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《棱柱、棱锥、棱台和球的表面积》,体积

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8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 课件(67张)2020-2021学年高一数学人教A版(20

8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 课件(67张)2020-2021学年高一数学人教A版(20

1
PART ONE
核心概念掌握
知识点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体 棱柱 棱锥 棱台
表面积
多面体的表面积就是 S 棱柱表＝ 02 _S__棱_柱_侧__＋__2_S_底____
01 _围__成__多__面__体__各__个__面_ _的__面__积__的__和_______
S
棱锥表＝ 03 _S__棱_锥_侧__＋__S_底__
答案
2
PART TWO
核心素养形成
题型一 棱柱、棱锥、棱台的表面积
例 1 (1)现有一个底面是菱形的直四棱柱(侧棱与底面垂直)，它的体对 角线长为 9 和 15，高是 5，求该直四棱柱的侧面积和表面积．
(2)已知棱长均为 5，底面为正方形的四棱锥 S－ABCD 如图所示，求它 的侧面积、表面积．
D．6
解析 S 表＝4× 43×22＝4 3.故选 B.
解析 答案
2．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为 2，体对角线长为 6，
则这个棱柱的侧面积是( )
A．2
B．4
C．6
D．8
解析 由题意知，该几何体为长方体，底面正方形的边长为 1，长方体
的高为 6－2＝2，故这个棱柱的侧面积为 1×2×4＝8.
解析
题型二 棱柱、棱锥、棱台的体积
例 2 (1)已知高为 3 的三棱柱 ABC－A1B1C1 的底面是边长为 1 的正三 角形，如图所示，则三棱锥 B1－ABC 的体积为( )
A．14
B．12
C．
3 6
D．
3 4
答案
(2)如图，已知 ABCD－A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体，E 为 AA1 的中点， F 为 CC1 上一点，求三棱锥 A1－D1EF 的体积．

8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课件(人教版)

8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课件(人教版)
(1) 共得到多少个棱长为1cm的小立方体？ (2) 三面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ (3) 两面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ (4) 一面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ (5) 六面均没有颜色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？它 们占有多少立方厘米的空间？
解：(3) 两面是红色的小立方体有24个, 表面积之和是144cm2. (4) 一面是红色的小立方体有24个, 表面积之和是144cm2.
(5) 六面均没有颜色的小立方体有8个, 表面积之和是 32cm2，它们占有的空间是8cm3.
练习
－ － － － － － － － － － 教材116页
4. 求证：直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积.
3
课堂小结
棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台都是多面体，表面积就是围成多面体各个面的面积的和.
棱柱、棱锥、棱台的体积
棱柱
棱锥
棱台
底面积为 S ，高为 h V棱柱 Sh
底面积为 S ，高为 h
V棱锥
1 3
Sh
上底面积为 S ，下底面积
为 S ，高为 h
V棱台
1 3
h(S
SS S)
如图已知棱长为a的正四面体P-ABC，求它的体积．
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱 台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和. 例1 如图已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体P-ABC，求它的表面积．
P
【解析】因为△PBC是正三角形，其边长为a，
所以
1 SPBC 2 a a sin 60
3 a2. 4
A

8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积课件(人教版)

8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积课件(人教版)

（
）
2.几何体的表面积就是其侧面面积与底面面积的和.
（
）
3.棱锥的体积等于底面面积与高之积.
（
）
4.等底、等高的棱柱的体积是棱锥的体积的3倍.
（
）
答案：√，√，×，√.
练习
题型一：棱柱、棱锥、棱台的表面积
例1.已知正四棱台(正四棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面间的部分)上
底面边长为4，侧棱和下底面边长都是8，求它的侧面面积.
解：由题意知， 长方体−’ ’ ’’ = 1 × 1 × 0.5 = 0.5(3 ) ，
1
1
棱锥− = × 1 × 1 × 0.5 = (3 ).
3
6
所以这个漏斗的容积 =
1
2
1
+
6
2
3
= ≈ 0.67(3 ).
新知探索
辨析1：判断正误.
1.几何体的侧面积是指各个侧面的面积之和.
解：(2)设三棱锥 − 1 的高为ℎ，则
三棱锥−
1
1
1 1
3
3 2
2
= ∙ ∆1 ∙ ℎ = × ×
× ( 2) ℎ =
ℎ.
3
3 2 2
6
1
∵三棱锥− = 三棱锥 − = 3 ，
6
1
1
= 3 ，解得ℎ =
3
.
3
∴三棱锥 − 1 的高为
’ =
= ℎ
上底缩小
1 ’
= ( + ’ + )ℎ
3
’ = 0
1
= ℎ
3
例析
例2.如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部

