《1.3.2秦九韶算法》课件

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1.3算法案例---秦九韶算法PPT优秀课件

87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
21.05.2019
在数学的发展史上，从公元前2、3世纪公元14世纪，中国的数学虽有过高潮，也有过低落，但一直走在世界的前列，是世界数学的中心。中国古代数学对世界数学发展有着不可磨灭的贡献。秦九韶算法就是中国古代数学的一枝奇葩。今天这节课我们领略秦九韶算法的魅力。
21.05.2019
பைடு நூலகம்
江西省赣州一中刘利剑整理 heishu800101@
94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]
（3）若将x的值代入变形后的式子中，那么求值的计算过程是怎样的？
将变形前x的系数乘以x的值，加上变形前的第2个系数，得到一个新的系数；将此系数继续乘以x的值，再，加上变形前的第3个系数，又得到一个新的系数；继续对新系数做上面的变换，直到与变形前的最后一个系数相加，得到一个新的系数为止。这个系数即为所求多项式的值。这种算法即是“秦九韶算法”

数学：1.3.2《算法案例-秦九韶算法》课件(2)(新人教A版必修3)

练习:把89化为五进制的数. 解:以5作为除数,相应的除法算式为: 余数 5 89 5 17 4 5 3 2 0 3 ∴ 89=324(5).
小结
• 进位制的概念及表示方法; anan-1…a1a0(k) =an×kn+an-1×kn-1+…+a1×k1+a0×k0 . • 各种进位制之间的相互转化.
例4:把89化为二进制的数. 我们可以用下面的除法算式表示除2取余法: 把算式中各步所得的余数余数 2 89 从下到上排列,得到 2 44 1 89=1011001(2). 2 22 0 可以用2连续去除89或所得 2 11 0 商(一直到商为0为止),然后 2 5 1 取余数---除2取余法. 1 2 2 这种方法也可以推广为把 0 21 十进制数化为k进制数的 0 1 算法,称为除k取余法.
＝(„((anx＋an－1)x＋an－2)x＋„＋a1)x＋a0
f(x)=(…(anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0.
求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值,即 v1=anx+an-1, 然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即 v2=v1x+an-2, v3=v2x+an-3, ……, vn=vn-1x+a0. 这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值.这种算法称为秦九韶算法.
v1=v0x-5=2×5-5=5
v2=v1x-4=5×5-4=21
v3=v2x+3=21×5+3=108
v4=v3x-6=108×5-6=534
v5=v4x+7=534×5+7=2677
所以,当x=5时,多项式的值是2677.

1.3.2算法案例2

要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即 v 1 a n x an 1 然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即
v 2 v1 x an 2 v 3 v 2 x an 3
最后的一项是什么？

vn vn1 x a0
这种将求一个n次多项式f（x）的值转化成求n个一次多项式的值的方法，称为秦九韶算法.
所以，当x = 5时，0、a1、a2、a3、a4、a5 输入x0 n=0 v=a5 v= v· 0+a5-n x
n=n+1
n < 5? 否输出v 结束
秦九韶算法检验
是
练习、已知多项式f(x)=x5+5x4+10x3+10x2+5x+1
f ( x) an x n an1 x n1 a1 x a0
对该多项式按下面的方式进行改写：
f ( x) an x n an1 x n1 a1 x a0
(an x n1 an1 x n2 a1 ) x a0
这是怎样的一种改写方式？最后的结果是什么？
算法步骤：
第一步：输入多项式次数n、最高次项的系数an和x 的值. 第二步：将v的值初始化为an，将i的值初始化为n-1. 第三步：判断i是否大于或等于0，若是，则返回第
四步；否则，转第六步
第四步：输入i次项的系数ai 第五步：v=vx+ai, i=i-1 第六步：输出多项式的值v。
程序框图：
开始
v1 5 5 2 27 v2 27 5 3.5 138.5 v 3 138.5 5 2.6 689.9 v4 689.9 5 1.7 3451.2 v5 3451.2 5 0.8 17255.2

