线性代数试题A

线性代数试题（A ）一、选择题：（每小题3分，共18分）2、2、A 、B 均为n 阶方阵，则以下表达正确的是__ _ （A ） AB=BA （B ） AB=0，则A=0或B=0 （C ） ()111---=B A AB （D ） ()T T TA B AB =3、设矩阵A 的秩是r , 则（A ）A 中没有等于零的1-r 阶子式 （B ）A 中至少有一个r 阶子式不等于零 （C ）A 中有不等于零的1+r 阶子式 （D ）A 中没有等于零的r 阶子式4、已知 )3,2,1(=a )31,21,1(=b ，且b a T A = 则4A =（A ） 27÷÷÷÷÷÷øöççççççèæ1233321231211（B ）÷÷÷÷÷÷øöççççççèæ1233321231211 （C ）9 (D) 81 5、设A 是可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，则*-=A A A A 1)( *-=A A B 1)( *--=A AA C 11)( 11)()(-*-=A A D6、与对角矩阵D = úúúûùêêêëé211 相似的矩阵是 (A) úúúûùêêêëé100020101. (B) úúúûùêêêëé200110001. (C) úúúûùêêêëé200010011. (D) úúúûùêêêëé-111021001 二、填空题：（每小题4分，共20分）1、设A , B 为三阶矩阵, 2=A ,41=B , 则12-)(BA = 2、行列式8040703362205010的值为 3、设A 是n 阶方阵,若3-=n A R )(,则0=AX 的基础解系所含向量的个数为4、k= 时，向量)5,,1(k =b 能由向量)1,1,2(),2,3,1(21-=a -=a 线性表出。

厦门大学网络教育2008-2009学年第一学期《线性代数》模拟试卷（ A ）卷一、单项选择题(每小题3分，共24分).1. 若111221226a a a a =，则121122212020021a a a a --的值为( ). A ．12； B. －12； C. 18； D. 0. 2. 设A B 、为同阶方阵，则下面各项正确的是( ).A.若0AB =, 则0A =或0B =；B.若0AB =，则0A =或0B =；C.22()()A B A B A B -=-+；D.若A B 、均可逆，则111()AB A B ---=.3. 若方程组12312302403690x t x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭　的基础解系含有两个解向量，则 t =( ). A ．2； B ．4； C ．6； D ．8.4. 已知方程组A x b =对应的齐次方程组为0Ax =，则下列命题正确的是( ).A ．若0Ax =只有零解，则Ax b =一定有唯一解；B ．若0Ax =有非零解，则Ax b =一定有无穷解；C ．若Ax b =有无穷解，则0Ax =一定有非零解；D ．若Ax b =有无穷解，则0Ax =一定只有零解.5. 设12, u u 是非齐次线性方程组Ax b =的两个解，则以下结论正确的是( ).A ．12u u +是Ax b =的解；B ．12u u -是Ax b =的解；C ．1ku 是Ax b =的解（1k ≠）；D ．12u u -是0Ax =的解. 6. 设123,,a a a 线性相关，则以下结论正确的是( ).A ．12,a a 一定线性相关；B ．13,a a 一定线性相关；C ．12,a a 一定线性无关；D ．存在不全为零的数123,,k k k ，使得1122330k a k a k a ++=.7. 若20000101A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与200010001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦相似，则x =( ). A ．-1； B ．0； C ．1； D ．2.8. 二次型f(x 1,x 2,x 3)=32232221x x 12x 3x 3x +++是( ).A. 正定的；B. 半正定的；C. 负定的；D. 不定的.二、填空题(每小题4分，共24分)1. 设802020301A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，*A 为A 的伴随矩阵，则*A =_________. 2. 非齐次线性方程组m n A x b ⨯=有唯一解的充分必要条件是_________.3. 设方程组123131232 1 2 53(8)8x x x x x x x a x ++=⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩，当a 取__________时，方程组无解.4. 设向量组1(1,3,)a k =-，2(1,0,0)a =，3(1,3,2)a =-线性相关，则k =_________.5. 二次型3231212322213214225),,(x x x x x tx x x x x x x f +-+++=为正定二次型，则t 的取值范围是_____________.6. 3阶方阵A 的特征值分别为1，-2，3，则21()A -的特征值为_________.三、计算题(共38分).1. (10分) 计算行列式 3112513420111533D ---=---.2. (10分) 求123221343A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵1A -.3. (10分)求向量组)11,9,5,8(),2,1,1,3(),10,7,1,1(),1,1,1,2(4321=--=-==αααα的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组线性表示.4. (8分)已知111131111A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求A 的特征值. 四、证明题(每小题7分，共14分).1. 设列矩阵12(,,,)T n X x x x = 满足1T X X =，E 为n 阶单位阵，2T H E XX =-，证明: H 是对称阵，且T HH E =.2. 证明二次型22256444f x y z xy xz =---++是负定的.答案：一．1．A 1211121112111112222122212221212220220(1)22122021a a aa a a a a a a a a a a a a =-=-==--2. B 由矩阵的理论可得选项B3. C 基础解系含有两个解向量3()2()1r A r A ⇒-=⇒=,12312324006369000A t t ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,6t =时，()1r A =4. C 当()()r A r A =时，Ax b =有解5. D 1212()2A u u Au Au b b b +=+=+=，因此12u u +不是Ax b =的解， 下面的选项类似讨论6. D 由线性相关的定义可得选项D7. B 相似矩阵具有相同的特征值8．D f 的矩阵是100036063A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，A 的各阶主子式为：1110a =>，103003=>，10003613366270063A ==⋅⋅-⋅=-<，因此f 为不定的 二．1．16 8022016124301A ==-=， 33***416A A A E A AA A ====⇒=2. n A r =)( 由方程组解的理论可得3. 0 方程组无解可得()(,)r A r A b ≠11211121112110120111011153880223001a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→--→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦⎣⎦⎣⎦,(,)3r A b =，当0a =时，()2r A =。

