二次型答案

考研数学二（二次型）模拟试卷10(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX，已知r(A)=2，并且A满足A2－2A=0．则下列各标准二次型(1)2y12+2y22．(2)2y12．(3)2y12+2y32．(4)2y22+2y32．中可用正交变换化为f的是( )．A．(1)．B．(3)，(4)．C．(1)，(3)，(4)．D．(2)．正确答案：C解析：两个二次型可以用正交变换互相转化的充要条件是它们的矩阵相似，也就是特征值一样．从条件可知，A的特征值0，2，2．(1)，(3)，(4)这3个标准二次型的矩阵的特征值都是0，2，2．(2)中标准二次型的矩阵的特征值是0，0，2．知识模块：二次型2．A=，则( )中矩阵在实数域上与A合同．A．B．C．D．正确答案：D解析：用特征值看：两个实对称矩阵合同<=>它们的特征值正负性相同．｜A｜=－3，对于2阶实对称矩阵，行列式小于0即两个特征值一正一负，于是只要看哪个矩阵行列式是负数就和A合同．计算得到只有D中的矩阵的行列式是负数．知识模块：二次型3．矩阵A=合同于A．B．C．D．正确答案：B解析：由矩阵A的特征多项式知矩阵A的特征值为1，3，－2．即二次型正惯性指数p=2，负惯性指数q=1．故应选B．知识模块：二次型4．设A，B均为n阶实对称矩阵，则A与B合同的充要条件是A．A，B有相同的特征值．B．A，B有相同的秩．C．A，B有相同的行列式．D．A，B有相同的正负惯性指数．正确答案：D解析：A是充分条件．特征值一样=>有相同的正、负惯性指数=>合同．但不是必要条件．例如，特征值不同，但AB．B是必要条件．由CTAC=B，C可逆=>r(A)=r(B)，但不是充分条件．例如，虽r(A)=r(B)，但正负惯性指数不同．故A与B不合同．C既不必要也不充分．例如，行列式不同但合同，又如，虽行列式相同但不合同．故应选D．知识模块：二次型填空题5．二次型f(x1，x2，x3)=(a1x1+a2x2+a3x3)2的矩阵是________．正确答案：解析：f(x1，x2，x3)=a12x12+a22x22+a32x32+2a1a2x1x2+2a1a3x1x3+2a2a3x2x3，二次型矩阵A= 知识模块：二次型6．若二次型2x12+x22+x32+2x1x2+2tx2x3的秩为2，则t=________．正确答案：解析：r(f)=2，即r(A)=2．因｜A｜中有2阶子式≠0，故r(A)=2｜A｜=0．由知识模块：二次型7．设三元二次型x12+x22+5x32+2tx1x2－2x1x3+4x2x3是正定二次型，则t∈________．正确答案：解析：二次型矩阵A=，顺序主子式△1=1，△2==1－t2＞0，△3=｜A｜=－5t2－4t＞0，所以t∈(，0)．知识模块：二次型解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二（二次型）模拟试卷9(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．已知实二次型／=(a11x1+a12x2+a13x3)2+(a21x1+a22x2+a23x3)2+(a31x1+a32x2+a33x3)2正定，矩阵A=(aij)3×3，则( )A．A是正定矩阵。

B．A是可逆矩阵。

C．A是不可逆矩阵。

D．以上结论都不对。

正确答案：B解析：f=(a11x1+a12x2+a13x3)2+(a21x1+a22x2+a23x3)2+(a31x1+a32x2+a33x3)2=xTATA x=(Ax)T(Ax)。

