15-16-1线性代数A复习题

线性代数考试题库及答案第三章 向量一、单项选择题1. 321,,ααα， 21,ββ都是四维列向量，且四阶行列式m =1321βααα,n =2321ααβα,则行列式)(21321=+ββαααn m a +)( n m b -)( n m c +-)( n m d --)(2. 设A 为n 阶方阵，且0=A ,则（ ）。

成比例中两行（列）对应元素A a )( 线性组合中任意一行为其它行的A )b ( 零中至少有一行元素全为A c )( 线性组合中必有一行为其它行的A )d (3. 设A 为n 阶方阵，n r A r <=)(，则在A 的n 个行向量中（ ）。

个行向量线性无关必有r a )( 个行向量线性无关任意r )b (性无关组个行向量都构成极大线任意r c )(个行向量线性表示其它任意一个行向量都能被r )d (4. n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是（ ）n r A r a <=)()(n A b 的列秩为)(零向量的每一个行向量都是非）（A c 的伴随矩阵存在）（A d5. n 维向量组s ααα,,,21 线性无关的充分条件是( ))(a s ααα,,,21 都不是零向量)(b s ααα,,,21 中任一向量均不能由其它向量线性表示 )(c s ααα,,,21 中任意两个向量都不成比例 )(d s ααα,,,21 中有一个部分组线性无关6. n 维向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性相关的充要条件是( ))(a s ααα,,,21 中至少有一个零向量 s b ααα,,,)(21 中至少有两个向量成比例 s c ααα,,,)(21 中任意两个向量不成比例s d ααα,,,)(21 中至少有一向量可由其它向量线性表示7. n 维向量组)3(,,,21n s s ≤≤ααα 线性无关的充要条件是( )s k k k a ,,,)(21 存在一组不全为零的数使得02211≠++s s k k k ααα s b ααα,,,)(21 中任意两个向量都线性无关s c ααα,,,)(21 中存在一个向量,它不能被其余向量线性表示 s d ααα,,,)(21 中任一部分组线性无关8. 设向量组s ααα,,,21 的秩为r ,则( )s a ααα,,,)(21 中至少有一个由r 个向量组成的部分组线性无关 s b ααα,,,)(21 中存在由1+r 个向量组成的部分组线性无关 s c ααα,,,)(21 中由r 个向量组成的部分组都线性无关 s d ααα,,,)(21 中个数小于r 的任意部分组都线性无关9. 设s ααα,,,21 均为n 维向量,那么下列结论正确的是( ))(a 若02211=++s s k k k ααα ,则s ααα,,,21 线性相关 )(b 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有02211≠++s s k k k ααα ,则s ααα,,,21 线性无关)(c 若s ααα,,,21 线性相关,则对任意不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有02211=++s s k k k ααα)(d 若000021=++s ααα ,则s ααα,,,21 线性无关10. 已知向量组4321,,,αααα线性无关，则向量组（ ）14433221,,,)(αααααααα++++a 线性无关 14433221,,,)(αααααααα----b 线性无关 14433221,,,)(αααααααα-+++c 线性无关 14433221,,,)(αααααααα--++d 线性无关11. 若向量β可被向量组s ααα,,,21 线性表示，则（ ）)(a 存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 使得s s k k k αααβ ++=2211 )(b 存在一组全为零的数s k k k ,,,21 使得s s k k k αααβ ++=2211 )(c 存在一组数s k k k ,,,21 使得s s k k k αααβ ++=2211 )(d 对β的表达式唯一12. 下列说法正确的是（ ）)(a 若有不全为零的数s k k k ,,,21 ，使得02211=++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 线性无关)(b 若有不全为零的数s k k k ,,,21 ，使得02211≠++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 线性无关)(c 若s ααα,,,21 线性相关，则其中每个向量均可由其余向量线性表示 )(d 任何1+n 个n 维向量必线性相关13. 设β是向量组T )0,0,1(1=α，T )0,1,0(2=α的线性组合，则β=（ ）T a )0,3,0)(( T b )1,0,2)(( T c )1,0,0)(( T d )1,2,0)((14. 设有向量组()T4,2,1,11-=α，()T2,1,3,02=α，()T 14,7,0,33=α，()T0,2,2,14-=α，()T 10,5,1,25=α，则该向量组的极大线性无关组为（ ）321,,)(αααa 421,,)(αααb 521,,)(αααc 5421,,,)(ααααd15. 设T a a a ),,(321=α，T b b b ),,(321=β，T a a ),(211=α，T b b ),(211=β，下列正确的是（ ）;,,)(11也线性相关线性相关，则若βαβαa 也线性无关；线性无关，则若11,,)(βαβαb 也线性相关；线性相关，则若βαβα,,)(11c 以上都不对)(d二、填空题1. 若T )1,1,1(1=α，T )3,2,1(2=α，T t ),3,1(3=α线性相关，则t=▁▁▁▁。

