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其他类型的二次型及矩阵

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二次型及其矩阵

二次型及其矩阵

第五章 二次型在解析几何中，为了便于研究二次曲线122=++cy bxy ax 的几何性质，可以选择适当的坐标旋转变换⎩⎨⎧'+'='-'=θθθθc o s s i n s i n c o s y x y y x x把方程化为标准形式122='+'y c x m .这类问题具有普遍性，在许多理论问题和实际问题中常会遇到，本章将把这类问题一般化，讨论n 个变量的二次多项式的化简问题.第一节 二次型及其矩阵内容分布图示★ 二次型的定义 ★ 例1 ★ 二次型的矩阵形式 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5★ 线性变换★例6★ 矩阵的合同 ★ 内容小结 ★ 习题5-1 ★返回内容要点：一、二次型的概念定义1 含有n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次函数nn n n n n n n nnn n x x a x x a x x a x x a x x a x a x a x a x x x f 1,12232231121122222221112122222),,,(--+++++++++++=称为二次型. 当ij a 为复数时，f 称为复二次型；当ij a 为实数时，f 称为实二次型.在本章中只讨论实二次型.只含有平方项的二次型 2222211nn y k y k y k f +++= 称为二次型的标准型(或法式).二、二次型的矩阵取ij ji a a =,则,2i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=于是∑==++++++++++++=nj i ji ij nnn n n n n nn nn n x x ax a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x x f 1,222112222221221112112211121),,,()()()(22112222121212121111n nn n n n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x ++++++++++++=.),,,(),,,(212122221112112122112222121121211121AX X x x x a a aa a aa a a x x x x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x T n nn n n n n n n nn n n n n n n n =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++=其中 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n n a a a a a a a a a A x x x X 21222211121121,.称AX X x f T =)(为二次型的矩阵形式. 其中实对称矩阵A 称为该二次型的矩阵.二次型f 称为实对称矩阵A 的二次型. 实对称矩阵A 的秩称为二次型的秩. 于是，二次型f 与其实对称矩阵A 之间有一一对应关系.三、线性变换定义2 关系式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 21122212121121111称为由变量n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 的线性变换. 矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n c c cc c c c c c C212222111211 称为线性变换矩阵. 当0||≠C 时，称该线性变换为可逆线性变换.对于一般二次型AX X X f T =)(,我们的问题是：寻求可逆的线性变换CY X =将二次型化为标准型，将其代入得AX X X f T =)(Y AC C Y CY A CY T T T )()()(==这里，Y AC C Y T T )(为关于n y y y ,,,21 的二次型，对应的矩阵为AC C T .注: 要Y AC C Y T T )(为标准型，即要AC C T 为对角矩阵。

6.1二次型的定义及其矩阵表示

6.1二次型的定义及其矩阵表示
对称矩阵A的秩叫做二次型 f 的秩.
• 例1 用矩阵形式表示下列二次型 • （1） f (x, y) 5x2 8xy 3y2 • 解： a11 5, a12 a21 4, a22 3
• 所以
f
(x,
y)
x,Байду номын сангаас
y
5 4
4 x
3
y
• （2） • 解：
f
(x1, x2 , x3
a11 0, a12
一、二次型的概念
定义4.11
含有n个变量 x1 ,
x2 ,
,
x
的二次齐次函数
n
f x1 , x2 , , xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn
称为二次型. 简记为 f f (x1, , xn )
当aij是复数时, f称为复二次型 ;
当aij是实数时, f称为实二次型 .
1/21
二、二次型的表示方法
1．用和号表示
对二次型
f x1 , x2 , , xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn 取a ji aij , 则2aij xi x j aij xi x j a ji x j xi ,于是
)12x, 3a2 13
x1x2
0;
2 x2
x3
a21
1 2
, a22
0, a23
1;
a31 0, a32 1, a33 1
• 所以：
0
1 2
0
A
1 2
0

