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二次型习题一、填空1已知设二次型32312123222132144442),,(x x x x x x ax x x x x x f +++++=的秩为2，则a= .2.实二次型的秩为4，符号差是2-，其典范型为 .3.实数域上一切元二次型可以分成 类,属于同一类的二次型彼此等价.二、选择1. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111111111111111A , ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000000000000004B . 则A 与B . A 合同且相似 B 合同但不相似 C 不合同但相似 D 不合同且不相似2. 二次型32212322213212442),,(x x x x x x x x x x f ---+=的标准形是（ ）A 23222123y y y --B 23222123y y y ---C 22222y y +-D 2222212y y y ++3.实二次型的秩为4，符号差是2-，其典范型为 .A 24232221y y y y +++ B 24232221y y y y -++ C 24232221y y y y --+ D 24232221y y y y --- 4.实数域上秩为3的一切元二次型按其典范形式共可分为（ ）个等价类. A 3 B 4 C 6 D 2)1(+n n5.二次型323121232232184422),,(x x x x x x x x x x x f +-++=的规范形为( )A 232221y y y ++B 232221y y y -+C 232221y y y --D 2221y y - 6.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100012021A ,则下列矩阵中与A 合同的是（ ）. A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001 B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100010001 C ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100010001 D ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1000100017. 设实二次型),,(321x x x f 在正交变换PY X =下的标准型为2322212y y y -+，其中),,(321e e e P =，若),,(231e e e Q -=,则),,(321x x x f 在正交变换QY X =下的标准型为( ) R n R nA 2322212y y y +-B 2322212y y y -+C 2322212y y y --D 2322212y y y ++8. 二次型32212322213212442),,(x x x x x x x x x x f ---+=的标准形是（ ）A 23222123y y y --B 23222123y y y ---C 22222y y +-D 2222212y y y ++三、解答、证明1.二次型3231212322213212822),,(x x x x x x ax x x x x x f +-++-=在正交变换QYX =下的标准型为222211y y λλ+求正交矩阵Q 及a . 2. 设二次型)0(222),,(31232221321>+-+=m x mx x x kx x x x f ，其中二次型的矩阵A的迹为1，12det -=A .(1) 求m k ,.（2）用正交变换化二次型为标准型，并求所作的正交变换.3. 分别用配方法、合同变换法、正交变换法化下列二次型为标准型,并写出所用的非退化线性替换.最后写出其规范型.(1)32312123213212423),,(x x x x x x x x x x x f ++++= (2) 323121321),,(x x x x x x x x x f ++=（3）323121232232184422),,(x x x x x x x x x x x f +-++= （4）32212322213212442),,(x x x x x x x x x x f ---+= 4.用正交线性替换将二次型f (x 1，x 2，x 3)=x 12+4x 22+x 32–4x 1x 2–8x 1x 3–4x 2x 3化为标准形．。
第六章 二次型一、基本概念n 个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数,一般形式为f(x 1,x 2,…,x n )= a 11x 12+2a 12x 1x 2+2a 13x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + a 22x 22+2a 23x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + …+a nn x n 2=212nii i ij i j i i ja x a x x =≠+∑∑.它可以用矩阵乘积的形式写出:构造对称矩阵A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑==n nn n n n n n n i n j j i ij n x x x a a a a a a a a a x x x x x a x x x f 21212222111211211121),,(),,( 记[]Tx x x X ,,21=，则f(x 1,x 2,…,x n )= X TAX称对称阵A 为二次型f 的矩阵, 称对称阵A 的秩为二次型f 的秩.注意:一个二次型f 的矩阵A 必须是对称矩阵且满足AX X f T=，此时二次型的矩阵是唯一的，即二次型f 和它的矩阵A （A 为对称阵）是一一对应的，因此，也把二次型f 称为对称阵A 的二次型。
