《火线100天》2015中考数学复习滚动小专题(八)圆的有关计算与证明

查补重难点07.圆的相关计算与证明考点一：圆的基本概念与性质1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．2.圆心角、弧、弦的关系（定理）：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．3．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．圆周角定理的推论：1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．2）直径所对的圆周角是直角．3）圆内接四边形的对角互补．题型1.垂径定理及其运用 1.如图，可得①AB 过圆心；②AB ⊥CD ；③CE =DE ；④ AC AD =；⑤ BCBD =。

总结：垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦（被平分的弦不是直径）；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧。

若已知五个条件中的两个，那么可推出其中三个，简称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理。

2.关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．例1.（2024·江苏盐城·模拟预测）如图，A 、B 、C 是O 上的点，OC AB ⊥，若5OA =，8AB =，则CD =（）A ．5B ．4C ．3D ．2变式2．（2024·江苏徐州·一模）如图，ABC 是O 的内接三角形，若60A ∠=︒，BC =O 的半径长为()A ．4BC ．2D ．1题型2.圆心角、弧、弦的关系在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。

圆的有关计算与证明圆的有关计算与证明是中考的必考内容之一，占有较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质和判定，利用圆的性质求角度或者计算阴影部分面积．(2015·昆明西山区二模)如图，CE 是⊙O 的直径，AC 为⊙O 的切线，D 为⊙O 上的一点，∠A ＝2∠DCE ，延长AD 交CE 的延长线于点B ，连接CD ，若BE ＝OE ＝2.(1)求证：AD 为⊙O 的切线；(2)求图中阴影部分的面积(结果保留π)．【思路点拨】 (1)要证AD 为⊙O 的切线，由点D 在⊙O 上可知，只需连接OD ，证明OD ⊥AD.由OC ＝OD 得∠DOB ＝2∠DCE ＝∠A.由AC 为⊙O 的切线知∠A ＋∠B ＝90°，从而∠DOB ＋∠B ＝90°，OD ⊥AD 即可得证；(2)S 阴＝S △ODB －S 扇形ODE .代入相关数据即可求出．【解答】 (1)证明：连接OD ，如图．∵OC ＝OD ，∴∠DOB ＝2∠DCE.又∵∠A ＝2∠DCE ，∴∠DOB ＝∠A.∵AC 为⊙O 的切线，∴AC ⊥OC ，∴∠A ＋∠B ＝90°.∴∠DOB ＋∠B ＝90°.∴∠ODB ＝90°，即OD ⊥AB.∵OD 为⊙O 的半径，∴AD 为⊙O 的切线．(2)在Rt △ODB 中，∵OD ＝OE ，OE ＝BE.∴sinB ＝OD OB ＝12，∴∠B ＝30°，∠DOB ＝60°. ∵BD ＝OB ·sin60°＝4×32＝23， ∴S △ODB ＝12×OD ×BD ＝12×2×23＝2 3.S 扇形ODE ＝60π×OD 2360＝2π3. ∴S 阴＝S △ODB －S 扇形ODE ＝23－2π3.证明一条直线是圆的切线的常见方法有两种：(1)当直线和圆有一公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“作半径，证垂直”；(2)当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”．类型1 与切线有关的计算与证明1．(2015·昆明西山区一模)已知AB 是⊙O 的直径，AC 为弦，且平分∠BAD ，AD ⊥CD ，垂足为D ，求证：(1)CD 是⊙O 的切线；(2)延长AB 、DC 交于点F ，∠BFC ＝30°，⊙O 半径为3 cm ，求AD 的长．2．(2015·昆明二模)已知：如图所示，四边形ABCD 为平行四边形，以CD 为直径作⊙O ，⊙O 与边BC 相交于F ，DE 与边AB 相交于E ，∠EDF ＝∠A ，且AE ＝3EB.(1)求证：DE 是⊙O 的切线．(2)若BC ＝8，CD ＝4，求ABCD 的高DF 的长度．3．(2015·昆明盘龙区一模)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 为直径的⊙O 与AC 边交于点D ，过点D 的直线交BC 边于点E ，∠BDE ＝∠A.(1)判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)若⊙O 的半径R ＝5，cosA ＝45，求线段CD 的长．4．(2015·衡阳)如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 为半圆O 的三等分点，过点C 作CE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E.(1)求证：CE 为⊙O 的切线；(2)判断四边形AOCD 是否为菱形？并说明理由．5．(2015·昆明官渡区二模)如图，已知AB 为⊙O 的直径，AC ⊥AB 于点A ，BC 与⊙O 相交于点D ，在AC 上取一点E ，使得ED ＝EA.(1)求证：ED 是⊙O 的切线；(2)若OA ＝3 cm ，AE ＝4 cm ，求BC 的长度．(2013·曲靖)如图，⊙O 的直径AB ＝10，C ，D 是圆上的两点，且AC ︵＝CD ︵＝DB ︵.设过点D 的切线ED 交AC 的延长线于点F ，连接OC 交AD 于点G.(1)求证：DF ⊥AF ；(2)求OG的长．7．(2015·黔西南)如图所示，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C.(1)求证：直线PB与⊙O相切；(2)PO的延长线与⊙O交于点E，若⊙O的半径为3，PC＝4.求弦CE的长．8．(2015·北京)如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD∥BM，交AB于点F，且DA＝DC，连接AC，延长AD交BM于点E.(1)求证：△ACD是等边三角形；(2)连接OE，若DE＝2，求OE的长．9．(2015·常德)已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为3，∠EAC＝60°，求AD的长．10．(2015·东营)已知，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E.(1)求证：AC·AD＝AB·AE；(2)如果BD是⊙O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC＝2时，求AC的长．11．(2015·临沂)如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD.(1)求证：AD平分∠BAC；(2)若∠BAC＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积(结果保留π)．类型2 与圆的性质有关的计算与证明1．(2015·无锡)已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC＝6 cm，AC＝8 cm，∠ABD＝45°.(1)求BD的长；(2)求图中阴影部分的面积．2．(2015·安徽)在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ.(1)如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；(2)如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．3．(2015·滨州)如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D.求弧BC的长；(2)求弦BD的长．4．(2015·台州)如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC.(1)若∠CBD＝39°，求∠BAD的度数；(2)求证：∠1＝∠2.参考答案1.(1)证明：连接OC.∵AC平分∠BAD，∴∠CAO＝∠CAD.∵AD⊥CD，∴∠CAD ＋∠ACD ＝90°.∴∠CAO ＋∠ACD ＝90°.又∵OA ＝OC ，∴∠CAO ＝∠OCA.∴∠OCA ＋∠ACD ＝90°，即∠OCD ＝90°，OC ⊥CD. 