图形的割补、切拼与旋转

图形的割补切拼与旋转图形是指具有特定形状和结构的物体或图案，包括各种几何图形、图像、图表等。

在设计、艺术、建筑等领域中，图形常常需要进行割补切拼和旋转等操作，以实现创意和美感的表达。

本文将探讨图形的割补切拼与旋转的应用和技巧。

一、图形的割补切拼图形的割补切拼是指将不同的图形拼接在一起构成新的形状。

这一技巧在平面设计、拼贴艺术等领域中得到广泛应用。

通过割取原有图形的一部分，并将其与其他图形进行拼接，可以创造出富有变化和层次感的作品。

在进行图形割补切拼时，需要考虑以下因素：1. 图形的形状和尺寸：选择适合拼接的图形，考虑其形状和尺寸是否与原有图形相符合，以保持整体的比例和协调性。

2. 色彩和纹理：合理运用颜色和纹理的变化，可以为割补切拼的图形增加丰富的视觉效果。

例如，可以利用不同的颜色和纹理将割补部分与原有图形进行区分，同时注重整体的和谐。

3. 图形的边缘处理：在进行割补切拼时，需要注意图形的边缘处理，使其看起来自然流畅。

可以运用平滑、渐变或其他特殊效果来实现边缘的融合。

二、图形的旋转图形的旋转是指将图形围绕指定的中心点或轴线进行旋转操作，使其产生新的表现形式。

旋转可以改变图形的方向和位置，给作品带来生动和变化。

在进行图形旋转时，应注意以下关键点：1. 旋转中心的选择：选择合适的旋转中心，可以使旋转后的图形呈现出不同的观感。

旋转中心可以是图形自身的某个点，也可以是外部指定的点。

2. 旋转角度的确定：旋转角度是决定旋转结果的重要参数。

可以根据设计的需要，选择适当的旋转角度，如45度、90度、180度等，也可以使用任意角度进行旋转。

3. 图形的排列和重复：通过对图形的旋转和排列，可以形成各种有趣的图案和花纹。

在进行重复旋转时，要注意保持图形之间的均衡和对称。

三、图形割补切拼与旋转的应用举例1. 平面设计：在海报、名片、宣传册等设计中，可以通过割补切拼和旋转来创造独特的视觉效果，吸引观众的目光。

2. 拼贴艺术：将不同的图片和材料进行割补切拼，可以产生出丰富多样的拼贴作品，展现出创意和个性。

浅谈小学数学中的图形割补法
数学中的图形割补法是小学数学中一个重要的概念，当我们遇到一些几何问题时，通
过图形割补法可以更加简便地解决问题。

那么什么是图形割补法呢？它又有什么应用呢？
首先，图形割补法是一种通过将一个图形割裂成若干小部分，然后再将这些小部分进
行重新排列组合的方法来解决问题的数学技巧。

具体来说，它通常需要借助一些简单的基
本图形来构造出复杂的图形，然后再通过对这些基本图形进行割裂和重组来得到所需要的
图形。

例如，在求解某个三角形面积时，我们可以将它割裂成若干小三角形，然后再通过
求解每个小三角形的面积，最后将它们相加得到整个三角形的面积。

除此之外，图形割补法还有很多其他的应用。

例如，对于某些常见的图形变换问题，
如旋转、平移、翻转等，我们可以通过图形割补法来更好地理解这些变换的本质，从而更
好地应用它们来解决问题。

此外，在解决某些三角函数问题时，如求解某个三角形的角度、边长等，图形割补法也是一种非常实用的技巧。

需要注意的是，在应用图形割补法时，我们首先需要对所给出的图形进行仔细的分析，明确其组成部分和性质，从而找到可供割裂和重组的基本图形。

在进行割裂和重组时，我
们还需要注意一些基本原则，如确保每个小图形都是独立互不重叠的、不遗漏任何部分、
不重复计算任何部分等等。

总之，图形割补法是小学数学中非常重要、实用的技巧之一。

通过巧妙地运用它，我
们可以更加轻松地解决复杂的几何问题，从而提高自己的数学水平。

经典题解题技巧大全【割补】在数学中，把图形的某个部分割下，补到某一个新的位置，往往可以使新的图形，更便于发现数量关系，从而较快地解答出数学题目.例如，在图4.38中，三个圆的面积都是12.56平方厘米，且三个圆两两相交，三个交点都是圆心，求三块阴影部分的面积.从表面上看，题目是无法解答的.但只要仔细观察就能发现，根据轴对称性及割补方法，题目可作如下的解答：如图4.39，将图形1翻折到图形2的位置；再将图形3和4割下来，合并在一起，补到图形5的位置上.于是，原来的阴影部分就正好拼成了一个半圆.所以，三块阴影部分的面积是12.56÷2=6.28（平方厘米）【拼接，截割】（1）平面图形的拼接、截割.拼接和截割，是两个相反的过程.平面图形的拼接是把两个或两个以上的图形拼接在一起；平面图形的截割，是把一个图形截割成两个或两个以上的图形.平面几何图形拼接或截割以后，面积和周长的变化有以下规律：①两个或两个以上的图形拼接成一个新的几何图形，它的面积等于原来若干个几何图形的面积之和；而周长却会比原图形周长之和要短.如果拼接部分的总长度为a，那么拼接后减少的周长就是2a.②把一个平面几何图形截割以后，各小块图形的面积之和，等于原图形的面积；但截割后各小块几何图形的周长之和，要比原图形的周长要长.若所有截割部分长度为a，那么截割后增加的长度就是2a.依据这一规律，可快速地解答一些几何问题.例如，如图4.40，正方形被均分为大小、形状完全相同的三个长方形，每个长方形周长都是48厘米，求正方形的周长.解题时，可以把大正方形看成是三个小长方形拼接而成的，三个小长方形的拼接部分，都是小长方形的长，长度等于大正方形的“边长”.拼接以后的图形（大正方形）的周长，比原来的三个小长方形的周长之和，要减少4个“边长”，而这4个“边长”正好相当于大正方形的周长.这就是说，三个小长方形的周长之和里，刚好包含有两个大正方形的周长.所以，正方形的周长是48×3÷2=144÷2=72（厘米）（2）立体图形的拼接、截割.立体几何图形拼接或截割以后，它的体积和表面积的变化，有以下规律：①两个或两个以上的几何体，拼接成一个新几何体以后，它的体积等于原来若干个几何体体积之和；但是它的表面积却比原来若干个几何体的表面积之和要小.如果重叠部分为S，那么减少的面积就是2S.②把一个几何体截割以后，各部分的体积之和等于原几何体体积；但截割后的表面积之和，却大于原几何体的表面积.如果其中的截割面积为S，那么，增加的表而积就是2S.依据这一规律，可以较快地解答出某些题目.例如，如图4.41，把一个棱长为5厘米的正方体木块锯成两个形状大小完全相同的长方体（不计损耗），表面积会增加多少平方厘米？因为正方体木块的截割面积为5×5=25（平方厘米），依据上面的规律可知，表面积会增加25×2=50（平方厘米）又如，把长10厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体木块截成形状、大小相同的两个长方体，表面会增加多少平方厘米？由于此题未交代从何处下手截割，所以要分三种情况来解答题目.①如图4.42左图的截法，表面积会增加.5×6×2=30×2=60（平方厘米）②如图4.42中图的截法，表面积会增加.10×6×2=60×2=12（平方厘米）③如图4.42右图的截法，表面积会增加10×5×2=50×2=100（平方厘米）。