实二次型 如果二次型的系数都是实数,并且变量x 1,x 2,…,x n 的变化围也限定为实数,则称为实二次型.大纲的要求限于实二次型.标准二次型 只含平方项的二次型，即形如2222211n n x d x d x d f +++=称为二次型的标准型。
规二次型 形如221221q p p p x x x x ++--+ 的二次型，即平方项的系数只 1，-1，0，称为二次型的规型。
二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系对二次型f(x 1,x 2,…,x n )引进新的变量y 1,y 2,…,y n ,并且把x 1,x 2,…,x n 表示为它们的齐一次线性函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 代入f(x 1,x 2,…,x n )得到y 1,y 2,…,y n 的二次型g(y 1,y 2,…,y n ). 把上述过程称为对二次型f(x 1,x 2,…,x n )作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵c 11 c 12 … c 1n C = c 21 c 22 … c 2n … … …12 …n 是可逆矩阵,则称为可逆线性变量替换.下面讲的都是可逆线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出:CY X =Y AC C Y CY A CY AX X f T T T T )()()(===记AC C B T =，则B B T=，从而BY Y f T=。
二次多项式难题集锦本文档旨在提供一系列关于二次多项式的难题，以帮助读者更好地理解和应用二次多项式的概念和解法。
本文档包含了以下几个难题及其解析。
难题一已知二次多项式 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 的图像经过点 $A(2, 5)$ 和点 $B(1, 1)$，求 $f(x)$ 的表达式以及系数 $a$、$b$、$c$ 的值。
解析：根据已知条件，我们可以列出以下方程组：$$\begin{align*}4a + 2b + c &= 5 \\a +b +c &= 1\end{align*}$$解方程组，求得 $a = 1$，$b = -2$，$c = 2$。
因此，$f(x) = x^2 - 2x + 2$。
难题二已知二次多项式 $f(x)$ 的图像经过点 $A(2, 1)$，其对称轴为直线 $x = 1$，求 $f(x)$ 的表达式。
解析：由于对称轴为 $x = 1$，则 $A(2, 1)$ 关于对称轴对称的点为 $A'(0, 1)$。
因此，点 $A'$ 也在 $f(x)$ 的图像上。
根据对称性质，可以推知 $A'$ 的横坐标比 $A$ 的横坐标小了$1$，即 $2 - 1 = 1 - 0$。
由此我们可以得到以下方程：$$f(1 - 1) = f(0) = 1$$因此，我们可以确定 $f(x)$ 的表达式为 $f(x) = (x - 1)^2 + 1$。
难题三已知二次多项式 $f(x) = 2x^2 - 5x + k$ 在 $x = 2$ 处取得极小值为 $-1$，求常数 $k$ 的值。
解析：根据题目所给信息，我们可以得到以下方程：$$f(2) = 2(2)^2 - 5(2) + k = -1$$解方程，求得 $k = 7$。
因此，$f(x) = 2x^2 - 5x + 7$。
总结本文档介绍了关于二次多项式的难题集锦，涵盖了求表达式、系数和常数的求解方法。
第六章 二次型一、基本概念n 个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数,一般形式为f(x 1,x 2,…,x n )=a 11x 12+2a 12x 1x 2+2a 13x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + a 22x 22+2a 23x 1x 3+…+2a 1n x 1x n +…+a nn x n 2=212nii i ij i j i i ja x a x x =≠+∑∑.它可以用矩阵乘积的形式写出:构造对称矩阵A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑==n nn n n n n n n i nj j i ij n x x x a a a a a a a a a x x x x x a x x x f 21212222111211211121),,(),,( 记[]T x x x X ,,21=，则f(x 1,x 2,…,x n )= X TAX称对称阵A 为二次型f 的矩阵, 称对称阵A 的秩为二次型f 的秩.注意:一个二次型f 的矩阵A 必须是对称矩阵且满足AXX f T =，此时二次型的矩阵是唯一的，即二次型f 和它的矩阵A （A 为对称阵）是一一对应的，因此，也把二次型f 称为对称阵A 的二次型。
实二次型 如果二次型的系数都是实数,并且变量x 1,x 2,…,x n 的变化范围也限定为实数,则称为实二次型.大纲的要求限于实二次型.标准二次型 只含平方项的二次型，即形如2222211n n x d x d x d f +++=称为二次型的标准型。
规范二次型 形如221221q p p p x x x x ++--+ 的二次型，即平方项的系数只1，-1，0，称为二次型的规范型。
