母都是元音字母的情况数量，并将其除以所有情况的数量来求解概率。

4. 事件的分解法通过掌握以上几种古典概型解题技巧，可以帮助高中数学学生更好地理解和应用古典概型，在解决实际问题时能够灵活运用这些技巧，提高解题能力。

高中数学必修三古典概型的几种解题技巧古典概型是高中数学必修三中非常重要的一个知识点，同时也是考试中经常出现的题型。

古典概型是指在某个事件中，样本空间中的每个元素都有相同的概率出现。

在古典概型题中，常见的几种问题包括排列、组合、分配等，不同类型的问题需要使用不同的解题技巧。

下面我们将介绍一些古典概型问题的解题技巧。

一、排列问题的解题技巧排列是指n个不同元素按照一定顺序取出r个，这个过程叫做排列。

对于排列问题，我们可以使用以下几种解题技巧：1. 直接计算法：当n和r较小的时候，我们可以直接利用排列的定义来进行计算。

有5张纸牌，要从中取出3张纸牌进行排列，共有5*4*3=60种排列方法。

2. 公式法：当n和r较大的时候，直接计算可能会比较麻烦，可以使用排列的公式进行计算。

排列的计算公式为Anr=n!/(n-r)!，其中n!表示n的阶乘。

3. 分类讨论法：有些排列问题并不是直接套用公式就能解决的，这时我们可以采用分类讨论的方法。

从A、B、C、D四个字母中取出3个字母进行排列，可以分为以A开头的排列、以B开头的排列、以C开头的排列和以D开头的排列四种情况来进行讨论计算。

3. 排列与组合的关系：有时候我们需要求解组合问题，但是可以先通过排列问题进行计算，再通过排列与组合的关系进行转化。

从A、B、C、D四个字母中取出3个字母进行组合，可以先求出排列的个数，再通过排列与组合的关系计算出组合的个数。

1. 划分法：当分配的元素数目是不受限制的时候，我们可以使用划分法进行计算。

划分法是指将n个不同的元素分成r份，每份可以有0个或者多个元素，然后按照不同的划分方法进行计算。

2. 公式法：有些分配问题可以通过公式进行计算，例如将n件商品分给r个人，每个人可以得到不同数目的商品，可以使用分配的公式进行计算。

3. 排列组合法：有些分配问题可以通过排列组合的方法进行计算，例如将n个人分配到r个小组中，可以先通过排列计算出所有可能的分配情况，再通过组合计算出符合条件的分配情况。

