【精品】(提高版)几何图形—专题04《图形的拆分(拼切)》2020年通用版小升初数学冲A提高集训(原卷版)

“图形的分割与拼接”专项复习本讲主要学习三大图形处理方法：1．理解掌握图形的分割；2．理解掌握图形的拼合；3．理解图形的剪拼．本讲中很多类型的题目还要求同学们去动手尝试．通过本讲知识的学习，让同学们了解不同图形的分割、拼合、剪拼的方法，锻炼同学们的平面想象能力以及增强学生的动手操作能力．把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割．反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合．将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼．我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考．如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先分少，再分多．图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合数量来分割图形．如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，先拼少的，再拼多的．如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法．【典型例题】板块一图形的分割【例 1】用一条线段把一个长方形平均分割成两块，一共有多少种不同的分割法？BA O【解析】怎样把一个图形按照规定的要求分割成若干部分呢？这就是图形的分割问题．按照规定的要求合理分割图形，是很讲究技巧的，多做这种有趣的训练，可以培养学生的创造性思维，发展空间观念，丰富想象，提高观察能力．这道题要求把长方形平均分割成两块，过长方形中心的任意一条直线都可以把长方形平均分割成两块，根据这点给出如下分法(如右图)：⑴做长方形的两条对角线，设交点为O⑵过O点任作一条直线AB，直线AB将长方形平均分割成两块．可见用线段平分长方形的分法是无穷多的．【巩固】画一条直线，将六边形分成大小相等、形状相同的两部分，这样的直线有条．【解析】无数条．任何过六边形中心的直线均符合要求．【例 2】 把任意一个三角形分成面积相等的4个小三角形，有许多种分法．请你画出4种不同的分法． 【解析】根据等底等高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成4个等底等高的小三角形，它们的面积必定相等．而要得到这4个等底等高的小三角形，只需把原三角形的某条边四等分，再将各分点与这边相对的顶点连接起来就行了．根据上面的分析，可得如左下图所示的三种分法．又因为4 1 4 22=⨯=⨯，所以，如果我们把每一个小三角形的面积看做1，那么14⨯就可以视为把三角形的面积直接分成4等份，即分成4个面积为1的小三角形；而22⨯可以视为先把原三角形分成两等份，再把每一份分别分成两等份．根据前面的分析，在每次等分时，都要想办法找等底等高的三角形． 根据上面的分析，又可以得到如右下图的另两种分法．AB C C B AABC【巩固】把任意一个三角形分成面积相等的2个小三角形，有许多种分法．请你画出3种不同的分法．AB CC B ABA【解析】 根据等底等高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成2个等底等高的小三角形，它们的面积必定相等．而要得到这2个等底等高的小三角形，只需找出原三角形的某条边的中点与这边相对的顶点连接起来就行了．根据上面的分析，可得如图所示的三种分法．【例 3】怎样把一个等边三角形分别分成8块和9块形状、大小都一样的三角形．→【解析】 ⑴分成8块的方法是：先取各边的中点并把它们连接起来，得到4个大小、形状相同的三角形， 然后再把每一个三角形分成两部分，得到如左上图所示的图形．⑵分成9块的方法是：先把每边三等分，然后再把分点彼此连接起来，得到加上右上图所示的符合条件的图形．【例 4】 下图是一个直角梯形，请你画一条线段，把它分成两个形状相同并且面积相等的四边形．321DCB A 1FE 221D C BA【解析】 直角梯形的上底为1，下底为2，要分成两个相同的四边形，需要一条边可以分成1和2，AD 边长正好为3，所以AD 边分成两段，找到AD 的三等分点E ，现在，CD AE =，DE AB =，BF EF =，所以还要找到BC 的中点F ，连接EF ，就把梯形ABCD 分成完全相同的两部分．如右上图．【例 5】在一块长方形的地里有一正方形的水池(如下图)．试画一条直线把除开水池外的这块地平分成两块．AO【解析】用连对角线的办法找出这块长方形地的中心O 和正方形水池的中心A ．过O 、A 画一条直线，这条直线正好能把除开水池外的这块地平分为两块(如右上图)．【例 6】 把下图四等分，要求剪成的每个小图形形状、大小都一样．除了剪正方形外，你还有别的方法吗？2060402020【解析】 先把图形分成2040⨯相等的两块，每一块中再分成相等的两份，这样就不难分成四块了，如右上图．【例 7】 下图是一个34⨯的方格纸，请用四种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整．【解析】 分成的两块每块有1226÷=(个)小格，并且这两块要关于中心点对称，大小和形状完全一样，我们从对称线入手，介绍一种分割技巧——染色法，先选中一个小格，找它关于中心点或中心线的对称位置，标上相应的符号．当找它关于中心线的对称位置时是一种情况，关于中心点的对称位置是另一种情况，具体如下图所示．【巩固】右图是一个44⨯的方格纸，请用六种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整．【解析】因为要分割成完全相同的两块，即大小、形状完全相同．方格纸一共有4416⨯=(个)小格，所以分成的两块每块有1628÷=(个)小格，并且这两块要关于中心点对称，大小和形状完全一样，应用染色法，从中心点的一侧入手染色，逐步推进．(建议教师同时呈现六幅空的44⨯格图，不同的变化在不同的图上同时呈现)如下图：【例 8】下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的四部分．【解析】要求把阴影部分分成四个大小、形状都相同的四个图形，先不考虑形状，大小相同也就是面积相等，也就是把整个图形的面积分成四份，分割后的每一部分占一份．考虑先把阴影部分分成12个小正方形再分成四份，这样每份正好有3个小正方形．再看形状，三个小正方形只能排成“－”形或者“∟”形．答案如下图．【巩固】下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的两部分．如果分三部分呢？【解析】从形状，面积两方面综合考虑，很容易就能得到答案．答案如右上图．【巩固】图中是由三个正三角形组成的梯形．你能把它分割成4个形状相同、面积相等的梯形吗？【解析】这道题的要点在于通过计算解决问题，要求把原来三个正三角形分成四个大小、形状都相同的四个梯形，先不考虑形状，大小相同也就是面积相等，即把整个梯形的面积分成四份，分割后的每一个梯形占一份，可以考虑把每一个三角形的面积分成四份，再把三个正三角形中的每一个小三角形合成要求的梯形，这种类型的题目可以从中点入手，找到每个正三角形的中点并连接，如右上图．【例 9】下图是由五个正方形组成的图形．把它分成形状、大小都相同的四个图形，应怎样分？【解析】如果不考虑分成的四个图形的形状，只考虑它们的面积，这就要求把原来五个正方形分成四个面积相等的图形，每个图形的面积应是1个多正方形．我们把每个正方形各分成四个面积相等的小正方形，分成的每块图形应有五个这样的小正方形．根据图形的对称性，我们很快就能得到如右上图的分法．也可以将中间的正方形分成四个小正方形，如右上图．【例 10】已知左下图是由同样大小的5个正方形组成的．试将图形分割成4块形状、大小都一样的图形．【解析】已知图形是由同样大小的5个正方形组成的，要分成4块同样大小的图形，则每块图形是5 4个正方形．由此想到，若把每个正方形都分成4等份，则分割成的每一块中应包含5份．再稍经试验，即得右上图的解(图内部的实线为分割线)．【巩固】把右图剪成形状、大小相等的8个小图形，怎么剪？作出分出的小图形．【解析】 总格数为12，用总格数除以8，得到每个小图形应该是一个半小正方形，根据平均一个小图形的格数作图，如右图．【例 11】 下图是由18个小正方形组成的图形，请你把它分成6个完全相同的图形．【解析】 通过计算，18÷6=3，说明基本形状是由三个小正方形组成，三个正方形有两种形式：与，通过观察，上面的图形具有对称性，不可能分成6个，再由6结合染色法，如下图．666555444333222111【例 12】 一个正三角形形状的土地上有四棵大树(如下图所示)，现要把这块正三角形的土地分成和它形状相同的四小块，并且要求每块地中都要有一棵大树．应怎样分？【解析】 由于土地的形状为正三角形，由题意可知，把大三角形的面积分成四份，每一块占一份，且形状与原三角形相同，于是我们想到取大正三角形的各边中点，依次连接各边中点，即可将这块大正三角形的土地分成与它相等的四份，如右上图所示．【总结】本题若死守三角形面积等于底 高的一半，则无以下手，引导学生转换一下思考角度，取原三角形各边中点，将原三角形分成面积相等的四部分，问题即可解决．【例 13】 将下图分割成大小、形状相同的三块，使每一小块中都含有一个○．【解析】 图中一共有18个小方格，要求分割成大小、形状相同的三块，每一块有：1836÷=(块)，而且分割成大小、形状相同的三块，可以看出图形的中心点是O ，而且上面的部分是对称的，但是只有5块，需要对称的再加上一块，再由图形的特点，可以判断应分为右下图的三部分．O【例 14】 请把下面这个长方形沿方格线剪成形状、大小都相同的4块，使每一块内都含有“奥数读本”这四个字中的一个，该怎么剪？本读数奥 【解析】 图中“奥数”与“读本”中的两个字都是挨着的，所以肯定要在它们中间分割，因此，首先在他们中间划出分割线，因为要将这个长方形分成大小、形状完全相同的4块，因为长方形是64⨯的，所以分割后的每一块都有6小块组成，可以考虑先把长方形分成相同的两部分，再把每一部分分成相同的两部分，如下图所示．本读数奥答案不唯一．【例 15】 (2008年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛初赛)请把下面的图形分成形状、大小都相同的4块，使每一块里面都有“春蕾杯赛”4个字．