8关于x的函数y=loga2ax+2a在[1,+∞上为减函数,则实数a的

〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若 , 则 叫做以 为底 的对数, 记作 , 其中 叫做底数, 叫做真数. ②负数和零没有对数. ③对数式与指数式的互化: .（2）几个重要的对数恒等式: , , .（3）常用对数与自然对数：常用对数： , 即 ；自然对数： , 即 （其中 …）. （4）对数的运算性质 如果 , 那么 ①加法: ②减法: ③数乘:④log a N a N = ⑤log log (0,)bn a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式:【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数(6)反函数的概念设函数 的定义域为 , 值域为 , 从式子 中解出 , 得式子 . 如果对于 在 中的任何一个值, 通过式子 , 在 中都有唯一确定的值和它对应, 那么式子 表示 是 的函数, 函数 叫做函数 的反函数, 记作 , 习惯上改写成 .（7）反函数的求法①确定反函数的定义域, 即原函数的值域；②从原函数式 中反解出 ； ③将 改写成 , 并注明反函数的定义域． （8）反函数的性质①原函数 与反函数 的图象关于直线 对称.②函数 的定义域、值域分别是其反函数 的值域、定义域. ③若 在原函数 的图象上, 则 在反函数 的图象上. ④一般地, 函数 要有反函数则它必须为单调函数．一、选择题:1. 的值是（ ）A.B. 1C. D. 22. 已知x= +1,则log4(x3－x －6)等于 （ ） A.23 B.45 C.0 D.21 3. 已知lg2=a, lg3=b, 则 等于 （ ） A.B.C. D. 4．已知2lg(x －2y)=lgx ＋lgy, 则 的值为（ ）A. 1B. 4C. 1或4D. 4或-15.函数y=)12(log 21 x 的定义域为（ ） A. ( , ＋∞) B. ［1, ＋∞ C. ( , 1 D. (－∞, 1) 6.已知f(ex)=x, 则f(5)等于 （ ）A. e5B. 5eC. ln5D. log5e7. 若 的图像是 （ ）A B C D8. 设集合等于（）A. B.C. D.9. 函数的反函数为（）A. B.C. D.二、填空题:10. 计算: log2.56.25＋lg ＋ln ＋=11. 函数y=log4(x－1)2(x＜1的反函数为__________ .12. 函数y=(log x)2－log x2＋5在2≤x≤4时的值域为______.三、解答题:13．已知y=loga(2－ax)在区间{0, 1}上是x的减函数, 求a的取值范围．14. 已知函数f(x)=lg[(a2－1) x2＋(a＋1)x＋1], 若f(x)的定义域为R, 求实数a的取值范围.15. 已知f(x)=x2＋(lga＋2)x＋lgb, f(－1)=－2, 当x∈R时f(x)≥2x恒成立, 求实数a的值, 并求此时f(x)的最小值？一、选择题: ABBCBCDCBAAB13. , 14.y=1－2x(x∈R), 15.(lgm)0.9≤(lgm)0.8, 16.17.解析: 因为a是底, 所以其必须满足a>0 且a不等于1a>0所以2-ax为减函数, 要是Y=loga(2-ax)为减函数, 则Y=loga（Z）为增函数, 得a>1又知减函数区间为[0,1], a必须满足2-a*0>0 2-a*1>0 即得a<2综上所述, 啊的取值范围是（1,2）18、解: 依题意(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1＞0对一切x∈R恒成立.当a2－1≠0时, 其充要条件是: 解得a＜－1或a＞又a=－1, f(x)=0满足题意, a=1, 不合题意.所以a的取值范围是: (－∞, －1]∪( , ＋∞)19、解析：由f(－1)=－2, 得：f(－1)=1－(lga＋2)＋lgb=－2, 解之lga－lgb=1,∴=10, a=10b．又由x∈R, f(x)≥2x恒成立．知：x2＋(lga＋2)x＋lgb≥2x, 即x2＋xlga＋lgb≥0, 对x∈R恒成立, 由Δ=lg2a－4lgb≤0, 整理得(1＋lgb)2－4lgb≤0即(lgb－1)2≤0, 只有lgb=1, 不等式成立．即b=10, ∴a=100．∴f(x)=x2＋4x＋1=(2＋x)2－3当x=－2时, f(x)min=－3．。

习题课——对数函数及其性质的应用一、A组1.已知函数y=log a(x+c)(a,c为常数,且a>0,a≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是()A.a>1,c>1B.a>1,0<c<1C.0<a<1,c>1D.0<a<1,0<c<1解析:由题意可知y=log a(x+c)的图象是由y=log a x的图象向左平移c个单位长度得到的,结合题图知0<c<1.根据单调性易知0<a<1.答案:D2.已知a=,b=log2,c=lo,则()A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b解析:∵0<a=<20=1,b=log2<log21=0,c=lo>lo=1,∴c>a>b.故选D.答案:D3.函数f(x)=的定义域为()A.(3,5]B.[-3,5]C.[-5,3)D.[-5,-3]解析:要使函数有意义,则3-log2(3-x)≥0,即log2(3-x)≤3,∴0<3-x≤8,∴-5≤x<3.答案:C4.函数f(x)=lo(x2-4)的单调递增区间为()A.(0,+∞)B.(-∞,0)C.(2,+∞)D.(-∞,-2)解析:令t=x2-4>0,可得x>2或x<-2.故函数f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),当x∈(-∞,-2)时,t随x的增大而减小,y=lo t随t的减小而增大,所以y=lo(x2-4)随x的增大而增大,即f(x)在(-∞,-2)上单调递增.故选D.答案:D5.已知y=log a(2-ax)在区间[0,1]上为减函数,则a的取值范围为()A.(0,1)B.(1,2)C.(0,2)D.[2,+∞)解析:由题设知a>0,则t=2-ax在区间[0,1]上是减函数.因为y=log a(2-ax)在区间[0,1]上是减函数,所以y=log a t在定义域内是增函数,且t min>0.因此故1<a<2.答案:B6.导学号29900104已知函数f(x)=直线y=a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点,则a的取值范围是.解析:函数f(x)的图象如图所示,要使直线y=a与f(x)的图象有两个不同的交点,则0<a≤1.答案:(0,1]7.已知定义域为R的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数,且f=0,则不等式f(log4x)<0的解集是.解析:由题意可知,f(log4x)<0⇔-<log4x<⇔log4<log4x<log4<x<2.答案:8.已知函数f(x)=log a(x+1)(a>0,且a≠1),g(x)=log a(4-2x).(1)求函数f(x)-g(x)的定义域;(2)求使函数f(x)-g(x)的值为正数时x的取值范围.解:(1)由题意可知,f(x)-g(x)=log a(x+1)-log a(4-2x),要使函数f(x)-g(x)有意义,则解得-1<x<2.故函数f(x)-g(x)的定义域是(-1,2).(2)令f(x)-g(x)>0,得f(x)>g(x),即log a(x+1)>log a(4-2x).当a>1时,可得x+1>4-2x,解得x>1.由(1)知-1<x<2,所以1<x<2;当0<a<1时,可得x+1<4-2x,解得x<1,由(1)知-1<x<2,所以-1<x<1.综上所述,当a>1时,x的取值范围是(1,2);当0<a<1时,x的取值范围是(-1,1).9.导学号29900105若-3≤lo x≤-,求f(x)=的最值.解:f(x)==(log2x-1)(log2x-2)=(log2x)2-3log2x+2.令log2x=t,∵-3≤lo x≤-,∴-3≤-log2x≤-,∴≤log2x≤3.∴t∈.∴f(x)=g(t)=t2-3t+2=.∴当t=时,g(t)取最小值-;此时,log2x=,x=2;当t=3时,g(t)取最大值2,此时,log2x=3,x=8.