豫晋冀2015届高三上学期第二次调研考试 数学(文)含答案

豫晋冀三省联考2015届高三上学期第二次调研数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|2x≤4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B等于（）A．（1，2）B．C．2．（5分）已知复数1﹣i=（i为虚数单位），则z等于（）A．﹣1+3i B．﹣1+2i C．1﹣3i D．1﹣2i3．（5分）设{a n}是等差数列，若a5=log8，则a4+a6等于（）A．6 B．8 C．9 D．164．（5分）我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为（）A．2 B．3 C．4 D．55．（5分）已知向量=（1，k），=（2，2），且+与共线，那么•的值为（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与圆（x﹣3）2+y2=9相交于A，B两点，若|AB|=2，则该双曲线曲离心率为（）A．8 B．C．3 D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．3 B．﹣6 C．10 D．﹣158．（5分）已知P（x，y）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x﹣y的最大值是（）A．6 B．0 C．2 D．29．（5分）函数y=（0＜φ＜）的图象如图，则（）A．k=，ω=，φ=B．k=，ω=，φ=C．k=﹣，ω=2，φ=D．k=﹣2，ω=2，φ=10．（5分）如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1、O2，这两个球相外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是（）A．B．C．D．11．（5分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点P（2，0）的直线交抛物线于A，B两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点C，D设直线AB，CD的斜率分别为k1，k2，则等于（）A．B．C．1 D．212．（5分）已知≤k＜1，函数f（x）=|2x﹣1|﹣k的零点分别为x1，x2（x1＜x2），函数g （x）=|2x﹣1|的零点分别为x3，x4（x3＜x4），则（x4﹣x3）+（x2﹣x1）的最小值为（）A．1 B．log23 C．log26 D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中的横线上．13．（5分）设常数a∈R，若的二项展开式中x7项的系数为﹣10，则a=．14．（5分）某次测量发现一组数据（x i，y i）具有较强的相关性，并计算得=x+1，其中数据（1，y0）因书写不清，只记得y0是任意一个值，则该数据对应的残差的绝对值不大于1的概率为．（残差=真实值﹣预测值）15．（5分）设奇函数f（x）定义在（﹣π，0）∪（0，π）上，其导函数为f′（x），且f （）=0，当0＜x＜π时，f′（x）sinx﹣f（x）cosx＜0，则关于x的不等式f（x）＜2f（）sinx的解集为．16．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=（﹣1）n a n+，{S n}的前n项和为T n，则T2014=．三、解答题；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C（C为钝角）所对的边分别为a，b，c，且cos（A+B ﹣C）=，a=2，=2．（1）求cosC的值；（2）求b的长．18．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PB⊥底面ABC于B，∠BCA=90°，PB=CA=2，点E是PC的中点．（1）求证：侧面PAC⊥平面PBC；（2）若异面直线AE与PB所成的角为θ，且，求二面角C﹣AB﹣E的大小．19．（12分）某茶楼有四类茶饮，假设为顾客准备泡茶工具所需的时间互相独立，且都是整数分钟，经统计以往为100位顾客准备泡茶工具所需的时间（t），结果如下：类别铁观音龙井金骏眉大红袍顾客数（人）20 30 40 10时间t（分钟/人） 2 3 4 6注：服务员在准备泡茶工具时的间隔时间忽略不计，并将频率视为概率．（1）求服务员恰好在第6分钟开始准备第三位顾客的泡茶工具的概率；（2）用X表示至第4分钟末已准备好了工具的顾客人数，求X的分布列及数学期望．20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（2，）．（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若k AC•k BD=﹣，（i）求•的最值．（ii）求证：四边形ABCD的面积为定值．21．（12分）已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=xe1﹣x（a∈R，e为自然对数的底）．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）若对任意的x0∈（0，e]，在（0，e]上存在两个不同的x i（i=1，2），使得f（x i）=g （x0）成立，求a的取值范围．22．（10分）如图，△ABO三边上的点C、D、E都在⊙O上，已知AB∥DE，AC=CB．（l）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）若AD=2，且tan∠ACD=，求⊙O的半径r的长．23．