《柱体锥体台体的表面积与体积》教学设计

《柱体、锥体、台体的表面积》教学设计一、教材的理解与处理空间几何体的表面积问题是生产、生活中的实际问题，研究这类问题有助于培养学生的数学应用意识；立体几何中的核心思想“立体问题平面化”的思想在本节也得到体现，把空间几何体展开成平面图形。

棱柱、棱锥可以看成棱台的两种特殊情况，我们还可以体会圆柱、圆锥、圆台与棱柱、棱锥、棱台侧面积公式之间的一致性，体现了数学的统一美。

二、教学目标确定说明学生在初中虽然已经接触过平面几何体的概念，但学生尚缺乏空间想象能力，还缺乏知识的迁移与类比能力，这些都需要教师在课堂教学过程中有意识地、创造性地培养学生逐步形成.数学教学的重要目标之一是提高学生的数学思维能力，通过不同形式的探究活动，让学生亲身经历知识的发生和发展过程，从中领悟解决问题的思想方法，不断提高分析和解决问题的能力，使数学学习变成一种愉快的探究活动，从中体验成功的喜悦，不断增强探究知识的欲望和热情，养成一种良好的思维品质和习惯。

根据本节课的教学内容和我所教学生的实际，本节课的教学目标确定为以下三个方面：1.知识与技能：使学生通过柱体、锥体、台体的表面积的探索，学会将空间问题转化为平面问题进行解决的数学思想方法.2.过程与方法：使学生在表面积公式的推导过程中充分感受数学的转化思想、类比思想，提高学生分析问题与解决问题的能力.3.情感态度与价值观：通过和谐对称规范的图形，给予学生以数学美的享受；同时发展学生求知、求实、勇于探索的情感与态度.三、教学重点、难点确定说明本节课如果只把几组公式告诉学生，并让他们进行一些训练就能达到要求。

这样做就失去渗透相关重要数学思想的机会，就失去让学生体会数学美的机会。

数学教学中应强调对基本概念和基本思想方法的理解和掌握，并能灵活应用所学知识解决实际问题，根据本节课的教学内容和学生认知结构特征，重点确定为：理解和掌握柱体、锥体、台体的表面积的构成形式，以便从度量的角度认识空间几何体.难点为：用联系、类比、运动变化的思想推导柱体、锥体、台体的表面积四、教学策略的选择说明丰富学生的学习方式，改进学生的学习方法是数学教学追求的。

1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积【课题】：§1.3.1柱体、锥体、台体的表面积 B【设计与执教者】：广东仲元中学，陈毅敏，qqkissmm-101@【教学时间】：07.11【学情分析】：（适用于平行班）教学对象是高一的学生，学生在初中对柱体、锥体、台体的表面积与体积已有感性的认识，本节课将巩固和提高有关柱体、锥体、台体的表面积与体积学习和理解，再举例分析其基本运用．本课拟从实物入手激发学生学习兴趣；在上述基础上，规范柱体、锥体、台体的表面积与体积的运算公式；最后突破本节难点“台体体积公式的推导”．【教学目标】：1、知识与技能（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。

（2）能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。

（3）培养学生空间想象能力和思维能力。

2、过程与方法（1）让学生经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状。

（2）让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的面积和体积的关系。

3、情感与价值通过学习，使学生感受到几何体面积和体积的求解过程，对自己空间思维能力影响。

从而增强学习的积极性。

【教学重点】：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算【教学难点】：台体体积公式的推导【教学突破点】：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算的教学，主要应当通过学生自己的亲身实践，动手操作来完成．教学时，教师要充分利用“思考”“探究”栏目中提出的问题，让学生在动手实践的过程中学直观的得出柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式，更进一步体验公式的实际作用．【教法、学法设计】：1．教法：通过对空间模型或运用计算机软件所呈现的空间几何体的开展过程的观察，帮助学生认识其结构特征，运用这些特征描述出柱体、锥体、台体的表面积和体积的组成部分，进一步掌握计算柱体、锥体、台体的表面积和体积的方法和技能．教学以激发学生学习兴趣为主，可以多展示一些具有典型几何特征的实物模型．2．学法：学生通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，通过剖析实物几何体感受几何体的特征，从而更好地完成本节课的教学目标。