综上,当x=2时,f(x)取最小值-;当x=8时,f(x)取最大值2.二、B组1.(2016·江西南昌二中高一期中)函数y=x·ln |x|的大致图象是()解析:函数f(x)=x·ln |x|的定义域(-∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称,且f(-x)=-x·ln |-x|=-x·ln|x|=-f(x),所以f(x)是奇函数,排除选项B;当0<x<1时,f(x)<0,排除选项A,C.故选D.答案:D2.(2016·河南许昌四校高一联考)若函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[2,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是()A.a≤4B.a≤2C.-4<a≤4D.-2≤a≤4解析:∵函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[2,+∞)上是增函数,∴y=x2-ax+3a在[2,+∞)上大于零且单调递增,故有解得-4<a≤4,故选C.答案:C3.已知函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数,g(x)=-f(|x|),若g(lg x)>g(1),则x的取值范围是()A.B.(0,10)C.(10,+∞)D.∪(10,+∞)解析:因为g(lg x)>g(1),所以f(|lg x|)<f(1).又f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,所以0≤|lg x|<1,解得<x<10.答案:A4.已知a=log23.6,b=log43.2,c=log43.6,则a,b,c的大小关系为.解析:∵b=log23.2=log2,c=log23.6=log2,又函数y=log2x在区间(0,+∞)上是增函数,3.6>,∴log23.6>log2>log2,∴a>c>b.答案:a>c>b5.已知函数y=log a x,当x>2时恒有|y|≥1,则a的取值范围是.解析:当a>1时,y=log a x在区间(2,+∞)上是增函数,由log a2≥1,得1<a≤2;当0<a<1时,y=log a x在区间(2,+∞)上是减函数,且log a2≤-1,得≤a<1.故a的取值范围是∪(1,2].答案:∪(1,2]6.导学号29900106若函数f(x)=log a x(a>0,且a≠1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍,则a的值为.解析:当0<a<1时,f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,∴f(x)在区间[a,2a]上的最小值为log a(2a),最大值为log a a,∴log a a=3log a(2a),∴log a(2a)=,即=2a,a=8a3,∴a2=,a=.当a>1时,f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,∴f(x)在区间[a,2a]上的最小值为log a a,最大值为log a(2a),∴log a(2a)=3log a a,∴log a(2a)=3,即a3=2a,∴a2=2,a=.故a的值为.答案:7.已知函数f(x)=lg(3x-3).(1)求函数f(x)的定义域和值域;(2)设函数h(x)=f(x)-lg(3x+3),若不等式h(x)>t无实数解,求实数t的取值范围.解:(1)由3x-3>0,得x>1,所以f(x)的定义域为(1,+∞).因为(3x-3)∈(0,+∞),所以函数f(x)的值域为R.(2)因为h(x)=lg(3x-3)-lg(3x+3)=lg=lg的定义域为(1,+∞),且h(x)在区间(1,+∞)上是增函数, 所以函数h(x)的值域为(-∞,0).若不等式h(x)>t无实数解,则t的取值范围为t≥0.8.导学号29900107已知函数f(x-1)=lg.(1)求函数f(x)的解析式;(2)解关于x的不等式f(x)≥lg(3x+1).解:(1)令t=x-1,则x=t+1.由题意知>0,即0<x<2,则-1<t<1.所以f(t)=lg=lg.故f(x)=lg(-1<x<1).(2)lg≥lg(3x+1)⇔≥3x+1>0.由3x+1>0,得x>-.因为-1<x<1,所以1-x>0.由≥3x+1,得x+1≥(3x+1)(1-x),即3x2-x≥0,x(3x-1)≥0,解得x≥或x≤0.又x>-,-1<x<1,所以-<x≤0或≤x<1.故不等式的解集为.。

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【本讲教育信息】一。

教学内容：对数运算、对数函数二. 重点、难点： 1。

对数运算0,0,1,1,0,0>>≠≠>>N M b a b a （1）x N a =log N a x =⇔（2）01log =a (3）1log =a a（4）N a N a=log(5）N M N M a a a log log )(log +=⋅(6)N M NMa a a log log log -=（7）M x M a x a log log ⋅=（8）a M M b b a log /log log =（9)b xyb a y a x log log =(10）1log log =⋅a b b a2。

对数函数x y a log =,0>a 且1≠a 定义域 （+∞,0） 值域 R单调性 ↓∈)1,0(a ↑+∞∈),1(a 奇偶性 非奇非偶 过定点 （1，0）图象 x y a log =与x y a1log =关于x 轴对称【典型例题】［例1］ 求值(1）=7log 3)91( ；(2)=-++4log 20log 23log 2log 15151515 ;（3）=+⋅+18log 3log 2log )2(log 66626 ; （4）=⋅81log 16log 329 ;（5）=+⋅++)2log 2(log )5log 5)(log 3log 3(log 2559384 ；(6）=+⋅+2)2(lg 50lg 2lg 25lg . 解：（1)原式491733)3(27log 7log 27log 22333=====---- （2)原式115log 15==（3）原式18log )3log 2(log 2log 6666++⋅=236log 18log 2log 666==+=（4）原式58)3log 54()2log 24(23=⋅=(5)原式815)2log 23()5log 23()3log 65(532=⋅⋅=(6）原式)2lg 50(lg 2lg 25lg ++=2100lg 2lg 225lg ==+=［例2] 若z y x ,,满足)](log [log log )](log [log log 33132212y x =)]z (log [log log 5515=0=，试比较z y x 、、的大小关系。

陕西省咸阳市三原县南郊中学2022-2023学年高一上学期第二次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．与2022︒终边相同的角是（）A ．488-︒B ．148-︒C ．142︒D ．222︒2．函数()22log f x x x =-+的零点所在的区间为（）A ．()01，B ．()12，C ．()23，D ．()34，3．用二分法求方程383x x =-在()1,2内的近似解时，记()338x f x x =+-，若(1)0f <，(1.25)0f <，(1.5)0f >，(1.75)0f >，据此判断，方程的根应落在区间（）A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,1.75)D ．(1.75,2)4．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是A ．(,2)-∞-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞5．设x ∈R ，则“0x <”是“()ln 10x +<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c<a<bD ．b<c<a7．1614年苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明了对数方法；1637年法国数学家笛卡尔开始使用指数运算；1770年瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数．