《线性代数A 》试题（A 卷）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数考试时间：学号：姓名：3的一组标准正交基，=___________《线性代数A》参考答案（A卷）一、单项选择题（每小题3分，共30分）二、填空题（每小题3分，共18分）1、 256；2、 132465798⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭； 3、112211221122000⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭； 4、； 5、 4； 6、 2 。

三． 解：因为矩阵A 的行列式不为零,则A 可逆,因此1X A B -=.为了求1A B -,可利用下列初等行变换的方法：231211201012010*******121011411033110331023211027210027810027801141010144010144001103001103001103---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪-−−→-−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪−−→--−−→-−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭―――――（6分）所以1278144103X A B -⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭.―――――（8分）四．解：对向量组12345,,,,ααααα作如下的初等行变换可得：1234511143111431132102262(,,,,)21355011313156702262ααααα--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪----- ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭111431212011310113100000000000000000000--⎛⎫⎛⎫⎪⎪---- ⎪ ⎪→→⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭――――（5分）从而12345,,,,ααααα的一个极大线性无关组为12,αα，故秩12345{,,,,}ααααα＝2（8分）且3122ααα=-，4123ααα=+，5122ααα=--――――（10分） 五．解：对方程组的增广矩阵进行如下初等行变换：221121121121110113011311101112002421120113400(2)(1)42p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪−−→--−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫ ⎪−−→------- ⎪ ⎪-+-+⎝⎭(分)(1) 当10,(2)(1)0,p p p -≠-+-≠且时即1,2,p p ≠≠-且时系数矩阵与增广矩阵的秩均为3,此时方程组有唯一解.――――（5分） (2) 当1,p =时系数矩阵的秩为1,增广矩阵的秩为2,此时方程组无解.――――（6分）(3) 当2,p =-时此时方程组有无穷多组解. 方程组的增广矩阵进行初等行变换可化为1122112211221211033301112111033300001011011180000------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-−−→-−−→-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎪−−→------ ⎪ ⎪⎝⎭（分）故原方程组与下列方程组同解:132311x x x x -=-⎧⎨-=-⎩ 令30,x =可得上述非齐次线性方程组的一个特解0(1,1,0)Tξ=--;它对应的齐次线性方程组13230x x x x -=⎧⎨-=⎩的基础解系含有一个元素,令31,x =可得1(1,1,1)T ξ=为该齐次线性方程组的一个解,它构成该齐次线性方程组的基础解系.此时原方程组的通解为001101,,.k k k k ξξ+这里为任意常数――――（12分）六．解：（1）由于A的特征多项式2124||222(3)(6)421I A λλλλλλ----=-+-=+----故A 的特征值为13λ=-（二重特征值），36λ=。