线性代数 二次型及其矩阵表示

线性代数 二次型及其矩阵表示


记作 X PY , X x1 , x2 ,L xn , Y y1 , y2 ,L yn 注 非退化线性变换的逆变换仍为非退化的；连续多次 施行非退化线性变换其结果仍为一个非退化的线性变换，
T T
且系数矩阵等于非退化线性变换矩阵的乘积．
n
n
②
２、二次型 f ( x1 , x2 , 的矩阵表示
2 , xn ) a11 x1 a12 x1 x2
a1n x1 xn
x1
x2
x2 a21 x1 a22 x2 a2 n xn xn an1 x1 an 2 x2 ann xn a11 a12 L a1n x1 a a22 L a2 n x2 ③ 21 L xn M M M M an1 an 2 L ann xn
f ( x1 , x2 ,
2 , xn ) a11 x1 a12 x1 x2 a1n x1 xn 2 a21 x2 x1 a22 x2 a2 n x2 xn 2 an1 xn x1 an 2 xn x2 ann xn
aij xi x j
i 1 j 1
f称为对称矩阵Ａ的二次型； Ａ称为二次型f的矩阵； 练习 写出下列二次型的对称矩阵．
例１
2 2 1）实数域Ｒ上的２元二次型 f ax 2bxy cy
2）实数域上Ｒ的３元二次型 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) 2 x1 4 x1 x2 6 x1 x3 5 x2 4 x2 x3 3）复数域Ｃ上的４元二次型 2 f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) ix1 x2 3 x1 x4 5 x2 (3 i ) x2 x3 a b A 解： 1） b c

线性代数二次型

线性代数二次型

第五章 1二次型与对称矩阵一、 二次型及其矩阵1 定义：含有n 个变量的二次齐次函数：22212111222(,,,)n nn nf x x x a x a x a x =+++12121313(1)1222n n n n a x x a x x a x x --++++称为二次型。

为便于用矩阵讨论二次型，令ij ji a a =，则二次型为：212111121211(,,,)n n n f x x x a x a x x a x x =+++ 2212122222n n a x x a x a x x +++++21122n n n n nn na x x a x x a x ++++ ,1nij i j i j a x x ==∑令111212122212n n n n nn a a a aa a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 12n x x x x ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则 12(,,,)T n f x x x x Ax =，且A 为对称矩阵。

由于对称矩阵A 与二次型f 是一一对应关系，故称对称矩阵A 为二次型f 的矩阵，也称二次型f 为对称矩阵A 的二次型，()R A 也称为二次型f 的秩。

例1 设31322123222132197532),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=.试求二次型矩阵A .解 111=a , 222=a , 333=a , 252112==a a , 273223==a a , 293113==a a .于是得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=327292722529251A ，1123235912257(,,)22297322x f x x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭例2 已知三阶矩阵A 和向量X ,其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=233110321A , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321x x x X .求二次型AX X T 的矩阵.解 由于A 不是对称矩阵,故A 不是二次型AX X T 的矩阵.因为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=T321321233110321),,(x x x x x x AX X3231212322214622x x x x x x x x x -++++=, 故此二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--223211311.二、线性变换1 标准形定义：形如2222211n n x d x d x d +++ 的二次型称为二次型的标准形。

二次型矩阵形式

二次型矩阵形式

二次型矩阵形式二次型是数学中一个重要的概念，与矩阵紧密相关。

在接下来的文章中，我将详细介绍二次型及其矩阵形式，包括定义、性质、特征值和特征向量以及矩阵对角化等内容。

首先，我们来定义二次型。

给定一个n维向量x = (x1, x2, ..., xn)，我们可以定义一个二次型Q(x)如下：Q(x) = x1^2 + x2^2 + ... + xn^2其中，x1, x2, ..., xn是向量x的分量。

上述二次型表示了一个向量x各个分量的平方和。

一般地，我们可以用一个n维向量x和一个实对称矩阵A来表示一个二次型，如下所示：Q(x)=x^TAx其中，x^T表示向量x的转置，表示行向量。

接下来，我们来探讨二次型的性质。

首先，我们看到二次型的系数矩阵A是实对称矩阵。

这是因为在二次型的定义中，我们可以通过转置操作将行向量x转换为列向量，从而使得系数矩阵A是对称的。

实对称矩阵有很多重要的性质，例如它总是可以对角化的。

另外，二次型对应的系数矩阵A也具有特殊的性质，即正定、负定或半正定、半负定。

如果对于任意非零向量x，都有Q(x)>0，那么二次型Q(x)为正定；如果对于任意非零向量x，都有Q(x)<0，那么二次型Q(x)为负定；如果对于任意非零向量x，都有Q(x)>=0，那么二次型Q(x)为半正定；如果对于任意非零向量x，都有Q(x)<=0，那么二次型Q(x)为半负定。