《线性代数》总复习题一、判断题1. 仅当021====n k k k 时等式02211=++n n k k k ααα才成立，则向量组n ααα,,21线性无关. ( )2. 若r ααα ,,21线性相关，则r ααα ,,21,n r αα,1+也线性相关.( ) 3. 一个向量组如果含有零向量，则这个向量组一定线性相关. ( ) 4. 如果矩阵A 存在一个不为零的r 阶子式则矩阵的秩为r . ( )5. r ααα ,,21为向量组T 的一部分向量，如果r ααα,,21线性无关，则r ααα,,21为向量组T 的最大无关组. ( )6. 由n 维向量r ααα,,21生成的子空间或者是n 维的或者是r 维的.( ) 7. 任意齐次线性方程组或者无解，或者有唯一解，或者有无穷多解.( ) 8. 初等矩阵可理解为单位矩阵经过一次初等变换而得到. ( ) 9. 矩阵经过初等变换后得到的新矩阵实际上与原矩阵相等. ( ) 10. 矩阵经过初等变换其行列式的值不变. ( ) 11. 矩阵经过初等变换其秩不变. ( ) 12．线性方程组0=⨯x A n m 的解空间维数仅与m ,n 有关. ( ) 13.线性方程组b x A n m =⨯的解全体构成一个)(A R n -维子空间. ( ) 14．方阵A 为实对称矩阵当且仅当A 的特征值为实数. ( ) 15．方阵A 的对应于特征值λ的特征向量x 必定是齐次线性方程组0)(=-x E A λ的解. ( )16．矩阵的秩就是其列（或行）向量组中线性无关向量的个数. ( )17.如果向量空间V 的任一向量均可由r ααα,,21线性表示，则称r ααα,,21为V 的一个基. ( )18. 若在矩阵A 中有一个r 阶子式不为0，则A 中至少有一个r -1阶子式不为0. ( ) 19. 上三角方阵的值就是主对角线上元素的乘积. ( )20. 若r ααα ,,21线性相关，则1α 可由r αα,2线性表示. ( ) 二 、选择题1. 设B A ,为n 阶矩阵，且0≠A ,而0=AB ，则 A ）0=B B ）0=A 或0=B C) 0=BA D ）()222B A B A +=+2.设B A ,为n 阶矩阵且A 可逆，则有A ）11---=-A A B ）()k k kB A AB =C ）111)(---=B A ABD ）1*-=n AA3.设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=210A B A A ，其中21,A A 都是方阵，且0≠A ，则有 A ）1A 可逆但2A 不一定可逆 B ）2A 可逆但1A 不一定可逆C ）1A 与2A 的可逆性不定D ）1A 与2A 均可逆4.设A 为n 阶方阵，则0=A 的充分必要条件是A ）两行（列）元素对应成比例B ）必有一行为其余行的线性组合C ）A 中有一行元素全为0D ）任一行为其余行的线性组合 5.A 为n m ⨯矩阵，齐次线性方程组Ax =0仅有零解的充要条件是A 的（A ） 列向量组线性无关 （B ）列向量组线性相关 （C ）行向量组线性无关 （D ）行向量组线性相关6.设线性方程组Ax =b 有m 个方程，n 个未知量，则正确的是（A ） 若Ax =0仅有零解，则Ax =b 有唯一解 （B ） 若Ax =0有非零解，则Ax =b 有无穷多解（C ） 若Ax =b 有无穷多解，则Ax =0仅有零解 （D ） 若Ax =b 有无穷多解，则Ax =0有非零解7.线性方程组Ax =b 有m 个方程，n 个未知量，且r(A )=r, 则此方程组（A ）r=m 时，有解 （B ）r=n 时，有唯一解 （C ）m=n 时，有唯一解 （D ）r<n 时，有无穷多解8.方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=--=++=-+08870430252032321321321321x x x x x x x x x x x x 的解的情形是(A) 无解， (B) 基础解系中有一个向量 ，(C) 仅有零解 (D) 基础解系 中有两个向量9.设,,333222111333222111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=c b y c b y c b y B c b x c b x c b x A 且A B ==-27,,则A B + 等于 (A) 5 (B) 5- (C) 10- (D) 20- 10.设向量组αααα1234,,, 线性无关， 则线性无关的向量组是()14433221 , , , αααααααα-+++A ()14433221 , , , αααααααα--++B()14433221 , , , αααααααα-+-+C ()14433221 , , , αααααααα----D三、填空题1. 设A 为44⨯矩阵, B 为55⨯矩阵，且2=A ，2-=B ，则B A -= ，A B -= 2.设()E B A +=21，则当且仅当2B = 时，A A =2 3.已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-100110202211A ，则=A4.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100020101A ，()()=-+-E A E A 93215. []n n b b b a a a 2121⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=6. 行 列 式a b b d a c c d++++=________________.7. 设E (,)i j 表 示 由n 阶 单 位 矩阵 第i 行 与 第j 行互 换 得 到 的 初 等 矩 阵， 则E (,)i j -=1__________.8. 设A 为正交矩阵， 且*A A T -=, 其中*A 是A 的伴随矩阵, 则A 的行列式等于________.9. 设 A, B 都是n 阶方阵且A 可 逆, 则)(11---AB AB AA T ＝10. 行列式 i j k→→→123213= 11. 设,100010011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=AB 且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121112301B 则A -=112. 设V 是由向量TT )3,0,2(,)0,1,1(21==αα 生成的子空间，则向量T )3,1,5(1=β ，T TT)3,1,3(,)3,3,5(,)3,2,0(432-==-=βββ中 属于V .13．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=011012111A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=001b ,则线性方程组b Ax =的解为14. 矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----020212022的特征值为 15．行列式 D =4443343332312423211412110000a a a a a a a a a a a a 的元素11a 的代数余子式为16.设向量Tb a ),0,,1(=α与向量T )1,1,1,1(-=β和T )1,1,1,1(--=γ都正交， 则a,b 分别为17.设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=1000010042103101A ,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=1020013600020021B ，则AB ＝ ，（利用分块矩阵乘法求解）18.设向量T )4,3,2,1(=α，T )1,1,1,1(--=β ，则βα,,的夹角为19．非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=+-5321132053321321321x x x x x x x x x 的通解为20．设Tx )2,3,(1=αT )3,1,2(2-=α T )1,2,3(3=α,则当=x 时321,,ααα线性相关.21. 已知α=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡11k 是A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡211121112的逆矩阵A 1-的特征向量，则k ＝ .四、计算题1. 计算行列式1111 11111111 1111--+---+---=x x x x D2. 计 算 ()2333333433333333332333331≥=n nD n3. 设A 是3阶矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，21=A ，求行列式()*123A A --的值.4. 讨论向量组,T)3,2,1(1-=α,T )5,2,0(2-=α ,T )2,0,1(3-=α的线性相关性.5. 设3维向量 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=1111λα , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=1112λα , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=λα1113 , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=20λλβ 问当λ取何值时, β 可由321,,ααα线性表示且表达式唯一.6. 求四维向量组T )5,3,1,2(1-=α T )3,1,3,4(2-=α T )4,3,2,3(3-=αT )17,15,1,4(4-=α T )0,7,6,7(5--=α的秩及最大无关组.7. 试确定参数λ，使矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=152********λλA 的秩最小.8. 验证四维向量T)1,1,1,1(1=αT )1,1,1,1(2--=α T )1,1,1,1(3--=αT)1,1,1,1(4--=α是4R 的一个基，并求向量T )1,1,2,1(=→β在这个基下的坐标.9．验证集合{}R x x x x x x V ∈-==211211,|)3,2,(是否为向量空间.10．问λ取何值时, 方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++++=+++04707)2()33(0)33(28321321321x x x x x x x x x λλλλ 有非零解，并将其通解用基础解系表示出来.11．当λ取何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+--=--+λ4321432143212312022x x x x x x x x x x x x 无解？何时有解？在有解的情况下求其通解。