3.2.1 古典概型的特征和概率计算公式1．理解古典概型的两个基本特征，掌握古典概型的概率计算公式．2．会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及其发生的概率．古典概型1．定义：如果一个概率模型满足：(1)试验的所有可能结果只有________个，每次试验只出现其中的________个结果；(2)每一个结果出现的可能性________．我们把具有这样两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型(古典的概率模型)．【做一做1】下列试验中，是古典概型的有( )．A．抛掷一枚图钉，发现钉尖朝上B．某人到达路口看到绿灯C．抛掷一枚均匀的正方体骰子，观察向上的点数D．从10 cm3水中任取1滴，检查有无细菌2．基本事件：在一次试验中，所有可能发生的基本结果中不能再分的最简单的随机事件称为该次试验中的基本事件．试验中其他的事件(除不可能事件外)都可以用________来描绘．【做一做2－1】口袋中装有4个红、白、蓝、黑四种颜色且形状相同的小球，从中任意取出2个小球，写出所有的基本事件．【做一做2－2】袋中有2个红球，2个白球，2个黑球，从里面任意摸2个小球，下列事件不是基本事件的是( )．A．{正好2个红球}B．{正好2个黑球}C．{正好2个白球}D．{至少1个红球}3．计算公式：对于古典概型，如果试验的所有可能结果(基本事件)数为n，随机事件A 包含的基本事件数为m，那么事件A的概率规定为P(A)＝________.求古典概型的概率有两种方法：一是公式法，即利用古典概型的概率计算公式求解；二是随机模拟方法，当用公式法不易求解时可以考虑用随机模拟的方法估计概率的近似值．【做一做3－1】抛掷一枚硬币，正面向上的概率是( )．A ．14B ．13C ．12D ．1 【做一做3－2】将一枚均匀的硬币连掷3次，出现“2个正面，1个反面”和“1个正面，2个反面”的概率各是多少？怎样计算古典概型中基本事件的总数？剖析：计算古典概型中基本事件的总数时，通常利用列举法．列举法就是把所有的基本事件一一列举出来，再逐个数出．例如：把从4个除编号外完全相同的球中任取两个看成一次试验，那么这次试验共有多少种可能的结果？为了表述方便，对这四个球编号为1,2,3,4.把每次取出的两个球的号码写在一个括号内，则有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，所以共有6个基本事件．本例中是按含有1号球，含有2号球，含有3号球的顺序来列举的，这样做可以避免出现重复或遗漏，因此要按一定的顺序标准来写．用数对来表示试验结果是非常重要的表示方法，这种表示方法要注意数对中的两个量是否有顺序限制，本题中没有限制．有时还可以在直角坐标系中用点来表示．有时也可以根据归纳的结论来计算．其常见结论是：把从n 个量中任取出2个量看成一次试验，如果这2个量没有顺序，那么这次试验有n (n －1)2个基本事件；如果这2个量有顺序，那么这次试验有n (n －1)个基本事件．可以作为结论记住(不要求证明)，在选择题或填空题中可以直接应用．题型一 基本事件个数的求法【例题1】将一颗均匀的骰子先后抛掷两次，计算：(1)一共有多少种不同的结果？(2)其中向上的点数之和是质数的结果有多少种？分析：用列举法列出所有结果，然后按要求进行判断即可．反思：列举法是探求基本事件的常用方法，列举时必须按照某一标准进行，要做到不重、不漏．题型二 古典概型的概念【例题2】(1)在线段[0,3]上任取一点，求此点的坐标小于1的概率，问此试验的概率模型是否为古典概型？为什么？(2)从1,2,3,4四个数中任意取出两个数，求所取两数之一是2的概率，此试验的概率模型是古典概型吗？试说明理由．分析：要判断试验的概率模型是否为古典概型，只需看该试验中所有可能的结果(基本事件)是否为有限个；每个结果出现的概率是否相等．反思：判断一个试验的概率模型是否为古典概型，关键是看它是否具备古典概型的两个特征：(1)一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即有限性；(2)每个基本事件发生的可能性是均等的，即等可能性．题型三 古典概型的概率计算【例题3】某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0,1,2,3四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖．(1)求中三等奖的概率；(2)求中奖的概率．分析：分别写出所有基本事件，利用古典概型的概率计算公式求出概率．反思：解决古典概型问题的关键是首先明确基本事件是什么，然后分清基本事件总数n 与事件A 所含的基本事件数m ，因此要注意以下几个方面：①明确基本事件是什么；②试验是否是等可能性的试验；③基本事件总数是多少；④事件A 包含多少个基本事件．题型四 易错辨析【例题4】掷两枚硬币，求两枚硬币正面向上的概率．错解：掷两枚硬币出现的情况为：一正一反、两正、两反共3个基本事件，所以概率为P ＝13.错因分析：以上3个基本事件不是等可能的，如两正只有一种情况，而一正一反就有2种情况．事实上，掷两枚硬币共有4个基本事件，而且是等可能的．1下列随机试验的数学模型属于古典概型的是( )．A ．在一定的条件下，种一粒种子，它可能发芽，也可能不发芽B ．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个点C ．某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环， (10)D ．四位同学用抽签的方法选一人去参加一个座谈会2抛掷一枚均匀的正方体骰子，向上的点数是5或6的概率是( )．A ．16B ．13C ．12D ．1 3在5张卡片上分别写上数字1,2,3,4,5，然后将它们混合后，再任意排成一行，则得到的五位数能被2或5整除的概率是( )．A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.84掷一枚骰子，骰子落地时向上的点数是3的倍数的概率是__________．5袋中装有除颜色外其他均相同的红、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球．(1)试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果．(2)若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率．答案：基础知识·梳理1．(1)有限 一 (2)相同【做一做1】C2．基本事件【做一做2－1】解：所有的基本事件有6个，分别是A ＝{红，白}，B ＝{红，蓝}，C ＝{红，黑}，D ＝{白，蓝}，E ＝{白，黑}，F ＝{蓝，黑}．【做一做2－2】D 至少1个红球包含：一红一白或一红一黑或2个红球，所以{至少1个红球}不是基本事件，其他事件都是基本事件．3．m n【做一做3－1】C【做一做3－2】解：一枚均匀的硬币连掷3次，每次落地都有2种不同的情况，故共有基本事件总数为n ＝8.记“2个正面，1个反面”为事件A ，“1个正面，2个反面”为事件B ，则A ＝{(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)}，含有3个基本事件，B ＝{(反，反，正)，(反，正，反)，(正，反，反)}，含有3个基本事件，故由古典概型的概率公式得P (A )＝38，P (B )＝38. 典型例题·领悟【例题1】解：(1)将抛掷两次骰子的所有结果一一列举如下：(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)，(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)，(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)，(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)，(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)，(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)，共有36种不同的结果．(2)点数之和是质数的结果有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,3)，(5,2)，(5,6)，(6,1)，(6,5)，共15种．【例题2】解：(1)此试验的概率模型不属于古典概型．在线段[0,3]上任取一点，此点可以在[0,3]上的任一位置，且在每个位置的可能性是相同的，具备等可能性．但试验结果有无限多个，不满足试验结果的有限性．(2)此试验的概率模型是古典概型．因为此试验的基本事件总数为6：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，且每个基本事件的出现是等可能的，因此属于古典概型，所取两数之一是2的概率为36＝12. 【例题3】解：设“中三等奖”为事件A ，“中奖”为事件B ，从四个小球中有放回地取两球有：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共16种不同的结果．(1)取出的两个小球号码相加之和等于4或3的取法有：(1,3)，(2,2)，(3,1)，(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)共7种结果，则中三等奖的概率为P (A )＝716. (2)由(1)知两个小球号码相加之和等于3或4的取法有7种；两个小球号码相加之和等于5的取法有2种：(2,3)，(3,2)．两个小球号码相加之和等于6的取法有1种：(3,3)．则中奖的概率为P (B )＝7＋2＋116＝58. 【例题4】正解：由题意可知，掷两枚硬币其结果共有4个基本事件，且是等可能的，所以“两枚硬币正面向上”的概率为P ＝14. 随堂练习·巩固1．D 2．B3．C 一个五位数能否被5整除关键看其个位数字，而由1,2,3,4,5组成的五位数中，1,2,3,4,5出现在个位是等可能的．所以个位数字的基本事件空间Ω＝{1,2,3,4,5}，“能被2或5整除”这一事件中含有基本事件2,4,5，概率为35＝0.6.故选C. 4．13 掷骰子的结果共有6种，其中是3的倍数的结果有2种，故概率为26＝13. 5．解：(1)一共有8种不同的结果，列举如下：(红，红，红)，(红，红，黑)，(红，黑，红)，(红，黑，黑)，(黑，红，红)，(黑，红，黑)，(黑，黑，红)，(黑，黑，黑)．(2)记“3次摸球所得总分为5”为事件A .因为8个基本事件发生的可能性相等，事件A 包含的基本事件为(红，红，黑)，(红，黑，红)，(黑，红，红)，共3个．所以事件A 的概率为P (A )＝38.。