新教材人教版高中数学必修第二册 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 教学课件

新教材人教版高中数学必修第二册 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 教学课件
第八页，共十九页。
(4)求棱台的体积可转化为求棱锥的体积. 根据棱台 的定义进行“补形”，还原为棱锥，采用“大棱锥”减去 “小棱锥”的方法求棱台的体积．
第九页，共十九页。
知识点一 棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积 [例1] 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线
长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积． [ 解] 如图，设底面对角线 AC＝a，BD＝b，交点为 O，
第十二页，共十九页。
知识点二 棱柱、棱锥、棱台的体积 [例 2] (1)如图所示，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1，E 为线段 B1C 上的一点，则三棱锥 A-DED1 的体积为________．
第(1)题图
第(2)题图
第十三页，共十九页。
(2)如图，某几何体下面部分为正方体ABCD-A′B′C′D′， 上面部分为正四棱锥S -ABCD，若几何体的高为5，棱AB＝2，则该 几何体的体积为________．
[思考发现]
1．棱长为 3 的正方体的表面积为
()
A．27
B．64
C．54
D．36
解析：根据表面积的定义，组成正方体的表面共 6 个，且每
个都是边长为 3 的正方形．从而，其表面积为 6×32＝54.故
选 C.
答案：C
第三页，共十九页。
2．正方体的表面积为 96，则正方体的体积为
A．48 6
B．64
[变式训练]
1．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积 等于________ cm3.
第十七页，共十九页。
解析：由三视图可知原几何体如图所示． 所以 V＝VABC-A′B′C′－VM -ABC ＝S△ABC·5－13S△ABC·3 ＝12×3×4×5－13×12×3×4×3＝30－6＝24.

棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积(优秀经典公开课课件)

棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积(优秀经典公开课课件)
连接 OE、O1E1， 则 OE＝12AB＝21×12＝6， O1E1＝21A1B1＝3. 过 E1 作 E1H⊥OE，垂足为 H，
则 E1H＝O1O＝12，OH＝O1E1＝3， HE＝OE－O1E1＝6－3＝3. 在 Rt△E1HE 中， E1E2＝E1H2＋HE2＝122＋32＝32×17， 所以 E1E＝3 17. 所以 S 侧＝4×21×(B1C1＋BC)×E1E ＝2×(6＋12)×3 17＝108 17.
[素养聚焦] 通过空间几何体的体积的计算，把直观想象等核心素养体现在解题过程中．
[规律方法] 求几何体体积的常用方法
[触类旁通]
2.已知高为 3 的棱柱 ABC-A1B1C1 的底面是边长为 1 的正三角形，如图，则三
棱锥 B-AB1C 的体积为( )
A．41
B．21
C．
3 6
D．
3 4
解析
2．会求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体 究，提升逻辑推理的素养.
的表面积与体积．(重点)
01 课 前 案 自 主 学 习
栏目 02 课 堂 案 题 型 探 究
03 课 后 案 学 业 评 价
01
课前案 自主学习
[教材梳理] 导学 棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积
在初中我们已经学过正方体和长方体的表面积，以及它们的展开 图，你知道正方体和长方体的展开图的面积与正方体和长方体的表面积的关系 吗？
A．75
B．250
C．150
D．300
解析 由平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，可得菱形的边
长为 5，所以侧面积为 S 侧＝4×5×15＝300.
答案 D
题型二 简单几何体的体积(一题多解) [例 2] 如图所示，在长方体 ABCD -A′B′C′D′中，用截面截下一个棱 锥 C -A′DD′，求棱锥 C -A′DD′的体积与剩余部分的体积之比．

