高二年级数学选修2-2 015-2(理)

高中数学选修2-2知识点总结第一章、导数1．函数的平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 注1：其中x ∆是自变量的改变量，平均变化率 可正，可负，可零。

注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或|'x x y =，即)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000.3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。

4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；5、常见的函数导数 函数 导函数 (1)y c ='y =0 (2)n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -=(3)x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a = (4)x y e ='x y e =(5)log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1'ln y x a =(6)ln y x = 1'y x=(7)sin y x = 'cos y x = (8)cos y x = 'sin y x =-6、常见的导数和定积分运算公式:若()f x ，()g x 均可导（可积），则有： 和差的导数运算[]'''()()()()f x g x f x g x ±=±积的导数运算[]'''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=±特别地：()()''Cf x Cf x =⎡⎤⎣⎦商的导数运算[]'''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦ 特别地：()()21'()'g x g x g x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦复合函数的导数x u x y y u '''=⋅微积分基本定理()baf x dx =⎰F(a)--F(b)（其中()()'F x f x =）和差的积分运算1212[()()]()()bb baaaf x f x dx f x dx f x dx±=±⎰⎰⎰ 特别地：()()()bbaakf x dx k f x dx k =⎰⎰为常数积分的区间可加性()()()()bc baacf x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰其中.用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f (x )的导数'()f x②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间； [注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。

新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答之南宫帮珍创作第一章 导数及其应用 3．1变动率与导数 练习（P6）在第3 h 和5 h 时, 原油温度的瞬时变动率分别为1-和3. 它说明在第3 h 附近, 原油温度年夜约以1 ℃／h 的速度下降；在第5 h 时, 原油温度年夜约以3 ℃／h 的速率上升. 练习（P8）函数()h t 在3t t =附近单调递增, 在4t t =附近单调递增. 而且, 函数()h t 在4t 附近比在3t 附近增加得慢. 说明：体会“以直代曲”1的思想. 练习（P9）函数()r V =(05)V ≤≤的图象为 根据图象, 估算出(0.6)0.3r '≈, (1.2)0.2r '≈.说明：如果没有信息技术, 教师可以将此图直接提供给学生, 然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数. 习题1.1 A 组（P10）1、在0t 处, 虽然1020()()W t W t =, 然而10102020()()()()W t W t t W t W t t t t--∆--∆≥-∆-∆.所以, 企业甲比企业乙治理的效率高.说明：平均变动率的应用, 体会平均变动率的内涵.2、(1)(1) 4.9 3.3h h t h t t t∆+∆-==-∆-∆∆, 所以, (1) 3.3h '=-. 这说明运带动在1t =s 附近以3.3 m ／s 的速度下降.3、物体在第5 s 的瞬时速度就是函数()s t 在5t =时的导数.(5)(5)10s s t s t t t∆+∆-==∆+∆∆, 所以, (5)10s '=. 因此, 物体在第5 s 时的瞬时速度为10 m ／s, 它在第5 s 的动能213101502k E =⨯⨯= J.4、设车轮转动的角度为θ, 时间为t , 则2(0)kt t θ=>.由题意可知, 那时0.8t =, 2θπ=. 所以258k π=, 于是2258t πθ=. 车轮转动开始后第3.2 s 时的瞬时角速度就是函数()t θ在 3.2t =时的导数.(3.2)(3.2)25208t t t t θθθππ∆+∆-==∆+∆∆, 所以(3.2)20θπ'=.因此, 车轮在开始转动后第3.2 s 时的瞬时角速度为20π1s -. 说明：第2,3,4题是对了解导数界说及熟悉其符号暗示的巩固. 5、由图可知, 函数()f x 在5x =-处切线的斜率年夜于零, 所以函数在5x =-附近单调递增. 同理可得, 函数()f x 在4x =-, 2-, 0, 2附近分别单调递增, 几乎没有变动, 单调递加, 单调递加. 