完整版)线性代数试卷及答案线性代数A试题（A卷）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数学号：______ 姓名：______题号得分阅卷人一．单项选择题（每小题3分，共30分）1.设A经过初等行变换变为B，则(B)。

(下面的r(A),r(B)分别表示矩阵A,B的秩)。

A) r(A)。

r(B)；(D)2.设A为n(n≥2)阶方阵且|A|=，则(C)。

A) A中有一行元素全为零；(B) A中必有一行为其余行的线性组合；(C) A有两行（列）元素对应成比例；(D) A的任一行为其余行的线性组合。

3.设A,B是n阶矩阵(n≥2),AB=O,则下列结论一定正确的是: (D)A) A=O或B=O。

(B) B的每个行向量都是齐次线性方程组AX=O的解。

(C) BA=O。

(D) R(A)+R(B)≤n.4.下列不是n维向量组α1,α2.αs线性无关的充分必要条件是（A）A) 存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。

+ksαs≠O；(B) 不存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。

+ksαs=O(C) α1,α2.αs的秩等于s；(D) α1,α2.αs 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。

5.设n阶矩阵(n≥3)A=，若矩阵A的秩为n-1，则a必为（）。

11；(C) -1；(D)。

(A) 1；(B)6.四阶行列式a1a2a3a4b1b2b3b4的值等于（）。

A) a1a2a3a4+b1b2b3b4；(B) (a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4)；(C)a1a2a3a4-b1b2b3b4；(D) (a2a3-b2b3)(a1a4-b1b4)。