春春蕾杯赛春春蕾蕾蕾杯杯杯赛赛赛第13题【解析】 如下图所示：图1答案不唯一．【例 16】 学习与思考对小学生的发展是很重要的，学习改变命运，思考成就未来，请你将下图分成形状和大小都相同的四个图形，并且使其中每个图形都含有“学习思考”这四个字．应怎样分？学习思考学习思考学习思考考思习学 （5）（4）（3）（2）（1）【解析】 看到这道题目，我们想到俄罗斯方块，由题意可知，所分出的每一块图形，必须由4个小正方形组成，它的形状不外乎如右上图所示的五种俄罗斯方块，这就控制了搜索的范围．根据原题中各个字的具体位置，上图中有些图形是必须排除的，例如，如果把图⑵与原题右下角22⨯的正方形重叠，其中“考”字出现了两次，不符合题意，因此，图⑵可以先排除掉． 现在，再固定某一角上的一个小正方形，按其中的字来考虑．如固定右上角写有“考”的小正方形来分析，只有下列4种可能出现的情况：考思习学考思学习学考思习学考思习学习思考考思习学考思习学考思习学【例 17】 如下图所示，请将这个正方形分切成两块，使得两块的形状、大小都相同，并且每一块都含有学而思奥数五个字．学而思奥数数奥思而学→图1 图2【解析】 图中有相同汉字挨在一起的情况，肯定要从它们之间切开(图1)，因此，首先要在它们之间划出切分线．因为要将这个正方形切开成两块形状和大小都一样的图形，所以其中一块绕中心点旋转180︒必定与另一块重合．要是把切分线也绕中心点旋转180°就可得到一些新的切分线(图2)．这就为我们解决问题提供了线索，本题的两种解法如上图所示．【巩固】如下图所示的正方形是由36个小正方格组成的．如图那样放着4颗黑子，4颗白子，现在要把它切割成形状、大小都相同的四块，并使每一块中都有一颗黑子和一颗白子．试问如何切割？【解析】首先在相同颜色的棋子之间划出切分线，以中心旋转90、180、270之后，得到一些新的切分线，同时考虑到每块包含有一颗黑子和一颗白子的要求，以及每一块面积应该是3649÷=，即含有9个小正方格，先找到符合要求的一块后，让它绕中心旋转90、180、270便得到其他三块，如右上图．【例 18】如图，甲、乙是两个大小一样的正方形．要求把每一个正方形分成四块，两个正方形共分为八块，使每块的大小和形状都相同，而且都带一个○．甲乙【解析】一个正方形分成大小和形状都相同的四块，一定是从中心点分开的，只要能找出其中符合题目要求的一块，然后再将这块绕着正方形的中心点分别旋转90、180、270就可以得到另外三块．又因为这个正方形面积为36平方单位，所以分成的每一块的面积都是9平方单位．即每一块都由9个小正方格组成．另外，由于两个正方形要切分成一样大小的四块，因此可将两个正方形重叠在一起考虑．①将两个正方形重叠在一起，如下图所示，为便于区别，将其中一组的“○”改写成“×”．按要求将这重叠的正方形切分成大小、形状都相同的四块，并且每块都有一个“○”和“×”．②图中有相同符号的“○”挨在一起的从中间把它们切开，在它们中间划上截线．并将这些截线绕中心点旋转90、180、270得到另外三段截线．如下图．利用它们设想出划分线．③设想分块从中心位置开始，逐步向外扩散，在里层方格中，先指定某一方格已分入到某小块中，并作上记号(斜线阴影)，然后将它绕中心旋转180后得到另一方格分入到另一小块中，也作上记号(横线阴影)，如图．对于中间一层方格和最外一层方格，设想分块时一定要紧扣条件：每一块中都要有一个“○”和一个“⨯”．每一块都有9个方格组成，不能断开．下图是分解了的分块过程示意图．④注意到斜线阴影部分已经有了一个“○”和一个“⨯”．那么左下角包含“○”的方格就不能再分到斜线阴影部分去了，而只能将右下角的方格分到斜线阴影部分．于是左上角的方格就应该分给横线阴影部分．空白部分是另外两块． 下就是最后分得的结果．【例 19】 正三角形ABC 的面积是1平方米，将三条边分别向两端各延长一倍，连结六个端点得到一个六边形(如右图)，求六边形的面积．CBA【解析】采用分割法，过A 、B 、C 分别作平行线，得到右上图，其中所有小三角形的面积都相同，所以六边形面积等于13平方米．【巩固】正方形ABCD 的面积是1平方米，将四条边分别向两端各延长一倍，连结八个端点得到一个正方形(如图)，求大正方形的面积．DCB A【解析】四条边分别向两端各延长一倍，很容易可以观察出，大正方形有9个小正方形组成，所以，大正方形的面积是：199⨯=(平方米)．【巩固】正六边形ABCDEF的面积是1平方米，将六条边分别向两端各延长一倍，交于六个点，组成如下图的图形，求这个图形的面积．FE D CB AFE D CBA【解析】采用分割法，连接正六边形的对角线，会发现，所有的三角形面积都相同，一共有12个小三角形，原来正六边形的面积是1平方米，由6个小三角形组成，所以现在的大图形的面积是：122⨯=(平方米)【例 20】(第九届“中环杯”小学生思维能力训练活动初赛)如图，它是由15个边长为1厘米的小正方形组成的．⑴请在原图中沿正方形的边线，把它划分为5个大小形状完全相同的图形，分割线用笔描粗．⑵分割后每个小图形的周长是厘米．⑶分割后5个小图形的周长总和与原来大图形的周长相差厘米．第3题【分析】⑴因为总共有15个小正方形，所以分成5个大小形状相同的图形后每个图形应该有1553÷=(个)小正方形，如图．⑵每个小图形的周长为8厘米．⑶5个小图形的周长和：8540⨯=(厘米)，原图形的周长：44218⨯+=(厘米)，所以相差401822-=(厘米)．图1【例 21】如何把下图中的三个图形分割成两个相同的部分(除了沿正方形的边进行分割外，还可沿正方形的对角线进行分割)．【解析】要把图形分成两个相同的部分，首先要保证分得的两部分面积相同，其次要保证分得的两部分形状相同，从面积入手进行分割会使问题更容易解决．第一个图形一共有6个小正方形，2个三角形，要分割成两块完全相同的部分，每一部分都要有3个正方形、1个三角形，这样很容易就可以解决这个问题了；同样，对第二个图形，一共有7个正方形，2个三角形，因为正方形的个数是奇数，所以，肯定有一个正方形被分成相同的两块，对于这个图形，我们很容易看出有一个正方形的位置很特殊，在最中间，所以考虑将它分成两部分，由对称的原则，从对角线分开；第三个图形更复杂一些，一共有6个正方形，6个三角形，分成的两块每一块都要有3个正方形、3个三角形，因为最上面的两个三角形组合成了一个大的三角形，所以右下方的两个三角形不能分开，再根据对称的原则，就容易解决这个问题了，具体分法见下图．【例 22】(2003年《小学生数学报》数学邀请赛)如图，将一个等边三角形分割成互相不重叠的23个较小的等边三角形(这些较小的等边三角形的大小不一定都相同)，请在图中画出分割的结果．【解析】分割的方法不唯一，如图所示．【例 23】(2005年《小学生数学报》数学邀请赛)如图，将一个正方形分割成互相不重叠的21个小正方形，这些小正方形的大小不一定相同，请画图表示．【解析】分割的方法不唯一，如右图所示．板块二图形的拼合【例 24】用两块大小一样的等腰直角三角形能拼成几种常见的图形？【解析】建议用等腰直角三角板，把不同的边进行重合，不要漏掉旋转重合，或者准备一些等腰直角三角形的纸片，由学生拼接后贴到黑板上，见下图：【巩固】用3个等腰直角三角形拼图，要求边与边完全重合，能拼出几种图形？【解析】这种类型的题需要学生亲自操作，建议教师准备材料与学生互动．一共可以拼成如下图的几种形状：【巩固】用同样大小的四块等腰直角三角板，能否拼出一个三角形、一个正方形、一个长方形、一个梯形、一个平行四边形五种图形？若能，画出示意图．【解析】能用四块同样大小的等腰直角三角板拼出一个三角形、一个正方形、一个长方形、一个梯形、一个平行四边形五种图形．建议用等腰直角三角板，把不同的边进行重合，不要漏掉旋转重合，或者准备一些等腰直角三角形的纸片，由学生拼接后贴到黑板上，具体拼法如图所示．【例 25】下面哪些图形自身用4次就能拼成一个正方形？【解析】用4块图(4)和图(5)那样的图形显然能够拼成一个大正方形．其实用图(1)、图(2)、图(3)也能拼成一个大正方形，拼法见下图．【例 26】用下面的3个图形，拼成右边的大正方形．【解析】首先数一数所有的空格数，一共只有16个，只能组成44的正方形，使用目标倒推法，在右边的大正方形中拼图，仍然使用染色法，相当于把已知图形往右边的大正方形中放，这样就很容易拼合了，如下图：【巩固】用“四连块”拼成一个正方形，按编号画入右边图中．④③②①【解析】 首先数一数所有的空格数，一共只有16个，只能组成44⨯的正方形，目标倒推，在右边的大正方形中拼图，仍然使用染色法，相当于把已知图形往右边的大正方形中放，这样就很容易拼成了，注意标号的位置，具体如下图所示：→→→【例 27】 有6个完全相同的，你能将它们拼成下面的形状吗？【解析】 利用染色法以及图形的对称性，对称轴两侧都有三个小图形，按照下面的顺序标号即可完成．→→【例 28】 (保良局亚洲区城市小学数学邀请赛)三种塑料板的型号如图：(A ) (B ) (C )已有A 型板30块，要购买B 、C 两种型号板若干，拼成55⨯正方形10个，B 型板每块价格5元，C 型板每块价格为4元．请你考虑要各买多少块，使所花的总钱数尽可能少，那么购买B 、C 两种板要花多少元？【解析】 要使花的钱尽可能的少，已有30个A 型板最好能用上，而价格较贵的B 型板尽可能少用，因为A 型与B 型的面积都为3，所以在拼成的55⨯的正方形中，除了C 型外，余下的面积应能被3整除．有25449-⨯=或254121-⨯=能被3整除知，只能用4块C 型板或1块C 型板，考虑尽可能多地使用A 型板，有如下图1、图2 的拼法：BC CCC B AAAAAA BCA图1 图2图1的拼法要花445226⨯+⨯=(元)，图2的拼法要花459+=(元)，因为只有30块A 型板，所以在10快55⨯的正方形中，图2的拼法只能有4块，剩下6块用图1拼法，共需：94266192⨯+⨯=(元)【例 29】 试用图a 中的8个相等的直角三角形，拼成图b 中的空心正八边形和图c 中的空心正八角星．【解析】 把一个直角三角形的斜边与另一个直角三角形的一条直角边重合，同时，斜边上的一个锐角顶点与直角顶点重合，像这样依次摆放下去，便可得空心正八边形．若把一个直角三角形的斜边与另一个直角三角形的直角边的一部分重合，但顶点均不重合，依次摆放下去，便可由这八个相等的直角三角形组成空心正八角星．板块三 图形的剪拼【例 30】 试将一个正方形分成相同的四块，然后用这四块分别拼成三角形、平行四边形和梯形．【解析】 要用分成的四块组成三角形，那么剪成得图形一定是三角形，这样平均分成四等分，当然这种分法有好几种．组成图形的时候我们可以换位思考，看如何将三角形、平行四边形、梯形分成大小相等的三角形．如图所示：【例 31】 把两个小正方形剪开以后拼成一个大正方形．【解析】 因为大正方形的面积等于两个小正方形的面积和，所以大正方形的边长不能等于两个小正方形的。

