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高中数学选修1-1《双曲线及其标准方程》课件

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高中数学双曲线及其标准方程优质课件(选修1-1)

高中数学双曲线及其标准方程优质课件(选修1-1)
(a>0，b>0) F1(－c,0)，F2(c,0)
y2 x2 － ＝1 a2 b2
(a>0，b>0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
|F1F2|＝ 2c ，c2＝ a2＋b2ຫໍສະໝຸດ 探究点一双曲线的定义
问题 1 取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各 选择一点，分别固定在点 F1，F2 上，把笔尖放在点 M 处， 拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线 满足什么条件？ 答案 如图，曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|
1.双曲线的定义
把平面内与两个定点 F1，F2 的距离的 差的绝对值 等 于常数 (小于 |F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定 点叫做 双曲线的焦点 线的焦距. ， 两焦点间的距离 叫做双曲
2.双曲线的标准方程 焦点在 x 轴上 标准 方程 焦点 焦距 焦点在 y 轴上
x2 y2 － ＝1 a2 b2
F1(－4,0)、F2(4,0)的距离之差，|F1F2|＝8，
∴|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|，
故点 P 的轨迹是双曲线的右支.
探究点二 问题 1
双曲线的标准方程
类比椭圆的标准方程推导过程，思考怎样求双曲线
的标准方程？ 答案 (1)建系： 以直线 F1F2 为 x 轴， F1F2 的中点为原点建立
解 y2 x2 (1)由已知可设所求双曲线方程为 2－ 2＝1 (a>0，b>0)， a b
2 a ＝16， 解得 2 b ＝9，
9 32 2 － 2＝1， a b 则 25－ 81 ＝1， 2 2 a 16 b
y 2 x2 ∴双曲线的方程为 － ＝1. 16 9
令 c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为 x2 y2 － ＝1 (a>0，b>0). ② a2 b2 (5)从上述过程可以看到， 双曲线上任意一点的坐标都满足方

人教版人教课标高中数学选修1-1 双曲线及其标准方程 课件

人教版人教课标高中数学选修1-1 双曲线及其标准方程 课件
结 束
16

9
1.
的两种标准方程，并能熟练运用 待定系数法求解曲线的方程.
例题讲评
上 页
下 页
例3 一炮弹在某处爆炸，在 A 处听到爆炸声的时间比在 B 处晚2 s. （ 1 ）爆炸点应在什么样的曲 线上？ F1 （ 2 ）已知 A 、 B 两地相距 800 m，并且此时声速为340 m/s， 求曲线的方程.
双曲线的标准方程：
上 页
形式一： （a>0,b>0） 说明：此方程表示焦点在 x轴上的双曲线 .焦点是 F1(－c,0)、F2(c,0)，这里c2=a2+b2.
下 页
x y 2 1 2 a b
2
2
y x 形式二： a 2 b 2 1 （a>0,b>0） 说明：此方程表示焦点在 y 轴上的双曲线 . F1(0，－c)、F2(0， c)，这里c2=a2+b2.
上 页
a
b
①
因为点P1、P2在双曲线上，所以点P1、P2的坐 标适合方程①.将其分别代入方程①中，得方程 组 ( 4 2 ) 3 1
2 2
下 页
2 2 a b 9 2 ( ) 25 2 42 1 b a
解得：a2=16,b2=9.故所求双曲线的标准方程 2 2 x 为：y 说明：例 2 要求学生熟悉双曲线
4
①
下 页
a
b
因为点P1、P2在双曲线上，所以点P1、P2的坐 标适合方程①.将其分别代入方程①中，得方程 组 ( 4 2 ) 2 3 2
2 1 2 a b 9 2 ( ) 25 2 42 1 b a
结 束
解：因为双曲线的焦点在y轴上，所以设 2 2 y x 所求双曲线的标准方程为： a>0,b>0) 2 (1 2