因为实二次型f正定，所以对任意x≠0,f＞0的充要条件是Ax≠0，即齐次线性方程组Ax=0只有零解，故A是可逆矩阵。

所以选B。

知识模块：二次型2．设f=xTAx，g=xTBx是两个n元正定二次型，则下列未必是正定二次型的是( )A．xT(A+B)x。

B．xTA一1x。

C．xTB一1x。

D．xTABx。

正确答案：D解析：因为f是正定二次型，A是n阶正定阵，所以A的n个特征值λ1，λ2，…，λn都大于零。

设APj=λjPj，则，A一1的n个特征值必都大于零，这说明A一1为正定阵，xTA一1x为正定二定型。

同理，xTB一1x为正定二次型，对任意n维非零列向量x都有xT(A+B)x=xTAx+xTBx＞0，这说明xT(A+B)x 为正定二次型。

由于两个同阶对称阵的乘积未必为对称阵，所以xTABx未必为正定二次型。

知识模块：二次型3．设A，B均为n阶正定矩阵，下列各矩阵中不一定是正定矩阵的是( ) A．A一1+B一1。

B．AB。

C．A*+B*。

D．2A+3B。

正确答案：B解析：A，B为正定矩阵，则A一1，B一1仍是正定矩阵，故A一1+B一1也是正定矩阵。

类似地，选项C、D中的矩阵均为正定矩阵。

故应选B。

事实上，由于(AB)T=BTAT=BA，但AB=BA不一定成立，故AB不一定是正定矩阵。

第五章二次型习题答案(总9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第五章 二次型本章课后习题全解习 题（P232-P234）1．（Ⅰ）用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果： 1）323121224x x x x x x ++-；2）23322221214422x x x x x x x ++++； （Ⅱ）把上述二次型进一步化为规范形，分实系数、复系数两种情形；并写出所作的非退化线性替换．解 （Ⅰ）1）设()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-=，此二次型不含有平方项，故作非退化线性替换11221233,,,x y y x y y x y =+⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 并配方，得到()312221321444,,y y y y x x x f ++-=2223233121444y y y y y y ++-+-= 2221332(2)4y y y y =--++， 再作非退化线性替换11322332,,.z y y z y z y =-⎧⎪=⎨⎪=⎩ 即 113223311,22,.y z z y z y z ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩于是，原二次型的标准形为()2322213214,,z z z x x x f ++-=， 并且，所经过的非退化线性替换为112321233311,2211,22,x z z z x z z z x z ⎧=++⎪⎪⎪=-+⎨⎪=⎪⎪⎩写成矩阵形式即为=X CY ，其中1112211122001⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭C ．根据矩阵验算，得11111022********1111010110402211110001001122⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪'=---= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭C AC ．2）设123(,,)f x x x =23322221214422x x x x x x x ++++． 解法1 配方法．对原二次型进行配方，得()222222123112222331223,,(2)(44)()(2)f x x x x x x x x x x x x x x x =++++=+++，于是，令11222333,2,,y x x y x x y x =+⎧⎪=+⎨⎪=⎩ 则原二次型的标准形为2212312(,,)f x x x y y =+， 且所作的非退化线性替换为1123223332,2,.x y y y x y y x y =-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 相应的替换矩阵为112012001-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭C ，验算，得100110112100110122012010221024001000-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪'=--= ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭C AC ．解法2 矩阵的合同变换法（见本章教材内容全解之标准形的求法）．对⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭A E 施行初等变换，得110100100122012010024024000100110112010010012001001001⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫=→→= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E C Λ． 则原二次型的标准形为2212312(,,)f x x x y y '==+Y Y Λ， 所作的非退化线性替换为=X CY ，即1123223332,2,.x y y y x y y x y =-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 矩阵验证同解法１．（Ⅱ）1）根据（Ⅰ）已求得二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-=的标准形为()2322213214,,z z z x x x f ++-=， 且非退化线性替换为112321233311,2211,22,x z z z x z z z x z ⎧=++⎪⎪⎪=-+⎨⎪=⎪⎪⎩①在实数域上，再作非退化线性替换132231,1,2,z w z w z w =⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ 则有1123212331111,222111,222,x w w w x w w w x w ⎧=++⎪⎪⎪=-+⎨⎪=⎪⎪⎩可得原二次型的规范形为222123123(,,)f x x x w w w =+-． ②在复数域上，再作非退化线性替换112233,1,2,z iw z w z w =⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ 则有112321233311,22211,222,i x w w w i x w w w x w ⎧=++⎪⎪⎪=-+⎨⎪=⎪⎪⎩可得原二次型的规范形为222123123(,,)f x x x w w w =++． 2）根据（Ⅰ）已求得二次型()321,,x x x f 23322221214422x x x x x x x ++++=的标准形为 ()2212312,,f x x x y y =+， 且非退化线性替换为1123223332,2,.x y y y x y y x y =-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 此时，该非退化线性替换已将原二次型化为实数域上的规范形和复数域上的规范形()2212312,,f x x x y y =+．