说明：“以直代曲”思想的应用.6、第一个函数的图象是一条直线, 其斜率是一个小于零的常数, 因此, 其导数()f x '的图象如图（1）所示；第二个函数的导数()f x '恒年夜于零, 而且随着x 的增加, ()f x '的值也在增加；对第三个函数, 当x 小于零时, ()f x '小于零, 当x 年夜于零时, ()f x '年夜于零, 而且随着x 的增加, ()f x '的值也在增加. 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系. 习题3.1 B 组（P11）1、高度关于时间的导数刻画的是运动变动的快慢, 即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变动的快慢, 根据物理知识, 这个量就是加速度.2、说明：由给出的()v t 的信息获得()s t 的相关信息, 并据此画出()s t 的图象的年夜致形状. 这个过程基于对导数内涵的了解, 以及数与形之间的相互转换.3、由（1）的题意可知, 函数()f x 的图象在点(1,5)-处的切线斜率为1-, 所以此点附近曲线呈下降趋势. 首先画出切线的图象, 然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得（2）（3）某点处函数图象的年夜致形状. 下面是一种参考谜底.说明：这是一个综合性问题, 包括了对导数内涵、导数几何意义的了解, 以及对以直代曲思想的领悟. 本题的谜底不惟一.1．2导数的计算 练习（P18）1、()27f x x '=-, 所以, (2)3f '=-, (6)5f '=.2、（1）1ln 2y x '=； （2）2x y e '=； （3）4106y x x '=-； （4）3sin 4cos y x x '=--；（5）1sin 33x y '=-； （6）21y x '=-习题1.2 A 组（P18）1、()()2S S r r S r r r r rπ∆+∆-==+∆∆∆, 所以, 0()lim (2)2r S r r r r ππ∆→'=+∆=.2、()9.8 6.5h t t '=-+.3、3213()34r V V π'=4、（1）213ln 2y x x '=+； （2）1n x n x y nx e x e -'=+； （3）2323sin cos cos sin x x x x xy x-+'=； （4）9899(1)y x '=+； （5）2x y e -'=-； （6）2sin(25)4cos(25)y x x x '=+++.5、()822f x x '=-+. 由0()4f x '=有 04822x =-+, 解得032x =6、（1）ln 1y x '=+； （2）1y x =-.7、1xy π=-+.8、（1）氨气的散发速度()500ln0.8340.834t A t '=⨯⨯.（2）(7)25.5A '=-, 它暗示氨气在第7天左右时, 以25.5克／天的速率减少.习题1.2 B 组（P19） 1、（1）（2）当h 越来越小时, sin()sin x h xy h+-=就越来越迫近函数cos y x =.（3）sin y x =的导数为cos y x =.2、那时0y =, 0x =. 所以函数图象与x 轴交于点(0,0)P . x y e '=-, 所以01x y ='=-.所以, 曲线在点P 处的切线的方程为y x =-.2、()4sin d t t '=-. 所以, 上午6:00时潮水的速度为0.42-m ／h ；上午9:00时潮水的速度为0.63-m ／h ；中午12:00时潮水的速度为0.83-m ／h ；下午6:00时潮水的速度为 1.24-m ／h.1．3导数在研究函数中的应用 练习（P26）1、（1）因为2()24f x x x =-+, 所以()22f x x '=-.当()0f x '>, 即1x >时, 函数2()24f x x x =-+单调递增； 当()0f x '<, 即1x <时, 函数2()24f x x x =-+单调递加. （2）因为()x f x e x =-, 所以()1x f x e '=-.当()0f x '>, 即0x >时, 函数()x f x e x =-单调递增； 当()0f x '<, 即0x <时, 函数()x f x e x =-单调递加. （3）因为3()3f x x x =-, 所以2()33f x x '=-.当()0f x '>, 即11x -<<时, 函数3()3f x x x =-单调递增； 当()0f x '<, 即1x <-或1x >时, 函数3()3f x x x =-单调递加. （4）因为32()f x x x x =--, 所以2()321f x x x '=--.当()0f x '>, 即13x <-或1x >时, 函数32()f x x x x =--单调递增；当()0f x '<, 即113x -<<时, 函数32()f x x x x =--单调递加. 2、3、因为2()(0)f x ax bx c a =++≠, 所以()2f x ax b '=+. （1）那时0a >,()0f x '>, 即2bx a >-时, 函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增； ()0f x '<, 即2bx a<-时, 函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递加.（2）那时0a <,()0f x '>, 即2bx a <-时, 函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增；()0f x '<, 即2bx a>-时, 函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递加.4、证明：因为32()267f x x x =-+, 所以2()612f x x x '=-.那时(0,2)x ∈, 2()6120f x x x '=-<,因此函数32()267f x x x =-+在(0,2)内是减函数. 练习（P29）1、24,x x 是函数()y f x =的极值点,其中2x x =是函数()y f x =的极年夜值点, 4x x =是函数()y f x =的极小值点.