（10分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的参数方程为，（t为参数），曲线C1的方程为ρ（ρ﹣4sinθ）=12，定点A（6，0），点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线l与直线C2交于A，B两点，若|AB|≥2，求实数a的取值范围．24．（10分）已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|a﹣1|的解集非空，求实数a的取值范围．豫晋冀三省联考2015届高三上学期第二次调研数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|2x≤4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B等于（）A．（1，2）B．C．考点：对数函数的定义域；交集及其运算．专题：函数的性质及应用．分析：解指数不等式求出集合A，求出对数函数的定义域即求出集合B，然后求解它们的交集．解答：解：A={x|2x≤4}={x|x≤2}，由x﹣1＞0得x＞1∴B={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1}∴A∩B={x|1＜x≤2}故选D．点评：本题考查指数不等式的解法，交集及其运算，对数函数的定义域，考查计算能力．2．（5分）已知复数1﹣i=（i为虚数单位），则z等于（）A．﹣1+3i B．﹣1+2i C．1﹣3i D．1﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：∵复数1﹣i=，∴==﹣1+3i．故选：A．点评：本题考查了复数定义是法则，属于基础题．3．（5分）设{a n}是等差数列，若a5=log8，则a4+a6等于（）A．6 B．8 C．9 D．16考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：根据a4+a6=2a5，即可得出结论．解答：解：由题意，a5=log8=3，∵{a n}是等差数列，∴a4+a6=2a5=6，故选：A．点评：本题主要考查了等差数列中的等差中项的性质，比较基础．4．（5分）我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为（）A．2 B．3 C．4 D．5考点：系统抽样方法．专题：计算题；概率与统计．分析：求出系统抽样的抽取间隔，设抽到的最小编号x，根据编号的和为48，求x即可．解答：解：系统抽样的抽取间隔为=6．设抽到的最小编号x，则x+（6+x）+（12+x）+（18+x）=48，所以x=3．故选：B．点评：本题考查了系统抽样方法，熟练掌握系统抽样的特征是解答本题的关键．5．（5分）已知向量=（1，k），=（2，2），且+与共线，那么•的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：平面向量的坐标运算；平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：由向量的坐标加法运算求得+与的坐标，然后直接利用向量共线的坐标表示列式求解k的值，再求其数量积．解答：解：∵向量=（1，k），=（2，2），∴+=（3，k+2），又+与共线，∴（k+2）﹣3k=0，解得：k=1，∴•=1×2+1×2=4，故选D点评：平行问题是一个重要的知识点，在2015届高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．6．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与圆（x﹣3）2+y2=9相交于A，B两点，若|AB|=2，则该双曲线曲离心率为（）A．8 B．C．3 D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据双曲线方程求得其中一条渐近线方程，根据题意可知圆心到渐近线的距离为2，进而表示出圆心到渐近线的距离，求得a，b的关系，即可求出双曲线的离心率．解答：解：依题意可知双曲线的一渐近线方程为bx﹣ay=0，∵|AB|=2，圆的半径为3∴圆心到渐近线的距离为2，即=2，解得b= a∴c=3a，∴双曲线的离心率为e==3．故选：C．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是利用数形结合的方法求得圆心到渐近线的距离．7．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．3 B．﹣6 C．10 D．﹣15考点：循环结构；选择结构．专题：计算题．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环判断i是否为奇数求出S的值，并输出最后的S值．解答：解：程序运行过程中，各变量的值如下表示：是否继续循环 i S循环前 1 0第一圈是 2﹣1第二圈是 3 3第三圈是 4﹣6第四圈是 5 10第五圈否故最后输出的S值为10故选C．点评：根据流程图写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是从流程图中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据，选择恰当的数学模型解答．8．（5分）已知P（x，y）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x﹣y的最大值是（）A．6 B．0 C．2 D．2考点：简单线性规划．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，求出使可行域面积为4的a值，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解答：解：由作出可行域如图，由图可得A（a，﹣a），B（a，a），由，得a=2．