『特别提醒』这个题目使用了化二次型为标准形的两种常用的方法：配方法和矩阵合同变换法．3．证明：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21 与 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n i ii λλλ21 合同，其中12n i i i 是1,2,,n 的一个排列．证法１ 设两个关于12,,,n x x x 和12,,,n y y y 的n 元二次型如下：222121122(,,,)n n nf x x x x x x λλλ=+++，122221212(,,,)n n i i i ng y y y y y y λλλ=+++． 那么12(,,,)n f x x x 和12(,,,)n g y y y 的矩阵即为题目中的两个矩阵．构造非退化的线性替换1212,,,n i i ni y x y x y x =⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩ 则这个线性替换可以将二次型12(,,,)n g y y y 可化成12(,,,)n f x x x ．由于经过一次非退化的线性替换，新旧的两个二次型的矩阵是合同的，故题目中的两个矩阵是合同的．证法２ 设12n λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭A 与 12n i ii λλλ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B ． 对A 交换,i j 两行，再交换,i j 两列，相当于对A 左乘和右乘初等矩阵(,)(,)i j i j '=P P 和(,)i j P ，而(,)(,)i j i j 'P AP即为将A 中的i λ和j λ交换位置得到的对角矩阵．于是，总可以通过这样的一系列的对调变换，将A 的主对角线上的元素12,,,n λλλ变成12,,,n i i i λλλ，这也相当于存在一系列初等矩阵12,,,s Q Q Q ，使得2112ss '''=Q Q Q AQ Q Q B ，令12s =Q Q Q Q ，则有'=Q AQ B ，即A 与B 合同．『方法技巧』证法１利用经过非退化线性替换前后两个二次型的矩阵是合同的这一性质；证法２利用了矩阵的合同变换，直接进行了证明． 7．判断下列二次型是否正定：1）2332223121217160130481299x x x x x x x x x +-++-； 2）23322231212128224810x x x x x x x x x +-+++； 3）jnj i ini i xx x ∑∑≤<≤=+112；『解题提示』利于教材中的定理7进行判别，即利用二次型的矩阵的顺序主子式进行判别．解 1）该二次型的矩阵为99624613030243071-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，由于顺序主子式1990P =>， 29960,6130P -=>- 37558740P ==>A ，故原二次型为正定二次型．2）该二次型的矩阵为10412421412141⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，由于A 的行列式1041242143588012141=-=-<-A ， 故原二次型非正定．3）设二次型的矩阵为1111a a a a a a a a a a aa ⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，其中12a =．由于A 的任意k 阶顺序主子式k P 所对应的矩阵k A 与A 为同类型的对称矩阵，且11[(1)1](1)(1)02kk k k P k a a k -⎛⎫==-+-=+> ⎪⎝⎭A ，1,2,,k n =，故原二次型为正定二次型．8．t 取什么值时，下列二次型是正定的：1）3231212322214225x x x x x tx x x x +-+++； 2）32312123222161024x x x x x tx x x x +++++．解 1）该二次型的矩阵为1112125t t -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，其各阶顺序主子式为110P =>，22111tP t t ==-，()311||1245125t P t t t -===-+-A ． 当顺序主子式全大于零，即210,(45)0t t t ⎧->⎨-+>⎩ 时，原二次型是正定的．解上面不等式组，可得054<<-t ． 于是，当054<<-t 时，原二次型是正定的．2）该二次型的矩阵为1543531t t ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，其各阶顺序主子式为110P =>，22144tP t t ==-，23154330105531t P t t t ===-+-A ， 当顺序主子式全大于零，即2240,301050t t t ⎧->⎪⎨-+->⎪⎩ 时，原二次型是正定的．但此不等式组无解，于是，不存在t 值使原二次型为正定． 『方法技巧』对于具体的二次型，利用其矩阵的顺序主子式判别二次型是否正定是比较常用的．10．设A 是实对称矩阵，证明：当实数t 充分大之后，t +E A 是正定矩阵． 证明 设A 是一个n 级实对称矩阵，12(),(),,()n P t P t P t 是t +E A 的全部顺序主子式．显然t +E A 也是一个实对称矩阵，且其顺序主子式12(),(),,()n P t P t P t 都是首项系数为１的实系数多项式．由实函数的理论可知，存在充分大的M ，使得当t M >时，12(),(),,()n P t P t P t 全大于零．于是，当实数t 充分大之后，t +E A 是正定矩阵．11．证明：如果A 是正定矩阵，那么1-A 也是正定矩阵．证法1 由于A 是正定矩阵，从而A 是对称矩阵，则111()()---''==A A A ，即1-A 也是实对称矩阵．又因为A 是正定矩阵，故'X AX 是正定二次型，作非退化线性替换Y A X 1-=，得到11111()()()-----''''===X AX A Y A A Y Y A AA Y Y A Y ，根据非退化线性替换不改变二次型的正定性，所以1-'Y A Y 为正定二次型，从而1-A 是正定矩阵．证法2 由于A 是正定矩阵，从而A 是对称矩阵，则111()()---''==A A A ，即1-A 也是实对称矩阵．又因为A 是正定矩阵，故A 与单位矩阵E 是合同的，即存在可逆矩阵C ，使得''==A C EC C C ，从而11111111()()()(())()--------''''''====A C C C C C C C E C ，即A 也与单位矩阵E 是合同的．于是1-A 也是正定矩阵．『方法技巧』证法１利用了正定二次型与正定矩阵的对应，以及非退化线性替换不改变矩阵的正定性；证法２根据正定矩阵的等价条件直接进行了证明．13．如果,A B 都是n 级正定矩阵，证明：+A B 也是正定矩阵．证明 因为,A B 为正定矩阵，故,A B 都是n 级实对称矩阵，从而+A B 也是n 级实对称矩阵．设12(,,,)n x x x '=X 是任意一个非零列向量，根据,A B 是正定的可知()0'''+=+>X A B X X AX X BX ，故+A B 也是正定矩阵．『方法技巧』对正定矩阵和正定二次型的定义的考查．。