人教新课标版数学高二选修1-1课件双曲线及其标准方程

人教新课标版数学高二选修1-1课件双曲线及其标准方程
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(2)求双曲线的标准方程时，应注意两个问题： ①正确判断焦点的位置；②设出标准方程后，再运用待定系数法求解. 求双曲线的标准方程也是从“定形”“定式”和“定量”三个方面去考 虑.“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在 哪条坐标轴上；“定式”是根据“形”设双曲线标准方程的具体形式； “定量”是指用定义法或待定系数法确定a，b的值.
解析 由题意得(10－k)(5－k)<0，解得5<k<10.
解析答案
1 2345
4.设 m 是常数，若点 F(0,5)是双曲线ym2－x92＝1 的一个焦点，则 m＝_1_6_. 解析 由已知条件知m＋9＝52，所以m＝16.
解析答案
1 2345
5.已知双曲线x92－1y62 ＝1 上一点 M 的横坐标为 5，则点 M 到左焦点的距离 34
答案
知识点二 双曲线的标准方程 (1)两种形式标准方程
焦点所在的坐标轴 标准方程
x轴 ax22－by22＝1 (a>0，b>0)
y轴 ay22－bx22＝1 (a>0，b>0)
图形
焦点坐标 a、b、c的关系式
__F__1(_－__c_,0_)_，__F_2_(c_,_0_)
__F_1_(_0_，__－__c_)，__F_2_(_0_，__c)
答案
问题2 双曲线的标准方程的推导过程是什么？
答案
问题3 双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a、b、c的关系有何不同？ 答案 双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小， 是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a 与b的大小关系不确定；而在椭圆中 b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中 a>b>0，a>c，c与b大小不确定.

【数学】2.2.1《双曲线及其标准方程(1)》课件(人教A版选修1-1)

【数学】2.2.1《双曲线及其标准方程(1)》课件(人教A版选修1-1)
6),则 5, 30(舍去) 6
x2 y2 1 5
例3.一炮弹在某处爆炸。在A处听到爆炸声 的时间比在B处晚2s.已知A，B两地相距800m， 并且此时声速为340m/s.问爆炸点应在什么样 的曲线上？并求出轨迹方程。
• 解：因为在A处听到爆炸声的时间比在B 处晚2s，所以在A处与爆炸点的距离比在 B处远680m<800m.因此爆炸点应位于以 A，B为焦点且靠近B点的双曲线的一支 上。
解(1) F1( 6,0), F2( 6,0) | PF1 | (5 6)2 22
| PF2 | | PF1 | (5 6)2
例2.求双曲线的标准方程.
(1)c= 6,经过点(-5,2)焦点在x轴上;
(2)与双曲线 x2 - y2 =1有共同焦点,过点(3 2,2); 16 4
(3)过点P(3, 15 ), Q(16 , 5), 且焦点在坐标轴上.
m 1或m 2
若此方程表示椭圆，m 的取值范围？
m 1 0
解：2 m 0 m 1 2
m
1
m
2且m
3 2
若m R, 方程 x2 y2 1表示哪种曲线.
m 1 2 m
练一练:
求下列双曲线的焦点坐标及a:
(1)
y2 9
-
x2 16
=1
(0,-5),(0,5) a=3
(2) x2 - 3 y2 = 3
1.若 PF1 PF2 6呢？
x2 y2 1(x 0) 9 16
2.若 PF1 PF2 10呢？
两条射线
3.若 PF1 PF2 12呢？
轨迹不存在
例2求下列双曲线方程. (1)c 6,过点(5,2), 焦点在x轴上.(2)过P(3,15),Q(16 ,5).

双曲线及其标准方程完整版课件

双曲线及其标准方程完整版课件
2
2
则双曲线的标准方程为20 − 16 =1.
(2)设双曲线方程为 mx2-ny2=1,
1
= 25 ,
49-72 = 1,
则有
解得
1
28-9 = 1,
= ,
75
2
2
则双曲线的标准方程为25 − 75 =1.
归纳总结
求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似,可
以先根据其焦点位置设出标准方程,然后用待定系数法求出a,b
联立两方程解得 x=8(舍负),y=5 3,
所以 P(8,5 3),
kPA=tan∠PAx= 3,所以∠PAx=60°,
所以 P 点在 A 点的北偏东 30°方向.
当堂达标
1.已知两定点F1(-5,0),F2(5,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,则当a=3和5时
,P点的轨迹为(
)
A.双曲线和一条直线
情景导学
双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声
音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。本节我们将类比椭圆的研究方法研究双
曲线的有关问题。
问题导学
新知探究
如图，在直线
l 上取两个定点
在平面内，取定点
F1 , F 2，以点 F1 为圆心、线段
在以 F 2 为圆心、线段
我们知道，当点
2
2
解析:∵方程1+ + -2=1,∴(m-2)(m+1)<0,
解得-1<m<2,∴m的取值范围是(-1,2).
答案:D
)
4. 一块面积为12公顷的三角形形状的农场.如图所示△PEF,已知
1
tan∠PEF=