正定、负定、半正定和半负定是描述二次型的重要概念，它们在优化问题、凸优化和最小二乘等领域中有着广泛应用。

特征值和特征向量也是与二次型密切相关的概念。

给定一个二次型Q(x)=x^TAx，其中A是一个n阶实对称矩阵，如果存在一个非零向量v，使得Av=λv，其中λ是一个实数，那么v是矩阵A的特征向量，λ是对应的特征值。

特征值和特征向量能够帮助我们更好地理解和分析二次型的性质。

矩阵对角化也是二次型的一个重要应用。

对于一个n阶实对称矩阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^TAP是一个对角矩阵D，那么我们称矩阵A可对角化。

1--二次型及其矩阵

1--二次型及其矩阵

例2.设二次型f ( x1 , x2 , x3 ) 的秩为2。
1.求参数c; 2.写出二次型的矩阵。
1 0 2 A 0 1 2, 2 2 c
2 x1
x2 cx3 4 x1 x3 4 x2 x3
2
2
由f ( x1 , x2 , x3 ) x12 x2 2 cx32 4 x1 x3 4 x2 x3的秩为2
B C AC B B,Y BY为二次型且A与B合同,
T
作可逆变 换X CY T
T
r( A) r( B).
由上讨论可得：
定理1 二次型f ( x1 , x2 ,, xn ) X T AX 经可逆线性变换
X CY 变成新变元的二次型 f Y BY , 它的矩 阵B C AC且r ( A) r ( B ).
的矩阵
Cn n
c11 c12 c21 c22 c n1 cn 2
c1n c2 n cnn
可逆，则称线性变换为可逆 线性变换； 正交，则称线性变换为正交 变换。
定义5：设A，B为两个n阶矩阵，若有n阶可逆阵P， 使得PT AP B，则称矩阵A与B合同，记为 A ~ B.
X AX
a11 a12 a21 a22 A a n1 an 2
x1 x2 X x n
a1n a2n ann
二次型的矩阵 （显然这是实 对称阵）
T X AX , 则称对称矩阵 A 定义3：设二次型 f ( x1 , x2 , , xn )
的秩为二次型 f 的秩。
三、二次型经可逆变换后的矩阵：

§5.1 二次型及矩阵表示


B = C ′AC , | C |≠ 0 ， 则 A = (C −1 )′ BC −1 = P′BP, P = C −1 ≠ 0
若 则
A1 = C1′ AC1 , A2 = C2′ A1C2 , C1 ≠ 0, C2 ≠ 0 ，
（3）传递性：
A2 = (C1C2 )′ A(C1C2 ) = Q′AQ,
（5.1）
（5.2）
f ( x, y ) = a′x′2 + c′y′2
（5.3）
（5.1）的右边是一个二元齐次多项式，把它化为标准方程 用代数的语言来说，就是用变量替换（5.2）把二元齐次多项式 化为只含平方项的标准方程。
第五章 二次型
能不能把这个结果推广到一般的 n 元齐次多项式？ 这需要引入 n 元齐次多项式的概念。 定义1：F是一个数域，系数在F中的n个文字 x1 , x2 ," , xn 的二次齐次多项式
第五章 二次型
例如： f ( x1 ) = 3 x12 是一元二次型；
2 f ( x1 , x2 ) = 2 x12 − 6 x1 x2 + 5 x2 是二元二次型；
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = x12 + x1 x2 + 3 x1 x3 + 2 x2 + 4 x2 x3 + 3 x3
⎛ n ⎞ ⎜ ∑ a1 j x j ⎟ ⎜ jn=1 ⎟ ⎜ a x ⎟ n n n ∑ 2j j = ( x1 , x2 ,..., xn ) ⎜ j =1 ⎟ = x1 ∑ a1 j x j + x2 ∑ a2 j x j + " + xn ∑ anj x j ⎜ ⎟ j =1 j =1 j =1 # ⎜ n ⎟ ⎜ ⎜ ∑ anj x j ⎟ ⎟ ⎝ j =1 ⎠

