2.3.3《平面向量的坐标运算》导学案

2.3.2 平面向量的坐标运算（1）高一数学导学案 新授课 主备人：赵永 审核人：董平 第 周星期 教学目标：（1）理解平面向量的坐标的概念，理解坐标表示的意义；（2）掌握平面向量的坐标运算。

重点难点重点：平面向量的坐标运算；难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性. 教学过程：一、问题情境1、平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任一向量a ， 一对实数1λ,2λ使 ．其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合．2、在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对实数(,)x y 表示，那么，每一个向量可否也用一对实数来表示？二、数学建构2．向量的坐标计算公式：问题：已知11(,)a x y = ，22(,)b x y = ，你能得出a b + ，a b - ，λa 的坐标吗？结论：两个向量和与差的坐标分别等于 ．3．实数与向量的积的坐标：已知(,)a x y = 和实数λ，则()(,)a xi y j xi y j x y λλλλλλ=+=+=结论：实数与向量的积的坐标等于 ．4.向量的坐标计算公式：已知向量−→−AB ，且点11(,)A x y ，22(,)B x y ，求−→−AB 的坐标． −→−AB ＝−→−OB －−→−OA ＝-),(22y x ),(11y x =( , ) 结论：一个向量的坐标等于 ；三、数学应用例1、已知A （-1，3），B （1，-3），C （4，1），D （3，4），求向量，，，的坐标。

思考：1.四边形OACD 是平行四边形吗？说明理由。

2.已知平行四边形ABCD 的三个顶点,,A B C 的坐标分别为(2,1)-，(1,3)-，(3,4)，求顶点D 的坐标．例2、已知(2,1)a = ，(3,4)b =- ，求a b + ，a b - ，34a b + 的坐标．例3、已知),(),,(222111y x P y x P ，P 是直线21P P 上一点，且λ=−→−P P 1−→−2PP)1(-≠λ，求点P 的坐标．三、当堂检测1已知向量2(3,34)a x x x =+-- 与−→−AB 相等，其中(1,2)A ，(3,2)B ，求x ；2已知),(),0,2(),3,2(),2,1(y x D C B A ---，且=−→−AC −→−BD 2，则____=+y x ；3已知)4,3(),1,3(),4,2(----C B A ，3=−→−CM −→−CA ，=−→−CN −→−CB 2，求点M ，N 和−→−MN 的坐标；四、学习小结五、课后作业:书本P79 第4、5题。

平面向量的坐标运算教案一、教学目标1. 让学生理解平面向量的概念，掌握向量的表示方法。

2. 学生能够运用坐标进行向量的加法、减法、数乘和数量积运算。

3. 培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 向量的概念及表示方法2. 向量的加法和减法运算3. 向量的数乘运算4. 向量的数量积运算5. 向量的坐标表示及其运算规律三、教学重点与难点1. 教学重点：向量的加法、减法、数乘和数量积运算的坐标表示方法。