1.设A为四阶矩阵且A=b，则A的伴随矩阵A的行列式为b^3.(C)2.设A为n阶矩阵满足A+3A+In=O，In为n阶单位矩阵，则A=−A−3In。

(C)9.设A，B是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是A与B的行列式相同。

线性代数试题（A 卷）一、单项选择题1．如果将n 阶行列式中所有元素都变号，该行列式的值的变化情况为（ ） (A) 不变; (B)变号;(C)若n 为奇数，行列式变号；若n 为偶数，行列式不变; (D)若n 为奇数，行列式不变；若n 为偶数，行列式变号. 2．设0λ是可逆矩阵A 的一个特征值，则（ ） (A)0λ可以是任意一个数; (B)00>λ; (C)00≠λ; (D) 00<λ.3.设Ax=b 是一非齐次线性方程组，1η和2η是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ）(A) 12ηη+是Ax=0的一个解; (B) 121122ηη+是Ax=b 的一个解;(C) 12ηη-是Ax=0的一个解;(D) 122ηη-是Ax=b 的一个解.4. 若1112α=-（，，）,2764α=（，，），3000α=（，，），则向量组123,,ααα是( )(A) 线性相关; (B) 线性无关;(C) 可能线性相关，可能线性无关; (D) 秩123(,,)3ααα=.5.设100020004A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A 的特征值为 （ ）(A) 1,1,2 ； (B) 1,2,2 ； (C) 1,2,4 ； (D) 2,4,4.二、填空题（每小题4分，本大题共20分） 1. 排列32514的逆序数为 .2. 已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111A ，则矩阵=3A . 3. 设3阶方阵A 的元素全为1，则秩(A )为 .4．二次型12(,)f x x =22112264x x x x ++的矩阵是 .5.实对称矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是A 的所有特征值全是 .三、（本题10分）计算行列式ef cf bf de cd bd aeac ab ---.四、（本题10分）求方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2500380000120025 的逆矩阵.五、（本题12分） 求线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=++-211117847246373542432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解.六、（本题12分）求三阶方阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=201034011A 的特征值及特征向量，并判断A 是否与对角形矩阵相似？七、（本题8分）设321,,ααα线性无关，证明3213221,,ααααααα++++也线性无关. 八、（本题8分）证明：若A 为n n ⨯阶非零矩阵，则秩（A ）=1的充分必要条件是A 可写为一列向量与一行向量的积.参考答案和评分标准一、单项选择题（每小题4分，本大题共20分） 1．C ； 2．C ； 3. A ； 4. A ； 5. C 二、填空题（每小题4分，本大题共20分）1. 5 ；2、4444⎛⎫⎪⎝⎭；3. 1 ；4．⎥⎦⎤⎢⎣⎡4331 ；5．正数. 三、（本题10分）计算行列式efcf bf de cdbd aeacab ---.解：ef cfbf de cdbd aeac ab ---=ec b e c bec b adf ---……….…….…..…………（3分） =111111111---adfbce ……………………………………………………………………………….（6分） =abcdef 4……….………………………………………………………....……（10分）四、（本题10分）求方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025的逆矩阵. 解：,21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ,112251==A ,125382==A .……….……..……..（3分） ,5221111⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==*-A A .……….……………………………………………（5分）,8532212⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==*-A A .…………………………………………..……..…（7分）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=- 8 5-003-2000000 2- 1 521A .……….…………………………………….…（10分） 五、（本题12分） 求线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=++-211117847246373542432143214321x x x x x x x x x x x x 通解.解.对方程组的增广矩阵作初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=0000175100172021211117847246373542A ………………………..（4分） 于是方程组的同解方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++=434217517221x x x x x ，42,x x 为自由未知量……………………..………..（8分） 所以方程组的通解为：21432117507200120101k k x x x x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ . …………….…..….（12分） 六、（本题12分）解：A 的特征方程为2134011||----+=-λλλλA E =0)1)(2(2=--λλ，……………..………....（2分）故A 的特征值为21=λ，132==λλ. ……………..………………….……..（5分）(1) 对于特征值21=λ，得到齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-0040312121x x x x x ，它的基础解系是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100， 所以属于特征值2的全部特征向量为,100⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛k (0≠k ).………..…….（7分）(2) 对于特征值132==λλ，得到齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=-002402312121x x x x x x ，它的基础解系是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-121，所以属于特征值1的全部特征向量为,121⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-k (0≠k ).………...（9分）因此A 不与对角形矩阵相似. .…………….…………………………….（12分） 七、（本题8分）设321,,ααα线性无关，证明3213221,,ααααααα++++也线性无关.证明：设0)()()(3213322211=++++++αααααααk k k ，………..…….（2分） 则有0)()()(3322321131=++++++αααk k k k k k k ， ……………….（4分）321,,ααα 线性无关，⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=+∴0003232131k k k k k k k ，0321===∴k k k ……….….（6分）所以3213221,,ααααααα++++线性无关. …………………………..….（8分） 八、（本题8分） 证明：若A 为n n ⨯阶非零矩阵，则秩（A ）=1的充分必要条件是A 可写为一列向量与一行向量的积.证明：必要性：因为秩（A ）=1，所以存在可逆矩阵P 和Q ，使得10010000(100)0000PAQ ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，.……………………..….（2分）得到11)001(001--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Q P A=)(2121n n b b b a a a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，这里⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 21=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0011 P ，)(21n b b b =1)001(-Q 。