《线性代数》（A 卷 共四页）一.填空或选择填空(共30分,每小题3分)1.设],,,[A 432γγγα=,],,,[B 432γγγβ=,其中432,,,,γγγβα均为四维列向量. 已知4|A |=,1|B |=,则_____|B A |=+.2.设A 为)(m n m n >⨯矩阵,S 为n 阶可逆矩阵,且r r =)A (,)SA (r 1r =,则( ). A r r m >>1B m r r >>1C m r =1D r r =13.四维列向量组 T1]4,2,1,1[-=α,T2]2,1,3,0[=α,T3]14,7,0,3[=α,T 4]0,2,1,1[-=α的秩为_______,一个极大无关组为_____________.4.齐次线性方程组0=AX 有非零解的充分必要条件是( ). A A 的列向量组线性无关 B A 的行向量组线性无关 C A 的列向量组线性相关 D A 的行向量组线性相关5.设T1]0,2,1[=α,T2]1,0,1[=α都是三阶方阵A 的属于特征值12=λ的特征向量,而T]2,2,1[--=β,则______________=βA .6.设2=λ为可逆矩阵A 的一个特征值,则12A 31-⎪⎭⎫⎝⎛有一个特征值为_____=μ.78.下列矩阵中不与对角矩阵相似的是( ).A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡600540321B ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡653542321C ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200020012D ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200010012 9.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=001010100A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=100010001B ,则A 与B ( ). A 合同但不相似 B 合同且相似 C 不合同但相似D 不合同且不相似10.设实二次型312322213212),,(x cx ax bx ax x x x f +++=,当( )时,该二次型为正定二次型.A 0,0>+>c b aB 0,0>>b aC 0|,|>>b c aD 0,||>>b c a 二.计算下列行列式(共12分,每小题6分)1.67412120603115124-----=D ；2.111122111n nn a a a a a a D ---=+(空白处元素全为0).三.计算(共20分,每小题10分) 1.设A 为可逆矩阵,且B AB A +=-1*.1) 求证B 为可逆矩阵；2) 当⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200620062A 时,求矩阵B . 2.求解如下线性方程组；若有无穷多解,请用其特解与导出组的基础解系联合表出通解.四.(18分)求一个正交替换SY X =,将如下实二次型化为标准形.32312123222132184422),,(x x x x x x x x x x x x f ++---=.五.(5分)求证秩为r 的实对称矩阵可以写成r 个秩为1的实对称矩阵之和.《线性代数》（B 卷）一.填空与选择(30分,每小题3分)1.设d a a a a a a a a a =333231232221131211,则=------333232213123222221211312121111432432432a a a a a a a a a a a a a a a ________.2.=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-10057002311003200______________________.3.设B A ,均为n 阶方阵,则有( ).A )B ()A ()B A (r r r +=+ B )B ()A ()AB (r r r =C )B ()A (B O O A r r r +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡D )B ()A (B O O A r r r =⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 4.设向量组4321,,,αααα线性无关,则14433221,,,αααααααα++++的秩为______.5.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----13222123a 与⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡λ00020002相似,则=λ______,=a ______. 6.设33⨯A 的全体特征值为3,2,1-,则( )为可逆矩阵.A A E -B E A 2+C E A 2-DE A 3-7.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100110111A 为线性变换σ在基321,,:(I)ξξξ下的矩阵,则σ在基321211,,:(II)ξξξξξξ+++下的矩阵为=B _______________.8.设T ]2,1[是实对称矩阵A 的特征向量,且0|A |<,则( )也是A 的特征向量.A R ∈k k ,]2,1[T B R ∈-k k ,]1,2[T 非零 C R ∈-+21T2T 1,,]1,2[]2,1[k k k k 不全为零D R ∈-+21T2T 1,,]1,2[]2,1[k k k k 全不为零9.实二此型32312123222132182292),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=有标准形( ).A 23222192y y y ++ B 23222192y y y -+ C 23222192y y y -- D 2221y y +10.设B A ,均为n 阶正定矩阵,则( )不一定是正定矩阵.A B A + B BA AB + C ABA D ⎥⎦⎤⎢⎣⎡B O O A 二.(28分,前3小题各6分,第4小题10分)1.计算n 阶行列式(3≥n )0221202122011110 =n D .2.设n 阶方阵A 满足O E A A A =+--43223,求证E A 2-可逆,并求1)2(--E A .3.求向量组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=6211α,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2102α,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3013α,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=4234α的一个极大无关组,并用该极大无关组线性表示向量组中其他向量.。