图形变换，是指不改变图形的大小、形状，只通过位置关系的改变（旋转、平移、折叠等），构成新的图形． 【例 1】 右图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10．中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，它们的宽都是2，求草地部分的面积（阴影部分）有多大？【考点】平移、旋转、割补 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 如图所示，将道路平移后的()()162102112-⨯-=。

【答案】112【例 2】 如图所示，一个正十二边形的边长是1厘米，空白部分是等边三角形，一共有12个．请算出阴影部分的面积．1cm【考点】平移、旋转、割补 【难度】3星 【题型】解答【解析】 如图，将阴影部分分割成一个正六边形和12个小三角形，再把正六边形分割成6个正三角形，由于正十二边形的每个内角为()180********︒⨯-÷=︒，所以阴影小三角形的顶角等于15060230︒-︒⨯=︒，每个顶角的两边和与其相邻的正三角形的底边所成的角都是306090︒+︒=︒，所以通过如右上图所示的平移可以组成6个边长为1厘米的正方形，所以所求阴影部分面积为2166⨯=平方厘米．【答案】6【例 3】 如图所示，梯形ABCD 中，AB 平行于CD ，又4BD =，3AC =，5AB CD +=．试求梯形ABCD 的面积．D CBAEDBA【考点】平移、旋转、割补 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 如右图，将AB 沿AC 平移至CE ,连接BE ,在三角形BDE 中，有4BD =，3BE AC ==，5DE AB CD =+=，有222BD BE DE +=，所以三角形BDE 为直角三角形．由于ABD ABC BCE S S S ∆∆∆==，所以梯形ABCD 的面积与三角形BDE 的面积相等，为13462⨯⨯=．【答案】6【例 4】 如下图，六边形ABCDEF 中，AB ED =，AF CD =，BC EF =，且有AB 平行于ED ，AF 平行于CD ，BC 平行于EF ，对角线FD 垂直于BD ，已知24FD =厘米，18BD =厘米，请问六边形例题精讲4-2-5.平移、旋转、割补ABCDEF 的面积是多少平方厘米？FD BAGFE DCBA【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答 【解析】 如图，我们将BCD ∆平移使得CD 与AF 重合，将DEF ∆平移使得ED 与AB 重合，这样EF 、BC 都重合到图中的AG 了．这样就组成了一个长方形BGFD ，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD 的面积为2418432⨯=平方厘米，所以六边形ABCDEF 的面积为432平方厘米．【答案】432【例 5】 如图2，六边形ABCDEF 为正六边形，P 为对角线CF 上一点，若PBC 、PEF 的面积为3与4，则正六边形ABCDEF 的面积是．E【考点】平移、旋转、割补 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】迎春杯、中年级、初赛、7题 【解析】 这是一道几何问题，考察同学们对常见图形性质的认识．正六边形的六条边都相等，每个角都是，每一组对边都互相平行，正六边形可以看作是由六个正三角形拼成的（如图（1））．其中正六边形的面积是正三角形面积的6倍．每相邻两个正三角形拼成的是一个平行四边形．如图（2），连结BF ，三角形ABF 的面积是平行四边形ABFO 面积的一半．六边形ABCDEF 的面积是平行四边形ABFO 的3倍，故六边形ABCDEF 的面积是三角形ABF 的面积的6倍． 如图（3），连结BF ，CE ，三角形BCP 的面积与三角形EFP 的面积和是平行四边形BFEC 面积的一半．而六边形ABCDEF 的面积是平行四边形BFEC 的1.5倍，故六边形ABCDEF 的面积是三角形BCP 的面积与三角形EFP 的面积和的3倍．图（1）OAB CDEF图（2）OB ACDEF图（3）E所以，由PBC △、PEF △的面积分别为3与4， 可知正六边形ABCDEF 的面积是(34)321+⨯=．【答案】21【例 6】 正六边形A1A2A3A4A5A6的面积是2009平方厘米，B1,B2,B3,B4,B5,B6分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米．4A 3【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答【关键词】迎春杯、六年级、初赛、14题 【解析】 如图，设62B A 与13B A 的交点为O ，则图中空白部分由6个与23A OA △一样大小的三角形组成，只要求出了23A OA △的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积.4A 3A 654连接63A A 、61B B 、63B A设116A B B △的面积为“1”，则126B A B △面积为“1”，126A A B △面积为“2”，那么636A A B △面积为126A A B △的2倍，为“4”，梯形1236A A A A 的面积为224212⨯+⨯=，263A B A △的面积为“6”，123B A A △的面积为2根据蝴蝶定理，1263261316B A B A A B B O A O S S ===△△∶∶，故21233612167A OAB A A S S ==+△△， 所以231236A A A A 121277A OA S S =△梯形∶∶∶1∶，即23A OA △的面积为梯形1236A A A A 面积的17，故为六边形123456A A A A A A 面积的114，那么空白部分的面积为正六边形面积的136147⨯=，所以阴影部分面积为32009111487⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭(平方厘米).【答案】1148【例 7】 按照图中的样子，在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角三角形．已知甲三角形两条直角边分别为2cm 和4cm ，乙三角形两条直角边分别为3cm 和6cm ，求图中阴影部分的面积．【考点】平移、旋转、割补 【难度】3星 【题型】解答【解析】 如右图，我们将三角形甲与乙进行平移，就会发现平行四边形面积等于平移后两个长方形面积之和．所以阴影部分面积为：2346236242211cm ⨯+⨯-⨯÷+⨯÷=（）（）【答案】11【例 8】在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段(见右图)，求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几.【考点】平移、旋转、割补 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 阴影总值是一个梯形.我们用三种方法解答.⑴ 割补法从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形.将这两个直角三角形拼成一个长方形(见下图).显然，阴影部分正好是长方形的13，所以原题阴影部分占整个图形面积的13.⑵ 拼补法将两个这样的三角形拼成一个平行四边形(下页左上图).显然，图中阴影面积占平行四边形面积的13.根据商不变性质，将阴影面积和平行四边形面积同时除以2，商不变.所以原题阴影部分占整个图形面积的13.⑶ 等分法将原图等分成9个小三角形(见右上图)，阴影部分占3个小三角形，所以阴影部分占整个图形面积的3193=. 注意，后两种方法对任意三角形都适用.也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立. 