若52x =，lg 20.3010≈，则x 的值约为（）A ．0.431B ．0.430C ．0.429D ．2.3228．已知01b a <<<，下列四个命题：①(0,)∀∈+∞x ，x x a b >，②(0,1)x ∀∈，log log a b x x >，③(0,1)x ∃∈，a b x x >，④(0,)x b ∃∈，log xa a x >．其中是真命题的有（）二、多选题9．下列结论正确的是（）A ．7π6-是第三象限角B ．若角α的终边过点(3,4)P -，则3cos 5α=-C ．若圆心角为π3的扇形弧长为π，则该扇形面积为3π2D ．3πcos()sin(π)2A A -=+10．若a ＜b ＜0，则下列不等式成立的是（）A ．11a b<B ．01ab<<C ．ab ＞b 2D ．b a <a b11．下列函数中，与y ＝x 是同一个函数的是（）A ．y =B ．y =C ．ln e xy =D ．lg 10x y =12．给出下列结论，其中正确的结论是（）．A ．函数2112x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的最大值为12B ．已知函数()log 2a y ax =-（0a >且1a ≠）在()0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是()1,2C ．函数2x y =与函数2log y x =互为反函数D ．已知定义在R 上的奇函数()f x 在(),0∞-内有1010个零点，则函数()f x 的零点个数为2021三、填空题13．已知tan 4α=-，则4sin 2cos 5cos 3sin αααα++的值为______．14．已知集合12112128,log ,,3248x A x B y y x x -⎧⎫⎧⎫⎡⎤=≤≤==∈⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦⎩⎭∣∣，则集合A B = _____15．已知函数23(0 x y a a -=+>且1)a ≠的图象恒过定点P ，点P 在幂函数()y f x =的图象上，则3log (3)f =______.16．已知定义域为R 的函数()11221x f x =-++则关于t 的不等式()()222210f t t f t +<－－的解集为________.四、解答题17．求值：(1)0113410.027167-⎛⎫-+- ⎪⎝⎭；(2)ln 2145log 2lg 4lg e 2+++.18．已知3sin 5α=-，且α是第________象限角.从①一，②二，③三，④四，这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上，并根据你的选择，解答以下问题：（1）求cos ,tan αα的值；（2）化简求值：3sin()cos()sin 2cos(2020)tan(2020)πααπαπαπα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭+-.19．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，()24f x x x =+，函数()f x 在y轴左侧的图象如图所示，并根据图象：(1)画出()f x 在y 轴右侧的图象，并写出函数()f x ()R x ∈的单调递增区间；(2)写出函数()f x ()R x ∈的解析式；(3)已知()()g x f x a =-有三个零点，求a 的范围．20．已知函数()()()1122log 4log 4f x x x =--+(1)求函数的定义域，判断并证明函数()f x 的奇偶性；(2)求不等式()0f x <的解集.21．2020年新冠肺炎疫情在世界范围内爆发，疫情发生以后，佩戴口罩作为阻断传染最有效的措施，一度导致口罩供不应求.为缓解口罩供应紧张，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献.已知生产口罩的固定成本为80万元，每生产x 万箱，需要另外投入的生产成本（单位：万元）为21485y x x =+，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完.（1）求生产多少万箱时平均每万箱的成本最低，并求出最低成本；（2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？22．已知()()423,R x xf x a a =+⋅+∈．(1)当4a =-且[0,2]x ∈时，求函数()f x 的取值范围；(2)若对任意的,()0x ∈+∞，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案：1．D【分析】与α终边相同的角可表示为2,Z k k απ+∈.【详解】∵20225360222︒=⨯︒+︒，∴与2022︒终边相同的角是222︒.故选：D 2．B【分析】判断函数的单调性，计算区间端点处函数值，由局零点存在定理即可判断答案.【详解】函数()22log f x x x =-+,0x >是单调递增函数，当0x +→时，()f x →-∞，2(1)1,(2)10,(3)1log 30,(4)40f f f f =-=>=+>=>，故(1)(2)0f f ⋅<故函数的零点所在的区间为()12，，故选：B 3．B【分析】由零点存在定理及单调性可得()f x 在(1.25,1.5)上有唯一零点，从而得到方程的根应落在(1.25,1.5)上.【详解】因为3x y =与38y x =-在R 上单调递增，所以()338x f x x =+-在R 上单调递增，因为(1.25)0f <，(1.5)0f >，所以()f x 在(1.25,1.5)上有唯一零点0x ，即003380xx +-=，故00383xx =-，所以方程的根落在区间(1.25,1.5)上，且为0x x =，对于ACD ，易知选项中的区间与(1.25,1.5)没有交集，故0x 不在ACD 选项中的区间上，故ACD 错误；对于B ，显然满足题意，故B 正确.故选：B.4．D【详解】由228x x -->0得：x ∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，令t =228x x --，则y =ln t ，∵x ∈(−∞,−2)时,t =228x x --为减函数；x ∈(4,+∞)时,t =228x x --为增函数；y =ln t 为增函数，故函数f (x )=ln(228x x --)的单调递增区间是(4,+∞)，故选D.点睛：形如()()y f g x =的函数为()y g x =,() y f x =的复合函数，() y g x =为内层函数,() y f x =为外层函数.当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单增；当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单减；当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减；当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单增.简称为“同增异减”.5．B【分析】解出()ln 10x +<，然后判断即可【详解】因为()ln 10x +<，所以01110x x <+<⇒-<<由{|10}x x -<<为{|0}x x <的真子集，所以“0x <”是“()ln 10x +<”的必要不充分条件故选：B.6．B【分析】运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c【详解】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．7．A【分析】由指对互化原则可知5log 2x =，结合换底公式和对数运算性质计算即可.【详解】由52x =得：5lg 2lg 2lg 20.3010log 20.43110lg 51lg 210.3010lg 2x ====≈≈--.故选：A.8．C【分析】作商并结合单调性判断①；作差并结合对数函数性质、对数换底公式判断②；利用指数函数单调性比较判断③；在给定条件下，借助“媒介”数比较判断作答.