济南大学2008～2009学年第二学期课程考试试卷（A 卷）一、选择题（每小题3分，共15分）1．D 2333231232221131211==a a a a a a a a a ，则333132312321222113111211322322322a a a a a a a a a a a a ---的值为 [ C ] (A ) 4; (B ) 6; (C ) 8; (D ) 10.2. 设n 阶方阵A ，B ，C ，满足ABC=E ，则必有 [ D ](A ) ACB=E ; (B ) CBA=E ; (C ) BAC=E ; (D ) BCA=E .二、填空题（每空3分，共24分）1. 行列式225144196151214111=_________.2. 设矩阵A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1102,230311⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=B 则=B A T .6. 4阶行列式D 某一行的所有元素都相等且它们对应的余子式也相等，则D = 0 . 三、（本题满分10分）计算4阶行列式 b b a a -+-+1111111111111111.四、（本题满分12分）设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛400021012，矩阵B 满足：AB=A+2B ，求矩阵B .五、（本题满分14分）试求b 为何值时, 线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=---=++=+++bx x x x x x x x x x x x x x 43214324324321223121220有解,并求其通解.一、选择题（每小题3分，共18分） 1．若622211211=a a a a ，则120020221221112--a a a a 的值为 [ A ] (A ) 12-; (B )12; (C ) 18; (D ) 0.3. 设n 元齐次线性方程组=Ax 0的系数矩阵的秩为r ，则方程组=Ax 0有非零解的充分必要条件是 [ D ] (A ) n r =； (B ) n r ≥； (C ) n r >； (D ) n r <. 5. 设n 阶方阵A ，B ，C 满足ABC=E ，则必有 [ B ](A ) ACB=E ; (B ) BCA =E ; (C ) BAC=E ; (D ) CBA =E .二、填空题（每空3分，共24分）1. 行列式222111c b a c b a=_________. 2. 设A ，B 均为3阶方阵,且A =2,21=B ，则12-A B T =_____ __.4. 非齐次线性方程组b Ax =有解的充分必要条件是 . 56. 设n 阶矩阵A 满足=-+E A A 102320，则1)2(--E A = .三、（本题满分10分）计算4阶行列式aa a a a a a a aa a a 0000. 四、（本题满分12分）设AX +B =X ，其中A =，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101111010B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3-5021-1，求矩阵X .五、（本题满分14分）试求a 为何值时, 线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++322321321321a x x ax x ax x ax x x有唯一解、无解、有无穷多解？并在无穷多解时求其通解.一、填空题（每小题3分，共18分）2. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100020101A ，则(A +3E )-1 (A 2-9E )=.3. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200031021A ，则A -1=.二、选择题（每小题3分，共18分）1. 若矩阵A 有一个r 阶子式不为零，则下列结论正确的是 [ ](A ) R (A )<r ； (B ) R (A )≤ r ； (C ) R (A )>r ； (D ) R (A )≥ r .2. 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则下列结论一定成立的是 [ D ](A ) AB = BA ； (B ) 存在可逆矩阵P ，使P -1 AP =B ； (C ) 存在可逆矩阵C ，使C T AP =B ； (D ) 存在可逆矩阵P 和Q ，使P -AQ =B . 5. 矩阵方程AX =B 有解的充分必要条件是 [ C ](A ) R (A )= R (B )； (B ) R (B )=R (A , B )； (C ) R (A )=R (A , B )； (D ) R (A )<R (A , B ).6. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=133312321131131211232221333231232221131211,a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a B A ,,101010001,10000101021⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=P P 则[ D ](A ) B =P 1AP 2； (B ) B =P 2AP 1； (C ) B =A P 1P 2； (D ) B =P 1P 2A .三、计算题（第1、2题每小题10分，第3小题12分，共32分）1. 计算行列式3321322132113211111b a a a a b a a a a b a a a a +++.2. 求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+++000224214324321x x x x x x x x x x 的全部解.3. 已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2001,1121B P 满足P -1AP=B ，计算： (1) |-A 5|； (2) A 3.济南大学2011～2012学年第二学期课程考试试卷（A 卷）课 程 线 性 代 数 考试时间 2012 年 7 月 2 日一、填空题（每小题3分，满分27分）1、设行列式==11110342226111304z y xzy x，则行列式_________. 4、设矩阵A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1100120000120025，则A -1=________________. 6、三元线性方程x 1+ x 2+ x 3=1的全部解是_______________.三、计算题（每小题9分，满分18分）（1）D =cc b b a a ------1100110011001.（2）设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛161020101,而X 满足AX +E =A 2+X ，求X .四、应用题（每小题10分，满分20分）（2）设A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1-11020011-λλλ, b =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛11-a ，已知非齐次线性方程组Ax=b 存在两个不同的解，求（I ）a ，λ的值；（II ）Ax =b 的通解.。

线性代数a期末考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个矩阵是可逆的？A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 对角矩阵D. 奇异矩阵答案：B2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中非零行的最大数目D. 矩阵中非零列的最大数目答案：C3. 如果一个矩阵A的行列式为0，则：A. A是可逆的B. A是不可逆的C. A是正定的D. A是负定的答案：B4. 以下哪个选项不是线性方程组解的性质？A. 唯一性B. 存在性C. 零解D. 非零解答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 矩阵的________是矩阵中所有元素的和。