【答案】13【例 9】 如下左图，有两个大小相同的完全重叠在一起的正方形，现在以点P 为中心转动一个正方形．当5AB =厘米，13BC =厘米，12CA =厘米时(如下右图)，求右图中的两个正方形相重叠部分的面积(注意，图的尺寸不一定准确)．P【考点】平移、旋转、割补 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 右图由左图旋转而得，则右图中的8个空白小三角形都是完全相同的，右图中重叠部分的面积等于正方形面积减去4个小三角形的面积，从右图中可以看出正方形的边长为5131230++=厘米，所以重叠部分的面积为：2304(5122)780-⨯⨯÷=(平方厘米)．【答案】780【例 10】 如图，在直角三角形中有一个正方形，已知10BD =厘米，7DC =厘米，求阴影部分的面积．【考点】平移、旋转、割补 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 绕D 点逆时针旋转CED ∆，使E 与F 重合，则C 点落在AB 边上的'C 点处，且'C D CD =．则阴影部分面积转化为直角三角形'BC D 的面积，所以阴影部分的面积为107235⨯÷=平方厘米．【答案】35【例 11】 四边形ABCD 中,AB =30,AD =48,BC =14,CD =40.又已知∠ABD +∠BDC =900,求四边形ABCD 的面积．DBA【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答 【解析】 如下图,以BD 的垂直平分线为对称轴L ,做△ABD 关于L 的对称图形△A 'BD .连接A 'C ．A 1IABCD因为∠ABD +∠BDC =9000而∠ABD =∠A 'DB =900,所以有∠A 'DB +∠BDC =900．那么A 'CD 为直角三角形,由勾股定理知2A C '=22AB CD +=2500,所以50A C '=.而在△A 'BC 中,有A 'B =AD =48,有482+142=2500,即A 'B 2+BC 2=A 'C 2,即△A 'BC 为直角三角形．有A CD A BCSS''+130402=⨯⨯114489362+⨯⨯=. 而|ABCD S 四边形A CD A BC S S ''=+936=.评注:Ⅰ.本题以∠ABC +∠BDC =900突破口,通过对称变换构造出与原图形相关的角三角形Ⅱ.对于这道题我们还可以将△BCD 作L 的对称图形.如下：C 1lABCD【答案】936【例 12】 如图,在三角形ABD 中,当AB 和CD 的长度相等时,请求出“?”所示的角是多少度,给出过程．DCAB?30°40°【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答 【解析】 因为AB =CD ,于是可以将三角形ABC 的边BA 边与CD 对齐,如下图． 在下图中有∠BCA =110°,所以∠ACD =70°于是∠AC C '=∠ACD +∠DC C '=∠ACD +∠ABC =70°+40°=110°；A 1D C 1C B 1BA即∠AC C '=110°=∠CC D '；又因为C A ''只是CA 移动的变化,所以C A ''=CA ；则ABC A ''是一等腰梯形．于是,∠ADC '=180°-110°=70°；又∠CDC '=30°,所以∠ADC =70°-30°=40°.【答案】40°【例 13】 如图所示的四边形的面积等于多少？DB13131212【考点】平移、旋转、割补 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB 绕顶点O 逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB 将旋转到三角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.因此，原来四边形的面积为1212144⨯=.(也可以用勾股定理)【答案】144【例 14】 如图，三角形ABC 是等腰直角三角形，P 是三角形外的一点，其中90BPC ∠=︒，10cm AP =，求四边形ABPC 的面积．P DCBAP'PDCBA【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答 【解析】 因为BAC ∠和BPC ∠都是直角，和为180︒，所以ABP ∠和ACP ∠的和也为180︒，可以旋转三角形APC ，使AC 和AB 重合，则四边形的面积转化为等腰直角三角形'AP P ，面积为1010250⨯÷=平方厘米．【答案】50【例 15】 如图所示，ABC ∆中，90ABC ∠=︒，3AB =，5BC =，以AC 为一边向ABC ∆外作正方形ACDE ，中心为O ，求OBC ∆的面积．【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】武汉明心奥数 【解析】 如图，将OAB ∆沿着O 点顺时针旋转90︒，到达OCF ∆的位置．由于90ABC ∠=︒，90AOC ∠=︒，所以180OAB OCB ∠+∠=︒．而OCF OAB ∠=∠， 所以180OCF OCB ∠+∠=︒，那么B 、C 、F 三点在一条直线上．由于OB OF =，90BOF AOC ∠=∠=︒，所以BOF ∆是等腰直角三角形，且斜边BF 为538+=，所以它的面积为218164⨯=．根据面积比例模型，OBC ∆的面积为516108⨯=．【答案】10【例 16】 如图，直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB BC ⊥，2AD =，3BC =，将腰CD 以D 为中心逆时针旋转90︒至ED ，连接AE 、CE ，则ADE ∆的面积是 ．ED CBAH FEDCBA【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】武汉明心奥数 【解析】 如图所示，将ADE ∆以D 为中心顺时针旋转90︒，到FDC ∆的位置．延长FD 与BC 交于H ．由于ABCD 是直角梯形，AD 与FD 垂直，则四边形ADHB 是长方形，则BH AD =．由于ADE ∆与FDC ∆面积相等，而FDC ∆的底边2FD AD ==，高321CH BC BH =-=-=，所以FDC ∆的面积为2121⨯÷=，那么ADE ∆的面积也为1．【答案】1【例 17】 如图，正方形ABCD 和DEFG 有一个公共点D ，试比较三角形ADG 和三角形CDE 的面积．GFEDCBAA'GFEDCBA【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答 【解析】 因为ADC ∠和GDE ∠是直角，所以ADG ∠和CDE ∠是互补角，将三角形ADG 顺时针旋转90︒到达'A DE ∆的位置，则'A 、D 、C 在同一条直线上，且'A D AD CD ==，即D 是'A C 的中点，所以三角形CDE 和三角形'A D E 面积相等，则三角形CDE 和三角形ADG 面积相等．【答案】相等【例 18】 如图，以正方形的边AB 为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，90AEB ∠=︒，AC 、BD 交于O ．已知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三角形OBE的面积．F【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】资优杯 【解析】 如图，连接DE ，以A 点为中心，将ADE ∆顺时针旋转90︒到ABF ∆的位置．那么90EAF EAB BAF EAB DAE ∠=∠+∠=∠+∠=︒，而AEB ∠也是90︒，所以四边形AFBE 是直角梯形，且3AF AE ==，所以梯形AFBE 的面积为：()1353122+⨯⨯=(2cm )．