知识点拨本讲主要学习三大图形处理方法：1．理解掌握图形的分割；2．理解掌握图形的拼合；3．理解图形的剪拼．本讲中很多类型的题目还要求同学们去动手尝试．通过本讲知识的学习，让同学们了解不同图形的分割、拼合、剪拼的方法，锻炼同学们的平面想象能力以及增强学生的动手操作能力．把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割．反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合．将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼．我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考．如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先分少，再分多．图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合数量来分割图形．如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，先拼少的，再拼多的．如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法．例题精讲模块一、图形的分割例1 】用一条线段把一个长方形平均分割成两块，一共有多少种不同的分割法？巩固】画一条直线，将六边形分成大小相等、形状相同的两部分，这样的直线有条．4-2-3. 图形的分割与拼接AB例2 】用直线把左图分成面积相等的两部分，在右图中画虚线给出了分法，其中正确的有例3】在一块长方形的地里有一正方形的水池（如下图）．试画一条直线把除开水池外的这块地平分成两块．例6 】下图是一个直角梯形，请你画一条线段，把它分成两个形状相同并且面积相等的四边形．________ 个。

例4 】把任意一个三角形分成面积相等的 4 个小三角形，有许多种分法．请你画出 4 种不同的分法．巩固】把任意一个三角形分成面积相等的 2 个小三角形，有许多种分法．请你画出 3 种不同的分法．例5 】怎样把一个等边三角形分别分成8 块和9 块形状、大小都一样的三角形．把下图四等分，要求剪成的每个小图形形状、大小都一样．除了剪正方形外，你还有别的方法吗？例8】下图是一个3 4 的方格纸，请用四种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整．巩固】右图是一个4 4 的方格纸，请用六种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整．例9 】下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的四部分．巩固】下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的两部分．如果分三部分呢？巩固】图中是由三个正三角形组成的梯形．你能把它分割成4 个形状相同、面积相等的梯形吗？例10 】将图中的图形分割成面积相等的三块．例11 】下图是由五个正方形组成的图形．把它分成形状、大小都相同的四个图形，应怎样分？例12 】 如何把下图中的三个图形分割成两个相同的部分（ 除了沿正方形的边进行分割外，还可沿正方形的对角线进行分割 ）．例 13 】 已知左下图是由同样大小的 5 个正方形组成的．试将图形分割成 4 块形状、大小都一样的图形．巩固】 把右图剪成形状、大小相等的 8 个小图形，怎么剪？作出分出的小图形．例 14】 如图，它是由 15 个边长为 1 厘米的小正方形组成的． 个大小形状完全相同的图形，分割线用笔描粗．⑵ 分割后 5 个小图形的周长总和与原来大图形的周长相差第3题例 15 】 下图是由 18 个小正方形组成的图形，请你把它分成 6 个完全相同的图形．⑴ 请在原图中沿正方形的边线， 把它划分为 5 分割后每个小图形的周长是 厘米．⑶ 厘米．例16 】如图，将一个等边三角形分割成互相不重叠的23 个较小的等边三角形（这些较小的等边三角形的大小不一定都相同），请在图中画出分割的结果．例17 】如图，将一个正方形分割成互相不重叠的21 个小正方形，这些小正方形的大小不一定相同，请画图表示．例18 】一个正三角形形状的土地上有四棵大树（如下图所示），现要把这块正三角形的土地分成和它形状相同的四小块，并且要求每块地中都要有一棵大树．应怎样分？例19 】将下图分割成大小、形状相同的三块，使每一小块中都含有一个○．例20 】请把下面这个长方形沿方格线剪成形状、大小都相同的 4 块，使每一块内都含有“奥数读本”这四个字中的一个，该怎么剪？奥数读本例21 】请把下面的图形分成形状、大小都相同的 4 块，使每一块里面都有“春蕾杯赛”4 个字．春蕾蕾杯赛春春赛杯蕾杯赛蕾春赛杯第13题例22 】学习与思考对小学生的发展是很重要的，学习改变命运，思考成就未来，请你将下图分成形状和大小都相同的四个图形，并且使其中每个图形都含有“学习思考”这四个字．应怎样分？例23 】如下图所示，请将这个正方形分切成两块，使得两块的形状、大小都相同，并且每一块都含有学而思奥数五个字．数而而奥奥数思学学思例24 】如下图所示的正方形是由36 个小正方格组成的．如图那样放着4 颗黑子，4 颗白子，现在要把它切割成形状、大小都相同的四块，并使每一块中都有一颗黑子和一颗白子．试问如何切割？思学思考考学习习习思考思习学考学例25 】如图，要求把正方形分成四块，两个正方形共分为八块，使每块的大小和形状都相同，而且都带一个○．例26 】将下页图所示图形拆成形状相同、面积相等的三部分，使每个部分中含有一个，请将第一部分的六边形都标上模块二、图形的拼接例27 】用两块大小一样的等腰直角三角形能拼成几种常见的图形？巩固】用3 个等腰直角三角形拼图，要求边与边完全重合，能拼出几种图形？巩固】用同样大小的四块等腰直角三角板，能否拼出一个三角形、一个正方形、一个长方形、一个梯形、一个平行四边形五种图形？若能，画出示意图．例29 】用下面的3 个图形，拼成右边的大正方形．巩固】用“四连块”拼成一个正方形，按编号画入右边图中．例28 】面哪些图形自身用4 次就能拼成一个正方形？例30 】有6 个完全相同的，你能将它们拼成下面的形状吗？例31 】三种塑料板的型号如图：(A)(B)(C)已有A型板30 块，要购买B、 C 两种型号板若，拼成5 5正方形10个，B型板每块价格5 元，C 型板每块价格为4 元．请你考虑要各买多少块，使所花的总钱数尽可能少，那么购买 B 、C 两种板要花多少元？例32 】试用图a 中的8 个相等的直角三角形，拼成图b 中的空心正八边形和图c 中的空心正八角星．模块三、图形的剪拼例33 】试将一个正方形分成相同的四块，然后用这四块分别拼成三角形、平行四边形和梯形．例34 】把两个小正方形剪开以后拼成一个大正方形．例35 】将下图分成4 个形状、大小都相同的图形，然后拼成一个正方形．例36 】将下图分成两块，然后拼成一个正方形．例37 】将图1 分成4 个形状、大小都相同的图形，然后拼成一个正方形．图1 图2例38 】小龙的妈妈在街上卖边角布料的地摊上，买回了一块形状是等腰直角三角形的绸布，想用它来做长方形的窗帘，为了不把布剪的太碎，裁剪的块数就要尽可能的少，请问小龙的妈妈应该怎样剪拼呢？例39 】试将任意一个三角形分成三块，然后拼成一个长方形．巩固】试将任意一个矩形分成两块，然后拼成一个三角形．巩固】 试 将任意一个矩形分成三块，然后拼成一个三角形．例 40 】 把一个正方形分成 8 块，再把它们拼成一个正方形和一个长方形，使这个正方形和长方形的面积 相等．例 41 】 试将一个 4 9 的长方形分割成两个大小相等、形状相同的图形，然后拼成一个正方形．例 42】 有一块长 8 米、宽 3 米的长方形地毯， 现在要把它移到长 6 米、宽 4 米的新房间里． 请找出一种剪 裁方法，使剪后的各块拼合后正好能铺满房间的地面，为了使剪后的地毯尽量完整，就要使剪裁 的块数尽可能地少，应怎样剪拼？如何把一个长 20厘米、宽 12厘米的长方形切成两块，拼成一个长 16 厘米、宽 15 厘米的新长方形．例 43】4图d 图e例44 】长方形长24 厘米，宽15 厘米．把它剪成两块，使它们拼成一个长20 厘米，宽18 厘米的长方形．例45 】长方形的长和宽各是9 厘米和4 厘米，要把它剪成大小、形状都相同的两块，并使它们拼成一个正方形．巩固】一块长方形的木板，长为90 厘米，宽为40厘米，将它锯成2 块，然后拼成一个正方形，你能做到吗？例46 】如下图长方形的长、宽分别为120 厘米、90 厘米，正中央开有小长方形孔，长为80 厘米，宽为10 厘米，要拼成面积为100 平方厘米的正方形．问如何切分，能使划分的块数最少．例 47 】 把下图中两个图形中的某一个分成三块，最后都拼在一起，使它们成为一个正方形．例 49 】如下图所示，这是一张十字形纸片，它是由五个全等正方形组成，试沿一直线将它剪成两片，然 后再沿另一直线将其中一片剪成两片，使得最后得到的三片拼成两个并列的正方形． 例 50 】有 5 个长方形，它们的长和宽都是整数，且 5 个长和 5 个宽恰好是 1~10 这 10 个整数。

图形的分割与拼接本讲主要学习三大图形处理方法： 1．理解掌握图形的分割； 2．理解掌握图形的拼合； 3．理解图形的剪拼．本讲中很多类型的题目还要求同学们去动手尝试．通过本讲知识的学习，让同学们了解不同图形的分割、拼合、剪拼的方法，锻炼同学们的平面想象能力以及增强学生的动手操作能力．把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割．反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合． 将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼． 我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考．如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先分少，再分多．图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合数量来分割图形．如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，先拼少的，再拼多的．如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法．模块一、图形的分割【例 1】 用一条线段把一个长方形平均分割成两块，一共有多少种不同的分割法？BAO【考点】图形的分割与拼接 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 怎样把一个图形按照规定的要求分割成若干部分呢？这就是图形的分割问题．按照规定的要求合理分割图形，是很讲究技巧的，多做这种有趣的训练，可以培养学生的创造性思维，发展空间观念，丰富想象，提高观察能力．这道题要求把长方形平均分割成两块，过长方形中心的任意一条直线都可以把长方形平均分割成两块，根据这点给出如下分法(如右图)： ⑴ 做长方形的两条对角线，设交点为O⑵ 过O 点任作一条直线AB ，直线AB 将长方形平均分割成两块． 可见用线段平分长方形的分法是无穷多的．【答案】⑴ 做长方形的两条对角线，设交点为O⑵ 过O 点任作一条直线AB ，直线AB 将长方形平均分割成两块． 用线段平分长方形的分法有无穷多种。

