重庆市2016_2017学年高一数学下学期期末试题

【新结构】2023-2024学年重庆市七校联考高一下学期期末考试数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知圆柱的底面直径和高均为2，则该圆柱的侧面积为()A. B. C. D.2.下列说法正确的是()A.若，则，B.单位向量的模是1，所有单位向量是相等向量C.相反向量的长度相等D.共线向量是在同一条直线上的向量3.已知平面和直线l，直线m，下列命题正确的是()A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则4.已知，，则下列选项正确的是()A.B.C.与的夹角为D.向量在向量方向上的投影向量为5.连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数，设事件A为“第一次的点数是6”，事件B 为“第二次的点数小于4”，事件C为“两次的点数之和为偶数”，则()A. B.A与B互斥 C.A与C互斥 D.A与C相互独立6.如图，在矩形ABCD中，，E是CD的中点，沿AE将折起，使点D到达点P的位置，并满足，如图，则下列选项错误的是()A.平面平面PBEB.平面平面PBEC.平面平面ABCED.平面平面ABCE7.如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆上正方形ABCD内部，含边界，则的取值范围为()A. B. C. D.8.新高考中数学多项选择题的评分规则是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对得6分，若两个正确选项，只选对一个正确项得3分，有选错的得0分;若有三个正确选项，只选对一个得2分，只选对两个选项得4分，有选错的得0分，我们假定不会出现四个选项都正确的情况”现已知某选择题的正确答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，均随机选择选项.下列表述错误的是()A.若甲只选一个选项，能得3分的概率是B.若乙选两个选项，能得6分的概率是C.若丙至少选一个选项，能得分的概率是D.若丁至少选两个选项，能得分的概率是二、多选题：本题共3小题，共15分。

