1.2.1函数概念

知识点三 区间表示 设 a，b 是两个实数，且 a<b，我们规定： 闭区 (1)满足不等式 a≤x≤b 的实数 x 的集合叫作____ [a，b]； 间，表示为________ (2)满足不等式 a<x<b 的实数 x 的集合叫作____开 区间， (a； ，b) 表示为________ (3)满足不等式 a≤x<b(或 a<x≤b)的实数 x 的集合叫 (或半开半闭) [a，b) 作 半闭半开 ________________ 区 间 ， 表 示 为 ______________( 或 ______________) (a，b] ． (4)实数集 R= , ,a≤x 表示 a, ，a<x 表示 a, x< b 表示 , b , x≤ b 表示 , b
解：一次函数 f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域是 R，二次函数 f(x) k 2 ＝ax ＋bx＋c(a≠0)的定义域是 R，反比例函数 f(x)＝x(k≠0) 的定义域是{x|x≠0}．
[小结] (1)求函数的定义域，其实质是以能使函数的表达式 所含运算有意义为准则，其原则有：①分式中分母不为零；② 偶次根式中，被开方数非负；③对于y＝x0要求x≠0；④实际问题 中函数定义域，要考虑实际意义．
)
[答案] B
[解析] (1)对于 A，x ＋y ＝1 可化为 y＝± 1－x ，显然对任意 x∈A，y 值不唯一，故不 符合． 对于 B， 符合函数的定义． 对于 C， 2∈A， 但在集合 B 中找不到与之相对应的数，故不符 合．对于 D，－1∈A，但在集合 B 中找不到与 之相对应的数，故不符合．
考点三 求函数值与简单函数的值域 重点探究型 例 3 (1)已知函数 f(x)＝3x2－2x－1.则 f(－2)＝________ ， 15 2 3m －8m＋4 ，f[f(－1)]＝________ f(m－1)＝_________________ ． 39
{y|y≥4} (2)①函数 y＝ x2＋16的值域为________________________ ；
例3：用区间表示下列集合 2,5 (1) x | 2 x 5 _____________
2,5 (2) x | 2 x 5 _____________ ,5 (3) x | x 5 ________________ 5, (4) x | x 5 _______________
2
2
2
(2)下列式子中不能表示函数 y＝f(x)的是( 2 2 A．x＝y ＋1 B．y＝2x ＋1 C．x－2y＝6 D．x＝ y
)
[答案] A
[解析] 选项 A 中由 x＝y2＋1 得 y＝± x－1，当 x≥1 时，任意一个 x 对应两个 y 值，不是函数．其余 三个都可以表示为函数 y＝f(x)．故选 A.
[思考] (1)如果值域记作C，上述定义中，集合B，C有什 么关系？ 解：C⊆B.
(2)若已知函数y＝f(x)，则f(x)与f(a)有什么关系？
解：f(a)是f(x)值域中的一个值，即x＝a时的函数值．
考点一 函数概念的理解 基础夯实型 例 1 (1)下列对应或关系式中是 A 到 B 的函数的是( A．A⊆R，B⊆R，x2＋y2＝1 B．A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，f：x→y＝|x|＋1 1 C．A＝R，B＝R，f：x→y＝ x－2 D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝ 2x－1
[解析] (1)因为 f(x)的定义域为(0，1)，所以要 2 2 使 f(x )有意义， 需使 0<x <1， 即－1<x<0 或 0<x<1， 2 所以函数 f(x )的定义域为{x|－1<x<0 或 0<x<1}． (2)因为 f(2x＋1)的定义域为(0，1)，即其中的函数 自变量 x 的取值范围是 0<x<1，令 t＝2x＋1，所以 1<t<3， 所以 f(t)的定义域为{t|1<t<3}， 所以函数 f(x) 的定义域为{x|1<x<3}．
[导入二]
放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪 些变量？变量之间有什么关系？回顾初中函数 的定义：在一个变化过程中，有两个变量x和y， 对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之 对应，此时y是x的函数，x是自变量，y是因变 量，由此引出本节内容．
知识点一
函数的有关概念 非空的数集 ，如果按 设 A，B 是________________ 照某种确定的对应关系 f，使对于集合 任意一个数x ， A 中的________________ 在集合 B 中 函数的定义 唯一确定的数f(x) 和它对应，那么 都有________________ 就称_______________ 为从集合 A 到集 f：A→B 合 B 的一个函数 y＝ f(x )， x ∈ A 函数的记法 ____________________________ 取值范围A x 叫作自变量，x 的________________ 定义域 叫作函数的定义域 {f(x)|x∈A} 函数值的集合___________________ 叫 值域 作函数的值域
(3)对抽象符号f(x)的理解存在困难．在本节课的教学中，以学生 作为活动的主体，创设恰当的问题情境，引导学生积极思考、大胆 探索，最大限度地调动学生积极参与教学活动，在教学难点处适当 放慢节奏，给学生充分的时间进行思考与讨论，适时地给予适当的 思维点拨，必要时进行大面积提问，让学生做课堂的主人，充分发 表自己的意见．这样既有利于化解难点、突出重点，也有利于充分 发挥学生的主体作用，使课堂气氛更加活跃，让学生在生生互动、 师生互动中掌握知识，提升能力．教学过程中既要注重锻炼学生独 立解决问题的能力，又要注重对学生交流合作意识和创新意识的培 养．通过本节课的教学，希望对学生的思维品质的培养﹑数学思想 的建立﹑心理品质的优化起到良好的作用．
解： 不一定． 因为定义域和值域不能确定函数的对应关系． 如 y＝x＋1 与 y＝x－1， 两个函数的定义域和值域均为实数集 R， 但这两个函数不是同一函数，原因是对应关系不同．
Байду номын сангаас
例 2 ：下列函数中与函数 y ＝ x 相等的是 ② ________ ． x ①y＝( x) ；②y＝ x ；③y＝ x ；④y＝ x .