又因为ABE ∆是直角三角形，根据勾股定理，222223534AB AE BE =+=+=，所以21172ABD S AB ∆==(2cm )．那么()17125BDE ABD ABE ADE ABD AFBE S S S S S S ∆∆∆∆∆=-+=-=-=(2cm )，所以12.52OBE BDE S S ∆∆==(2cm )．【答案】2.5【例 19】 如图，已知4cm AB AE ==，BC DC =，90BAE BCD ∠=∠=︒，10cm AC =，则S ABC ACE CDE S S ∆∆∆++=2cm ．EDCBADEC 'A 'CBA【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】迎春杯、高年级、复赛、10题 【解析】 将三角形ABC 绕A 点和C 点分别顺时针和逆时针旋转90，构成三角形'AEC 和'A DC ，再连接''A C ，显然'AC AC ⊥，'AC A C ⊥，''AC A C AC ==，所以''ACA C 是正方形．三角形'AEC 和三角形'A DC 关于正方形的中心O 中心对称，在中心对称图形''ACA C 中有如下等量关系： ''AEC A DC S S ∆∆=；''AEC A DC S S ∆∆=；'CED C DE S S ∆∆=．所以2'''11101050cm 22ABC ACE CDE AEC ACE CDE ACA C S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++==⨯⨯=．【答案】50【例 20】 如图所示的四边形ABCD 中，45A C ∠=∠=°，105ABC ∠=°，15AB CD ==厘米，连接对角线BD ，30ABD ∠=︒．求四边形ABCD 的面积．DCB A DECBA【考点】平移、旋转、割补 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】第八届、华杯总决赛 【解析】 由45A ∠=°，30ABD ∠=︒，可得1804530105ADB ∠=︒-︒-︒=︒，1053075DBC ∠=︒-︒=︒．将DBC ∆剪下来，翻转，再贴在BD 边上，即将B 点粘在D 点上，D 点粘在B 点上，如右上图所示．则C 点在E 点的位置．由于10575180ADB EDB ∠+∠=︒+︒=︒，所以A 、D 、E 三点在同一条直线上．由于45A E C ∠=∠=∠=°，所以90ABE ∠=︒，即ABE ∆是等腰直角三角形，它的面积就等于四边形ABCD 的面积，所以四边形ABCD 的面积为1515112.52⨯=平方厘米．【答案】112.5【例 21】 如图，在ABD ∆中，AB CD =，求“？”的度数．40°30°?DCBAD【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答【解析】 如图，由于AB CD =，可以将ABC ∆移动到D C E ∆，由于180(3040)110A C B ∠=︒-︒+︒=︒，18011070ACD ∠=︒-︒=︒，所以7040110ACE ∠=︒+︒=︒，又110CED ∠=︒，而AC DE =，所以四边形ACED 是等腰梯形，有180********ADE CED ∠=︒-∠=︒-︒=︒，703040ADC ∠=︒-︒=︒． 点评：通过构造全等三角形来转化．【答案】40°【例 22】 下图三角形ABC 是等腰三角形，AB AC =，120BAC ∠=︒．三角形ADE 是正三角形，点D 在BC边上，:2:3BD DC =．当三角形ABC 的面积是250cm 时，三角形ADE 的面积是多少？ECBAGP R Q F EDCA【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答 【解析】 以点A 为中心，由三个三角形ABC 可拼成右图：连结QE 、RF 、GD ，则DEQFRG 是一个正六边形．连结RD 、DQ 、RQ ，显然RDQ 是一个等边三角形，并且它的面积是正六边形面积的一半，所以是三角形ADE 的面积的3倍．由于23150cm PBC ABC S S ∆∆=⨯=，根据“鸟头定理”，22336cm 3223DQC PBC S S ∆∆=⨯⨯=++，所以2342cm RDQ PBC DQC S S S ∆∆∆=-⨯=，则2342314cm ADE RDQ S S ∆∆=÷=÷=． 【答案】14【例 23】 如图，正方形PQRS 有三个顶点分别在ABC ∆的三条边上，BQ QC =．求正方形PQRS 的面积．【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答【解析】 如下图，我们设ABC ∆的面积为1，有161279341()122132111311143a e c db =---+=-⨯-⨯-⨯=，所以682143a e ==，751143bcd a ++=-=， 所以6875a b c d =++．如下图左，将三角形c 和三角形d 分别以P 、R 为中心按箭头方向旋转90︒，形成由两个直角三角形连在一起的一个四边形，如下图右，b 、c 、d 被虚线分成两个直角三角形，它们的面积之和为：276292230cm b c d ++=⨯÷+⨯÷=，所以2683027.2(cm )75a =⨯=．【答案】27.2【例 24】 如下图,△ABC 是边长为1的等边三角形,△BCD 是等腰三角形BD =CD ，顶角∠BDC =1200,∠MDN =600,求△AMN 的周长.120°60°M BD CNA【考点】平移、旋转、割补 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 如下图, 延长AC 至P ,使CP =MB ,连接DP .120°60°M BD C NA则有∠MBD =600+1163ADEDQRDEQSRT SS S ==正六边形01801202-=∠PCD ；CP =BM ；BD =CD ,所以有△MBD ≌△PCD .于是∠MDC =∠PDC ；又因为∠MDB +∠NDC =600,所以∠PDC +∠NDC =∠NDP =600； MD =PD ,在△MDN 、△PND 中,∠NDM =∠NDP ,ND =ND ,MD =PD ,于是△MND ≌△PND .有MN =PN .因为NP =NP =NC +CP ,而AM =AB -MB =AB -CP , 所以AM +AN +MN =(AB -CP )+AN +(NC +CP )=AB +AN +NC =2.即△AMN 的周长为2.【答案】2【例 25】 若干个大小相同的正五边形如右图排成环状，下图中所示的只是3个五边形．那么要完成这一圈共需个正五边形．【考点】平移、旋转、割补 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】迎春杯、六年级、初赛、5题 【解析】 如图，设O 为圆心，A 、B 、C 、D 为五边形的顶点，连接OA 、OB 、OC .DC B A O从图中可以看出，OAB △和OBC △是完全相同的，所以OBA OBC ∠=∠，又五边形内角和为540°，所以正五边形的每个内角都为5405108÷=°°，即108ABD CBD ∠=∠=°，那么3601082144ABC ∠=︒-︒⨯=︒，则144272OBA ∠=÷=°°，又OAB OBA ∠=∠，所以18072236AOB ∠=︒-︒⨯=︒所以要用3603610+=°°个正五边形才能围成一圈.【答案】10【例 26】 如图，ABCD 是矩形，BC =6cm , AB=10cm ,AC 和BD 是对角线，图中的阴影部分以C 为轴旋转一周，则阴影部分扫过的立体的体积是多少立方厘米？（π取3.14）【考点】平移、旋转、割补 【难度】3星 【题型】解答【关键词】华杯赛、决赛、第11题【解析】 ①设三角形BCO 以CD 为轴旋转一周所得到的立体的体积是s ，S 等于高为10厘米，底面半径是6厘米的圆锥的体积减去2个高为5厘米，底面半径是3厘米的圆锥的体积。