高2026届高一（下）期末考试数学试卷（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试卷上作答无效．3．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存．满分150分，考试用时120分钟．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，若π1,3a b A ===，则B =（）A.π3B.π2C.π6 D.π4【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理结合b a <进行求解即可.【详解】由正弦定理得：31sin sin A B=，则1sin 2B ==，由b a <得B A <，所以π6B =，故选：C ．2.某校高一年级有四个班共有学生200人，其中1班60人，2班50人，3班50人，4班40人．该校要了解高一学生对食堂菜品的看法，准备从高一年级学生中随机抽取40人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按班级来分层，则高一2班应抽取的人数是（）A.12B.10C.8D.20【答案】B 【解析】【分析】由分层抽样的概念求解．【详解】解：依题意高一2班应抽取的人数为504010200⨯=人，故选：B ．3.已知平面四边形OABC 用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正方形O A B C ''''，则原图形OABC 中的AB =（）A.B. C.3 D.2【答案】C 【解析】【分析】根据斜二测画法规则结合勾股定理即可求解.【详解】根据斜二测画法规则， 1,2OA O A OB O B ''''====OA OB ⊥，则3AB ==，故选：C ．4.已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（）A.若αβ∥，m β∥，则m α∥B.若,m n αα⊥⊥，则m n ∥C.若m α∥，m β∥，则αβ∥D.若,m n m α⊥⊂，则n α⊥【答案】B 【解析】【分析】根据线线，线面，面面的平行关系，垂直关系，判断选项.【详解】A 中m 可能在α内，错误；B 中由线面垂直的性质显然正确；C 中α与β可能相交，错误；D 中n 可能在α内，可能平行于α，可能与α斜交，错误.故选：B5.甲、乙、丙3人独立参加一项挑战，已知甲、乙、丙能完成挑战的概率分别为13、13、14，则甲、乙、丙中有人完成挑战的概率为（）A.15B.13C.25D.23【答案】D 【解析】【分析】由独立乘法公式以及对立事件概率公式即可求解.【详解】由题意，甲、乙、丙三人都没完成挑战的概率11111113343P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再由对立事件关系，则甲、乙、丙中有人完成挑战的概率12133P =-=，故选：D ．6.平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，11π3A AD A AB ∠=∠=，11AA AB ==，E 为11CD 的中点，则异面直线BE 和DC 所成角的余弦值为（）A.0B.2C.12D.4【答案】A 【解析】【分析】由11·2BE DC AA AD AB AB ⎛⎫⋅=+- ⎪⎝⎭求解即可．【详解】解：由题意，11π111cos 32AA AB AA AD ==⨯⨯= ，·0AB AD =，又D C A B =，1111112BE AE AB AA A D D E AB AA AD AB =-=++-=+- ，所以1111·00222BE DC AA AD AB AB ⎛⎫⋅=+-=+-= ⎪⎝⎭，即有BE DC ⊥u u r u u u r ，故选：A ．7.甲在A 处收到乙在航行中发出的求救信号后，立即测出乙在方位角（是从某点的正北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角）为45°、距离A 处为10n mile 的C 处，并测得乙正沿方位角为105°的方向，以6n mile/h 的速度航行，甲立即以14n mile/h 的速度前去营救，甲最少需要（）小时才能靠近乙．A.1B.2C.1.5D.1.2【答案】A 【解析】【分析】设甲乙相遇在点B 处，需要的时间为t 小时，则6,14BC t AB t ==，在△ABC 中，由余弦定理求解．【详解】解：设甲乙相遇在点B 处，需要的时间为t 小时，则6,14BC t AB t ==，又4575120,10ACB AC ∠=︒+︒=︒=，在△ABC 中，由余弦定理得：222(14)10(6)210(6)cos120t t t =+-⨯⨯⨯︒，则28350t t --=，即()()8510t t +-=，解得1t =或58t =-（舍去），故选：A ．8.已知向量,OA OB 满足1,2==OA OB uu r uu u r ，且向量OB 在OA 方向上的投影向量为OA．若动点C 满足12OC = ，则CA CB的最小值为（）A.12-B.4263- C.172D.574-【答案】D 【解析】【分析】应用数形结合及极化恒等式，化221·4CB CA CM AB =- ，求解即可．【详解】解：如图，根据投影向量，OA AB ⊥，则60AOB ∠=︒，且3AB =，因为12OC = ，所以点C 在以O 为圆心，半径12r =的圆上运动．设M 是AB 的中点，由极化恒等式得：22213·44CB CA CM AB CM =-=- ，因为min712CMOM r -=-=，此时2382735274444CM ---=-= ，即CA CB 的最小值为5274-，故选：D ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设复数z 的共轭复数为z ，i 为虚数单位，若()2i 1i z +=+，则（）A.复数z 的虚部为1- B.2z =C.z 在复平面内对应的点在第一象限 D.816z =【答案】AD 【解析】【分析】由题意，1i21i iz +=-=--，再依次判断．【详解】解：由题意，1i21i iz +=-=--，则虚部为1-，()()22112z =-+-=，则A 正确，B 错误；1i z =-+在复平面内对应的点()1,1-在第二象限，C 错误；()221i 2i z =--=，()()22422i 4z z ===-，()()2284416z z ==-=，D 正确，故选：AD ．10.一个袋子中有大小相同，标号分别为1，2，3，4的4个小球．采用不放回方式从中任意摸球两次，一次摸一个小球．设事件A =“第一次摸出球的标号小于3”，事件B =“第二次摸出球的标号小于3”，事件C =“两次摸出球的标号都是偶数”，则（）A.()()P A P B =B.()16P AB =C.()23P A B ⋃= D.()112P AC =【答案】ABD 【解析】【分析】写出样本空间以及各个事件所包含的基本事件，再结合古典概型概率计算公式逐一验算即可求解.【详解】由题意，摸球两次的样本空间()()()()()()()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4,3,1,3,2,3,4,4,1,4,2,4,3Ω=，事件()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4A =，事件()()()()()(){}1,2,2,1,3,1,3,2,4,1,4,2B =，事件()(){}2,4,4,2C =，所以()(){}1,2,2,1AB =，(){}2,4AC =，()()()()()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4,3,1,3,2,4,1,4,2A B = ，利用古典概型计算公式，()()61122P A P B ===，()21126P AB ==，()105126P A B == ，()112P AC =，故选：ABD ．11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为线段1CC 上的动点，O 为正方体内一点，则以下命题正确的是（）A.1B M DM +取得最小值B.当M 为线段1CC 中点时，平面1BMD 截正方体所得的截面为平行四边形C.四面体ABMD 的外接球的表面积为5π时，1CM =D.若1,2AO CO A O ==，则点O 【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，将平面11BB C C 沿1C C 翻折到与平面11DD C C 为同一平面，结合勾股定理以及三角形三边关系即可判断；对于B ，设N 是1A A 的中点，得出四边形1NBMD 是菱形即可判断；对于C ，当1CM =时，验算四面体ABMD 的外接球的表面积即可判断；对于D ，找出点O 的轨迹即可验算求解.