一阶电路的全响应与三要素
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4-4一阶电路的全响应 三要素法
t
t r 1 e
t r r 0 r e
（t ≥0+）
电路原理
§4-4 一阶电路的全响应
r (t ) r () r (0 ) r () e
t
t 0
全响应的初始值、稳态解和电路的时间常数，称为一阶线性 电路全响应的三要素。求出初始值、稳态值和时间常数即可按上 式直接写出全响应的函数式。这种方法就叫做三要素法。
注意：
1)零输入响应、零状态响应和全响应都可采用三要 素法进行求解； 2)三要素法只能用于求解一阶电路的响应。
电路原理
§4-4 一阶电路的全响应∙ 求解步骤
作出t=0-时的等效电路，求出uC(0-)或iL(0-);
根据换路定则，求出uC(0+)或iL(0+); 根据t>0时的电路，求出L或C两端看进去的有源二端电
阻网络的戴维宁等效电路（一阶RC电路）或诺顿等效电 路（一阶RL电路）；
根据一阶电路零状态响应的一般形式求出uC(t)或iL(t) ;
电容电压的稳态值uc(∞)即为得到的戴维宁等效电路中的 电压源电压，电感电流的稳态值iL(∞)即为诺顿等效中的 电流源的电流。根据Req可求出时间常数τ ;
根据t>0时的电路，将电容用电压为uC(t)的电压源代替，
i f 0.5 A
3) 求τ
uo 10 × io 10i0 40i0 3
Req
uo 40W io L 1 s Req 40
电路原理
§4-4 一阶电路的全响应∙ 例题
4) 写出i (t)
i ( t ) i f [i (0 ) i f ]e 0.5 0.7e
分析一阶电路全响应的三要素法
Su s1RL i 图6.15 例6.3图R Ru s 2分析一阶电路全响应的三要素法由6-35可见，只要求出电路的初始值、稳态值和时间常数，就可方便的求出电路的零输入、零状态和全响应。
所以仿照上式，可以写出在直流电源激励下，求解一阶线性电路全响应的通式，即te f f f t f )]()0([)()(（6-36）式中)(t f 代表一阶电路中任一电压、电流函数。
初始值)0(f ，稳态值)(f 和时间常数称为一阶电路全响应的三要素。
1、求初始值)0(f 的要点：(1)求换路前的)0()0(L C i u 、；(2)根据换路定则得出)0()0()0()0(L L C C i i u u ；(3)根据换路瞬间的等效电路，求出未知的)0(u 或)0(i 。
2、求稳态值)(f 的要点：(1)画出新稳态的等效电路（注意:在直流电源的作用下, C 相当于开路, L 相当于短路）；(2)由电路的分析方法，求出换路后的稳态值。
3、求时间常数的要点：(1)求0t 时的；(2) eqeq R LC R ,；(3) 将储能元件以外的电路，视为有源一端口网络，然后应用戴维南定理求等效内阻的方法求eq R 。
[例6.3]图 6.15所示电路原已处于稳态，0t 时开关闭合。
已知82s u V ，L=1.2H, R1= R2= R3=2, 求电压源401s u V 激励时的电感电流L i 。
[解]: 换路前电路为直流稳态电路，所以2)0(322R R u i s L A 换路后电感电压为有限值，所以电感电流的初始值为)0(L i 2)0(L i A 换路后电感两端的等效电阻为321213R R R R R R eq 所以时间常数为。
一阶动态电路的全响应及三要素法
1 2
高阶动态电路的全响应研究
本文主要研究了一阶动态电路的全响应，未来可 以将研究扩展到高阶动态电路，探讨其全响应的 特点和求解方法。
复杂电路系统的分析方法研究
针对更复杂的电路系统，需要研究更为有效的分 析方法，以提高电路分析的准确性和效率。
3
非线性电路的动态响应研究
在实际应用中，非线性电路的动态响应也是一个 重要的问题，未来可以开展相关的研究工作。
结果讨论与误差分析
结果讨论
根据求解出的全响应表达式，分析电 路在不同时间点的响应情况，讨论电 路的工作特性。
误差来源
分析在求解过程中可能出现的误差来 源，如元件参数的测量误差、计算误 差等。
误差影响
