选修 2-2 综合测试题 2
一、选择题
1．在数学归纳法证明“ 1 a
a 2
a n
1 a n 1 (a 1， n N ) ”时，验证当 n 1 时，等式的左
1 a
边为（ ）
Ａ． 1
Ｂ． 1 a
Ｃ． 1 a
Ｄ． 1 a 2
2．已知三次函数 f ( x) 1 x 3 (4 m 1)x 2
(15m 2
2m 7) x 2在 x ( ∞ ， ∞ ) 上是增函数，则 m 的
3
取值范围为（ ）
Ａ． m 2 或 m
4
Ｂ． 4 m
2
Ｃ． 2 m 4 Ｄ．以上皆不正确
3．设 f ( x) ( ax b)sin x (cx d )cos x ，若 f ( x)
x cosx ，则 a ， b ， c ， d 的值分别为（
）
Ａ．1，1，0，0
Ｂ． 1，0，1，0
Ｃ． 0，1，0，1 Ｄ． 1，0，0，1
4．已知抛物线 y ax 2 bx c 通过点 P(11)， ，且在点 Q(2， 1) 处的切线平行于直线 y
x 3 ，则抛
物线方程为（
）
Ａ． y 3x 2
11x 9
Ｂ． y
3x 2 11x
9
Ｃ． y 3x 2
11x 9
Ｄ． y
3x 2
11x
9
，
1，
5．数列 a n
2a n
0≤ a n ≤
2
若 a 1
6
满足 a n 1
，则 a 2004 的值为（
）
1
≤ a n
7
2a n
，
，
1
1
2
Ａ．
6
Ｂ．
5
Ｃ．
3
Ｄ．
1
7
7
7
7
6．已知 a ， b 是不相等的正数， x
a
2
b
， y
a b ，则 x ， y 的关系是（
）
Ａ． x y
Ｂ． y
x
Ｃ． x
2 y
Ｄ．不确定
7．复数 z
m 2i
( m R ) 不可能在（
）
1
2i
Ａ．第一象限
Ｂ．第二象限
Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限
8．定义 A B ， B C ， C D ， D A 的运算分别对应下图中的（ 1），（2），（3），（4），那么，图中
（Ａ），（Ｂ）可能是下列（
）的运算的结果
Ａ．B D ，A
D
Ｂ．B D ，A
C
Ｃ．B C ，A
D
Ｄ．C D ，A
D
9．用反证法证明命题“a， b N ，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”则假设的内容是（）
Ａ． a ， b 都能被5整除Ｂ．a，b都不能被5整除
Ｃ． a 不能被5整除Ｄ．a，b有1个不能被5整除
10．下列说法正确的是（）
Ａ．函数Ｃ．函数y x 有极大值，但无极小值Ｂ．函数
y x 既有极大值又有极小值Ｄ．函数
y x 有极小值，但无极大值
y x 无极值
11．对于两个复数13
i ，1
3
i ，有下列四个结论：①1；② 1 ；③ 1 ；
2222
④331．其中正确的个数为（）
Ａ． 1Ｂ． 2Ｃ． 3Ｄ． 4
12．设f ( x)在[ a，b]上连续，则 f ( x)在[ a，b]上的平均值是（）
Ａ． f ( a) f (b)Ｂ．bＣ．1
b
Ｄ．1
b
f (x)dx f ( x) dx f ( x)dx
2a2a b a a
二、填空题
13．若复数z log2( x23x3) i log 2 ( x3) 为实数，则 x 的值为．
14．一同学在电脑中打出如下图形（○表示空心圆，●表示实心圆）
○●○○●○○○●○○○○●
若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2006 年圆中有实心圆的个数
为．
15．函数f ( x) ax36ax2b(a0) 在区间 [1，2] 上的最大值为，最小值为29 ，则 a ， b 的值分
3
别为．
16．由y2 4 x 与直线 y 2 x4所围成图形的面积为．
三、解答题
17．设n N 且sin x cos x1n x n1，2，3，4时的值，归纳猜测
，求 sin cos x 的值．（先观察 n
sin n x cos n x 的值．）
18．设关于x的方程x2(tan i ) x (2 i)0 ，
（1）若方程有实数根，求锐角和实数根；
（2）证明：对任意
π
k π (k Z ) ，方程无纯虚数根．
2
19．设 t 0 ，点 P(t ，0) 是函数 f (x) x 3 ax 与 g( x) bx 2
c 的图象的一个公共点，两函数的图象
在点 P 处有相同的切线．（ 1）用 t 表示 a ， b ， c ；（2）若函数 y f (x) g ( x) 在 ( 1，3) 上单调递减，
求 t 的取值范围．
20．下列命题是真命题， 还是假命题，用分析法证明你的结论． 命题：若 a b c ，且 a b c 0 ，
则 b 2
ac
3 ．
a
21．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为
k(k
0) ，且知当利率为 0.012 时，存款量为 1.44 亿；又贷款的利率为 4.8%时，银行吸收的存
款能全部放贷出去；若设存款的利率为 x ， x (0，0.048) ，则当 x 为多少时，银行可获得最大收
益？
22．已知函数 f ( x)
x ，数列 a n 满足 a 1 f ( x) ， a n 1 f (a n ) ．
( x 0) 1 x 2
（1）求 a 2， a 3，a 4 ；
（2）猜想数列 a n 的通项，并予以证明．
参考答案
一、选择题： CCDAC,BABBBD
二、填空题： 13、4， 14 、61， 15 、 2,3 16 、 9
17、解：当 n 1 时， sin x cosx 1 ；
当 n 2 时，有 sin 2 x cos 2 x 1 ；
当 n 3 时，有 sin 3 x cos 3 x (sin x cos x)(sin 2 x cos 2 x sin xcos x) ，
而 sin x cos x
1 ，
∴1 2sin x cos x 1 ， sin xcos x 0 ．
∴ sin 3 x cos 3 x
1 ．
当 n 4 时，有 sin 4 x cos 4 x (sin 2 x cos 2 x) 2 2sin 2 xcos 2 x 1．
由以上可以猜测，当 n N
时，可能有 sin n x cos n x ( 1)n 成立．
18、解：（ 1）设实数根为 a ，则 a 2 (tan
i )a (2 i ) 0 ， 即 (a 2 a tan
2) (a
1)i 0 ．
2
， a ，
a
1， 由于 a ， tan
R ，那么 a
a tan tan
2 又 0
π，
得
tan ．
π
a 1 1
1
2
．
4