高中数学必修三古典概型的几种解题技巧古典概型是概率论中的基础概念之一，常用于求解事件的概率。

以下是高中数学必修三古典概型的几种解题技巧。

一、树状图法树状图法是古典概型中常用的解题方法，它可以清晰地表示出各种可能的情况。

以硬币为例，假设有一枚硬币，抛掷两次，求出现正面向上的概率。

树状图法的步骤如下：1. 以一条直线表示硬币的抛掷过程，从左到右按顺序表示每次抛掷；2. 在直线上的每个箭头上标注相应的可能结果，如正面向上（记作“正”）和反面向上（记作“反”）；3. 沿着直线不断扩展出所有可能结果，直到达到所需的抛掷次数。

通过树状图得出的所有可能结果是等可能事件，即每个事件的概率都是相等的。

我们可以通过树状图上的路径来计算事件发生的概率。

在本例中，正面向上的概率就是出现正正的路径所占的比例。

二、排列组合法排列组合法是古典概型中常用的解题方法，特别适用于解决有序排列的问题。

在排列组合中，我们经常使用的有序排列方法有全排列、排列和组合。

全排列是将一组元素全部排列出来的情况，根据全排列的特性，可以使用阶乘来表示。

从1到10的数字中取出4个数字进行全排列，可以得到4的阶乘，即4！=4x3x2x1=24种排列方式。

排列是从一组元素中取出一部分元素进行排列的情况，排列的计算公式为：P(n,m) = n! / (n-m)!，其中n表示元素的总数，m表示取出的元素个数。

三、样本空间法样本空间法是古典概型中常用的解题方法，通过列出所有可能的结果，构建样本空间，再根据事件发生的情况求解事件的概率。

以抛掷两颗骰子为例，求两颗骰子点数和为9的概率。

我们需要列出骰子所有可能的结果，即从1到6的数字，每个数字都有可能出现。

然后，我们可以根据这些可能结果来构建样本空间，得到所有可能的点数和。

在这个问题中，样本空间是一个有序对组成的集合，它包含了所有可能的点数和。

我们通过统计样本空间中点数和为9的有序对的数量，计算出该事件发生的概率。

高中数学必修三古典概型的几种解题技巧古典概型是概率论中最基本的一种概型，适用于试验的结果只有有限个、且每个结果发生的概率相等的情形。

在高中数学必修三中，我们学习了古典概型的基本概念和计算方法。

本文将介绍几种在解古典概型问题时常用的技巧。

一、加法原理在一些试验中，我们需要统计的实验结果并不是唯一的，而是可以通过不同的方法得到。

此时，可以使用加法原理求解。

加法原理的基本思想是：如果两个事件A、B互不干扰，即A事件的发生与B事件的发生无关，那么A、B两事件至少发生一个的概率等于两事件的概率之和，即P(A或B)=P(A)+P(B)。

例如，有6只红球和4只蓝球，从中任取一球，求取到的是红球或蓝球的概率。

此题实验结果可以是取到红球或蓝球，因此可以使用加法原理求解：P(红球或蓝球)=P(红球)+P(蓝球)=6/10+4/10=1。

需要注意的是，加法原理只适用于互不干扰的事件，如果A事件的发生与B事件的发生相关，则需要使用另外一种原理进行计算。

在一些试验中，我们需要统计若干个事件共同出现的概率。

此时，可以使用乘法原理进行计算。

乘法原理的基本思想是：如果试验中包含m个步骤，每个步骤有n1,n2,...,nm种不同的可能结果，且每个步骤的结果与其他步骤的结果无关，那么所有步骤的结果组合起来的总方案数为n1×n2×...×nm。

例如，从4个人中任选3位代表参加会议，求选出的代表组合中，甲、乙两人都参加的概率。

此题实验结果包括三个步骤：第一步，任选一名代表；第二步，从剩下的人中任选一名代表；第三步，从剩下的人中任选一名代表。

每个步骤的结果都对下一个步骤的结果没有影响，因此可以使用乘法原理求解：P(甲、乙都参加)=选甲的概率×选乙的概率×选第三人的概率=1/4×1/3×2/2=1/6。