2. 教学难点：向量的坐标运算规律和实际应用。

四、教学方法1. 采用讲授法，讲解向量的概念、坐标表示和运算规律。

2. 利用多媒体课件，展示向量的图形，帮助学生直观理解。

3. 举实例进行分析，让学生在实际问题中掌握向量坐标运算的方法。

4. 练习题巩固所学知识，提高学生的应用能力。

五、教学过程1. 导入：回顾高中数学中关于向量的基本概念，引导学生进入新课。

2. 讲解向量的概念和表示方法，让学生理解向量的基本性质。

3. 讲解向量的加法和减法运算，引导学生掌握运算规律。

4. 讲解向量的数乘运算，让学生理解数乘对向量的影响。

5. 讲解向量的数量积运算，引导学生掌握数量积的计算方法。

6. 利用多媒体课件，展示向量的图形，让学生直观理解向量运算。

7. 举例分析，让学生在实际问题中运用向量坐标运算方法。

8. 布置练习题，巩固所学知识，提高学生的应用能力。

9. 总结本节课的主要内容，强调向量坐标运算的规律。

10. 布置课后作业，让学生进一步巩固向量坐标运算的知识。

六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对向量坐标运算的理解程度。

2. 练习题：布置课堂练习题，评估学生对向量坐标运算的掌握情况。

3. 课后作业：收集学生作业，分析其对向量坐标运算的运用能力。

4. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，评估学生在团队合作中的表现。

七、教学反思1. 针对学生的掌握情况，调整教学方法和节奏。

2. 针对学生的疑惑，进行解答和巩固。

2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式1．向量内积的坐标运算已知a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2.知识拓展非零向量a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)夹角θ的范围与坐标运算的数量积的关系是：(1)θ为锐角或零角⇔x 1x 2＋y 1y 2＞0； (2)θ为直角⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0； (3)θ为钝角或平角⇔x 1x 2＋y 1y 2＜0.【自主测试1】若a ＝(2，－3)，b ＝(x,2x )，且a ·b ＝43，则x 等于( )A ．3B ．13C ．－13 D ．－3解析：由题意，得2x －6x ＝43，解得x ＝－13.答案：C2．用向量的坐标表示两个向量垂直的条件已知a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0.名师点拨解决两向量垂直的问题时，在表达方式上有一定的技巧，如a ＝(m ，n )与b ＝k (n ，－m )总是垂直的，当两向量的长度相等时，k 取±1.【自主测试2】已知a ＝(2,5)，b ＝(λ，－3)，且a ⊥b ，则λ＝__________.解析：∵a ⊥b ，∴a·b ＝0，即2λ－15＝0，∴λ＝152.答案：1523．向量的长度、距离和夹角公式(1)向量的长度：已知a ＝(a 1，a 2)，则|a |＝a 21＋a 22，即向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．(2)两点之间的距离公式：如果A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(3)向量的夹角的余弦公式：已知a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则两个向量a ，b 的夹角的余弦为cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2a 21＋a 22b 21＋b 22.你会求出与向量a ＝(m ，n )同向的单位向量a 0的坐标吗？答：a 0＝a |a |＝1m 2＋n 2(m ，n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m m 2＋n 2，n m 2＋n 2.【自主测试3－1】已知A (1,2)，B (2,3)，C (－2,5)，则△ABC 为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．无法判断解析：由AB →＝(1,1)，BC →＝(－4,2)，CA →＝(3，－3)， 得AB →2＝2，BC →2＝20，CA →2＝18. ∵AB →2＋CA →2＝BC →2，即AB 2＋AC 2＝BC 2，∴△ABC 为直角三角形． 答案：B【自主测试3－2】已知m ＝(3，－1)，n ＝(x ，－2)，且〈m ，n 〉＝π4，则x 等于( )A ．1B ．－1C ．－4D ．4 解析：cos π4＝3x ＋210×x 2＋4， 解得x ＝1. 答案：A【自主测试3－3】已知a ＝(3，x )，|a |＝5，则x ＝__________. 解析：由|a |2＝9＋x 2＝25，解得x ＝±4.答案：±41．向量模的坐标运算的实质剖析：向量的模即为向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a ＝(x ，y )，则在平面直角坐标系中，一定存在点A (x ，y )，使得OA →＝a ＝(x ，y )，∴|OA →|＝|a |＝x 2＋y 2，即|a |为点A 到原点的距离；同样若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，∴|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12，即平面直角坐标系中任意两点间的距离公式．由此可知向量模的运算其实质即为平面直角坐标系中两点间距离的运算．2．用向量的数量积的坐标运算来分析“(a·b )·c ＝a ·(b·c )”不恒成立 剖析：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，c ＝(x 3，y 3)， 则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2, b·c ＝x 3x 2＋y 3y 2.