考研数学二（二次型）模拟试卷25(题后含答案及解析)题型有：1.jpg />由此得A的特征值λ1=0，λ2=λ3=2．于是矩阵kE+A 的特征值为k和k+2(二重)，而矩阵B=(kE+A)2的特征值为k2和(k+2)2(二重)．令矩阵由B～∧．要使矩阵B为正定矩阵，只需其特征值全大于零．因此当k≠0且k≠-2时，B为正定矩阵．解析：本题主要考查实对称矩阵对角化的方法及正定矩阵的判定方法．由矩阵A的特征值求出B的特征值，即可判断B的正定性．另一方法是利用正交变换化A为对角矩阵，代入B可解此题．知识模块：二次型设A为3阶实对称矩阵，且满足条件A2+2A=O．已知A的秩r(A)=2．2．求A的全部特征值；正确答案：设λ为A的一个特征值，对应的特征向量为α，则Aα=λα(α≠0)，A2α=λ2α，于是(A2+2A)α=(λ2+2λ)α，由条件A2+2A=O 推知(λ2+2λ)α=0．又由于α≠0，故λ2+2λ=0．解得λ=-2，λ=0．因为实对称矩阵A必可对角化，且r(A)=2，所以因此，矩阵A的全部特征值为λ1=λ2=-2，λ3=0．解析：本题主要考查实对称矩阵特征值的求法及正定矩阵的判定方法．利用A2+2A=O及r(A)=2，求出A的特征值．利用第一问的结果，求出A+kE的特征值，当其特征值均大于零时，A+kE为正定矩阵．知识模块：二次型3．当k为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．正确答案：矩阵A+kE仍为实对称矩阵．由第一问知，A+kE的全部特征值为-2+k，-2+k，k，于是，当k＞2时矩阵A+kE的特征值均大于零．因此，当k＞2时，矩阵A+kE为正定矩阵．涉及知识点：二次型4．设有n元二次型f(x1，x2，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，…，n)为实数．试问当a1，a2，…，an满足何种条件时，二次型f(x1，x2，…，xn)为正定二次型．正确答案：由题设知，对任意的实数x1，x2，…，xn，有f(x1，x2，…，xn)≥0，其中等号成立当且仅当该齐次线性方程组仅有零解的充分必要条件是其系数行列式所以当1+(-1)n+1α1α2…αn≠0时，对任意n个不全为零的实数x1，x2，…，xn，都有f(x1，x2，…，xn)＞0，即当a1a2…an≠(-1)n 时，二次型f(x1，x2，…，xn)为正定二次型．解析：本题考查正定二次型的判定方法．将二次型f(x1，x2，…，xn)的正定性问题转化为齐次线性方程组仅有零解的问题进行解决．知识模块：二次型设A为n阶实对称矩阵，r(A)=n，Aij是A=(aij)n×n中元素aij的代数余子式(i，j=1，2，…，n)，二次型5．记x=(x1，x2，…，xn)T，把f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式，并证明二次型f(x)的矩阵为A-1；正确答案：二次型f(x1，x2，…，xn)的矩阵形式为因r(A)=n，故A可逆，且由(A-1)T=(AT)-1=A-1知A-1也是实对称矩阵，因此二次型f(x)的矩阵为A-1．解析：本题主要考查二次型的基本理论．首先求出二次型f(x)的矩阵，并证明该矩阵为A-1，且为对称矩阵．然后证明矩阵A与A-1合同．知识模块：二次型6．二次型g(x)=xTAx与f(x)的规范形是否相同?说明理由．正确答案：因为(A-1)TAA-1=(AT)-1E=A-1，所以A与A-1合同，于是g(x)=xTAx与f(x)有相同的规范形．涉及知识点：二次型7．设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n．正确答案：必要性．若BTAB为正定矩阵，则对任意的实n维列向量x≠0，有xT(BTAB)x＞0，即(Bx)TA(Bx)＞0．又A为正定矩阵，于是Bx≠0．因此齐次线性方程组Bx=0仅有零解，从而r(B)=n．充分性．因(BTAB)T=BTATB=BTAB，故BTAB为对称矩阵．若r(B)=n，则齐次线性方程组Bx=0仅有零解．因此，对任意的n维实列向量x≠0，必有Bx≠0．由已知，A 为正定矩阵，故对Bx≠0，有(Bx)TA(Bx)＞0，xT(BTAB)x＞0，故BTAB 为正定矩阵．解析：本题主要考查实对称矩阵为正定矩阵的充分必要条件，齐次线性方程组仅有零解的判别．注意运用齐次线性方程组Bx=0只有零解充分必要条件是，则有Bx≠0，这是证题的关键．知识模块：二次型8．设A，B分别为m阶，n阶正定矩阵，试判定分块矩阵是否是正定矩阵．正确答案：C显然是对称矩阵．令是m+n维列向量，其中x与y分别是m 维，n维列向量，于是x，y不同时为零向量．不妨设x≠0．由矩阵A与B的正定性，有xTAx＞0且yTBy≥0，故即C是正定矩阵．解析：本题主要考查正定矩阵的判定与分块矩阵的运算．证明由矩阵C决定的二次型为正定的即可．知识模块：二次型设为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵．9．计算正确答案：因，有解析：本题主要考查正定矩阵的判定以及分块矩阵的运算．首先求出PT，然后利用分块矩阵的运算法则求出PTDP，再证明B-CTA-1C为正定矩阵．知识模块：二次型10．利用第一问的结果判断矩阵B-CTA-1C是否为正定矩阵，并证明你的结论．正确答案：矩阵B-CTA-1C是正定矩阵．由第一问的结果可知，矩阵D合同于矩阵又D为正定矩阵，可知矩阵M为正定矩阵．