讨论误差对求解结果的影响程度，以 及如何通过改进测量方法、提高计算 精度等方式来减小误差。
实际应用中的考虑
在实际应用中，还需要考虑其他因素 对电路响应的影响，如环境温度、电 磁干扰等。
05 实验验证与仿真模拟
实验方案设计
设计思路
基于一阶动态电路的基本原理，构建实验电路并确定测量参数。
电路搭建
选用合适的电阻、电容、电感等元件，搭建一阶动态电路。
测量方法
采用示波器、电压表、电流表等仪器，测量电路中的电压、电流 等参数。
03 三要素法原理及应用
三要素法基本概念
三要素法定义
一阶动态电路的全响应由初始值、 稳态值和时间常数三个要素决定，
通过求解这三个要素可快速得到 电路的全响应。
适用范围
适用于线性、时不变、一阶动态电 路的全响应分析。
优点
简化了电路分析过程，提高了求解 效率。
初始值、稳态值和时间常数求解方法
01
02
(电路分析)一阶电路的全响应
一阶电路的全响应一阶电路的全响应一、全响应全响应一阶电路在外加激励和动态元件的初始状态共同作用时产生的响应，称为一阶电路的全响应（complete response）。
图5.5-1（a）所示的一阶RC电路，直流电压源Us是外加激励，时开关S处于断开状态，电容的初始电压。
时开关闭合，现讨论时电路响应的变化规律。
时，响应的初始值为时，响应的稳态值为用叠加定理计算全响应：开关闭合后，电容电压的全响应，等于初始状态U0单独作用时产生的零输入响应和电压源Us单独作用时产生的零状态响应的代数和，如图5.5-1（b）、（c）所示。
图5.5-1（b）中，零输入响应为图5.5-1（c）中，零状态响应为根据叠加定理，图5.5-1（a）电路的全响应为用表示全响应，表示响应的初始值，表示稳态值。
全响应的变化规律1、当时，即初始值大于稳态值，则全响应由初始值开始按指数规律逐渐衰减到稳态值，这是动态元件C或L对电路放电。
2、当时，即初始值小于稳态值，则全响应由初始值开始按指数规律逐渐增加到稳态值，这是电路对动态元件C或L充电。
3、当时，即初始值等于稳态值，则全响应。
电路换路后无过渡过程，直接进入稳态，动态元件C或L既不对电路放电，也不充电。
二、全响应的三要素计算方法全响应的三要素初始值稳态值时间常数例5.5-1 图5.5-2（a）所示电路，已知C=5uF，t<0时开关S处于断开状态，电路处于稳态，t=0时开关S闭合，求时的电容电流。
解：欲求电容电流，只要求出电容电压即可。
1、确定初始状态。
作时刻的电路，如图5.5-2（b）所示，这时电路已处于稳态，电容相当于开路，则。
由换路定则得初始状态2、确定电容电压的稳态值。
作t→∞时的电路，如图5.5-2（c）所示，这时电路也处于稳态，电容也相当于开路，则3KΩ电阻两端的电压则电容电压的稳态值为3、求时间常数τ。
求从电容C两端看进去的戴维南等效电阻R的电路如图5.5-2（d）所示，这时将15V和5V电压源都视为短路，等效电阻为6KΩ和3KΩ电阻的并联，即R=6K∥3K=2KΩ所以，时间常数为4、求全响应。
一阶动态电路的全响应及三要素法
释放出来消耗在电阻中，达到新稳态时，电感电流为 零，即
iL（∞）= 0
（3）求时间常数τ
R 20 (10 10) 10 k 20 10 10
L 10 3 10 7 s
R 10 103
根据三要素法，可写出电感电流的解析式为
iL（t）= 0 +（10×10-3–0）e107=t 10 e mA 107t
i
L
()
US R2
10 20
05A
1
L R2
2 20
0 1s
根据三要素公式得到
iL（t）= 0.5（1 - ）e1A0t （0.1s≥t要素法，先求t = 0.1 s时刻的初始值。根 据前一段时间范围内电感电流的表达式可以求出在t = 0.1 s时刻前一瞬间的电感电流
2 10 20
0 0667 s
根据三要素公式得到：
t 01
iL (t) iL (0 1 ) e 2 0 316 e15(t01) A （t≥0.1 s）
电感电流iL（t）的波形曲 线如右图所示。在t=0时， 它从零开始，以时间常数 τ1=0.1 s确定的指数规律增 加到最大值0.316A后，就 以时间常数τ2=0.0667s确 定的指数规律衰减到零。