1.单元（或主题）教学设计说明（依据学科课程标准的要求，简述本单元（或主题）学习对学生学科素养发展的价值；简要说明教学设计与实践的理论基础。

学习单元可以按教材内容组织，也可以按学科学业发展和学科核心素养发展的进阶来组织，还可以按真实情境下的学习任务跨学科组织。

）本节内容是在学生已从结构特征和视图两个方面感性认识空间几何体的基础上，进一步从度量的角度来认识空间几何体，它属于立体几何入门的内容，所以教学的目的在于使学生了解空间几何体的表面积和体积的计算方法，但不要求记忆公式，并能进一步计算简单组合体的表面积和体积。

2.单元（或主题）学习目标与重点难点（根据国家课程标准和学生实际，指向学科核心内容、学科思想方法、学科核心素养的落实，设计单元学习目标，明确重点和难点）教学目标：1.通过对柱体、锥体、台体的研究，了解柱体、锥体、台体的表面积和体积的求法。

3.使学生通过表面积和体积公式的探究过程体会数学的转化和类比的思想。

4.通过学习，提高学生看图、识图的空间想象能力，提升直观想象的数学核心素养，同时培养学生勇于探索的精神。

教学重点：1.在知识的探究过程中培养学生的转化和类比思想。

2.了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式及其应用。

教学难点：台体的表面积和体积公式的推导3.单元（或主题）整体教学思路（教学结构图）（介绍单元整体教学实施的思路，包括课时安排、教与学活动规划，以结构图等形式整体呈现单元内的课时安排及课时之间的关联。

）空间几何体的表面积约一课时，空间几何体的体积约二课时。

侧重介绍公式推导的思想方法，采用阅读的形式介绍乐祖暅原理，让学生体会祖暅原理和积分思想。

在教学中我将采用引导教学法，借助多媒体和实物展示一步步地引导学生认识几何体的结构特征和展开图，和学生一起探究知识的形成过程及如何应用所得到的公式，将重点放在培养学生的空间想象能力和知识的迁移、类比的能力上，不在公式推导过程上纠缠。

第1课时教学设计（其他课时同）课题空间几何体的表面积新授课四章/单元复习课口专题复习课口课型习题/试卷讲评课口学科实践活动课口其他口1.教学内容分析本节一开始的“思考”从学生熟悉的正方体和长方体的展开图入手，分析展开图与其表面积的关系，其作用有二：一，复习表面积的概念，即表面积是各个面的面积的和；二，介绍求表面积的方法，即把它们展成平面图形，通过求平面图形的面积的方法，求立体图形的表面积，然后通过“探究”和“思考”引导学生探究柱体，锥体，台体的展开图，并在讨论过程中归纳圆柱，圆锥和圆台的表面积公式，在整个表面积研究过程中，教材都传达了将立体问题平面化的思想，因此在表面积教学过程中应注意引导学生体会这一点。

《柱体、锥体、台体的外表积与体积》第一课时教学设计省温江舒叶梅一、教学目标1 .知道求多面体外表积的一般方法，会求旋转体的外表积；把握柱、锥、台体的外表积的内在关系；2.借助于已有的数学知识及数学经验，探索柱、锥、台体的体积公式，体会从“平面〞到“空间〞转化的数学思想方法，培养学生类比和合情推理的意识和习惯，渗透对数学抽象、直观想象等数学素养的培养；3.引导学生发现柱体、锥体和台体的外表积与体积之间的内在联系，完善学生认知结构，培养学生用联系与运动的观点看问题的意识；4.知道祖暅原理，渗透数学文化，发挥数学教学的育人功能。

二、教学重难点教学重点：体会化归与转化、类比等数学思想方法，探索柱、锥、台体的外表积、体积的计算公式；教学难点：柱、锥、台体积公式的由来，尤其是柱体体积公式的由来。

三、学情背景与教学方法1．本课所教学学生为云南农业大学附属高一的学生，通过了解该的学生数学素养、自学能力、动手能力、合作与交流能力还不错。

班级分了几个学习小组，分小组合作探讨以及对其他小组成果进行评价。

2.课本上是直接给出柱体、锥体和台体的体积公式的，但那样做不符合高中课程之宗旨——数学思维的熏陶及数学素养的提升，丧失了数学教学应有的价值追求。

基于“用教材来教〞的意识，以及本课有些内容学生是熟悉的之特点，如正文体、长方体的外表积和体积公式，圆柱、圆锥的体积公式，这是本课可充分利用的资源。

本课的策略是：根据已有的知识经验获得一般性的结论，既注重直观感知与合情推理，又要不失时机地说理和推理，使学生在获得直观想象，素养熏陶的同时，也能得到理性认识的熏陶。