因矩阵M为对称矩阵，故B-CTA-1C为对称矩阵．对x=(0，0，…，0)T及任意的y=(y1，y2，…，yn)T ≠0，有即yT(B-CTA-1C)y＞0，故B-CTA-1C为正定矩阵．涉及知识点：二次型已知二次型f(x1，x2，x3)=(1-a)x21+(1-a)x22+2x23+2(1+a)x1x2的秩为2．11．求a的值；正确答案：二次型f的秩为2．所以r(A)=2，于是得a=0．解析：本题考查二次型矩阵的相关性质，用正交变换化二次型为标准形以及使该二次型为0的向量．由r(A)=2，则｜A｜=0，确定参数a．用正交变换化二次型为标准形的常规方法求正交变换；把f化为标准形后可求f(x1，x2，x3)=0的解．知识模块：二次型12．求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化成标准形；正确答案：当a=0时，可知A的特征值为λ1=λ2=2，λ3=0．对于λ1=λ2=2，解齐次线性方程组(2E-A)x=0，得A的属于λ1=λ2=2的线性无关的特征向量为ξ1=(1，1，0)T，ξ2=(0，0，1)T．对于λ3=0，解齐次线性方程组(-A)x=0，得A的属于λ3=0的线性无关的特征向量为ξ3=(-1，1，0)T．易见ξ1，ξ2，ξ3两两正交，只需单位化，得于是则Q为正交矩阵．在正交变换x=Qy 下，二次型的标准形为f=2y21+2y22．涉及知识点：二次型13．求方程f(x1，x2，x3)=0的解．正确答案：在正交变换x=Qy下f(x1，x2，x3)=0化成：2y21+2y22=0，解之得y1=y2=0，从而涉及知识点：二次型已知齐次线性方程组有非零解，且是正定矩阵．14．求a；正确答案：由于方程组有非零解，所以由于A为正定矩阵，必有a＞0，可排除a=0和a=-1，故a=3．解析：本题考查二次型的综合题．通过方程组有解和A正定确定参数a，将二次型f=xTAx化成标准形．再求｜｜x｜｜=1下的极值．知识模块：二次型15．求xTx=1，xTAx的最大值和最小值．正确答案：当a=3时，由得A的特征值为1，4，10．由于a=3时，A为实对称矩阵，故存在正交矩阵P，经正交变换x=Py化二次型xTAx为标准形，从而1=y21+y22+y23≤xTAx=y21+4y22+10y23≤10(y21+y22+y23)=10，故xTAx的最大值为10，最小值为1．涉及知识点：二次型设有3阶实对称矩阵A满足A3-6A2+11A-6E=0，且｜A｜=6．16．写出用正交变换将二次型f=xT(A+E)x化成的标准形(不需求出所用的正交变换)；正确答案：设λ是A的特征值，x是A的关于λ所对应的特征向量，由A3-6A2+11A-6E=O得(λ3-6λ2+11λ-6)x=0，由于x≠0，所以λ3-6λ2+11λ-6=0，得λ=1，2，3．由于｜A｜=6，所以λ1=1，λ2=2，λ3=3为A的三个特征值．由于A+E仍是对称矩阵，其特征值为2，3，4，故存在正交变换x=Py，使f=xT(A+E)x=2y21+3y22+4y23．解析：本题考查用正交变换化二次型为标准形和二次型正定性的判定．知识模块：二次型17．判断二次型f=xT(A+E)x的正定性．正确答案：由于f=xT(A+E)x的标准形的系数全为正，所以f=xT(A+E)x正定．涉及知识点：二次型设二次型18．证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT；正确答案：记x=(x1，x2，x3)T，由于又(2ααT+ββT)T=(2ααT)T+(ββT)T=2ααT+ββT，所以二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT．解析：本题考查抽象二次型化标准形的综合题．知识模块：二次型19．若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y21+y22．正确答案：记A=2ααT+ββT，因为α，β正交且均为单位向量，所以A α=(2ααT+ββT)α=2α，Aβ=(2ααT+ββT)β=β，于是λ1=2，λ2=1是矩阵A的特征值，又r(A)=r(2ααT+ββT)≤r(2ααT)+r(ββT)≤2．所以λ3=0是A的另一特征值，故f在正交变换下的标准形为2y21+y22．涉及知识点：二次型设3元的实二次型f=xTAx的秩为1，且A的各行元素之和为3．20．求一个正交变换x=Py将二次型f=xTAx化成标准；正确答案：由A的各行元素之和为3知，λ1=3是A的特征值，其对应的特征向量为α1=k(1，1，1)T，k≠0为任意常数．由二次型f=xTAx的秩为1知r(A)=1，所以A有二重特征值λ2=λ3=0，设其对应的特征向量为x=(x1，x2，x3)T，则有(x，α1)=0，即x1+x2+x3=0，解得λ2=λ3=0对应的特征向量为则P为正交矩阵，x=Py为正交变换，将二次型f=xTAx化成标准形．f=3y21．解析：本题主要考查综合运用二次型理论化抽象二次型为标准形的题目，先根据二次f=xTAx的秩为1和A的各行元素之和为3确定A的特征值，再根据实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交，求A的特征向量，然后将二次型产f=xTAx化成标准形．知识模块：二次型21．写出该二次型；正确答案：由P-1AP=∧得A=P∧P-1，即所以，二次型涉及知识点：二次型22．求正确答案：涉及知识点：二次型。

