06-一阶电路

ψ ( t ) = ψ (0 − ) + ∫ u(ξ )dξ
0−
t
iL(0+)= iL(0-)
ψL (0+)= ψL (0-)
磁链守恒
换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 结论 换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 则电感电流（磁链）换路前后保持不变。 则电感电流（磁链）换路前后保持不变。
换路定律： 换路定律： qc (0+) = qc (0-) uC (0+) = uC (0-) 换路瞬间， 换路瞬间，若电容电流保持为有 限值，则电容电压（电荷） 限值，则电容电压（电荷）换路 前后保持不变。 前后保持不变。 换路瞬间，若电感电压保持为有 换路瞬间， 限值，则电感电流（磁链） 限值，则电感电流（磁链）换路 前后保持不变。 前后保持不变。
能量关系： 能量关系：
uC + C R
设uC(0+)=U0 C不断释放能量被 吸收 不断释放能量被R吸收 不断释放能量被 吸收, 直到全部消耗完毕. 直到全部消耗完毕
1 CU 02 2
电容放出能量
电阻吸收（消耗） 电阻吸收（消耗）能量
W R = ∫ i Rdt = ∫
2 0 ∞
∞ 0 t 2 U 0 − RC 2 U0 ( e ) Rdt = R R
3τ U0 e -3
5τ U0 e -5 0.007 U0
uc = U 0 e
τ
U0 U0 e -1 U0 0.368 U0
0.135 U0 0.05 U0
过渡过程结束。 工程上认为 , 经过 3 τ - 5 τ , 过渡过程结束。
τ：电容电压衰减到原来电压 电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。 衰减到原来电压 所需的时间。 所需的时间
i
+
R1 4 C 1F +
uC
–
R2 4
uC
–
R2 4
uC ( 0- ) =
10×4 × 2＋4＋4 ＋ ＋
= 4V
R’ =
R1 R2 R1＋ R2 τ= R’ C = 2s
−t /τ
=2
uC (0+) = uC (0-) = 4V
换路后电路见上右图 电容通过电阻R 放电， 电容通过电阻 1、R2放电， 等效电阻R 等效电阻 ’为从电容两端看进 去的电阻， 并联。 去的电阻，即R1、R2并联。
τ大 τ小
过渡过程时间的长 过渡过程时间的长 过渡过程时间的短 过渡过程时间的短
uc U0 0
τ大 τ小
t
电压初值一定： 电压初值一定： C 大（R不变） 不变） 不变 W=0.5Cu2 储能大 R 大（ C不变） i=u/R 不变） 不变 放电电流小 放电时间长 放电时间长
t
0
− t
τ
2τ U0 e -2
ψL (0+)= ψL (0-)
iL(0+)= iL(0-)
注意: 换路定律成立的条件 注意 换路定律成立的条件
五. 例1
电路初始值的确定
+ -
i 10k 40k 10V k iC
+
uC
+ + -
10k 10V
+
40k uC
-
+
8V iC
求 iC(0+) (1) 由0-电路求 uC(0-)或iL(0-) 或 uC(0-)=8V (2) 由换路定律 uC (0+) = uC (0-)=8V (3) 由0+等效电路求 iC(0+)
例3
L +u –
L
iL
R iC + C
求 iC(0+) , uL(0+)
IS
K(t=0)
uC
–
1.求 uC(0-)和 iL(0-) 求 和 uC(0-) = RIS iL(0-) = IS 2.求 uC(0+)和 iL(0+) 求 和 uC(0+) = uC(0-) = RIS iL(0+) = iL(0-) = IS 3.求 iC(0+)和uL(0+) 求 和
uC = uC (0+) e
= 4e
− 0.5t − 0.5t
V
i = – uC ( t ) / 4 = – e
A
二. RL电路的零输入响应 电路的零输入响应
R1 US R
i
+
US = I0 i (0+) = i (0-) = R1 + R
K(t=0) L
uL
–
di L + Ri = 0 dt