棱柱、棱锥、棱台和球的表面积和体积

棱柱、棱锥、棱台和球的表面积和体积
6、一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积相等，则这个正方体和圆柱的体积之比是__________;
7、如图所示正四棱锥的侧面都是等边三角形，它的斜高为 ，
则这个正四棱锥的体积是_________________.
8、已知圆锥的母线长为 高为 ，则这个圆锥的体积是
______________________.
7.球的体积公式
三：讨论与交流
1已知正三棱锥的底面周长为9，侧棱长为2，则此棱锥的高是（）
2底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线的长为 ，体对角线长为 ，则这个棱柱的侧面积是（）
3若球的大圆周长为C，则这个球的表面积是（）
4设长方体的长、宽、高分别为 q其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）
5、已知长方体形的铜块长、宽、高分别是2，4，8，将它熔化后铸成一个正方体形的铜块（不计损耗），则铸成的铜块的棱长是__________________;
9、一个球的大圆的面积增加为原来的100倍，则这个球的体积是原
来球体积的_______________倍.
10、正六棱柱的底面边长为10cm,高为15cm，则这个正六棱柱的体积是____________
11、正三棱台的上下底面边长分别为2、4，斜高为 ，则这个正三棱台的体积是_______
12、正方体的内切球与外接球的体积比是___________
名称
侧面积（Sห้องสมุดไป่ตู้）
表面积（S表）
圆柱
圆锥
球
3，体积公式：
1.柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积S和高h的积.即
2.底面半径是r，高是h的圆柱体的体积的计算公式是
3.如果一个椎体（棱锥、圆锥）的底面积是S，高是h，那么它的体积是

棱柱棱锥棱台和球的表面积和体积精选ppt

O`
注意:表面积=全面积= 侧面积+底面积.
O
.
圆锥的表面积
圆锥的侧面展开图是扇形
2r
l rO
S圆锥侧rl
S 圆锥 表 r2 面 . r 积 lr(r l)
例5：
已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm。
它的侧面展开图的形状为__扇__形____。该图形
的弧长为_4_π___cm，半径为___3___cm，所以圆 锥的侧面积为_6_π__cm2。表面积为_1_0_π__cm2，
S2r(rl)
S侧
1 2
2r
l
rl
Sr(rl)
S侧
1 2
(2
r
'
2
r)
l
S(r'2r2r'lr)l
(r ' r) l
.
三者之间关系
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关 系？
rO
r 'O’
r′＝r
l 上底扩大
O
rO
l r′＝0
上底缩小
l rO
S柱2r(rl) S 台 (r2r2rlr)lS锥r(rl)
(5)扇形面积公式：___S___12_rl__。
(6)梯形面积公式: __S__12_(_a__b)_h。
.
把长方体展成平 面图形，利用平 面图形求面积的 方法，求长方体
的表面积
正方体、长方体的表面积.就是各个面的面积之和。
二、棱柱、棱台、棱锥的表面积
用空间几何体的展开图来求它的表面积
几何体的侧面展开图
D A
D A11
C B
O C1
B1
D A
D A11

棱柱棱锥棱台和球的表面积ppt课件

其中 S， S分别为上、下底面面积，h为圆台
（棱台）的高．
2021精选ppt
23
三、概念形成
概念4.球的体积
Hh
2021精选ppt
24
三、概念形成
概念4.球的体积
R
r
l
R
l l
Sr2(R 2l2)
R
定 理 ： 12 V 球 R 半 的径 球 R2R是 的 13R体 2V R 积 4R 为 3 ：
1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的 表面积
2021精选ppt
1
一．直棱柱的表面积
1．直棱柱的侧面积等于它的底面周长c 和高h的乘积，即S直棱柱侧=c·h.
2021精选ppt
2
一．直棱柱的表面积
1．直棱柱的侧面积等于它的底面周长c 和高h的乘积，即S直棱柱侧=c·h.
2021精选ppt
3
二.正棱锥的表面积
2021精选ppt
10
五.球的表面积 球面面积（也就是球的表面积）等于它
的大圆面积的4倍， 即S球=4πR2，
其中R为球的半径.
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11
例1. 一个长方体的长、宽、高分别为5、 4、3，求它的表面积。
解：长方体的表面积 S=2(5×4+4×3+5×3)=94.
2021精选ppt
12
6