【详解】选项A 中，将平面11BB C C 沿1C C 翻折到与平面11DD C C 为同一平面，则11B M DM B D +≥==，当D ，M ，1B 三点共线时，等号成立，故A 正确；选项B 中，设N 是1A A 的中点，连接1D N ，NB ，而正方体的棱长为2，且,M N 分别为11,CC AA 的中点，所以11NB BM MD D N ====所以四边形1NBMD 是菱形，所以平面1BMD 就是平面1BMD N ，此截面是平行四边形，故B 正确；选项C 中，当1CM =时，因为CM ，AD ，AB 两两垂直，所以四面体ABMD 的外接球的直径23R ==，则32R =，此时外接球表面积24π9πR =，故C 错误；选项D 中，由AO CO =，所以点O 在AC 的中垂面11D DBB 上，设11B D 的中点为H ，则1A H =，因为1DD ⊥平面1111D C B A ，1A H ⊂平面1111D C B A ，所以11A H DD ⊥，又因为111A H B D ⊥，1111B D DD D = ，11B D ⊂平面1111D C B A ，1DD ⊂平面1111D C B A ，所以1A H ⊥平面11D DBB ，则HO ==所以点O 在以H 为圆心，r =的半圆上运动，点O ，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】关键点点睛：判断D 选项的关键的得出点O 首先在面11D DBB 上，进一步得出HO ==O 的轨迹，由此即可顺利得解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量()()1,1,,2a b m ==-，若()//a a b + ，则m =______．【答案】2-【解析】【分析】首先求出a b +的坐标，再由向量共线的坐标表示计算可得.【详解】因为()()1,1,,2a b m ==- ，所以()()()1,1,21,1a b m m +=+-=+-，又因为()//a a b +，所以()()1111m ⨯+=⨯-，所以2m =-.故答案为：2-．13.已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为______.【答案】2π【解析】【分析】由轴截面得到圆锥的底面半径和母线，利用侧面积公式求出答案.【详解】由题意得，圆锥的底面半径为1r =，母线长为2l =，故圆锥的侧面积为ππ122πrl =⨯⨯=.故答案为：2π14.记△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin sin cos cos a A c C a C c A +=+，若△ABC 的面积()20S tb t =>，则t 的最大值为______．【答案】14##0.25【解析】【分析】利用正弦定理将已知式子统一成角的形式，化简得22sin sin sin A C B +=，然后由已知得221sin 2ab C S t b b==，化简后利用正弦定理统一成角的形式，再利用基本不等式可求得结果.【详解】因为sin sin cos cos a A c C a C c A +=+所以由正弦定理得()22sin sin sin sin A C A C B +=+=，由()20S tb t =>得：22221sin sin sin sin sin 122sin 4sin 4ab C S A C A C t b b B B +===≤=，当且仅当sin sin A C =，即45A C ==︒，90B =︒时等号成立，故答案为：14．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.为调查外地游客对洪崖洞景区的满意程度，某调查部门随机抽取了100位游客，现统计参与调查的游客年龄层次，将这100人按年龄（岁）（年龄最大不超过65岁，最小不低于15岁的整数）分为5组，依次为[)[)[)[)[]15,25,25,35,35,45,45,55,55,65，并得到频率分布直方图如下：（1）求实数a 的值；（2）估计这100人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（3）估计这100人年龄的第80百分位数．（结果保留一位有效数字，四舍五入）【答案】（1）0.035a =；（2）41.5（3）51.7【解析】【分析】（1）根据频率之和为1得到方程，求出实数a 的值；（2）利用平均数的定义进行求解；（3）先确定年龄的第80百分位在[)45,55之内，设第80百分位数为x ，得到方程，求出答案.【小问1详解】由题知，()100.010.0150.030.011a ⨯++++=，则0.035a =；【小问2详解】由图样本平均数200.1300.15400.35500.3600.141.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；【小问3详解】由题知，年龄在[)15,55的频率为0.9，年龄在[)15,45的频率为0.6，则年龄的第80百分位在[)45,55之内，设第80百分位数为x ，则()0.6450.030.8x +-⨯=，解得51.7x ≈．16.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是一个菱形，60,DAB ∠=︒，点P 为1BC 上的动点．（1）证明：DP ∥平面11AB D ；（2）试确定点P 的位置，使得BC DP ⊥．【答案】（1）证明见解析（2）点P 为1BC 中点【解析】【分析】（1）由11BD B D ∥得到BD ∥平面11AB D ，同理得到1BC ∥面11AB D ，得到面面平行，进而得到线面平行；（2）作出辅助线，得到DE BC ⊥，结合BC EP ⊥，得到线面垂直，故BC EP ⊥，结合1BC CC ⊥，EP ⊂平面1BCC ，所以1EP CC ∥，证明出结论.【小问1详解】由题知，由1111,BB DD BB DD =∥，则四边形11BB D D 为平行四边形，所以11BD B D ∥，因为11B D ⊂平面11AB D ，BD ⊄平面11AB D ，所以BD ∥平面11AB D ，同理可证1BC ∥面11AB D ，由BD ⊂面1BDC ，1BC ⊂面1BDC ，1BD BC B = ，所以平面1BDC ∥平面11AB D ，又PD ⊂面1BDC ，所以DP ∥面11AB D ；【小问2详解】取BC 中点E ，连接DE ，PE ．在△BDC 中，π,3BC DC BCD =∠=，则△BDC 为正三角形，所以DE BC ⊥，又BC DP ⊥，DE BC E ⋂=，,DE BC ⊂平面EDP ，所以BC ⊥面EDP ，因为EP ⊂平面EDP ，所以BC EP ⊥．在面1BCC 中，1BC CC ⊥，EP ⊂平面1BCC ，所以1EP CC ∥，在1BCC 中，E 为BC 中点，所以EP 为中位线，则点P 为1BC 中点．17.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos cos 2sin sin A B c a A B b ⎫=+=⎪⎭．（1）求A 的大小；（2）已知233AB AC AD =+ ，若A 为钝角，求ABD △面积的取值范围．【答案】（1）π3或2π3；（2）0,9⎛ ⎝⎦【解析】【分析】（1）由正弦定理和正弦和角公式得到3sin 2A =，求出π3A =或2π3；（2）由233AB AC AD =+ 得到2BD DC = ，故36ABD S bc =△，以由（1）知，2π3A =，且2a =，由余弦定理224b c bc ++=，由基本不等式得43bc ≤，求出403bc <≤，得到ABD △面积的取值范围.【小问1详解】cos cos 2sin cos cos sin 2sin sin sin sin sin sin A B c B A B A C A B bA B B +⎫+=⇒=⎪⎭，()sin 2sin sin 2sin sin sin sin sin sin sin B A C C C A B B A B B+=⇒=，因为在△ABC 中，()sin sin 0,sin 0B A C B +=>>，所以化简得：sin 2A =，又0πA <<，解得：π3A =或2π3；【小问2详解】由233AB AC AD =+ 得：()322AD AB AC AD DB AD DC =+=+++ ，则2BD DC = ，从而2213sin 3326ABD ABC S S bc A bc ==⨯=△△，因为A 为钝角，所以由（1）知，2π3A =，且2a =，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得：224b c bc ++=，因为222b c bc +≥，所以42bc bc ≥+，所以43bc ≤，当且仅当3b c ==时等号成立，又b ，c 可以无限接近0，所以403bc <≤，从而0,69ABD S bc ⎛=∈ ⎝⎦△，故△ABD 面积的取值范围为0,9⎛ ⎝⎦．