线性代数复习题一、判断题 (正确在括号里打√，错误打×)1. 把三阶行列式的第一列减去第二列，同时把第二列减去第一列，这样得到的新行列式与原行列式相等，亦即333332222211111333222111------=c a b b a c a b b a c a b b a c b a c b a c b a . ( ) 2. 假设一个行列式等于零，则它必有一行〔列〕元素全为零，或有两行〔列〕完全一样，或有两行〔列〕元素成比例. () 3. 假设行列式D 中每个元素都大于零，则D > 0. () 4. 设C B A ,,都是n 阶矩阵，且E ABC =，则E CAB =. () 5. 假设矩阵A 的秩为r ，则A 的r －1阶子式不会全为零. () 6. 假设矩阵A 与矩阵B 等价，则矩阵的秩R (A )=R (B ). () 7. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合. () 8. 假设向量组s ααα,...,,21线性相关，则1α一定可由s αα,...,2线性表示. () 9. 向量组s ααα,...,,21中，假设1α与s α对应分量成比例，则向量组s ααα,...,,21线性相关. () 10. )3(,...,,21≥s s ααα线性无关的充要条件是：该向量组中任意两个向量都线性无关. () 11. 当齐次线性方程组的方程个数少于未知量个数时，此齐次线性方程一定有非零解. () 12. 齐次线性方程组一定有解. ()13. 假设λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-λ为1-A 的特征值. () 14. 方程组()A λ-=E x 0的解向量都是矩阵A 的属于特征值λ的特征向量. () 15. n 阶方阵A 有n 个不同特征值是A 可以相似于对角矩阵的充分条件. () 16. 假设矩阵A 与矩阵B 相似，则R R =A B ()(). () 二、单项选择题 1.设行列式,,2123121322211211n a a a a m a a a a ==则行列式=++232221131211a a a a a a ()2. 行列式701215683的元素21a 的代数余子式21A 的值为 ( )3.四阶行列式111111111111101-------x 中*的一次项系数为 ( )4. 设,..................... ,......... (112)11,12,11,12122122221112111nnn n n nn n n nnn n n n a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D ---==则D 2与D 1的关系是 ( )5.n 阶行列式a b b a bab a D n 0000000000=的值为 ( )6. ,1002103211⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-A 则=*A ( )7. 设A 是n 阶方阵且5=A ，则=-1T )5(A ( )8. 设A 是n m ⨯矩阵，B 是m n ⨯矩阵)(n m ≠，则以下运算结果是m 阶方阵的是 ( ) 9. A 和B 均为n 阶方阵，且2222)(B AB A B A ++=+，则必有 ( )10. 设A 、B 均为n 阶方阵，满足等式O AB =，则必有 ( ) 11. 设A 是方阵，假设有矩阵关系式AC AB =，则必有 ( ) 12. 方阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=133312321131131211232221333231232221131211,a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a B A ，以及初等变换矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101010001 ,10000101021P P ，则有 ( )13. 设A 、B 为n 阶对称阵且B 可逆，则以下矩阵中为对称阵的是 ( ) 14. 设A 、B 均为n 阶方阵，下面结论正确的选项是 ( )(A) 假设A 、B 均可逆，则A +B 可逆 (B) 假设A 、B 均可逆，则AB 可逆 (C) 假设A+B 均可逆，则A －B 可逆 (D) 假设A +B 可逆，则A 、B 均可逆15. 以下结论正确的选项是 ( )(A) 降秩矩阵经过假设干次初等变换可以化为满秩矩阵 (B) 满秩矩阵经过假设干次初等变换可以化为降秩矩阵 (C) 非奇异阵等价于单位阵 (D) 奇异阵等价于单位阵16. 设矩阵A 的秩为r ，则A 中 ( )(A) 所有r －1阶子式都不为0 (B) 所有r －1阶子式全为0 (C) 至少有一个r 阶子式不为0(D) 所有r 阶子式都不为017. 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，且ABC = E ，以下式子(1) BCA = E ， (2) BAC = E ， (3) CAB = E ， (4) CBA = E 中，一定成立的是 ( ) (A) (1) (3)(B) (2) (3)(C) (1) (4)(D) (2) (4)18. 设A 是n 阶方阵，且O A =s (s 为正整数)，则1)(--A E 等于 ( )19. 矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=412101213A ，*A 是A 的伴随矩阵，则*A 中位于(1, 2)的元素是 ( ) (A) －6 (B) 6 (C) 2 (D) －220. A 为三阶方阵，R (A ) = 1，则 ( )21. 43⨯矩阵A 的行向量组线性无关，则矩阵A T的秩等于 ( )(A) 1(B) 2(C) 3(D) 422. 设两个向量组s ααα ..., , ,21和s βββ ..., , ,21均线性无关，则 ( )(A) 存在不全为0的数s λλλ ..., , ,21使得0=+++s s αααλλλ... 2211和0=+++s s βββλλλ (2211)(B) 存在不全为0的数s λλλ ..., , ,21使得 (C) 存在不全为0的数s λλλ ..., , ,21使得(D) 存在不全为0的数s λλλ ..., , ,21和不全为0的数s μμμ ..., , ,21使得0=+++s s αααλλλ... 2211和0=+++s s βββμμμ (2211)23. 设有4维向量组621 ..., , ,ααα，则 ( )(A) 621 ..., , ,ααα中至少有两个向量能由其余向量线性表示 (B) 621 ..., , ,ααα线性无关 (C) 621 ..., , ,ααα的秩为4 (D) 上述说法都不对24. 设321 , ,ααα线性无关，则下面向量组一定线性无关的是 ( ) 25. n 维向量组)3( ..., , ,21n s s ≤≤ααα线性无关的充要条件是 ( )(A) s ααα ..., , ,21中任意两个向量都线性无关(B) s ααα ..., , ,21中存在一个向量不能用其余向量线性表示(C) s ααα ..., , ,21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 (D) s ααα ..., , ,21中不含零向量 26. 以下命题中正确的选项是 ( )(A) 任意n 个n +1维向量线性相关 (B) 任意n 个n +1维向量线性无关 (C) 任意n +1个n 维向量线性相关(D) 任意n +1个n 维向量线性无关27. 线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0......0...0...221122221211212111n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 的系数行列式D =0，则此方程组 ( )(A) 一定有唯一解 (B) 一定有无穷多解 (C) 一定无解(D) 不能确定是否有解28. 非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (22112)222212111212111的系数行列式D =0，把D 的第一列换成常数项得到的行列式01≠D ，则此方程组 ( )(A) 一定有唯一解 (B) 一定有无穷多解 (C) 一定无解(D) 不能确定是否有解29. A 为n m ⨯矩阵，齐次方程组0=Ax 仅有零解的充要条件是 ( )(A) A 的列向量线性无关 (B) A 的列向量线性相关 (C) A 的行向量线性无关(D) A 的行向量线性相关30. A 为n m ⨯矩阵，且方程组b Ax =有唯一解，则必有 ( ) 31. n 阶方阵A 不可逆，则必有 ( )n R <)( )A (A 1)( )B (-=n R A 0=A )C ((D) 方程组0=Ax 只有零解32. n 元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵的秩为n +1，则此方程组 ( )(A) 有唯一解(B) 有无穷多解(C) 无解(D) 不能确定其解的数量33. 21 ,ηη是非齐次线性方程组b Ax =的任意两个解，则以下结论错误的选项是 ( )(A) 21ηη+是0=Ax 的一个解 (B) )(2121ηη+是b Ax =的一个解(C) 21ηη-是0=Ax 的一个解(D) 212ηη-是b Ax =的一个解34. 假设4321 , , ,v v v v 是线性方程组0=Ax 的根底解系，则4321v v v v +++是该方程组的 ( )(A) 解向量(B) 根底解系(C) 通解(D) A 的行向量35. 假设η是线性方程组b Ax =的解，ξ是方程0=Ax 的解，则以下选项中是方程b Ax =的解的是 ( ) (C 为任意常数)36. n m ⨯矩阵A 的秩为1-n ，21 ,αα是齐次线性方程组0=Ax 的任意两个不同的解，k 为任意常数，则方程组0=Ax 的通解为 ( ) 37. n 阶方阵A 为奇异矩阵的充要条件是 ( )(A) A 的秩小于n 0 )B (≠A (C) A 的特征值都等于零(D)A 的特征值都不等于零38. A 为三阶方阵，E 为三阶单位阵，A 的三个特征值分别为3 ,2 ,1-，则以下矩阵中是可逆矩阵的是 ( )39. 21 ,λλ是n 阶方阵A 的两个不同特征值，对应的特征向量分别为21 ,ξξ，则 ( )(A) 1ξ和2ξ线性相关 (B) 1ξ和2ξ线性无关 (C) 1ξ和2ξ正交(D) 1ξ和2ξ的积等于零40. A 是一个)3( ≥n 阶方阵，以下表达中正确的选项是 ( )(A) 假设存在数λ和向量α使得αA αλ=，则α是A 的属于特征值λ的特征值 (B) 假设存在数λ和非零向量α使得0=-αA E )(λ，则λ是A 的特征值 (C) A 的两个不同特征值可以有同一个特征向量(D) 假设321 , ,λλλ是A 的三个互不一样的特征值，321 , ,ααα分别是相应的特征向量，则 321 , ,ααα有可能线性相关41. 0λ是矩阵A 的特征方程的三重根，A 的属于0λ的线性无关的特征向量的个数为k ，则必有 ( )42. 矩阵A 与B 相似，则以下说法不正确的选项是 ( )(A) R (A ) = R (B ) (B) A = BB A = )C ((D) A 与B 有一样的特征值43. n 阶方阵A 具有n 个线性无关的特征向量是A 与对角阵相似的 ( )(A) 充分条件(B) 必要条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件44. n 阶方阵A 是正交矩阵的充要条件是 ( )(A) A 相似于单位矩阵E (B) A 的n 个列向量都是单位向量 (C) 1T -=A A(D)A 的n 个列向量是一个正交向量组45. A 是正交矩阵，则以下结论错误的选项是 ( )1 )A (2=A A )B (必为1T 1 )C (A A =-(D) A 的行(列)向量组是单位正交组46. n 阶方阵A 是实对称矩阵，则 ( )(A) A 相似于单位矩阵E (B) A 相似于对角矩阵T 1 )C (A A =-(D) A 的n 个列向量是一个正交向量组47. A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵，AC C B T =，则 ( )(A) A 与B 相似(B) A 与B 不等价 (C) A 与B 有一样的特征值(D) A 与B 合同三、填空题1. 44513231a a a a a k i 是五阶行列式中的一项且带正号，则i = ，k = .2. 三阶行列式987654321=D ，ij A 表示元素ij a 对应的代数余子式，则与232221cA bA aA ++ 对应的三阶行列式为.3. 022150131=---x ，则* = . 4. A ，B 均为n 阶方阵，且0 ,0≠=≠=b a B A ，则=T )2(B A ，=-121AB . 5. A 是四阶方阵，且31=A ，则=-1A ，=--1*43A A . 6. 三阶矩阵A 的三个特征值分别为123-,,，则=---*134A A . 7. 设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=232221131211a a aa a a A ，B 是方阵，且AB 有意义，则B 是阶矩阵，AB 是行 列矩阵.8. 矩阵n s ij c ⨯=)( , ,C B A ，满足CB AC =，则A 与B 分别是，阶矩阵. 9. 可逆矩阵A 满足O E A A =--22，则=-1A .10. T 3T 2T 1)2 ,3 ,1( ,) ,0 ,( ,)1 ,1 ,1(===αααy x ，假设321 , ,ααα线性相关，则*，y 满足关系式.11. 矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性关. 12. 一个非齐次线性方程组的增广矩阵的秩比系数矩阵的秩最多大.13. 设A 是43⨯矩阵，3)(=A R ，假设21 ,ηη为非齐次线性方程组b Ax =的两个不同的解，则该方程的通解为.14. A 是n m ⨯矩阵，)( )(n r R <=A ，则齐次线性方程组0=Ax 的一个根底解系中含有解的个数为.15. 方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+32121232121321x x x a a 无解，则a =.16. 假设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0003213213211x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ需要满足.17. 矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=50413102x A 可相似对角化，则* =.18. 向量α、β的长度依次为2和3，则向量积[, ]+-=αβαβ. 19. 向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=324 ,201b a ，c 与a 正交，且c a b +=λ，则=λ，c =.20. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111x 为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b aA 的特征向量，则a =，b =. 21. 三阶矩阵A 的行列式8=A ，且有两个特征值1-和4，则第三个特征值为.22. 设实二次型),,,,(54321x x x x x f 的秩为4，正惯性指数为3，则其规形),,,,(54321z z z z z f 为.23. 二次型233221321342),,(x x x x x x x x f +-=的矩阵为.24. 二次型),,(z y x f 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--050532021，则此二次型=),,(z y x f .25. 二次型31212322213212232),,(x x x x tx x x x x x f ++++=是正定的，则t 要满足. 四、行列式计算1. A ，B 为三阶方阵，2 ,1-==B A ，求行列式A AB 1*)2(-.2. 行列式219221612132402-----=D ，求4131211145A A A A ++-.3. 计算n 阶行列式2...010 (201) (02)=n D ，其中主对角线上的元素都是2，另外两个角落的元素是1，其它元素都是0.4. 计算n 阶行列式xaa a xa a ax D n .........=.5. 计算n 阶行列式21...00000 (2100)0 (1)2100...012 =n D .6. 计算行列式dx c b ad c x b a d c b x a d c b ax ++++.7. 计算行列式yy x xD -+-+=1111111111111111.8. 计算行列式3......3 (32)12121+++=n n n n x x x x x x x x x D .五、矩阵计算1. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=042132 ,121043021B A ，求 (1)T AB ；(2)14-A .2. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=115202 ,212241222B A ，且X B AX +=，求*.3. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=101020102A ，B 均为三阶方阵，E 为三阶单位阵，且B A E AB +=+2，求B .4. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2000120031204312 ,1000110001100011C B ，E 为四阶单位阵，且矩阵*满足关系式E B C X =-T )(，求*.5. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=310021 ,110162031B A ，且B XA =，求*.6. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ，问：当k 取何值时，有 (1)1)(=A R ；(2)2)(=A R ；(3)3)(=A R .六、向量组的线性相关性及计算1. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1325 ,3214 ,2143 ,21114321αααα，求向量组4321 , , ,αααα的秩和一个最大线性无关向量组，并判断4321 , , ,αααα是线性相关还是线性无关.2. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=77103 ,1301 ,3192 ,01414321αααα，求此向量组的秩和一个最大无关组，并将其余向量用该最大无关组线性表示.3. 当a 取何值时，向量组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=a a a 2121 ,2121 ,2121321ααα线性相关？4. 将向量组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=014 ,131 ,121321ααα规正交化.七、线性方程组的解1. 给定向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=9410 ,1203 ,4231 ,30124321αααα，试判断4α是否为321 , ,ααα的线性组合；假设是，则求出线性表达式.2. 求解非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+8311102322421321321x x x x x x x x .3. 求解非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+--=--+0895443313432143214321x x x x x x x x x x x x .4. 当k 满足什么条件时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++-=++022232212321321x k x x k kx x x kx x x 有唯一解，无解，有无穷多解？并在有无穷多解时求出通解.5. 当k 满足什么条件时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=++=+-+2)1(2221)1(321321321kx x k kx x kx kx x x k kx 有唯一解，无解，有无穷多解？并在有无穷多解时求出通解.6. 非齐次线性方程组b Ax =为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++=-+++=++++bx x x x x x x x x a x x x x x x x x x x 543215432543215432133453622 3232，问：当a 、b 取何值时，方程组b Ax =有无穷多个解？并求出该方程组的通解.7. 设方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++040203221321321x a x x ax x x x x x 与方程12321-=++a x x x 有公共解，求a 的值.8. 设四元非齐次线性方程组b Ax =的系数矩阵A 的秩为3，321 , ,ηηη是它的三个解向量，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54321η，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+432132ηη，求该方程组的通解.9. 设非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵()b A A =，A 经过初等行变换为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→300001311021011λA ，则 (1) 求对应的齐次线性方程组0=Ax 的一个根底解系； (2) λ取何值时，方程组b Ax =有解？并求出通解.八、方阵的特征值与特征向量1. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10000002 ,10100002y x B A ，假设方阵A 与B 相似，求*、y 的值.2. 设方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=210010000010010y A 的一个特征值为3，求y 的值. 3. 三阶方阵A 的特征值为1、2、3-，求行列式E A A 231++-的值.4. 求方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=314020112A 的特征值与对应的特征向量.5. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011101110A ，求可逆矩阵P ，使得AP P 1-为对角矩阵.6. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=020212022A ，求正交矩阵P ，使得AP P 1-为对角矩阵.7. 矩阵110430102-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A , 判断是否存在一个正交矩阵P , 使得1-=P AP Λ为对角矩阵. 8. 矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=342432220A 的特征值为1、1、8-，求正交矩阵P ，使得AP P 1-为对角阵. 九、二次型1. 当t 取何值时，32312123222132142244),,(x x x x x tx x x x x x x f +-+++=为正定二次型？ 2. 求一个正交变换把二次型123122331(,,)222f x x x x x x x x x =++化成标准形.十、证明题1. 向量组r ααα ..., , ,21线性无关，而r r αααβααβαβ+++=+==... ..., , ,2121211，证明：向量组r βββ ..., , ,21线性无关.2. 设A 、B 都是n 阶对称阵，证明：AB 是对称阵的充要条件是AB = BA .3. 方阵A 满足O E A A =--1032，证明：A 与E A 4-都是可逆矩阵，并求出它们的逆矩阵.4. 设A 、B 为n 阶对称阵，且B 是可逆矩阵，证明：A B AB 11--+是对称阵.5. 设n 阶方阵A 的伴随矩阵为*A ，证明：1*-=n A A .6. 向量b 可由向量组321 , ,a a a 线性表示且表达式唯一，证明：321 , ,a a a 线性无关.7. 设321 , ,ααα是n 阶方阵A 的三个特征向量，它们的特征值互不相等，记321αααβ++=，证明：β不是A 的特征向量.8. 向量组321 , ,a a a 线性无关，3133222114 ,3 ,2a a b a a b a a b +=+=+=，证明：向量组321 , ,b b b线性无关.9. 设0η是非齐次线性方程组b Ax =的一个特解，21 ,ξξ是对应的线性方程组0=Ax 的一个根底解系，证明：(1) 101202, ==++ηηξηηξ都是b Ax =的解；(2) 210 , ,ηηη线性无关.10. A 是n 阶方阵，E 是n 阶单位阵，E A +可逆，且1))(()(-+-=A E A E A f ，证明：(1) E A E A E 2)))(((=++f ；(2) A A =))((f f .11. 设方阵A 与B 相似，证明：T A 与T B 相似.12. 方阵A 、B 都是正定阵，证明：B A +也是正定阵.13. 设n 阶行列式n D 的元素满足n j i a a ji ij ..., ,2 ,1 , ,=-=，证明：当n 为奇数时0=n D .14. A 为正交阵，k 为实数，证明：假设A k 也是正交阵，则1±=k .15. 设A 、B 均为n 阶正交矩阵，证明：(1) 矩阵AB 是正交阵；(2) 矩阵1-AB 是正交阵.16. 假设A 是n 阶方阵，且T =AA E ，| A | =－1，这里E 为单位阵. 证明：| A +E | = 0.。