三. 正棱台的表面积 1上．底正面棱的台周的长侧为面c’积，是下S底= 面12 (的c+周c’)长·h为’，c，其斜中 高为h’.
a'
h h'
a
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7
圆柱、圆锥、圆台的侧面积
O` O
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1.1.6棱柱棱锥、棱台和球的表面积

PE＝ 2PE1＝ 4 15，
变式训练 2 已知正三棱台的底面边长分别是 30 cm 和 20 cm，其侧面积等于两底面积的和，求棱台的高．
解 如图所示，正三棱台 ABC—A1B1C1 中，O1、O 是上、下底面中心，D1、D 是 B1C1、BC 的中点，则 DD1 是斜高． 设 A1B1＝20，AB＝30， 10 则 OD＝5 3，O1D1＝ 3， 3 1 3 2 ∵S 侧＝S 底，∴2(60＋90)· DD1＝ 4 (20 ＋302)． 13 ∴DD1＝ 3. 3 在直角梯形 O1ODD1 中， O1O＝ D1D2－(OD－O1D1)2 13 2 10 2 ＝ 3 －5 3－ 3 ＝4 3 (cm)， 3 3 即棱台的高是 4 3 cm.
（2）若R=2cm，为盖子涂色时所用的涂 料每0.4kg可以涂1m2，计算100个这样的盖 子涂色需涂料多少千克(精确到0.1kg)。
解：（1）因为
1 S正四棱台=4× ×(2.5R+3R)×0.6R 2
+(2.5R)2+(3R)2
=21.85R2.
S球=4πR2. 因此，这个盖子的全面 积为S全=(21.85+4π)R2.
课时作业
一、选择题 1．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线为 2，体对 角线为 6，则这个棱柱的侧面积是 A． 2 B． 4 C． 6 D． 8 (
D )
2．侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为 a，则 该三棱锥的表面积是 3＋ 3 2 3 2 A. 4 a B.4a ( A ) 6 2 C. 2 a 3 2 D. 3 a
c’=0
上底缩小
S柱侧 ch '
S台侧
1 c ' c h ' 2

柱、锥、台、球的表面积和体积


考基联动
考向导析
规范解答
限时规范训练
迁移发散 3．已知一个凸多面体共有 9 个面，所有棱长均为 1，其平面展开 图如图所示，则该凸多面体的体积 V ＝________. 解析：该几何体形状如图所示，是一个正方体与正四棱锥的组 合体，正方体的体积是 1，正四棱柱的体积是 2 . 6 2 ，故该凸多面 6
2 2
R 3R R－ ＝ ， 4 2
2
2
1 R2 3R 3πR 3 ∴圆锥的体积 V ＝ ×π× × ＝ . 3 4 2 24 答案：A
考基联动
考向导析
规范解答
限时规范训练
2．长方体三个面的面积分别为 2、6 和 9，则长方体的体积是 A．6 3 B．3 6 C．11 D．12
(
)
解析：设长方体的三边长为 a、b、c
答案：C
考基联动 考向导析 规范解答 限时规范训练
考向三 几何的展开与折叠
【例3】 有一根长为3π cm，底面半径为1 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠 绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多 少？
解：把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩 形 ABCD(如图所示)，由题意知 BC＝3π cm，AB ＝4π cm， 点 A 与点 C 分别是铁丝的起、止位置，故线段 AC 的长度 即为铁丝的最短长度．AC＝ AB2 ＋BC2 ＝5π(cm)，故铁丝的最短长度为 5π cm. 反思感悟：善于总结，养成习惯 求立体图形表面上两点的最短距离问题，是立体几何中的一个重要题型．这类题目的 特点是：立体图形的性质和数量关系分散在立体图形的几个平面上或旋转体的侧面上． 为了便于发现它们图形间性质与数量上的相互关系，必须将图中的某些平面旋转到同 一平面上，或者将曲面展开为平面，使问题得到解决．
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课 题;棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
教学目标：
1.知识与技能：（1）通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握柱、锥、台的表面积
的求法。

（2）了解棱柱、棱锥、棱台的表面积计算公式；能运用柱锥台的表面积
公式进行计算和解决有关实际问题.
2.过程与方法：在公式的推导过程中充分调动学生的积极性，培养学生空间想象
能力和思维能力。