专题4《图形的分割与拼接》破解策略把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割；反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼接成一个完美的图形，就叫做图形的拼接．通常，我们会将一个或多个图形先分割，再拼接成一种指定的图形． 常见的图形的分割与拼接有： 1．三角形分割成两个等腰三角形 （1）已知：Rt△ABC ，∠BAC ＝90°． 作法：取斜边BC 的中点D ，连结A D ． 结论：△DAB 和△DAC 是等腰三角形．D AB C（2）已知：△ABC ，∠BAC ≥∠B ，∠C ＝2∠B ．作法：在边BC 上作一点D ，使得点D 在AB 的垂直平分线上，连结A D ． 结论：△DAB 和△DAC 是等腰三角形．DCB A（3）已知：△ABC ，∠ACB ＝3∠B．作法：在边AB 上作一点D ，使得点D 在BC 的垂直平分线上，连结C D ． 结论：△DBC 和△CAD 是等腰三角形．ABDC2．三角形分割成多个等腰三角形（1）已知：任意等腰△ABC ，AB ＝A C ． ①作法：一条垂线＋两条斜边中线．结论：△EAD ，△FAD ，△EBD ，△FCD 均为等腰三角形．ABFCED②作法：一条角平分线＋两条平行线．结论：△AFD ，△FBD ，△EBD ，△DEC 均为等腰三角形．DECF BA③作法：两条角平分线＋一条平行线．结论：△AEF ，△EBD ，△FCD ，△DBC 均为等腰三角形．ABF CE D（2）已知：等腰△ABC ，∠B ＝∠C ＝36°．作法：在BC 上取两点D ，E ，使得其分别在AB ，AC 的垂直平分线上，连结AD ，AE ．结论：△DAB ，△ADE ，△EAC 均为含36°内角的等腰三角形，所以可以无限分等腰三角形．36°36°ABCDE（3）已知：等腰△ABC ，AB ＝AC ，∠A ＝36°． 作法：作∠ABC 的平分线BD ，交AC 于点D ．结论：△DAB ，△BCD 均为含36°内角的等腰三角形，所以可以无限分等腰三角形．AB 36°DC（4）已知：任意△AB C ．作法：一条垂线＋两条斜边中线．结论：△EAD ，△FAD ，△EBD ，△FCD 均为等腰三角形．AB CDEF3．三角形的剪拼（1）剪拼成直角三角形．作法：取AB ，AC 的中点D ，E ；过D 作BC 的垂线，垂足为点F ；过点A 作BC 的平行线，分别交直线DF ，EF 于点G ，H ． 结论：△FGH 为直角三角形．D HG EFCB A（2）剪拼成等腰三角形． 作法：取AB 、AC 的中点D 、E ，连结DE 的垂直平分线FG 交BC 于点G ;过点A 作BC 的平分线，分别交直线GD 、GE 于点H 、I 结论：△GHI 为等腰三角形F GIHD EC BA（3）剪拼成平行四边形．作法：取BC 、AC 的中点D 、E ，分别过点A 作BC 的平行线，交直线DE 于点F ． 结论：四边形ABDF 为平行四边形．EFDCBA（4） 剪拼成矩形．①作法：取AB 、AC 的中点D 、E ，分别过点D 、E 作BC 的垂线，垂足为F 、G ．过点A 作BC 的平行线，分别交直线FD 、GE 于点H 、I ． 结论：四边形HFGI 为矩形．I H ED GAB C②作法：取AB 、AC 的中点D 、E ，分别过点B 、C 作直线DE 的垂线，垂足为F 、G ． 结论：四边形FBCG 为矩形．F G ED CBA③作法：取BC 、AC 的中点D 、E ，过点A 作BC 的平行线，交直线DE 于点F ;分别过点A 、F 作BC 的垂线，垂足为G 、H结论：四边形AGHF 为矩形（先将△ABC 剪拼成平行四边形ABDF ，再将平行四边形剪拼成矩形AGHF ）EFH D G CB A（5）剪拼成正方形（三角形一边上的高是该边长的一半）．①作法：取BC 、AC 的中点D 、E ，过点A 作BC 的平行线，交直线DE 于点F ，分别过A 、F 作BC 的垂线，垂足为G 、H ． 结论：四边形AGHF 为正方形．ABC GDHFE②作法：取AB 、AC 的中点D 、E ，分别过点D 、E 作BC 的垂线，垂足为F 、G ;过点A 作BC 的平行线，分别交直线FD 、GE 于点H 、I 结论：四边形HFGI 为正方形CB AFGD EH I（6）剪拼成等腰梯形．作法：作AD ＝AB 交BC 于点D ，取AC 的中点E ，过点E 作AD 的平行线，交BC 于点F ，过点A 作BC 的平行线，交直线FE 于点G ． 结论：四边形AGFB 为等腰梯形．GFDECBA4．矩形的剪拼（1）剪拼成直角三角形作法：取AD 中点E ，连结CE 并延长，交直线AB 于点F ． 结论：△FBC 是直角三角形．FEDCB A（2）剪拼成等腰三角形①作法：延长CD 至点E ，使得DE ＝CD ，连结AC 、AE ． 结论：△ACE 为等腰三角形，其中AC ＝AEA CDE②作法：取AB 、CD 、AD 的中点E 、F 、G ，连结GE 、GF 并延长，分别交直线BC 于点H 、I 结论：△GHI 为等腰三角形，其中GH ＝GIIHGA BCD E F③作法：取AD 的中点E ，向矩形外作AD 的垂线EF ，使得EF ＝AB ，连结FB 、FC 结论：△FBC 为等腰三角形，其中FB ＝FCAB CDEF④作法：取BC 、CD 、AD 的中点E 、F 、G ，连结FE 、FG 并延长，分别交直线AB 于H 、L 结论：△FHI 为等腰三角形，其中FH ＝FI（3）剪拼成菱形．作法：取BC 的中点E ，向矩形外作BC 的垂线EG ，使得EG ＝AB ，取AD 的中点F ，连结BG 、GC 、CF 、F B ．结论：四边形BGCF 为菱形GABCDEF（4）剪拼成正方形作法：延长CB 至点E ，使得BE ＝AB ，以EC 为直径作圆，交BA 的延长线于点F;在BC 上取一点G ，使得BG ＝BF ，过点F 作BF 的垂线，过点G 作BG 的垂线，两线交于点H 结论：四边形BGHF 为正方形5．正方形的剪拼（1）两个正方形剪拼成一个正方形作法：连结AE ，过点A 作AI 丄AE 交CB 的延长线于点I ;分别以E ，I;为圆心AE 长为半径画弧，交于点H ，连结HI 、HE ． 结论：四边形AEHI 为正方形NHLGFEDC BA（2）一个正方形剪拼成两个正方形作法：以B 为端点在正方形ABCD 内部作射线，分别过A 、C 、D 作射线的垂线，垂足分别为E 、F 、G ，再分别过点A 、C 作DG 的垂线，垂足分别为H 、I 结论：四边形AEGH 和四边形CFGI 为正方形．进阶训练1. 在△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝63°，如图1，取三边中点，可以把△ABC 分割成四个等腰三角形，请你在图2中，用另外四种不同的方法把△ABC 分割成四个等腰三角形，并标明分割后的四个等腰三角形的底角的度数（如果经过变换后两个图形重合，则视为同一种方法）图2图1C BACBAABCABC C BA答案：2. 小明在研究四边形的相关性质时发现，在不改变面积的条件下，一般梯形很难转化为菱形，但有些特殊的梯形通过分割可以转化为菱形，如图1，已知在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CD ＝2AD ，∠C ＝60°．图2图1CBADDABC（1）果将该梯形分割成几块，然后可以重新拼成菱形，试在图1中画出变化后的图形；（2）在完成上述任务后，他又试着在直角梯形（如图2，AD∥BC，CD＝2AD，∠C＝60°）中，将梯形分成几块，拼成新的图形；①它能拼成一个菱形吗？如果能，请画出相应的图形；②它能拼成一个正方形吗？如果能，请画出相应的图形．答案：（1）能拼成菱形：C BA D（2）能拼成菱形：DAB C能拼成正五边形DAB C3．下列网格中的六边形ABCDEF是由一个边长为6的正方形剪去左上角一个边长为2的正方形所得，该六边形按一定的方法可剪拼成一个正方形．（1）根据剪拼前后图形的面积关系求出拼成的正方形的边长；（2）如图甲，把六边形ABCDEF沿EH，BG剪成①，②，③三个部分，请在图甲中画出将②，③与①拼成的正方形，然后标出②，③变动后的位置；（3）在图乙中画出一种与图甲不同位置的两条剪裁线，并画出将此六边形剪拼成的正方形．图甲图乙答：（1）42；（2）如图；（3）如图：。