线性代数考试题
1. 矩阵的定义与基本运算
a) 什么是矩阵？矩阵的定义是什么？
b) 如何进行矩阵的加法和减法运算？
c) 如何进行矩阵的数乘运算？
2. 矩阵的转置与乘法
a) 如何进行矩阵的转置运算？
b) 如何进行矩阵的乘法运算？
c) 矩阵乘法的性质有哪些？
3. 矩阵的逆与行列式
a) 什么是矩阵的逆？
b) 如何求解矩阵的逆？
c) 什么是行列式？
d) 如何计算矩阵的行列式？
4. 向量的线性相关性与线性无关性
a) 什么是线性相关性与线性无关性？
b) 如何判断一组向量是否线性相关？
c) 如何判断一组向量是否线性无关？
d) 线性相关与线性无关的定理有哪些？
5. 向量空间与子空间
a) 什么是向量空间？
b) 向量空间的性质有哪些？
c) 什么是子空间？
d) 如何判断一个子集是否为向量空间的子空间？
6. 特征值与特征向量
a) 什么是特征值和特征向量？
b) 如何求解特征值和特征向量？
c) 特征值和特征向量的性质有哪些？
7. 相似矩阵与对角化
a) 什么是相似矩阵？
b) 如何判断两个矩阵是否相似？
c) 什么是对角化？
d) 如何对角化一个矩阵？
8. 线性变换与矩阵的应用
a) 什么是线性变换？
b) 线性变换与矩阵的关系是什么？
c) 线性变换的应用有哪些？
以上是关于线性代数的考试题目，通过回答这些问题，你可以对线性代数的基本概念和运算有一个全面的了解。