3. 本节课以问题为导引，以多媒体演示为载体，以引导学生在思考中发现为目标，通过环环相扣的问题，调动学生积极参与，促进学生深度学习。

要注意设计与生成的有机结合，相应予以点拨。

四、教学流程〔一〕创设情景，引入课题为了美化花盆，需要给花盆涂油漆上色，首先需要计算的是什么呢？进一步，要在花盆中摘种鲜花，需要在花盆中装土，这又是涉及计算什么的问题呢？设计意图：数学就在身边，通过花盆上色和装土问题，自然引入其外表积和体积的计算，引入课题，说明学了数学很有用，只要你有一双善于发现的眼睛，就能抓住数学的精髓。

柱体、锥体、台体的表面积与体积一、教学目标1、知识与技能（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。

（2）能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。

（3）培养学生空间想象能力和思维能力。

2、过程与方法（1）让学生经历几何全的侧面展一过程，感知几何体的形状。

（2）让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的面积和体积的关系。

3、情感与价值通过学习，使学生感受到几何体面积和体积的求解过程，对自己空间思维能力影响。

从而增强学习的积极性。

二、教学重点、难点重点：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算难点：台体体积公式的推导三、学法与教学用具1、学法：学生通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，通过剖析实物几何体感受几何体的特征，从而更好地完成本节课的教学目标。

2、教学用具：实物几何体，投影仪四、教学设想通过分析柱体、锥体和台体空间结构的内在联系，让学生感受柱体、锥体和台体的体积之间的关系，体会数与形的完美结合教学过程：一、问题情境类似于用单位正方形的面积度量平面图形的面积，我们可以用单位正方体（棱长为1个长度单位的正方体）的体积来度量几何体的体积．一个几何体的体积是单位正方体体积的多少倍，那么这个几何体的体积的数值就是多少．长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，那么它的体积为V 长方体=abc 或V 长方体=Sh（这里，S ，h 分别表示长方体的底面积和高．）二、学生活动思考：两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）的体积如何？三、建构数学1．柱体的体积．棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向平移得到，因此，两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）应该具有相等的体积．V柱体= sh2．锥体的体积． 类似地,底面积相等,高也相等的两个锥体的体积也相等．13V sh =锥体 3．台体的体积．上下底面积分别是S’,S ,高是h ，则1(')3V h S S =+台体柱体、锥体、台体的体积公式之间有怎样的关系呢？4．球的体积．一个底面半径和高都等于R 的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得几何体的体积与一个半径为R 的半球的体积有什么样神奇的关系呢？——相等．223112233V R R R R R πππ=-=球，所以343V R π=球． 四、数学运用例1 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是37.8/kg cm )六角螺帽共重6kg ，已知底面是正六边形，边长为12mm,内孔直径为10mm ，高为10mm ，问这堆螺帽大约有多少个（π 取3．14，可用计算器）？分析：六角螺帽的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱的体积的差，再由密度算出一个六角螺帽的质量．解：22331012610 3.14()102956() 2.956()2V mm cm =⨯⨯-⨯⨯≈=, 所以螺帽的个数为61000(7.8 2.956)260⨯÷⨯≈（个）答：这堆螺帽大约有260个．例2 圆锥形封闭容器，高为h ，圆锥内水面高为11,3h h h =,若将圆锥倒置后，圆锥内水面高为2h ,求2h ．分析：圆锥正置与倒置时，水的体积不变，另外水面是平行于底面的平面，此平面截得的小圆锥与原圆锥成相似体，它们的体积之比为对应高的立方比． 解：3283()27S ABS CD h V V h --==1333322191919::272727V V V h h h h V ⎛⎫∴===∴== ⎪⎝⎭水水锥锥倒置后：。