秦九韶算法课件

(2)已知一个五次多项式f(x)＝2x5－4x3＋3x2 －5x＋1，用秦九韶算法求这个多项式当x＝3 是的值．
秦九韶算法课件
[探究] 1.用秦九韶算法求多项式的值时，几次多项式就做几次乘法运算，对吗？
2．用秦九韶算法求多项式f(x)＝anxn＋an－1xn －1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ…＋a1x＋a0在x＝x0时的值时，v0是什么？ v1呢？
秦九韶算法课件
[规律总结] 用秦九韶算法时要正确将多项式的形式进行改写，然后由内向外依次计算．当多项式函数中间出现空项时，要以系数为零的齐次项补充．
秦九韶算法课件
用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋ 4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值．
[探究] 解决本题首先需要将原多项式化成 f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋ 1)x的形式，其次再弄清v0，v1，v2，…，v7 分别是多少，再针对这些式子进行计算．
秦九韶算法课件
用更相减损术检验： 80－36＝44， 44－36＝8， 36－8＝28， 28－8＝20， 20－8＝12， 12－8＝4， 8－4＝4. 故80和36的最大公约数是4.
秦九韶算法课件
[规律总结] 更相减损术与辗转相除法都能
求两个数的最大公约数，二者的区别与联系
求出其中两个数的最大公约数，再求这个最大公约数与第三个数的最大公约数，所得的结果就是这三个数的最大公约数．
秦九韶算法课件
[解析] 先求175与100的最大公约数： 175＝100×1＋75,100＝75×1＋25，
75＝25×3， ∴175与100的最大公约数是25. 再求25与75的最大公约数：
39， 42＝39×1＋3,39＝3×13， ∴288和123的最大公约数是3.

高中数学必修3公开课课件 1.3.2算法案例--秦九韶算法

次数，如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数，那么这样的算法就只能是一个理论算法.在多式求值的各种算法中，秦九韶算法是一个优秀算法.
10
课后再做好复习巩固. 谢谢！
再见！
新疆王新敞
奎屯
王新敞特级教师源头学子小屋 wxckt@ 新疆奎屯
再统计一下计算当时的值时需要的计算次数，可以得出仅需4次乘法和5次加法运算即可得出结果。显然少了6次乘法运算。
这种算法就叫秦九韶算法。
3
秦九韶算法
把一个多项式
f (x) an xn an1xn1 an2 xn2 a1x a0
改写为：
f (x) an xn an1xn1 an2 xn2 a1x a0 (an xn1 an1xn2 an2 xn3 a1)x a0 ((an xn2 an1xn3 a2 )x a1)x a0
·2007·
11
案例2 秦九韶算法
2019年5月6日星期一
1
问题提出
1.辗转相除法和更相减损术，是求两个正整数的最大公约数的优秀算法，我们将算法转化为程序后，就可以由计算机来执行运算，实现了古代数学与现代信息技术的完美结合.
2.对于求n次多项式的值，在我国古代数学中也有一个优秀算法，即秦九韶算法，本节对这个算法作些了解和探究.
=……
( ((an x an1)x an2 )x a1) a0
4
秦九韶算法
对于f(x)=(…((anx+an-1)x+ an-2)x+…+a1)x+a0，由内向外逐层计算一次多项式的值，其算法步骤：
第一步，计算v1=anx+an-1. 第二步，计算v2=v1x+an-2. 第三步，计算v3=v2x+an-3.

1.3.2《算法案例---秦九韶算法》课件(1)(新人教A版必修3) 公开课一等奖课件

5 4 3 2
思考：从内到外，如果把每一个括号都看成一个常数，那么变形后的式子中有哪些 “一次式”？x的系数依次是什么？
（3）若将x的值代入变形后的式子中，那么求值的计算过程是怎样的？将变形前x的系数乘以x的值，加上变形前的第2个系数，得到一个新的系数；将此系数继续乘以x的值，再加上变形前的第3个系数，又得到一个新的系数；继续对新系数做上面的变换，直到与变形前的最后一个系数相加，得到一个新的系数为止。这个系数即为所求多项式的值。这种算法即是“秦九韶算法”
班主任：我觉得何旋今天取得这样的成绩，我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的，何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩当中，心理素质 ) x an 2 ) x a1 ) x a0
f ( x) ( (an x an 1 ) x an 2 ) x a1 ) x a0
要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即
青春风采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分数学145分英语141分文综255分
毕业学校：北京二中报考高校：北京大学光华管理学院北京市文科状元阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。考试结束后，她还问我怎么给边远地区的学校捐书”。