人教A版高中数学选修1-1课件《双曲线的标准方程》

人教A版高中数学选修1-1课件《双曲线的标准方程》

例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程:
(1)a=3,b=4,焦点在x轴上; [z x x k 学科网] (2)a= 2 5 ，经过点A（2，5），焦点在y轴上。 解 （1）依题意a=3,b=4,焦点在x轴上，所以双曲线
方程为 x2 y2 1 9 16
（2）因为焦点在y轴上，所以双曲线方程可设为[z x x k 学科
标准方程为
x2
y2
。 1
9 16
2、已知a=3,b=4焦点在y轴上，双曲线的
[来源:学科网 z x x k .com]
标准方程为
y2 x2 。 1
9
16
[练习] 判断下列各双曲线方程焦点所 在的坐标轴；求a、b、c各为多少？
(1) x2 y2 1 25 16
(2) y2 x2 1 25 16
双曲线 的标准方程是什么形式？
定义:
平面内与两个定点F1，F2的距离的差
的绝对值
等于常数2a（小于︱F1F2︱） 的点的轨迹叫做双曲线.
动 画
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
M
注意
1、 2a< |F1F2 | 双曲线
2 、2a= |F1F2 |
以F1、F2为端点两条射线
高中数学课件
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第一课时
[来源:学科网 z x x k .com]
1. 椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数
动
2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹. Y M x, y
画
O
F1 c, 0
F2 c, 0 X
2. 引入问题：

双曲线及其标准方程ppt课件

所以 2 mm 1 0 ，解得 m 2 或 m 1， 即实数 m 的取值范围是,2 1, .
总结一下
1.双曲线的定义 2.双曲线的标准方程
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2.焦点在y轴上的双曲线的标准方程
如图，双曲线的焦距为 2c，焦点分别是
F1(0, c) ， F2 (0,c) ，a，b 的意义同上，这时
双曲线的方程是
y2 a2
x2 b2
1(a
0, b
0)
，这个
方程也是双曲线的标准方程.
y
M
F2
x O
F1
双曲线标准方程
图形
y M x
F1 O F2
y M F2
3.2.1 双曲线及其标准方程
人教A版（2019）选择性必修一
学习目标
01 经历从具体情境中抽象出双曲线模型的过程 02 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程
03 通过双曲线标准方程的推导过程理解数形结合思想
学习重点
双曲线的定义、标准方程
学习难点
双曲线标准方程的推导
新课导入
我们知道，平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数的点的轨
由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合：
P {M || MF1 | | MF2 || 2a ， 0 2a | F1F2 |} .
因为 | MF1 | (x c)2 y2 ，| MF2 | (x c)2 y2 ， 所以 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a .①
类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得 (c2 a2 )x2 a2 y2 a2 (c2 a2 ) ，
x2 b2
1a

双曲线及其标准方程课件


音乐艺术
双曲线在音乐艺术中用于 创作优美的音乐旋律和和 声，特别是在处理音高和 音程时。
交通工程
双曲线在交通工程中用于 设计道路和轨道，特别是 在处理弯道和交叉口时。
04
双曲线的图像绘制
使用数学软件绘制双曲线
使用Ge双曲 线。用户只需在软件中输入双曲线的标准方程，即可自动生 成对应的双曲线图像。
05
双曲线的性质与方程 的关联
双曲线的性质与标准方程的关系
焦点距离
双曲线的标准方程中的系数与焦 点距离有关，决定了双曲线的开
口大小和方向。
渐近线
双曲线的标准方程中的系数决定了 渐近线的斜率和截距，反映了双曲 线的形状和位置。
离心率
双曲线的标准方程中的系数与离心 率有关，离心率决定了双曲线的开 口程度和形状。
推导结果
01
双曲线的标准方程为
$frac{x^2}{a^2}
-
frac{y^2}{b^2} = 1$。
02
其中$a > 0, b > 0$，且满足 $c^2 = a^2 + b^2$。
推导结论
双曲线是一种特殊的二次曲线，其标 准方程反映了双曲线的几何特性。
双曲线的焦点到曲线上任意一点的距 离之差为常数，这个常数等于两焦点 之间的距离的一半。
绘制双曲线
在工具箱中选择“双曲线”工具，然 后在绘图区域单击并拖动鼠标，即可 绘制出双曲线。用户可以根据需要调 整双曲线的参数和位置。
使用手工绘制双曲线
准备工具
准备一张纸、一支笔和一把直尺。
绘制过程
首先在纸上确定双曲线的中心和焦点，然后使用直尺和笔绘制出双曲线的渐近线。接着，使用笔和直尺在纸上绘 制出双曲线的上半部分。最后，使用对称性画出双曲线的下半部分。这种方法虽然比较传统，但对于理解双曲线 的几何意义非常有帮助。