课题柱体、锥体、台体的表面积与体积教学目标1.了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式（不要求记忆），提高学生的空间想象能力和几何直观能力，培养学生的应用意识，增加学生学习数学的兴趣.2.掌握简单几何体的体积与表面积的求法，提高学生的运算能力，培养学生转化、化归以及类比的能力.教学重、难点教学重点：了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式及其应用. 教学难点：表面积和体积计算公式的应用.教学准备多媒体课件教学过程一、导入新课：被誉为世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲尔铁塔落成前的四千多年的漫长岁月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物.在四千多年前生产工具很落后的中古时代，埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多，每块又如此之重的巨石垒成如此宏伟的大金字塔，真是一个十分难解的谜.胡夫大金字塔是一个正四棱锥外形的建筑，塔底边长230米，塔高146.5米，你能计算建此金字塔用了多少石块吗？二、讲授新课：提出问题①在初中，我们已经学习了正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图（图1），你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗？正方体及其展开图(1) 长方体及其展开图(2)图1②棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？③如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？④联系圆柱、圆锥的侧面展开图，你能想象圆台侧面展开图的形状，并且画出它吗？如果圆台的上、下底面半径分别是r′,r，母线长为l，你能计算出它的表面积吗？⑤圆柱、圆锥和圆台的表面积之间有什么关系？活动：①学生讨论和回顾长方体和正方体的表面积公式.②学生思考几何体的表面积的含义，教师提示就是求各个面的面积的和.③让学生思考圆柱和圆锥的侧面展开图的形状.④学生思考圆台的侧面展开图的形状.⑤提示学生用动态的观点看待这个问题.讨论结果：①正方体、长方体是由多个平面图形围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和.因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积.②棱柱的侧面展开图是平行四边形，其表面积等于围成棱柱的各个面的面积的和；棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼接成的，其表面积等于围成棱锥的各个面的面积的和；棱台的侧面展开图是由多个梯形拼接成的，其表面积等于围成棱台的各个面的面积的和.③它们的表面积等于侧面积与底面积的和，利用它们的侧面展开图来求得它们的侧面积，由于底面是圆面，其底面积直接应用圆的面积公式即得.其中，圆柱的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形.我们知道，圆柱的侧面展开图是一个矩形（图2）.如果圆柱的底面半径为r,母线长为l，那么圆柱的底面面积为πr2,侧面面积为2πrl.因此，圆柱的表面积S=2πr2+2πrl=2πr(r+l).图2 图3圆锥的侧面展开图是一个扇形（图3）.如果圆锥的底面半径为r,母线长为l ，那么它的表面积S=πr 2+πrl=πr(r+l).点评：将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题基本的、常用的方法.④圆台的侧面展开图是一个扇环（图4），它的表面积等于上、下两个底面的面积和加上侧面的面积，即S=π(r 2+r′2+rl+r′l).图4⑤圆柱、圆锥、圆台侧面积的关系：圆柱和圆锥都可以看作是圆台退化而成的几何体.圆柱可以看作是上下底面全等的圆台，圆锥可看作是上底面退化成一点的圆台，观察它们的侧面积，不难发现：S 圆柱表=2πr(r+l)−−−←==r r r 21S 圆台表=π(r 1l+r 2l+r 12+r 22)−−−→−==r r r 21,0S 圆锥表=πr(r+l).从上面可以很清楚地看出圆柱和圆锥的侧面积公式都可以看作由圆台侧面积公式演变而来.提出问题①回顾长方体、正方体和圆柱的体积公式，你能将它们统一成一种形式吗？并依次类比出柱体的体积公式？②比较柱体、锥体、台体的体积公式：V 柱体=Sh(S 为底面积，h 为柱体的高)；V 锥体=Sh 31(S 为底面积，h 为锥体的高)； V 台体=)''(31S SS S ++h(S′,S 分别为上、下底面积，h 为台体的高). 你能发现三者之间的关系吗？柱体、锥体是否可以看作“特殊”的台体？其体积公式是否可以看作台体体积公式的“特殊”形式？图5应用示例例1 已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体S —ABC （图6），求它的表面积.图6活动：回顾几何体的表面积含义和求法.分析：由于四面体S —ABC 的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍.解：先求△SBC 的面积，过点S 作SD⊥BC，交BC 于点D.因为BC=a,SD=a a a BD SB 23)2(2222=-=-, 所以S △SBC =21BC·SD=2432321a a a =⨯. 因此，四面体S —ABC 的表面积S=4×22343a a =. 点评：本题主要考查多面体的表面积的求法.例2 如图7，一个圆台形花盆盆口直径为20 cm ，盆底直径为15 cm ，底部渗水圆孔直径为1.5 cm ，盆壁长为15 cm.为了美化花盆的外观，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少毫升油漆？（π取3.14，结果精确到1毫升，可用计算器）图7活动：学生思考和讨论如何转化为数学问题.只要求出每个花盆外壁的表面积，就可以求出油漆的用量.而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面积加上底面积，再减去底面圆孔的面积.解：如图7，由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积S=π［1522015215)215(2⨯+⨯+］-π(25.1)2≈1 000(cm 2)=0.1(m 2). 涂100个这样的花盆需油漆：0.1×100×100=1 000（毫升）.答：涂100个这样的花盆需要1 000毫升油漆.点评：本题主要考查几何体的表面积公式及其应用.例3 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.8 g/cm 3）六角螺帽（图8）共重5.8 kg,已知底面是正六边形，边长为12 mm,内孔直径为10 mm,高为10 mm ，问这堆螺帽大约有多少个?（π取3.14）图8活动：让学生讨论和交流如何转化为数学问题.六角帽表示的几何体是一个组合体，在一个六棱柱中间挖去一个圆柱，因此它的体积等于六棱柱的体积减去圆柱的体积.解：六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差，即V=43×122×6×10-3.14×(210)2×10≈2 956(mm 3)=2.956(cm 3). 所以螺帽的个数为5.8×1 000÷(7.8×2.956)≈252(个).答：这堆螺帽大约有252个.点评：本题主要考查几何体的体积公式及其应用.。