注：图象形状不惟一.2、（1）因为2()62f x x x =--, 所以()121f x x '=-. 令()1210f x x '=-=, 得112x =. 那时112x >, ()0f x '>, ()f x 单调递增；那时112x <, ()0f x '<, ()f x 单调递加.所以, 那时112x =, ()f x 有极小值, 而且极小值为211149()6()212121224f =⨯--=-. （2）因为3()27f x x x =-, 所以2()327f x x '=-.令2()3270f x x '=-=, 得3x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>, 即3x <-或3x >时；②当()0f x '<, 即33x -<<时. 当x 变动时, ()f x ', ()f x 变动情况如下表：因此, 3x =-()f x 那时3x =, ()f x 有极小值, 而且极小值为54-. （3）因为3()612f x x x =+-, 所以2()123f x x '=-. 令2()1230f x x '=-=, 得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>, 即22x -<<时；②当()0f x '<, 即2x <-或2x >时. 当x 变动时, ()f x ', ()f x 变动情况如下表：因此, 2x =-()f x 10- 那时2x =, ()f x 有极年夜值, 而且极年夜值为22 （4）因为3()3f x x x =-, 所以2()33f x x '=-. 令2()330f x x '=-=, 得1x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>, 即11x -<<时；②当()0f x '<, 即1x <-或1x >时. 当x 变动时, ()f x ', ()f x 变动情况如下表：因此, 那时1x =-, ()f x 有极小值, 而且极小值为2-； 那时1x =, ()f x 有极年夜值, 而且极年夜值为2 练习（P31）（1）在[0,2]上, 那时112x =, 2()62f x x x =--有极小值, 而且极小值为149()1224f =-. 又由于(0)2f =-, (2)20f =.因此, 函数2()62f x x x =--在[0,2]上的最年夜值是20、最小值是4924-. （2）在[4,4]-上, 那时3x =-, 3()27f x x x =-有极年夜值, 而且极年夜值为(3)54f -=；那时3x =, 3()27f x x x =-有极小值, 而且极小值为(3)54f =-； 又由于(4)44f -=, (4)44f =-.因此, 函数3()27f x x x =-在[4,4]-上的最年夜值是54、最小值是54-.（3）在1[,3]3-上, 那时2x =, 3()612f x x x =+-有极年夜值, 而且极年夜值为(2)22f =. 又由于155()327f -=, (3)15f =. 因此, 函数3()612f x x x =+-在1[,3]3-上的最年夜值是22、最小值是5527. （4）在[2,3]上, 函数3()3f x x x =-无极值.因为(2)2f =-, (3)18f =-.因此, 函数3()3f x x x =-在[2,3]上的最年夜值是2-、最小值是18-.习题1.3 A 组（P31）1、（1）因为()21f x x =-+, 所以()20f x '=-<. 因此, 函数()21f x x =-+是单调递加函数.（2）因为()cos f x x x =+, (0,)2x π∈, 所以()1sin 0f x x '=->,(0,)2x π∈.因此, 函数()cos f x x x =+在(0,)2π上是单调递增函数.（3）因为()24f x x =--, 所以()20f x '=-<.因此, 函数()24f x x =-是单调递加函数. （4）因为3()24f x x x =+, 所以2()640f x x '=+>. 因此, 函数3()24f x x x =+是单调递增函数. 2、（1）因为2()24f x x x =+-, 所以()22f x x '=+.当()0f x '>, 即1x >-时, 函数2()24f x x x =+-单调递增. 当()0f x '<, 即1x <-时, 函数2()24f x x x =+-单调递加. （2）因为2()233f x x x =-+, 所以()43f x x '=-.当()0f x '>, 即34x >时, 函数2()233f x x x =-+单调递增.当()0f x '<, 即34x <时, 函数2()233f x x x =-+单调递加.（3）因为3()3f x x x =+, 所以2()330f x x '=+>.因此, 函数3()3f x x x =+是单调递增函数. （4）因为32()f x x x x =+-, 所以2()321f x x x '=+-.当()0f x '>, 即1x <-或13x >时, 函数32()f x x x x =+-单调递增. 当()0f x '<, 即113x -<<时, 函数32()f x x x x =+-单调递加. 3、（1）图略. （2）加速度即是0.4、（1）在2x x =处, 导函数()y f x '=有极年夜值； （2）在1x x =和4x x =处, 导函数()y f x '=有极小值； （3）在3x x =处, 函数()y f x =有极年夜值； （4）在5x x =处, 函数()y f x =有极小值.5、（1）因为2()62f x x x =++, 所以()121f x x '=+. 令()1210f x x '=+=, 得112x =-. 那时112x >-, ()0f x '>, ()f x 单调递增； 那时112x <-, ()0f x '<, ()f x 单调递加.所以, 112x =-时, ()f x 有极小值, 而且极小值为211149()6()212121224f -=⨯---=-.（2）因为3()12f x x x =-, 所以2()312f x x '=-.