图形的分割与拼接专题怎样把一个图形按照要求分割成若干部分？怎样把一个图形分割成若干部分后，再按要求拼接成另一个图形？这就是本讲要解决的问题。

例1 请将一个任意三角形分成四个面积相等的三角形。

分析与解：本题要求分成面积相等的三角形，因此可以利用“同底等高的三角形面积相等”这一性质来分割。

方法一：将某一边等分成四份，连结各分点与顶点（见左下图）。

方法二：画出某一边的中线，然后将中线二等分，连结分点与另两个顶点（见右上图）。

方法三：找出三条边上的中点，然后如左下图所示连结。

方法四：将三条边上的中点两两连结（见右上图）。

前三种方法可以看成先将三角形分割成面积相等的两部分，然后分别将每部分再分割成面积相等的两部分。

本题还有更多的分割方法。

例2 将右图分割成五个大小相等的图形。

分析与解：因为图中共有15个小正方形，所以分割成的图形的面积应该等于15÷5=3（个）小正方形的面积。

3个小正方形有和两种形式，于是可得到很多种分割方法，下图是其中的三种。

例3 右图是一个4×4的方格纸，请在保持每个小方格完整的情况下，将它分割成大小、形状完全相同的两部分。

分析与解：因为分割成完全相同的两块，所以每块有8个小方格，并且这两块关于中心点对称。

下面是六种分割方法。

例4 将下图分割成两块，然后拼成一个正方形。

分析与解：图形的面积等于16个小方格，如果以每个小方格的边长为1，那么拼成的正方形的边长应是4。

因为题图是缺角长方形，长为6宽为3，所以分割成两块后，右边的一块应向上平移1（原来宽为3，向上平移1使宽为4），向左平移2（原来长为6，向左平移2使长为4）。

考虑到缺角这一特点，可做下图所示的分割和拼接。

例5 有一块长4.8米、宽3米的长方形地毯，现在把它铺到长4米、宽3.6米的房间中。

请将它剪成形状相同、面积相等的两块，使其正好铺满房间。

分析与解：首先验证地毯的面积与房间的面积是否相等，然后考虑如何剪拼。

2020年小升初数学专题复习训练—拓展与提高几何图形（4）知识点复习一．三视图与展开图【知识点归纳】三视图怎么看：1．从正面看，为主视图2．从侧面看，为左视图3．从上面看，为俯视图展开图为空间形体的表面在平面上摊平后得到的图形．【命题方向】根据所给的三视图，摆出立体图形，并数出组成立体图形的小正方体个数是（）A．3B．4C．5D．6【分析】根据从上面看的图形可得最下面一层5个小正方形，根据从正面看的图形和从左面看的图形可得第二层应有1个小正方形．【解答】解：由图可知，这个立体图形的底层应该有3+2＝5个，第二层应该有1个小正方体，因此构成这个立体图形的小正方体的个数是5+1＝6个．如图：故选：D．【点评】本题考查从不同方向观察物体和几何体，本题解题的关键是利用上面、左面、正面图看出下层和上层共有多少个小正方形，加起来得到结果．二．最短线路问题【知识点归纳】通常最短路线问题是以“平面内连结两点的线中，直线段最短”为原则引申出来的，人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题．如果研究问题的限制条件允许已知的两点在同一平面内，那么所求的最短路线是线段；如果它们位于凸多面体的不同平面上，而允许走的路程限于凸多面体表面，那么所求的最短路线是折线段；如果它们位于圆柱和圆锥面上，那么所求的最短路线是曲线段；但允许上述哪种情况，它们都有一个共同点：当研究面仅限于可展开为平面上，两点间的最短路线则是连结两点的直线段．当我们遇到的球面是不能展成一个平面的．我们用过A、B两点及地球球心O的平面及截地球，在地球表面留下的截痕为圆周（称大圆），在这个大圆周上A、B两点之间不超过半个圆周的弧线就是所求的A、B两点间的最短路线，航海上叫短路程线．【命题方向】如图，从A至B的最近路线有（）条．A．8B．9C．10【分析】此题先看紧挨着A点右边的一个点，从A点出发通过它的有5条路线到达B点；再看紧挨着A 点下边的一个点，从A点出发通过它的也有5条路线到达B点，因此从A至B的最近路线有5+5＝10（条）．【解答】解：从A至B的最近路线有：5+5＝10（条）；答：从A至B的最近路线有10条．故选：C．【点评】此题考查了学生有关最短线路的知识，做此类问题，首先应认真分析，找到解决问题的切入点．三．染色问题【知识点归纳】这里的染色问题不是要求如何染色，然后问有多少种染色方法的那类题目，它指的是一种解题方法．染色方法是一种将题目研究对象分类的形象化方法，通过将问题中的对象适当染色，我们可以更形象地观察分析出其中所蕴含的关系，再经过一定的逻辑推理，便能得出问题的答案．这类问题不需要太多的数学知识，但技巧性、逻辑性较强，要注意学会几种典型的染色方法．染色问题基本解法：三面涂色和顶点有关，8个顶点．两面染色和棱长有关．即新棱长（棱长-2）×12一面染色和表面积有关．同样用新棱长计算表面积公式（棱长-2）×（棱长-2）×60面染色和体积有关．用新棱长计算体积公式（棱长-2）×（棱长-2）×（棱长-2）长方体的解法和立方体同理，即计算各种公式前长、宽、高都要先减2再利用公式计算．【命题方向】★将一个正方体木块6个面都涂上红色，把它切成大小相等的64块小正方体．一个面涂上红色的小正方体有（）块A．4B．12C．24D．48【分析】因为4×4×4＝64，所以大正方体每条棱长上面都有4个小正方体；根据立体图形的知识可知：三个面均为红色的是各顶点处的小正方体；在各棱处，除去顶点处的正方体的有两面红色；在每个面上，除去棱上的正方体都是一面红色；所有的小正方体的个数减去有红色的小正方体的个数即是没有涂色的小正方体．根据上面的结论，即可求得答案．【解答】解：4×4×4＝64，所以大正方体每条棱长上面都有4个小正方体；（4﹣2）×（4﹣2）×6＝2×2×6＝24（个）答：一个面涂上红色的小正方体有24块．故选：C．【点评】此题考查了立方体的知识．注意数形结合与正方体表面涂色的特点的应用．四．圆与组合图形【知识点归纳】1．圆知识的相关回顾：（1）圆的周长C=2πr=或C=πd（2）圆的面积S=πr2（3）扇形弧长L=圆心角（弧度制）×r=180r n π （n 为圆心角） （4）扇形面积S=3602r n π = 2Lr （L 为扇形的弧长） （5）圆的直径d=2r2．组合图形的面积计算，可以根据几何图形的特征，通过分割、割补、平移、翻折、对称、旋转等方法，化复杂为简单，变组合图形为基本图形的加减组合．【命题方向】如图，4个圆的直径都是2cm ，圆心分别在四边形ABCD 的四个顶点上，阴影部分的面积的和是（ ）cm 2．A ．37.68B ．25.12C ．9.42D ．6.28【分析】四边形的内角和是360度，所以四个空白扇形的面积和就等于一个半径为2÷2＝1cm 整圆的面积，那么用4个圆的面积减去一个圆的面积，就相当于三个圆的面积，根据圆的面积公式S ＝πr 2解答即可．【解答】解：3.14×（2÷2）2×（4﹣1）＝3.14×1×3＝9.42（平方厘米）答：阴影部分的面积是9.42平方厘米．故选：C ．【点评】在求不规则图形面积时，往往利用割补结合：观察图形，把图形分割，再进行移补，形成一个容易求得的图形进行解答．五．格点面积（毕克定理）【知识点归纳】1．毕格定理的内容：一个计算点阵中顶点在格点上的多边形面积公式：S=a+b ÷2-1，其中a 表示多边形内部的点数，b 表示多边形边界上的点数，s 表示多边形的面积．2．具体做法：一张方格纸上，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是所谓格点． 如果取一个格点做原点O ，取通过这个格点的横向和纵向两直线分别做横坐标轴OX 和纵坐标轴OY ，并取原来方格边长做单位长，建立一个坐标系．这时前面所说的格点，显然就是纵横两坐标都是整数的那些点．O 、P 、Q 、M 、N 都是格点．由于这个缘故，我们又叫格点为整点． 一个多边形的顶点如果全是格点，这多边形就叫做格点多边形．有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出．【命题方向】例1：下面是用橡皮筋在钉子板上围成的图形，能表示图形的边经过的钉子数（a ）和图形的面积（s ）之间的关系的式子为2a ．分析：根据每两个点之间的距离为1厘米，从而可以算出各个图形的面积，然后再通过数每个图形的边经过多少枚钉子数，来找出格点面积公式．根据面积和边经过的钉子数，总结出公式：格点面积=内部格点数+周界格点数除以2再减1或（内部格点数+周界格点数除以2再减1）乘2，即可求出图中多边形的面积解：根据分析可算出每个图形的面积，与每个图形的边经过多少枚钉子如下：根据表中的数据可知，每当增加一个钉子，就必然增加一个小三角形的面积，也就是0.5平方厘米；所以S=1+2a -1= 2a ；即图形的边经过的钉子数a 和图形的面积S 之间的关系为S= 2a ． 故答案为：S= 2a ． 点评：钉子问题，可以这么想，内部含有1个钉子的状态，有一种基本状态，就是只有四个钉子被线连着，构成一个斜放的正方形，然后，每当增加一个钉子，就必然增加一个小三角形的面积，也就是0.5平方厘米．同步测试一．选择题（共10小题）1．用同样大小的正方体摆成的物体，从正面看到，从上面看到，从右面看到（）A．B．C．D．2．计算如图阴影部分面积，正确的列式是（）A．62×3.14﹣（）×3.14B．×62×3.14﹣（）2×3.14C．×[62×3.14﹣（）2×3.14]D．×（6×2×3.14﹣6×3.14）3．如图，正方形的周长是16分米，则这个圆的面积是（）A．50.24平方分米B．12.56平方分米C．25.12平方分米D．803.84平方分米4．钉子板上围出的多边形（如图），面积是（）平方厘米．（相邻两点间的距离是1厘米）A．4B．4.5C．5D．5.55．小明家去学校走第（）条路最近．A．1B．2C．36．如图是由48个棱长为1的小立方体堆成的长方体，它放于桌面上，不移动它，将它的表面刷上漆，那么，6个面都未刷漆的小立方体有（）A．12个B．8个C．6个D．4个7．把一个棱长5厘米的正方体木块的表面涂色，再把它锯成棱长是1厘米的正方体小木块．这些小木块中，1面涂色和2面涂色的一共有（）块．A．36B．54C．90D．988．一个表面涂色的长方体，照如图的样子把它切开，能切成48个同样大的小正方体．切成的小正方体中，1面涂色的有（）个．A．10B．12C．169．某高层公寓大火时，小王逃生的时候看了下疏散通道如图所示，则最快逃离到楼梯（图中阴影）的通道共有（）条．A．3B．9C．6D．1210．观察三视图，要摆成下面的情况，需要用（）块正方体．A．9B．10C．11D．12二．填空题（共10小题）11．小泉同学到学校领来n盒粉笔，整齐地摞在讲桌上，其三视图如图，则n的值是．12．张晓同学在钉子板上围了一个多边形（每两枚钉子之间为1厘米），多边形的内部有3枚钉子，边上有5枚钉子，这个多边形的面积平方厘米．13．如图，在正方形网格中画有一个不等腰的直角三角形A．若再贴上一个三角形B，使所得的图形是等腰三角形，但要求三角形B与三角形A除了有一条公共边重合外，没有其他的公共点，那么，符合条件的三角形B有个．（三角形B的顶点要在格子点上）14．如图，圆的半径是3分米，阴影部分的面积是平方分米．15．一个外表涂色的正方体木块，切成8个一样大的小正方体，只有一个面涂色的正方体有块；如果切成一样大的27块，那么只有一面涂色的正方体有块．16．用一些小立方体拼成一个几何体，它的三视图如图所示．则这个几何体有个小立方体．17．把一个正方体的表面涂满红色，然后如图那样沿线切开，切开的小正方体中三面涂色的有个，一面涂色的有个．18．沿着格子线（如图），从A点经过P点到达B点，沿最短路线走，有种不同的走法．19．如图，在长、宽、高分别为2dm，2dm，4dm的长方体上有一只蚂蚁从顶点A出发，要爬到顶点D，这只蚂蚁爬过的线路正好最短并经过B点，则BC长dm．20．如图，两个圆重叠部分的面积相当于小圆的，相当于大圆的．点O是小圆的圆心，A、B两点分别是两圆的交点，直角三角形AOB的面积是40cm2，大圆的面积是cm2．三．判断题（共5小题）21．图中正方形的面积是40cm2，圆的面积是314cm2．（判断对错）22．直径是4厘米的圆内画一个最大的正方形，其面积是8平方厘米．（判断对错）23．一个正方体每面都涂上红色，把它切成若干个大小相等的小正方体后，3面涂色的小正方体有8个．（判断对错）24．同一个平面内的30个点，必有3个点在同一直线上．．（判断对错）25．一个棱长为3cm的正方体，表面涂满了红色，现将这个大正方体切成了27个边长为1cm的小正方体．其中三个面涂红色的小正方体有8个，一个面涂红色的小正方体也有8个．（判断对错）四．应用题（共3小题）26．人民公园内的圆形石桌上刻有一个中国象棋棋盘，石桌的直径是40cm．（1）棋盘的面积是多少？（2）棋盘的面积占石桌面积的几分之几？