二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系对二次型f(x 1,x 2,…,x n )引进新的变量y 1,y 2,…,y n ,并且把x 1,x 2,…,x n 表示为它们的齐一次线性函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 代入f(x 1,x 2,…,x n )得到y 1,y 2,…,y n 的二次型g(y 1,y 2,…,y n ). 把上述过程称为对二次型f(x 1,x 2,…,x n )作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵c 11 c 12 … c 1n C = c 21 c 22 … c 2n… … …c n1 c n2 … c nn 是可逆矩阵,则称为可逆线性变量替换.下面讲的都是可逆线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出:CY X =Y AC C Y CY A CY AX X f T T T T )()()(===记AC C B T =，则B B T =，从而BY Y f T =。
微分二次多项式例题
（原创实用版）
目录
1.微分二次多项式的概念
2.微分二次多项式的解法
3.微分二次多项式的应用
正文
一、微分二次多项式的概念
微分二次多项式是微积分中的一个重要概念，它是指一个关于自变量x 的导数二次方程。
在微积分中，我们常常需要求解这类问题，以了解函数的性质和变化规律。
二、微分二次多项式的解法
求解微分二次多项式，通常需要运用一些数学方法。
这里我们通过一个具体的例题来说明其解法。
例题：已知函数 f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d（a ≠ 0），求 f"(x)，即 f(x) 的导数。
解：f"(x) = 3ax^2 + 2bx + c
这是一个关于 x 的二次方程，可以通过求根公式或配方法求解。
三、微分二次多项式的应用
求解微分二次多项式的实际应用非常广泛，比如在物理、工程等领域。
了解这类问题的解法，有助于我们更好地理解函数的性质和变化规律，从而为实际问题提供理论支持。
以上就是关于微分二次多项式的概念、解法和应用的详细介绍，希望对大家有所帮助。
多 项 式例1 设)(x f 和)()()(1x g x p x g m =都是数域P 上的多项式，其中1≥m 且)(x p 不整除)(x f ，1))(),((1=x g x p ，则有数域P 上多项式)(1x f 和)(x r ，使)()()()()(11x r x g x p x f x f +=，其中))(())((x p x r ∂<∂。
证明由1))(),((1=x g x p 知有数域P 上的多项式)(),(x v x u 使1)()()()(1=+x g x v x p x u 。
由带余除法定理有)()()()(01x r x p x q x f +=，而)(x p 不整除)(x f ，所以有))(())((0x p x r ∂<∂，于是由1)()()()(1=+x g x v x p x u 有)()()()()()()()()(1001x g x v x r x p x u x r x p x q x f ++=。
再由带余除法定理有)()()()()(2x r x p x q x v x r +=，同样由)(x p 不整除)(x f 及上式有))(())((x p x r ∂<∂，代入上式，得)()()())()()()()(()(12101x g x r x p x q x g x u x r x q x f +++=，令)()()()()()(21011x q x g x u x r x q x f ++=，则结论成立。
例2 设d n m ,,是正整数，证明 (1) n d x x n d ⇔--11，(2) d n m x x x d n m =⇔-=--),(1)1,1(．证明 (1) 充分性 由n d 设dq n =，∈q Z ，则)1)(1(1)(11)1(+++-=-=-=--d q d d q d dq n x x x x x x ， 所以11--nd x x ．必要性 设r dq n +=，0≤d r <，则)1()1(1111-+-=-+-=-=-=-+r dq r r r dq r dq r dq n x x x x x x x x x x ， 由充分性的证明知11--dq d x x ，于是由11--n d x x 及整除的组合性质有11--rd x x ，进而由0≤d r <得0=r ，所以n d ．(2) 必要性 由条件知11--m d x x 且11--n d x x ，从而由(1)有m d 且n d ． 若m h 且n h ，由(1)有11--m h x x 且11--n h x x ，从而由条件有11--d h x x ，再由 (1)得d h ．综上得d n m =),(．充分性证法一 由d n m =),(及(1)知 11--m d x x 且11--n d x x ．设1)(-m x x h 且1)(-n x x h ． 若n m 或m n ，则结论显然成立．否则有非零整数v u ,使d vn um =+，且v u ,的正负性相反，不妨设0,0<>v u ，则n v d um )(-+=，从而1)1(111)()()(-+-=-+-=-=----d n v d d d n v d n v d um x x x x x x x x x x ， 于是由1)(-m x x h ，1)(-n x x h 及(1)可得1)(-d x x h ．综上有 1)1,1(-=--d n m x x x ．证法二 由d n m =),( 及(1)有11--m d x x 且11--n d x x ，设1)(-m x x h 且1)(-n x x h ． 若0))((=∂x h ，则1)(-d x x h ，否则由1-m x 无重根知)(x h 也无重根，设)())(()(21k x x x x h ααα---= ，其中k ααα,,,21 是互不相同的复数，则由1)(-m x x h 且1)(-n x x h 知k ααα,,,21 是1-m x 和1-n x 的公共根，即1=m i α，1=n i α．