【详解】对于①，由01b a <<<得：1>a b ，(0,)∀∈+∞x ，01xx x a a a b b b ⎛⎫⎛⎫=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则x x a b >，①正确；对于②，(0,1)x ∀∈，log log log log 10x x x x aa b b-=<=，即0log log x x a b <<，则log log a b x x >，②正确；对于③，函数(01)x y m m =<<在(0,1)上为减函数，而01b a <<<，则a b m m <，即(0,1)x ∀∈，a b x x <，③错误；对于④，当(0,)x b ∈时，1x a <，log log log 1a a a x b a >>=，即log xa a x <，④错误，所以所给命题中，真命题的是①②．故选：C 9．BCD【分析】对于A ：利用终边相同的角与象限角的概念即可判断；对于B ：由任意角的三角函数的定义求出cos α的值即可判断；对于C ：利用弧长和面积公式求解即可；对于D ：利用诱导公式即可判断．【详解】对于A ：7π5π2π66-=-，是第二象限角，故A 错误；对于B ：角α的终边过点(3,4)P -，则||5r OP ==，所以cos 53x r α==-，故B 正确；对于C ：由题意知：设圆心角为θ，扇形的弧长为l ，半径为r ，则π,π3l θ==，由θ=l r ，得3r =，所以该扇形面积为13π22lr =，故C 正确；对于D ：π3πcos cos πcossin 222πA A A A⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，sin(π)sin A A +=-，则3πcos()sin(π)2A A -=+，故D 正确，故选：BCD ．10．CD【分析】根据不等式的性质逐项分析.【详解】由于a b <，设2,1a b =-=-，对于A ，则11111,1,2a b a b=-=->，错误；对于B ，21ab=>，错误；对于C ，由于()220,0,0,a b b ab b b a b ab b -<<∴-=->>，正确；对于D ，由于()()0,0,0,0,0,b a b a b a b ab a b a ab aba b a b-+->+<>∴<-<<，正确；故选：CD.11．AC【分析】从函数的定义域是否相同及函数的解析式是否相同两个方面判断．【详解】y x =的定义域为x ∈R ，值域为R y ∈，对于A 选项，函数y x =的定义域为x ∈R ，故是同一函数；对于B 选项，函数0y x ==≥，与y x =解析式、值域均不同，故不是同一函数；对于C 选项，函数ln e x y x ==，且定义域为R ，故是同一函数；对于D 选项，lg 10x y x ==的定义域为()0,∞+，与函数y x =定义域不相同，故不是同一函数.故选：AC ．12．CD【分析】对于A ，利用指数函数的性质进行判断；对于B ，利用对数函数的性质及复合函数单调性求参数值，注意端点值；对于C ，由指数函数2x y =与对数函数2log y x =互为反函数即可判断；对于D ，利用奇函数的性质进行判断.【详解】对于A ，因为211x -+≤，所以211122x -+⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，因此2112x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭有最小值12，无最大值，故A 错误；对于B ， 函数()log 2a y ax =-（0a >且1a ≠）在()0,1上是减函数，120a a >⎧∴⎨-≥⎩，解得12a <≤，故B 错误；对于C ， 指数函数2x y =与对数函数2log y x =互为反函数，故C 正确；对于D ，定义在R 上的奇函数()f x 在(),0∞-内有1010个零点，()f x \在(0,)+∞内有1010个零点，又()00f =，∴函数()f x 的零点个数为2101012021⨯+=，故D 正确，故选：CD ．13．2【分析】根据给定条件把正余弦的齐次式化成正切，再代入计算作答.【详解】因tan 4α=-，则4sin 2cos 4tan 24(4)225cos 3sin 53tan 53(4)αααααα++⨯-+===+++⨯-，所以4sin 2cos 5cos 3sin αααα++的值为2.故答案为：214．[]1,5-【分析】解不等式1121284x - 化简即可求得集合A ，求出21log ,,328y x x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦的值域即可求得集合B ，再进行集合运算即可得出结果.【详解】由1121284x - ，即217222x -- ，得:217x --,解得:18x - ,所以[]1,8A =-；当1,328x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2log [3,5]y x =∈-，所以[]3,5B =-，所以[]1,5A B =-∩.故答案为：[]1,5-.15．2【分析】根据指数函数过定点()0,1,求出函数23x y a -=+过定点()2,4.即可求出幂函数2()f x x =，代入3log (3)f 即可得出答案.【详解】函数23x y a -=+过定点()2,4.将()2,4代入幂函数()a f x x =，即(2)2=42a f a =⇒=.所以233log (3)log 3=2f =.故填：2.【点睛】本题考查指数型函数的定点、幂函数、对数恒等式,属于基础题.需要注意的是指数型函数的定点求法：令指数位置等于0.属于基础题.16．()1,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.【分析】先判断出()f x 是奇函数且在R 上为减函数，利用单调性解不等式.【详解】函数()11221x f x =-++的定义域为R.因为()1112221221xx xf x --=-+=-+++，所以()()1111110221221x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-+=-++-+=-+= ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以()()f x f x -=-，即()f x 是奇函数.因为2x y =为增函数，所以121xy =+为减函数，所以()11221x f x =-++在R 上为减函数.所以()()222210f t t f t －＋－＜可化为()()()22222112f t t f t f t －＜－－＝－.所以22212t t t －＞－，解得：1t ＞或13t ＜－.故答案为：()1,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.17．(1)53-(2)52【分析】(1)根据指数幂的运算性质即可求出.(2)根据对数的运算性质即可求得.【详解】（1）()()()0111113443434410.027160.32147--⎛⎫-+=-+- ⎪⎝⎭150.32143-=-+-=-（2）2ln 221245log 2lg 4lg e log 2lg 2lg5lg 222-+++=++-+152lg 2lg 5lg 2222=-++-+=18．（1）答案不唯一，具体见解析（2）1625【分析】（1）考虑α为第三象限或第四象限角两种情况，根据同角三角函数关系计算得到答案.（2）化简得到原式2cos α=，代入数据计算得到答案.【详解】（1）因为3sin 5α=-，所以α为第三象限或第四象限角；若选③，4sin 3cos ,tan 5cos 4αααα==-==；若选④，4sin 3cos ,tan 5cos 4αααα====-；（2）原式sin cos (cos )cos tan()ααααα-=-sin cos tan ααα-=-sin cos sin cos αααα=2cos α=2315⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1625=.【点睛】本题考查了同角三角函数关系，诱导公式化简，意在考查学生的计算能力和转化能力.19．