18.已知三棱台111ABC A B C -中，△ABC 为正三角形，1111112A B AA BB AB ====，点E 为线段AB 的中点．（1）证明：1A E ∥平面11B BCC ；（2）延长111,,AA BB CC 交于点P ，求三棱锥P -ABC 的体积最大值；（3）若二面角1A CC B --的余弦值为13，求直线1BB 与平面11ACC A 所成线面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）1（3）33【解析】【分析】（1）设F 是BC 的中点，连接EF ，1C F ，则利用三角形中位线定理结合已知可证得四边形11A EFC 是平行四边形，则11A E C F ∥，再由线面平行的判定定理可证得结论；（2）由题意可得当平面PAB ⊥平面ABC 时，该三棱锥的体积最大，由已知可得△PAB 是边长2的正三角形，从而可求出三棱锥的体积；（3）由题意可得二面角1A CC B --的平面角是1AC B ∠，利用余弦定可求出其余弦值，作1BO AC ⊥于点O ，连接PO ，则可得∠BPO 为直线1BB 与平面11ACC A 所成角，然后在BPO △中可求得结果.【小问1详解】证明：如图，设F 是BC 的中点，连接EF ，1C F ，在三棱台111ABC A B C -中，因为1112A B AB =，所以1112A C AC =，且11A C AC ∥，因为E ，F 分别是AB ，BC 的中点，所以EF AC ∥，12EF AC =，所以11A C ∥EF ，11A C EF =，所以四边形11A EFC 是平行四边形，所以11A E C F ∥，又1A E ⊄平面11B BCC ，1C F ⊂平面11B BCC ，所以1A E ∥平面11B BCC ；【小问2详解】因为2AB =，又122sin 602ABC S =⨯⨯⨯︒=△为定值，所以当平面PAB ⊥平面ABC 时，该三棱锥的体积最大．因为11A B ∥AB ，1112A B AB =，所以11,A B 分别是PA ，PB 的中点，所以2PA PB AB ===，因此△PAB 是边长2的正三角形，因为PE AB ⊥，因为平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，PE ⊂平面PAB ，所以PE ⊥平面ABC ，又PE =，则1133P ABC ABC V PE S -== △；则三棱锥P -ABC 的体积最大值为1．【小问3详解】如图，2PA AC PB BC ====，1C 是PC 的中点，则11,AC PC BC PC ⊥⊥，所以二面角1A CC B --的平面角是1AC B ∠，又11AC BC =，由余弦定理得：222111111cos 23AC BC AB AC B AC BC +-∠== ，解得113AC BC ==作1BO AC ⊥于点O ，连接PO ，因为PC ⊥平面1AC B ，所以PC BO ⊥，又11AC PC C = ，1,AC PC ⊂平面11ACC A ，所以BO ⊥平面11ACC A ，则∠BPO 为直线1BB 与平面11ACC A 所成角，由262,33PB BO ==，则22233PO PB BO =-，从而3cos 3PO BPO PB ∠==，所以直线1BB 与平面11ACC A 所成线面角的余弦值为33．19.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O 的半径为R ．A 、B 、C 为球面上三点，劣弧BC 的弧长记为a ，设0O 表示以O 为圆心，且过B 、C 的圆，同理，圆32,O O 的劣弧AC 、AB 的弧长分别记为b ，c ，曲面ABC （阴影部分）叫做球面三角形．若设二面角,,C OA B A OB C B OC A ------分别为α，β，γ，则球面三角形的面积为()2πABC S R αβγ=++- 球面．（1）若平面OAB 、平面OAC 、平面OBC 两两垂直，求球面三角形ABC 的面积；（2）若平面三角形ABC 为直角三角形，ACBC ⊥，设123,,AOC BOC AOB θθθ∠=∠=∠=．则：①求证：123cos cos cos 1θθθ+-=；②延长AO 与球O 交于点D ，若直线DA ，DC 与平面ABC 所成的角分别为ππ,43，(],0,1BE BD λλ=∈ ，S 为AC 中点，T 为BC 中点，设平面OBC 与平面EST 的夹角为θ，求sin θ的最小值，及此时平面AEC 截球O 的面积．【答案】（1）2π2R （2）①证明见解析；②sin 5θ=，253π78R 【解析】【分析】（1）根据题意结合相应公式分析求解即可；（2）①根据题意结合余弦定理分析证明；②建系，利用空间向量求线面夹角，利用基本不等式分析可知点E ，再利用空间向量求球心O 到平面AEC 距离，结合球的性质分析求解.【小问1详解】若平面OAB ，OAC ，OBC 两两垂直，有π2αβγ===，所以球面三角形ABC 面积为()22ππ2ABC S R R αβγ=++-=球面.【小问2详解】①证明：由余弦定理有：222212222222223222AC R R R cos BC R R R cos AB R R R cos θθθ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩，且222AC BC AB +=，消掉2R ，可得123cos cos cos 1θθθ+-=；②由AD 是球的直径，则,AB BD AC CD ⊥⊥，且AC BC ⊥，CD BC C ⋂=，,CD BC ⊂平面BCD ，所以AC ⊥平面BCD ，且BD ⊂平面BCD ，则AC BD ⊥，且AB AC A ⋂=，,AB AC ⊂平面ABC ，可得BD ⊥平面ABC ，由直线DA ，DC 与平面ABC 所成的角分别为ππ,43，所以ππ,43DAB DCB ∠=∠=，不妨先令R =2AD AB BD BC AC =====，由AC BC ⊥，AC BD ⊥，BC BD ⊥，以C 为坐标原点，以CB ，CA 所在直线为x ，y 轴，过点C 作BD 的平行线为z 轴，建立如图空间直角坐标系，设(,BE t t =∈，则())()0,2,0,,0,0,0,A BC D ，可得()0,1,0,,0,02S T ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，),,1,22E t O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则),22CB CO ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，,1,0,22ST TE t ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设平面OBC 法向量()111,,m x y z =，则11110022m CB m CO x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，取12z =-，则110y x ==，可得()2m =- ，设平面EST 法向量()222,,n x y z =，则22220202n ST x y n TE x tz ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，取2x =，则22,1y t z ==-，可得),,1n t =- ，要使sin θ取最小值时，则cos θ取最大值，因为cos cos,m nm nm nθ⋅======，令(]1,1,13m m=+∈，则()2218mt t-==，可得()2221888293129621218m mt m mm mm+===≤=+-+--+-+，当且仅当3,m t==取等．则cosθ10sin5θ==为最小值，此时点E，可得CE=，()0,2,0CA=，设平面AEC中的法向量(),,k x y z=，则20k CE zk CA y⎧⋅==⎪⎨⎪⋅==⎩，取1x=，则0,y z==-，可得(1,0,k=-，可得球心O到平面AEC距离为AO kdk⋅==设平面AEC截球O圆半径为r，则2225326r R d=-=，所以截面圆面积为225353πππ2678r R==.【点睛】方法点睛：1.利用空间向量求线面角的思路直线与平面所成的角θ主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角ϕ求得，即sin cosθϕ=；2.利用空间向量求点到平面距离的方法设A为平面α内的一点，B为平面α外的一点，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离AB ndn⋅=.。