答案：迹2. 如果一个向量组线性无关，则该向量组的________等于向量的个数。

答案：秩3. 对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x使得Ax=0，则称x为矩阵A的________。

答案：零空间4. 一个矩阵的________是指矩阵中所有行向量或列向量的最大线性无关组的个数。

答案：秩三、解答题（每题10分，共60分）1. 已知矩阵A=\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\]，求A的行列式。

答案：\[ \text{det}(A) = 1*4 - 2*3 = 4 - 6 = -2 \]2. 设A=\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\]，B=\[\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\]，求AB。

答案：\[ AB = \begin{pmatrix} 1*2 + 2*1 & 1*0 + 2*3 \\ 3*2 +4*1 & 3*0 + 4*3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 10 & 12 \end{pmatrix} \]3. 已知矩阵A=\[\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\]，求A的特征值。

试题2015年~2016年第2学期课程名称：线性代数专业年级：考生学号：考生姓名：试卷类型：A 卷√B 卷□考试方式:开卷□闭卷√……………………………………………………………………………………………………………………注：请将所有答案写在答题纸上的指定位置，写在试卷上的答案一律无效！一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设B A ,均是n 阶矩阵，则下列等式正确的是（）（A ）2222)(B AB A B A ++=+（B ）T T T )(A B AB =（C ）||||||B A B A +=+（D ）BAAB =2.设向量组n ααα,,,21 )2(≥n 是线性相关的，则下列表述正确的是（）（A ）向量组n ααα,,,21 中一定有一个向量可由其余向量线性表示（B ）向量组n ααα,,,21 的极大无关组一定唯一（C ）向量组n ααα,,,21 中任意两个向量必线性相关（D ）向量组n ααα,,,21 中一定有一个为零向量3.设A ,B 是同阶方阵，则下列表述错误的是（）（A ）)()(),(B R A R B A R +≤（B ）)()()(B R A R B A R +≥+（C ）)()(A R AB R ≤（D ）)()(B R AB R ≤4.假设方阵A 与B 相似，则下述说法错误的是（）（A ）||||B A =（B ）A 与B 有相同的特征值（C ）A 与B 有相同的特征向量（D ）A 与B 有相同的秩5.设三阶方阵),,(321ααα=A 且1||=A ，则三阶方阵)2,,(3211αααα+=B 的行列式的值是（）（A ）不确定（B ）0（C ）1（D ）2二、填空题（每小题3分，共15分）6．已知E A =3，则=+-1)(E A ________.7.设方阵A 的行列式2||=A ，则=||T T AA A _______.8.已知向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a 32,321,111321ααα线性相关，则=a _________.9.已知矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2 1 02 0 04 2 1，则=)(A R ___.10.设三阶方阵A 的特征值为1,1,2则=+-||1A A ______.三、判断题,对的打√，错的打×（每小题2分，共10分）11.设B A ,均是n 阶对称矩阵，则B A +必是对称矩阵（）.12.设A 是n 阶矩阵，则n A A ||||*=（）.13.若矩阵A 可逆，则A 的特征值必不为0（）.14.任意齐次方程组0=⨯x A n m 必有非零解（）.15.对矩阵A 施加初等列变换秩不改变（）.四、计算题（每小题10分，共50分）16．求行列式00000000a ba b b a b a的值.17.设3阶矩阵X 满足等式X B AX 2+=,其中311110012,102,004202A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求矩阵X .18.问,a b 各取何值时，线性方程组1231231232021324x x x x x ax x x x b++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有无穷多解？并求其通解.19.求向量组123411343354,,,,22323342αααα--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭53101α⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的秩，并求出一个极大无关组.-20.已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3 0 00 1 20 2 1A ，求100A .五、证明题（每小题5分，共10分）21.设A 为对称矩阵，B 为反对称矩阵，且,A B 可交换，A B -可逆，证明：()()1A B A B -+-是正交矩阵.22.设A 为n m ⨯矩阵，B 为s n ⨯矩阵，且0=AB ,证明n B R A R ≤+)()(.。