又∵OC 为⊙O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线．(2)在Rt △OCF 中，OC ＝3 cm ，∠BFC ＝30°， ∴OF ＝2OC ＝6 cm.∴AF ＝OF ＋OA ＝6＋3＝9(cm)．在Rt △AFD 中，∵∠F ＝30°，∴AD ＝12AF ＝12×9＝4.5(cm)．2.(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴∠A ＝∠C.∵∠EDF ＝∠A ，∴∠EDF ＝∠C.∵CD 为⊙O 的直径，∴∠DFC ＝90°，∴∠FDC ＋∠C ＝90°.∴∠EDF ＋∠FDC ＝90°，即∠EDC ＝90°， ∴DE ⊥OD.∵OD 为⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线．(2)∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC.∵DF ⊥BC ，∴DF ⊥AD.∴∠ADE ＋∠EDF ＝90°.∴∠ADE ＝∠FDC.∵∠A ＝∠C ，∴△ADE ∽△CDF.∴AE AD ＝CF CD. ∵AB ＝CD ＝4，AE ＝3EB ，∴AE ＝34AB ＝34×4＝3. ∴38＝CF 4. ∴CF ＝32. 在Rt △CDF 中，由勾股定理得DF ＝CD 2－CF 2＝42－（32）2＝552. 3.(1)直线DE 与⊙O 相切，理由如下：连接OD.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠A ＋∠ABD ＝90°.∵OB ＝OD ，∴∠ABD ＝∠ODB.∵∠BDE ＝∠A ，∴∠BDE ＋∠ODB ＝90°，即∠ODE ＝90°.∴OD ⊥DE.又∵点D 在⊙O 上，∴直线DE 与⊙O 相切．(2)在Rt △ABC 中，cosA ＝AB AC ＝2×5AC ＝45， ∴AC ＝252.在Rt △ABD 中，cosA ＝AD AB ＝AD 2×5＝45， ∴AD ＝8.∴CD ＝AC －AD ＝252－8＝924.(1)证明：连接OD.∵点C 、D 为半圆O 的三等分点，∴∠BOC ＝∠COD ＝12∠BOD.又∠BAD ＝12∠BOD ， ∴∠BOC ＝∠BAD.∴AE ∥OC.∵AD ⊥EC ，∴OC ⊥EC.∴CE 为⊙O 的切线．(2)四边形AOCD 是菱形．理由如下：∵点C 、D 为半圆O 的三等分点，∴∠AOD ＝∠COD ＝60°.又∵OA ＝OD ＝OC ，∴△AOD 和△COD 都是等边三角形．∴OA ＝AD ＝DC ＝OC ＝OD.∴四边形AOCD 是菱形．5.(1)证明：连接OD.∵ED ＝EA ，∴∠EDA ＝∠EAD.∵OD ＝OA ，∴∠ODA ＝∠OAD.∵AC ⊥AB ，∴∠OAD ＋∠EAD ＝∠BAC ＝90°，∴∠ODA ＋∠EDA ＝90°，即∠ODE ＝90°，OD ⊥ED.又∵OD 为⊙O 的半径，∴ED 是⊙O 的切线．(2)∵EA 、ED 均为⊙O 的切线，∴EO ⊥AD.∴∠BAD ＋∠AOE ＝90°.∴∠ADB ＝90°.∴∠BAD ＋∠ABD ＝90°.∴∠AOE ＝∠ABD.∴OE ∥BC.又∵O 为AB 的中点，∴OE 为△BAC 的中位线．∴BC ＝2OE ＝2×32＋42＝10(cm)．6.(1)证明：连接OD ，BD.∵AC ︵＝CD ︵＝DB ︵ ，∴∠CAD ＝∠DAB ＝30°，∠ABD ＝60°.又OA ＝OD ，∴∠ODA ＝∠DAB ＝30°.∴∠ODA ＝∠FAD.∴OD ∥AF.又DE 是⊙O 的切线，∴OD ⊥DF.∴DF ⊥AF.(2)∵AB ＝10，∴AO ＝5.∵AC ︵＝CD ︵ ，∴OG ⊥AD.在Rt △AOG 中，∠GAO ＝30°，∴OG ＝12AO ＝52.7.(1)证明：过点O 作OD ⊥PB ，连接OC.∴OC ⊥AP.又∵OP 平分∠APB ，∴OD ＝OC.∴PB 是⊙O 的切线．（2）过C 作CF ⊥PE 于点F.在Rt △OCP 中，OP ＝OC 2＋CP 2＝5.∵S △OCP ＝12OC ·CP ＝12OP ·CF ， ∴CF ＝125.在Rt △COF 中，OF ＝CO 2－CF 2＝95. ∴FE ＝3＋95＝245. 在Rt △CFE 中，CE ＝CF 2＋EF 2＝1255.8.(1)证明：∵BM 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径，∴AB ⊥BM.∵BM ∥CD ，∴AB ⊥CD.∴AD ＝AC.∵DA ＝DC ，∴AD ＝CD ＝AC.∴△ACD 为等边三角形．(2)∵△ACD 为等边三角形，AB ⊥CD.∴∠DAB ＝30°.连接BD ，∴BD ⊥AD ，∠EBD ＝∠DAB ＝30°.∵DE ＝2，∴BE ＝4，BD ＝23，AB ＝43，OB ＝2 3.在Rt △OBE 中，OE ＝OB 2＋BE 2＝12＋16＝27.9.(1)证明：连接FO.∵AC是⊙O的直径，∴CE⊥AE.∵点F为BC的中点，∴FC＝FE.∵OE＝OC，OF＝OF，∴△EFO≌△CFO(SSS)．∴∠OEF＝∠OCF.∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠FEO＝90°，即OE⊥EF.又点E在圆上，∴FE为⊙O的切线．(2)∵⊙O的半径为3，∴AO＝CO＝EO＝3，AC＝6.又∵∠EAC＝60°，∴∠EOA＝60°.∴∠COD＝∠EOA＝60°.∴在Rt△OCD中，∠COD＝60°，OC＝3.∴CD＝3OC＝3 3.∴在Rt△ACD中，AD＝AC2＋CD2＝62＋（33）2＝37.10.(1)证明：连接DE.∵AE是直径，∴∠ADE＝90°.又∵∠ABC＝90°，∴∠ADE＝∠ABC.又∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC.∴AD AB ＝AE AC，即AC ·AD ＝AB ·AE. (2)连接OD.∵BD 是⊙O 的切线，∴OD ⊥BD.∵点E 是OB 的中点，∴在Rt △OBD 中，OE ＝BE ＝OD ，即OB ＝2OD ，∴∠OBD ＝30°.同理∠BAC ＝30°.在Rt △ABC 中，AC ＝2BC ＝2×2＝4.11.(1)证明：连接OD.∵BC 是⊙O 的切线，D 为切点，∴OD ⊥BC.又∵AC ⊥BC ，∴OD ∥AC ，∴∠ADO ＝∠CAD.又∵OD ＝OA ，∴∠ADO ＝∠OAD ，∴∠CAD ＝∠OAD ，即AD 平分∠BAC.(2)连接OE ，ED.∵∠BAC ＝60°，OE ＝OA ，∴△OAE 为等边三角形．∴∠AOE ＝60°.∴∠ADE ＝30°.又∵∠OAD ＝12∠BAC ＝30°， ∴∠ADE ＝∠OAD ，∴ED ∥AO ，∴S △AED ＝S △OED .∴阴影部分的面积＝S 扇形ODE ＝60×π×4360＝23π.类型2 与圆的性质有关的计算与证明1．(1)连接OD.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∵BC ＝6 cm ，AC ＝8 cm ，∴AB ＝10 cm.∴OB ＝5 cm.∵OD ＝OB ，∴∠ODB ＝∠ABD ＝45°.∴∠BOD ＝90°.∴BD ＝OB 2＋OD 2＝5 2 cm.(2)S 阴影＝S 扇形－S △OBD ＝90360π·52－12×5×5＝25π－504(cm 2)．2.(1)连接OQ ，∵PQ ∥AB ，OP ⊥PQ ，∴OP ⊥AB.在Rt △OBP 中，∵tanB ＝OP OB， ∴OP ＝3tan30°＝3，在Rt △OPQ 中，∵OP ＝3，OQ ＝3，∴PQ ＝OQ 2－OP 2＝ 6.(2)连接OQ ，在Rt △OPQ 中，PQ ＝OQ 2－OP 2＝9－OP 2，当OP 的长最小时，PQ 的长最大，此时OP ⊥BC ，则OP ＝12OB ＝32， ∴PQ 长的最大值为9－（32）2＝332.3.(1)连接OC.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°.在Rt △ABC 中，∵cos ∠BAC ＝AC AB ＝510＝12，∴∠BAC ＝60°.∴∠BOC ＝2∠BAC ＝120°.∴弧BC 的长为120×π×5180＝103π.(2)连接OD.∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD ＝∠BCD.∴∠AOD ＝∠BOD.∴AD ＝BD.∴∠BAD ＝∠ABD ＝45°.在Rt △ABD 中，BD ＝22AB ＝22×10＝5 2.4.(1)∵BC ＝DC ，∴BC ︵＝DC ︵.∴∠BAC ＝∠CAD ＝∠CBD.∵∠CBD ＝39°，∴∠BAC ＝∠CAD ＝39°.∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠DAC ＝78°.(2)证明：∵EC ＝BC ，∴∠CBE ＝∠CEB.∵∠CBE ＝∠1＋∠CBD ，∠CEB ＝∠2＋∠BAC ， ∴∠1＋∠CBD ＝∠2＋∠BAC.又∵∠BAC ＝∠CBD ，∴∠1＝∠2.。