∴(a·b )·c ＝(x 1x 2＋y 1y 2)(x 3，y 3)＝(x 1x 2x 3＋y 1y 2x 3，x 1x 2y 3＋y 1y 2y 3)，a·(b·c )＝(x 1，y 1)(x 3x 2＋y 3y 2)＝(x 1x 3x 2＋x 1y 2y 3，x 2x 3 y 1＋ y 1y 2y 3)．假设(a·b )·c ＝a·(b·c )成立，则有(x 1x 2x 3＋y 1y 2x 3，x 1x 2y 3＋y 1y 2y 3)＝(x 1x 3x 2＋x 1y 2y 3，x 2x 3 y 1＋ y 1y 2y 3)， ∴x 1x 2x 3＋y 1y 2x 3＝x 1x 3x 2＋x 1y 2y 3，x 1x 2y 3＋y 1y 2y 3＝x 2x 3 y 1＋y 1y 2y 3.∴y 1y 2x 3＝x 1y 2y 3，x 1x 2y 3＝x 2x 3 y 1. ∴y 2(y 1x 3－x 1y 3)＝0，x 2(x 1y 3－x 3y 1)＝0. ∵ b 是任意向量， ∴x 2和y 2是任意实数． ∴y 1x 3－x 1y 3＝0. ∴a ∥c .这与a ，c 是任意向量，即a ，c 不一定共线相矛盾． ∴假设不成立．∴(a·b )·c ＝a·(b·c )不恒成立． 3．教材中的“思考与讨论”在直角坐标系xOy 中，任作一单位向量OA →旋转90°到向量OB →的位置，这两个向量的坐标之间有什么关系？你能用上述垂直的条件，证明下面的诱导公式吗？cos(α＋90°)＝－sin α，sin(α＋90°)＝cos α.反过来，你能用这两个诱导公式，证明上述两个向量垂直的坐标条件吗？把两向量垂直的坐标条件可视化．有条件的同学可用“几何画板”、“Scilab”等数学软件进行可视化研究．剖析：如图所示，在平面直角坐标系中，画出一单位圆，有A (cos α，sin α)，B (cosβ，sin β)，且β－α＝90°，也就是β＝α＋90°.过点A 作AM ⊥x 轴于点M ，过点B 作BN ⊥x 轴于点N ，则△BNO ≌△OMA ． ∴|OM →|＝|NB →|，|ON →|＝|MA →|.当点A 在第一象限时，点B 在第二象限， ∴|ON →|＝－cos β，|NB →|＝sin β， |OM →|＝cos α，|MA →|＝sin α，从而有－cos β＝－cos(α＋90°)＝sin α， sin β＝sin(α＋90°)＝cos α， 即cos(α＋90°)＝－sin α， sin(α＋90°)＝cos α.题型一 向量数量积的坐标运算【例题1】已知a ＝(－6,2)，b ＝(－2,4)，求a ·b ，|a |，|b |，〈a ，b 〉． 分析：直接套用基本公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，|a |＝x 21＋y 21，cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22即可．解：a ·b ＝(－6,2)·(－2,4)＝12＋8＝20. |a |＝a ·a ＝－6，2×－6，2＝36＋4＝210， |b |＝－22＋42＝20＝2 5.∵cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝20210×25＝22，且〈a ，b 〉∈[0，π]， ∴〈a ，b 〉＝π4.反思如果已知向量的坐标，则可以直接用公式来计算数量积、模和夹角等问题；如果向量的坐标是未知的，一般考虑用定义和运算律进行转化．〖互动探究〗设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)， (1)求a －2b 的坐标表示和模的大小； (2)若c ＝a －(a ·b )·b ，求|c |. 解：(1)∵a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，∴a －2b ＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)， |a －2b |＝72＋32＝58. (2)∵a ·b ＝－6＋5＝－1，∴c ＝a ＋b ＝(1,6)，∴|c |＝12＋62＝37. 题型二 平面向量垂直的坐标运算【例题2】在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值．分析：对△ABC 的三个内角分别讨论，并利用坐标反映垂直关系． 解：当A ＝90°时，AB →·AC →＝0， ∴2×1＋3×k ＝0.∴k ＝－23.当B ＝90°时，AB →·BC →＝0，BC →＝AC →－AB →＝(1－2，k －3)＝(－1，k －3)，∴2×(－1)＋3×(k －3)＝0.∴k ＝113.当C ＝90°时，AC →·BC →＝0，∴－1＋k (k －3)＝0， ∴k ＝3±132.因此，△ABC 有一个角为直角时，k ＝－23，或k ＝113，或k ＝3±132.反思(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ≠0，则向量a 与b 垂直⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(2)向量垂直的坐标表示x 1x 2＋y 1y 2＝0与向量共线的坐标表示x 1y 2－x 2y 1＝0很容易混淆，应仔细比较并熟记，当难以区分时，要从意义上鉴别，垂直是a ·b ＝0，而共线是方向相同或相反．题型三 数量积的坐标运算在几何中的应用 【例题3】已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)． (1)求证：AB ⊥AD ；(2)若四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标，并求矩形ABCD 的两对角线所夹的锐角的余弦值．解：(1)证明：∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， ∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)． ∴AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD ． (2)若四边形ABCD 为矩形， 则AB →⊥AD →，AB →＝DC →. 