令2()3120f x x '=-=, 得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>, 即2x <-或2x >时；②当()0f x '<, 即22x -<<时.当x 变动时, ()f x ', ()f x 变动情况如下表：因此, 2x =-()f x 那时2x =, ()f x 有极小值, 而且极小值为16-. （3）因为3()612f x x x =-+, 所以2()123f x x '=-+. 令2()1230f x x '=-+=, 得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>, 即2x <-或2x >时；②当()0f x '<, 即22x -<<时. 当x 变动时, ()f x ', ()f x 变动情况如下表：因此, 2x =-()f x 那时2x =, ()f x 有极小值, 而且极小值为10-. （4）因为3()48f x x x =-, 所以2()483f x x '=-. 令2()4830f x x '=-=, 得4x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>, 即2x <-或2x >时；②当()0f x '<, 即22x -<<时. 当x 变动时, ()f x ', ()f x 变动情况如下表：因此, 4x =-()f x 128- 那时4x =, ()f x 有极年夜值, 而且极年夜值为128. 6、（1）在[1,1]-上, 那时112x =-, 函数2()62f x x x =++有极小值,而且极小值为4724. 由于(1)7f -=, (1)9f =,所以, 函数2()62f x x x =++在[1,1]-上的最年夜值和最小值分别为9,4724. （2）在[3,3]-上, 那时2x =-, 函数3()12f x x x =-有极年夜值, 而且极年夜值为16；那时2x =, 函数3()12f x x x =-有极小值, 而且极小值为16-. 由于(3)9f -=, (3)9f =-,所以, 函数3()12f x x x =-在[3,3]-上的最年夜值和最小值分别为16, 16-.（3）在1[,1]3-上, 函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上无极值. 由于1269()327f -=, (1)5f =-, 所以, 函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上的最年夜值和最小值分别为26927, 5-.（4）那时4x =, ()f x 有极年夜值, 而且极年夜值为128.. 由于(3)117f -=-, (5)115f =,所以, 函数3()48f x x x =-在[3,5]-上的最年夜值和最小值分别为128, 117-.习题3.3 B 组（P32）1、（1）证明：设()sin f x x x =-, (0,)x π∈. 因为()cos 10f x x '=-<, (0,)x π∈所以()sin f x x x =-在(0,)π内单调递加因此()sin (0)0f x x x f =-<=, (0,)x π∈, 即sin x x <, (0,)x π∈. 图略（2）证明：设2()f x x x =-, (0,1)x ∈. 因为()12f x x '=-, (0,1)x ∈所以, 那时1(0,)2x ∈, ()120f x x '=->, ()f x 单调递增,2()(0)0f x x x f =->=；那时1(,1)2x ∈, ()120f x x '=-<, ()f x 单调递加,2()(1)0f x x x f =->=；又11()024f =>. 因此, 20x x ->, (0,1)x ∈. 图略（3）证明：设()1x f x e x =--, 0x ≠. 因为()1x f x e '=-, 0x ≠所以, 那时0x >, ()10x f x e '=->, ()f x 单调递增, ()1(0)0x f x e x f =-->=；那时0x <, ()10x f x e '=-<, ()f x 单调递加, ()1(0)0x f x e x f =-->=；综上, 1x e x ->, 0x ≠. 图略（4）证明：设()ln f x x x =-, 0x >. 因为1()1f x x'=-, 0x ≠所以, 那时01x <<, 1()10f x x'=->, ()f x 单调递增,()ln (1)10f x x x f =-<=-<；那时1x >, 1()10f x x'=-<, ()f x 单调递加,()ln (1)10f x x x f =-<=-<；那时1x =, 显然ln11<. 因此, ln x x <. 由（3）可知, 1x e x x >+>, 0x >. . 综上, ln x x x e <<, 0x >图略2、（1）函数32()f x ax bx cx d =+++的图象年夜致是个“双峰”图象, 类似“”或“”的形状. 若有极值, 则在整个界说域上有且仅有一个极年夜值和一个极小值, 从图象上能年夜致估计它的单调区间.（2）因为32()f x ax bx cx d =+++, 所以2()32f x ax bx c '=++. 下面分类讨论：那时0a ≠, 分0a >和0a <两种情形： ①当0a >, 且230b ac ->时,设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x , 且12x x <,当2()320f x ax bx c '=++>, 即1x x <或2x x >时, 函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增；当2()320f x ax bx c '=++<, 即12x x x <<时, 函数32()f x ax bx cx d =+++单调递加.