圆的有关计算及证明本专项主要以圆为背景，考查线段、角、弧长等有关的计算，常与三角形、四边形等简单几何图形综合考查，属于中档题．且近两年的某某中考对圆的考查有加强的态势，分值较大，复习时应予以重视．类型1 圆中有关角、线段、垂径定理的计算1．(2015·眉山)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠ACO ＝45°，则∠B 的度数为( )A ．30°B ．35°C ．40°D ．45°2．(2015·某某)△ABC 为⊙O 的内接三角形，若∠AOC ＝160°，则∠ABC 的度数是( )A ．80°B ．160°C ．100°D ．80°或100°3．(2015·某某)如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，弦AD 平分∠BAC，交BC 于点E ，AB ＝6，AD ＝5，则AE 的长为( )4．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，OD ⊥BC 于E ，交BC ︵于D.(1)请写出四个不同类型的正确结论；(2)若BC ＝8，ED ＝2，求⊙O 的半径．5．(2015·某某)在⊙O 中，直径AB ＝6，BC 是弦，∠ABC ＝30°，点P 在BC 上，点Q 在⊙O 上，且OP⊥PQ.(1)如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；(2)如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．6．(2015·永州)如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD.(1)求证：BE＝CE；(2)试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；(3)若BC＝8，AD＝10，求CD的长．7．(2015·某某)如图，⊙O 的半径为1，A ，P ，B ，C 是⊙O 上的四个点，∠APC ＝∠CPB＝60°.(1)判断△ABC 的形状：__________；(2)试探究线段PA ，PB ，PC 之间的数量关系，并证明你的结论；(3)当点P 位于AB ︵的什么位置时，四边形APBC 的面积最大？求出最大面积．类型2 圆中弧长与扇形面积的计算1．(2015·某某)在半径为6的⊙O 中，60°圆心角所对的弧长是( )A ．πB ．2πC ．4πD ．6π 2．(2015·某某)如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC 为直径作半圆交AB 于点D ，连接CD ，则阴影部分的面积是( )A.12π－1B.12π－2 C ．π－2 D ．π－13．(2015·某某)如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，以AB的中点D为圆心，作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在EF上，设∠BDF＝α(0°＜α＜90°)，当α由小到大变化时，图中阴影部分的面积( )A．由小到大B．由大到小C．不变D．先由小到大，后由大到小4．(2015·某某)如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠ACB＝60°.(1)求∠P的度数；(2)若⊙O的半径长为4 cm，求图中阴影部分的面积．5．(2015·随州)如图，射线PA切⊙O于点A，连接PO.(1)在PO的上方作射线PC，使∠OPC＝∠OPA(用尺规在原图中作，保留痕迹，不写作法)，并证明：PC是⊙O的切线；(2)在(1)的条件下，若PC 切⊙O 于点B ，AB ＝AP ＝4，求AB ︵的长．6．(2015·某某)如图1，半径为R ，圆心角为n °的扇形面积是S 扇形＝n πR 2360，由弧长l ＝n πR 180，得S 扇形＝n πR 2360＝12·n πR 180·R ＝12lR.通过观察，我们发现S 扇形＝12lR 类似于S 三角形＝12×底×高． 类比扇形，我们探索扇环(如图2，两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分叫作扇环)的面积公式及其应用．(1)设扇环的面积为S 扇环，AB ︵的长为l 1，CD ︵的长为l 2，线段AD 的长为h(即两个同心圆半径R 与r 的差)．类比S 梯形＝12×(上底＋下底)×高，用含l 1，l 2，h 的代数式表示S 扇环，并证明；(2)用一段长为40 m 的篱笆围成一个如图2所示的扇环形花园，线段AD 的长h 为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？参考答案类型11．D 2.D 3.B4.(1)不同类型的正确结论有：①BE＝CE ；②BD ︵＝CD ︵；③∠BED＝90°；④∠BOD＝∠A；⑤AC∥OD；⑥AC⊥BC；⑦OE2＋BE 2＝OB 2；⑧S △ABC ＝BC·OE；⑨△BOD 是等腰三角形；⑩△BOE∽△BAC 等等．(2)∵OD⊥BC，∴BE ＝CE ＝12BC ＝4. 设⊙O 的半径为R ，Rt △OEB 中，由勾股定理得OE 2＋BE 2＝OB 2，即(R －2)2＋42＝R 2.解得R ＝5.∴⊙O 的半径为5.5.(1)连接OQ. ∵PQ⊥OP，∴∠QPO ＝90°. ∵PQ ∥AB ， ∴∠POB ＝90°.∵直径AB ＝6，∠ABC ＝30°，∴OP ＝ 3. ∴PQ ＝32－（3）2＝ 6.(2)点P 在BC 上移动，要使PQ 最大，则必须OP 最小．根据垂线段最短得当BC⊥OP 时OP 最小．由sin ∠OBP ＝OP OB得，12＝OP 3，即OP ＝32. ∴PQ max ＝32－（32）2＝332. 6.(1)证明：∵AD 是直径，∴∠ABD ＝∠ACD＝90°.在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，AD ＝AD ，∴Rt △ABD ≌Rt △ACD(HL)．∴∠BAD＝∠CAD.∵AB ＝AC ，∴BE ＝CE.(2)四边形BFCD 是菱形．理由：∵AD 是直径，AB ＝AC ，∴AD ⊥BC ，BE ＝CE.∵CF∥BD，∴∠FCE ＝∠DBE.在△BED 和△CEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠FCE＝∠DBE，BE ＝CE ，∠BED ＝∠CEF＝90°，∴△BED ≌△CEF(ASA)．∴CF ＝BD.∴四边形BFCD 是平行四边形．∵∠BAD ＝∠CAD，∴BD ＝CD.∴四边形BFCD 是菱形．(3)∵AD 是直径，AD ⊥BC ，BE ＝CE ，由△CED∽△AEC 得∴CE 2＝DE·AE.设DE ＝x ，∵BC ＝8，AD ＝10， ∴42＝x(10－x)．解得x ＝2或x ＝8(舍去)．在Rt △CED 中，CD ＝CE 2＋DE 2＝42＋22＝2 5.7.(1)等边三角形(2)在PC 上截取PD ＝AP ，连接AD.又∵∠APC＝60°，∴△APD 是等边三角形．∴AD ＝AP ＝PD ，∠ADP ＝60°.∴∠ADC ＝120°.又∵∠APB＝∠APC＋∠BPC＝120°，∴∠ADC ＝∠APB.在△APB 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABP＝∠ACP，∠APB ＝∠ADC，AP ＝AD ，∴△APB ≌△ADC(AAS)．∴BP ＝CD.又∵PD ＝AP ，∴CP ＝BP ＋AP.(3)当点P 为AB ︵的中点时，四边形APBC 的面积最大．理由：过点P 作PE⊥AB，垂足为E.过点C 作CF⊥AB，垂足为F.∵S △APE ＝12AB ·PE ，S △ABC ＝12AB ·CF ， ∴S 四边形APBC ＝12AB ·(PE ＋CF)．当点P 为AB ︵的中点时，PE ＋CF ＝PC ，PC 为⊙O 的直径，此时四边形APBC 的面积最大． 又∵⊙O 的半径为1，∴其内接正三角形的边长AB ＝ 3.∴S 四边形APBC ＝12×2×3＝ 3. 类型21．B 2.D 3.C 4.(1)连接OA 、OB.∵PA 、PB 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AP ，OB ⊥BP.∴∠OAP ＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠C＝120°，∴∠P ＝360°－(90°＋90°＋120°)＝60°.∴∠P ＝60°.(2)连接OP.∵PA 、PB 是⊙O 的切线，∴∠APO ＝12∠APB ＝30°.在Rt △APO 中，tan30°＝OA AP， ∴AP ＝OA tan30°＝433＝43(cm)．∴S 阴影＝2(S △AOP －S 扇形)＝2×(12×4×43－60π×42360)＝(163－16π3)(cm 2)． 5.(1)作图如图．连接OA ，过O 作OB⊥PC. ∵PA 切⊙O 于点A ，∴OA ⊥PA.又∵∠OPC ＝∠OPA，OB ⊥PC ，∴OA ＝OB ，即d ＝r.∴PC 是⊙O 的切线．(2)∵PA 、PC 是⊙O 的切线，∴PA ＝PB.又∵AB ＝AP ＝4，∴△PAB 是等边三角形．∴∠APB＝60°.∴∠AOB ＝120°，∠POA ＝60°.在Rt △AOP 中，tan60°＝4OA， ∴OA ＝433.∴lAB ︵＝120×433×π180＝839π. 6.(1)S 扇环＝12(l 1＋l 2)h ，证明：设大扇形半径为R ，小扇形半径为r ，圆心角度数为n ，则由l ＝n πr 180，得R ＝180l 1n π，r ＝180l 2n π， ∴图中扇环的面积S ＝12×l 1×R －12×l 2×r ＝12l 1·180l 1n π－12l 2·180l 2n π＝90n π(l 21－l 22)＝90n π(l 1＋l 2)(l 1－l 2)＝12·180n π·(n π180R －n π180r)(l 1＋l 2)＝12(l 1＋l 2)(R －r)＝12(l 1＋l 2)h ，故猜想正确． (2)根据题意得：l 1＋l 2＝40－2h ，则S 扇环＝12(l 1＋l 2)h ＝12(40－2h)h ＝－h 2＋20h ＝－(h －10)2＋100.∵－1＜0， ∴开口向下，S 有最大值，当h ＝10时，S 最大值是100.所以线段AD 的长h 为10 m 时，花园的面积最大，最大面积是100 m 2.。