人教版高中数学1.3.2秦九韶算法精品ppt课件

f(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+……+a1x+a0.
=(…(anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0.
v1=anx+an-1,
v2=v1x+an-2,
v3=v2x+an-3,
……, vn=vn-1x+a0.
这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤,因此可用循环结构来实现.
人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学》必修3
1.3.2秦九韶算法
秦九韶（1208年－1261 年）南宋官员、数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。字道古，汉族，自称鲁郡(山东曲阜)人，生于普州安岳（今属四川）。精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，历任琼州知府、司农丞，后遭贬，卒于梅州任所，著作《数书九章》，其中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献。

((an x an1 ) x an2 ) x a1 ) x a0
这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个一次多项式的值的方法，称为秦九韶算法。
例1:用秦九韶算法求多项式
f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值.
解1:f(x)=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7 v0=2 v1=v0x-5=2×5-5=5
v0=an,
vK=vK-1x+an-k(k=1,2,……,n)
阅读课本
练习：
1.已知多项式f(x)=x5+5x4+10x3+10x2+5x+1

《秦九韶算法》课件

秦九韶பைடு நூலகம்法的代码示例
} ``` Java实现
秦九韶算法的代码示例
01
```java
02
import java.util.Scanner;
public class Main {
03
秦九韶算法的代码示例
01
02
03
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new
秦九韶算法的步骤解析
01
确定多项式的最高次项系数和次数。
02
根据秦九韶算法的公式，计算一次多项式的系数。
03
利用一次多项式求值公式，计算多项式的值。
04
重复以上步骤，直到求出所有需要计算的多项式的值。
秦九韶算法的公式推导
根据多项式求值原理，推导出秦九韶算法的公式。
利用递归的思想，将高次多项式转化为一次多项式，推导出秦九韶算法的公式。
编写代码
按照秦九韶算法的步骤，编写相应的代码。需要注意代码的健壮性和可读性，以便于后续的维护和调试。
测试代码
通过输入不同的多位数，测试代码的正确性和性能。
秦九韶算法的代码示例
C语言实现 ```c
int main() {
秦九韶算法的代码示例
int n, x = 0, i, d; printf("请输入一个多位数：");
05
秦九韶算法的优缺点
秦九韶算法的优点
01
02
03
高效性
秦九韶算法将多项式求值问题转化为一系列一元运算，减少了乘法的次数，提高了运算效率。
易于编程实现
秦九韶算法的步骤明确，易于转化为程序代码，便于计算机实现。

秦九韶算法课堂教学PPT

秦九韶算法的数学证明
秦九韶算法的证明
秦九韶算法的正确性可以通过数学证明来证实，证明的关键在于利用多项式的递推关系和数学归
纳法。
递推关系的证明
证明秦九韶算法中的递推关系是正确的，可以通过数学归纳法来证明。
算法复杂度的分析
秦九韶算法的时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(1)，比直接法更高效。
将多项式表示为 “v[0]+v[1]*x+v[2]*x^2+...+v[n]*x ^n”的形式，通过n次乘法和加法运算得到多项式的值。
利用多项式的递推关系，通过迭代计算多项式的值，可以减少计算量。
多项式系数与根的关系
多项式的根
多项式等于0的解称为多项式的根。
系数与根的关系
多项式的系数与多项式的根之间存在一定的关系，可以通过求解方程组得到多项式的根。
详细描述
Java语言具有面向对象的特性，能够培养学生的面向对象编程思维。使用Java实现秦九韶算法可以让学生体验到严谨的编程规范和代码组织方式，同时也能加深对算法的理解和应用。
使用C实现秦九韶算法
总结词
底层操作，高效执行
详细描述
C语言具有底层操作的特性，能够让学生更加深入地了解计算机底层的工作原理。使用C实现秦九韶算法可以让学生更加深入地理解算法的实现细节，同时也能提高他们的编程能力和执行效率。
03