(1)答案见解析(2)()224,04,0x x x f x x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩(3)44a -<<【分析】（1）利用奇函数的图象关于原点对称作出图象，由图象得单调递增区间；（2）根据奇函数的定义求解析式；（3）由题意可知()y f x =与y a =的图象有三个不同的交点，由图象即可得出结论．【详解】（1）函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则函数()f x 的图象关于原点对称，则函数()f x 图象如图所示，故函数()f x 的单调递增区间为[]22-,．（2）令0x >，则0x -<，则()24f x x x-=-又函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()24f x f x x x=--=-+所以()224,04,0x x x f x x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩（3）已知()()g x f x a =-有三个零点，即()y f x =与y a =的图象有三个不同的交点，由图象可知：44a -<<．20．(1)答案见解析(2)()4,0-【分析】（1）由对数的真数大于零，解不等式组可求得定义域；利用奇偶性的定义即可判断并证明函数的奇偶性；（2）利用对数函数的性质直接解不等式即可.【详解】（1）由4040x x ->⎧⎨+>⎩，得44x -<<，所以函数()f x 的定义域为()4,4-，函数()f x 为奇函数，证明如下：因为函数()f x 的定义域为()4,4-，所以定义域关于原点对称，因为()()()()()11112222log 4log 4log 4log 4()f x x x x x f x ⎡⎤-=+--=---+=-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 为奇函数.（2）由()0f x <，得()()1122log 4log 40x x --+<，所以()()1122log 4log 4x x -<+，因为12log y x =在()0,∞+上为减函数，所以404044x x x x ->⎧⎪+>⎨⎪->+⎩，解得40x -<<，所以不等式()0f x <的解集为()4,0-.21．（1）生产20万箱时，平均每万箱成本最低，为56万元；（2）130．【解析】（1）可得出平均每万箱的成本为80485x W x=++，再利用基本不等式可求；（2）可得利润为()2152805h x x x =-+-，利用二次函数的性质即可求解.【详解】（1）设生产x 万箱时平均每万箱的成本为W ，则218048805485x x x W x x++==+，因为0x >，所以8085x x +=≥，当且仅当805x x=，即20x =时等号成立．所以min 84856W =+=，当20x =时取到最小值，即生产20万箱时平均每万箱成本最低，最低成本为56万元．（2）设生产x 万箱时所获利润为()h x ，则()2110048805h x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，即()2152805h x x x =-+-，()0x ≥，即()()2113033005h x x =--+，所以()()min 1303300h x h ==，所以生产130万箱时，所获利润最大为3300万元．22．(1)[1,3]-(2){a a >-【分析】（1）将4a =-代入，换元，令2x t =可得2(2)1y t =--，其中14t ≤≤，再利用二次函数的性质可得()f x 的取值范围；（2）令2x m =，()1,m ∞∈+，则问题等价于对任意的()1,m ∞∈+，230m am ++>恒成立，分离参变量得3a m m ⎛⎫>-+ ⎪⎝⎭，结合基本不等式即可得到答案．【详解】（1）当4a =-时，()4423x x f x =-⋅+，令2x t =，由[0,2]x ∈，得[1,4]t ∈，2243(2)1y t t t =-+=--，当2t =时，min 1y =-；当4t =时，max 3y =，所以函数()f x 的取值范围[1,3]-．（2）令2x m =，由,()0x ∈+∞，得()1,m ∞∈+，则23y m am =++，对任意的,()0x ∈+∞，()0f x >恒成立，即对任意的()1,m ∞∈+，230m am ++>恒成立，则对任意的()1,m ∞∈+，233m a m m m +⎛⎫>-=-+ ⎪⎝⎭恒成立，因为3m m +≥=m =则当m =3m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取最大值-，所以实数a 的取值范围{a a >-。

高中数学总复习对数和指数函数复习内容：高中数学第三章【复习目标】1． 理解对数的意义，会熟练的将指数式与对数式互化，掌握积、商、幂的对数运算性质换底公式； 2． 理解反函数的概念，会求已知函数的反函数，掌握函数与它的反函数在定义域、值域及图像上的关系；3． 理解指数函数和对数函数的要领，掌握指数函数和对数函数的图像和性质，掌握指数函数和对数函数互为反函数的结论；4． 理解指数方程和对数方程的意义，会解简单的指数方程和对数方程. 5． 掌握数学方法：分类讨论，数形结合，换元法，等价转换.【重点难点】对数的意义与运算性质，反函数的概念及性质，指数函数和对数函数的图像和性质. 【课前预习】1.函数()(2)x f x =-、2()3x f x -=、1()2()3x f x =⋅、3()f x x =中，指数函数是2.（1）函数1()()2x f x =的值域是 （2）函数212()log (25)f x x x =-+的值域是3.（1）函数()f x =（2）函数()f x =4.（1）函数()y f x =的图像与函数()2x f x =的图像关于x 轴对称，则()y f x == （2）函数lg(2)(2)y x x =->的图像关于x 轴对称的函数()y f x ==5. 函数2()(1)x f x a =-是R 上的减函数，则实数a 的取值X 围是6. 已知0<a<1，b<-1，则函数()x f x a b =+的图像不经过 （ ）A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 7.函数213()log (232)f x x x =--的单调递增区间是8. 使log 2(-x)<x+1成立的x 的取值X 围是 9.不论a 为何值时，函数y=(a-1)2x -2a 的图像过一定点，这个定点的坐标是(-1,-12)10.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x<0时，f(x)=1()3x ，则f(12)11.已知函数y=4x -32x +3的值域为[1，7]，则实数x 的取值X 围是(-∞,0]∪[1，2]12．函数()2x f x =，x 1，x 2∈R 且x 1≠x 2，则 （ ） A.12121[()()]()22x x f x f x f ++= B.12121[()()]()22x x f x f x f ++> C.12121[()()]()22x x f x f x f ++< D.以上答案都不对【基础知识】1．幂的有关概念(1)正整数指数幂()nna a a a a n N *=⋅⋅⋅⋅∈ (2)零指数幂)0(10≠=a a(3)负整数指数幂()10,nn aa n N a-*=≠∈ (4)正分数指数幂()0,,,1mn m n a a a m n N n *=>∈>； (5)负分数指数幂()110,,,1m nm nmnaa m n N n a a-*==>∈>(6)0(0)a a >，没有意义.2．有理数指数幂的性质()()10,,rsr sa a aa r s Q +=>∈()()()20,,sr rs a a a r s Q =>∈()()()30,0,rr r ab a b a b r Q =>>∈3．根式的内容（1）根式的定义:一般地，如果a x n=，那么x 叫做a 的n 次方根，其中()*∈>N n n ,1，na 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫被开方数。