希望你能够认真准备，并取得优异的成绩！。

线性代数a期末考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个矩阵是可逆的？A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 对角矩阵D. 奇异矩阵答案：B2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中非零行的最大数目D. 矩阵中非零列的最大数目答案：C3. 如果一个矩阵A的行列式为0，则：A. A是可逆的B. A是不可逆的C. A是正定的D. A是负定的答案：B4. 以下哪个选项不是线性方程组解的性质？A. 唯一性B. 存在性C. 零解D. 非零解答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 矩阵的________是矩阵中所有元素的和。

答案：迹2. 如果一个向量组线性无关，则该向量组的________等于向量的个数。

答案：秩3. 对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x使得Ax=0，则称x为矩阵A的________。

答案：零空间4. 一个矩阵的________是指矩阵中所有行向量或列向量的最大线性无关组的个数。

答案：秩三、解答题（每题10分，共60分）1. 已知矩阵A=\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\]，求A的行列式。

答案：\[ \text{det}(A) = 1*4 - 2*3 = 4 - 6 = -2 \]2. 设A=\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\]，B=\[\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\]，求AB。

答案：\[ AB = \begin{pmatrix} 1*2 + 2*1 & 1*0 + 2*3 \\ 3*2 +4*1 & 3*0 + 4*3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 10 & 12 \end{pmatrix} \]3. 已知矩阵A=\[\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\]，求A的特征值。

线性代数A习题册答案练习1.2 n阶⾏列式的性质与计算⼀、填空题:1. 设是⽅程的三个根，则⾏列式.解: 由于是⽅程的三个根，由根与系数的关系有, ⼜,故应填.2. ; .解:由于时, 的第⼀⼆列对应元素相等,故, 从⽽有因⼦；⼜由于时, 的第三四⾏对应元素相等,故, 从⽽有因⼦；由于中关于最⾼次数为,故,⼜由于的的项为, ⽐较两边的系数, 得,故应填.由于,故应填.3. 已知, 则.解: ,,从⽽,故应填.4. ⽅程的所有解为.解: 因为当分别等于时, 均有两列元素对应相等, 故, 故是的解, ⼜中关于的最⾼次数为, 所以是的所有解, 故应填.5. ⾏列式当时, , 当时, .解: ，当时,,故应填, .⼆、选择题：1．设则[ ](A)； (B) ； (C) ； (D).解: ，故应选(B).2. 设, 其中均为三维列向量, 若, 则[ ](A) ； (B) ； (C) ； (D) .解:，故，故应选(D).3. 设, 其中均为三维列向量, 且, 则[ ](A) ； (B) ； (C) ； (D).解:.故应选(C).三、计算下列⾏列式:(1)； (2) .解:四、证明:(1) ; (2).证明: (1)利⽤⾏列式的性质可将左边⾏列式表⽰为个⾏列式之和.这⼋个⾏列式中有六个⾏列式因有两列元素成⽐例，因⽽为零.所以，，得证.(2)练习1.3 ⾏列式按⾏(列)展开定理与克莱姆法则⼀、填空题:1. 已知,表⽰第⾏第列元素的余⼦式, 则.解：因为，故应填.2. .解：，故应填3. 当时, ⽅程组有⾮零解.解：⽅程组有⾮零解，由于，所以或.故应填或.⼆、选择题：1．设, 则多项式次数最⾼可能为 [ ](A)； (B) ； (C) ； (D).解：，将其按第⼀⾏展开，得.若，则是常数；若，则是⼀次多项式，故应选(A). 2. 设,且其每列元素之和为, 则的第⼀⾏元素的代数余⼦式之和[ ](A) ； (B) ； (C) ； (D).解：, 显然，与第⼀⾏元素的代数余⼦式相同，所以，故应选(B).3. ⾏列式⾮零的充分条件是 [ ](A) 的所有元素⾮零； (B) 的任意两⾏元素之间不成⽐例；(C) ⾄少有个元素⾮零； (D) 以为系数⾏列式的齐次线性⽅程组有唯⼀解.解：选项(A),(B),(C)均不是⾮零的充分条件，故应选(D).4. 齐次线性⽅程组只有零解, 则应满⾜的条件是 [ ](A) ； (B) ； (C) ；(D) .解：齐次线性⽅程组只有零解, ⽽，所以，故应选(D).三、证明: (1) ; (2)证明：（1），得证.(2)，得证.四、计算下列⾏列式:(1) ； (2).解：(1)将的第⾏经次⾏的调换调⾄第⼀⾏，第⾏经次⾏的调换调⾄第⼆⾏,…, 第2⾏经1次⾏的调换调⾄第⾏, 于是经过次⾏调换，故得（2）将按第列展开，得，但此递推公式难以推出的表达式. 由于于是我们猜测. 事实上，假设结论对于⼩于阶的⾏列式均成⽴，则对于阶，由递推公式有，故由数学归纳法，得.练习2.1 矩阵及其运算⼀、填空题:1. 设，则.解：，⽽，所以，，故应填.2. 设是阶矩阵, 其每⾏元素之和为,则的每⾏元素之和为.解：由题设知，即线性⽅程组有解，亦即，所以，推⼴可得，即的每⾏元素之和为，故应填.3. 已知线性变换则变量到变量的线性变换为.解1：因为,故应填.解2：由已知：,故, 故应填.4. , , ,.解: ；；；.⼆、选择题：1．设是阶⽅阵, 且, 则[ ](A)； (B) ； (C) ； (D) .解: , 同理可得, 故. 故应选(C).2. 设为阶对称矩阵, 为阶反对称矩阵, 则下列矩阵中为反对称矩阵的是 [ ](A) ； (B) ； (C) ； (D) .解:, 故应选(A).3. 设为阶⽅阵,为正整数, 则下列结论中不正确的是 [ ](A) 若可交换, 则； (B) 若可交换, 则和可交换；(C) 若和可交换, 则可交换； (D) 若和可交换, 则可交换.解:若可交换, 则,故(A)正确；若可交换,显然也可交换, 于是,故(B)正确；由,知和可交换的充要条件是,即, 故(C)正确；从⽽(D)不正确. 事实上,若,由知,即不可交换,但, 故应选(A).4. 设,矩阵满⾜, 则[ ](A)； (B) ； (C) ； (D) .解:由得,即,亦即, 两边取⾏列式得,因, 故, 故应选(B).5. 设为阶⽅阵,则下列结论正确的是 [ ](A) 且； (B) 若；(C) 或； (D) .解: 或, 故(C)成⽴；若,则,但,故(A)不成⽴；, 但,故(B)不成⽴；, 但,故(D)不成⽴. 故应选(C).三、设, 求解：, .四、设, 计算.解:当时, , 所以；当时, , 所以.五、设, 求.解: 设, 则,. ⽽, , 所以.六、证明任何⼀个阶⽅阵都可以表⽰为⼀对称矩阵与⼀反对称矩阵之和.证明: 设为任⼀矩阵, 且,其中, 由于, 所以,解得, 即, 且为⼀对称矩阵, 为⼀反对称矩阵.得证.练习2.2 矩阵的初等变换⼀、选择题：1．设则必有 [ ](A)； (B) ； (C) ； (D).解：因为对矩阵施⾏⼀次初等⾏(列)变换, 相当于⽤同种的阶初等矩阵左（右）乘，⽽是由经过将第⼀⾏加到第三⾏，调换第⼀，⼆⾏两次初等⾏变换得到的，所以，故应选(D).。