线性代数第23讲 二次型及其矩阵


是一个含有4个 变量的实二次型.
(4) f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) x1 x2 2 x1 x3 4 x1 x4 3 x2 x4
是一个含有4个 变量的实二次型.
(5) f ( x , y ) x 2 xy y 2 5 x 1 不是一个实二 次型, 因为它含有一次项 5 x 及常数项1. (6) f ( x1 , x2 , x3 ) x13 x1 x2 x1 x3 不是一个实二
1 0 1 A 1 0 1 / 2 , 0 1/ 2 2
求 A 对应的实二次型. 解 A 是三阶阵, 故有3个变量, 则实二次型为
1 0 x1 1 f ( x1 , x2 , x3 ) ( x1 , x2 , x3 ) 1 0 1 / 2 x2 0 1/ 2 x 2 3
2 2 2 f ( x , y , z ) 3 x 2 xy 2 xz y 4 yz 5 z ( 2) 2 2 2 2 2 3 x xy xz xy y 2 yz xz 2 yz 5 z 2 2
相应的实对称阵为
3 1 1 1 2/2 2
二次型及其矩阵
一、二次型的定义 二、二次型的矩阵形式
一、二次型的定义
定义1 含有 n 个变量 x1 , x2 ,, xn 的二次齐次函数
f ( x1 , x2 ,, xn ) a11 x a22 x ann x 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn
易见, 一个二次型与一个对称矩阵之间一一对应. 对称矩阵 A的秩叫做二次型 f的秩.
例 2 写出下列实二次型相应的对称阵.

二次型及其矩阵表示


二次型的标准型的意 义
标准型在二次型的理论和应用中具有 重要意义。例如，通过研究标准型， 我们可以更好地了解二次型的性质和 特点。此外，标准型也常常用于求解 二次型的最小二乘问题等应用中。
二次型的标准化的方 法
二次型的标准化方法包括将二次型转 化为标准型的过程。这个过程可以通 过正交变换来实现，具体来说就是通 过一系列可逆变换将二次型转化为其 同类中最为简单的一种形式。
02
二次型的矩阵表示
二次型的矩阵形式
二次型的矩阵形式
二次型可以表示为矩阵的形式，其中矩阵元素是二次项系数。对于一个二次型 $f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$，其矩阵形式可以表示为 $f = x^T A x$，其中 $A$ 是一个对称矩阵。
矩阵的对称性
对于一个二次型 $f = x^T A x$，如果存在一个可逆矩阵 $P$，使得 $f = (Px)^T A (Px)$ ，则称该二次型是正定的。正定二次型的矩阵 $A$ 是对称正定的。
正定二次型的性质
正定二次型具有一些特殊的性质。例如，正定二次型的标准型是唯一的，并且可以通过正 交变换将任何一个正定二次型转化为标准型。此外，正定二次型的矩阵是正定的，即其所 有特征值都是正的。
二次型的标准型介绍
二次型的标准型定义
二次型的标准型是指将二次型转化为 其同类中最为简单的一种形式。通过 作可逆变换，任何一个二次型都可以 化为标准型。
03
二次型的计算方法
二次型的矩阵计算
矩阵的二次型
对于一个给定的矩阵A，其二次型可以通过对其进行矩阵乘法 得到。
矩阵的奇异值分解
奇异值分解是一种将矩阵分解为三个矩阵的乘积的方法，这种 方法可以用于计算二次型的值。

线性代数二次型与二次型矩阵

线性代数二次型与二次型矩阵二次型在线性代数中扮演了重要的角色，它是数学中一种重要的函数形式。

本文将介绍线性代数中的二次型以及与之相关的二次型矩阵。

1. 二次型的定义在线性代数中，二次型是指一个二次齐次多项式，它的形式可以表示为：$$Q(x_1, x_2, \ldots, x_n) = a_{11}x_1^2 + a_{22}x_2^2 + \ldots +a_{nn}x_n^2 + 2a_{12}x_1x_2 + 2a_{13}x_1x_3 + \ldots + 2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n$$其中，$x_1, x_2, \ldots, x_n$ 是 $n$ 个实数变量，$a_{ij}$ 是实数系数。