1．log 5b ＝2，化为指数式是 ( ) A ．5b ＝2 B ．b 5＝2 C ．52＝b D ．b 2＝5 答案：C2．在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是 ( ) A ．a >5或a <2 B ．2<a <3或3<a <5 C ．2<a <5D ．3<a <4解析：要使式子b ＝log (a －2)(5－a )有意义则⎩⎪⎨⎪⎧a －2>0a －2≠15－a >0即2<a <3或3<a <5.答案：B3．下列结论正确的是 ( ) ①lg(lg10)＝0 ②lg(lne)＝0 ③若10＝lg x 则x ＝10 ④若e ＝ln x ，则x ＝e 2 A ．①③ B ．②④ C ．①②D ．③④解析：∵lg10＝1，∴lg(lg10)＝0，故①正确； ∵lne ＝1，∴lg(lne)＝0，故②正确； ∵10＝lg x ，∴x ＝1010，故③不正确； ∵e ＝ln x ，∴x ＝e e ，故④也不正确； 答案：C4．若log 31－2x9＝0，则x ＝________.解析： ∵log 31－2x9＝0，∴1－2x 9＝1,1－2x ＝9.∴－2x ＝8.x ＝－4. 答案：－45．若a >0，a 2＝49，则log 23a ＝________.解析：∵a >0，且a 2＝49，∴a ＝23.∴log 2323＝1.答案：16．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1) πx ＝8；(2)log x 64＝－6； (3)lg1 000＝3.解：(1)由πx ＝8，得x ＝log π8； (2)由log x 64＝－6，得x －6＝64； (3)由lg1 000＝3，得103＝1 000.j一、选择题1．已知log x 8＝3，则x 的值为 ( ) A.12B ．2C ．3D ．4解析：由log x 8＝3，得x 3＝8，∴x ＝2. 答案：B 2．方程2log 3x＝14的解是( ) A ．9 B.33C. 3D.19解析：∵2log 3x＝14＝2－2.∴log 3x ＝－2. ∴x ＝3－2＝19.答案：D3．若log x 7y ＝z 则 ( ) A ．y 7＝x z B ．y ＝x 7z C ．y ＝7xD ．y ＝z 7x解析：由log x 7y ＝z 得：x z ＝7y ，y ＝x 7z . 答案：B4．log 5[log 3(log 2x )]＝0，则x 12等于 ( ) A.36B.39C.24D.23解析：∵log 5[log 3(log 2x )]＝0， ∴log 3(log 2x )＝1， ∴log 2x ＝3. ∴x ＝23＝8. ∴x12-＝812-＝18＝122＝24. 答案：C 二、填空题5．log 6[log 4(log 381)]＝________. 解析：设log 381＝x ，则3x ＝81＝34， ∴x ＝4，∴原式＝log 6[log 44]＝log 61＝0. 答案：0 6．log 23278＝________. 解析：设log 23278＝x ，则(23)x ＝278＝(23)－3， ∴x ＝－3.∴log 23278＝－3. 答案：－37．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤1－x ，x ＞1，若f (x )＝2，则x ＝________.解析：由⎩⎨⎧ x ≤13x ＝2⇒x ＝log 32，⎩⎨⎧x >1－x ＝2⇒x ＝－2无解．答案：log 328．若log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n ＝________.解析：∵log a 2＝m ，∴a m ＝2，∴a 2m ＝4，又∵log a 3＝n ， ∴a n ＝3，∴a 2m ＋n ＝a 2m ·a n ＝4×3＝12. 答案：12 三、解答题 9．求下列各式中x . (1)log 2x ＝－23；(2)log 5(log 2x )＝0.解：(1)x ＝223-＝(12)23 (2)log 2x ＝1，x ＝2.10．已知二次函数f (x )＝(lg a )x 2＋2x ＋4lg a 的最大值为3，求a 的值． 解：原函数式可化为 f (x )＝lg a (x ＋1lg a )2－1lg a＋4lg a . ∵f (x )有最大值3，∴lg a <0，且－1lg a ＋4lg a ＝3，整理得4(lg a )2－3lg a －1＝0， 解之得lg a ＝1或lg a ＝－14.又∵lg a <0，∴lg a ＝－14.∴a ＝1014-.1．若a >0，且a ≠1，x ∈R ，y ∈R ，且xy >0，则下列各式不恒成立的是 ( ) ①log a x 2＝2log a x ；②log a x 2＝2log a |x |； ③log a (xy )＝log a x ＋log a y ； ④log a (xy )＝log a |x |＋log a |y |. A ．②④ B ．①③ C ．①④D ．②③解析：∵xy >0.∴①中若x <0则不成立；③中若x <0，y <0也不成立． 答案：B2．计算log 916·log 881的值为 ( ) A ．18 B.118 C.83D.38解析：log 916·log 881＝lg16lg9·lg81lg8＝4lg22lg3×4lg33lg2＝83. 答案：C3．已知lg2＝a ，lg3＝b ，则log 36＝ ( ) A.a ＋b a B.a ＋b b C.a a ＋bD.b a ＋b解析：log 36＝lg6lg3＝lg2＋lg3lg3＝a ＋bb .答案：B4．已知log 23＝a,3b ＝7，则log 1256＝________. 解析：∵3b ＝7，∴b ＝log 37， ∴log 1256＝log 356log 312＝log 3(7×8)log 3(4×3)＝log 37＋3log 322log 32＋1又∵log 23＝a ，∴log 32＝1a . 原式＝b ＋3a 2a＋1＝ab ＋3a2＋a a＝ab ＋3a ＋2. 答案：ab ＋3a ＋25．若lg x －lg y ＝a ，则lg(x 2)3－lg(y2)3＝________.解析：∵lg x －lg y ＝a ， ∴lg(x 2)3－lg(y 2)3＝3(lg x 2－lg y2)＝3(lg x －lg y )＝3a . 答案：3a6．计算下列各式的值． (1)log 2748＋log 212－12log 242； (2)log 225·log 34·log 59. 解：(1)原式＝log 27×1248×42＝log 212＝－12.(2)原式＝log 252·log 322·log 532 ＝8log 2·5log 32·log 53 ＝8lg 5lg 2·lg 2lg 3·lg 3lg 5＝8. 一、选择题1．lg8＋3lg5的值为 ( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3解析：lg8＋3lg5＝3lg2＋3lg5＝3(lg2＋lg5)＝3lg10＝3. 答案：D2．若log 34·log 8m ＝log 416，则m 等于 ( ) A ．3 B ．9 C ．18D ．27解析：原式可化为：log 8m ＝2log 34∴13log 2m ＝2log 43，∴m 13＝3. m ＝27. 答案：D3．已知a ＝log 32，用a 来表示log 38－2log 36 ( ) A ．a －2B ．5a －2C ．3a －(1＋a )2D ．3a －a 2－1解析：log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋log 33) ＝3a －2(a ＋1) ＝a －2. 答案：A4．已知方程x 2＋x log 26＋log 23＝0的两根为α、β，则(14)α·(14)β＝ ( )A.136 B ．36 C ．－6D ．6解析：由题意知：α＋β＝－log 26，(14)α·(14)β＝(14)α＋β＝(14)－log 26＝4log 26＝22log 26＝36.答案：B 二、填空题5．2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋(lg 2)2－lg 2＋1＝________. 解析：原式＝2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋1－lg 2 ＝2(lg 2)2＋lg 2(lg 5－1)＋1 ＝2(lg 2)2－2(lg 2)2＋1＝1. 答案：16．设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0ln x ，x >0，则g (g (12))＝________.解析：∵12>0，∴g (12)＝ln 12.而g (g (12))＝g (ln 12)＝e 1ln2＝12.