第六章 二次型一、基本概念n 个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数,一般形式为f(x 1,x 2,…,x n )= a 11x 12+2a 12x 1x 2+2a 13x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + a 22x 22+2a 23x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + …+a nn x n 2=212nii iij i j i i ja x a x x =≠+∑∑.它可以用矩阵乘积的形式写出:构造对称矩阵A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑==n nn n n n n n n i nj j i ij n x x x a a a a a a a a a x x x x x a x x x f 21212222111211211121),,(),,( 记[]Tx x x X ,,21=，则f(x 1,x 2,…,x n )= X TAX称对称阵A 为二次型f 的矩阵, 称对称阵A 的秩为二次型f 的秩.注意:一个二次型f 的矩阵A 必须是对称矩阵且满足AX X f T=，此时二次型的矩阵是唯一的，即二次型f 和它的矩阵A （A 为对称阵）是一一对应的，因此，也把二次型f 称为对称阵A 的二次型。

实二次型 如果二次型的系数都是实数,并且变量x 1,x 2,…,x n 的变化范围也限定为实数,则称为实二次型.大纲的要求限于实二次型.标准二次型 只含平方项的二次型，即形如2222211n n x d x d x d f +++=称为二次型的标准型。

规范二次型 形如221221q p p p x x x x ++--+ 的二次型，即平方项的系数只1，-1，0，称为二次型的规范型。

二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系对二次型f(x 1,x 2,…,x n )引进新的变量y 1,y 2,…,y n ,并且把x 1,x 2,…,x n 表示为它们的齐一次线性函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn nn y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 代入f(x 1,x 2,…,x n )得到y 1,y 2,…,y n 的二次型g(y 1,y 2,…,y n ). 把上述过程称为对二次型f(x 1,x 2,…,x n )作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵c 11 c 12 … c 1n C = c 21 c 22 … c 2n … … …c n1 c n2 … c nn 是可逆矩阵,则称为可逆线性变量替换.下面讲的都是可逆线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出:CY X =Y AC C Y CY A CY AX X f T T T T )()()(===记AC C B T =，则B B T=，从而BY Y f T=。

考研数学二（二次型）模拟试卷7(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．二次型χTAχ正定的充要条件是A．负惯性指数为零．B．存在可逆矩阵P，使P-1AP＝E．C．A的特征值全大于零．D．存在凡阶矩阵C，使A＝CTC．正确答案：C 涉及知识点：二次型2．设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX，已知r(A)＝2，并且A满足A2－2A＝0．则下列各标准二次型中可用正交变换化为厂的是( )．(1)2y12＋2y22 (2)2y12．(3)2y12＋2y32 (4)2y22＋2y32．A．(1)．B．(3)，(4)．C．(1)，(3)，(4)．D．(2)．正确答案：C 涉及知识点：二次型3．设则A．A与B既合同又相似．B．A与B合同但不相似．C．A与B不合同但相似．D．A与B既不合同又不相似．正确答案：A 涉及知识点：二次型4．设则A．A与B既合同又相似．B．A与B合同但不相似．C．A与B不合同但相似．D．A与B既不合同又不相似．正确答案：B 涉及知识点：二次型5．A＝，则( )中矩阵在实数域上与A合同．A．B．C．D．正确答案：D 涉及知识点：二次型填空题6．已知二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋χ22＋cχ32＋2aχ1χ2＋2χ1χ3经正交变换化为标准形y12＋2y32，则a＝_______．正确答案：0．涉及知识点：二次型7．设三元二次型χ12＋χ22＋5χ32＋2tχ1χ2－2χ1χ3＋4χ2χ3是正定二次型，则t∈_______．正确答案：(－，0)．涉及知识点：二次型8．已知A＝，矩阵B＝A＋kE正定，则k的取值为_______．正确答案：＞0．涉及知识点：二次型解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