柱体、锥体、台体的表面积与体积教学目标：1、知识与技能：（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。

（2）了解柱、锥、台的表面积和体积计算公式；能运用柱锥台的表面积体积公式和体积进行计算和解决有关实际问题2、过程与方法：通过观察几何体并探求计算公式，培养观察能力及空间想象能力。

3、情感、态度与价值观：用数学的眼光去捕捉现实世界三维的美教学重点：柱、锥、台体的表面积和体积计算.教学难点：熟练利用柱、锥、台体的表面积和体积公式解题教学过程：一、自主学习二、知识探究知识探究一、柱体、锥体、台体的表面积1.多面体的表面积（1）创设情境：问题1：在初中已经学过了正方体和长方体的表面积。

你知道正方体和长方体的展开图有什么关系吗？用几何画板展示长方体展开的过程，观察展开图，可以得出几何体的表面积等于它的展开图的面积（2)探究新知问题2：棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的多面体,它们的展开图是什么?如何计算它们的表面积?学生活动：独立思考，分组讨论，推举代表解决问题，学生评价补充总结：棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积即各个面的面积和(3)典例分析分析：由于四面体S-ABC 的四个面是全等的等边三角形,所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍。

解：先求△SBC 的面积,过点S 作SD ⊥BC,交BC 于点D.因为BC=a,SD=22223.22a SB BD a a -=+= 所以 21133.2224SBC S BC SD a a a ∆=⋅=⨯= 因此,四面体的表面积22343.4S a a =⨯= SB CAD 例1：已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体S-ABC ，求它的表面积.(教材P 24页例1) 2.圆柱、圆锥、圆台的表面积（1） 探究新知问题3：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）a.圆柱的侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高（母线），讨论总结公式设圆柱的底面半径为r,母线长为l ,则有：S 圆柱侧=2rl π，S 圆柱表=2()r r l π+，其中为r圆柱底面半径，l 为母线长。