答案：127．方程log 3(x －1)＝log 9(x ＋5)的解是________． 解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，x ＋5>0，(x －1)2＝x ＋5，解之得x ＝4.答案：x ＝48．已知x 3＝3，则3log 3x －log x 23＝________. 解析：3log 3x ＝log 3x 3＝log 33＝1， 而log x 23＝log x 3332＝log 3332＝32，∴3log 3x －log x 23＝1－32＝－12.答案：－12三、解答题9．计算下列各式的值： (1)log 34log 98； (2)lg2＋lg50＋31－log 92； (3)221log4＋(169)12-＋lg20－lg2－(log 32)·(log 23)＋(2－1)lg1.解：(1)原式＝log 322log 923＝2log 3232log 32＝43.(2)原式＝lg2＋lg 1002＋3×323log 2-＝lg2＋(2－lg2)＋3×3－12log 32231log 2-＝2＋3×3123log 2-＝2＋3×2－12＝2＋322.(3)原式＝14＋[(43)2]－12＋lg 202－lg2lg3·lg3lg2＋1＝14＋(43)－1＋lg10－1＋1＝2. 10．设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y 的值．解：由已知分别求出x 和y ， ∵3x ＝36,4y ＝36， ∴x ＝log 336，y ＝log 436， 由换底公式得： x ＝log 3636log 363＝1log 363，y ＝log 3636log 364＝1log 364， ∴1x ＝log 363，1y ＝log 364， ∴2x ＋1y ＝2log 363＋log 364 ＝log 36(32×4)＝log 3636＝1.1．函数f (x )＝3x 21－2x ＋lg(2x ＋1)的定义域是 ( )A ．(－12，＋∞)B ．(－12，1)C ．(－12，12)D ．(－∞，－12)解析：由⎩⎪⎨⎪⎧1－2x >02x ＋1>0得－12<x <12.答案：C2．函数y ＝log a x 的图像如图所示，则实数a 的可能取值是( ) A ．5 B.15 C.1eD.12解析：∵函数y ＝log a x 的图像一致上升，∴函数y ＝log a x 为单调增函数， ∴a >1. 答案：A3．设a ＝log 123，b ＝(13)0.3，c ＝213，则a ，b ，c 的大小关系是 ( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c解析：∵a ＝log 123<log 121＝0,0<b ＝(13)0.3<(13)0＝1，c ＝213>20＝1.∴a <b <c .答案：A4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，则f (f (14))＝________.解析：f (14)＝log 214＝－2.f (f (14))＝f (－2)＝3－2＝19. 答案：195．已知log 0.6(x ＋2)>log 0.6(1－x )，则实数x 的取值范围是________． 解析：∵函数y ＝log 0.6x 为减函数， ∴结合定义域可得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2>01－x >0x ＋2<1－x得⎩⎪⎨⎪⎧x >－2x <1x <－12∴－2<x <－12.答案：(－2，－12)6．已知函数y ＝log a (x ＋b )的图像如图所示，求实数a 与b 的值． 解：由图像可知，函数的图像过点(－3,0)和(0,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧log a (b －3)＝0log a b ＝2，解之得b ＝4， a ＝2. 一、选择题 1．已知函数f (x )＝11－x的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∩N 等于 ( )A ．{x |x >－1}B ．{x |x <1}C ．{x |－1<x <1}D ．∅解析：由题意得M ＝{x |x <1}，N ＝{x |x >－1}， 则M ∩N ＝{x |－1<x <1}． 答案：C2．函数f (x )＝log 2(3x ＋3－x )是 ( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．不是奇函数又不是偶函数 解析：∵3x ＋3－x >0恒成立．∴f (x )的定义域为R.又∵f (－x )＝log 2(3－x ＋3x )＝f (x )．∴f (x )为偶函数． 答案：B3．如图是三个对数函数的图像，则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A ．a >b >c B ．c >b >a C ．c >a >bD ．a >c >b解析：由图可知a >1，而0<b <1,0<c <1，取y ＝1，则可知c >b .∴a >c >b . 答案：D4．已知函数f (x )＝|lg x |.若a ≠b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋b 的取值范围是 ( ) A ．(1，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：f (x )＝|lg x |的图像如图所示， 由题可设0<a <1，b >1， ∴|lg a |＝－lg a ，|lg b |＝lg b ， ∴－lg a ＝lg b . 即1a ＝b ，∴a ＋b ＝a ＋1a (0<a <1)．又∵函数y ＝x ＋1x (0<x <1)为减函数， ∴a ＋1a >2.答案：C 二、填空题5．对数函数的图像过点(16,4)，则此函数的解析式为________． 解析：设f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，则log a 16＝4. ∴a 4＝16，又∵a >0且a ≠1，∴a ＝2. 即f (x )＝log 2x . 答案：f (x )＝log 2x6．已知函数y ＝3＋log a (2x ＋3)(a >0且a ≠1)的图像必经过定点P ，则P 点坐标________．解析：∵当2x ＋3＝1即x ＝－1时，log a (2x ＋3)＝0，y ＝3，P (－1,3)．答案：(－1,3)7．方程x 2＝log 12x 解的个数是________．解析：函数y ＝x 2和y ＝log 12x 在同一坐标系内的图像大致为：答案：18．若实数a 满足log a 2>1，则a 的取值范围为________．解析：当a >1时，log a 2>1＝log a a .∴2>a .∴1<a <2；当0<a <1时，log a 2<0.不满足题意．答案：1<a <2三、解答题9．(1)已知函数y ＝lg(x 2＋2x ＋a )的定义域为R ，求实数a 的取值范围；(2)已知函数f (x )＝lg[(a 2－1)x 2＋(2a ＋1)x ＋1]，若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围．解：(1)因为y ＝lg(x 2＋2x ＋a )的定义域为R ，所以x 2＋2x ＋a >0恒成立，所以Δ＝4－4a <0，所以 a >1.故a 的取值范围是(1，＋∞)．(2)依题意(a 2－1)x 2＋(2a ＋1)x ＋1>0对一切x ∈R 恒成立．当a 2－1≠0时，解得a <－54. 当a 2－1＝0时，显然(2a ＋1)x ＋1>0，对x ∈R 不恒成立．所以a 的取值范围是(－∞，－54)． 10．已知函数f (x )＝log a x ＋1x －1(a >0，且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域：(2)判断函数的奇偶性．解：(1)要使函数有意义，则有x ＋1x －1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，x －1>0，， 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，x －1<0，解得x >1或x <－1， 此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，关于原点对称．