9．二次型f(χ1，χ2，χ3)＝aχ12＋aχ22＋(a－1)χ32＋2χ1χ3－2χ2χ3．①求f(χ1，χ2，χ3)的矩阵的特征值．②如果f(χ1，χ2，χ3)的规范形为y12＋y22，求a．正确答案：①f(χ1，χ2，χ3)的矩阵为A＝记B＝则A＝B＋aE．求出B的特征多项式｜λE－B｜＝λ3＋λ2－2λ＝λ(λ＋2)(λ－1)，B的特征值为－2，0，1，于是A的特征值为a－2，a，a＋1．②因为f(χ1，χ2，χ3)的规范形为y12＋y22时，所以A的正惯性指数为2，负惯性指数为0，于是A的特征值2个正，1个0，因此a＝2．涉及知识点：二次型10．a为什么数时二次型χ12＋3χ22＋2χ32＋2aχ2χ3可用可逆线性变量替换化为2y12－3y22＋5y32?正确答案：就是看a为什么数时它们的矩阵合同．写出这两个二次型的矩阵B的特征值是2正1负．又看出1是A的特征值，于是A的另两个特征值应该1正1负，即｜A｜＜0．求得｜A｜＝6－a2，于是a满足的条件应该为：a ＜－或a＞．涉及知识点：二次型11．已知A是正定矩阵，证明｜A＋E｜＞1．正确答案：设A的特征值为λ，λ，…，λ，则A＋E的特征值为λ1＋1，λ2＋1，…，λn＋1．因为A正定，所以λ＞0，λ＋1＞1(i＝1，2，…，n)．于是｜A＋E｜＝(λ1＋1)(λ2＋1)…(λn＋1)＞1．涉及知识点：二次型12．已知二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋4χ22＋4χ32＋2λχ1χ2－2χ1χ3＋4χ2χ3．当λ满足什么条件时f(χ1，χ2，χ3)正定?正确答案：用顺序主子式．此二次型的矩阵A＝它的顺序主子式的值依次为1，4－λ2，4(2－λ－λ2)．于是，λ应满足条件4－λ2＞0，2－λ－λ2＞0，解出A∈(－2，1)时二次型正定．涉及知识点：二次型13．已知二次型f(χ1，χ2，…，χn)＝(χ1＋a1χ2)＋(χ＋aχ)2＋…＋(χn＋anχ1)2．a1，a2，…，an满足什么条件时f(χ1，χ2，…，χn)正定?正确答案：记y1＝χ1＋a1χ2，y2＝χ2＋a2χ3，…，yn＝χn＋anχ1，则简记为Y＝AX．则f(χ1，χ2，…，χn)＝YTY＝XTATAX．于是，实对称矩阵ATA就是f(χ1，χ2，…，χn)的矩阵．从而f正定就是ATA正定．ATA 正定的充要条件是A可逆．计算出｜A｜＝1＋(－1)n-1a1a2…an．于是，f正定的充要条件为a1a2…an≠(－1)n．涉及知识点：二次型14．设A＝，B＝(A＋kE)2．(1)求作对角矩阵D，使得B～D．(2)实数k满足什么条件时B正定?正确答案：(1)A是实对称矩阵，它可相似对角化，从而B也可相似对角化，并且以B的特征值为对角线上元素的对角矩阵和B相似．求B的特征值：｜λE－A｜＝λ(λ－2)2，A的特征值为0，2，2，于是B的特征值为k2和(k＋2)2，(k＋2)2．令D＝则B～D．(2)当k为≠0和－2的实数时，B是实对称矩阵，并且特征值都大于0，从而此时B正定．涉及知识点：二次型15．设A和B都是m×n实矩阵，满足r(A＋B)＝n，证明ATA＋BTB正定．正确答案：显然ATA，BTB都是n阶的实对称矩阵，从而ATA＋BTB也是n阶实对称矩阵．由于r(A＋B)＝n，n元齐次线性方程组(A＋B)X＝0没有非零解．于是，当α是一个非零n维实的列向量时，(A＋B)α≠0，因此Aα与Bα不会全是零向量，从而αT(ATA＋BTB)α＝αTATAα＋αTBTBα＝‖A α‖2＋‖Bα‖2＞0．根据定义，ATA＋BTB正定．涉及知识点：二次型16．设A是3阶实对称矩阵，满足A2＋2A＝0，并且r(A)＝2．(1)求A的特征值．(2)当实数k满足什么条件时A＋kE正定?正确答案：(1)因为A是实对称矩阵，所以A的特征值都是实数．假设A是A的一个特征值，则λ2＋2λ是A2＋2A的特征值．而A2＋2A＝0，因此λ2＋2λ＝0，故λ＝0或－2．又因为r(A－0E)＝r(A)＝2，特征值0的重数为3－r(A－0E)＝1，所以－2是A的二重特征值．A的特征值为0，－2，－2．(2)A ＋kE的特征值为k，k－2，k－2．于是当k＞2时，实对称矩阵A＋kE的特征值全大于0，从而A＋kE是正定矩阵．当k≤2时，A＋kE的特征值不全大于0，此时A＋kE不正定．涉及知识点：二次型17．设A，B是两个n阶实对称矩阵，并且A正定．证明：(1)存在可逆矩阵P，使得PTAP，PTBP都是对角矩阵；(2)当｜ε｜充分小时，A＋εB仍是正定矩阵．正确答案：(1)因为A正定，所以存在实可逆矩阵P1，使得p1TAP1＝E．作B1＝P1TBP1，则B1仍是实对称矩阵，从而存在正交矩阵Q，使得QTB1Q是对角矩阵．令P＝P1Q，则PTAP＝QTP1TAP1Q＝E，PTBP＝QTP1TBP1Q＝QTB1Q．因此P即所求．(2)设对(1)中求得的可逆矩阵P，对角矩阵PTBP 对角线上的元素依次为λ1，λ3，…，λn，记M＝max{｜λ1｜，｜λ2｜，…，｜λn｜}．则当｜ε｜＜1／M时，E＋εPTBP仍是实对角矩阵，且对角线上元素1＋ελi＞0，i＝1，2，…，n．于是E＋εPTBP正定，PT(A ＋εB)P＝E＋εPTBP，因此A＋εB也正定．涉及知识点：二次型18．设C＝，其中A，B分别是m，n阶矩阵．证明C正定A，B都正定．正确答案：显然C是实对称矩阵A，B都是实对称矩阵．｜λEm+n－C｜＝＝｜λEm－A｜｜λEn－B｜于是A，B的特征值合起来就是C的特征值．如果C正定，则C的特征值都大于0，从而A，B的特征值都大于0，A，B都正定．反之，如果A，B都正定，则A，B的特征值都大于0，从而C的特征值都大于0，C正定．涉及知识点：二次型19．设D＝是正定矩阵，其中A，B分别是m，n阶矩阵．记P＝(1)求PTDP．(2)证明B－CTA-1C正定．正确答案：(1)pT)DP＝(2)因为D为正定矩阵，P是实可逆矩阵，所以PTDP正定．于是由上例的结果，得R－CTA-1C正定．涉及知识点：二次型20．二次型f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX在正交变换X＝QY下化为y12＋y22，Q的第3列为①求A．②证明A＋E是正定矩阵．正确答案：①条件说明Q-1AQ＝QTAQ＝于是A的特征值为1，1，0，并且Q的第3列＝(1，0，1)T是A的特征值为。