设C 点的坐标为(x ，y )，则AB →＝(1,1)，DC →＝(x ＋1，y －4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝1，y －4＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5.∴C 点的坐标为(0,5)．从而AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2),∴|AC →|＝25，|BD →|＝25，AC →·BD →＝8＋8＝16. 设AC →与BD →的夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →| |BD →|＝1625×25＝45，∴矩形ABCD 的两条对角线所夹的锐角的余弦值为45.反思用向量法解决几何问题的关键是把有关的边用向量表示，然后把几何图形中的夹角、垂直、长度等问题都统一为向量的坐标运算即可，最后再回归到原始几何图形中进行说明．题型四 利用向量数量积的坐标运算证明不等式【例题4】证明：对于任意的a ，b ，c ，d ∈R ，恒有不等式(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)． 分析：设m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，用m ·n ≤|m |·|n |即可，要注意等号成立的条件． 证明：设m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，两向量夹角为θ，则m ·n ＝|m ||n |cos θ，∴ac ＋bd ＝a 2＋b 2·c 2＋d 2·cos θ，∴(ac ＋bd )2＝(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)cos 2θ≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)， 当且仅当m 与n 共线时等号成立． ∴(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)得证．反思本题直接利用代数方法也易得证．若从不等式的特征构造向量，利用向量的数量积和模的坐标运算来证，显得比较灵活，体现了向量的工具性．题型五 易错辨析【例题5】设平面向量a ＝(－2,1)，b ＝(λ，－1)(λ∈R )，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞) B．(2，＋∞) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12 错解：由a 与b 的夹角为钝角，得a ·b ＜0， 即－2λ－1＜0，解得λ＞－12.故选C ．错因分析：a ·b ＜0⇔a 与b 的夹角为钝角或平角．因此上述解法中需要对结论进行检验，把a 与b 的夹角为平角的情况舍去．正解：a ·b ＜0⇒(－2,1)·(λ，－1)＜0⇒λ＞－12.又设b ＝t a (t ＜0)，则(λ，－1)＝(－2t ，t )，所以t ＝－1，λ＝2，即λ＝2时，a 和b 反向，且共线，所以λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞)．故选A ．1．设m ，n 是两个非零向量，且m ＝(x 1，y 1)，n ＝(x 2，y 2)，则以下等式中，与m ⊥n 等价的个数为( )①m ·n ＝0；②x 1x 2＝－y 1y 2；③|m ＋n |＝|m －n |；④|m ＋n |＝m 2＋n 2. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：①②中的等式显然与m ⊥n 等价；对③④中的等式的两边平方，化简，得m ·n ＝0，因此也是与m ⊥n 等价的，故选D ．答案：D2．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(－2，－3)，则向量a 在向量b 方向上的投影的数量为( )A ．－1313 B ．1313C ．0D ．1 答案：B3．(2012·广东广州测试)已知向量a ＝(1，n )，b ＝(n,1)，其中n ≠±1，则下列结论正确的是( )A ．(a －b )∥(a ＋b )B ．(a ＋b )∥bC ．(a －b )⊥(a ＋b )D ．(a ＋b )⊥b解析：∵a －b ＝(1－n ，n －1)，a ＋b ＝(1＋n ，n ＋1)， ∴(a －b )·(a ＋b )＝0， ∴(a －b )⊥(a ＋b )． 答案：C4．已知a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝b －k a ，若c ⊥a ，则c ＝__________.解析：根据a 和b 的坐标，求c 的坐标，再利用垂直建立关于k 的方程，求出k 后可得向量c .答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫25，－155．已知i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，a ＝i －2j ，b ＝i ＋m j ，给出下列命题：①若a 与b 的夹角为锐角，则m ＜12；②当且仅当m ＝12时，a 与b 互相垂直；③a 与b不可能是方向相反的向量；④若|a |＝|b |，则m ＝－2.其中正确的命题的序号是__________．答案：①②③6．设向量a ＝(1，－1)，b ＝(3，－4)，x ＝a ＋λb ，λ为实数，证明：使|x |最小的向量x 垂直于向量b .证明：因为|x |2＝x ·x ＝|a |2＋λ2|b |2＋2λa ·b ， 所以x 2＝25λ2＋14λ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5λ＋752＋125.当5λ＋75＝0，即λ＝－725时，|x |最小．此时x ＝a －725b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫425，325. 又425×3－325×4＝0，所以向量x 与b 垂直．。