3.情感态度与价值观：通过和谐，对称，规范的图形，给学生以美的享受，已发
学生的学习兴趣。

教学重点：棱柱、棱锥、棱台的表面积公式的推导方法，进一步加强空间与平面
问题互相转化的思想方法的应用
教学难点：棱柱、棱锥、棱台的表面积公式的应用
教学过程：
一、创设情境
1、直棱柱和正棱锥的表面积
直棱柱的侧面积公式：S =
正棱锥的侧面积公式S = =
2、正棱台的表面积
正棱台的侧面积公式： = ;
结论：棱台的表面积或全面积
等于侧面积与底面积的和
3、圆柱、圆锥的表面积
圆柱的侧面积公式S= _____________________
圆锥的侧面积公式S=______________________
4、球的表面积：
设球的半径为R ，那么它的表面积为S 球
二、例题解析
题型一求几何体的表面积
例1：已知正四棱锥底面正方形的边长为4cm，高与斜高的夹角为45。

（如图），求正四棱锥的侧面积及全面积。

例2、如图所示是一个容器的盖子，它是用一个正四棱台
和一个球焊接而成的，球的半径为R.正四棱台的两底面
边长分别为3R和2.5R，斜高为0.6R：
（1）求这个容器盖子的表面积
（用R表示，焊接处对面积的影响忽略不计）；
（2）若R=2cm，为盖子涂色时所用的涂料每0.4kg
可以涂1m２，计算为１００个这样的盖子涂色约需涂料
多少千克（精确到０.１ｋｇ）
题型二利用三视图求表面积
例2：教材33页习题B组1
练习1：下图是一个几何体的三视图，求它的表面积（教案77页）：
题型三球面积的计算问题
例3：一个球内有相距9cm的两个平行截面，面积分别为49cm２和400cm２
试问球的表面积。

三、巩固提高：课本２８页ＡB组
四、归纳小结：1.侧面展开图
2.侧面积与表面积的关系
3.利用三视图会找关键量
五、课后作业：1教材28页1,3
2.24页1（可用4题的量）,2计算表面积
六、板书设计：
课题
一创设情境三巩固深化
二例题解析四深化小结
题型一，二，三
七、课后反思：
课 题：柱体、锥体、台体的体积
教学目标：1．知识与技能
（1）了解几何体体积的含义，以及柱体、锥体与台体的体积公式.
（2）熟悉台体与柱体和锥体之间体积的转换关系.
（3）培养学生空间想象能力和思维能力.
2．过程与方法
（1）让学生通过对照比较，理顺柱体、锥体、台体之间的体积关系.
（2）通过相关几何体的联系，寻找已知条件的相互转化，解决一些特殊几何体体积的计算.
3．情感、态度与价值观
通过柱体、锥体、台体体积公式之间的关系培养学生探索意识.
教学重点：柱体、锥体、台体的体积计算
教学难点：简单组合体的体积计算
教学过程：
一、复习引入
1.回顾长方体体积公式：V=？
2.其他几何体的体积如何求？
二、新知探究
1.祖暅原理
2.棱柱和圆柱的体积
3.棱锥和圆锥的体积
4.棱台和圆台的体积
5.球的体积
6.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
三、例题讲练
例1：如图，在长方体AC 1 中用截面截下一个 棱锥C-A 1DD 1,求棱锥C-A 1DD 1的体积与剩余部分
的体积之比。

练1：教材32页A 组2,3B1
例2：有一堆规格相同的铁制 (铁的密度是7.8g/cm 3)六角螺帽(如图)共重
5.8kg ，已知底面是正六边形，边长为12cm ，内孔直径为10mm ，高为10mm
，问
1()
V h S S '=
棱台
这堆螺帽大约有多少个( 取3.14，可用计算器)？
练2：A组1B组3
例3：下图是一个几何体的三视图(单位：cm)，画出它的直观图，并求出它的表面积和体积.
四、归纳小结：
1．柱体、锥体、台体的体积公式及关系.
2．简单组合体体积的计算.
3．等积变换
五、课后作业：1教材32页练习B组1,2
2.习题A2,4，8，9,10；习题B1-6
六、板书设计
课题
一复习引入三应用举例四归纳小结
二新知探究例1,2,3
七、课后反思。