2.2.1双曲线及其标准方程课件人教B版高中数学选修1-1


F（±c，0） F（0，±c）
a>0，b>0，a,b大小 不确定，c2=a2+b2
[读一读学习要求、目标更明确] 1．了解双曲线的定义，几何图形和标准方程的推导过程． 本 2．掌握双曲线的标准方程．
讲
栏 3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．
目
开 [看一看学法指导、学习更灵活] 双曲线介于椭圆与抛物线之
关
间，承上启下；可以结合实例，观察分析，培养“应用数学意 识”，进一步巩固数形结合思想．
经过点 A(1, 17 )
（3）已知椭圆的方程为
， 求以
此椭 圆的顶点为焦点、焦点为顶点的双
曲线的标准方程.
例3:如果方程
表示焦点在y轴
的双曲线，求m的取值范围.
变式一: 方程
表示双曲线时，则m的
取值范围 变式二:
表示焦点在y轴的双曲线时，
求m的范围。
小结：
1、双曲线及其焦点，焦距的定义，双曲线的标 准方程以及方程中的a，b，c之间的关系 2、怎样的双曲线其方程是标准方程；
双曲线与椭圆之间的区分与联系：
椭圆
定义 方程
|MF1|+|MF2|=2a
x2 a2
+
y2 b2
=
1
焦点
y2 a2
+
x2 b2
=1
F（±c，0） F（0，±c）
a.b.c 的关系 a>b>0，a2=b2+c2
双曲线
||MF1|－|MF2||=2a
x2 a2
-
y2 b2
=
1
y2 a2
- x2 = 1 b2
设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0)

高中数学新人教B版选修1-1课件：第二章圆锥曲线与方程2.2.1双曲线及其标准方程


1.请说出下列方程所表示曲线的焦点位置及 a ，b
x2 y2
x2 y2
x2 y2
(1) 1 (2) 1 (3) 1
94
49
49
(4)4x2 y2 64
（六）例题讲解，巩固强化
已知双曲线两个焦点分别为F1（-5，0），F2(5,0), 双曲线上一点P到F1，F2距离差的绝对值等于6，
F1 o F2
注意
（1）2a<2c ； （2）2a >0 ；问 是题 什1么：?若2a = 0,则图形
问题2:定义中为什么要强调差的绝对值？
1.若 MF1 MF2 2a 0 2a F1F2
则图形为 ___双__曲__线__右__支___________
F1
F2
2.若 MF1 MF2 2a 0 2a F1F2
F1 O F2 x
(c2 a2 )x2 a2 y2 a2 (c2 a2 )
y M
x2 a2
c2
y2 a2
1
c2 a2
b2
F2
x
O
F1
x2 y2 1(a 0,b 0)
a2 b2
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
y2 a2
x2 b2
1(a 0, b 0)
(2)双曲线方程中 a 0,b 0 ,但 a 不一定椭大圆于中:b用；“+”相连
(3)双曲线标准方程中左边用“-确”定相焦连点，位右置边: 为1.
椭圆看分母的大小,焦点跟着大的跑；
(4)如果 x2 的系数是正的，那么双焦曲点线在看系x数轴的上正，负,焦点跟着正的去.
如 果 y2 的系数是正的，那么焦点在 y 轴上.
一个动点
笔尖滑动 图钉不动
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2
结论
例题巩固
例1.（求双曲线的标准方程）
已知双曲线的焦点为F1( -5, 0 )，F2( 5 , 0 )， 双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6， 求双曲线的标准方程.
判断方程类型，确定基本参数
变式1．已知双曲线的焦点为F1(0,-5), F2(0,5)，双曲线 上一点P 到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲 2 2 线的标准方程. y x 变式2．已知平面两个定点为F1(-5,0), F2(5,0)，动点P 到F1、F2的距离的差等于6，求点P的轨迹方程.
F1
M F2
F1
F2
金沙江上的溪洛渡水电站
双曲线的标准方程
求曲线方程的步骤： 1. 建系.
y
M
以F1,F2所在的直线为x轴，线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系
2.设点． 设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0) 3.列式
F
O
1
F
2
x
|MF1| - |MF2|=±2a
即
4.化简
a 1，b ，c （3）的焦点在y轴上， 1 2 5 2
x y (4) 1 3 4
2
2
（4）不是双曲线
双曲线与椭圆之间的区别与联系 椭
定义
圆
双曲线
||MF1|－|MF2||=2a
|MF1|+|MF2|=2a
方程
2 2 x2 y 2 x y 2 1(a b 0) 2 1(a 0, b 0) 2 2 a b a b 2 2 y 2 x2 y x 2 1(a b 0) 2 1(a 0, b 0) 2 2 a b a b
9