四川省成都外国语学校2016-2017学年高一下期期末考试数学(理)试题 Word版含答案1.直线 $xcos\theta+ysin\theta+a=0$ 和 $xsin\theta-ycos\theta+b=0$ 的位置关系是（）A。

平行 B。

垂直 C。

重合 D。

与 $a,b,\theta$ 的值有关2.若 $a,b\in R$，且 $ab>0$，则下列不等式中，恒成立的是（）A。

$a+b>2ab$ B。

$\frac{2}{\sqrt{2}}\sqrt{ab}\leq a+b$ C。

$a+\frac{1}{b}\geq 2$ D。

$a+\frac{1}{b}\geq 2\sqrt{ab}$3.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A。

$\frac{2\pi}{3}$ B。

$\frac{4\pi}{3}$ C。

$2\pi+\frac{2}{3}$ D。

$4\pi+\frac{2}{3}$4.在 $\triangle ABC$ 中，若 $\sin(A-B)=1+2\cos(B+C)\sin(A+C)$，则 $\triangle ABC$ 的形状一定是A。

等边三角形 B。

不含 $60^\circ$ 的等腰三角形 C。

钝角三角形 D。

直角三角形5.设 $a,b$ 是空间中不同的直线，$\alpha,\beta$ 是不同的平面，则下列说法正确的是A。

$a//b,b\perp\alpha$，则 $a\perp\alpha$ B。

$a\perp\alpha,b\perp\beta,\alpha//\beta$，则 $a//b$ C。

$a\perp\alpha,b\perp\beta,a//\beta,b//\beta$，则$\alpha//\beta$ D。

$\alpha//\beta,a\perp\alpha$，则 $a//\beta$6.设数列 $\{a_n\}$ 是首项为 $m$，公比为 $q(q\neq 1)$ 的等比数列，它的前 $n$ 项和为 $S_n$，对任意 $n\in N^*$，点$(a,S_{2n})$ 位于A。