2
3
3
2
2
[解析] 3
①y＝( x)2＝x(x≥0)，y≥0，定义域不同且值域不
同，所以两函数不相等； ②y＝ x3＝x(x∈R)，y∈R，对应关系相同，定义域和值域 都相同，所以相等； ③ y＝
x，x≥0， 2 x ＝|x|＝ y≥0，值域不同，且当 －x，x<0，
x<0 时，它
x2 的对应关系与函数 y＝x 不相同，所以不相等；④y＝ x 的定义域 为{x|x≠0}，与函数 y＝x 的定义域不相同，所以不相等．
{y|y≤－1} ②函数 y＝－x2＋2x－2 的值域为________________________ ．
[解析] (1)f(－2)＝3×(－2) －2×(－2)－1＝15， f(m－1)＝3(m－1)2－2(m－1)－1＝3m2－8m＋4. 因为 f( － 1) ＝ 3×( － 1)2 － 2×( － 1) － 1 ＝ 4 ，所以 f[f(－1)]＝f(4)＝3×42－2×4－1＝39. (2)①因为 x ≥0， 所以 x ＋16≥16， 所以 x ＋16≥ 4，所以函数 y＝ x2＋16的值域为{y|y≥4}．②y＝－x2 ＋2x－2＝－(x－1) －1，因为－(x－1) ≤0，所以 y≤ －1，所以函数 y＝－x2＋2x－2 的值域为{y|y≤－1}．
1．对函数概念的理解：函数的定义域、值域、对应关系 三者缺一不可，f(x)的含义：f(x)是一个符号，不是f与x的 乘积，其中“f”表示对应关系． 2．对区间的认识：(1)区间实际上是一类特殊的数集(连续 的)的符号表示，是集合的另一种表达形式；(2)在用区间 表示集合时，开和闭不能混淆，能取到端点值用“闭”， 不能取到端点值用“开”，用“∞”作为区间端点时，要 用开区间符号．
考点二 [导入] 求？
函数的定义域 重点探究型 (1)对于一个函数，其自变量的取值有没有什么限制或要
解：(1)对于一个函数，自变量的取值应使函数 有意义， 例如， f(x)＝ x的自变量 x 应满足 x≥0， 实际问题中的函数，其自变量还应使实际问题 有意义．
(2)在初中已学过函数的定义域和值域，请同学们回忆 一次函数和二次函数以及反比例函数的定义域．
(2)如果已知函数是由两个以上数学式子的和、差、积、商 的形式构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集 合． (3)函数的定义域一定要用集合或区间的形式表示．
拓展： (1)已知函数 f(x)的定义域为(0，1)，则 f(x2)的定义域 {x|－1<x<0 或 0<x<1} ． 是__________________________ (2)已知函数 f(2x＋1)的定义域为(0，1)，则 f(x)的定义域是 ____________________________ ． {x|1<x<3}
知识点四 常见函数的值域 R 1．一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的值域为________ ． 2 2．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 4ac－b y y≥ 当________ ； a>0 时，值域为____________________________ 4a
知识点二 函数相等
定义域 、 对应关系 值域 ． 1．函数的三要素：________ ________和________ 对应关系完全一致 定义域相同 2．如果两个函数的________，并且________________，
我们就称这两个函数相等．