第六章 二次型一、基本概念n 个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数,一般形式为f(x 1,x 2,…,x n )= a 11x 12+2a 12x 1x 2+2a 13x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + a 22x 22+2a 23x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + …+a nn x n 2=212nii i ij i j i i ja x a x x =≠+∑∑.它可以用矩阵乘积的形式写出:构造对称矩阵A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑==n nn n n n n n n i n j j i ij n x x x a a a a a a a a a x x x x x a x x x f 21212222111211211121),,(),,( 记[]Tx x x X ,,21=，则f(x 1,x 2,…,x n )= X TAX称对称阵A 为二次型f 的矩阵, 称对称阵A 的秩为二次型f 的秩.注意:一个二次型f 的矩阵A 必须是对称矩阵且满足AX X f T=，此时二次型的矩阵是唯一的，即二次型f 和它的矩阵A （A 为对称阵）是一一对应的，因此，也把二次型f 称为对称阵A 的二次型。

实二次型 如果二次型的系数都是实数,并且变量x 1,x 2,…,x n 的变化围也限定为实数,则称为实二次型.大纲的要求限于实二次型.标准二次型 只含平方项的二次型，即形如2222211n n x d x d x d f +++=称为二次型的标准型。

规二次型 形如221221q p p p x x x x ++--+ 的二次型，即平方项的系数只 1，-1，0，称为二次型的规型。

二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系对二次型f(x 1,x 2,…,x n )引进新的变量y 1,y 2,…,y n ,并且把x 1,x 2,…,x n 表示为它们的齐一次线性函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 代入f(x 1,x 2,…,x n )得到y 1,y 2,…,y n 的二次型g(y 1,y 2,…,y n ). 把上述过程称为对二次型f(x 1,x 2,…,x n )作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵c 11 c 12 … c 1n C = c 21 c 22 … c 2n … … …12 …n 是可逆矩阵,则称为可逆线性变量替换.下面讲的都是可逆线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出:CY X =Y AC C Y CY A CY AX X f T T T T )()()(===记AC C B T =，则B B T=，从而BY Y f T=。

第五章 相似矩阵及二次型5.4.1 基础练习 1. (1223),(3151),(,)αβαβ==∠求.2. 若λ＝２为可逆阵Ａ的特征值，则1213A -⎛⎫⎪⎝⎭的一个特征值为 .3. 试证ｎ阶方阵Ａ的满足2A A =，则Ａ的特征值为0或者1.4.已知三维向量空间中，12(111),(121)TTαα==-正交，试求3123,,αααα，使得是三维向量空间的一个正交基.5. 已知向量1(111)T α=，求3R 的一个标准正交基.6. 已知122224242A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，问A 能否化为对角阵？若能对角化，则求出可逆矩阵P ，使1P AP -为对角阵.7. 将二次型222123121323171414448f x x x x x x x x x =++---，通过正交变换x Py =化成标准型.8. 判别二次型()222123123121323,,55484f x x x x x x x x x x x x =+++--是否正定？5.4.2 提高练习1. 设n 阶实对称矩阵A 满足2A A =，且A 的秩为r ，试求行列式det(2E －A).2. 设460350361A ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，问A 能否对角化？若能对角化，则求出可逆矩阵P ，使得-1P AP 为对角阵.3. 已知实对称矩阵220212020A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，分别求出正交矩阵P ，使1P AP -为对角阵. 4. 化二次型()123121323,,f x x x x x x x x x =++为标准形，并求所作的可逆线性变换.5. 设A，B分别为m阶，n阶正定矩阵，试判定分块矩阵ACB⎛⎫= ⎪⎝⎭是否为正定矩阵？6. 判别二次型22256444f x y z xy xz=---++的正定性.7. 判断下列两矩阵A，B是否相似11100111100,111100nA B⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第五章 参考答案5.4.1 基础练习 1.[,]cos ||||||||4αβπθθαβ===∴=2.34. 3.略.4. 设3123()0Tx x x α=≠，则[][]1223,0,,0αααα==，即 12313312321002001x x x x x x x x x α-⎛⎫++==-⎧⎧ ⎪⇒⇒=⎨⎨ ⎪-+==⎩⎩ ⎪⎝⎭5. 设非零向量23,αα都与2α正交，即满足方程11230,0T x x x x α=++=或者，其基础解 系为： 12100,111ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 令 121321101,0,1111ααξαξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭1）正交化令 121122121111[,]1,0,[,]11βαβαβαβαββ⎛⎫⎛⎫⎪⎪===-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭1323233312321122221[,][,][,]12[,][,][,]21βαβαβαβαββαβββββββ-⎛⎫⎪=--=-= ⎪ ⎪-⎝⎭2）标准化令1||||i i i ςββ=，则1231111,0,2111ςςς-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪===⎪⎪⎪⎪⎪⎪--⎭⎭⎭6. 由2122224(2)(7)242A E λλλλλλ---=---=--+--得，1232,7λλλ===-将12λ=λ=2代入()1A-λE x=0，得方程组 12312312322024402440x x x x x x x x x --+=⎧⎪--+=⎨⎪+-=⎩解值得基础解系 12200,111αα⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 同理，对3λ=-7，由()3A-λE x=0，求得基础解系()31,2,2Tα=，由于201120112≠，所以123,,ααα线性无关，即A 有3个线性无关得特征向量，因而A 可对角化，可逆矩阵为：123201(,,)012112P ααα⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭7. 第一步，写出对应得二次型矩阵，并求其特征值 172221442414A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪⎪--⎝⎭， ()()2172221441892414A E λλλλλλ---⎛⎫⎪-=---=-- ⎪⎪---⎝⎭，从而A 的全部特征值为1239,18λλλ===。