图形操作问题图形操作问题是当今中考命题的热点，是数形结合思想的拓展与升华，这类中考题，立足基础，突出创新与数学思想方法的考察.它有助于学生发展空间观念和创新能力的培养.解决这类题目，要求大家积极参与操作、实验、观察、猜想、探索、发现结论全过程，有效地提高解答操作题的能力.题型之一折叠与翻折问题例1 如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanC=32，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为 .【思路点拨】先根据翻折的性质确定D点的位置，然后再运用锐角三角函数、勾股定理以及中位线定理等知识可求出BD的长.【解答】如图，先规范地绘制出图形，如图，取AC中点E，作线段BE的垂直平分线，那么该直线为直线l，与BC交于D点，连接DE，则DB=DE.作BC边的垂线AG、EF.∵AB=AC，BC=8，tanC=32，∴GC=4，AG=6.易知EF为△AGC的中位线，EF=3，CF=2. 设BD=x，则DF=6-x.在Rt△EDF中，∠EFD=90°，DF2+EF2=DE2，即(6-x)2+32=x2，解得x=154.∴BD=154.方法归纳：图形的折叠与翻折都属于全等变换，即操作前后的两个图形是全等的，这就为解决问题提供了很多边、角相等的条件.另外折叠和翻折还是轴对称变换，解决问题时还可以运用轴对称的性质.1.(·宁波)用矩形纸片折出直角的平分线，下列折法正确的是( )2.(·泰安)如图1是一直角三角形纸片，∠A=30°，BC=4 cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图2，再将图2沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，如图3，则折痕DE的长为( )A. 83cm B.23cm C.22cm D.3 cm3.(·德州)如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E、F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；④当点H与点A重合时，EF＝25.以上结论中，你认为正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个4.(·潜江调考)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6 cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒2cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1 cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′.设Q点运动的时间t秒，若四边形QPCP′为菱形，则t的值为( )A.2B.2C.22D.35.(·襄阳)如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=13AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形.其中正确的是( )A.①②B.②③C.①③D.①④6.(·宜宾)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，将△ABC折叠，使点B恰好落在斜边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′= .7.(·南充)如图，有一矩形纸片ABCD，AB=8，AD=17，将此矩形纸片折叠，使顶点A落在BC边的A′处，折痕所在直线同时经过边AB、AD(包括端点)，设BA′=x，则x的取值范围是 .8.(·随州)如图1，正方形纸片ABCD的边长为2，翻折∠B、∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P，EF、GH分别是折痕（如图2）.设AE=x（0<x<2），给出下列判断：x=1时，点P是正方形ABCD的中心；②当x=12时，EF+GH>AC;③当0<x<2时，六边形AEFCHG面积的最大值是11 4；④当0<x<2时，六边形AEFCHG周长的值不变.其中正确的是 .（写出所有正确判断的序号）题型之二分割与剪拼问题例2 (·淄博)矩形纸片ABCD中，AB=5,AD=4.(1)如图1，四边形MNEF是在矩形纸片ABCD中裁剪出的一个正方形，你能否在该矩形中裁剪出一个面积最大的正方形，最大面积是多少？说明理由；(2)请用矩形纸片ABCD剪拼成一个面积最大的正方形.要求：在图2的矩形ABCD中画出裁剪纸，并在网格中画出用裁剪出的纸片拼成的正方形示意图(使正方形的顶点都在网格的格点上).【思路点拨】(1)要在矩形纸片中裁剪出的一个正方形面积最大，则所裁剪的正方形的边长最大只能等于原长方形的宽；(2)先根据剪拼前后所得正方形的面积和原长方形的面积相等求出正方形的边长为25，从而借助勾股定理在网格中确定4和2作为直角边构造直角三角形，将原长方形剪成4个直角边为4和2的直角三角形和4个边长为1的小正方形，然后把直角三角形的斜边作为新正方形的边长，通过旋转等图形变换拼出新正方形.【解答】(1)能.要在矩形纸片ABCD中裁剪出的一个正方形面积最大，则所裁剪的正方形的边长最大只能等于原长方形的宽，即4，所以最大面积是16.(2)由剪拼前后所得正方形的面积和原长方形的面积相等可知，剪拼成的面积最大的正方形=25.所以先将长方形的长边分为4和1两部分，然后将4×4的大正方的边长是45形部分剪成4个斜边为25的直角三角形，将1×4的长方形剪成4个边长为1的小正方形，具体剪法如下图：方法归纳：解决有关图形的裁剪和剪拼问题，关键是要分清裁剪和剪拼的区别，裁剪只包含“剪”的过程，而剪拼既包含“剪”的过程，又包含“拼”的过程，两者有着本质的区别，正确区分二者的意义是正确解决本题的关键.解决剪拼问题的突破口是剪拼前后的图形的面积不变.1.(·广东)如图，将一张直角三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后，在平面上将△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°，点E到了点E′位置，则四边形ACE′E的形状是 .2.(·绵阳)对正方形ABCD进行分割，如图1，其中E、F分别是BC、CD的中点，M、N、G 分别是OB、OD、EF的中点，沿分化线可以剪出一副“七巧板”，用这些部件可以拼出很多图案，图2就是用其中6块拼出的“飞机”.若△GOM的面积为1，则“飞机”的面积为 .3.(·宁波)用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图两种方法裁剪(裁剪后边角不再利用).A方法：剪6个侧面；B方法：剪4个侧面和5个底面.现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法.(1)用x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面个数；(2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？4.(·宿迁)如图是两个全等的含30°角的直角三角形.(1)将其相等边拼在一起，组成一个没有重叠部分的平面图形，请你画出所有不同的拼接平面图形的示意图；(2)若将(1)中平面图形分别印制在质地、形状、大小完全相同的卡片上，洗匀后从中随机抽取一张，求取出的卡片上平面图形为轴对称图形的概率.5.(·宁波)课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法.我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法：定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线.(1)请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；(若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种) (2)△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值；(3)如图3，△ABC中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B，请画出△ABC的三分线，并求出三分线的长.题型之三学具操作问题例3 (·广东)有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°,AB=AC=6.在三角板DEF 中，∠FDE=90°，DF=4，3将这副直角三角板按如图1所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA与FD在同一条直线上.现固定三角板ABC，将三角板DEF沿射线BA方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动.(1)如图2，当三角板DEF运动到点D与点A重合时，设EF与BC交于点M，求∠EMC的度数和BF的长；(2)如图3，在三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求CF和BF的长；(3)在三角板DEF的运动过程中，设BF=x，两块三角板重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式，并求出对应的x的取值范围.【思路点拨】(1)利用三角形的外角性质或者三角形的内角和即可求得答案；(2)解直角三角形AFC即可；(3)本题需要分类讨论，以点C在三角板DEF的上方、内部、下方三种情况来讨论，同时注意点C分别在DE、FE上时BF的长.【解答】(1)三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∠E=30°，∠EMC=15°.三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，BF=AB-DF=2.(2)由平移可知：∠ACF=∠E=30°.在Rt△ACF中，cos∠ACF=ACCF，tan∠ACF=AFAC,∴CF=ACcos ACF∠=630cos︒=43.AF=AC·tan∠ACF=6×tan30°=23.∴BF=AB-AF=6-23.(3)如图，分三种情况讨论：过点M作MN⊥AB于点N,则MN∥DE∥AC，∠NMB=∠B=45°, ∴NB=NM,NF=NB-FB=MN-x.∴△FMN∽△FED.∴MNDE=FNFD,43=4MN x-.解得33+x.①当0≤x≤2时，如图4，设DE与BC相交于点G,则DG=DB=4+x.y=S△BGD-S△BMF=12·DB·DG-12BF·MN=12(4+x)2-12x·332+x.即y=-13+x2+4x+8;②当2＜x≤6-23时，如图5.y=S△BCA-S△BMF=12·AC2-12·BF·MN=12×36-12x·33+x.即y=-33+x2+18;③当6-23<x≤6时，如图6，设AC与EF交于点H. ∵AF=6-x，∠AHF=∠E=30°，∴AH=3AF=3(6-x).y=S△FHA=12(6-x)·3(6-x)=3(6-x)2.综上所述，当0≤x≤2时，y=-134+x2+4x+8;当2<x≤6-23时，y=-334+x2+18;当6-23<x≤6时，y=32(6-x)2.方法归纳：本题属于“操作类”问题，解题的重要方法是“实际操作”，即在解题的时候，用三角板进行了实际操作，会很快就求得第(1)问的结论，对于第(3)问的结论，通过“操作”可确定只需分三种情况讨论.1.(·泰安)将两个斜边长相等的一副三角板纸片如图1放置，其中∠ACB=∠CED=90°，∠A=45°，∠D=30°.把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图2，连接D1B，则∠E1D1B的度数为( )A.10°B.20°C.7.5°D.15°2.(·孝感调考)如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第24秒时，点E在量角器上对应的读数是度.3.(·娄底)某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图1所示位置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α(0°<α<90°)，如图2，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P.(1)求证：AM=AN；(2)当旋转角α=30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由.4.将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起，设较短的直角边长为3.(1)四边形ABCD是平行四边形吗？说出你的结论和理由；(2)如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置，四边形ABC1D1是平行四边形吗？说出你的结论和理由；(3)在Rt△BCD沿射线BD方向平移的过程中，当点B的移动距离为多少时四边形ABC1D1为矩形？5.(·衡阳)将一副三角尺如图1摆放在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在Rt△DEF 中，∠EDF=90°，∠E=45°，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C.(1)求∠ADE的度数；(2)如图2，将△DEF绕点D顺时针方向旋转角α(0°<α<60°)，此时的等腰直角三角尺记为△DE′F′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，试判断PMCN的值是否随着α的变化而变化？如果不变，请求出PMCN的值；反之，请说明理由.参考答案题型之一折叠与翻折问题1.D2.A提示：由图形的操作可知：∠DBC=30°,∠DC′A=90°,∠EDC′=30°,∵BC=4 cm,∴DC′=DC=433cm,∴DE=83cm.3.C提示：易证四边形CFHE是平行四边形，对角线HC与EF垂直，故四边形CFHE是菱形，①正确；∵DE的长度无法确定，只有当DE=433时，EC才平分∠DCH.故②不正确；当H与A重合时，BF最小为3，当点E与点D重合时，BF最大为4.故③正确；当点H与点A重合时，求出EF＝25.故④正确.4.B提示：连接PP′交BC于点D，若四边形QPCP′为菱形，则PP′⊥BC，CD＝12CQ=12（6-t），∴BD=6-12（6-t）=3+12t.在Rt△BPD中，22，而2，∴22212t)，解得t=2.故选B.5.D提示：求出BE=2AE，根据翻折的性质可得PE=BE，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠APE=30°，然后求出∠AEP=60°，再根据翻折的性质求出∠BEF=60°，根据直角三角形两锐角互余求出∠EFB=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得EF=2BE，判断出①正确；利用30°角的正切值求出3，判断出②错误；求出BE=2EQ，EF=2BE，然后求出FQ=3EQ，判断出③错误；求出∠PFB=60°，BF=PF，然后得到△PBF是等边三角形，判断出④正确.6.3 27.2≤x≤8提示：当折痕经过B点时，BA′=BA=8,此时x最大；当折痕经过D点时，x=2，此时x最小.8.①④题型之二 分割与剪拼问题1.平行四边形2.143.(1)裁剪出的侧面个数为：6x+4(19-x)=（2x+76）个，裁剪出的底面个数为：5(19-x)=（-5x+95）个；(2)由题意得 2763x +=5952x -+.解得x=7. 2763x +=30. 答：能做30个盒子.4.(1)如图：(2)其中轴对称图形有4个，所以取出的卡片上平面图形为轴对称图形的概率为46=23. 5.(1)如图：(2)其中轴对称图形有4个，所以取出的卡片上平面图形为轴对称图形的概率为46=23. 题型之三 学具操作问题1.D2.1443.(1)证明：∵∠α+∠EAC=90°，∠NAF+∠EAC=90°，∴∠α=∠NAF. 又∵∠B=∠F,AB=AF ，∴△ABM ≌△AFN.∴AM=AN.(2)四边形ABPF 是菱形.理由：∵∠α=30°，∠EAF=90°,∴∠BAF=120°.又∵∠B=∠F=60°,∴∠B+∠BAF=60°+120°=180°，∠F+∠BAF=60°+120°=180°， ∴AF ∥BC ，AB ∥EF ，∴四边形ABPF 是平行四边形.又∵AB=AF,∴四边形ABPF 是菱形.4.(1)是.理由：∵△ABD ≌△CDB ，∴AD=BC ，AB=CD.∴四边形ABCD是平行四边形.(2)是.理由:∵∠ABD=∠C1D1B1=30°，∴AB∥C1D1.又∵AB=C1D1，∴四边形ABC1D1是平行四边形.(3)由(2)知四边形ABC1D1是平行四边形，∴只要使∠ABC1=90°,四边形ABC1D1即为矩形.又∵∠ABD=30°，∴∠B1BC1=60°.∴∠BC1B1=30°.设BB1=x，则BC1=2x.由勾股定理，得BC21-BB21=B1C21.即(2x)2-x2=32.解得3.即当点B3,四边形ABC1D1为矩形.5.(1)由题意知：CD是Rt△ABC中斜边AB上的中线，∴AD=BD=CD. ∵在△BCD中，BD=CD且∠B=60°，∴△BCD为等边三角形，∴∠BCD=∠BDC=60°.∴∠ADE=180°-∠BDC-∠EDF=180°-60°-90°=30°.(2)PMCN的值不会随着α的变化而变化，理由如下：∵∠MPD=∠A+∠ADE=30°+30°=60°，∴∠MPD=∠BCD=60°.∵∠MPD=∠BCD=60°，∠PDM=∠CDN=α，∴△MPD∽△NCD，∴PMCN=PDCD.又由(1)知AD=CD，∴PMCN=PDCD=PDAD.∵在△APD中，∠A=∠ADE=30°，∴在等腰△APD中，PDAD3=33.∴PMCN=PDCD=PDAD=33.。