三、排列组合在一些试验中，我们需要计算的实验结果具有一定的排列顺序或组合顺序，此时需要使用排列组合知识。

高中数学必修三古典概型的几种解题技巧高中数学必修三中的古典概型是概率论中的一种重要概念，指由有限个实验所组成的样本空间中，每次实验的结果有限且唯一的实验。

这种类型的问题是概率论中常见且重要的一类问题，解题时可以运用一些特定的技巧和方法，下面就介绍几种常见的解题技巧。

1. 枚举法：对于一些简单的古典概型问题，可以通过枚举法来解决。

有一个有五个不同球的盒子，每个球都标有不同的数字（1、2、3、4、5）。

现从中任意取出两个球，则取球后得到的结果可以由所有可能的球的组合来确定。

通过枚举所有可能的球的组合（1与2、1与3...），可以求得问题的解。

2. 画树形图：对于复杂的古典概型问题，可以通过树形图的方式来解决。

树形图是一种图形化的表示方式，能够清晰地展示事件的发生过程和各种可能的结果。

通过绘制树形图，可以将事件的发生过程一目了然地展示出来，从而更加方便地求解问题。

3. 列举法：对于某些问题，可以通过列举法来解决。

列举法是指通过列举所有可能的情况，来求得问题的解。

某班级的学生有男生和女生两种性别，且男生有15人，女生有20人。

现在要从该班级中随机选取一人，求选取的是男生的概率。

通过列举男生和女生的所有情况，可以计算出男生被选中的概率。

4. 组合法：对于某些问题，可以使用组合法来解决。

组合法是指通过计算组合的个数来求得问题的解。

有10个球，其中5个红球，5个蓝球。

现从中任意取出3个球，求取得的3个球中有2个红球的概率。

通过计算10个球中选取3个球的组合数，以及选出2个红球的组合数，可以得到问题的解。

5. 利用概率公式：对于一些问题，可以通过运用概率公式来解决。

概率公式是指根据问题的要求，直接利用概率公式计算出所需的概率。

有一个有10个球的盒子，其中有4个红球和6个蓝球。

现从中不放回地取出2个球，则取出的2个球中至少有一个红球的概率可以通过利用概率公式直接计算得到。

以上就是高中数学必修三中古典概型的几种解题技巧。

解决古典概型求值问题时不可忽视的几个注意点解决古典概型求值问题时要注意两点：1.古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。

2.古典概型的解题步骤；①求出总的基本事件数；②求出事件A 所包含的基本事件数，然后利用公式P （A ）=总的基本事件个数包含的基本事件数A （3）随机数量具有广泛的应用，可以帮助我们安排和模拟一些试验，这样可以代替我们自己做大量重复试验，比如现在很多城市的重要考试采用产生随机数的方法把考生分配到各个考场中.一. 利用古典概型的计算公式时应注意两点例1.掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率。

分析：掷骰子有6个基本事件，具有有限性和等可能性，因此是古典概型。

解：这个试验的基本事件共有6个，即（出现1点）、（出现2点）……、（出现6点）所以基本事件数n=6，事件A=（掷得奇数点）=（出现1点，出现3点，出现5点），其包含的基本事件数m=3所以，P （A ）=n m =63=21=0.5 例2. 从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。

解：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即（a1，a2）和，（a1，b2），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b2，a2）。

其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产用A 表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件，则A=[（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）]事件A 由4个基本事件组成，因而，P （A ）=64=32小结：利用古典概型的计算公式时应注意两点：（1）所有的基本事件必须是互斥的；（2）m 为事件A 所包含的基本事件数，求m 值时，要做到不重不漏。

二. 不放回抽样抽样在概率计算中应注意什么例3.现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品：（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；（2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率．分析：（1）为返回抽样；（2）为不返回抽样．解：（1）有放回地抽取3次，按抽取顺序（x,y,z ）记录结果，则x,y,z 都有10种可能，所以试验结果有10×10×10=103种；设事件A 为“连续3次都取正品”，则包含的基本事件共有8×8×8=83种，因此，P(A)= 33108=0.512． （2）解法1：可以看作不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录（x,y,z ），则x 有10种可能，y 有9种可能，z 有8种可能，所以试验的所有结果为10×9×8=720种．设事件B 为“3件都是正品”，则事件B 包含的基本事件总数为8×7×6=336, 所以P(B)= 720336≈0.467．解法2：可以看作不放回3次无顺序抽样，先按抽取顺序（x,y,z ）记录结果，则x 有10种可能，y 有9种可能，z 有8种可能，但（x,y,z ），（x,z,y ），（y,x,z ），（y,z,x ），（z,x,y ），（z,y,x ），是相同的，所以试验的所有结果有10×9×8÷6=120，按同样的方法，事件B 包含的基本事件个数为8×7×6÷6=56，因此P(B)= 12056≈0.467． 小结：关于不放回抽样,计算基本事件个数时,既可以看作是有顺序的,也可以看作是无顺序的,其结果是一样的，但不论选择哪一种方式,观察的角度必须一致,否则会导致错误.三. 利用计算机或计算器做随机模拟试验解决非古典概型的概率的求解问题例4.某篮球爱好者，做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是40%，那么在连续三次投篮中，恰有两次投中的概率是多少？分析：其投篮的可能结果有有限个，但是每个结果的出现不是等可能的，所以不能用古典概型的概率公式计算，我们用计算机或计算器做模拟试验可以模拟投篮命中的概率为40%。

高中数学必修三古典概型的几种解题技巧古典概型是概率论最基本的概念。

在高中数学必修三中，学生需要学习几种古典概型的解题技巧。

下面将介绍几种常见的技巧。

一、排列组合的概念排列组合是解决古典概型问题的基本工具。

排列是指从n个不同元素中取出m个，按照一定顺序排列的所有可能性的总数，一般用P(n,m)表示。

组合是指从n个不同元素中取出m个，不考虑顺序的所有可能性的总数，一般用C(n,m)表示。

排列和组合的计算公式如下：排列公式：P(n,m) = n × (n-1) × (n-2) × … × (n-m+1) = n!/(n-m)!组合公式：C(n,m) = n!/((n-m)!m!)其中，!表示阶乘，即连续整数的乘积。

二、基本古典概型1、 n个元素任取m个的排列总数为P(n,m);三、古典概型题目的解题思路1、若A与B、C中任意一件发生必须有A发生，则P(A)=P(B∪C)=P(B)+P(C)-P(BC)。