《平面向量的坐标运算》的教学设计一、 复习：1.平面向量基本定理:2.不共线的两向量12,e e 叫做这一平面内所有向量的一组基底.3.平面内所有向量的基底有多少组?二、引入:1.平面内建立了直角坐标系,点A 可以用什么来表示?2.平面向量是否也有类似的表示呢?思考1:以坐标原点O 为起点，P 为终点的向量能否用坐标表示？如何表示？思考2:在平面直角坐标系内，起点不在坐标原点0的向量如何用坐标来表示?三、 新课讲解：（一）平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底，对于平面上的向量a ，由平面向量的基本定理可知，有且只有一对有序实数x ，y 使得a xi y j =+ ，则有序实数对(,x y )称为向量a 的坐标，记作(,)a x y =r .注：每个向量都有唯一的坐标.例1．已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA uu r |＝060xOA ∠=，求向量OA uu r 的坐标.（二）平面向量的坐标运算1.若11(,)a x y =r , 22(,)b x y =r ,则a b +=r r , a b -=r r即两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差.2.若(,)a x y =r ，R λ∈,则 a λr =即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.3.1122(,),(,),A x y B x y AB =已知点则向量uu u r即一个向量的坐标等于表示该向量的终点的坐标减去起点的坐标.练习：已知a =(2 ,1)，b =(-3 ,4)，求a +b ，a -b ，3a +4b .例题讲解：例2.如图：已知A(-1，3),B(1，-3),C(4，1),D(3，4)，求向量OA uu r ,OB uu u r ,AO uuu r ,CD uu u r 的坐标.例3 .已知A （－2，4），B （3，－1），C （－3，-4），且3CM CA =u u u r u u r ,2CN CB =uu u r uu r ，求MNuuu r 的坐标.练习:已知平面上三点A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，求: (1)AB AC -u u u r u u u r(2) 2AB BC +uu u r uu u r (3)12BC AC -uu u r uuu r 四、 课堂练习1.已知A (x,2)，B (5，y －2)，若AB uu u r ＝(4,6)，则x ，y 值分别为____ ___2.已知M (3，－2)，N (－5，－2)，且MP uuu r ＝12MN uuu r ，则P 点坐标为____ ____ 3.已知a =(2 ,4)，b =(-1 ,2)，求a +b ，a -b ，2a -3b .4．已知平面上的三点：A (－2,1)，B (3，－4)，C (5，－2)，求：(1)2AB AC +uu u r uu u r ； (2)12BC CA -uu u r uu r . 五、课堂总结：1.向量的坐标的概念.2.对向量坐标表示的理解.(1)任一平面向量都有唯一的坐标；(2)向量的坐标与其起点、终点坐标的关系；(3)相等的向量有相等的坐标.3.平面向量的坐标运算.六、作业。

平面向量的坐标运算教案目的：让学生掌握平面向量的和、差、积的运算，理解向量的坐标与端点的坐标换算，会用向量的运算求多边形在平面直角坐标系中的坐标。

教案重点：平面向量的和、差、积的运算。

教案难点：用向量的运算求坐标系中的坐标。

教案过程：一、复习提问：在平面直角坐标中，向量如何用坐标来表示？二、新课：1、平面向量和与差的运算已知(x1, y1> ，(x2, y2>，求+，-的坐标。

解：+=(x1+y1>+( x2+y2>=(x1+ x2> + (y1+y2> ，即：+=(x1+ x2, y1+y2>，同理：-=(x1- x2, y1-y2>。