小学五年级逻辑思维学习—等积变换、切割、平移、旋转知识定位本讲是几何知识体系中的一个基石同时也是一个升华，等积变换试平面几何的基础，解决三角形问题几乎无处不在，切割、平移、旋转是解决个性问题的个性思想，在几何中举足轻重，能使复杂的问题巧妙化解。

所以本讲是非常重要的一讲，也是竞赛常考的知识板块。

重点难点：1. 等积变换中等地等高三角形的寻找。

2．化未知图形为已知图形。

3. 合理做辅助线4. 平移、旋转、切割等知识的适用范围主要考点：1. 面积和边的比例关系2. 利用平移、旋转解复杂问题知识梳理常见图形面积的解题方法我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）；如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1/3，则三角形面积与原来的一样。

这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：1、等底等高的两个三角形面积相等．2、若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．3、夹在一组平行线之间的等积变形，如下图，和夹在一组平行线之间，且有公共底边那么；反之，如果，则可知直线平行于。

4、把未知图形转化为三角形、长方形、正方形来求解。

例题精讲【试题来源】【题目】三个正方形ABCD ，BEFG ，HKPF 如图所示放置在一起，图中正方形BEFG 的周长等于14厘米。

求不规则图形面积的几种方法作者：白福花来源：《内蒙古教育·基教版》2012年第03期摘要：初三学习弧长及扇形的面积，在计算阴影部分的面积过程中，常遇到一些平面不规则图形的面积计算问题，对这类试题由于图形的不规则使学生在求解时往往感到茫然，不知所措；然而这类试题又能开发学生智力，能体现对数学思想方法、思维能力素质的考查，本文将结合具体实例谈谈把不规则图形的面积计算问题通过变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等方法，转化成规则图形面积的计算问题。

关键词：不规则图形面积求法一、割补法割补法是求解平面不规则图形面积问题最常用的方法之一，它包含三个方面的内容：一是分割原有图形成规则图形；二是粘补原有图形为规则图形；三是分割粘补兼而有之。

例1：当汽车在雨中行驶时，为了看清楚道路，司机要启动前方挡风玻璃上的雨刷器。

如图1-1是某汽车的一个雨刷器的示意图，雨刷器杆AB与雨刷器CD在B处固定连接（不能转动），当杆AB绕A点转动90°时，雨刷CD扫过的面积是多少呢？小明仔细观察了雨刷器的转动情况量得CD=80cm，∠DBA=20°，端点C、D与点A的距离分别是115cm、35cm，他经过认真思考只选用了其中的部分数据就求得了结果，你知道小明是怎样计算的吗？也请你算一算雨刷CD扫过的面积 ______cm2 （π取3.14）略解，由于CD和AB在点B处固定连接（不能转动），所以在整个运动过程中，就有AC=AC′=115cm，AD=AD′=35cm，CD=CD′=80cm，因此△ACD≌△AC′D′，把△AC′D′割下，粘补到△ACD的位置（图1-2），则雨刷CD扫过的面积，就等于以A为圆心，AC、AD为半径的两个圆的面积差。

注：在应用割补法求解问题时，往往要综合应用“分割”与“粘补”两种技能方法兼用，对思维的灵活性和严密性有着较高的要求。

二、重叠法重叠法是将所求的图形看成是两个或两个以上图形的重叠部分，然后运用“容斥原理”解决的一种方法。

图形的割补、切拼与旋转学法指导：小学里，我们已经初步接触了圆和扇形，现在我们又进一步学习了圆的有关概念及其周长和面积的计算。

圆周率是我国古代著名的数学家祖冲之发现的，多了不起呀。

通过图形的割补、切拼、旋转来计算圆的周长、面积的方法有很多种，本讲介绍了其中五种方法，分别是相加法、相减法、直接求法、重新组合法、辅助线法。

相加法是将不规则图形分解为几个基本图形，分别计算它们的面积，然后相加得到整个图形的面积。

相减法是将不规则图形看成几个基本图形面积之差。

直接求法事根据已知条件，从整体出发，求不规则图形面积。

重新组合法是将不规则图形拆开重新组合成新图形。

辅助线法是在图形添若干辅助线，使不规则图形转化为基本图形，用相加、相减法解决。

知识要点； 在学习了三角形、正方形、长方形、圆、扇形等基本图形的面积计算的基础上，可以通过对图形进行适当的分割、拼补、旋转等手段，使不规则图形转化为基本图形的和、差关系，同时还常要和“容斥原理”即B A B A B A S S S S ⋂⋃-+=合并使用才能解决。

经典例题：1、相加法：将不规则图形看成几个基本图形面积之和。

例1：已知正方形的边长为2，求图形的阴影部分面积。

2、相减法：将不规则图形看成几个基本图形面积之差。

例2：已知半圆的半径为4，求图形的阴影部分面积。

3、直接求法：根据已知条件，从整体出发，求不规则图形面积。

例3：如图，已知大正方形的边长为4，小正方形的边长为2，求图形的阴影部分面积。

4、重新组合法：将不规则图形拆开重新组合成新图形。

例4：如图，已知正方形的边长为4，求图形的阴影部分面积。

5、辅助线法：图形添若干辅助线，使不规则图形转化为基本图形，用相加、相减法解决。

例5：如图，已知大正方形的边长为4，小正方形的边长为2，求图形的阴影部分面积。

练习1、如图，已知正方形的边长为1，求图形的阴影部分面积。

2、如图，已知扇形的半径为2，求图形的阴影部分面积。

3、如图，已知两个半圆的直径分别为10和2，求图形的阴影部分面积。

图形之平移、旋转、割补图形变换，是指不改变图形的大小、形状，只通过位置关系的改变（旋转、平移、折叠等），构成新的图形． 【例 1】 右图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10．中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，它们的宽都是2，求草地部分的面积（阴影部分）有多大？【考点】平移、旋转、割补 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 如图所示，将道路平移后的()()162102112-⨯-=。