4、n个元素中任取m个，先按顺序排列，再任意交换其中若干对元素的总数为m!C(n,m)。

1、从m个不同的球中，任意取出n个，将这些球按照一定次序排列，有多少种不同的排列方法。

解：这是一个排列数的问题，总数为P(m,n)。

2、五张牌任选三张，且其中必有一张黑桃，求有几种取法。

解：方法一：先计算黑桃牌的数量，在计算不含黑桃的牌的数量。

从而使用第一种思路计算概率。

方法二：从52张牌中取出含黑桃的牌有13*（C（3，1）+C（3，2）+C（3，3）），总共有C（52，3）种取法。

得到概率为13*(C(3,1)+C(3,2)+C(3,3))/C(52,3)。

3、一个集装箱共有4个托盘，每个托盘中分别放有8个斑马球和4个狮子球，现从中任取4个托盘，求这4个托盘中共有3个托盘都选择了斑马球。

解：这是一个组合数的问题，需要考虑所有含有3个托盘都选择了斑马球的情况和含有4个托盘选择斑马球的情况。

§2 古典概型知识梳理1.试验结果有有限个,且每个事件都是随机事件的事件称为基本事件.一个复杂彼此互斥的事件都可以表示成基本事件的和.2.我们把具有:(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;(2)每个基本事件出现的可能性相等.两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.3.基本事件总数n 的古典概型中,每个基本事件发生的概率为n 1.4.在古典概型中,任何事件的概率P (A )=.总的基本事件个数包含的基本事件个数A 5.在一个随机试验中,我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A 与B 称为互斥事件.6.事件A +B 发生是指事件A 和B 至少有一个发生.如果随机事件A 和B 是互斥事件,那么有P (A +B )=P (A )+P (B ),这是互斥事件的概率加法公式.该公式还可以推广为多个互斥事件的情况,其公式是:P (A 1+A 2+…+A n )=P (A 1)+P (A 2)+…+P (A n ).7.记A 为事件A 的对立事件,那么P (A )+P(A )=1.知识导学古典模型是一种最基本的模型,也是学习其他概率模型的基础,学习时要抓住以下三个特点:(1)对于每次随机试验来说,只可能出现有限个不同的试验结果;(2)对于这有限个不同的结果,它们出现的可能性是相等的;(3)求事件的概率可以不通过大量重复试验,而只要通过对一次试验中出现的结果进行分析计算即可.因此,必须分清事件是否是等可能事件,以免与后面学习的其他事件及其概率混淆. 古典概率的计算公式P (A )=,事件的基本事件总数包含的基本事件数事件A 与事件A 发生的频率f n (A )=n n A 有本质的区别:对同一试验的同一事件P (A )为一个定值,而频率中的n A 是随试验次数变化而变化的,因此,f n (A )也是变化的,但f n (A )总是接近于P (A ).判断两个事件是否为互斥事件,主要看它们能否同时发生.对于两个互斥事件,由于它们不可能同时发生,即只有一个发生,所以可用加法公式P (A +B )=P (A )+P (B )计算其概率.对立事件一定互斥,但互斥不一定对立.在概率的计算问题中,若事件A 比较复杂,而其对立事件A 比较简单时,我们往往通过公式P (A )=1-P (A ),计算P (A )来求得P (A ).古典概型比较简单又易于理解,并且在实践中有广泛的应用,学习这些,不仅能提高我们的学习兴趣,激发强烈的求知欲望,还能在解决问题中体会到数学本身的趣味性,应用的广泛性,帮助我们培养严谨的逻辑思维能力及高度概括能力.疑难突破1.如何正确地理解古典概型?剖析:如果一个试验的所有结果只有有限个,每次试验只出现其中的一个结果;每一个试验结果出现的可能性相同,我们把具有这样两个特征的随机试验的数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.例如,抛掷一枚均匀的骰子,出现各个点数的可能性都是相等的;转带有指针的等份圆盘,指针指向每份的可能性相同;同时抛掷两枚硬币,出现两个硬币都“正面朝上”或都“反面朝上”的可能性相同等这些都属于古典概型.所以理解判断一个试验是否为古典概型,关键在于这个试验是否具有古典概型的两个特征:有限性和等可能性.所以对理解古典概型还应注意以下几点:(1)并不是所有的试验都是古典概型.例如在适宜的条件下,种下一粒种子,观察它是否发芽.这个试验的基本事件为“发芽”和“不发芽”.而“发芽”和“不发芽”这两种结果出现的机会一般是不均等的.又如,从规格直径为300 mm±0.6 mm 的一批合格产品中抽取一根,测量其直径,测得值可能是299.4 mm 到300.6 mm 之间的任何一个值,所有结果有无限多个.这两个试验都不属于古典概型.(2)从集合角度看待概率.在一次试验中,等可能出现的全部结果组成一个集合I,基本事件个数n 就是集合I 的元素个数.事件A 是集合I 的一个包含m 个元素的子集,所以P (A )=.)(card )(card nm I A = (3)古典概型中,若试验只有n 个等可能结果,其中导致事件A 出现的结果有m 个,则事件A 出现的概率为P (A )=nm A =总的基本事件个数包含的基本事件个数. (4)在面对具体问题时,应先判定所给问题是否为古典概型,若是则根据题意设出事件A ,并找出问题的全部等可能结果总数n 和导数事件A 出现的结果数m ,代入古典概型的计算公式计算即可.2.古典概率的计算公式P (A )=nm 中,m 和n 的具体含义 剖析:n 表示试验的所有可能结果(基本事件)数,m 表示随机事件A 包含的基本事件数,即P (A )= nm A =总的基本事件个数包含的基本事件个数.同时,对于某些比较复杂的问题可以利用已学的概率模型进行对比分析以解答.例如,从某鱼池中捕得m 条鱼,都作上记号后放回鱼池,再捕得n 条鱼,其中有k 条鱼有记号,大家很容易估计出这池鱼的数目约为m nk 条,我们使用了古典概率的计算公式.3.公式P (A +B )=P (A )+P (B )的适用条件剖析:事件A +B 是一个事件,事件A +B 发生是指事件A 和B 之中至少有一个发生.如果随机事件A 与B 是互斥事件,则有P (A +B )=P (A )+P (B );如果随机事件A 和B 不是互斥事件,则有P (A +B )≠P (A )+P (B ).典题精讲例1 一个盒子里装有完全相同的十个小球,分别标上1、2、3、…、10这10个数字,今随机地抽取两个小球,如果:(1)小球是不放回的;(2)小球是有放回的.