绝密★启用前2016-2017学年重庆市巴蜀中学高一上学期期末考试数学试卷（带解析）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题1．sin(−690°)=（ ） A. 12 B. −12 C. √32D. −√322．设集合A ={x|2x+1x−2≤0}，B ={x|x <1}，则A ∪B =（ ）A. [−12，1) B. (−1，1)∪(1，2) C. (−1，2) D. [−12，2)3．已知向量a ⃗=(3，1)，b ⃗⃗=(x ，−2)，c ⃗=(0，2)，若a ⃗⊥(b ⃗⃗−c ⃗)，则实数x 的值为（ ）A. 43B. 34C. −34D. −434．已知a =sin153°，b =cos62°，c =log 1213，则（ ）A. a >b >cB. c >a >bC. b >c >aD. c >b >a5．在△ABC 中，点E 满足BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3EC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，且AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=mAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+nAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则m −n =（ ） A. 12B. −12C. −13D. 136．已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)，(A >0，ω>0，0<φ<π)，其部分图象如下图，则函数f(x)的解析式为（ ）A. f(x)=2sin(12x +π4) B. f(x)=2sin(12x +3π4)C. f(x)=2sin(14x +3π4) D. f(x)=2sin(2x +π4)7．函数f(x)=(1−21+2x)tanx 的图象（ ）A. 关于x 轴对称B. 关于y 轴对称C. 关于y =x 轴对称D. 关于原点轴对称 8．为了得到函数y =sin(2x −π6)的图象，可以将函数y =cos2x 的图象（ ）A. 向右平移π6个单位长度B. 向右平移π3个单位长度 C. 向左平移π6个单位长度 D. 向左平移π3个单位长度9．不等式|x −3|−|x +1|≤a 2−3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. (−∞，1]∪[4，+∞) B. [−1，4] C. [−4，1] D. (−∞，−4]∪[1，+∞)10．将函数y =x−3x−2的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到函数f(x)，则函数f(x)的图象与函数y =2sinπx(−2≤x ≤4)的图象的所有交点的横坐标之和等于（ ）A. 2B. 4C. 6D. 811．设函数f(x)=e x −|ln(−x)|的两个零点为x 1，x 2，则（ ） A. x 1x 2<0 B. x 1x 2=1 C. x 1x 2>1 D. 0<x 1x 2<112．已知定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x +1)=−f(x)，且当x ∈[−1，0]时，f(x)=4x +38，函数g(x)=log 12|x +1|−18，则关于x 的不等式f(x)<g(x)的解集为（ ）A. (−2，−1)∪(−1，0)B. (−74，−1)∪(−1，−14) C. (−54，−1)∪(−1，−34) D. (−32，−1)∪(−1，−12)第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．8−13+log3tan210°=__________．14．已知向量|a⃗|=1，|b⃗⃗|=2，a⃗⊥(a⃗+b⃗⃗)，则向量a⃗与b⃗⃗的夹角为__________．15．某教室一天的温度（单位：℃）随时间（单位：ℎ）变化近似地满足函数关系：f(t)=20−2sin(π24t−π6)，t∈[0，24]，则该天教室的最大温差为__________℃．16．若函数f(x)={3x−a，x<1x2−3ax+2a2，x≥1恰有两个零点，则实数a的取值范围为__________．三、解答题17．已知0<α<π，sin(π−α)+cos(π+α)=m.（1）当m=1时，求α；（2）当m=√55时，求tanα的值.18．已知函数f(x)=√2−x3+x +ln(3x−13)的定义域为M.（1）求M；（2）当x∈M时，求g(x)=4x+12−2x+2+1的值域.19．已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)，(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，且图象关于x=π3对称.（1）求ω和φ的值；（2）将函数f(x)的图象上所有横坐标伸长到原来的4倍，再向右平移π3个单位得到函数g(x)的图象，求g(x)的单调递增区间以及g(x)≥1的x取值范围.20．已知f(x)=x|x−a|(a∈R).（1）若a=1，解不等式f(x)<2x；（2）若对任意的x∈[1，4]，都有f(x)<4+x成立，求实数a的取值范围.21．已知函数f(x)为R上的偶函数，g(x)为R上的奇函数，且f(x)+g(x)=log4(4x+1).（1）求f(x)，g(x)的解析式；（2）若函数ℎ(x)=f(x)−12log2(a⋅2x+2√2a)(a>0)在R上只有一个零点，求实数a的取值范围.22．已知f(x)=ax2−2(a+1)x+3(a∈R).3（2）令ℎ(x)=f(x)x−1，若存在x 1，x 2∈[32，3]，使得|f(x 1)−f(x 2)|≥a+12成立，求实数a的取值范围.参考答案1．A【解析】sin(−690°)=sin(720°−690°)=sin30°=12，故选A.2．C【解析】因为A ={x|−12≤x <2},B ={x|−1<x <1}，所以A ∪B ={x|−1<x <2}，故选C. 3．A【解析】试题分析：∵b ⃗⃗=(x,−2)，c ⃗=(0,2)，∴b ⃗⃗−c ⃗=(x,−4)，∵a ⃗⊥(b ⃗⃗−c ⃗)，因此a ⃗⋅(b ⃗⃗−c ⃗)=0，即3x +(−1)⋅4=0，解得x =43，故选A. 考点：1.平面向量的坐标运算；2.平面向量的垂直4．D【解析】因a =sin27°,b =sin28°⇒a <b <1,c =lg3lg2>1，故选D.5．B【解析】因BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3EC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，故AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3(AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=14AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+34AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，又AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=mAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+nAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以m =14,n =34，即m −n =−24=−12，故选B.6．B【解析】结合图象可以看出A =2,T =4π，故ω=12，又sin (π4+φ)=0，则φ=3π4，故选B. 7．B【解析】因f(−x)=(1−21+2−x )tan(−x)=−(1−2⋅2x 1+2x )tanx =−(1−2x 1+2x)tanx =f(x)，故y =f(x)是偶函数，故选B.8．B【解析】因y =cos2x =sin(2x +π2)=sin2(x +π4)，故向右平移π3个单位长度即可得到函数y =sin(2x −π6)的图象，故选B.9．A【解析】因|x −3|−|x +1|≤4，故a 2−3a ≥4，解之得a ≤−1或a ≥4，故选A. 10．D【解析】因y =1−1x−2，故左平移1个单位，再向下平移1个单位得到函数f(x)=−1x−1，由于该函数与函数y =2sinπx 的图像都关于点(1,0)成中心对称，则x 1+x 2=2，又因为两个函数的图像有四个交点，所以其交点的横坐标之和为2×4=8，故选D. 11．D【解析】由题设可得e x =|ln(−x)|，画出两函数y =e x ,y =|ln(−x)|的图象如图，结合图象可设x 1<−1,−1<x 2<0，因e x 1<e x 2，故e x 1−e x 2=ln(−x 1)+ln(−x 2)=ln(x 1x 2)<0，则0<x 1x 2<1，故选D.12．D【解析】因f(x +2)=−f(x +1)=f(x)，故函数f(x)是周期为2的偶函数，如图，当x =−12,x =−32时，两函数y =f (x )，y =g(x)的图象相交，故当x ∈(−32,−1)∪(−1,−12)时，f(x)<g(x)，故选D.13．0 【解析】因8−13=2−1=12,tan210°=tan30°=√3=3−12，故8−13+tan210°=12+log 3√3=12−12=0，应填答案0.14．120°【解析】由已知可得a ⃗⋅b ⃗⃗+a ⃗2=0，即a ⃗⋅b ⃗⃗=−|a ⃗|2，也即|a ⃗||b ⃗⃗|cos <a ⃗,b ⃗⃗>=−|a ⃗|2，又|a ⃗|=1,|b ⃗⃗|=2，所以cos <a ⃗,b ⃗⃗>=−12，注意到向量夹角的范围是[0°,180°]，所以两向量a ⃗与b ⃗⃗的夹角为120°，应填答案120°。