两个向量和<差）的坐标分别等于这丙个向量相应坐标的和<差）2、平面向量的数乘已知＝(x1, y1>和实数λ,求λ的坐标，λ＝λ(x1+y1>＝λx1+λy1＝<λx1，λy1）。

b5E2RGbCAP 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。

3、向量的坐标与端点的坐标换算例3 已知A<x1, y1> ，B (x2, y2>，求的坐标。

解： ＝(x2, y2>－<x1, y1> ＝(x2－x1, y2－ y1>一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标。

例4 已知平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A(-2, 1>, B(-1, 3>, C(3, 4>，试求顶点D 的坐标。

p1EanqFDPw 解法一：设顶点D 的坐标为<x ，y ），＝<－1－<－2），3－1）＝<1,2），＝<3－x ，4－y ）， 由＝，得：<1,2）＝<3－x ，4－y ），所以，解得：x ＝2，y ＝2，所以顶点D 的坐标为<2,2）。

补充例题已知三个力(3, 4>, (2, -5>, (x, y>的合力++=，求的坐标。

学习资料汇编2.3.3 平面向量的坐标运算问题导学一、平面向量及点的坐标表示活动与探究1已知A(－2,1)，B(1,3)，求线段AB的中点M和三等分点P，Q的坐标．迁移与应用1．已知两点A(1,0)，B(1，3)，O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC＝120°，设OC＝－2OA＋λOB(λ∈R)，则λ等于( )A．－1 B．2 C．1 D．－22．已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若MN＝－3a，则点N的坐标为( ) A．(2,0) B．(－3,6)C．(6,2) D．(－2,0)对于向量坐标的线性运算，关键是掌握向量的线性运算法则及坐标运算的特点，要充分理解向量坐标运算中点的坐标与向量的坐标之间的关系．事实上，当点O为坐标原点时，向量OP与终点P的坐标是相同的．二、平面向量的坐标运算活动与探究2已知点A，B，C的坐标分别为A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，求向量AB＋2BC－1AC的坐标．2迁移与应用1．已知a＝(－2,3)，b＝(1,5)，则3a＋b等于( )A．(－5,14) B．(5,14)C．(7,4) D．(5,9)2．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则AD＝( ) A．(2,4) B．(3,5)C．(－1，－1) D．(－2，－4)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标．三、用基底表示的坐标运算活动与探究3已知A(1，－2)，B(2,1)，C(3,2)和D(－2,3)，以AB，AC为一组基底来表示AD＋BD＋CD．迁移与应用已知a＝(10，－4)，b＝(3,1)，c＝(－2,3)，试用b，c表示a．用基底a，b表示指定向量p时，可由平面向量基本定理设p＝λa＋μb，然后借助于坐标运算列方程(组)求解待定的系数．当堂检测1．已知A(1,3)，B(2,1)，则BA的坐标是( )A．(－1,2) B．(2，－1)C ．(1，－2)D ．(－2,1)2．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝( ) A ．(－2，－1) B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2)3．若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c ＝( )A ．－12a ＋32bB ．12a －32b C ．32a －12b D ．－32a ＋12b 4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1＋λ2＝__________．5．已知平行四边形OABC ，其中O 为坐标原点，若A (2,1)，B (1,3)，则点C 的坐标为__________．课前预习导学【预习导引】1．两个互相垂直2．(x ，y ) (x ，y )预习交流1 提示：i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0)．3．(x 1＋x 2，y 1＋y 2) (x 1－x 2，y 1－y 2) 相应坐标的和(差) (λx ，λy ) 相应坐标 (x 2－x 1，y 2－y 1)终点 起点预习交流2 提示：与x 轴平行的向量的纵坐标为0，即a ＝(x,0)；与y 轴平行的向量的横坐标为0，即b ＝(0，y )．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：可先求出AB ，利用向量加法的法则，求出向量OP ，OQ ，进而得到P ，Q ，M 点的坐标．解：∵AB ＝OB －OA ＝(1,3)－(－2,1)＝(3,2)，∴OM ＝12(OA ＋OB ＝12[(－2,1)＋(1,3)]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2， OP ＝OA ＋AP ＝OA ＋13AB ＝(－2,1)＋13(3,2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，53， OQ ＝OA ＋AQ ＝OA ＋23AB ＝(－2,1)＋23(3,2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，73． ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2，P ⎝⎛⎭⎪⎫－1，53，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，73． 迁移与应用 1．C 解析：设|OC |＝r (r ＞0)且点C 的坐标为(x ，y )，则由∠AOC ＝120°，得x ＝r cos 120°＝－12r ，y ＝r sin 120°＝32r ． 即点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r ，32r ． 又∵OC －2OA ＋λOB ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r ，32r ＝－2(1,0)＋λ(1，3)＝(－2＋λ，3λ)．∴12,2,2r r λ⎧-=-+⎪⎪⎪=⎪⎩解得2,1.r λ=⎧⎨=⎩ 2．A 解析：MN ＝－3a ＝－3(1，－2)＝(－3,6)，设N (x ，y )，MN ＝(x －5，y ＋6)＝(－3,6)．∴53,60,x y -=-⎧⎨+=⎩即2,0,x y =⎧⎨=⎩故选A ． 活动与探究2 思路分析：由点A ，B ，C 的坐标，求出AB ，BC ，AC 的坐标，再利用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算求解．解：由A (2，－4)，B (0,6)，C (－8,10)，得AB ＝(－2,10)，BC ＝(－8,4)，AC ＝(－10,14)，∴AB ＋2BC －12AC ＝(－2,10)＋2(－8,4)－12(－10,14)＝(－2,10)＋(－16,8)－(－5,7)＝(－13,11)．迁移与应用 1．A 解析：3a ＋b ＝(－6,9)＋(1,5)＝(－5,14)．2． C 解析：∵AC ＝AB ＋AD ，∴AD ＝AC －AB ＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)． 活动与探究3 思路分析：设AD ＋BD ＋CD ＝m AB ＋n AC ，由坐标运算求待定的m ，n ．解：∵AB ＝(1,3)，AC ＝(2,4)，AD ＝(－3,5)，BD ＝(－4,2)，CD ＝(－5,1)， ∴AD ＋BD ＋CD ＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1)＝(－12,8)．根据平面向量基本定理，一定存在实数m ，n ，使得AD ＋BD ＋CD ＝m AB ＋n AC ，∴(－12,8)＝m (1,3)＋n (2,4)，即(－12,8)＝(m ＋2n,3m ＋4n )．可得212,348,m n m n +=-⎧⎨+=⎩解得32,22.m n =⎧⎨=-⎩∴AD ＋BD ＋CD ＝32AB －22AC ．迁移与应用 解：设a ＝λb ＋μc (λ，μ∈R )，则(10，－4)＝λ(3,1)＋μ(－2,3)＝(3λ，λ)＋(－2μ，3μ)＝(3λ－2μ，λ＋3μ)．依题意，得3210,34,λμλμ-=⎧⎨+=-⎩解得2,2,λμ=⎧⎨=-⎩所以a ＝2b －2c ．【当堂检测】1．A 解析：∵一个向量的坐标等于终点坐标减去始点坐标，∴BA ＝(1,3)－(2,1)＝(－1,2)，故选A ．2．D 解析：12a －32b ＝12(1,1)－32(1，－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12－⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32＝(－1,2)． 故选D ．3．B 解析：由题意，设c ＝x a ＋y b ，∴(－1,2)＝x (1,1)＋y (1，－1)＝(x ＋y ，x －y )．∴1,2.x y x y -=+⎧⎨=-⎩∴123.2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴c ＝12a －32b ． 4．1 解析：由c ＝λ1a ＋λ2b ，得(3,4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)． ∴121223,234,λλλλ+=⎧⎨+=⎩解得λ1＝－1，λ2＝2， ∴λ1＋λ2＝1．5．(－1,2) 解析：设C 的坐标为(x ，y )，则由已知得OC ＝AB ， ∴(x ，y )＝(－1,2)．敬请批评指正。