秦九韶算法的编程实现
使用Python实现秦九韶算法
总结词
简洁明了，易于理解
详细描述
Python语言具有简洁的语法和易读性，适合初学者学习。使用Python实现秦九韶算法可以让学生快速理解算法的基本思想，并通过简单的代码实现加深对算法的理解。

1.3.2算法案例2秦九韶算法

输入n，an，x的值 v=an i=n-1
i=i-1
v=vx+ai 输入ai i≥0？否输出v 结束是
解法二:列表用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值.
原多项式的系数
2 x=5 2
-5 10 5
-4 25 21
3 105 108
-6 7 540 2670 534 2677
这种将求一个n次多项式f（x）的值转化成求n个一次多项式的值的方法，称为秦九韶算法。
秦九韶算法
f ( x) 2 x 5 x 4 x 3x 6 x 7
5 4 3 2
(((( 2 x 5) x 4) x 3) x 6) x 7
问题三:用秦九韶算法计算上述多项式的值,需要多少次乘法, 多少次加法? (每运算一个一次式都进行了一次乘法运算和一次加法运算,所以共做了5次乘法,5次加法)
问题四:怎样用秦九韶算法求 n 次多项式
f ( x ) an x an1 x
n
n 1
a1 x a0
的值?
秦九韶算法
f ( x ) an x n an1 x n1 a1 x a0
(an x n1 an1 x n 2 a1 ) x a0 ((an x n 2 an1 x n3 a2 ) x a1 ) x a0
2.用秦九韶算法求多项式f ( x) 3x 6 4 x 5 5 x 4 6 x 3 7 x 2 8 x 1当x 0.4的值时，需要做乘法和加法的次数分别是（ A.6,6 B5,6 ） C 5,5 D6,5
）
3、已知多项式f(x)=2x7-5x5+4x3+x2-x-6 用秦九韶算法求这个多项式当x=2时的值。

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这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤, 这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤因此可用循环结构来实现. 因此可用循环结构来实现 [问题写出程序表示用秦九韶算法求次多项式问题] 写出程序表示用秦九韶算法求5次多项式问题 f(x)=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0当x=x0 (x0是任意实时的值的过程. 数)时的值的过程时的值的过程
v1=anx+an-1, v3=v2x+an-3, ……,
v2=v1x+an-2, vn=vn-1x+a0.
观察上述秦九韶算法中的n个一次式可见观察上述秦九韶算法中的个一次式,可见个一次式 vk的计算要用到 k-1的值若令 0=an,得的计算要用到v 的值. 若令v 得
v0=an, vK=vK-1x+an-k(k=1,2,……,n
案例2 案例秦九韶算法
[问题设计求多项式 (x) = 2x5 – 5x4 – 4x3 + 问题1]设计求多项式问题设计求多项式f 3x2 – 6x + 7当x = 5时的值的算法并写出程序时的值的算法,并写出程序当时的值的算法并写出程序. 程序
x=5 f=2*x^5-5*x^4-4*x^3+3*x^2-6*x+7 PRINT f END
[问题能否探索更好的算法来解决任意问题3]能否探索更好的算法问题能否探索更好的算法,来解决任意多项式的求值问题? 多项式的求值问题 v0=2 5-5x4-4x3+3x2-6x+7 f(x)=2x v1=v0x-5=2×5-5=5 × =(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7 v2=v1x-4=5×5-4=21 × =((2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7 v3=v2x+3=21×5+3=108 x+3=21× =(((2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7 v =v x-6=108×5-6=534 × 4 3 =((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7 v5=v4x+7= 534×5+7=2677 × 所以,当多项式的值是2677. 所以当x=5时,多项式的值是时多项式的值是这种求多项式值的方法就叫秦九韶算法这种求多项式值的方法就叫秦九韶算法. 秦九韶算法
程序
INPUT "n=";n input "an=";a input "x=";x v=a i=n–1 while i >= 0 print "i = ";i input "ai = ";a v=v*x+a i=i–1 wend print v end