当0a >, 且230b ac -≤时,此时2()320f x ax bx c '=++≥, 函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增. ②当0a <, 且230b ac ->时,设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x , 且12x x <,当2()320f x ax bx c '=++>, 即12x x x <<时, 函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增；当2()320f x ax bx c '=++<, 即1x x <或2x x >时, 函数32()f x ax bx cx d =+++单调递加. 当0a <, 且230b ac -≤时,此时2()320f x ax bx c '=++≤, 函数32()f x ax bx cx d =+++单调递加 1．4生活中的优化问题举例 习题1.4 A 组（P37）1、设两段铁丝的长度分别为x , l x -, 则这两个正方形的边长分别为4x ,4l x-, 两个正方形的面积和为 22221()()()(22)4416x l x S f x x lx l -==+=-+, 0x l <<.令()0f x '=, 即420x l -=, 2lx =.那时(0,)2l x ∈, ()0f x '<；那时(,)2lx l ∈, ()0f x '>.因此, 2lx =是函数()f x 的极小值点, 也是最小值点.所以, 当两段铁丝的长度分别是2l时, 两个正方形的面积和最小.2、如图所示, 由于在边长为a四个边长为x 的小正方形, 做成一个无盖方盒, 盖方盒的底面为正方形, 且边长为2a x -, 高为x （1）无盖方盒的容积2()(2)V x a x x =-,02ax <<. （2）因为322()44V x x ax a x =-+, 所以22()128V x x ax a '=-+.令()0V x '=, 得2a x =（舍去）, 或6ax =. 那时(0,)6a x ∈, ()0V x '>；那时(,)62a ax ∈, ()0V x '<.因此, 6ax =是函数()V x 的极年夜值点, 也是最年夜值点.所以, 那时6ax =, 无盖方盒的容积最年夜.3、如图, 设圆柱的高为h , 底半径为R , 则概况积222S Rh R ππ=+ 由2V R h π=, 得2Vh R π=. 因此, 2222()222V VS R R R R R Rππππ=+=+, 0R >.令2()40V S R R R π'=-+=, 解得R =.那时R ∈, ()0S R '<； 那时)R ∈+∞, ()0S R '>. （第2题）（第3题）因此, R =是函数()S R 的极小值点, 也是最小值点. 此时,22V h R R π===. 所以, 当罐高与底面直径相等时, 所用资料最省.4、证明：由于211()()n i i f x x a n ==-∑, 所以12()()n i i f x x a n ='=-∑.令()0f x '=, 得11ni i x a n ==∑,可以获得, 11ni i x a n ==∑是函数()f x 的极小值点, 也是最小值点.这个结果说明, 用n 个数据的平均值11nii a n =∑暗示这个物体的长度是合理的,这就是最小二乘法的基来源根基理. 5、设矩形的底宽为x m, 则半圆的半径为2x m, 半圆的面积为28x π2m ,矩形的面积为28x a π-2m , 矩形的另一边长为()8a xx π-m 因此铁丝的长为22()(1)244x a x a l x x x x x πππ=++-=++, 0x <<令22()104a l x x π'=+-=,得x =.那时x ∈, ()0l x '<；那时x ∈, ()0l x '>. 因此, x =()l x 的极小值点, 也是最小值点.所以,时, 所用资料最省.6、利润L 即是收入R 减去本钱C , 而收入R 即是产量乘单价.由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式, 再用导数求最年夜利润.收入211(25)2588R q p q q q q =⋅=-=-,利润2211(25)(1004)2110088L R C q q q q q =-=--+=-+-, 0200q <<.求导得1214L q '=-+令0L '=, 即12104q -+=, 84q =.那时(0,84)q ∈, 0L '>；那时(84,200)q ∈, 0L '<；因此, 84q =是函数L 的极年夜值点, 也是最年夜值点. 所以, 产量为84时, 利润L 最年夜, 习题1.4 B 组（P37）1、设每个房间每天的订价为x 元, 那么宾馆利润21801()(50)(20)7013601010x L x x x x -=--=-+-,180680x <<.令1()7005L x x '=-+=, 解得350x =.那时(180,350)x ∈, ()0L x '>；那时(350,680)x ∈, ()0L x '>.因此, 350x =是函数()L x 的极年夜值点, 也是最年夜值点. 所以, 当每个房间每天的订价为350元时, 宾馆利润最年夜. 2、设销售价为x 元／件时,利润4()()(4)()(5)b x L x x a c cc x a x b b-=-+⨯=--, 54b a x <<.令845()0c ac bcL x x b b+'=-+=, 解得458a b x +=.那时45(,)8a b x a +∈, ()0L x '>；那时455(,)84a b bx +∈, ()0L x '<. 当458a bx +=是函数()L x 的极年夜值点, 也是最年夜值点.所以, 销售价为458a b+元／件时, 可获得最年夜利润.1．5定积分的概念练习（P42）83. 说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步伐, 体会“以直代曲”和“迫近”的思想. 练习（P45）1、22112()[()2]()i i ii i s s v t n n n nn n'∆≈∆=∆=-+⋅=-⋅+⋅, 1,2,,i n =.