2.3.3平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算．3.2&2.3.3 平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算预习课本P94～98，思考并完成以下问题怎样分解一个向量才为正交分解？如何由a，b的坐标求a＋b，a－b，λa的坐标？[新知初探]．平面向量正交分解的定义把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量．．平面向量的坐标表示基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．坐标：对于平面内的一个向量a，有且仅有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则有序实数对叫做向量a的坐标．坐标表示：a＝．特殊向量的坐标：i＝，j＝，0＝．[点睛] 平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是两个基向量e1和e2互相垂直．由向量坐标的定义，知两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等，即a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2，其中a＝，b＝．．平面向量的坐标运算设向量a＝，b＝，λ∈R，则有下表：文字描述符号表示加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和a＋b＝减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差a－b＝数乘实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标λa＝重要结论一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标已知A，B，则＝[点睛] 向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变．[小试身手]．判断下列命题是否正确．相等向量的坐标相同与向量的起点、终点无关．当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．两向量差的坐标与两向量的顺序无关．点的坐标与向量的坐标相同．答案：√√××．若a＝，b＝，则3a＋2b的坐标是A．B．c．D．答案：c．若向量＝，＝，则＝A．B．c．D．答案：A．若点，点N，用坐标表示向量＝______.答案：平面向量的坐标表示[典例]如图，在边长为1的正方形ABcD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和与的坐标．[解] 由题知B，D分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点．设B，D．由三角函数的定义，得x1＝cos30°＝32，y1＝sin30°＝12，∴B32，12.x2＝cos120°＝－12，y2＝sin120°＝32，∴D－12，32.∴＝32，12，＝－12，32.求点和向量坐标的常用方法求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．[活学活用]已知o是坐标原点，点A在象限，||＝43，∠xoA＝60°，求向量的坐标；若B，求的坐标．解：设点A，则x＝43cos60°＝23，y＝43sin60°＝6，即A，＝．＝－＝.平面向量的坐标运算[典例] 已知三点A，B，c，则向量3＋2＝________，－2＝________.已知向量a，b的坐标分别是，，求a＋b，a－b,3a,2a ＋3b的坐标．[解析] ∵A，B，c，∴＝，＝，＝．∴3＋2＝3＋2＝＝．－2＝－2＝＝．[答案]解：a＋b＝＋＝，a－b＝－＝，a＝3＝，a＋3b＝2＋3＝＋＝．平面向量坐标运算的技巧若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．[活学活用]．设平面向量a＝，b＝，则a－2b＝A．B．c．D．解析：选A ∵2b＝2＝，∴a－2b＝－＝．．已知，N，＝12，则P点坐标为______．解析：设P，＝，＝，∴＝12＝12＝－4，12，∴x－3＝－4，y＋2＝12.∴x＝－1，y＝－32.答案：－1，－32向量坐标运算的综合应用[典例] 已知点o，A，B及＝＋t，t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？[解] 因为＝＋t＝＋t＝，若点P在x轴上，则2＋3t＝0，所以t＝－23.若点P在y轴上，则1＋3t＝0，所以t＝－13.若点P在第二象限，则1＋3t＜0，2＋3t＞0，所以－23＜t＜－13.[一题多变]．[变条件]本例中条件“点P在x轴上，点P在y轴上，点P在第二象限”若换为“B为线段AP的中点”试求t的值．解：由典例知P，则1＋1＋3t2＝4，2＋2＋3t2＝5，解得t＝2.．[变设问]本例条件不变，试问四边形oABP能为平行四边形吗？若能，求出t值；若不能，说明理由．解：＝，＝．若四边形oABP为平行四边形，则＝，所以3－3t＝1，3－3t＝2，该方程组无解．故四边形oABP不能成为平行四边形．向量中含参数问题的求解向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果横或纵坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变．解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程，解这个方程，就能达到解题的目的．层级一学业水平达标．如果用i，j分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且A，B，则可以表示为A．2i＋3jB．4i＋2jc．2i－jD．－2i＋j解析：选c 记o为坐标原点，则＝2i＋3j，＝4i＋2j，所以＝－＝2i－．已知＝a，且A12，4，B14，2，又λ＝12，则λa等于A．－18，－1B．14，3c．18，1D．－14，－3解析：选A ∵a＝＝14，2－12，4＝－14，－2，∴λa＝12a＝－18，－1.．已知向量a＝，2a＋b＝，则b＝A．B．c．D．解析：选A b＝－2a＝－＝．．在平行四边形ABcD中，Ac为一条对角线，＝，＝，则＝A．B．c．D．解析：选c ＝－＝－＝－＝．．已知，N，点P是线段N上的点，且＝－2，则P点的坐标为A．B．c．D．解析：选D 设P，则＝，＝，由＝－2得10－x＝4＋2x，－2－y＝－14＋2y，所以x ＝2，y＝4.．已知向量a＝，b＝，若a＋nb＝，则－n的值为________．解析：∵a＋nb＝＝，∴2＋n＝9，－2n＝－8，∴＝2，n＝5，∴－n＝2－5＝－3.答案：－3．若A，B，c，则＋2＝________.解析：∵A，B，c，∴＝，＝．∴＋2＝＋2＝＋＝．答案：．已知o是坐标原点，点A在第二象限，||＝6，∠xoA ＝150°，向量的坐标为________．解析：设点A，则x＝||cos150°＝6cos150°＝－33，y＝||sin150°＝6sin150°＝3，即A，所以＝．答案：．已知a＝，B点坐标为，b＝，c＝，且a＝3b－2c，求点A的坐标．解：∵b＝，c＝，∴3b－2c＝3－2＝－＝，即a＝＝.又B，设A点坐标为，则＝＝，∴1－x＝－7，0－y＝10⇒x＝8，y＝－10，即A点坐标为．0．已知向量＝，＝，点A．求线段BD的中点的坐标．若点P满足＝λ，求λ与y的值．解：设B，因为＝，A，所以＝，所以x1＋1＝4，y1＋2＝3，所以x1＝3，y1＝1，所以B．同理可得D，设BD的中点，则x2＝3－42＝－12，y2＝1－32＝－1，所以－12，－1.由＝－＝，＝－＝，又＝λ，所以＝λ＝，所以1＝－7λ，1－y＝－4λ，所以λ＝－17，y＝37. 层级二应试能力达标．已知向量＝，＝，则12＝A．B．c．D．解析：选D 12＝12＝12＝，故选D.．已知向量a＝，b＝，c＝，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为A．－2,1B．1，－2c．2，－1D．－1,2解析：选D ∵c＝λ1a＋λ2b，∴＝λ1＋λ2＝，∴λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4，解得λ1＝－1，λ2＝2.．已知四边形ABcD的三个顶点A，B，c，且＝2，则顶点D的坐标为A．2，72B．2，－12c．D．解析：选A 设点D，则由题意得＝2＝，故2＝4，2n －4＝3，解得＝2，n＝72，即点D2，72，故选A.．对于任意的两个向量＝，n nn＝．设f f f等于A．B．c．D．解析：选B 由⊗f＝，得p－2q＝5，2p＋q＝0，解得p＝1，q＝－2，所以f f．已知向量i＝，j＝，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论：①存在唯一的一对实数x，y，使得a＝；②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝≠，则x1≠x2，且y1≠y2；③若x，y∈R，a＝，且a≠0，则a的起点是原点o；④若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是，则a＝．其中，正确结论有________个．解析：由平面向量基本定理，可知①正确；例如，a＝≠，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a＝与a 的起点是不是原点无关，故③错误；当a的终点坐标是时，a＝是以a的起点是原点为前提的，故④错误．答案：1．已知A，B，o为坐标原点，点c在∠AoB内，|oc|＝22，且∠Aoc＝π4.设＝λ＋，则λ＝________.解析：过c作cE⊥x轴于点E，由∠Aoc＝π4知，|oE|＝|cE|＝2，所以＝＋＝λ＋，即＝λ，所以＝λ，故λ＝23.答案：23．在△ABc中，已知A，B，c，，N，D分别是AB，Ac，Bc的中点，且N与AD交于点F，求的坐标．解：∵A，B，c，∴＝＝，＝＝．∵D是Bc的中点，∴＝12＝12＝12＝－72，－4.∵，N分别为AB，Ac的中点，∴F为AD的中点．∴＝－＝－12＝－12－72，－4＝74，2.．在直角坐标系xoy中，已知点A，B，c，若＋＋＝0，求的坐标．若＝＋n，且点P在函数y＝x＋1的图象上，求－n. 解：设点P的坐标为，因为＋＋＝0，又＋＋＝＋＋＝．所以6－3x＝0，6－3y＝0，解得x＝2，y＝2.所以点P的坐标为，故＝．设点P的坐标为，因为A，B，c，所以＝－＝，＝－＝，因为＝＋n，所以＝＋n＝，所以x0＝＋2n，y0＝2＋n，两式相减得－n＝y0－x0，又因为点P在函数y＝x＋1的图象上，所以y0－x0＝1，所以－n＝1.。