重庆市第一中学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题一、单选题1．复数z 满足()1i 4i z -=（i 为虚数单位），则z =（ ）A ．2B ．4C D ．2．若直线:10l x my ++=的倾斜角为2π3，则实数m 值为（ ）AB ．CD ．3．已知单位向量a r ，b r 满足0a b ⋅=r r ，且c a =r r ，则向量c r 与b r 的夹角是（ ）A ．30︒B ．150︒C ．60︒D ．120︒4．用m 、n 、l 表示三条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ）A ．若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥B ．若//m α，n α∥，则//m nC ．若m n ⊥，l n ⊥，则m l ∥D ．若m n ⊥，n α⊥，则//m α5．已知直线l ：()()21230m x m y m -+++-=与圆C ：22460x y x y +-+=交于A ，B 两点，则线段AB 长度的取值范围是（ ）A ．⎡⎣B ．⎡⎣C ．⎡⎣D ．⎡⎣6．若ABC V 的内角A ，B ，C 对边分别是a ，b ，c ，b 223c ab a +-=，则角C 大小为（ ）A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π37．在正三棱台111ABC A B C -中，11A B =AB =二面角1B BC A --，则111ABC A B C -的外接球体积为（ ）A ．80π3B C ． D 8．已知1F ，2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，若椭圆上总存在点P ，使得12tan F PF ∠=- ）A ．⎛ ⎝⎦B ．30,5⎛⎤⎥⎝⎦C ．3,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．⎫⎪⎪⎣⎭二、多选题9．已知两椭圆224x y a +=和()22440x y a a +=>，则（ ）A ．两椭圆的焦距相等B ．两椭圆的离心率相等C ．两椭圆有2个交点D ．两椭圆有4个交点10．若ABC V 的内角A ，B ，C 对边分别是a ，b ，c ，3b =，且)()c o s co s bA Cc a B -=-，则（ ）A ．ABC VB ．ABC V 的周长的最小值为3+C ．ABC VD ．边AC 的中线BM 11．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，1CP CC λ=u u u r u u u u r ，1AQ AA μ=u u ur u u u r ，[],0,1λμ∈，则（ ）A．三棱锥1A A BD -B ．直线PQ 与直线AB 所成角的余弦值的最小值为12C ．1λ=时，过点B 作直线AP 的垂面α，则平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得截面面积为D ．若1λμ+=，则三棱锥11B PQD -的体积为43三、填空题12．圆锥SO 的母线与底面所成角为60°，高为.13．等腰直角ABC V 中，90BAC ∠=︒，2CP PB =u u u u u r u r ，AQ QC =u u ur u u u r ，BQ 与AP 交于点M ，若2AC =u u u r ，则MA MQ ⋅=u u u r u u u u r.14．锐角ABC V 的面积为2，且1cos cos BC A AC B+=，若()22AB BC AC m -->恒成立，则实数m 的最大值为．四、解答题15．已知圆C ：224470x y x y +--+=关于直线10x y -+=的对称圆的圆心为D ，若直线l 过点()1,4.(1)若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；(2)若直线l 与圆D 交于,A B 两点，AB l 的方程. 16．已知ABC V 2BA AC ⋅=uu r uu u r.(1)求角A ；(2)若BC =3BC DC =u u u r u u u r，求AD 的长度.17．五面体ABCDEF 中，90ABC BAD ∠=∠=︒，224BC AD EF ===，ABE V ，ADE V 均为正三角形.(1)证明：BE CD ⊥；(2)求平面ABF 与平面BDE 所成夹角的余弦值.18．椭圆D 的对称中心为坐标原点，且与椭圆C ：2248x y +=的离心率相等，焦点在同一坐标轴上，椭圆D 的长轴长与椭圆C . (1)求椭圆D 的标准方程；(2)过点()作两条相互垂直的直线1l 、2l ，其中直线1l 与椭圆D 交于A 、B 两点，直线2l 与椭圆D 交于G H 、两点，求四边形AGBH 的面积的取值范围.19．三维空间中，如果平面与球有且仅有一个公共点，则称这个平面是这个球的切平面.已知在空间直角坐标系O xyz -中，球O 的半径为R ，记平面xOy 、平面xOz 、平面yOz 分别为α、β、γ.(1)若棱长为a 的正方体、棱长为b 的正四面体的内切球均为球O ，求ab的值；(2)如果在球面上任意一点作切平面λ，记λ与α、β、γ的交线分别为m 、n 、p ，求O 到m、n、p距离的乘积的最小值（结果用R表示）.。