(2)f (－x )＝log a －x ＋1－x －1＝log a x －1x ＋1＝－log a x ＋1x －1＝－f (x )． ∴f (x )为奇函数．1．(2011·天津高考)设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则 ( )A ．a ＜c ＜bB ．b ＜c ＜aC ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c解析：由于b ＝(log 53)2＝log 53·log 53＜log 53＜a ＝log 54＜1＜log 45＝c ，故b ＜a ＜c .答案：D2．函数y ＝log 3x －3的定义域是 ( )A ．(9，＋∞)B ．[9，＋∞)C ．[27，＋∞)D ．(27，＋∞)解析：由log 3x －3≥0得log 3x ≥3.即x ≥27.答案：C3．若log m 8.1<log n 8.1<0，那么m ，n 满足的条件是 ( )A ．m >n >1B ．n >m >1C ．0<n <m <1D ．0<m <n <1 解析：由题意知m ，n 一定都是大于0且小于1的，根据函数图像知，当x >1时，底数越大，函数值越小． 答案：C4．不等式log 13 (5＋x )<log 13(1－x )的解集为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 5＋x >01－x >05＋x >1－x，得－2<x <1.答案：{x |－2<x <1} 5．y ＝(log 12a )x 在R 上为减函数，则a 的取值范围是________．解析：使0<log 12a <1，得12<a <1. 答案：(12，1) 6．已知函数f (x )＝log a (3－ax )，当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围．解：由题意知，3－ax >0对x ∈[0,2]恒成立，a >0，且a ≠1.设g (x )＝3－ax ，则g (x )在[0,2]上为减函数，∴g (x )min ＝g (2)＝3－2a >0，∴a <32. ∴a 的取值范围是(0,1)∪(1，32)． 一、选择题1．与函数y ＝(14)x 的图像关于直线y ＝x 对称的函数是 ( ) A ．y ＝4xB ．y ＝4－xC ．y ＝log 14xD ．y ＝log 4x解析：作出图像观察可知函数y ＝(14)x 的图像与y ＝log 14x 的图像关于直线y ＝x 对称． 答案：C2．函数y ＝2＋log 2x (x ≥1)的值域为 ( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．[2，＋∞)D ．[3，＋∞)解析：∵x ≥1，∴log 2x ≥0，∴y ＝2＋log 2x ≥2.答案：C3．若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是 ( )A ．(0,1)B ．(12，1)C ．(0，12) D ．(1，＋∞) 解析：∵(a 2＋1)－2a ＝(a －1)2>0(a ≠1)，∴a 2＋1>2a .由log a (a 2＋1)<log a 2a 知：0<a <1.又log a 2a <0＝log a 1.∴2a >1⇒a >12， 综上：12<a <1. 答案：B4．已知函数y ＝log a (2－ax )在[0,1]上为减函数，则a 的取值范围为 ( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(0,2)D ．(2，＋∞)解析：∵a >0，∴g (x )＝2－ax 为减函数，即任取x 1，x 2∈[0,1]，且x 1<x 2，有g (x 1)>g (x 2)，又log a g (x 1)>log a g (x 2)．∴a >1.而又∵g (x )＝2－ax 在[0,1]恒为正．∴2－a >0，∴a <2.答案：B二、填空题5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b (x ≤0)log c(x ＋19)(x >0)的图像如图所示，则a ＋b ＋c ＝________. 解析：∵f (x )＝ax ＋b (x ≤0)过点(－1,0)，(0,2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝－a ＋b2＝b，∴a ＝2，b ＝2. 由图像知f (x )＝log c (x ＋19)过点(0,2) ∴2＝log c 19，∴c ＝13. ∴a ＋b ＋c ＝2＋2＋13＝133. 答案：1336．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )若A ⊆B ，则a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________. 解析：∵log 2x ≤2＝log 24∴0<x ≤4，∴A ＝{x |0<x ≤4}．又∵A ⊆B .∴a >4.∴c ＝4.答案：47．函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)在[2,3]上的最大值为1，则a ＝________.解析：当a >1时，f (x )max ＝f (3)＝log a 3＝1.∴a ＝3.当0<a <1时，f (x )max ＝f (2)＝log a 2＝1.∴a ＝2(舍去)．∴a ＝3.答案：38．关于函数f (x )＝lg x x 2＋1有下列结论：①函数f (x )的定义域是(0，＋∞)；②函数f (x )是奇函数；③函数f (x )的最小值为－lg2；④当0<x <1时，函数f (x )是增函数；当x >1时，函数f (x )是减函数．其中正确结论的序号是________．解析：由x x 2＋1>0知函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，则函数f (x )是非奇非偶函数，所以①正确，②错误；f (x )＝lg xx 2＋1＝－lg(x ＋1x )≤lg 12＝－lg2，即函数f (x )的最大值为－lg2，所以③错误；函数y ＝x ＋1x ，当0<x <1时，函数g (x )是减函数；当x >1时，函数g (x )是增函数．而函数y ＝lg x 在(0，＋∞)上单调递增，所以④正确．答案：①④三、解答题9．对a ，b ∈R 定义运算“*”为a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )b (a >b )， 若f (x )＝[log 12(3x －2)]*(log 2x )，试求f (x )的值域．解：f (x )＝⎩⎨⎧ log 12(3x －2) (x ≥1)，log 2x (23<x <1)当x ≥1时，log 12(3x －2)≤0，当23<x <1时，1－log 23<log 2x <0， 故f (x )的值域为(－∞，0]．10．分贝是计量声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声压级(spl)来描述声音的大小：把声压P 0＝2×10－5帕作为参考声压，把所要测量的声压P 与参考声压P 0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级．声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB)．分贝值在60以下为无害区，60～110为过渡区，110以上为有害区．(1)根据上述材料，列出分贝值y 与声压P 的函数关系式．(2)某地声压P ＝0.002帕，试问该地为以上所说的什么区？(3)2012年央视春晚中，郭冬临、魏积安、何军等表演小品《面试》时，现场多次响起响亮的掌声，某观众用仪器测量到最响亮的一次音量达到了90分贝，试求此时中央电视台演播大厅的声压是多少？解：(1)由已知得y ＝20lg P P 0， 又P 0＝2×10－5，则y ＝20lg P 2×10－5.(2)当P＝0.002时，y＝20lg 0.0022×10－5＝20lg102＝40(分贝)．由已知条件知40分贝小于60分贝，所以该地区为无害区．(3)由题意得90＝20lg PP0，则PP0＝104.5，所以P＝104.5P0＝104.5×2×10－5＝2×10－0.5≈0.63(帕)．。