《线性代数》试题一、填空题1.四阶行列式ij a 的展开式中，项21133442a a a a 所带的符号是 号.2.设矩阵1012A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则2A = ；nA = . 3.设A 是2阶方阵，B 是3阶方阵，2A =，3B =-，则TA B -= .4.线性方程1230x x x ++=的一个基础解系是 .5.若矩阵A 满足2A A =，且1A =，则A 的特征值为 .6.若矩阵0011100a b -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭有三个线性无关的特征向量，则a b += .7.四阶行列式ij a 的展开式中，项13342142a a a a 所带的符号是 号.8.设矩阵1102A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则2A = ；nA = .9.设A 是n 阶方阵，2A =-，则13()TA A -= .10.已知向量组123,,ααα线性无关，向量组122313,,k αααααα+++线性相关，则常数k = .11.若矩阵A 有个特征值为1，则3223B A A =-有个特征值为 . 12.若实对称矩阵两个特征向量(1,2,1),(1,1,)T T a --，则a = .13.多项式21()3201xf x xx x-=-中2x 项的系数是 . 14. 设101010001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，矩阵nA 中位于第三行第三列的那个元素是 .15.设A 为三阶方阵，4A =，则212A ⎛⎫= ⎪⎝⎭.16. 若向量(1,1,1)与(1,2,)a -正交，则a = .17.若0λ=是方阵A 的一个特征值，则A -= . 18.二次型121323f x x x x x x =++的秩等于 .19．若方阵A 满足2A E =，则A 的特征值必定为 .二、选择题1.若四阶行列式中，第三行元素依次为1,2,0,1-，对应的余子式依次为5,3,7,4-，则该行列式的值为 ( )（A ）3- （B ）5- （C ）15- （D ）52.若A 为n 阶可逆矩阵，*A 为伴随矩阵，则行列式*A = ( )（A ）1n A - （B ）nA （C ）1A - （D ）A3.若矩阵A 中所有的r 阶子式都为零，则必有（ ）（A ）()1r A r =- （B ）()1r A r ≤- （C ）()1r A r <- （D ）()r A r =4.已知向量组123,,ααα线性无关，若向量组122313,,k αααααα+++线性相关，则常数k = ( ) （A ）0 （B ）1 （C ）2- （D ）1-5.若矩阵20022311x -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与10002000y -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似,则( )（A ）0,2x y ==- （B ）1,2x y == （C ）2,1x y == （D ）1,1x y =-=- 6.若三阶行列式的值为零，则该行列式中 ( )（A ）一行元素全为零 （B ）两行元素相等（C ）两行元素对应成比例 （D ）有一行可以用另外两行线性表出 7.若A 为3阶方阵，*A 为伴随矩阵，则*(2)A = ( )（A ）*2A （B ）*4A （C ）*8A （D ）*16A 8.若矩阵A 中有两个r 阶子式不为零，则必有（ ）（A ）()r A r = （B ）()r A r ≥ （C ）()r A r < （D ）()r A r > 9.设同阶非零矩阵,A B 满足AB O =，则A 的行向量组与B 的行向量组 ( ) （A ）分别都线性无关 （B ）只有一个线性无关 （C ）分别都线性相关 （D ）以上答案均错10.若矩阵10000201a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与10000002b ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似,则( )（A ）1,1a b ==- （B ）1,1a b == （C ）1,1a b =-= （D ）1,1a b =-=- 11.若同阶方阵,A B 满足AB O =,则( )（A ）必有A O = （B ）当B O ≠时，A O = （C ）,A B 都可能不是零阵 （D ）,A B 至少有一个为零阵12.若m 个n 维向量线性无关,则( )（A ）再增加一个向量后也线性无关 （B ）再去掉一个向量后仍线性无关 （C ）其中只有一个向量不能被其余的线性表出 （D ）以上都不对13.若三阶矩阵123a b A c d e f -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有两个特征值为1-和1,则另一个特征值为( ) （A ）0 （B ）2 （C ）3 （D ）414.若三阶方阵A 与对角阵111⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭相似,则2006A =( ) （A ）E （B ）A （C ）E - （D ）2006A15.若n 阶方阵A 与B 合同,则必有( )（A ）A 与B 等价（B ）A 与B 相似（C ）A B =（D ）AX O =与BX O =同解 16.设n 阶方阵A 满足22A A E O --=，则必有( ) （A ）2A E = （B ）A E =- （C ）A E -可逆 （D ）A 不可逆17.设A 是13⨯矩阵，而123246369T A A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则TAA =( )（A ）14 （B ）9 （C ）6 （D ）1518.设A 是三阶方阵，*A 是其伴随矩阵，若2A =，则*A =( )（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）819. 向量组1,,m αα线性无关的充分必要条件是( ) （A ）若11m m k k O αα++=，则常数1,m k k 全为零（B ）存在不全为零的常数1,m k k ，使11m m k k O αα++≠ （C ）存在全不为零的常数1,m k k ，使11m m k k O αα++≠（D ）该向量组的秩小于m20.设A 是m n ⨯阵，非齐次线性方程组AX b =的导出组为AX =O ，若m n <，则( ) （A ）AX b =必有无穷多解 （B ）AX b =必有唯一解 （C ）AX =O 必有唯一解 （D ）AX =O 必有非零解三、计算题1．计算行列式1111111111111111x x x x ---+---+--.2．设矩阵111231104A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，且3AX A X -=,求矩阵X . 3．求向量组(1,3,4,2)a =-，(2,1,3,1)b =-，(3,1,2,0)c =-，(4,3,1,1)d =-的秩和一个极大无关组，并问向量组的所有极大无关组有几组？.4．求行列式10121103111010203040---的第四行元素的代数余子式之和.5．设矩阵011221103A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，且2AX A X -=,求矩阵X . 6．求向量组(1,0,1,0)a =，(1,1,0,1)b =-，(1,2,1,2)c =--，(1,1,0,1)d =--的秩和一个极大无关组7.设矩阵201020103A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，121212B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,且X AX B =+,求矩阵X四、计算、讨论题1．设矩阵12010215A t ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，向量314b t ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪+⎝⎭，若非齐次线性方程组AX b =对应的齐次方程组有无穷多解，求t 的值和非齐次线性方程组的全部解.2．已知矩阵74147144A a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭的全部特征值为1233,11λλλ===,求：(1)a 的值；(2) 311λ=对应的一个特征向量；（3）判别矩阵A 可否相似对角化？3．写出三元二次型22212312132344224f x x x ax x x x x x =+++-+的矩阵．求a 的取值范围，使得f 是正定二次型.4．设矩阵121201101A a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，向量12b k ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若非齐次线性方程组AX b =对应的齐次方程组的基础解系含有两个解向量，且AX b =有解，求,a k 的值和非齐次线性方程组的全部解.5．已知矩阵00111100A a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，（1）求A 的全部特征值；（2）若A 相似于某个对角矩阵，求a 的值；（3）在（2）的情况下，求出A 的小于零的特征值所对应的一个特征向量．6．用矩阵形式表示三元二次型222123233222f x x x x x =+++，并判别f 是否为正定二次型？7.讨论k 为何值时，线性方程组12312312312202x x x x kx x kx x x k+-=-⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩ （1）无解？（2）有唯一解？（3）有无穷多解？并求通解.五、证明题1.设12,αα是矩阵A 的对应于两个不同特征值12,λλ的特征向量，求证: 12,αα线性无关.2.设*X 是非齐次线性方程组AX b =的一个解，12,X X 是对应的齐次方程组的一个基础解系，求证:向量组*X ，1X ，2X 线性无关.答案：一、填空题 1.负. 2.1034⎛⎫⎪⎝⎭；10212n n⎛⎫ ⎪-⎝⎭. 3.24. 4.(1,1,0),(1,0,1)T T--. 5.1. 6.0. 7.负. 8.1304⎛⎫ ⎪⎝⎭；12102n n⎛⎫- ⎪⎝⎭. 9.3n. 10.1-. 11.1-. 12.1 13.2； 14.n ； 15.14； 16.1； 17.0； 18.3； 19．1或1-. 二、选择题1.C .2.A .3.B .4.D .5.A .6.D .7.B .8.B .9.C . 10.A11.C 12.B 13.D 14.A 15.A 16.C ；17.A ；18.B ；19.A ； 20.D 三、计算题1．4x . 2．133320037⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭.3．2r =；,a b 为一个极大无关组；极大无关组有6组．4．1-． 5．122210025⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭. 6．3r =；,,a b c71()X E A B -=-201121201012121011200---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=-=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭四、计算、讨论题1．3t =；全部解为123122x C x C x C =-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩或122101X C -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．2．（1）3a =；（2）110⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭；（3）不可相似对角化．3．1142124a A a -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭；21a -<<．4．1a =，1k =-；11212314232x C x C C x C x C =-+⎧⎪=--⎪⎨=⎪⎪=⎩或12310211010001X C C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.5．（1）121λλ==-，31λ=；（2）故1a =；（3）101⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭．6．记300021012A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，123x X x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，T f X AX =；f 是正定二次型．7（1）当2k =时，因为()2()r A r A =≠，所以方程组无解； （2）当2k ≠且1k ≠-时，因为()()3r A r A ==，所以方程组有唯一解； （3）当1k =-时，因为()()23r A r A ==<，所以方程组有无穷多解，且此时11111011/303020102/300000000A ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即方程组的同解于 1321323x x x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所求通解1/312/3001X C -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (12)五、证明题提示：设有常数12,x x 使得1122x x O αα+=，然后推出10x =，20x =.。