求两个小球上的数字为相邻整数的概率.思路分析:小球放回与不放回时,基本事件的总数是不同的.解:随机选取两个小球,记事件A 为“两个小球上数字为相邻整数”,可能的结果为 (1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7),(7,8),(8,9),(9,10),(2,1),(3,2),(4,3),(5,4),(6,5)(7,6),(8,7),(9,8),(10,9)共18种.(1)如果小球是不放回的,按抽取顺序记录结果(x ,y ),则x 有10种可能,y 有9种可能,共有的可能结果为10×9=90种.因此,事件A 的概率是.514599018== (2)如果小球是有放回的,按抽取顺序记录结果(x ,y ),则x 有10种可能,y 有10种可能,但(x ,y )与(y ,x )是一样的,共有可能的结果为10×10=100种.因此,事件A 的概率是.50910018= 绿色通道:在解答古典概型问题时选用适当的样本空间常常可使问题简化,同时也可以避免复杂的计算.例如本题如果按照常规方法计算,不仅需要分类讨论还需要验证计算,过程十分复杂,可能会在计算过程中出现错误,那么不仅徒劳而且无功.因此在解答古典概型问题时一定要注意应用正确的逻辑推理选择适当的样本空间(基本事件).变式训练 从1、2、3、4、5这5个数字中,不放回地任取两数,两数都是奇数的概率是_______.思路解析:从5个数字中,不放回地任取两数,第一次有5种取法,第二次有4种取法,但第一次取1、第二次取2和第一次取2、第二次取1是同一事件,故基本事件总数为21×5×4=10. 记“两数都是奇数”为事件A ,则事件A 为从1,3,5三个奇数中任取两数有3种取法,即事件A 含有3个基本事件.所以,由古典概率公式,得P (A )=103. 答案: 103 例2 下面有三个游戏规则,袋子中分别装有大小相同的球,从袋中取球,分别计算甲获胜的概率,哪个游戏是公平的?游戏类别 游戏1 游戏2 游戏3袋中球的情况 1个红球和1个白球 2个红球和2个白球 3个红球和3个白球 每次取球要求 取1个球 取1个球,再取1个球 取1个球,再取1个球游戏规则 取出的球是 红球——甲胜 取出的球是 白球——乙胜 取出的两球 同色——甲胜 取出的两球 不同色——乙胜 取出的两球同色——甲胜 取出的两球不同色——乙胜思路分析:要看哪个游戏对甲来说是公平的,关键是计算出三个游戏中,甲胜的概率分别是多少.解:对于游戏1:甲胜的概率是P (A )=21; 对于游戏2:从4个球中任取两个球,第一次取球有4种取法,第二次取球有3种取法, 但考虑到先取a 后取b 和先取b 后取a 是同一事件,故基本事件总数是21×4×3=6,记“取出的两球同色”为事件B ,则B 包含有2个基本事件,所以,P (B )= 3162=. 对于游戏3:由游戏2知,基本事件总数n =6,记“取出的两球同色”为事件C ,则事件C 为从3个红球中任取两个球,有三种取法,即事件C 含有三个基本事件,所以,P (C )=2163=. 通过计算可知,游戏1和游戏3,甲获胜的概率都是21. 因此,游戏1和游戏3是公平的.变式训练(2005广东高考卷,10）先后抛掷两枚均匀的骰子(它们的6个面分别标有数字1、2、3、4、5、6),设骰子朝上的面的点数分别为X 、Y ,则log 2X Y =1的概率为…( ) A.61 B.365 C.121 D.21 思路解析:同时抛掷两枚骰子,可能的结果如下表: 12345 61 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5)(6,6) 共有36个不同的结果,而X =1、Y =2;X =2、Y =4;X =3、Y =6;三对满足log 2X Y =1.故所求概率为P =.121363= 答案:C例3 某公务员去开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4.(1)求他乘火车或乘飞机去的概率;(2)求他不乘轮船去的概率;(3)如果他去的概率为0.5,请问他有可能是乘何种交通工具去的?思路分析:分清事件之间是互斥关系还是对立关系,然后套用相关公式.解:(1)记“他乘火车去”为事件A 1,“他乘轮船去”为事件A 2,“他乘汽车去”为事件A 3,“他乘飞机去”为事件A 4,这四个事件不可能同时发生,故它们彼此互斥.故P (A 1+A 4)=P (A 1)+P (A 4)=0.3+0.4=0.7.所以他乘火车或乘飞机去的概率为0.7;(2)设他不乘轮船去的概率为P ,则P =1-P (A 2)=1-0.2=0.8;(3)由于0.3+0.2=0.5,0.1+0.4=0.5,1-(0.3+0.2)=0.5,1-(0.4+0.1)=0.5,故他有可能乘火车或乘轮船去,也有可能乘汽车或乘飞机去.绿色通道:求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法:一是直接求解,即将所求事件的概率分解为一些彼此互斥事件概率的和,运用互斥事件的求和公式计算即可;二是间接求解,也就是先求此事件的对立事件的概率,再用公式P (A )=1-P (A )计算出结果,即运用了逆向思维(正难则反),特别是问题中遇到“至多”“至少”“不××”等问题时,用方法二比较简便.变式训练(1)某居民社区有两种报纸甲、乙供居民订阅,记事件A为“只订甲报”;事件B为“至少订一种报”;事件C为“至多订一种报”;事件D为“不订甲报”;事件E为“一种报纸也不订”.判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件.①A与C②B与E③B与D④B与C⑤C与E思路分析:利用互斥事件、对立事件的定义.解:①由于事件C“至多订一种报”中有可能只订甲报,即事件A与事件C有可能同时发生,故A 与C不是互斥事件.②事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的,故B与E是互斥事件.由于事件B发生可导致事件E一定不发生,且事件E发生会导致事件B一定不发生,故B与E 还是对立事件.③事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报,即有可能不订甲报,也就是说事件B发生,事件D 也可能发生,故B与D不互斥.④事件B“至少订一种报”中有这些可能:“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”.事件C“至多订一种报”中有这些可能:“什么也不订”“只订甲报”“只订乙报”.