【答案】112【例 2】 如图所示，一个正十二边形的边长是1厘米，空白部分是等边三角形，一共有12个．请算出阴影部分的面积．1cm【考点】平移、旋转、割补 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 如图，将阴影部分分割成一个正六边形和12个小三角形，再把正六边形分割成6个正三角形，由于正十二边形的每个内角为()180********︒⨯-÷=︒，所以阴影小三角形的顶角等于15060230︒-︒⨯=︒，每个顶角的两边和与其相邻的正三角形的底边所成的角都是306090︒+︒=︒，所以通过如右上图所示的平移可以组成6个边长为1厘米的正方形，所以所求阴影部分面积为2166⨯=平方厘米．【答案】6【例 3】 如图所示，梯形ABCD 中，AB 平行于CD ，又4BD =，3AC =，5AB CD +=．试求梯形ABCD 的面积．D CBAEDCBA【考点】平移、旋转、割补 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 如右图，将AB 沿AC 平移至CE ,连接BE ,在三角形BDE 中，有4BD =，3BE AC ==，5DE AB CD =+=，有222BD BE DE +=，所以三角形BDE 为直角三角形．由于ABD ABC BCE S S S ∆∆∆==，所以梯形ABCD 的面积与三角形BDE 的面积相等，为13462⨯⨯=．【答案】6【例 4】 如下图，六边形ABCDEF 中，AB ED =，AF CD =，BC EF =，且有AB 平行于ED ，AF 平行于CD ，BC 平行于EF ，对角线FD 垂直于BD ，已知24FD =厘米，18BD =厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？例题精讲FED BAGFE DCBA【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答 【解析】 如图，我们将BCD ∆平移使得CD 与AF 重合，将DEF ∆平移使得ED 与AB 重合，这样EF 、BC 都重合到图中的AG 了．这样就组成了一个长方形BGFD ，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD 的面积为2418432⨯=平方厘米，所以六边形ABCDEF 的面积为432平方厘米．【答案】432【例 5】 如图2，六边形ABCDEF 为正六边形，P 为对角线CF 上一点，若PBC 、PEF 的面积为3与4，则正六边形ABCDEF 的面积是 ．E【考点】平移、旋转、割补 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】迎春杯、中年级、初赛、7题 【解析】 这是一道几何问题，考察同学们对常见图形性质的认识．正六边形的六条边都相等，每个角都是，每一组对边都互相平行，正六边形可以看作是由六个正三角形拼成的（如图（1））．其中正六边形的面积是正三角形面积的6倍．每相邻两个正三角形拼成的是一个平行四边形．如图（2），连结BF ，三角形ABF 的面积是平行四边形ABFO 面积的一半．六边形ABCDEF 的面积是平行四边形ABFO 的3倍，故六边形ABCDEF 的面积是三角形ABF 的面积的6倍． 如图（3），连结BF ，CE ，三角形BCP 的面积与三角形EFP 的面积和是平行四边形BFEC 面积的一半．而六边形ABCDEF 的面积是平行四边形BFEC 的1.5倍，故六边形ABCDEF 的面积是三角形BCP 的面积与三角形EFP 的面积和的3倍．图（1）OAB CDEF图（2）OB ACDEF图（3）E所以，由PBC △、PEF △的面积分别为3与4， 可知正六边形ABCDEF 的面积是(34)321+⨯=．【答案】21【例 6】 正六边形A1A2A3A4A5A6的面积是2009平方厘米，B1,B2,B3,B4,B5,B6分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米．A 3【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】迎春杯、六年级、初赛、14题【解析】 如图，设62B A 与13B A 的交点为O ，则图中空白部分由6个与23A OA △一样大小的三角形组成，只要求出了23A OA △的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积.4A 3A 654连接63A A 、61B B 、63B A设116A B B △的面积为“1”，则126B A B △面积为“1”，126A A B △面积为“2”，那么636A A B △面积为126A A B △的2倍，为“4”，梯形1236A A A A 的面积为224212⨯+⨯=，263A B A △的面积为“6”，123B A A △的面积为2根据蝴蝶定理，1263261316B A B A A B B O A O S S ===△△∶∶，故21233612167A OAB A A S S ==+△△， 所以231236A A A A 121277A OA S S =△梯形∶∶∶1∶，即23A OA △的面积为梯形1236A A A A 面积的17，故为六边形123456A A A A A A 面积的114，那么空白部分的面积为正六边形面积的136147⨯=，所以阴影部分面积为32009111487⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭(平方厘米).【答案】1148【例 7】 按照图中的样子，在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角三角形．已知甲三角形两条直角边分别为2cm 和4cm ，乙三角形两条直角边分别为3cm 和6cm ，求图中阴影部分的面积．【考点】平移、旋转、割补 【难度】3星 【题型】解答【解析】 如右图，我们将三角形甲与乙进行平移，就会发现平行四边形面积等于平移后两个长方形面积之和．所以阴影部分面积为：2346236242211cm ⨯+⨯-⨯÷+⨯÷=（）（）【答案】11【例 8】 在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段(见右图)，求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几.【考点】平移、旋转、割补 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 阴影总值是一个梯形.我们用三种方法解答.⑴ 割补法从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形.将这两个直角三角形拼成一个长方形(见下图).显然，阴影部分正好是长方形的13，所以原题阴影部分占整个图形面积的13.⑵拼补法将两个这样的三角形拼成一个平行四边形(下页左上图).显然，图中阴影面积占平行四边形面积的1 3 .根据商不变性质，将阴影面积和平行四边形面积同时除以2，商不变.所以原题阴影部分占整个图形面积的1 3.⑶等分法将原图等分成9个小三角形(见右上图)，阴影部分占3个小三角形，所以阴影部分占整个图形面积的3193=.注意，后两种方法对任意三角形都适用.也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立.【答案】1 3【例9】如下左图，有两个大小相同的完全重叠在一起的正方形，现在以点P为中心转动一个正方形．当5AB=厘米，13BC=厘米，12CA=厘米时(如下右图)，求右图中的两个正方形相重叠部分的面积(注意，图的尺寸不一定准确)．