【例14-3】
下图（a）所示电路原处于稳定状态。t = 0时开关 闭合，求t ≥0的电容电压uC（t）和电流i（t）。
解：（1）计算初始值uC（0+）
开关闭合前，图（a）电路已经稳定，电容相当于 开路，电流源电流全部流入4Ω电阻中，此时电容电 压与电阻电压相同，可求得
uC（0+）= uC（0 -）= 4Ω×2 A = 8V
t ln iL (0 ) iL () 0 005 ln 0 75 1 5 0 002 s
iL（∞）= 0
（3）求时间常数τ
R 20 (10 10) 10 k 20 10 10
L 10 3 10 7 s
R 10 103
根据三要素法，可写出电感电流的解析式为
iL（t）= 0 +（10×10-3–0）e107=t 10 e mA 107t
i
L
()
US R2
10 20
05A
1
L R2
2 20
0 1s
根据三要素公式得到
iL（t）= 0.5（1 - ）e1A0t （0.1s≥t要素法，先求t = 0.1 s时刻的初始值。根 据前一段时间范围内电感电流的表达式可以求出在t = 0.1 s时刻前一瞬间的电感电流
2 10 20
0 0667 s
根据三要素公式得到：
t 01
iL (t) iL (0 1 ) e 2 0 316 e15(t01) A （t≥0.1 s）
电感电流iL（t）的波形曲 线如右图所示。在t=0时， 它从零开始，以时间常数 τ1=0.1 s确定的指数规律增 加到最大值0.316A后，就 以时间常数τ2=0.0667s确 定的指数规律衰减到零。
【例14-3】
下图（a）所示电路原处于稳定状态。t = 0时开关 闭合，求t ≥0的电容电压uC（t）和电流i（t）。
解：（1）计算初始值uC（0+）
开关闭合前，图（a）电路已经稳定，电容相当于 开路，电流源电流全部流入4Ω电阻中，此时电容电 压与电阻电压相同，可求得
uC（0+）= uC（0 -）= 4Ω×2 A = 8V
t ln iL (0 ) iL () 0 005 ln 0 75 1 5 0 002 s
一阶电路的全响应——三要素公式【PPT课件】
6A
2
Is
US 3H
(a)
u
大 学 电 路 与 系 统
(2)求解零状态响应iLf(t)和uf(t) 。
零状态响应是初始状态为零,仅由独立源所引起的 R2
响应;故 iLf(0+)=0,电感相当于开路。画出其0+等效 12V
电路,如图 (b)所示,所以
R3 US
iLf(0+) uf(0+) R4
RLiL
L1uS
(a)
(b)
制 作
若用y(t)表示响应,用f (t)表示外加激励,上述方程统一表示为
ddy(tt)1y(t)bf(t)
τ为时常数,对RC电路, τ= RC; 对RL电路, τ= L/R。
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y(t) = yh(t) + yp(t)
特征根 s = - 1/τ, yh(t) = Ke- t/τ ,
学 电 路 与
1316uL(0)13863
系 统
得uL(0+) = 6V, i(0+) = uL(0+) /6=1A
(a) 3Ω
i(0+) 3A
18V uL(0+)
6Ω
6A
(b) 0+图
3Ω
多 媒
(3)画∞等效电路,如图(c)。
i(∞) 3A
体 室
显然有 uL(∞) = 0, i(∞) = 0,
18V uL(∞) iL(∞) 6Ω
路 与
iL(0+) =iL(0-)=12/(2+1)=12/3=4(A)
系 统
uC (0+)= uC(0-)=1×iL(0-)=4(V)
(电路分析)一阶电路的全响应
一阶电路的全响应一阶电路的全响应一、全响应全响应一阶电路在外加激励和动态元件的初始状态共同作用时产生的响应，称为一阶电路的全响应（complete response）。
图5.5-1（a）所示的一阶RC电路，直流电压源Us是外加激励，时开关S处于断开状态，电容的初始电压。
时开关闭合，现讨论时电路响应的变化规律。
时，响应的初始值为时，响应的稳态值为用叠加定理计算全响应：开关闭合后，电容电压的全响应，等于初始状态U0单独作用时产生的零输入响应和电压源Us单独作用时产生的零状态响应的代数和，如图5.5-1（b）、（c）所示。