由于这两个事件可能同时发生,故B与C不是互斥事件.⑤由(4)的分析,事件E“一种报纸也不订”只是事件C的一种可能,事件C与事件E有可能同时发生,故C与E不互斥.(2)从一堆产品(其中正品和次品都多于2件)中任取2件,其中:①“恰有一件次品和恰有两件次品”;②“至少有一件次品和全是次品”;③“至少有一件次品和全是正品”.试判断以上各对事件是不是互斥事件?思路分析:两事件若是互斥事件,则它们一定不可能同时发生,据此可进行判断.解:①因为“恰有一件次品”和“恰有两件次品”不可能同时发生,所以它们是互斥事件;②因为恰有2件次品时,至少有一件次品和全是次品同时发生,所以它们不是互斥事件;③因为“至少有一件次品”与“全是正品”不可能同时发生,所以它们互斥.(3)从1,2,3,…,9这9个数中任取两数,其中:①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;②至少有一个是奇数和两个都是奇数;③至少有一个是奇数和两个都是偶数;④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中,是对立事件的是()A.①B.②④C.③D.①③思路解析:③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”,而从1~9中任取两数共有3个事件:“两个奇数”“一奇一偶”“两个偶数”,故“至少有一个是奇数”与“两个偶数”是对立事件.所以选C.答案:C问题探究问题1结合你对古典概型问题的理解以及问题的解决,思考并归纳在古典概型的学习中常容易出现哪些错误.导思:古典概型是一种重要的概率模型,特别注意它有两个主要特征,其概率如何计算,在解决具体问题时,常用列举法将基本事件一一列出,然后再求出m和n的值.如果两个事件互斥,则可按互斥事件的加法公式进行求解.可回顾所涉及的问题进行探究整理.探究:(1)审题不细,语句理解不到位.例如,某学生参加考试,他要解答六道题,每道题被他解出的概率是32,求他首次做错一道题之前,已经正确做出两道题的概率.容易出现的错误解答是:将事件分成总共做出3、4、5、6道题等四种情况讨论.显然没有准确理解“首次做错”的含义.(2)对事件发生的概率实质的理解不透彻.例如一名学生在军训中练习射击项目,他射击一次,命中目标的概率是31,若连续射击6次,且各次射击是否命中目标相互之间没有影响,求这名学生在第3次射击时,首次命中目标的概率;求这名学生在射击过程中,恰好命中目标3次的概率.分析:事件“学生在第3次射击时,首次命中目标”的概率计算可能出现误解,认为本题要连同第4,5,6次射击的结果一起计算,因为学生要连续射击6次.事实上,第4,5,6次射击的结果是什么并不需要了解,它们是必然事件,概率为1.(3)互斥事件与独立事件混淆.例如,甲、乙、丙三名学生在军训中练习射击项目,命中目标的概率分别是31,52,43.求甲、乙两人恰好一人击中目标的概率;求三人至少有一人命中目标的概率.分析:本题求甲、乙两人恰好一人击中目标的概率时,可能出现误解:将甲、乙的概率计算割裂开来,得到31+52=1511,将独立事件当成互斥事件算,不知道甲击中目标与否和乙击中目标与否,这两个事件是同时发生的.(4)考虑不周,忽视分类讨论.例如,某种信号发送要重复发送,以保证正确率.已知每次发送信息正确率都是31连续发送三次,按“少数服从多数”原则确认信号.求得到错误结果的概率.分析:本题中可能错误地得到32×32×32+32×32×31=2712.计算出现2次错误的概率时,只注意到出现错误次数,没有关注哪一次发生错误.本题若采用独立重复试验的公式则可避免失误.问题2 在标准化考试中,既有单选题又有多选题,多选题是从A 、B 、C 、D 四个选项中选出所有正确的答案,同学们可能有一种感觉,如果不知道正确答案,多选题更难猜对,这是为什么?导思:可以研究单选题和多选题猜对的概率分别是多少.探究:对于多选题,我们先写出正确答案的所有结果:如果只有一个答案是正确的,则有(A)、(B)、(C)、(D)4种;如果有两个答案是正确的,则正确答案可以是(A 、B)、(A 、C)、(A 、D)、(B 、C)、(B 、D)、(C 、D)6种;如果有3个答案是正确的,则正确答案可以是(A 、B 、C)、(A 、C 、D)、(A 、B 、D)、(B 、C 、D)4种;如果有4个答案是正确的,则正确答案只有(A 、B 、C 、D)一种.故正确答案的所有可能结果有4＋6＋4＋1=15种,从这15种答案中任选1种的可能性只有151. 对于单选题,只有(A)、(B)、(C)、(D)4种,从这4种答案中任选1种的可能性是41. 因为151＜31,所以多选题更难猜对. 问题3某种饮料每箱装12听,如果其中有2听不合格,若质检人员从中随机抽出2听,检测出不合格产品的概率有多大?如果增加检测的听数,查出不合格产品的概率怎样变化?为什么质检人员一般都采用抽查的方式而不采用逐个检查的方法?导思:把该问题中的抽查产品理解为一个试验,容易发现属于古典概型.为探究概率有多大,需要确定基本事件总数,可采用数组(或坐标)方式.统计与概率密不可分,统计的方法可从概率角度加以解释.探究:我们把每听饮料标上号码,合格的10听分别记作:1,2,…,10,不合格的记作a 、b ,只要检测出2听中有1听不合格,就表明查出了不合格产品.我们采取每次抽一听,分两次抽取样品的办法抽样,并按抽取顺序(x ,y )记录结果.因为x 有12种可能,y 有11种可能,所以基本事件总数为12×11÷2=66(种).在这66种基本事件中,其中含有a 或b 的基本事件为不合格产品所包含的基本事件;它们共21个,因此检测出不合格产品的概率为6621≈0.318. 检测出不合格产品的概率与检测的听数有关,随着检测听数的增加,检测出不合格产品的概率增大,下表可以一目了然.检测听数 12 3 4 5 6 概率0.167 0.318 0.455 0.576 0.682 0.773 检测听数 78 9 10 11 12 概率0.848 0.909 0.955 0.985 1 1统计与概率密不可分,统计的方法可从概率角度加以解释.如果质检人员从中随机地抽出3听,由上面的计算,检测出不合格产品的概率为:6101112689101⨯⨯⨯⨯-=1-0.545=0.455.因此,随着检测听数的增加,查出不合格产品的概率是增大的,当质检人员从中随机地抽出11听时,一定能抽到不合格品,故检测出不合格产品的概率为1.而检测的听数一定时,随着检测次数的增加,查出不合格产品的概率不会增加,质检人员若逐个检查显然过于麻烦,不合实际,一般采用抽查方式,因为抽查是随机抽样,查到不合格品的概率与逐个检查应是相同的.。