柱体、锥体、台体的表面积与体积●三维目标1．知识与技能(1)通过对柱、锥、台体的研究，了解柱、锥、台的表面积和体积的求法．(2)能运用公式求解柱体、锥体和台体的表面积和体积，熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系．(3)培养学生空间想象能力和思维能力．2．过程与方法(1)让学生经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状．(2)让学生通过对照比较，发现柱体、锥体、台体三者间体积的关系．3．情感、态度与价值观使学生通过表面积和体积公式的探究过程，体会数学的转化和类比的思想，从而增强学习的积极性．●重点难点重点：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算．难点：台体的表面积和体积公式的推导．重难点突破：先从学生熟悉的正方体和长方体的展开图为切入点，分析几何体的展开图与其表面积的关系，然后通过“探究”和“思考”引导学生归纳圆柱、圆锥和圆台的表面积公式；紧接着类比初中学过的正方体、长方体及圆柱的体积公式，得出一般柱体的体积公式；对于三棱柱和三棱锥的关系，教师可展示一些由一个棱柱切开成3个棱锥的模具，让学生通过观察，感知柱、锥体间的关系，进而得到一般锥体的体积公式，难点得以化解；最后由台体的概念得出台体的体积公式，为更好的突出教学的重点，可通过典例训练提高学生的应用能力．●教学建议本节内容是在学生已从结构特征和视图两个方面感性认识空间几何体的基础上，进一步从度量的角度来认识空间几何体，目的在于使学生了解空间几何体的表面积和体积的计算方法．教学时，教师可采用问题引导教学法，借助多媒体和实物展示，一步步地引导学生认识几何体的结构特征和展开图，让学生在探究知识的形成过程中，体会空间问题平面化的思想；关于体积的教学，可引导学生通过类比的方法给予突破，不必在公式推导过程上花费太多的时间．●教学流程课标解读1.通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积与体积的求法．(重点)2．会求组合体的表面积与体积．(难点、易错点)棱柱、棱锥、棱台的表面积【问题导思】1．正方体与长方体的展开图如下图(1)(2)所示，则相应几何体的表面积与其展开图的面积有何关系？【提示】相等．2．棱柱、棱锥、棱台的表面积与其展开图的面积是否也都相等？【提示】是．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积．圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别如图中(1)、(2)、(3)所示．1．上述几何体侧面展开图的面积与该几何体的表面积相等吗？【提示】不相等．2．如何计算上述几何体的表面积？【提示】几何体的表面积等于侧面积与底面积之和．圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱(底面半径为r，母线圆锥(底面半径为r，母线圆台(上、下底面半径为长为l )长为l ) r ′，r ，母线长为l ) 底面积 S 底＝πr 2 S 底＝πr 2 S 底＝π(r ′2＋r 2) 侧面积 S 侧＝2πrl S 侧＝πrl S 侧＝π(r ′l ＋rl )表面积S 表＝2πr (r ＋l )S 表＝πr (r ＋l )S 表＝π(r ′2＋r 2＋r ′l ＋rl )柱体、锥体与台体的体积【问题导思】1．正方体、长方体、圆柱的体积公式如何表示？ 【提示】 V ＝Sh ，其中S 为底面面积，h 为高． 2．上述体积公式对所有柱体都适用吗？ 【提示】 都适用．1．柱体：柱体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝Sh . 2．锥体：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝13Sh .3．台体：台体的上、下底面面积分别为S ′、S ，高为h ，则V ＝13(S ′＋S ′S ＋S )h .空间几何体的表面积如图1－3－1所示，已知直角梯形ABCD ，BC ∥AD ，∠ABC ＝90°，AB＝5 cm ，BC ＝16 cm ，AD ＝4 cm.求以AB 所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积．图1－3－1【思路探究】 分析几何体的形状――――――→选择表面积公式求表面积【自主解答】 以AB 所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台，其上底半径是4 cm ，下底半径是16 cm ，母线DC ＝52＋(16－4)2＝13 (cm)．∴该几何体的表面积为π(4＋16)×13＋π×42＋π×162＝532π(cm2)．1．圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中的相关量是求解旋转体表面积的关键．2．棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解．在题设条件不变的情况下，求以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积．【解】以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体，如图所示：其中圆锥的高为16－4＝12(cm)，圆柱的母线长为AD＝4 cm，故该几何体的表面积为：2π×5×4＋π×52＋π×5×13＝130π(cm2)．空间几何体的体积三棱台ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1－ABC，三棱锥B－A1B1C，三棱锥C－A1B1C1的体积之比．图1－3－2【思路探究】AB ∶A 1B 1＝1∶2―→S △ABC ∶S △A 1B 1C 1―→计算VA 1－ABC ―→计算VC －A 1B 1C 1―→计算VB －A 1B 1C【自主解答】 设棱台的高为h ，S △ABC ＝S ，则S △A 1B 1C 1＝4S . ∴VA 1－ABC ＝13S △ABC ·h ＝13Sh ，VC －A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·h ＝43Sh .又V 台＝13h (S ＋4S ＋2S )＝73Sh ，∴VB －A 1B 1C ＝V 台－VA 1－ABC －VC －A 1B 1C 1 ＝73Sh －Sh 3－4Sh 3＝23Sh ， ∴体积比为1∶2∶4.求几何体体积的常用方法(2012·山东高考)如图1－3－3，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1－EDF 的体积为________．图1－3－3【解析】 利用三棱锥的体积公式直接求解．·AB ＝13×12×1×1×1＝16.【答案】 16与三视图有关的几何体的表面积、体积问题(2012·安徽高考)某几何体的三视图如图1－3－4所示，则该几何体的体积等于________．图1－3－4【思路探究】 三视图――→还原几何体―――→是否分割计算体积【自主解答】 由几何体的三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱(如图所示)．在四边形ABCD 中，作DE ⊥AB ，垂足为E ，则DE ＝4，AE ＝3. ∴其体积为12×(2＋5)×4×4＝56.【答案】 561．解答此类问题的关键是先由三视图还原作出直观图，然后根据三视图中的数据在直观图中求出计算体积所需要的数据．2．若由三视图还原的几何体的直观图由几部分组成，求几何体的体积时，依据需要先将几何体分割分别求解，最后求和．在题设条件不变的情况下，求该几何体的表面积． 【解】 依题意得，该几何体的表面积S ＝2×12×(2＋5)×4＋2×4＋4×5＋4×5＋4×4＝92.对几何体的表面积理解不全面致误如图1－3－5所示，从底面半径为2a ，高为3a 的圆柱中，挖去一个底面半径为a 且与圆柱等高的圆锥，求圆柱的表面积S 1与挖去圆锥后的几何体的表面积S 2之比．图1－3－5【错解】由题意，知S1＝2π·2a·3a＋2π(2a)2＝(43＋8)πa2，S2＝S1－πa2＝(43＋7)πa2.∴S1∶S2＝(43＋8)∶(43＋7)．【错因分析】挖去圆锥的几何体的表面积去掉了一个半径为a的圆的面积，但同时增加了一个圆锥的侧面的面积，而上面的解法未考虑到增加的部分．【防范措施】几何体的表面积是各个面的面积之和，因此求组合体的表面积时切忌直接套用柱、锥、台的表面积公式，而应先分析该几何体由几部分组成，几何体各个面间有无重叠，再结合相应几何体选择公式求解．【正解】由题意，知S1＝2π·2a·3a＋2π·(2a)2＝(43＋8)πa2，S2＝S1＋πa·(2a)－πa2＝(43＋9)πa2.∴S1∶S2＝(43＋8)∶(43＋9)．小结1．圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键．2．计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题．3．在几何体的体积计算中，注意体会“分割思想”、“补体思想”及“等价转化思想”．。