圆的有关证明与计算纵观贵州9地州近年的中考，圆的有关证明与计算是中考的必考内容之一，占较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质和判定，同时还要注意已知条件之间的相互联系．类型1 与圆的性质有关的证明与计算(2015·贵阳)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，FO ⊥AB ，垂足为点O ，连接AF 并延长交⊙O 于点D ，连接OD 交BC 于点E ，∠B ＝30°，FO ＝2 3.(1)求AC 的长度；(2)求图中阴影部分的面积．(计算结果保留根号)【思路点拨】 (1)在Rt △FBO 中，先利用锐角三角函数计算OB 的长，进而得到直径AB 的长，最后再在Rt △ABC 中利用30°角所对的直角边是斜边的一半可得AC 的长；(2)求阴影部分的面积需要转化为S △ACF ＋S △FOD ＝S △AOF ＋S △FOD ＝S △AOD .【解答】 (1)在Rt △FBO 中，∵∠ABC ＝30°，∠FOB ＝90°，FO ＝23，∴FB ＝43，OB ＝6.∴AB ＝2BO ＝12.又∵∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，∴AC ＝12AB ＝6. (2)连接BD ，过点D 作DM ⊥AB 于M.∵FO 为AB 的中垂线，∴FA ＝FB.∴∠FAO ＝∠FBO ＝30°.∴∠DOM ＝2∠FAO ＝60°.在Rt △DOM 中，sin ∠DOM ＝DM OD，即DM ＝3 3. 又∵∠C ＝∠AOF ＝90°，AC ＝AO ＝6，AF ＝AF ，∴Rt △AFC ≌Rt △AFO(HL)．∴S △CAF ＝S △OAF .∴S 阴影部分＝S △ACF ＋S △FOD ＝S △AOF ＋S △FOD ＝S △AOD ＝12AO ·DM ＝12×6×33＝9 3.解决与圆的性质有关证明与计算：(1)结合题意，分析图形中相关信息，运用圆的有关性质或其他知识的综合，解决证明或计算问题；(2)对于求简单组合图形的面积，关键是分离出一些基本的几何图形，通过观察图形之间的关系，巧妙地转化成规则图形的面积和、差，然后利用图形之间的数量关系，最后得出正确结论，使复杂问题简单化．1．(2013·黔西南)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，点P 在⊙O 上，∠1＝∠C.(1)求证：CB ∥PD ；(2)若BC ＝3，sinP ＝35，求⊙O 的直径．2．(2015·六盘水模拟)已知在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C ，D(如图)．(1)求证：AC ＝BD ；(2)若大圆的半径R ＝10，小圆的半径r ＝8，且圆O 到直线AB 的距离为6，求AC 的长．3.(2015·遵义)如图，△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，交CA 的延长线于点E ，连接AD 、DE.(1)求证：D 是BC 的中点；(2)若DE ＝3，BD －AD ＝2，求⊙O 的半径；(3)在(2)的条件下，求弦AE 的长．类型2 与圆的切线有关的证明与计算(2015·黔东南)如图，已知PC 平分∠MPN，点O 是PC 上一点，PM 与⊙O 相切于点E ，⊙O 交PC 于A 、B 两点．(1)求证：PN 与⊙O 相切；(2)如果∠MPC＝30°，PE ＝23，求劣弧BE ︵的长．【思路点拨】 (1)连接OE ，过点O 作OF⊥PN 于点F ，证明OF ＝OE 即可；(2)要求劣弧BE ︵的长，就得先求∠BOE 的度数和⊙O 的半径，而这两者都不难从已知条件中得出．【解答】 (1)证明：连接OE ，过O 作OF⊥PN 于F.∵PM 与⊙O 相切于点E ，∴OE ⊥PM.又∵PC 平分∠MPN，OF ⊥PN ，∴OE ＝OF.∴PN 是⊙O 的切线．(2)在Rt △POE 中，∠MPC ＝30°，PE ＝23，∴OE ＝PE·tan ∠EPO ＝23×33＝2. ∵∠EOB 是△PEO 的外角，∴∠EOB ＝∠EPO ＋∠PEO＝30°＋90°＝120°，∴劣弧BE ︵的长＝n πr 180＝120·π·2180＝4π3.(1)证明切线常用方法：①有切点，连半径、证垂直； ②无切点，作垂线，证相等．(2)利用切线性质求线段长度策略：一般是连接过切点的半径，构造直角三角形，根据解直角三角形或利用勾股定理来解决问题，有时也会根据圆中相等的角，得到相似三角形，根据相似三角形相关性质来解决问题．1．(2015·六盘水)如图，在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，点O 是AC 边上的一点，以O 为圆心，OC 为半径的圆与AB 相切于点D ，连接OD.(1)求证：△ADO∽△ACB；若⊙O 的半径为1，求证：AC ＝AD·BC.于A 、B ，连接AC ，BC.(1)求证：∠PCA＝∠PBC；(2)利用(1)的结论，已知PA ＝3，PB ＝5，求PC 的长．3．(2014·安顺模拟)如图，在⊙O 中，AB 是直径，AD 是弦，∠ADE ＝60°，∠C ＝30°.(1)判断直线CD 是否为⊙O 的切线，并说明理由；(2)若AD ＝33，求⊙O 的直径．4．(2015·安顺)如图，等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ＝10，AB ＝12.以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，交AC 于点G ，DF ⊥AC ，垂足为F ，交CB 的延长线于点E.(1)求证：直线EF 是⊙O 的切线；(2)求cosE 的值．5．(2015·随州)如图，射线PA 切⊙O 于点A ，连接PO.(1)在PO 的上方作射线PC ，使∠OPC＝∠OPA(用尺规在原图中作，保留痕迹，不写作法)，并证明：PC 是⊙O 的切线；(2)在(1)的条件下，若PC 切⊙O 于点B ，AB ＝AP ＝4，求AB ︵的长．6.(2014·咸宁)如图，已知AB 是⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于点C ，AD ⊥CD 于点D.(1)求证：AC 平分∠DAB；(2)若点E 为AB ︵的中点，AD ＝325，AC ＝8，求AB 和CE 的长．7．(2015·遵义模拟) 如图，已知BC 是以AB 为直径的⊙O 的切线，且BC ＝AB ，连接OC 交⊙O 于点D ，延长AD 交BC 于点E ，F 为BE 上一点，且DF ＝FB.(1)求证：DF 是⊙O 的切线；(2)若BE ＝2，求⊙O 的半径．参考答案类型11.(1)证明：∵∠C＝∠P，∠1＝∠C，∴∠1＝∠P.∴CB∥PD.(2)连接AC.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.又∵CD⊥AB，∴BC ︵＝BD ︵.∴∠P ＝∠CAB，∴sin ∠CAB ＝35，即BC AB ＝35.又知BC ＝3，∴AB ＝5.∴⊙O 直径为5.∵AE ＝BE ，CE ＝DE.∴AE－CE ＝BE －DE ，即AC ＝BD.(2)连接OC ，OA ，过点O 作OE⊥AB 于点E ，则OE ＝6. ∴CE＝OC 2－OE 2＝82－62＝27，AE ＝OA 2－OE 2＝102－62＝8.∴AC＝AE －CE ＝8－27.3．(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴AD ⊥BD.又AB ＝AC ，∴BD ＝CD ，即D 是BC 的中点．(2)∵AB＝AC ，∴∠ABC ＝∠C.又∠ABC＝∠AED，∴∠C ＝∠AED.∴DE＝DC ＝3.∴BD＝DC ＝3.∴AD＝BD －2＝1.在Rt △ABD 中，AB ＝BD 2＋AD 2＝10.∴⊙O 的半径为102.(3)连接BE.易证△ADC∽△BEC，∴ACBC ＝DCEC ，即106＝3EC ，解得EC ＝9510.∴AE ＝EC －AC ＝4510.类型21.证明：(1)∵AB 是⊙O 的切线，∴OD ⊥AB.∴∠C ＝∠ADO＝90°.∵∠A ＝∠A，∴△ADO ∽△ACB.(2)由(1)知：△ADO∽△ACB.∴ADAC ＝ODBC ，即AD·BC＝AC·OD.∵OD＝1，∴AC ＝AD·BC.2．(1)证明：连接OC ，OA ，∵OC ＝OA ，∵PC是⊙O的切线，C为切点，∴PC⊥OC.∴∠PCO＝90°，∠PCA＋∠ACO＝90°. 在△AOC中，∠ACO＋∠CAO＋∠AOC＝180°，∵∠AOC＝2∠PBC，∴2∠ACO＋2∠PBC＝180°.∴∠ACO＋∠PBC＝90°.∵∠PCA＋∠ACO＝90°，∴∠PCA＝∠PBC.(2)∵∠PCA＝∠PBC，∠P＝∠P，∴△PAC∽△PCB.∴PCPA＝PBPC，即PC2＝PA·PB.∵PA＝3，PB＝5，∴PC＝3×5＝15.3．(1)CD是⊙O的切线．连接OD，BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵∠ADE＝∠A＋∠C，∠ADE＝60°，∠C＝30°，∴60°＝∠A＋30°，即∠A＝30°.∴AB＝2BD.∵AO＝DO，∴∠A＝∠ADO＝30°.∴∠ADE＋∠ADO＝∠EDO＝60°＋30°＝90°.∴OD⊥CE.∴CD是⊙O的切线．(2)设DB＝x，则AB＝2x，在Rt△ADB中，由勾股定理，得4x2－x2＝(33)2. 解得x＝3.∴AB＝6.∴⊙O的直径为6.4．(1)证明：连接OD、CD.∵BC是⊙O的直径，∴CD⊥AB.∵AC＝BC.∴D是AB的中点．又O为CB的中点，∴OD∥AC，∵EF⊥AC，∴EF⊥OD.∴EF是⊙O的切线．(2)连接BG.∵BC是⊙O的直径，∵AB·CD＝2S △ABC ＝AC·BG，∴BG ＝AB·CD AC ＝12×810＝485.∵BG ⊥AC ，DF ⊥AC ，∴BG ∥EF,∴∠E ＝∠CBG .∴cosE ＝cos ∠CBG ＝BG BC ＝2425.5(1)作图如图．证明：连接OA ，过O 作OB⊥PC 于点B.∵PA 切⊙O 于点A ，∴OA ⊥PA.又∵∠OPC＝∠OPA，OB ⊥PC ，∴OA ＝OB.∴PC 是⊙O 的切线．(2)∵PA、PC 是⊙O 的切线，∴PA ＝PB.又∵AB＝AP ＝4，∴△PAB 是等边三角形．∴∠APB＝60°.∴∠AOB ＝120°，∠POA ＝60°.在Rt △AOP 中，tan 60°＝4OA ，∴OA ＝433.∴lAB ︵＝120×433×π180＝839π.6．(1)证明：连接OC ，∵直线CD 与⊙O 相切于点C ，∴OC ⊥CD.∵AD ⊥CD ，∴OC ∥AD.∴∠DAC ＝∠OCA.∵OA＝OC ，∴∠OAC＝∠DAC，即AC平分∠DAB.(2)连接BC，OE，过点A作AF⊥EC于点F. ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠ACB＝∠ADC.∵∠DAC＝∠BAC，∴△ADC∽△ACB.∴ADAC＝ACAB，即3258＝8AB，解得AB＝10.∴BC＝AB2－AC2＝6，∵点E为AB︵的中点，∴∠AOE＝90°.∴OE＝OA＝12AB＝5，∴AE＝OA2＋OE2＝5 2.∵∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠ACB＝90°，∴△ACB∽△AFE，∴ABAE＝ACAF＝CBFE.∴1052＝8AF＝6FE.∴AF＝42，EF＝3 2.∵∠ACF＝12∠AOE＝45°，∴△ACF是等腰直角三角形．∴CF＝AF＝4 2.∴CE＝CF＋EF＝7 2.7．(1)证明：连接BD，∵BC是⊙O的切线，AB是直径，∴AB⊥BC.∴∠FBD＋∠OBD＝90°.∵DF＝FB，∴∠FDB＝∠FBD.∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD.∴∠FDB＋∠ODB＝∠FBD＋∠OBD＝90°，即OD⊥DF.∴DF是⊙O的切线．(2)∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∠FDB＋∠FDE＝∠FBD＋∠FED＝90°.∴∠FDE ＝∠FED.∴FD＝FE ＝FB ＝12BE ＝1. 在Rt △OBC 中，tan ∠OCB ＝OB BC ＝OB 2OB ＝12，在Rt △CDF 中，tan ∠OCB ＝DF CD， ∴DF CD ＝12. ∵DF ＝1，∴CD ＝2.在Rt △CDF 中，由勾股定理可得：CF ＝5，∴OB ＝12BC ＝5＋12，即⊙O 的半径是5＋12.。