于是 111()n n ni i i i i is s s v t n ==='=∆≈∆=∆∑∑∑取极值, 得说明：进一步体会“以不变代变”和“迫近”的思想. 2、223km. 说明：进一步体会“以不变代变”和“迫近”的思想, 熟悉求变速直线运植物体路程的方法和步伐. 练习（P48） 2304x dx =⎰. 说明：进一步熟悉定积分的界说和几何意义.从几何上看, 暗示由曲线3y x =与直线0x =, 2x =, 0y =所围成的曲边梯形的面积4S =. 习题1.5 A 组（P50）1、（1）10021111(1)[(1)1]0.495100100i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰； （2）50021111(1)[(1)1]0.499500500i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰；（3）100021111(1)[(1)1]0.499510001000i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰.说明：体会通过分割、近似替换、求和获得定积分的近似值的方法.2、距离的缺乏近似值为：18112171310140⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（m ）； 距离的过剩近似值为：271181121713167⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（m ）.3、证明：令()1f x =. 用分点 011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间, 在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ=作和式 11()n ni i i b af x b a n ξ==-∆==-∑∑, 从而 11lim n b a n i b adx b a n →∞=-==-∑⎰, 说明：进一步熟悉定积分的概念.4、根据定积分的几何意义, 0⎰暗示由直线0x =, 1x =,0y =以及曲线y , 即四分之一单元圆的面积,因此04π=⎰. 5、（1）03114x dx -=-⎰.由于在区间[1,0]-上30x ≤, 所以定积分031x dx -⎰暗示由直线0x =,1x =-, 0y =和曲线3y x =所围成的曲边梯形的面积的相反数.（2）根据定积分的性质, 得10133311011044x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰.由于在区间[1,0]-上30x ≤, 在区间[0,1]上30x ≥, 所以定积分131x dx-⎰即是位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.（3）根据定积分的性质, 得22333110115444x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰ 由于在区间[1,0]-上30x ≤, 在区间[0,2]上30x ≥, 所以定积分231x dx -⎰即是位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.说明：在（3）中, 由于3x 在区间[1,0]-上是非正的, 在区间[0,2]上是非负的, 如果直接利用界说把区间[1,2]-分成n 等份来求这个定积分, 那么和式中既有正项又有负项, 而且无法抵抗一些项, 求和会非常麻烦. 利用性质3可以将定积分231x dx -⎰化为023310x dx x dx -+⎰⎰, 这样, 3x 在区间[1,0]-和区间[0,2]上的符号都是不变的, 再利用定积分的界说, 容易求出031x dx -⎰, 230x dx ⎰, 进而获得定积分231x dx -⎰的值. 由此可见, 利用定积分的性质可以化简运算.在（2）（3）中, 被积函数在积分区间上的函数值有正有负, 通过练习进一步体会定积分的几何意义. 习题1.5 B 组（P50）1、该物体在0t =到6t =（单元：s ）之间走过的路程年夜约为145 m.说明：根据定积分的几何意义, 通过估算曲边梯形内包括单元正方形的个数来估计物体走过的路程. 2、（1）9.81v t =.（2）过剩近似值：8111899.819.8188.292242i i =⨯⨯⨯=⨯⨯=∑（m ）；缺乏近似值：81111879.819.8168.672242i i =-⨯⨯⨯=⨯⨯=∑（m ）（3）409.81tdt ⎰； 409.81d 78.48t t =⎰（m ）.3、（1）分割在区间[0,]l 上等间隔地拔出1n -个分点, 将它分成n 个小区间：[0,]l n , 2[,]l l n n , ……, (2)[,]n l l n-,记第i 个区间为(1)[,]i l iln n-（1,2,i n =）, 其长度为 (1)il i l l x n n n -∆=-=.把细棒在小段[0,]l n , 2[,]l l n n , ……, (2)[,]n ll n-上质量分别记作：12,,,n m m m ∆∆∆,则细棒的质量1ni i m m ==∆∑.（2）近似取代当n 很年夜, 即x ∆很小时, 在小区间(1)[,]i l iln n-上, 可以认为线密度2()x x ρ=的值变动很小, 近似地即是一个常数, 无妨认为它近似地即是任意一点(1)[,]i i l iln nξ-∈处的函数值2()i i ρξξ=. 于是, 细棒在小段(1)[,]i l il n n -上质量 2()i i i lm x nρξξ∆≈∆=（1,2,i n =）. （3）求和得细棒的质量 2111()n n ni i i i i i lm m x n ρξξ====∆≈∆=∑∑∑.（4）取极限细棒的质量 21lim ni n i lm n ξ→∞==∑, 所以20l m x dx =⎰.. 1．6微积分基本定理 练习（P55）（1）50； （2）503； （3）533-； （4）24； （5）3ln 22-； （6）12； （7）0； （8）2-. 