P【考点】平移、旋转、割补【难度】3星【题型】解答【解析】右图由左图旋转而得，则右图中的8个空白小三角形都是完全相同的，右图中重叠部分的面积等于正方形面积减去4个小三角形的面积，从右图中可以看出正方形的边长为5131230++=厘米，所以重叠部分的面积为：2304(5122)780-⨯⨯÷=(平方厘米)．【答案】780【例10】如图，在直角三角形中有一个正方形，已知10BD=厘米，7DC=厘米，求阴影部分的面积．【考点】平移、旋转、割补【难度】4星【题型】解答【解析】绕D点逆时针旋转CED∆，使E与F重合，则C点落在AB边上的'C点处，且'C D CD=．则阴影部分面积转化为直角三角形'BC D的面积，所以阴影部分的面积为107235⨯÷=平方厘米．【答案】35【例11】四边形ABCD中,AB=30,AD=48,BC=14,CD=40.又已知∠ABD+∠BDC=900,求四边形ABCD的面积．DCBA【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答 【解析】 如下图,以BD 的垂直平分线为对称轴L ,做△ABD 关于L 的对称图形△A 'BD .连接A 'C ．A 1IABCD因为∠ABD +∠BDC =9000而∠ABD =∠A 'DB =900,所以有∠A 'DB +∠BDC =900．那么A 'CD 为直角三角形,由勾股定理知2A C '=22AB CD +=2500,所以50A C '=.而在△A 'BC 中,有A 'B =AD =48,有482+142=2500,即A 'B 2+BC 2=A 'C 2,即△A 'BC 为直角三角形． 有A CD A BCSS''+130402=⨯⨯114489362+⨯⨯=. 而|ABCDS 四边形A CD A BC S S ''=+936=.评注:Ⅰ.本题以∠ABC +∠BDC =900突破口,通过对称变换构造出与原图形相关的角三角形Ⅱ.对于这道题我们还可以将△BCD 作L 的对称图形.如下：C 1lABCD【答案】936【例 12】 如图,在三角形ABD 中,当AB 和CD 的长度相等时,请求出“?”所示的角是多少度,给出过程．DCAB?30°40°【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答 【解析】 因为AB =CD ,于是可以将三角形ABC 的边BA 边与CD 对齐,如下图． 在下图中有∠BCA =110°,所以∠ACD =70°于是∠AC C '=∠ACD +∠DC C '=∠ACD +∠ABC =70°+40°=110°；A 1D C 1C B 1BA即∠AC C '=110°=∠CC D '；又因为C A ''只是CA 移动的变化,所以C A ''=CA ；则ABC A ''是一等腰梯形．于是,∠ADC '=180°-110°=70°；又∠CDC '=30°,所以∠ADC =70°-30°=40°.【答案】40°【例 13】 如图所示的四边形的面积等于多少？DB13131212【考点】平移、旋转、割补 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB 绕顶点O 逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB 将旋转到三角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.因此，原来四边形的面积为1212144⨯=.(也可以用勾股定理)【答案】144【例 14】 如图，三角形ABC 是等腰直角三角形，P 是三角形外的一点，其中90BPC ∠=︒，10cm AP =，求四边形ABPC 的面积．P DCBAP'PDCBA【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答 【解析】 因为BAC ∠和BPC ∠都是直角，和为180︒，所以ABP ∠和ACP ∠的和也为180︒，可以旋转三角形APC ，使AC 和AB 重合，则四边形的面积转化为等腰直角三角形'AP P ，面积为1010250⨯÷=平方厘米．【答案】50【例 15】 如图所示，ABC ∆中，90ABC ∠=︒，3AB =，5BC =，以AC 为一边向ABC ∆外作正方形ACDE ，中心为O ，求OBC ∆的面积．【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】武汉明心奥数 【解析】 如图，将OAB ∆沿着O 点顺时针旋转90︒，到达OCF ∆的位置．由于90ABC ∠=︒，90AOC ∠=︒，所以180OAB OCB ∠+∠=︒．而OCF OAB ∠=∠， 所以180OCF OCB ∠+∠=︒，那么B 、C 、F 三点在一条直线上．由于OB OF =，90BOF AOC ∠=∠=︒，所以BOF ∆是等腰直角三角形，且斜边BF 为538+=，所以它的面积为218164⨯=．根据面积比例模型，OBC ∆的面积为516108⨯=．【答案】10【例 16】 如图，直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB BC ⊥，2AD =，3BC =，将腰CD 以D 为中心逆时针旋转90︒至ED ，连接AE 、CE ，则ADE ∆的面积是 ．ED CBAH FEDCBA【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】武汉明心奥数 【解析】 如图所示，将ADE ∆以D 为中心顺时针旋转90︒，到FDC ∆的位置．延长FD 与BC 交于H ．由于ABCD 是直角梯形，AD 与FD 垂直，则四边形ADHB 是长方形，则BH AD =．由于ADE ∆与FDC ∆面积相等，而FDC ∆的底边2FD AD ==，高321CH BC BH =-=-=，所以FDC ∆的面积为2121⨯÷=，那么ADE ∆的面积也为1．【答案】1【例 17】 如图，正方形ABCD 和DEFG 有一个公共点D ，试比较三角形ADG 和三角形CDE 的面积．GFEDCBAA'GFEDCBA【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答 【解析】 因为ADC ∠和GDE ∠是直角，所以ADG ∠和CDE ∠是互补角，将三角形ADG 顺时针旋转90︒到达'A DE ∆的位置，则'A 、D 、C 在同一条直线上，且'A D AD CD ==，即D 是'A C 的中点，所以三角形CDE 和三角形'A DE 面积相等，则三角形CDE 和三角形ADG 面积相等．【答案】相等【例 18】 如图，以正方形的边AB 为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，90AEB ∠=︒，AC 、BD 交于O ．已知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三角形OBE 的面积．F【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】资优杯 【解析】 如图，连接DE ，以A 点为中心，将ADE ∆顺时针旋转90︒到ABF ∆的位置．那么90EAF EAB BAF EAB DAE ∠=∠+∠=∠+∠=︒，而AEB ∠也是90︒，所以四边形AFBE 是直角梯形，且3AF AE ==，所以梯形AFBE 的面积为：()1353122+⨯⨯=(2cm )．又因为ABE ∆是直角三角形，根据勾股定理，222223534AB AE BE =+=+=，所以21172ABD S AB ∆==(2cm )．那么()17125BDE ABD ABE ADE ABD AFBE S S S S S S ∆∆∆∆∆=-+=-=-=(2cm )，所以12.52OBE BDE S S ∆∆==(2cm )．