图5.5-1（b）中，零输入响应为图5.5-1（c）中，零状态响应为根据叠加定理，图5.5-1（a）电路的全响应为用表示全响应，表示响应的初始值，表示稳态值。
全响应的变化规律1、当时，即初始值大于稳态值，则全响应由初始值开始按指数规律逐渐衰减到稳态值，这是动态元件C或L对电路放电。
2、当时，即初始值小于稳态值，则全响应由初始值开始按指数规律逐渐增加到稳态值，这是电路对动态元件C或L充电。
3、当时，即初始值等于稳态值，则全响应。
电路换路后无过渡过程，直接进入稳态，动态元件C或L既不对电路放电，也不充电。
二、全响应的三要素计算方法全响应的三要素初始值稳态值时间常数例5.5-1 图5.5-2（a）所示电路，已知C=5uF，t<0时开关S处于断开状态，电路处于稳态， t=0时开关S闭合，求时的电容电流。
解：欲求电容电流，只要求出电容电压即可。
1、确定初始状态。
作时刻的电路，如图5.5-2（b）所示，这时电路已处于稳态，电容相当于开路，则。
由换路定则得初始状态2、确定电容电压的稳态值。
作t→∞时的电路，如图5.5-2（c）所示，这时电路也处于稳态，电容也相当于开路，则3KΩ电阻两端的电压则电容电压的稳态值为3、求时间常数τ。
求从电容C两端看进去的戴维南等效电阻R的电路如图5.5-2（d）所示，这时将15V和5V电压源都视为短路，等效电阻为6KΩ和3KΩ电阻的并联，即R=6K∥3K=2KΩ所以，时间常数为4、求全响应。
一阶电路的全响应
一阶电路的全响应一阶电路的全响应一.全响应全响应一阶电路在外加激励和动态元件的初始状态共同作用时产生的响应，称为一阶电路的全响应(complete response)。
图5. 5-1 (a)所示的一阶RC电路，直流电压源Us是外加激励•时开关S处于断开状态.电容的初始电压叫2°时开关闭合.现讨论f上°时电路响应的变化规律。
2 °4时，响应的初始值为叫(―)二％时，响应的稳态值为叫(8)=°$1(8)= 0川亞丿川宦理计算全响应:开关闭合后，电容电压叫⑦的全响应•等于初始状态U0取独作用时产生的零输入响应叫购和电I W ' I'JU'r Hj时产生的零状态响应叫11⑦的代如II,如图5・5・1 (b) . (c)所示。
图5. 5-1 (b)中，零输入响应为= = (ao)图5. 5-1 (c)中.零状态响应为du''(f)dt(CO)1、、厂（°+）1（8）时川初始值大于稳态值.2、屮®J'%00）时川初始值小于稳态值. 则全响应由初始值开始按抬数规律逐渐増加到稳态值，这是电路对动8、当® Jr （8）时.电路换路后无过渡过程，直接进入稳态.动态根据叠加定理•图5. 5-1 （a）电路的全响应为◎（f） = Q（f） + 冬"（f）=弘五4■兀Q 一＜码t i=,十（九一匚）「冠=十血Oh） - （C 0皿=1/(0 +y® =-譽尸+牛二=1（8）+哄4）-「（8护用‘①表示全响应，农示响应的初始值，心校示稳态值。
—阶电路全响应非零初始状态的一阶动态电路，包括RC电路和RL电路，在外加激励的作用下，电路中任何一条支路上的全响应为啲=r(0 十)E T+ F(CD)(1 - g『)全响应的变化规律则全响应由初始值开始按抬数规律逐渐衰减到稳态值，这是动态元件C或L对电路放电。
一阶电路习题课
-
+-
2
1F
U0
i
ic
0<t<3
ic
2
e
t 3
A
3
t
uc 2(1e 3)V
t>3
u c(3 )u c(3 )2 (1e 3 t)t 31 .264
利用戴维南等效求ic
2
i 2
+-
2
1F
i
U 0i2i1 V
IA U
U2IA1 2IAIA5 2IA
R等 2.5
2.5 +
+ - 1F
ic(3)121..52604.1A06
1A
i2 0.6
解：
6 S(t =0)
0.1F uC
u c(0 )u c(0 )6 16V
0+电路
4 i1 i2
6
i3
0.6
i3(0)0.664//62A
6V i1(0)i3(40 )661.2A i2(0)i3(4 0 )6 40.8A
3.