16
1
x y 1( x 3) 9 16
PF1 PF2 10 解： ∵ F1F2 10 , 点 P的轨迹不存在 的轨迹是两条射线 , ∴ 点P 轨迹方程为 y 0( x ≥ 5 或x ≤ 5) .
2
2
变式3．已知平面两点为F1(-5,0), F2(5,0)，一动点P 到F1、 F2的距离的差的绝对值等于10 ，求点 P 的轨迹是什么？ 12 ，动点 P 轨迹是什么？
焦点
F（±c，0）
F（±c，0）
F（0，±c）
a.b.c的关系
F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
a>b>0，a2=b2+c2
例题巩固
例1.（求双曲线的标准方程）
已知双曲线的焦点为F1( -5, 0 )，F2( 5 , 0 )， 双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6， 求双曲线的标准方程.
解：根据题意可知，双曲线的焦点在 x 轴上，
定焦点 设方程
x y 2 1(a 0, b 0) 2 a b
∵ ∴ ∴ 2a = 6, c=5 a = 3, c = 5 b2 = 52-32 =16
2
2
判断方程类型， 确定基本参数
确定a、b、c
2
所以所求双曲线的标准方程为：x
y 1 9 16
思考
方程 线？
x y 1 m n
2
2
表示什么曲
达标训练
1、已知A（2，－3），B（－4，－3），动点P满足 |PA|-|PB|=6，则P点轨迹分别是（ D ） A双曲线 B两条射线 C双曲线的一支 D一条射线 y2 x2 2、a=4，b=3 ,焦点在y轴上的双曲线的标准方程是__________. 1 16 9 3、 a 2 5 ，经过点 ( 2,5) , 焦点在y轴上的双曲线的
如果将“和”改为“差” 这样的点的轨迹是什么呢
提出并探究新的轨迹问题
平面内与两个定点F1、F2的距离 的差等于常数的点轨迹是什么？
分组动手实验
常数为0的时候我们学过， 知道是F1F2的垂直平分线 常数非0时是什么呢？
| MF1 | | MF2 | 2a (令常数等于2a )
M
F1
F2
| MF2 | | MF1 | 2a (令常数等于2a )
(c a ) x a y a (c a )
2 2 2 2 2 2 2 2
c2 a 2 b 0)
y2
此即为 焦点在x 轴上的 双曲线 的标准 方程
若建系时,焦点在y轴上呢?
y
M
y
M F2 x
F
O
1
F
2
x
O
F1
x y 2 1 2 a b
y2 x2 1 标准方程是_________________. 20 16
2 2
x y 1 4、设双曲线 上的点P到(5,0)的距离是15,则P到 16 9 (-5,0)的距离是 7或23 .
练习3
写出适合下列条件的双曲线的标准方程 1.焦点在x轴上,a=4,b=3;
2.焦点为(0,-6),(0,6),过点(2,-5)
x2 y 2 1 16 9 y 2 x2 1 20 16
2 y 2 15 x 1 , 2). 3.焦点在x轴上，经过点 ( 2, 3), ( 3 3
动画演示
双曲线的定义：
平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于 常数（小于|F1F2|）的点轨迹叫做双曲线，这两个 定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线 的焦距． 数学简记：{P| ||MF1|-|MF2||=2a,2a<|F1F2|}
轨迹分类：
①2a<|F1思考： F2|,轨迹为双曲线 2a=|F1F2|和2a>|F1F2| 轨迹会是什么呢 ②2a=|F1F2|,轨迹为两条射线 ③2a>|F1F2|,没有轨迹
( x c) y ( x c) y 2a
2 2 2 2
( x c) y ( x c) y 2a
2 2 2 2
( x c)
2
y
2
2a
2
( x c) y
2
2

2
cx a 2 a ( x c) 2 y 2
2
2
y x 1 2 2 a b (a 0，b 0)
2
2
练习：判断下列方程是否表示双曲线，若是， 求出 a,b,c
x y (1) 1 4 4
2
2
(2) x y 1
2 2
思考：1、判断焦点的位置 2、求出a、b、c
(3) - 4x y 1
2 2
（1）的焦点在x轴上，a=2，b=2，c= 2 2 （2）的焦点在y轴上，a=1，b=1，c= 2