§2.3.3平面向量的坐标运算学案1. 会用坐标表示平面向量的加减与数乘运算；2. 能用两端点的坐标，求所构造向量的坐标；3. 体会向量是处理几何问题的工具.（1）向量(),0b a a ≠是共线的两个向量，则,b a 之间的关系可表示为 .（2）平面向量基本定理：向量12,e e 是同一平面内两个不共线的向量，a为这个平面内任一向量，则向量a可用12,e e 表示为 ，则不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组 . （3）向量的坐标表示:在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量ｉ、ｊ作为基底．对于平面内的任一向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x 、y,使a =x ｉ+y ｊ.这样，平面内的任一向量a都可由x 、y 唯一确定，我们把有序数对（x 、y ）叫做向量a的坐标．记作：a=（x 、y ）二、新课导学 ※ 学习探究 问题：思考1：设i 、j 是与x 轴、y 轴同向的两个单位向量，若a =(x 1, y 1) ，b =(x 2, y 2)，则a＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j ，根据向量的线性运算性质，向量a ＋b ，a －b ，λa（λ∈R ）如何分别用基底i 、j 表示？思考2：根据向量的坐标表示，向量a ＋b ，a －b ，λa的坐标分别如何？平面向量的坐标运算法则：（1）两向量和的坐标等于__________ __________；（2）两向量差的坐标等于______________ _________； （3）实数与向量积的坐标等于___________ _______________；※ 典型例题例1已知(2,1)a = ，(3,4)b =-，求a b + ，a b - ，34a b + 的坐标.练1. 已知向量,a b 的坐标，求a b + ，a b -的坐标.（1）()()2,4,5,2a b =-=（2）()()3,0,0,4a b ==练2.已知()()3,2,0,1a b ==- ，求24a b -+，43a b + 的坐标.例2如图，已知()11,A x y ，()22,B x y ，求AB的坐标.小结：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的 减去 的坐标.思考：你能在上图中标出坐标为()2121,x x y y --的P 点吗？标出P 点后，你能发现向量的坐标与点的坐标之间的联系吗？练2. 已知A 、B 两点的坐标，求AB ，BA的坐标. （1）()()3,5,6,9A B（2）()()3,0,8,0A B例3 已知平行四边形ABCD 的顶点()2,1A -，()1,3B -，()3,4C ，试求顶点D 的坐标.变式：若AC 与BD 的交点为E ，试求点E三、总结提升 ※ 学习小结 若()11,a x y ，()22,b x y，则1. ()1212,a b x x y y +=++2. ()1212,a b x x y y -=--3. ()11,a x y λλλ=4. 已知()11,A x y ，()22,B x y ， 则()2121,AB x x y y =--.※ 知识拓展通过建立直角坐标系，可以将平面内任一向量用一个有序实数对来表示；反过来，任一有序数对就表示一个向量. 这就是说，一个平面向量就是一个有序实数对. 向量的坐标表示法将向量的加法，减法，数乘运算都统一起来，使得向量运算代数化，将数与形紧密结合起来，这样许多几何问题的解决，就可以转化为我们熟知的数量运算.练习案※ 当堂检测1.（2012广东）若向量(1,2),(3,4)AB BC ==；则AC = ( )()A (4,6) ()B (4,6)-- ()C (,)-2-2 ()D (,)222. 已知()3,1a =- ，()1,2b =- ，则32a b --等于（ ）A.()7,1B.()7,1--C.()7 1-，D.()7,1- 3. 已知(),AB x y = ，点B 的坐标为()2,1-，则OA的坐标为（ ）A.()2,1x y -+B.()2,1x y +-C.()2 1x y ---，D.()2,1x y ++ 4.设点()1,2A -，()2,3B ，()3,1C -且AD =23AB BC - ，则D 点的坐标为 .5.若向量()2,3a x =- 与向量()1,2b y =+相等，则（ ） A.1,3x y == B.3,1x y == C.1,5x y ==- D.5,1x y ==-1. 已知a+b=(2,8) , a-b=(-8,16) ,求a 和b 。