S(t =0)
1H
uL iL
求: uL(0+)和ic(0+)。
六.
5F
+-
is 4A
2 i’ i
2
+
+ 10V
-6V
- i” 6
t = 0时，闭合开关求 i 。
6H iL
ii' i"
求i ’电路 5F
+-
求i ’’电路 2
+
is 4A 2 i ’
+
-10V
+
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i”
- 6V 6H
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利用戴维南等效求ic
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解：
6 S(t =0)
0.1F uC
u c(0 )u c(0 )6 16V
0+电路
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6V i1(0)i3(40 )661.2A i2(0)i3(4 0 )6 40.8A
3.
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求: uL(0+)和ic(0+)。
六.
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t = 0时，闭合开关求 i 。
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+
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三元素法分析一阶电路的全响应
三元素法分析一阶电路的全响应电路论文学院：电子信息工程学院班级：电气091502班姓名：***学号：************三元素法分析一阶电路的全响应摘要：本文主要介绍用三元素法分析解决一阶电路问题。
用三元素法求一阶电路问题首先要求出三元素：初始值，稳态值，时间常数，用三元素法可以直接代入公式求解，求解过程简单。
关键词：一阶电路 三元素法一、 全响应定义当一个非零初始状态的一阶电路受到激励时，电路的响应称为一阶电路全响应。
全响应总是由初始值、特解和时间常数三个要素决定的。
二、 三元素法的基本原理一阶电路的数学模型是一阶线性微分方程： 其解答一般形式为：令 t = 0+ 全响应f （t ）的三要素求解公式为f （t ）=f （∞）＋[f （0+）－f （∞）]e －t/τ其中，f （0+）为t=0+时刻的初始值，f （∞）为t →∞时的特解稳态值，τ为t ≥0时的时间常数。
f （0+）、f （∞）和τ称为三要素。
只要知道f （0+）、f （∞）和τ这三个要素，就可以根据上述公式直接写出直流激励下一阶电路的全响应，这种方法称为三要素法。
三、 三元素法的解题步骤⒈ 求初始值 ⑴ 初始值定义t=0+时电路中电压与电流的值称为初始值。
⑵ 初始值的求解① 由换路前电路（稳定状态）求u C (0－)和i L (0－)； ② 由换路定律得 u C (0+) 和 i L (0+)。
③ 画0+等效电路。
c bf tfa=+d d τteA t f t f -+'=)()(a.换路后的电路b.电容（电感）用电压源（电流源）替代。
（取0+时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）。
④由0+电路求所需各变量的0+值。
⒉求稳态值⑴稳态值的定义t=∞时电路中电压与电流的值称为稳态值。
⑵稳态值的求解稳态时，电容C视为开路，电感L视为短路，稳态值即求直流电阻性电路中的电压和电源。
⒊求时间常数τ⑴时间常数τ的定义当电阻的单位为Ω，电容的单位为F时，乘积RC的单位为s，称为RC电路的时间常数，用τ表示。
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§5.4 一阶电路的全响应与三要素在上两节中分别研究了一阶电路的零输入响应和零状态响应，电路要么只有外激励源的作用，要么只存在非零的初始状态，分析过程相对简单。
本节将讨论既有非零初始状态，又有外激励源共同作用的一阶电路的响应，称为一阶电路的全响应。