说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.习题1.6 A 组（P55）1、（1）403； （2）13ln 22--； （3）9ln 3ln 22+-； （4）176-； （5）2318π+； （6）22ln 2e e --. 说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.2、3300sin [cos ]2xdx x ππ=-=⎰.它暗示位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积与x 轴下方的曲边梯形的面积之差. 或表述为：位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积（取正值）与x 轴下方的曲边梯形的面积（取负值）的代数和. 习题1.6 B 组（P55） 1、（1）原式＝221011[]222x e e =-； （2）原式＝4611[sin 2]22x ππ=； （3）原式＝3126[]ln 2ln 2x =.2、（1）cos 1sin [][cos cos()]0mx mxdx m m m mππππππ--=-=---=⎰； （2）sin 1cos [sin sin()]0mx mxdx m m m mππππππ--=|=--=⎰； （3）21cos 2sin 2sin []224mx x mx mxdx dx mπππππππ----==-=⎰⎰； （4）21cos 2sin 2cos []224mx x mx mxdx dx mπππππππ---+==+=⎰⎰. 3、（1）0.202220()(1)[]49245245tkt kt t kt t g g g g g gs t e dt t e t e t e k k k k k k----=-=+=+-=+-⎰. （2）由题意得 0.2492452455000t t e -+-=.这是一个超越方程, 为了解这个方程, 我们首先估计t 的取值范围.根据指数函数的性质, 那时0t >, 0.201t e -<<, 从而 5000495245t <<,因此,500052454949t <<. 因此50000.2749245 3.3610e-⨯-≈⨯, 52450.2749245 1.2410e -⨯-≈⨯, 所以, 70.271.2410245 3.3610t e ---⨯<<⨯.从而, 在解方程0.2492452455000t t e -+-=时, 0.2245t e -可以忽略不计.因此, .492455000t -≈, 解之得 524549t ≈（s ）. 说明：B 组中的习题涉及到被积函数是简单的复合函数的定积分, 可视学生的具体情况选做, 不要求掌握. 1．7定积分的简单应用 练习（P58） （1）323； （2）1. 说明：进一步熟悉应用定积分求平面图形的面积的方法与求解过程.练习（P59）1、52533(23)[3]22s t dt t t =+=+=⎰（m ）.2、42403(34)[4]402W x dx x x =+=+=⎰（J ）. 习题1.7 A 组（P60） 1、（1）2； （2）92.2、2[]bb a a q q q q W kdr k k k r r a b==-=-⎰. 3、令()0v t =, 即40100t -=. 解得4t =. 即第4s 时物体到达最年夜高度.最年夜高度为 42400(4010)[405]80h t dt t t =-=-=⎰（m ）. 4、设t s 后两物体相遇, 则 200(31)105ttt dt tdt +=+⎰⎰,解之得5t =. 即,A B 两物体5s 后相遇.此时, 物体A 离动身地的距离为 523500(31)[]130t dt t t +=+=⎰（m ）. 5、由F kl =, 得100.01k =. 解之得1000k =.所做的功为 0.120.10010005005W ldl l ==|=⎰（J ）. 6、（1）令55()501v t t t=-+=+, 解之得10t =. 因此, 火车经过10s后完全停止. （2）1021000551(5)[555ln(1)]55ln1112s t dt t t t t =-+=-++=+⎰（m ）. 习题1.7 B组（P60）1、（1）22aa a x dx --⎰暗示圆222x y a +=与x 轴所围成的上 半圆的面积, 因此2222aa a a x dx π--=⎰（2）120[1(1)]x x dx ---⎰暗示圆22(1)1x y -+=与直线y x =所围成的图形（如图所示）的面积,因此, 2120111[1(1)]114242x x dx ππ⨯---=-⨯⨯=-⎰. 2、证明：建立如图所示的平面直角坐标系, 可设抛物线的 方程为2y ax =, 则2()2b h a =⨯, 所以24h a b =.从而抛物线的方程为 224h y x b =. 于是, 抛物线拱的面积232202204422()2[]33b b h h S h x dx hx x bh b b =-=-=⎰.y xO1（第1（2）题）y x h bO（第2题）223y x y x⎧=+⎨=⎩ 得曲线22y x =+与曲线3y x =交点的横坐标11x =, 22x =. 于是, 所求的面积为122201[(2)3][3(2)]1x x dx x x dx +-+-+=⎰⎰.4、证明：2[]()R hR h R R Mm Mm MmhW Gdr G G r r R R h ++==-=+⎰. 第一章 复习参考题A 组（P65）1、（1）3； （2）4y =-.2、（1）22sin cos 2cos x x x y x +'=； （2）23(2)(31)(53)y x x x '=-+-； （3）22ln ln 2x xy x x '=+； （4）2422(21)x x y x -'=+.3、32GMmF r'=-.4、（1）()0f t '<. 因为红茶的温度在下降.（2）(3)4f '=-标明在3℃附近时, 红茶温度约以4℃／min 的速度下降. 图略.5、因为()f x =所以()f x '=.