【答案】2.5【例 19】 如图，已知4cm AB AE ==，BC DC =，90BAE BCD ∠=∠=︒，10cm AC =，则S ABC ACE CDE S S ∆∆∆++= 2cm ．EDCBADEC 'A 'CBA【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】迎春杯、高年级、复赛、10题 【解析】 将三角形ABC 绕A 点和C 点分别顺时针和逆时针旋转90，构成三角形'AEC 和'A DC ，再连接''A C ，显然'AC AC ⊥，'AC A C ⊥，''AC A C AC ==，所以''ACA C 是正方形．三角形'AEC 和三角形'A DC 关于正方形的中心O 中心对称，在中心对称图形''ACA C 中有如下等量关系： ''AEC A DC S S ∆∆=；''AEC A DC S S ∆∆=；'CED C DE S S ∆∆=．所以2'''11101050cm 22ABC ACE CDE AEC ACE CDE ACA C S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++==⨯⨯=．【答案】50【例 20】 如图所示的四边形ABCD 中，45A C ∠=∠=°，105ABC ∠=°，15AB CD ==厘米，连接对角线BD ，30ABD ∠=︒．求四边形ABCD 的面积．DCB A DECBA【考点】平移、旋转、割补 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】第八届、华杯总决赛 【解析】 由45A ∠=°，30ABD ∠=︒，可得1804530105ADB ∠=︒-︒-︒=︒，1053075DBC ∠=︒-︒=︒．将DBC ∆剪下来，翻转，再贴在BD 边上，即将B 点粘在D 点上，D 点粘在B 点上，如右上图所示．则C 点在E 点的位置．由于10575180ADB EDB ∠+∠=︒+︒=︒，所以A 、D 、E 三点在同一条直线上．由于45A E C ∠=∠=∠=°，所以90ABE ∠=︒，即ABE ∆是等腰直角三角形，它的面积就等于四边形ABCD 的面积，所以四边形ABCD 的面积为1515112.52⨯=平方厘米．【答案】112.5【例 21】 如图，在ABD ∆中，AB CD =，求“？”的度数．40°30°?DCBAD【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答 【解析】 如图，由于AB CD =，可以将ABC ∆移动到DCE ∆，由于180(3040)110AC B ∠=︒-︒+︒=︒，18011070ACD ∠=︒-︒=︒，所以7040110ACE ∠=︒+︒=︒，又110CED ∠=︒，而AC DE =，所以四边形ACED 是等腰梯形，有180********ADE CED ∠=︒-∠=︒-︒=︒，703040ADC ∠=︒-︒=︒． 点评：通过构造全等三角形来转化．【答案】40°【例 22】 下图三角形ABC 是等腰三角形，AB AC =，120BAC ∠=︒．三角形ADE 是正三角形，点D 在BC边上，:2:3BD DC =．当三角形ABC 的面积是250cm 时，三角形ADE 的面积是多少？ECBAGP R Q F EDCA【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答 【解析】 以点A 为中心，由三个三角形ABC 可拼成右图：连结QE 、RF 、GD ，则DEQFRG 是一个正六边形．连结RD 、DQ 、RQ ，显然RDQ 是一个等边三角形，并且它的面积是正六边形面积的一半，所以是三角形ADE 的面积的3倍．由于23150cm PBC ABC S S ∆∆=⨯=，根据“鸟头定理”，22336cm 3223DQC PBC S S ∆∆=⨯⨯=++，所以2342cm RDQ PBC DQC S S S ∆∆∆=-⨯=，则2342314cm ADE RDQ S S ∆∆=÷=÷=． 【答案】14【例 23】 如图，正方形PQRS 有三个顶点分别在ABC ∆的三条边上，BQ QC =．求正方形PQRS 的面积．【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答【解析】 如下图，我们设ABC ∆的面积为1，有161279341()122132111311143a e c db =---+=-⨯-⨯-⨯=，所以682143a e ==，751143bcd a ++=-=， 所以6875a b c d =++．如下图左，将三角形c 和三角形d 分别以P 、R 为中心按箭头方向旋转90︒，形成由两个直角三角形连在一起的一个四边形，如下图右，b 、c 、d 被虚线分成两个直角三角形，它们的面积之和为：276292230cm b c d ++=⨯÷+⨯÷=，所以2683027.2(cm )75a =⨯=．P SR dcb6cm 2cmd QPS R CBA2cm 9cm6cm7cmc b c d【答案】27.2【例 24】 如下图,△ABC 是边长为1的等边三角形,△BCD 是等腰三角形BD =CD ，顶角∠BDC =1200,∠MDN =600,求△AMN 的周长.120°60°M BD CNA【考点】平移、旋转、割补 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 如下图, 延长AC 至P ,使CP =MB ,连接DP .120°60°M BD PC NA则有∠MBD =600+1163ADEDQRDEQSRT SS S ==正六边形01801202-=∠PCD ；CP =BM ；BD =CD ,所以有△MBD ≌△PCD .于是∠MDC =∠PDC ；又因为∠MDB +∠NDC =600,所以∠PDC +∠NDC =∠NDP =600； MD =PD ,在△MDN 、△PND 中,∠NDM =∠NDP ,ND =ND ,MD =PD ,于是△MND ≌△PND .有MN =PN .因为NP =NP =NC +CP ,而AM =AB -MB =AB -CP , 所以AM +AN +MN =(AB -CP )+AN +(NC +CP )=AB +AN +NC =2.即△AMN 的周长为2.【答案】2【例 25】 若干个大小相同的正五边形如右图排成环状，下图中所示的只是3个五边形．那么要完成这一圈共需个正五边形．【考点】平移、旋转、割补 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】迎春杯、六年级、初赛、5题 【解析】 如图，设O 为圆心，A 、B 、C 、D 为五边形的顶点，连接OA 、OB 、OC .11 DC B A O从图中可以看出，OAB △和OBC △是完全相同的，所以OBA OBC ∠=∠，又五边形内角和为540°，所以正五边形的每个内角都为5405108÷=°°，即108ABD CBD ∠=∠=°，那么3601082144ABC ∠=︒-︒⨯=︒，则144272OBA ∠=÷=°°，又OAB OBA ∠=∠，所以18072236AOB ∠=︒-︒⨯=︒所以要用3603610+=°°个正五边形才能围成一圈.【答案】10【例 26】 如图，ABCD 是矩形，BC =6cm , AB=10cm ,AC 和BD 是对角线，图中的阴影部分以C 为轴旋转一周，则阴影部分扫过的立体的体积是多少立方厘米？（π取3.14）【考点】平移、旋转、割补 【难度】3星 【题型】解答【关键词】华杯赛、决赛、第11题【解析】 ①设三角形BCO 以CD 为轴旋转一周所得到的立体的体积是s ，S 等于高为10厘米，底面半径是6厘米的圆锥的体积减去2个高为5厘米，底面半径是3厘米的圆锥的体积。