用秦九韶算法求当x 例3:用秦九韶算法求当 = 5时多项式用秦九韶算法求当时多项式 f (x) = 2x5 – 5x4 – 4x3 + 3x2 – 6x + 7的值的值. 的值解法二:列表解法二列表 2 x=5 2 -5 10 5 -4 25 21
原多项式的系数
3 -6 7 105 540 2670 108 534 2677
这时，计算上述多项式的值,一共需要次乘法一共需要9次乘法这时，计算上述多项式的值一共需要运算,5次加法运算次加法运算. 运算次加法运算第二种做法与第一种做法相比,乘法的第二种做法与第一种做法相比乘法的运算次数减少了,因而能提高运算效率因而能提高运算效率.而运算次数减少了因而能提高运算效率而且对于计算机来说,做一次乘法所需的运算且对于计算机来说做一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多,因此第二种做时间比做一次加法要长得多因此第二种做法能更快地得到结果. 法能更快地得到结果
用秦九韶算法求当x 例3:用秦九韶算法求当 = 5时多项式用秦九韶算法求当时多项式 f (x) = 2x5 – 5x4 – 4x3 + 3x2 – 6x + 7的值的值. 的值
解法一:首先将原多项式改写成如下形式解法一首先将原多项式改写成如下形式 : f(x)=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7 然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即然后由内向外逐层计算一次多项式的值即
一般地,对于一个次多项式一般地对于一个n次多项式对于一个 f(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+……+a1x+a0. 我们可以改写成如下形式: 我们可以改写成如下形式 f(x)=((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0. 求多项式的值时,首先计算最内层括号内一求多项式的值时首先计算最内层括号内一次多项式的值,即次多项式的值即 v1=anx+an-1, 然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即然后由内向外逐层计算一次多项式的值即 v2=v1x+an-2, v3=v2x+an-3, ……, vn=vn-1x+a0. 这样,求次多项式次多项式f(x)的值就转化为求的值就转化为求n个这样求n次多项式的值就转化为求个一次多项式的值.这种算法称为秦九韶算法. 这种算法称为秦九韶算法一次多项式的值这种算法称为秦九韶算法
思考秦九韶算法是求一元多项式的值的一种方法. 种方法它的特点是:把求一个把求一个n次多项式的值它的特点是把求一个次多项式的值转化为求n个一次多项式的值个一次多项式的值,通过这种转转化为求个一次多项式的值通过这种转把运算的次数由至多n(n+1)/2次乘法运化,把运算的次数由至多把运算的次数由至多次乘法运算和n次加法运算减少为n次乘法运算和次加法运算,减少为次乘法运算和n 算和次加法运算减少为次乘法运算和次加法运算,大大提高了运算效率大大提高了运算效率. 次加法运算大大提高了运算效率
多项式的值. 多项式的值
所以,当多项式的值是2677. 所以当x=5时,多项式的值是时多项式的值是
练一练:用秦九韶算法求多项式练一练用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x6-5x5-4x3+3x2-6x当x=5时的值时的值. 当时的值原多项式先化为: 解:原多项式先化为原多项式先化为 f(x)=2x6-5x5 +0×x4-4x3+3x2-6x+0 × 列表 2 -5 0 -4 3 -6 0 10 25 125 605 3040 15170 x=5 2 5 25 121 608 3034 15170 所以,当多项式的值是15170. 所以当x=5时,多项式的值是时多项式的值是

[问题有没有更高效的算法问题2]有没有更高效的算法问题有没有更高效的算法?
分析:计算的幂时可以利用前面的计算结果,以分析计算x的幂时可以利用前面的计算结果以计算的幂时,可以利用前面的计算结果减少计算量
即先计算x 然后依次计算即先计算 2,然后依次计算 x2 ⋅ x , (x2 ⋅ x) ⋅ x , ((x2 ⋅ x) ⋅ x) ⋅ x的值. 的值. 的值
v0=2 v1=v0x-5=2×5-5=5 × v2=v1x-4=5×5-4=21 × v3=v2x+3=21×5+3=108 × v4=v3x-6=108×5-6=534 × v5=v4x+7=534×5+7=2677 × 所以,当多项式的值是2677. 所以当x=5时,多项式的值是时多项式的值是
点评:上述算法一共做了次乘法运算点评上述算法一共做了15次乘法运算上述算法一共做了次乘法运算,5 次加法运算.优点是简单易懂;缺点优点是简单,易懂次加法运算优点是简单易懂缺点是不通用,不能解决任意多项多求值是不通用不能解决任意多项多求值问题,而且计算效率不高而且计算效率不高. 问题而且计算效率不高