2. 二次型矩阵对于一个二次型 $Q(x_1, x_2, \ldots, x_n)$，可以将其对应的系数矩阵标记为 $A$。

矩阵 $A$ 的元素 $a_{ij}$ 即为二次型中 $x_i$ 和$x_j$ 的系数。

例如，$a_{11}$ 对应的是 $x_1^2$ 的系数。

对应于上述的二次型，我们可以将其系数矩阵表示为：$$A = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \\\end{bmatrix}$$其中，$A$ 是一个 $n \times n$ 的矩阵。

3. 二次型矩阵的性质二次型矩阵具有一些重要的性质，下面列举其中几个：- 如果矩阵 $A$ 是一个对称矩阵，即 $A = A^T$，那么对应的二次型就是轴对称的。

- 二次型矩阵 $A$ 的秩等于二次型的秩，即 $rank(A) = rank(Q)$。

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其他类型的二次型及矩阵
（3）如果对于任意一个非零实向量 α=(a1,a2,…,an) T，均有αTAα≤0，但至少存在某一个 α0，使得αT0Aα0=0，则称f(x1,x2,…,xn)是一个半负定 二次型，此时相应的实对称矩阵A称为半负定矩阵.
将正定、半正定、负定和半负定二次型（或矩 阵）称为有定二次型（或有定矩阵），否则，称为不 定二次型（或不定矩阵）.
其他类型的二次型及 矩阵源自其他类型的二次型及矩阵与正定二次型和正定矩阵 相对应，有下面的定义.
其他类型的二次型及矩阵
定义7-10
设f(x1,x2,…,xn)=XTAX是一个实二次型. （1）如果对于任意一个非零实向量α=(a1,a2,…,an)T， 均有αTAα≥0，但至少存在某一个α0，使得αT0Aα 0=0， 则称f(x1,x2,…,xn)是一个半正c定二次型，此时相应的实对称 矩阵A称为半正定矩阵. （2）如果对于任意一个非零实向量α=(a1,a2,…,an)T， 均有αTAα<0，则称f(x1,x2,…,xn)是一个负定二次型，此时 相应的实对称矩阵A称为负定矩阵.
其他类型的二次型及矩阵
定理7-12
设A是一个n阶实对称矩阵，则下列命题是等价的： （1) A是负定的. （2)二次型XTAX是负定的. （3) A合同于-E，即A -E. （4)存在可逆矩阵P，使得A=－PTP. （5) A的特征值λ1,λ2,…,λn全小于0. （6) A的奇数阶顺序主子式均小于0，偶数阶顺序主 子式均大于0.
其他类型的二次型及矩阵
定理7-13
设A是一个n阶实对称矩阵，则下列命题是等价的： （1) A是半正定的. （2)二次型XTAX是半正定的. （3) A合同于diag{1,…,1,0,…,0}，其中总共r=R(A)个1. （4)存在不可逆矩阵C，使得A=CTC. （5) A的特征值λ1,λ2,…,λn全大于等于0，但至少有一个为0. （6) A的所有主子式均大于等于0，但至少有一个为0.
其他类型的二次型及矩阵
思考正定矩阵A=(aij)的主对角元素 aii（i=1,2,…,n）是否必须全大于零？
谢谢聆听
并且，一个标准形式的实二次型 f(x1,x2,…,xn)=d1x21+d2x22+…+dnx2n
其他类型的二次型及矩阵
或者说一个对角矩阵
（1)半正定的，当且仅当di≥0,i=1,2,…,n，但至少存在某 一个dj=0.
（2)负定的，当且仅当di<0,i=1,2,…,n. （3)半负定的，当且仅当di≤0,i=1,2,…,n，但至少存在某 一个dj=0. 于是，类似于正定情形的证明，可以不加证明地给出其 他类型二次型和矩阵的判别方法.
其他类型的二次型及矩阵
显然，如果f(x1,x2,…,xn)=XTAX是一个正定二次型 （或A是一个正定矩阵）当且仅当－f(x1,x2,…,xn)=XT(A)X是一个负定二次型（或-A是一个负定矩阵）；如果 f(x1,x2,…,xn)=XTAX是一个半正定二次型（或A是一个半 正定矩阵）当且仅当－f(x1,x2,…,xn)=XT(-A)X是一个半负 定二次型（或-A是一个半负定矩阵）.