27．邮递员送信件的街道如图所示，每一小段街道长1千米，如果邮递员从邮局出发，必须走遍所有的街道，那么邮递员最少需要走多少千米？28．一个边长为10厘米的正方体，在它的表面涂上红色的油漆，再将它切成边长为1厘米的小正方体．求涂了一个面的正方体有多少个．五．解答题（共2小题）29．如图，每相邻三个点“∵”或“∴”构成的等边三角形的面积是1平方厘米，求阴影部分的面积．30．如图是一立体的展开图，但是少了一片长方形．问缺少的长方形应在1至6间那一个位置？参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【分析】根据从正面看到，从上面看到，可知该物体有前后两排，都只有一层高，依此即可得到从右面看到的图形．【解答】解：由主视图和俯视图可知该物体有前后两排，有一层高，则从右面看到．故选：A．【点评】考查了三视图与展开图，得到该物体的排数和每排的层高是解题的关键．2．【分析】根据图意可得，阴影部分面积＝大半圆的面积﹣小半圆的面积，根据圆的面积公式：S＝πr2即可解答．【解答】解：×[62×3.14﹣（）2×3.14]＝×27×3.14＝42.39（平方厘米）答：阴影部分面积是42.39平方厘米；故选：C．【点评】本题属于求组合图形面积的问题，这种类型的题目主要明确组合图形是由哪些基本的图形构成的，然后看是求几种图形的面积和还是求面积差，然后根据面积公式解答即可．3．（北京市第一实验小学学业考）【分析】已知正方形的周长，根据正方形的周长＝边长×4，可求出正方形的边长，即圆的半径，根据圆的面积公式，S＝πr2，代入数据即可求出圆的面积；【解答】解：16÷4＝4（分米）圆的面积：3.14××42＝3.14×16＝50.24（平方分米）；答：这个圆的面积是正方形面积的50.24平方分米．故选：A．【点评】本题属于求组合图形面积的问题，这种类型的题目主要明确组合图形是由哪些基本的图形构成的，然后看是求几种图形的面积和还是求面积差，然后根据面积公式解答即可．4．【分析】格点面积＝内部格点数+周界格点数÷2﹣1，据此即可求出图中多边形图形的面积．【解答】解：2+6÷2﹣1＝2+3﹣1＝4（平方厘米）答：面积是4平方厘米．故选：A．【点评】此题主要考查了格点面积公式的应用，解答的关键是熟练掌握格点面积公式．5．【分析】根据线段的性质，根据两点之间线段最短，从小明家去学校走第2条路最近．【解答】解：从小明家去学校走第2条路最近；故选：B．【点评】本题是考查线段的性质，两点之间线段最短．6．【分析】根据图示可知长、宽、高上分别有小立方体4、4、3个；根据只有一面涂色的小正方体在每个长方体的面的中间，只有2面涂色的小正方体在长方体的棱长上（不包括8个顶点处的小正方体），3面涂色的小正方体都在顶点处，没有涂色的小正方体都在长方体的内部，所以6个面都未刷漆的小立方体有（4﹣2）×（4﹣2）×（3﹣2）个，由此即可解答．【解答】解：（4﹣2）×（4﹣2）×（3﹣2）＝2×2×1＝4（个）答：6个面都未刷漆的小立方体有4个．故选：D．【点评】该题主要考查长方体切成小正方体后面上涂色的规律．7．（北京市第一实验小学学业考）【分析】因为5÷1＝5，所以大正方体每条棱长上都有5块小正方体；根据立体图形的知识可知：三个面均为涂色的是各顶点处的小正方体；在各棱处，除去顶点处的正方体都是两面涂色；在每个面上除去棱上的正方体都是一面涂色．根据上面的结论，即可求得答案．【解答】解：因为5÷1＝5，所以大正方体每条棱长上都有5块小正方体；所以一面涂色的有：（5﹣2）×（5﹣2）×6＝3×3×6＝54（块）两面涂色的有：（5﹣2）×12＝3×12＝36（块）1面涂色和2面涂色的一共有：54+36＝90（块）答：1面涂色和2面涂色的一共有90块．故选：C．【点评】此题考查了立方体的知识．注意数形结合与正方体表面涂色的特点的应用．8．【分析】照如图的样子把它切开，则能切成4×4×3＝48个同样大的小正方体，因为三面涂色的小立方体只能在8个顶点上，所以三面涂色的小正方体有8个；两个面涂色的在每条棱的中间，一个面涂色的在每个面的中间；没有涂色的在内部；据此解答即可．【解答】解：4×4×3＝48（个）（4﹣2）×（4﹣2）×2+（4﹣2）×（3﹣2）×2+（4﹣2）×（3﹣2）×2＝8+4+4＝16（个）答：切成的小正方体中，1面涂色的有16个．故选：C．【点评】本题考查正方体表面涂色的规律，考查学生的观察、推理和理解能力．9．【分析】按照规律，作出最快逃离到楼梯（图中阴影）的通道的图形，依此即可求解．【解答】解：如图所示：故最快逃离到楼梯（图中阴影）的通道共有6条．故选：C．【点评】考查了最短线路问题，注意按照一定的规律计数，做到不重复不遗漏．10．【分析】观察三视图可知，这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层小正方体的块数，由正视图和左视图可得第二层最少有小正方体的块数，相加即可．【解答】解：由俯视图可得最底层有8块小正方体，由正视图和左视图可得第二层最少有2块小正方体，最少共有8+2＝10（块）．故选：B．【点评】此题主要考查了由三视图判断几何体，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．二．填空题（共10小题）11．【分析】观察主视图和左视图可知粉笔盒共放了三层，由俯视图可知第一层的盒数为4，结合主视图和俯视图可知第二层共2盒，放置在左边；第三层1盒，放置在左上方，由此把各层的盒数相加即可．【解答】解：由分析知，粉笔盒放置如下图所示：所以n＝4+2+1＝7，答：n的值是7．故答案为：7．【点评】本题考查了学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力，训练了学生的空间想象能力．12．【分析】根据毕格定理：一个计算点阵中顶点在格点上的多边形面积公式：S＝a+b÷2﹣1，其中a表示多边形内部的点数，b表示多边形边界上的点数，S表示多边形的面积．把数代入计算即可．【解答】解：3+5÷2﹣1＝3+2.5﹣1＝4.5（平方厘米）答：这个多边形的面积4.5平方厘米．故答案为：4.5．【点评】本题主要考查格点面积，关键利用毕克定理计算格点多边形面积．13．【分析】根据题意进行分析可知：以原三角形的边长4，5为腰画出即可与新三角形一起组成一个等腰三角形即有6个，但题目要求B的顶点要在格点上，所以应去除2个不在格点的情况，所以有4个作原来斜边的中垂线，并与边长为3的直角边的延长线交于一点，此点与原三角形斜边两点构成的三角形也符合要求，从而得出结论共有7个符合要求的三角形．【解答】解：如图所示：因为根据题意可知：以4为腰的等腰三角形有2个，其中1个B的顶点不在格点上，所以有1个符合条件，以5为腰的三角形有4个，其中1个B的顶点不在格点上，所以有3个符合条件，以5为底的等腰三角形有1个，所以符合要求的新三角形有1+3+1＝5个．故答案为：5．【点评】本题主要考查了等腰三角形的定义，同时需要认真分析，避免遗漏，难度适中．14．【分析】根据题意，阴影部分的面积等于圆的面积减去三角形的面积，根据圆的面积公式：S＝πr2，三角形的面积公式：S＝ah÷2，把数据代入公式解答．【解答】解：3.14×32﹣3×（3×2）÷2＝28.26﹣9＝19.26（平方分米）答：阴影部分的面积是19.26平方分米．故答案为：19.26．【点评】本题属于求组合图形面积的问题，这种类型的题目主要明确组合图形是由哪些基本的图形构成的，然后看是求几种图形的面积和还是求面积差，然后根据面积公式解答即可．15．【分析】根据只有一面涂色的小正方体在每个正方体的面上，只有2面涂色的小正方体在长方体的棱长上（不包括8个顶点处的小正方体）3面三面涂色的小正方体都在顶点处，即可解答问题．【解答】解：由分析可得：切成8个一样大的小正方体时，没有只有一个面涂色的正方体；切成一样大的27块小正方体时，每个面的正中间的一个只有一面涂色，故只有一面涂色的正方体有6个；故答案为：0；6．【点评】抓住表面涂色的正方体切割小正方体的特点：1面涂色的在面上，2面涂色的在棱长上，3面涂色的在顶点处，没有涂色的在内部，由此即可解决此类问题．16．【分析】观察图形，易得这个几何体共有3层，2排；由俯视图可得第一层立方体的个数是前排有3个，后排有2个一共有5个，由主视图和左视图可得第二层立方体的个数：前排没有，后排有左边一列1个，右边一列1个，共有1+1＝2个，第三层立方体只有左边1列有1个小正方体，由此相加即可．【解答】解：根据题干分析可得：第一层有3+2＝5（个），第二层有2个；第三层有1个；5+2+1＝8（个），答：这个几何体有8个小正方体．故答案为：8．【点评】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．17．【分析】根据图示可发现顶点处的小正方体三面涂色，除顶点外位于棱上的小正方体两面涂色，位于表面中心的一面涂色，而处于正中心的则没涂色．【解答】解：顶点处的小正方体三面涂色共8个；每个面的正中间的一个只有一面涂色，有6个．答：切开的小正方体中三面涂色的有8个，一面涂色的有6个．故答案为：8；6．【点评】主要考查了染色问题，关键是理解长方体的组合与分割．要熟悉正方体的性质，在分割时有必要可动手操作．18．【分析】要使行走的路线最短，只能横向向右行走或纵向向上行走，以此为依据，从A到P只有2种走法；然后利用求最短路线的方法，列举出即可．【解答】解：由图可知：最短路线是7个格子，路线为：①A﹣M﹣P﹣C﹣D﹣F﹣G﹣B；②A﹣M﹣P﹣C﹣H﹣F﹣G﹣B；③A﹣M﹣P﹣C﹣H﹣X﹣G﹣B；④A﹣M﹣P﹣C﹣H﹣X﹣K﹣B；⑤A﹣S﹣P﹣C﹣D﹣F﹣G﹣B；⑥A﹣S﹣P﹣C﹣H﹣F﹣G﹣B；⑦A﹣S﹣P﹣C﹣H﹣X﹣G﹣B；⑧A﹣S﹣P﹣C﹣H﹣X﹣K﹣B；从A点经过P点到达B点，沿最短路线走，有8种不同的走法；故答案为：8．【点评】此题考查了排列与组合问题，解题的关键是得到从A经P点到B只能向右或向上，注意按顺序依次数出，做到不重复不遗漏．19．【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答，如图连接AD，交BE于点B，这就是蚂蚁爬行的最短路线，根据题干可知：AE＝4分米，CD＝CE＝2分米，又因为AE∥CD，所以BC：BE＝CD：AE＝2：4＝1：2，由此即可求得BC的长度．【解答】解：根据展开图分析和两点之间线段最短可得：AD就是蚂蚁爬行的最短路线，且BC：BE＝CD：AE＝1：2，1+2＝3，2×＝（分米），答：BC的长为分米．故答案为：．【点评】此题主要考查了平面展开图，求最短路径，解决此类题目的关键是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，利用平行线间的对应线段成比例即可解决．20．【分析】根据图可知，直角三角形AOB的底和高都是小圆的半径，根据直角三角形AOB的面积是40cm2，由三角形的面积＝底×高÷2，可以求出三角形的底×高＝40×2＝80平方厘米，也就是小圆半径的平方是80平方厘米，根据元的面积公式，可得小圆的面积是3.14×80＝251.2平方厘米；把重叠部分的面积看作单位“1”，则小圆面积相当于重叠面积的1÷＝8，大圆面积相当于重叠面积的1÷＝12，则大圆面积和小圆面积比是12：8＝3：2，那么大圆面积是小圆的，就是251.2平方厘米的，即251.2×，据此解答．【解答】解：小圆面积：3.14×（40×2）＝3.14×80＝251.2（平方厘米）大圆面积和小圆面积比是：：＝12：8＝3：2大圆面积是：251.2×＝376.8（平方厘米）答：大圆的面积是376.8平方厘米．故答案为：376.8．【点评】本题关键是根据三角形的面积，求出小圆半径的平方，继而根据圆的面积求出小圆的面积，再把重叠部分的面积看作单位“1”，再根据分数除法的意义表示出大、小圆的面积的面积比，然后再进一步解答．三．判断题（共5小题）21．【分析】看图可知：正方形的边长等于圆的半径，设正方形的边长是r厘米，则r2＝40平方厘米，由此根据圆的面积公式S＝πr2，即可求出圆的面积．【解答】解：根据分析可得，3.14×40＝125.6（平方厘米）即圆的面积是125.6平方厘米，所以原题说法错误；故答案为：×．【点评】本题主要灵活利用正方形的面积公式S＝a2与圆面积公式S＝πr2解决问题．关键是理解圆的半径的平方就是正方形的面积．22．【分析】在圆内画一个最大的正方形，首先要找到圆心，并通过圆心，画两条互相垂直的直径，把两条直径的四个端点顺次连结起来，所得的正方形就是圆内最大的正方形（如图）．通过画图我们发现，圆的两条直径相当于正方形的两条对角线，而正方形的两条对角线正好把圆分成4个同样的小直角三角形，每个直角三角形的底和高都是直径的一半，即4÷2＝2厘米，小三角形的面积可求，正方形的面积。