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公司成功研发出版的《名校课堂》、《火线100天》等系列图书已经成为全国中小学教育类图书的一线品牌，每年有2000余万人次中小学生、98万余人次的教师、超过4.8万所学校使用本公司的图书，产品畅销不衰。

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公司宗旨：服务教师、服务教学、服务教育公司使命：以图书出版推动教育进步公司愿景：让每一位学生以较小的成本分享到高品质的教育《火线100天》数学数学2015年全国中考真题分类解析《火线100天》Word 版2015年全国中考真题荟萃2011-2015年河北省中考真题荟萃2013～2015年河北中考数学试题分析及2016年中考复习备战策略河北中考考点28讲第一单元数与式第二单元方程与不等式第三单元函数第四单元图形的初步认识与三角形第五单元四边形第六单元圆第七单元图形与变换第八单元统计与概率河北中考6大题型轻松搞定河北中考考点28讲第一单元数与式第1讲实数与实数运算第2讲整式及因式分解第3讲分式滚动小专题（一）数与式的计算单元测试（一）数与式河北中考考点28讲第二单元方程与不等式第4讲一次方程（组）第5讲分式方程第6讲一元一次不等式（组）第7讲一元二次方程滚动小专题（二）方程、不等式的解法滚动小专题（三）方程（组）、不等式的实际应用单元测试（二）方程与不等式河北中考考点28讲第三单元函数第8讲函数及其图象第9讲一次函数的图象和性质第10讲一次函数的实际应用第11讲反比例函数第12讲二次函数的图象和性质第13讲二次函数的实际应用滚动小专题（四）函数的图象和性质滚动小专题（五）函数的实际应用单元测试（三）函数（A卷）单元测试（三）函数（B卷）滚动阶段测试（一）1～3单元河北中考考点28讲第四单元图形的初步认识与三角形第14讲平面图形与相交线、平行线第15讲三角形的基本知识第16讲全等三角形第17讲等腰三角形和直角三角形第18讲图形的相似滚动小专题（六）三角形的有关计算与证明第19讲锐角三角函数及其应用滚动小专题（七）解直角三角形单元测试（四）图形的初步认识与三角形（A卷）单元测试（四）图形的初步认识与三角形（B卷）河北中考考点28讲第五单元四边形第20讲多边形与平行四边形第21讲特殊的平行四边形滚动小专题（八）四边形的有关计算与证明单元测试（五）四边形河北中考考点28讲第六单元圆第22讲圆的基本性质第23讲与圆有关的位置关系第24讲圆的有关计算滚动小专题（九）圆的有关计算与证明单元测试（六）圆河北中考考点28讲第七单元图形与变换第25讲图形的平移、对称、旋转与位似第26讲视图与尺规作图滚动小专题（十）与图形变换有关的证明与计算单元测试（七）图形变换滚动阶段测试（二）1～7单元河北中考考点28讲第八单元统计与概率第27讲统计第28讲概率滚动小专题（十一）统计与概率的应用单元测试（八）统计与概率滚动阶段测试（三）1～8单元河北中考6大题型轻松搞定专题复习（一）基本运算专题复习（二）数学思想方法专题复习（三）规律与猜想专题复习（四）函数问题专题复习（五）图形问题专题复习（六）河北压轴题专题复习（一）基本运算第1课时数式运算第2课时定义新运算或新概念专题复习（三）规律与猜想第1课时数式的规律第2课时图形的规律专题复习（四）函数问题第1课时函数基础知识第2课时函数的图象与性质1第3课时函数的图象与性质2第4课时函数的图象与性质3第5课时函数建模1第6课时函数建模2专题复习（五）图形问题第1课时图形的基本性质第2课时三角形全等第3课时解三角形与三角形相似第4课时四边形第5课时圆第6课时图形变换第7课时几何综合专题复习（六）河北压轴题第1课时动态问题1第2课时动态问题2第3课时动态问题3第4课时解决问题1第5课时解决问题2第6课时解决问题3。