2023-2024学年重庆市康德卷高一下学期期末联合检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z 满足(1+i)z =2i ，则|z|=( )A.22B. 1C.2 D. 22.7.8，7.9，8.1，8.1，8.3，8.5，8.7，8.9，9.0，9.0，9.1，9.1，9.4的第60百分位数是( )A. 8.7B. 8.9C. 9.0D. 9.13.在△ABC 中，记内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若c 2−ab =(a−b )2，则C =( )A. π6B. π4C. π3D. 2π34.下列说法正确的是( )A. 若空间四点共面，则其中必有三点共线B. 若空间四点中任意三点不共线，则此四点共面C. 若空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面D. 若空间四点不共面，则任意三点不共线5.某航空公司销售一款盲盒机票，包含哈尔滨、西安、兰州、济南、延吉5个城市，甲乙两人计划“五一”小长假前分别购买上述盲盒机票一张，则两人恰好到达城市相同的概率为( )A. 15B. 25C. 35D. 456.记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a tan B =b tan A ，cos A +cos B =1，则△ABC 是( )A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形7.在△ABC 中，AB =3，AC =4，∠BAC =60∘，且AE =23AB ，AF =14AC ，则CE ⋅BF =( )A. −2B. −3C. −4D. −58.已知正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1，F 为BB 1的中点，过A 1作平面α满足条件D 1F ⊥α，则α截正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1所得截面为( )A. 六边形B. 五边形C. 四边形D. 三角形二、多选题：本题共3小题，共18分。

一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1。

设全集{0,1,2,3,4}U =，集合{0,1,2,3}A =，{2,3,4}B =,则()()u U C A C B 等于（ ）A ．{0}B ．{0,1}C ．{0,1,4}D ．{0,1,2,3,4} 【答案】C 【解析】试题分析：{}{}4,0,1U U C A C B ==，所以{}()()0,1,4U U C A C B =。

考点：集合交集，并集，补集．2.下列有关集合的写法正确的是( ）A ．{0}{0,1,2}∈B ．{0}∅=C ．0∈∅D ．{}∅∈∅ 【答案】D 【解析】试题分析:元素和集合是属于或不属于的关系，空集是没有元素的集合，所以D 选项正确. 考点:元素和集合的关系．3。

满足{1,2}{1,2,3,4,5}A ⊂⊆≠的集合A 的个数是( ）A ．3个B ．5个C ．7个D ．8个【解析】试题分析：列举得{}{}{}{}{}{}{}1,2,1,2,3,1,2,4,1,2,5,1,2,3,4,1,2,3,5,1,2,4,5共7种. 考点：子集与真子集．4.下列函数中，在区间(1,1)-上是单调减函数的函数为（ ）A ．23y x =-B ．1y x= C 。

y =D ．23y x x =- 【答案】D 【解析】试题分析：A 是增函数，B 定义域没有零，C 的定义域是12x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭，都不符合题意。

所以只有D 正确.考点:函数的单调性．5.以下从M 到N 的对应关系表示函数的是（ ） A ．{|0}:||M R N y y f x y x ==>→=，，B ．*{|2,}M x x x N =≥∈，*{|0,}N y y y N =≥∈,2:22f x y x x →=-+C 。

{|0}M x x =>,N R =，:f x y →=D ．M R =，N R =，1:f x y x→= 【答案】B 【解析】试题分析：A ，D 选项0没有对应，所以不是函数;C 选项不是一一对应，不是函数；故选B ． 考点:函数的定义．6。

2014—2015学年度第二学期期末七校联考高一数学试题（理科）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卷规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑. 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上.4．考试结束后，将答题卷交回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。

1．若0a b <<，则（ ） A ．22a ab b <<B ．ac bc <C ．11a b> D ．22a b c c >2．一个人打靶时连续射击三次，与事件“至多有两次中靶”互斥的事件是（ ） A ．至少有两次中靶 B ．三次都中靶 C ．只有一次中靶 D ．三次都不中靶 3．不等式422x x >--的解集是（ ） A ．(,0)(2,4)-∞ B ．[0,2)[4,)+∞ C ．[2,4) D ．(,2](4,)-∞-+∞4．如图，执行其程序框图，则输出S 的值等于（ ） A ．15 B ．105 C ．245D ．9455第4题图5．在某样本的频率分布直方图中，共有7个小长方形，若第三个 小长方形的面积为其他6个小长方形的面积和的14，且样本容 量为100，则第三组数据的频数为（ ） A ．25 B ．0.2 C ．0.25D ．206．某中学从文、理科实验班中各选6名同学去参加复旦大学自主招生考试，其数学成绩茎叶图如图，其中文科生的成绩的众数为85，理科生成绩平均数为81，则x·y 的值为（ ）A ．9B ．20C ．5D ．457．由0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的三位偶数有（ ） A ．720个B ．600个C ． 60个D ．52个8．现有A 、B 、C 、D 四种玉米种子，其亩产量和方差如下表所示从其中选择一种种子进行量产，最好选择（ ） A ．A 种子 B ．B 种子 C ．C 种子D ．D 种子9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，若2,sin cos a b B B =+=，则角A 的大小为（ ）A ．60°B ．30°C ．150°D ．45°10．连续抛掷两次骰子，所得的点数之和能被3整除的概率为（ ）A ．16B ．13C ．1136D ．5611．对于实数x 和y ，定义运算⊗：(1)x y x y ⊗=-，若对任意2x >，不等式()2x m x m -⊗≤+都成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[1,7]-B ．(,3]-∞C ．(,7]-∞D ．(,1][7,)-∞-+∞ 12．设数列{}n a 满足10a =，且1121,n n n n a a a b ++=+=12n n S b b b =+++ ，则100S =（ ） A．1-B. 910C.99100D. 110二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上。