2020年通用版小升初数学冲A提高集训经典应用题—专题04《植树问题》一．选择题1．（2019秋•广饶县期末）一段公路长2400米，在公路的两旁每隔40米放置一个垃圾桶，两端都放，共需要垃圾桶()个．A．60B．120C．61D．122【解答】解：(2400401)2÷+⨯=⨯612=（个)122答：共需要垃圾桶122个．故选：D．2．（2019秋•西城区期末）“湖边春色分外娇，一棵柳树二棵桃．平湖周围三千米，五米一棵都栽到．漫步湖畔赏美景，可知桃树有多少？”根据这首诗，可以求出桃树有()棵．A．399B．400C．401D．600【解答】解：30005600÷=（棵)÷+⨯600(12)2=⨯2002=（棵)400答：桃树有400棵．故选：B．3．（2019秋•东城区期末）华灯被称为“华夏第一灯”，始建于新中国成立十周年庆典前，由周恩来总理亲自定名．从东单路口到王府井路口道路一侧有12座华灯，每隔50米建一座，且路口处均建有华灯．那么东单路口到府井路的距离是()米．A．250B．500C．550D．600⨯-【解答】解：50(121)=⨯5011=（米)550答：东单路口到府井路的距离是550米．故选：C．4．（2019秋•巩义市期末）9路公交车行驶路线全长约18千米，相邻两站之间的路程大约都是1.5千米．一共设有()个车站．A．11B．12C．13÷+【解答】解：18 1.51=+121=（个)13答：一共设有13个车站．故选：C．5．（2019秋•唐县期末）在一条全长1.8千米的街道两侧安装路灯（两端都装），每隔30米安一盏，一共要安装()盏．A．60B．61C．122D．120=米【解答】解：1.8千米1800÷+⨯(1800301)2=+⨯(601)2=⨯612=（盏)122答：一共要安装122盏．故选：C．6．甲乙2人比赛爬楼梯，已知每层楼梯相同，当甲到3层时，乙到2层，照这样计算，当甲到9层时，乙到()层．A．5B．6C．7【解答】解：甲乙的速度之比：(31):(21)2:1--=，乙跑的层数：1(91)42-⨯=（层)，乙所在的楼层：415+=（层)；答：当甲到9层时，乙到5层．故选：A．7．在一根木棒上每隔8厘米的地方用黑漆涂一细圈，木棒两端也要用黑漆涂，一共涂了8次，这根木棒长()厘米．A．56B．64C．72【解答】解：(81)8-⨯78=⨯56=（厘米）答：这根木棒长56厘米．故选：A．8．为了欢度元旦，步行街张灯结彩，从街的一头到另一头每隔10米挂一盏红灯笼（两头都不挂），步行街全长600米，如果在街的一边挂红灯笼，那么一共要挂多少盏红灯笼？()A．60B．59C．61【解答】解：600101÷-601=-59=（盏)答：一共挂了59盏红灯笼；故选：B．9．一根木料锯成3段用了6分钟，另外有同样的一根木料以同样的速度锯，12分钟锯成()段．A．2B．3C．4D．5÷÷-+【解答】解：12[6(31)]1=+415=（段)答：12分钟锯成5段．故选：D．二．填空题10．（2019秋•广饶县期末）沿一个周长为140米的圆形水池边插彩旗，每隔10米插一面，需要14面彩旗．÷=（面)【解答】解：1401014答：需要14面彩旗．故答案为：14．11．（2019秋•上海期末）某公园新辟一条小道，长120米，从头到尾在小道一旁等距离做了7个长12米的花坛，那么，每两个花坛之间的间隔是6米．⨯=（米)【解答】解：71284-=（米)1208436÷-36(71)=÷366=（米)6答：每两个花坛之间的间隔是6米．故答案为：6．12．（2019秋•迎江区期末）芳芳从一楼到三楼需要40秒，照这样计算，她从一楼到六楼需要100秒．÷-⨯-【解答】解：40(31)(61)=÷⨯4025=⨯205=（秒)100答：她从一楼到六楼需要100秒．故答案为：100．13．（2019秋•兴国县期末）在一段长30米的小路一侧栽树，每隔5米栽一棵，如果两端都栽，一共可以栽7棵；如果两端都不栽，一共可以栽棵．÷+【解答】解：（1）3051=+61=（棵)7÷-（2）3051=-61=（棵)5答：一共可以栽7棵；如果两端都不栽，一共可以栽5棵．故答案为：7；5．14．（2019秋•无棣县期末）为了保护一棵古树，园林处要为它做一个长50米的圆形防护栏．如果每隔2米打一个桩，一共需要打25个桩．÷=（个)【解答】解：50225答：一共需要打25个木桩．故答案为：25．15．（2018秋•石林县期末）张大爷在一个周长为144米的正方形鱼池边上进行每边等距离植树（四个角都植有树），每两棵树之间相距4米．那么每边需要植10棵树，整个鱼池边上一共需要植棵树．÷=（米)【解答】解：144436÷+=（棵)364110⨯-=（棵)104436答：每边需要植10棵树，整个鱼池边上一共需要植36棵树．故答案为：10，36．16．（2018秋•聊城期中）把一根木料锯成3段要3.6分钟，锯成8段要12.6分钟．÷-⨯-【解答】解：3.6(31)(81)=⨯1.8712.6=（分钟）答：把它锯成5段要用12.6分钟．故答案为：12.6．17．（2018•广州模拟）甲、乙两人比赛爬楼梯，当甲跑到第四层时，乙恰好跑到第三层，照这样计算，甲跑到第16层时，乙应跑到第11层．【解答】解：根据分析可得，--，(41):(31)=，3:2÷⨯+，15321=+，101=（层)；11答：乙应跑到第11层．故答案为：11．18．（2015秋•西安月考）在一条650米长的直道一边，每隔50栽一棵树，路的两端都要栽，一共要栽多少棵树？÷+【解答】解：650501=+13114=（棵)答：一共要栽14棵树．三．判断题19．（2019秋•长垣县期末）把一根木料锯成3段要3.6分钟，锯成5段要6分钟．⨯（判断对错）÷-⨯-【解答】解：3.6(31)(51)=⨯1.84=（分钟）7.2即：把它锯成5段要用7.2分钟；所以原题说法错误．故答案为：⨯．20．（2019秋•镇原县期末）马路一边栽了16棵梧桐树，如果每两棵梧桐树中间栽一棵香樟树，一共要栽15棵香樟树．√（判断对错）-=（棵)【解答】解：16115即一共要栽15棵香樟树，所以原题说法正确．故答案为：√．21．（2018秋•长阳县期末）公路一旁，每隔5m栽一棵树，玲玲从第1棵树跑到第260棵树时，跑了1300m．⨯（判断对错）-⨯【解答】解：(2601)5=⨯2595=（米)1295<米1295米1300即跑了1300米，所以原题说法错误．故答案为：⨯．22．（2018秋•海口期末）30名男生站成一排，每相邻两名男生中间站一名女生，一共站了29名女生．√（判断对错）【解答】解：间隔数：30129-=（个)30名男生站成一排，每相邻两名男生中间站一名女生，一共站了29名女生．原说法正确．故答案为：√．23．（2018秋•古丈县期末）把一根木头锯成5段需要锯5次．⨯（判断对错）-=（次)【解答】解：把一根木头锯成5段需要锯：514所以原说法错误．故答案为：⨯．24．（2019•海口）把一根钢管锯成长度相等的7段，每锯一段要8分钟，全部锯完需要56分钟．⨯（判断对错）【解答】解：因为把一根钢管锯成长度相等的7段，所以需要锯6次，因为每锯一段要8分钟，⨯=（分钟），所以全部锯完需要6848≠，因为4856所以题目中的说法错误，故答案为：⨯．四．应用题25．（2019秋•兴国县期末）小区花园是一个长20米、宽16米的长方形．现在要在花园四周种树，四个角上都要栽，每相邻两棵树间隔4米．一共要栽多少棵树？【解答】解：花园的周长是：+⨯(1620)2=⨯362=（米)72四周可以栽树：72418÷=（棵)答：一共要栽18棵树．26．（2019秋•嘉陵区期末）3路公交车行驶路线原来共有10个站牌，每两个站牌之间的距离是2km．现在为了市民出行方便，一共设了19个站牌，现在平均每两个站牌之间的距离为多少千米？⨯-÷-【解答】解：2(101)(191)=÷1818=（千米）1答：现在平均每两个站牌之间的距离为1千米．27．（2019秋•勃利县期末）有一块长方形地长36米，宽30米，计划在它的周围每6米植一棵树（四个顶点都要植），一共要植多少棵树？+⨯÷【解答】解：(3630)26=⨯÷66261326=÷22=（棵)答：一共要植22棵树．28．（2019秋•文水县期末）木工师傅要把一根长3.6米的木条锯成40厘米长的小木条，每锯一段用时2分钟，请你帮师傅算一算锯完这条木条共需要几分钟？【解答】解：400.4cm m =3.60.49÷=（段)918-=（次)8216⨯=（分)答：锯完这条木条共需要16分钟．29．（2018秋•市南区校级期末）学校为庆祝新年在一条长32米的走廊一侧放花，每隔4米放一盆花，两端都要放，一共放了多少盆花？【解答】解：3241÷+81=+9=（盆)答：一共要放9盆花．30．（2019春•丰台区期末）四年级学生去博物馆参观，旅游公司派出的8辆大客车想停在校外一条长100米的道路一侧，如果每辆大客车长11米，前后间隔3米，照这样计算，这条路的一侧能否停下这8辆大客车？【解答】解：11888⨯=（米)817-=（个)7321⨯=（米)8821109+=（米)109100>答：这条路的一侧不能停下这8辆大客车．31．（2015秋•库尔勒市校级期末）社区要在300米的道路两侧安装路灯，每隔10米安装一盏（两端都安），一共需要多少盏路灯？÷+【解答】解：300101=+301=（盏)31⨯=（盏)31262答：一共需要62盏路灯．32．一只蜗牛从20厘米深的瓶子底往上爬，每爬4厘米要用2分钟，然后休息1分钟．它从瓶底爬上来要用多长时间？-÷⨯++【解答】解：(204)4(21)2=÷⨯+16432122=+=（分钟），14答：这只蜗牛从瓶底爬到瓶口上要用14分钟．33．一条长96米的直路的两边栽树（路的两头都栽），原计划每4米栽一棵，树苗分完之后，发现树之间的距离太近，于是改成每6米栽一棵，有多少棵树苗不需要移动？=⨯【解答】解：422=⨯623⨯⨯=所以4和6的最小公倍数是22312÷=（棵)所以96128+=（棵)8199218⨯=（棵)答：有18棵树苗不需要移动．34．军军和明明比赛爬楼梯，他们从一楼开始，军军已经爬到了4楼，明明的速度是军军的2倍，明明现在爬到了几楼？-⨯+【解答】解：(41)21=+61=（楼)7答：明明现在爬到了7楼．五．解答题35．（2019秋•薛城区期末）学校门前有一条长20米的小路，计划在小路一旁植树，每5米栽一棵．可以栽5、4或3棵树．请在下面的图中表示出你的想法．÷=（个)【解答】解：2054两端都植树的情况如图：+=（棵)植树棵数：415一端植树的情况如图：植树棵数为4棵．两端都不植树的情况如图：-=（棵)植树棵数：413答：可以栽5、4或3棵树．故答案为：5、4或3．36．（2019秋•城关区期末）广场上的大钟5时敲响5下，8秒钟敲完．10时敲响10下，需要多长时间？-=（次)，【解答】解：5时敲响5下，间隔数是：514÷=（秒)，每次间隔时间是：842-=（次)，敲响10下，间隔数是：1019⨯=（秒)；需要的时间是：9218答：10时敲响10下，需要18秒．37．（2018秋•娄底期末）如果把一根木料锯成4段要用4.5分钟，那么用同样的速度把这根木料锯成13段，要用多少分钟？÷-⨯-【解答】解：4.5(41)(131)=⨯1.51218=（分钟）答：要用18分钟．38．（2018秋•太谷县期末）同学们在一条长100米的跑道一侧插彩旗，每隔2米插一面（两端要插）．一共要插多少面旗？÷+【解答】解：10021=+501=（面)51答：一共要插51面旗．39．（2019秋•武川县期末）从王林家到公路有一条长90米的小路，王林要在小路的一侧每隔15米种一棵白杨树，（两端都种），一共要种多少棵白杨树？÷+【解答】解：90151=+61=（棵)7答：一共要种7棵白杨树．40．（2018秋•武昌区期末）明珠小区的车位不足，在小区路的一边每5米安置一个车位，用“⊥”标志隔开．在一段100m长的路边最多可停放多少辆车？要画几个“⊥”标志？÷=（辆)【解答】解：100520-=（个)20119答：最多可停放20辆车，需要画19个“⊥”标志．41．（2018秋•芜湖期末）有一块边长是20米的正方形菜地，为了防止牲畜进去吃菜，要沿四周做一道篱笆栅栏，需从头尾等距离插40根竿，每两根竿之间相距多少米？⨯÷【解答】解：20440=÷8040=（米)2答：每两根竿之间相距2米．。