线代A期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 向量组 \(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\) 线性无关的充分必要条件是：A. 向量组中任意向量不能由其他向量线性表示B. 向量组中任意向量不能由其他向量线性组合得到C. 向量组中任意向量不能由其他向量线性组合得到，且向量组中向量个数等于空间的维数D. 向量组中向量个数等于空间的维数答案：A2. 矩阵 \(A\) 可逆的充分必要条件是：A. \(A\) 的行列式不为零B. \(A\) 的秩等于其行数C. \(A\) 的秩等于其列数D. \(A\) 的秩等于其行数且等于其列数答案：D3. 对于实对称矩阵 \(A\)，下列说法正确的是：A. \(A\) 一定可以对角化B. \(A\) 一定可以正交对角化C. \(A\) 的所有特征值都是实数D. \(A\) 的所有特征值都是正数答案：C4. 矩阵 \(A\) 和 \(B\) 相似的充分必要条件是：A. \(A\) 和 \(B\) 有相同的特征多项式B. \(A\) 和 \(B\) 有相同的特征值C. \(A\) 和 \(B\) 有相同的秩D. \(A\) 和 \(B\) 有相同的迹答案：B5. 矩阵 \(A\) 为正定矩阵的充分必要条件是：A. \(A\) 的所有特征值都大于零B. \(A\) 的所有特征值都大于等于零C. 对于任意非零向量 \(x\)，都有 \(x^TAx > 0\)D. 对于任意非零向量 \(x\)，都有 \(x^TAx \geq 0\)答案：C二、填空题（每题4分，共20分）6. 若向量 \(\alpha = (1, 2, 3)^T\) 和 \(\beta = (4, 5, 6)^T\)，则向量 \(\alpha + \beta\) 等于 \(\boxed{(5, 7, 9)^T}\)。

7. 矩阵 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\)的行列式为 \(\boxed{-2}\)。