中考《圆》有关的证明和计算圆是数学中的重要概念，它在几何学和代数学中都有广泛的应用。

本文将围绕圆的性质、定理和计算等方面展开，旨在帮助读者更好地理解和掌握圆的相关知识。

一、圆的定义和性质1.定义：平面上的圆是由一组与给定点的距离相等的点组成的几何体。

这个给定点称为圆心，与圆心距离相等的线段称为半径。

2.性质：（1）所有点到圆心的距离相等；（2）圆上的任意两点与圆心的距离相等；（3）半径相等的圆互为同心圆；（4）圆的直径是通过圆心的线段，且长度等于半径的两倍；（5）圆的周长是圆周上所有点之间的距离之和，用2πr表示（r为半径）；（6）圆的面积是圆所包围的平面区域的大小，用πr²表示。

二、圆的计算1.计算周长：圆的周长公式为：C=2πr，其中C表示周长，r表示半径。

例如，如果一个圆的半径为5，则周长C=2π×5=10π。

2.计算面积：圆的面积公式为：S=πr²，其中S表示面积，r表示半径。

例如，如果一个圆的半径为5，则面积S=π×5²=25π。

三、圆的相关定理1.弧长与圆心角的关系：在圆上，如果两个弧所对的圆心角相等，那么这两个弧的弧长也相等。

2.弦和弧对应角的关系：在圆上，如果两个弦所对的弧相等，那么这两个弦所对应的圆心角也相等；反之亦成立。

3.正交弦的性质：在圆上，如果一条弦和一条半径相交且相互垂直，那么这条弦被分成的两个弧是相等的。

4.切线与半径的垂直性：在圆上，从圆外一点引一条切线，这条切线与半径的连线相互垂直。

5.弦切角定理：在圆上，切线和半径之间的夹角等于所对的弦所对应的圆心角的一半。

6.切线定理：从圆外一点引两条切线，这两条切线的切点与该点连结的线段平分该点外接圆所对应的弦。

7.弦的垂直平分线：圆上一条弦与它的垂直平分线所在的直径垂直。

四、圆的证明1.圆心角相等的证明：设AB和CD是圆上的两条弧，且它们所对的圆心角相等。

要证明的是，这两条弧的弧长也相等。

第21讲圆的基本性质考点1 圆的有关概念圆的定义定义1：在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆.定义2：圆是到定点的距离①定长的所有点组成的图形.弦连接圆上任意两点的②叫做弦.直径直径是经过圆心的③，是圆内最④的弦.弧圆上任意两点间的部分叫做弧，弧有⑤之分，能够完全重合的弧叫做⑥.等圆能够重合的两个圆叫做等圆.同心圆圆心相同的圆叫做同心圆.考点2 圆的对称性圆的对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条经过⑦的直线.圆是中心对称图形，对称中心为⑧.垂径定理定理垂直于弦的直径⑨弦，并且平分弦所对的两条⑩.推论平分弦(不是直径)的直径⑪弦，并且⑫弦所对的两条弧.圆心角、弧、弦之间的关系在同圆或等圆中，如果两个圆心角﹑两条弧或两条弦中有一组量⑬，那么它们所对应的其余各组量也分别相等.考点3 圆周角圆周角的定义顶点在圆上，并且⑭都和圆相交的角叫做圆周角.圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的⑮.推论1 同弧或等弧所对的圆周角⑯.18.推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是○17；90°的圆周角所对的弦是○推论3 圆内接四边形的对角○19.【易错提示】由于圆中一条弦对两条弧以及圆内的两条平行弦可以在圆心的同侧和异侧两种情况，所以利用垂径定理计算时，有时要分情况讨论，不要漏解.1.注意在同圆或等圆中，弦、弧、圆心角和圆周角等量关系的互相转化；利用垂径定理进行计算或证明，通常利用半径、弦心距和弦的一半组成直角三角形求解.2.圆的性质的综合运用，要善于挖掘题中的隐含条件.命题点1 圆的有关概念例1 下列说法中，正确的是( )A.直径是弦方法归纳：解答这类试题的关键是结合图形理解圆的有关概念的内涵.1.如图，MN为⊙O的弦，∠M=30°，则∠MON等于( )°°°°2.(2014·长宁一模)下列说法中，结论错误的是( )D.一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧3.到定点O的距离为3 cm的点的集合是以点为圆心，为半径的圆.命题点2 垂径定理例2 (2014·某某改编)如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB，若AB=10，CD=8，求圆心O到弦CD的距离.【思路点拨】连接OC，由AB=10得出OC的长，再根据垂径定理求出CE的长，根据勾股定理求出OE即可. 【解答】方法归纳：利用垂径定理进行计算或证明时，通常利用半径、弦心距和弦的一半组成直角三角形求解.1.(2014·某某)如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为( )A.2B.4 C2.(2014·某某)如图，在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为.3.(2013·株洲)如图AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是.4.(2014·金山一模)如图，已知AB是⊙⊙O的半径.命题点3 圆心角、弧、弦之间的关系例3 (2013·某某)如图，在⊙O中，AB =AC，∠A＝30°，则∠B＝( )°°°°方法归纳：在求圆中角的度数时，通常要利用圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系进行求解.1.如图，已知AB是⊙O的直径，C、D是BE上的三等分点，∠AOE=60°，则∠COE是( )°°°°2.(2014·江北模拟)如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC=CD=DA=4 cm，则⊙O的周长为( )ππππ cm3.如图，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A=50°，则∠BOC等于度.4.(2013·松北一模)如图，在⊙O中，CD为⊙O的直径，AC=BC，点E为OD上任意一点(不与O、D重合).求证：AE=BE.命题点4 圆周角定理例4 (2013·某某)如图，AB是⊙O的直径，∠AOC=110°，则∠D=( )°°°°【思路点拨】因为AB是直径，所以∠BDA=90°，再根据同弧所对的圆心角与圆周角之间的关系可求得∠ADC的度数.方法归纳：在圆中，出现直径时，一般都联想到直径所对的圆周角是直角.圆周角与圆心角之间的转化也是解决问题的关键点.1.(2014·某某)如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OB，∠OBA=50°，则∠C的度数为( )°°°°2.(2014·某某)从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是( )3.(2014·某某)如图，AB为⊙O直径，CD为⊙O的弦，∠ACD=25°，∠BAD的度数为.4.如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D为AC上一点，∠ABC=∠BDC=60°，AC=3 cm，求△ABC的周长.1.(2013·某某)下列四个图中，∠x是圆周角的是( )2.(2014·某某)如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A=35°，则∠B的度数是( )°°°°3.下列四个命题：①等边三角形是中心对称图形；②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；③三角形有且只有一个外接圆；④垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧.其中真命题的个数有( )4.(2014·某某)如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于( )°°°°5.(2013·某某)某某是著名的桥乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8 m，桥拱半径OC为5 m，则水面宽AB为( )A.4 mB.5 mC.6 mD.8 m6.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝60°，AB＝AC＝2，则弦BC的长为( )A.3B.3C.237.(2014·某某A卷)如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是( )°°°°8.(2014·某某)如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，连接BC、BD，下列结论中不一定正确的是( )A.AE=BEB.AD=BDC.OE=DED.∠DBC=90°9.(2013·某某)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为( )A.95B.245C.185D.5210.(2014·某某)如图，已知三点A、B、C都在⊙O上，∠AOB=60°，∠ACB=.11.(2013·某某)在⊙O中，已知半径长为3，弦AB长为4，那么圆心O到AB的距离为.12.如图，AB为⊙O直径，点C、D在⊙O上，已知∠BOC=70°，AD∥OC，则∠AOD=.13.(2013·襄阳)如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1 m，其中水面的宽AB为0.8 m，则排水管内水的深度为.14.如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠CAO=25°，∠BCO=35°，则∠AOB=.15.如图，AB、CD是⊙O的弦，AB⊥CD，BE是⊙O的直径.若AC=3，则DE=.16.