图形的折叠、剪拼与分割一页普通的纸，童年时我们用稚气的双手把它折成有趣的动物，民间艺人可以把它剪成美丽的图案．折纸与剪纸是最富于自然情趣而又形象生动的实验，是丰富想象力与心灵手巧的结合．对图形进行折叠与剪拼，是学习几何不可或缺的重要一环，通过折叠与剪拼图形，我们可以发现一些几何结论并知晓这些结论是怎样被证明的．把图形或部分沿某直线翻折叫图形的折叠，对图形通过有限次的剪裁再重新拼接成新的图形叫图形的剪拼．解与图形折叠或剪拼相关的问题，利用不变量解题是关键，在折叠过程中，线段的长度、角的度数保持不变；在剪拼过程中，新图形与原图形的面积一般保持不变．例题求解【例1】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于．(南通市中考题)思路点拨设CD=x，由折叠的性质实现等量转换，将条件集中到Rt△BDE中，建立x的方程．注图形折叠与剪拼问题可考壹我们的动手操作能力和分析推理能力，解题时需要把计算、推理与合情想象结合起来．折叠问题可以对称观点认识：(1)折痕两边是全等的；(2)对应点连线被折痕垂直平分．解折叠问题常用到勾股定理、相似形、方程思想等知识与方法．【例2】如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为( ) A．12 D10 C．8 D．6 (2004年武汉市选拔赛试题)思路点拨只需求出AF长即可．【例3】取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图1；第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B′，得Rt△AB'E，如图2；第三步：沿EB'线折叠得折痕EF，如图3．利用展开图4探究：(1)△AEF是什么三角形?证明你的结论．(2)对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形?请说明理由．(山西省中考题)思路点拨本例没有现成的结论，需经历实验、观察、猜想、证明等数学活动，从而探究得到结论．【例4】如图，是从边长为40cm、宽为30cm的矩形钢板的左上角截取一块长为20cm、宽为10cm的矩形后，剩下的一块下脚料．工人师傅要将它作适当地切割，重新拼接后焊成一个面积与原下脚料的面积相等，接缝尽可能短的正方形工件．(1)请根据上述要求，设计出将这块下脚料适当分割成三块或三块以上的两种不同的拼接方案(在图2和图3中分别画出切割时所沿的虚线，以及拼接后所得到的正方形，保留拼接的痕迹)；(2)比较(1)中的两种方案，哪种更好一些?说说你的看法和理由．（山东省中考题)思路点拨 拼接后正方形的边长为221030 ㎝，它恰是以30cm 和10cm 为两直角边的直角三角形的斜边的长，为此可考虑设法在原钢板上构造两直角边长分别为30㎝和l0cm 的直角三角形，这是解本例的关键． 注 有效的数学学习过程不能单纯地依赖模仿与记忆，应该通过观察、实验、操作、猜测、验证、推理等数学活动，形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略，从而使知识得到内化，形成能力． 近年中考中涌现的设计新颖、富有创意的折叠、剪拼与分割等问题，注重对动手实践操作、应用意识、学习潜能的考查．【例5】 用10个边长分别为3，5，6，11，17，19，22，23，24，25的正方形，可以拼接成一个矩形．(1)求这个矩形的长和宽； (2)请画出拼接图．思路点拨 利用拼接前后图形面积不变求矩形的长和宽；运用矩形对边相等这一性质画拼接图． 【例6】 如图，已知△ABC 中，∠B=∠C=30°，请设计三种不同的分法，将△ABC 分割成四个三角形，使得其中两个是全等三角形，而另外两个是相似但不全等的直角三角形．请画出分割线段，标出能够说明分法的所得三角形的顶点和内角度数(或记号)．(画图工具不限，不要求证明，不要求写出画法) (温州市中考题)思路点拨 充分运用几何计算、推理和作图，综合运用动手操作、空间想象、解决问题．学力训练1． 将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕(图中虚线)，继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到 条折痕，如果对折n 次，可以得到 条折痕．(2002年南宁市中考题)2．一张直角三角形的纸片，像图中那样折叠，使两个锐角顶点A 、B 重合，若∠B=30°，AC=3，则折痕DE 的长等于 ． (三明市中考题)3．如图，将一块长为12的正方形纸片ABCD 的顶点A 折至DC 边上的点E ，使DE ＝5，折痕为PQ ，则线段PM= ．4．在△ABC 中，已知AB=20，∠A=30°，CD 是AB 边的中线，若将△ABC 沿CD 对折起来，折叠后两个小三角形ACD 与三角形BCD 重叠部分的面积恰好等于折叠前△ABC 的面积的41，有如下结论：①AC 边的长可以等于a ；②折叠前的△ABC 的面积可以等于223a ；③折叠后，以A 、B 为端点的线段AB 与中线CD 平行且相等，其中，正确结论有 个． (天津市中考题)5．将四个相同的矩形(长是宽的3倍)，用不同的方式拼成一个大矩形，设拼得大矩形的面积是四个小矩形的面积和，则大矩形周长的值只可能有( )A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种 (2003年南昌市中考题)6．如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是( ) A ．∠A=∠1+∠2 B ．2∠A ＝∠1+∠2 C ．3∠A ＝2∠1+∠2 D ．3∠A=2(∠l+∠2) (北京市海淀区中考题)7．将一张矩形纸对折再对折(如图)，然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分．将①展开后得到的平面图形是( )A ．矩形B ．三角形C ．梯形D ．菱形 (陕西省中考题)8．如图1，小强拿一张正方形的纸，沿虚线对折一次得图2，再对折一次得图3，然后用剪刀沿图3中的虚线剪去一个角，再打开后的形状是( ) (济南市中考题)9．如图，东风汽车公司冲压厂冲压汽车零件的废料都是等腰三角形的小钢板，其中AB=AC，该冲压厂为了降低汽车零件成本，变废为宝，把这些废料再加工成红星农业机械厂粉碎机上的零件，销售给红星农业机械厂，这些零件的形状都是矩形．现在要把如图所示的等腰三角形钢板切割后再焊接成两种不同规格的矩形，每种矩形的面积正好等于该三角形的面积，每次切割的次数最多两次(切割的损失可忽略不计)．(1)请你设计两种不同的切割焊接方案，并用简要的文字加以说明；(2)若要把该三角形废料切割后焊接成正方形零件(只切割一次)，则该三角形需满足什么条件? (十堰市中考题)10．如图，ABCD是矩形纸片，E是AB上一点，且BE：EA＝5：3，EC=155，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好落在AD边上，设这个点为F，求AB、BC的长．11．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC=5，现将它折叠，使点B与点C重合，则折痕的长是． (四川省竞赛题)12．如图，一张矩形纸片沿BC折叠，顶点A落在点A，处，第二次过A，再折叠，使折痕DE∥BC，若AB=2，AC=3，则梯形BDEC的面积为．( “宇振杯”上海市竞赛题)13．如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成既无缝隙又无重叠的四边形EFGH，若EH＝3，EF＝4，那么线段AD与AB的比等于． ( “希望杯”邀请赛试题)14．要剪切如图l(尺寸单位mm)所示的两种直角梯形零件，且使两种零件的数量相等．有两种面积相等的矩形铝板，第一种长500mm，宽300mm(如图2)；第二种长600mm，宽250mm(如图3)；可供选用．(1)填空：为了充分利用材料，应选用第种铝板，这时一块铝板最多能剪甲、乙两种零件共个，剪出这些零件后，剩余的边角料的面积是 mm2．(2)画图，从图2或图3中选出你要用的铝板示意图，在上面画出剪切线，并把边角余料用阴影表示出来．15．如图，EF为正方形ABCD的对折线，将∠A沿DK折叠使它的顶点A落在EF上的G点，则∠DKG为( ) A．15° B．30° C．55° D．75°16．某班在布置新年联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图，在Rt△ABC的长都不小于5cm ，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是( )A ．24B ．25C ． 26D ．27 (山东省济南市中考题)17．如图，若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，设a ＝1，则这个正方形的面积为( )A ．2537+ B ．253+ C ．251+ D ．2)21(+ (2003年山东省竞赛题)18．如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，沿过点月的一条直线BE 折叠这个三角形，使点C 落在AB 边上的点为D ，要使点D 恰为AB 的中点，问在图中还需添加什么条件? (1)写出两个满足边的条件； (2)写出两个满足角的条件；(3)写出一个满足除边角以外的其他条件． (黄冈市竞赛题)19．如图，正方形纸片ABCD 中，E 为BC 的中点，折叠正方形，使点A 与点E 重合，压平后，得折痕MN ，设梯形ADMN 的面积为S 1，梯形BCMN 的面积为S 2，求21S S 的值20．已知一个三角形纸片ABC ，面积为25，BC 的长为l0，∠B 、∠C 都为锐角，M 为AB 边上的一动点(M 与A 、B 不重合)，过点M 作MN ∥BC 交AC 于点N ，设MN=x ． (1)用x 表示△AMN 的面积；(2)△AMN 沿MN 折叠，使△AMN 紧贴四边形BCNM(边AM 、AN 落在四边形BCNM 所在的平面内)，设点A 落在平面BCNM 内的点A ′，△A ′MN 与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ． ①用的代数式表示y ，并写出x 的取值范围．②当x 为何值时，重叠部分的面积y 最大，最大为多少?。