5.4.1 RC 电路的全响应电路如图5-9所示，将开关S 闭合前，电容已经充电且电容电压0)0(U u c =-，在t=0时将开关S 闭合，直流电压源S U 作用于一阶RC 电路。
根据KVL ，此时电路方程可表示为：C u图 5-19 一阶RC 电路的全响应S C CU u tu RC=+d d （5-19） 根据换路原则，可知方程（5-19）的初始条件为 0)0()0(U u u C C ==-+令方程（5-9）的通解为 C CC u u u ''+'= 与一阶RC 电路的零状态响应类似，取换路后的稳定状态为方程的特解，则S CU u =' 同样令方程（5-9）对应的齐次微分方程的通解为τtCAe u -=''。
其中RC =τ为电路的时间常数，所以有τtS C AeU u -+=将初始条件与通解代入原方程，得到积分常数为 S U U A +=0所以电容电压最终可表示为τtS S c e U U U u --+=)(0 （5-20）电容充电电流为etS C R U U t u C i τ--==0d d这就是一阶RC 电路的全响应。
图5-20分别描述了s U ，0U 均大于零时，在0U U s >、0=s U 、0U U s <三种情况下c u 与i 的波形。
(a) (b)图5-20C u ，i 的波形图将式（5-20）重新调整后，得)1(0ττtS tC e U eU u ---+=从上式可以看出，右端第一项正是电路的零输入响应，第二项则是电路的零状态响应。
显然，RC 电路的全响应是零输入响应与零状态响应的叠加，即 全响应 = 零输入响应 + 零状态响应研究表明，线性电路的叠加定理不仅适用于RC 电路，在RC 电路的分析过程中同样适用，同时，对于n 阶电路也可应用叠加定理进行分析。
进一步分析式（5-20）可以看出右端第一项是电路微分方程的特解，其变化规律与电路外加激励源相同，因此被称之为为强制分量；式（5-20）右端第二项对应于微分方程的通解，其变化规律与外加激励源无关，仅由电路参数决定，称之为自由分量。
所以，全响应又可表示为强制分量与自由分量的叠加，即全响应 = 强制分量 + 自由分量从另一个角度来看，式（5-20）中有一部分随时间推移呈指数衰减，而另一部分不衰减。
显然，衰减分量在∞→t 时趋于零，最后只剩下不衰减的部分，所以将衰减分量称为暂态分量，不衰减的部分称为稳态分量，即全响应 = 稳态分量 + 暂态分量5.4.2 三要素法一阶电路都只会有一个电容（或电感元件），尽管其它支路可能由许多的电阻、电源、控制源等构成。
但是将动态元件独立开来，其它部分可以看成是一个端口的电阻电路，根据戴维南定理或诺顿定理可将复杂的网络都可以化成图5-21所示的简单电路。
下面介绍的三要素法对于分析类复杂一阶电路相当简便。
C u +-C u+-C u(a) (b)i Li(c) (d)图5-21复杂一阶电路的全响应从图5-21（b）可以看出，如前所述，Cu的表达式可以写为τtocCocCeuuutu-+-+=])0([)(其中CReq=τ，ocu是一端口网络N的开路电-压，由于)()(lim∞==ccocutuu，所以上式可以改写成为τtCCCCeuuutu-+∞-+∞=)]()0([)()(（5-21）同理，根据图5-21（d）可以直接写出电感电流的表达式为[]τtLLLLeiiiti-+∞++∞=)()0()()(（5-22）其中eqRL=τ，eqocL Rui=∞)(为i L的稳态分量。
综合上述两种情况后发现，全响应总是由初始条件、特解和时间常数三个要素来决定。
在直流电源激励下，若初始条件为)0(+f，特解为稳态解)(∞f,时间常数为τ，则全响应)(tf可表示为τteffftf-+∞-+∞=)]()0([)()(（5-23）如果已经确定一阶电路的)0(+f、)(∞f和τ这三个要素，就可以根据式（5-23）直接写出电流激励下一阶电路的全响应，称之为三要素法。
一阶电路在正弦激励源的作用下，由于电路的特解)('tf是时间的正弦函数，则（6-23）式可以写为e tfftftfτ-++-+=)]0(')0([)(')(其中)('tf是特解，为稳态响应，)0('+f是+=0t时稳态响应的初始值。
§5.5 一阶电路的阶跃响应和冲激响应5.5.1 奇异函数奇异函数也叫开关函数，在电路分析中非常有用。