如图，□ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC=54°，连接AE，求∠AEB的度数.17.(2014·某某改编)已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D.如图，若BC 为⊙O的直径，AB＝6，求AC，BD,CD的长.18.(2014·某某)如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E.(1)若∠B=70°，求∠CAD的度数；(2)若AB=4，AC=3，求DE的长.19.(2014·某某)如图，已知点A，B，C在⊙O上,ACB为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是( )∠∠∠A D.∠B+∠C20.(2013·某某)如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的动点，在以下判断中，不正确的是( )A.当弦PB最长时，△APC是等腰三角形△APC是等腰三角形时，PO⊥AC⊥AC时，∠ACP=30°∠ACP=30°时，△BCP是直角三角形21.(2014·某某)如图，半径为6 cm的⊙O中，C、D为直径AB的三等分点，点E、F分别在AB两侧的半圆上，∠BCE=∠BDF=60°，连接AE、BF，则图中两个阴影部分的面积为cm2.22.在⊙O 中，AB 为直径，点C 为圆上一点，将劣弧沿弦AC 翻折交AB 于点D ，连接CD. (1)如图1，若点D 与圆心O 重合，AC ＝2，求⊙O 半径r ；(2)如图2，若点D 与圆心O 不重合，∠BAC ＝25°，请直接写出∠DCA 的度数.参考答案 考点解读①等于 ②线段 ③弦 ④长 ⑤优弧、半圆、劣弧 ⑥等弧 ⑦圆心 ⑧圆心 ⑨平分 ⑩弧 ⑪垂直于 ⑫平分 ⑬相等 ⑭两边 ⑮一半 ⑯相等 ○17直角 ○18直径 ○19互补 各个击破 例1A题组训练 1.D 2.B 3.O3 cm 例2连接OC.∵AB 为⊙O 的直径，AB=10，∴OC=5.∵CD ⊥AB ，CD=8，∴CE=4. ∴OE=22OC OE -=2254-=3. 题组训练 1.D 2.3 3.48° 4.连接OA ，过点O 作OD ⊥AB 于点D.∵AC=4，CB=8，∴AB=12. ∵OD ⊥AB ，∴AD=DB=6，∴CD=2. 在Rt △CDO 中，∠CDO=90°， ∴22OC CD -3在Rt △ADO 中，∠ADO=90°， 由勾股定理,得()22236+3，即⊙O 的半径是3. 例3B题组训练 1.C 2.D 3.40 4.证明：∵AC ＝BC ， ∴∠AOC=∠BOC ， ∴∠AOE=∠BOE. ∵OA 、OB 是⊙O 的半径， ∴OA=OB. 又OE=OE ，∴△AOE ≌△BOE(SAS)， ∴AE=BE. 例4B题组训练 1.B 2.B 3.65° 4.∵BC =BC ，∴∠BDC=∠BAC. ∵∠ABC=∠BDC=60°， ∠BDC=∠BAC ， ∴∠ABC=∠BAC=60°， ∴△ABC 为等边三角形. 又∵AC=3 cm ，∴△ABC 的周长为3×3=9(cm). 整合集训1.C2.C3.B4.C5.D6.C7.C8.C9.C 10.30° 11.5 12.40°13.m 14.120° 15.3 16.∵四边形ABCD 是平行四边形，∠ADC=54°， ∴∠B=∠ADC=54°.∵BE 为⊙O 的直径，∴∠BAE=90°. ∴∠AEB=90°-∠B=90°-54°=36°. 17.∵BC 是⊙O 的直径， ∴∠CAB=∠BDC=90°.在Rt △CAB 中，BC ＝10，AB ＝6, ∴AC=22BC AB -=22106-=8. ∵AD 平分∠OAB ，∴CD =BD ,∴CD=BD. 在Rt △BDC 中，BC=10,CD 2+BD 2=BC 2, ∴BD=CD=52.18.(1)∵OD ∥BC ，∴∠DOA=∠B=70°. 又∵OA=OD ，∴∠DAO=∠ADO=55°.∵AB 是直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB=20°. ∴∠CAD=35°.(2)在Rt △ACB 中，BC=22 AB AC -=7. ∵圆心O 是直径AB 的中点，OD ∥BC ，∴OE=12BC=72.又OD=12AB=2, ∴DE=OD-OE=2-72. 19.A 20.C21.611提示：如图作△DBF 的轴对称图形△CAG ，作AM ⊥CG ，ON ⊥CE ，∴△ACG ≌△BDF.∵∠ECB=∠BDF=∠ACG=60°， ∴G 、C 、E 三点共线.易求OC=2，ON=3，AM=23. ∵ON ⊥GE ，∴NE=GN=12GE. 连接OE ， 在Rt △ONE 中，22OE ON -226(3)-=33∴33 ∴S △AGE =12GE ·AM=12×333 11，∴图中两个阴影部分的面积为11 cm 2.22.(1)如图1，过点O 作OE ⊥AC 于E ，则AE=12AC=12×2=1.∵翻折后点D与圆心O重合，∴OE=12r.在Rt△AOE中，AO2=AE2+OE2，即r2=12+(12r)2，解得r=233.(2)如图2，连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB=90°.∵∠BAC=25°，∴∠B=65°.根据翻折的性质，AC所对的圆周角为∠B，ABC所对的圆周角为∠ADC，∴∠ADC+∠B=180°，∴∠B=∠CDB=65°，∴∠DCA=∠CDB-∠A=65°-25°=40°.。

中考数学复习---圆的相关证明与计算考点归纳考点01圆的有关概念1．与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．（6）弦心距：圆心到弦的距离．考点02垂径定理及其推论1．垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．2．推论（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．考点03圆心角、弧、弦的关系1．定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．2．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．考点04圆周角定理及其推论1．定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2．推论（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．（2）直径所对的圆周角是直角．考点05与圆有关的位置关系1．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d．(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d=r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外．判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．2．直线和圆的位置关系考点06切线的性质与判定1．切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点．（2）切线到圆心的距离等于圆的半径．（3）切线垂直于经过切点的半径．利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．2．切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．考点07三角形与圆1.三角形外接圆外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．2．三角形的内切圆内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．。

1.(2014·黄石)如图，A、B是圆O上的两点，∠AOB=120°，C是AB弧的中点.(1)求证：AB平分∠OAC；(2)延长OA至P使得OA=AP，连接PC，若圆O的半径R=1，求PC的长.2.(2014·昆明)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是边AC上的一点，连接BD，使∠A=2∠1，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若∠A=60°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积.(结果保留根号和π)3.(2014·东营)如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点E，且交⊙O于点D，F 是BA延长线上一点，若∠CDB=∠BFD.(1)求证：FD是⊙O的一条切线；(2)若AB=10，AC=8，求DF的长.4.(2013·丽水)如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F.(1)求证：BE=CE；(2)求∠CBF的度数；(3)(3)若AB=6，求AD的长.5.(2014·临沂)如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E.(1)证明：DE为⊙O的切线；(2)连接OE，若BC=4，求△OEC的面积.6.(2013·泸州)如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD. （1）求证：CD2=CA·CB；（2）求证：CD是⊙O的切线；（3）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=12，tan∠CDA=23.求BE的长.。