名，各年级男、女生人数如下表：0.18例题： 一般地，如果事件 ，，， 两两互斥（彼此互斥），那么事件“ ”发生（是指事件 ，，， 中至少有一个发生）的概率，等于这 个事件发生的概率和，即（3）对立事件的概率：若事件 与事件 互为对立事件，则 为必然事件，．高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

A 1A 2⋯A n ∪∪⋯∪A 1A 2A n A 1A 2⋯A n n P (∪∪⋯∪)=P ()+P ()+⋯+P ().A 1A 2A n A 1A 2A n AB A ∪B P (A ∪B )=1 盒子里有 个红球， 个白球，现从中任取 个球，设事件 ，事件，事件 ，事件．（1）事件 与 、是什么样的运算关系？（2）事件 与的交事件是什么事件？解：（1）对于事件 ，可能的结果为 个红球 个白球，或 个红球 个白球，故 ．（2）对于事件 ，可能的结果为 个红球 个白球， 个红球 个白球，个均为红球，故 ．643A ={3个球中有1个红球，2个白球}B ={3个球中有2个红球，1个白球}C ={3个球中至少有1个红球}D ={3个球中既有红球又有白球}D A B C A D 1221D =A ∪B C 12213C ∩A =A 判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．从 张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花的牌面数字都是从 到 ）中任意抽取 张．（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；（3）“抽出的牌的牌面数字为 的倍数”与“抽出的牌的牌面数字大于 ”．解：（1）是互斥事件，不是对立事件．从 张扑克牌中任意抽取 张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．由于可能抽出方块或者梅花，因此不能保证其中必有一个发生，所以二者不是对立事件．（2）既是互斥事件，又是对立事件．从 张扑克牌中任意抽取 张，“抽取红色牌”与“抽取黑色牌”不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．（3）不是互斥事件，也不是对立事件．从 张扑克牌中任意抽取 张，“抽出的牌的牌面数字为 的倍数”与“抽出的牌的数字大于 ”这两个事件可能同时发生，如抽出的牌的牌面数字为 ，因此二者不是互斥事件，当然也不可能是对立事件．401101594014014015910某人去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为 ，，，．（1）求他乘火车或乘飞机去的概率；（2）求他不乘轮船去的概率；（3）请问他可能乘何种交通工具去的概率为 ？解：（1）记“他乘火车去”为事件 ，“他乘轮船去”为事件 ，“他乘汽车去”为事件 ，“他乘飞机去”为事件 ，这四个事件不可能同时发生，故它们彼此互斥．所以（2）设他不乘轮船去的概率为 ，则（3）由于故他有可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去．0.30.20.10.40.5A 1A 2A 3A 4P (∪)=P ()+P ()=0.3+0.4=0.7．A 1A 4A 1A 4P P =1−P ()=1−0.2=0.8.A 20.3+0.2=0.5,0.1+0.4=0.5,。