当()0f x '=>, 即0x >时, ()f x 单调递增；当()0f x '=<, 即0x <时, ()f x 单调递加.6、因为2()f x x px q =++, 所以()2f x x p '=+.当()20f x x p '=+=, 即12px =-=时, ()f x 有最小值.由12p-=, 得2p =-. 又因为(1)124f q =-+=, 所以5q =.7、因为2322()()2f x x x c x cx c x =-=-+,所以22()34(3)()f x x cx c x c x c '=-+=--.当()0f x '=, 即3c x =, 或x c =时, 函数2()()f x x x c =-可能有极值. 由题意那时2x =, 函数2()()f x x x c =-有极年夜值, 所以0c >. 由于所以那时3cx =函数2()()f x x x c =-有极年夜值. 此时, 23c=, 6c =.8、设当点A 的坐标为(,0)a 时, AOB ∆的面积最小.因为直线AB 过点(,0)A a , (1,1)P ,所以直线AB 的方程为001y x ax a--=--, 即1()1y x a a=--. 那时0x =, 1a y a =-, 即点B 的坐标是(0,)1aa -. 因此, AOB ∆的面积21()212(1)AOB a a S S a a a a ∆===--. 令()0S a '=, 即2212()02(1)a aS a a -'=⋅=-. 当0a =, 或2a =时, ()0S a '=, 0a =分歧题意舍去. 由于所以当2a =即直线AB 的倾斜角为135︒时, AOB ∆的面积最小, 最小面积为2. 9、D .10、设底面一边的长为x m, 另一边的长为(0.5)x +m. 因为钢条长为14.8m.所以, 长方体容器的高为14.844(0.5)12.88 3.2244x x xx --+-==-.设容器的容积为V , 则32()(0.5)(3.22)2 2.2 1.6V V x x x x x x x ==+-=-++, 0 1.6x <<.令()0V x '=, 即26 4.4 1.60x x -++=.所以, 415x =-（舍去）, 或1x =. 那时(0,1)x ∈, ()0V x '>；那时(1,1.6)x ∈, ()0V x '<.因此, 1x =是函数()V x 在(0,1.6)的极年夜值点, 也是最年夜值点. 所以, 当长方体容器的高为1 m 时, 容器最年夜, 最年夜容器为1.8 m 3.11、设旅游团人数为100x +时,旅行社费用为2()(100)(10005)5500100000y f x x x x ==+-=-++(080)x ≤≤. 令()0f x '=, 即105000x -+=, 50x =.又(0)100000f =, (80)108000f =, (50)112500f =. 所以, 50x =是函数()f x 的最年夜值点.所以, 当旅游团人数为150时, 可使旅行社收费最多.12、设打印纸的长为x cm 时, 可使其打印面积最年夜.因为打印纸的面积为623.7, 长为x , 所以宽为623.7x ,打印面积623.7()(2 2.54)(2 3.17)S x x x =-⨯-⨯ 23168.396655.9072 6.34x x =--, 5.0898.38x <<. 令()0S x '=, 即23168.3966.340x -=, 22.36x ≈（负值舍去）, 623.727.8922.36≈. 22.36x =是函数()S x 在(5.08,98.38)内唯一极值点, 且为极年夜值, 从而是最年夜值点.所以, 打印纸的长、宽分别约为27.89cm, 22.36cm 时, 可使其打印面积最年夜.13、设每年养q 头猪时, 总利润为y 元.则 21()20000100300200002y R q q q q =--=-+-(0400,)q q N <≤∈.令0y '=, 即3000q -+=, 300q =. 那时300q =, 25000y =；那时400q =, 20000y =.300q =是函数()y p 在(0,400]内唯一极值点, 且为极年夜值点, 从而是最年夜值点.所以, 每年养300头猪时, 可使总利润最年夜, 最年夜总利润为25000元.14、（1）2； （2）22e -； （3）1；（4）原式＝22222000cos sin (cos sin )[sin cos ]0cos sin x x dx x x dx x x x x πππ-=-=+=+⎰⎰；（5）原式＝22001cos sin 2[]224x x x dx πππ---==⎰. 15、略. 说明：利用函数图象的对称性、定积分的几何意义进行解释.16、2.17、由F kl =, 得0.0490.01k =. 解之得 4.9k =.所做的功为 20.30.30.10.14.9 4.90.1962l W ldl ==⨯|=⎰（J ） 第一章 复习参考题B 组（P66） 1、（1）43()10210b t t '=-⨯. 所以, 细菌在5t =与10t =时的瞬时速度分别为0和410-.（2）那时05t ≤<, ()0b t '>, 所以细菌在增加； 那时55t <<+, ()0b t '<, 所以细菌在减少.2、设扇形的半径为r , 中心角为α弧度时, 扇形的面积为S . 因为212S r α=, 2l r r α-=, 所以2l rα=-.222111(2)(2)222l S r r lr r r α==-=-, 02l r <<. 令0S '=, 即40l r -=, 4l r =, 此时α为2弧度. 4l r =是函数()S r 在(0,)2l 内唯一极值点, 且是极年夜值点, 从而是最年夜值点.所以, 扇形的半径为4l 、中心角为2弧度时, 扇形的面积最年夜. 3、设圆锥的底面半径为r , 高为h , 体积为V , 那么222r h R +=.因此, 222231111()3333V r h R h h R h h ππππ==-=-, 0h R <<.令22103V R h ππ'=-=, 解得3h R =.容易知道, h R =是函数()V h 的极年夜值点, 也是最年夜值点.。