1. 3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积【教学目标】1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。

2.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。

3.能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。

【教学重难点】教学重点：运用公式解决问题教学难点：理解计算公式的由来.【教学过程】（一）情景导入讨论：正方体、长方体的侧面展开图？→正方体、长方体的表面积计算公式？讨论：圆柱、圆锥的侧面展开图？→圆柱的侧面积公式？圆锥的侧面积公式？那么如何计算柱体、锥体、台体的表面积,进而去研究他们的体积问题,这是我们这节主要学习的内容。

（二）展示目标这也是我们今天要学习的主要内容:1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。

2.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。

3.能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。

（三）检查预习1．棱柱的侧面展开图是由，棱锥的侧面展开图是由，梭台的侧面展开图是由，圆柱的侧面展开图是，圆锥的侧面展开图是，圆台的侧面展开图是。

2．几何体的表面积是指，棱柱、棱锥、棱台的表面积问题就是求、，圆柱、圆锥、圆台的表面积问题就是求、、、。

3．几何体的体积是指 ，一个几何体的体积等于。

（四）合作探究面积探究:讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和） 讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）体积探究:讨论：正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式？五）交流展示略（六）精讲精练1. 教学表面积计算公式的推导：① 讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和）② 练习：1.已知棱长为a ，各面均为等边三角形的正四面体S-ABC 的表面积.(教材P 24页例1)2. 一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4，侧棱与底面垂直，侧棱长10,求其表面积.③ 讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）圆柱：侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高（母线）， S 圆柱侧=2rl π，S 圆柱表=2()r r l π+，其中为r 圆柱底面半径，l 为母线长。