t ≥ 0
0
为一阶电路的时间常数 时间常数。 令 τ =RC , 称τ为一阶电路的时间常数。
t
[τ ] = [RC ] = [欧][法] = [欧] 库 = [欧] 安秒 = [秒]
伏 伏
τ =RC
1 1 p=− =− RC τ
固有频率
时间常数 τ 的大小反映了电路过渡过程时间的长短
uC
–
+
uR
–
+
uC (0 + ) = Ae
= U0
U0 uC
A=U0
u =U0e C
uC U0 i= e = R R
− t R C
−
t R C
t ≥0
t ≥0
= I0e
−
t R C
0 i
t
电压、电流以同一指数规律衰减， 电压、电流以同一指数规律衰减， I0 衰减快慢取决于RC乘积 乘积。 衰减快慢取决于 乘积。
2. iL
+
u
L
di L u=L dt
1 t i L ( t ) = ∫ u(ξ )dξ L −∞
-
1 0− 1 t i L ( t ) = ∫ u(ξ )dξ + ∫ u(ξ ))dξ L −∞ L 0−
1 t = i L (0 − ) + 为有限值时
i (ξ )dξ
q(0 + ) = q(0 − ) + ∫ i (ξ )dξ
当i(ξ)为有限值时 ξ 为有限值时
∫0
0+
−
i (ξ )dξ → 0
uC (0+) = uC (0-)
q (0+) = q (0-)
电荷守恒
换路瞬间，若电容的电流保持为有限值， 结论 换路瞬间，若电容的电流保持为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
i 10k 10V
-
0+等效电路 iC(0--)=0 iC(0+)
10 − 8 iC (0 + ) = = 0.2mA 10
例2
10V
1Ω Ω K
4Ω Ω L iL + uL
-
t = 0时闭合开关 , 时闭合开关k 时闭合开关 求 uL(0+)。 。
∵uL(0 − ) = 0 ∴uL(0 + ) = 0
∫
∞
0
e
−
2t RC
dt
2 U0 RC − RC ∞ 1 2 = CU 0 (− e ) |0 = 2 R 2
2t
开关S在位置 时电路已达稳态，求开关合向2时的电流 。 在位置1时电路已达稳态 时的电流i 例 开关 在位置 时电路已达稳态，求开关合向 时的电流 (t)。
+ -
R 1S(t=0) R1 2 4 2 C 10V i 1F
t →0 t <0
f(t) t 0- 0 0+
f (0 + ) = lim f ( t )
t →0 t >0
初始条件：电路中的u 初始条件：电路中的 ，i 及其各阶导数在 = 0+ 及其各阶导数在t 时的值。 时的值。
㈡. 换路定律
1. i
+ uc -
1 uC ( t ) = C
1 i (ξ )dξ = ∫− ∞ C
先求
10 i L (0 − ) = = 2A 1+ 1+ 4
iL(0+)= iL(0-) =2A
×
由换路定律: 由换路定律
由0+电路求 uL(0+)： ：
1Ω Ω 10V
4Ω Ω 2A
+
uL (0 + ) = −2× 4 = −8V
uL -
求初始值的步骤: 求初始值的步骤 1. 由换路前电路（一般为稳定状态）求出 C(0-) 由换路前电路（一般为稳定状态）求出u 和 iL(0-)。 电容（电感）相当于开路（短路）。 。 电容（电感）相当于开路 短路）。 开路（ 2. 由换路定律得 uC(0+) 和 iL(0+)。 。 等效电路。 3. 画0+等效电路。 a. 若uC(0+) 或 iL(0+) 为零，电容（电感）用 为零，电容（电感） 短路（开路）替代。 短路（开路）替代。 不为零，电容（电感） b.若uC(0+) 或 iL(0+) 不为零，电容（电感） 若 电压源（电流源）替代。 用电压源（电流源）替代。 电压源（电流源） 时刻值， 电压源（电流源）取0+时刻值，其方向同 原假定的电容电压、 电感电流方向。 原假定的电容电压、 电感电流方向。 4. 由0+电路求所需各变量的 +值。 电路求所需各变量的0
K(t=0) C
i
R
已知 uC (0-)=U0
uC
–
+
uR
–
+
− uR + uC = 0
d uC i = −C dt