而由d n m =),(有d vn um =+，所以1==vn i um i d i ααα，因此i α是1-d x 的根，故1--d i x x α，k i ,,2,1 =．而k x x x ααα---,,,21 两两互素，所以有1)(-d x x h ．综上有1)1,1(-=--d n m x x x ．例3 设n k n k n k x x x x x x f )1()2()1(2)1()(1++++++=-++ ，证明11)1()()1(+++++-n k k x x f x x证明 由于n k k k x x x x x x f )1]()2()1(2)1[()(1++++++=- )1(21+-=-x x x所以1)1()()1(++++-n k x x f x11)1()1]()2()1(2)1)][(1(2[++-+++++++++-=n k n k k k x x x x x x x x111)1()1]()1()2[(++++++++-=n k n k k x x x xn k k x x )1(211+=++， 故11)1()()1(+++++-n k k x x f x x 。
例4 设)()(x f x g m m ，m ≥2，证明)()(x f x g ．证明(用标准分解式) 若0)(=x f ，则结论成立．若0)(≠x f ，则0)(≠x g ．设)()()()(211x p x p x ap x f s k k s k k =，)()()()(211x p x p x bp x g s k l s l l =，其中)(,),(),(21x p x p x p s 是两两互素的首一不可约多项式，i i l k ,),,2,1(s i =是自然数，则)()()()(211x p x p x ap x f s k mk s mk mk m =，)()()()(211x p x p x bp x g s k ml s ml ml m =， 由)()(x f x g m m 得i mk ≤i ml ，故i k ≤i l ，s i ,,2,1 =，所以)()(x f x g ．例5 设)(x f 是数域P 上的不可约多项式，且1))((>∂x f ，若)(x f 的某个根α的倒数也是)(x f 的根，证明)(x f 每个根的倒数都是)(x f 的根．证明 设∑==n i i i x a x f 0)(，则由)(x f 不可约知00≠a ．令∑=-=n i in i x a x g 0)(，由α1是)(x f 的根有010=∑=n i i i a α，即00=∑=-n i i n i a α，故α也是)(x g 的根，从而)(),(x g x f 不互素，再由)(x f 不可约有)()(x g x f ．设β是)(x f 的任意一个根，则0≠β，则由)()(x g x f 知β也是)(x g 的根，于是由上面的证明知β1是)(x f 的根． 例6设)1()(11>+++=-n a x a x x f n n n 是整系数多项式，n b b b ,,,21 是互不相同的整数且),,2,1(1)(n i b f i =-=，证明)(x f 在有理数域上不可约．证明 若)(x f 在有理数域上可约，则)(x f 可表成两个较低次的整系数多项式的乘积)()()(x h x g x f =，于是由1)(-=i b f 有1)()(-=i i b h b g ．而)(i b g 和)(i b h 都是整数，故有-=)(i b g )(i b h ),,2,1(n i =，从而由n b b b ,,,21 互不相同及)(),(x h x g 的次数都小于n 有)()(x h x g -=，从而)()(2x g x f -=，这与)(x f 是首一多项式相矛盾，故)(x f 在有理数域上不可约．例7 设)(x f 是次数大于零的整系数多项式，且有整数a 使3)2()1()(=+=+=a f a f a f ， 证明对于任意整数b ，都有5)(≠b f ．证明 由3)2()1()(=+=+=a f a f a f 知2,1,++a a a 都是多项式3)(-x f 的根，又多项式2,1,-----a x a x a x 两两互素，故有)()2)(1)((3)(x q a x a x a x x f -----=-，而)2)(1)((-----a x a x a x 是本原多项式，3)(-x f 是整系数多项式，所以)(x q 是整系数多项式．若有整数c ，使5)(=c f ，则由上式有=-=3)(2c f )()2)(1)((c q a c a c a c -----，由于)(c q 是整数，故2有三个连续的整数因子2,1,-----a c a c a c ，这不可能，所以对于任意整数b ，都有5)(≠b f ．二次型例1 设AX X X f '=)(是n 元二次型，若f 是半正定二次型，则))(()(2AY Y AX X AY X ''≤'。
若f 是正定二次型，则))(()(12Y A Y AX X Y X -''≤'。
证明若f 是半正定的，则有矩阵C 使C C A '=，于是222),()()(CY CX CY C X AY X =''='))(()((),)(,(AY Y AX X CY C Y CX C X CY CY CX CX ''=''''=≤。
若f 是正定的，则有可逆矩阵D 使D D A '=，于是21212))(,())(()(Y D DX Y D D X Y X --'='''='))(())(,))((,(111Y A Y AX X Y D Y D DX DX ---''=''≤。
例2 A 设是n 级正定矩阵，B 是m n ⨯实矩阵，证明)()(B R AB B R ='。
证明由A 设是正定矩阵知有n 级实可逆矩阵C 使C C A '=，于是由CB 是实矩阵以及C 可逆得)()())()(()()(B R CB R CB CB R CB C B R AB B R =='=''='。