当电路有开关动作时，就会产生开关信号，这些奇异函数是开关信号最接近的理想模型，它对我们进一步分析一阶电路响应非常重要。
（1）单位阶跃函数作为奇异函数的一种，单位阶跃函数的数学表达式为00()10t t t ε<⎧=⎨>⎩假如这种突变发生在00(0)t t t =>时刻，则单位阶跃函数又可表示为0000()1t t t t t ε<⎧-=⎨>⎩如图5-25（b ）所示，0()t t ε-起作用的时间比ε(t ）滞后了0t ，称为延迟的单位阶(a)单位阶跃进函数 (b)延迟的单位阶跃函数 (c)提前的单位跃函数图5-25 阶跃函数（2）单位冲激函数 在实际电路切换过程中，可能会出现一种特殊形式的脉冲，其在极短的时间内表示为非常大的电流或电压。
为了形象描述这种脉冲，引入了另一种奇异函数——单位冲激函数()t δ，其数学定义如下：⎪⎩⎪⎨⎧≠==⎰∞∞-)0(0)(1)(t t dt t 当δδ 单位阶跃函数又叫δ函数，如图5-29（a ）所示，图5-29（b）表示强度为K 的冲激函数。
(a) (b)图5-29 冲激函数与阶跃函数一样，冲激函数存在时间滞后或提前的情况。
例如发生在0t t =时刻的单位冲激函数可写为0()t t δ-，发生在0t t =-，且强度为K 的冲激函数可表示为)(0t t K +δ。
值得注意的是，冲激函数有两个非常重要的性质：① 单位冲激函数()t δ对时间t 的积分等于单位阶跃函数()t ε，即)()(t d tεξξδ=⎰∞- （5-24）反之，阶跃进函数()t ε对时间的一阶导数等于冲激函数()t δ，即)()(t dtt d δε= （5-25） ② 单位冲激函数的“筛分”性质设()f t 是一个定义域为(,)t ∈-∞∞，且在0t t =时连续的函数，则)()()(00t f dt t t t f =-⎰∞∞-δ （5-26）由此可见，冲激函数能够将一个函数在某一个时刻的值0()f t 筛选出来，称之为“筛分”性质，又称取样性质。
5.5.2 RC 电路的阶跃响应电路在单位阶跃函数激励源作用下产生的零状态响应称为单位阶跃响应。
对5.3中分析过的RC 电路而言，外施激励由直流电压源换为阶跃函数()t ε，则RC 电路中的电容电压的单位阶跃响应为)()1(t e u tC ετ--= （5-27）5.5.3 RL 电路的阶跃响应对于简单的RL 电路来说，当激励源为阶跃函数()t ε时，电路中的电感电流的单位阶跃响应为)()1(1t e Ri tL ετ--= （5-28）))(32()25(21010A ee tt --+=-+=5.5.4 RC 电路的冲激响应如图5-32（a ）所示的RC 电路中，激励源由单位冲激函数)(t i δ来描述。
Ci +-C uCi +-C u(a) (b)图5-32 RC 电路的冲激响应设电容无初始储能，根据KCL 有 )(t Ru dt du Ci CC δ=+ 其中有0)0(=-C u 。
将上式从-0到+0时间间隔内积分，有dt t dt R u dt du C i CC )(000000⎰⎰⎰+-+-+-=+δ如果C u 为冲激函数，则)(R u i i C R R =也为冲激函数，而dtdu i CC =将为冲激函数的一阶导数，则上式不能成立，故C u 不可能为冲激函数，且上式中第二项积分应为零，所以有 1)]0()0([=--+C C u u C 即 Cu C 1)0(=+ 而当+≥0t 时，冲激电流源相当于开路，如图5-32（b ）所示。
则电容电压可表示为 )(1)0(t e Ce u u ttC C εττ--=+= 其中RC =τ为时间常数，ξξδεd t t⎰∞-=)()(。
5.5.5 RL 电路的冲激响应如图5-33（a ）所示的RL 电路中，激励源用单位冲激函数)(t u δ来描述。
i +-L ui +-L u(a) (b)图 5-33 RL 电路的冲激响应则RL 电路的零状态响应为)(1t e Li tL ετ-=其中RL=τ，为时间常数。
在此电路中，电感电流发生跃变，而电感电压L u 可表示为)()(t e LR t u tu L εδτ--=而L i 和L u 的波形如图5-34所示。
(a) (b)图5-34 L i 和L u 的波形图。