∴A（2，﹣2），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，∴当y=2x﹣z过A点时，z最大，等于2×2﹣（﹣2）=6．故选：A．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．9．（5分）函数y=（0＜φ＜）的图象如图，则（）A．k=，ω=，φ=B．k=，ω=，φ=C．k=﹣，ω=2，φ=D．k=﹣2，ω=2，φ=考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：用待定系数法求出k的值，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．解答：解：把（﹣2，0）代入y=kx+1，求得k=．再根据•=﹣=π，可得ω=．再根据五点法作图可得×+φ=π，求得φ=，故选：A．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于基础题．10．（5分）如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1、O2，这两个球相外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是（）A．B．C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：常规题型．分析：由题意可以判断出两球在正方体的正投影与正方形相切，排除C、D，把其中一个球扩大为与正方体相切，则另一个球被挡住，排除A；得到正确选项．解答：解：由题意可以判断出两球在正方体的面AA1C1C上的正投影与正方形相切，排除C、D，把其中一个球扩大为与正方体相切，则另一个球被全挡住，由于两球不等，所以排除A；B正确；故选B点评：本题是基础题，考查几何体的三视图知识，本题的解答采用排除法，无限思想的应用，考查空间想象能力．11．（5分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点P（2，0）的直线交抛物线于A，B两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点C，D设直线AB，CD的斜率分别为k1，k2，则等于（）A．B．C．1 D．2考点：抛物线的简单性质；抛物线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设AF的方程是y=（x﹣1），与抛物线方程联立，求出C的坐标，同理求出D的坐标，可得k2，即可求出．解答：解：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）∴AF的方程是y=（x﹣1），设k0=，则AF：y=k0（x﹣1），与抛物线方程联立，可得k02x2﹣（2k02+4）x+k02=0，利用韦达定理x3x1=1，∴x3=，∴y3=k0（x3﹣1）=﹣，即C（，﹣），同理D（，﹣），∴k2==2k1，∴=．故选：B．点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查斜率的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．12．（5分）已知≤k＜1，函数f（x）=|2x﹣1|﹣k的零点分别为x1，x2（x1＜x2），函数g （x）=|2x﹣1|的零点分别为x3，x4（x3＜x4），则（x4﹣x3）+（x2﹣x1）的最小值为（）A．1 B．log23 C．log26 D．3考点：函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：先表示出和，和，再表示出，，从而表示出，求出其范围，从而求出（x4﹣x3）+（x2﹣x1）的范围，进而求出（x4﹣x3）+（x2﹣x1）的最小值．解答：解：∵x1＜x2，∴，，又∵x3＜x4，∴，，∴，；∴；又，∴；∴x4﹣x3+x2﹣x1∈故选：B．点评：本题考察了函数的零点，方程的根的关系，求函数的值域问题以及指数函数的运算，是一道综合题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中的横线上．13．（5分）设常数a∈R，若的二项展开式中x7项的系数为﹣10，则a=﹣2．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第r+1项，令x的指数为7求得x7的系数，列出方程求解即可．解答：解：的展开式的通项为T r+1=C5r x10﹣2r（）r=C5r x10﹣3r a r令10﹣3r=7得r=1，∴x7的系数是aC51∵x7的系数是﹣10，∴a C51=﹣10，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题主要考查了二项式系数的性质．二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．14．（5分）某次测量发现一组数据（x i，y i）具有较强的相关性，并计算得=x+1，其中数据（1，y0）因书写不清，只记得y0是任意一个值，则该数据对应的残差的绝对值不大于1的概率为．（残差=真实值﹣预测值）考点：回归分析．专题：计算题；概率与统计．分析：求出预测值，再求出该数据对应的残差的绝对值不大于1时y0的取值范围，用几何概型解答．解答：解：由题意，其预估值为1+1=2，该数据对应的残差的绝对值不大于1时，1≤y0≤3，其概率可由几何概型求得，即该数据对应的残差的绝对值不大于1的概率P==．故答案为：．点评：本题考查了几何概型的概率公式，属于基础题．15．（5分）设奇函数f（x）定义在（﹣π，0）∪（0，π）上，其导函数为f′（x），且f （）=0，当0＜x＜π时，f′（x）sinx﹣f（x）cosx＜0，则关于x的不等式f（x）＜2f（）sinx的解集为（﹣，0）∪（，π）．考点：利用导数研究函数的单调性；函数的定义域及其求法．专题：导数的综合应用．分析：设g（x）=，利用导数判断出g（x）单调性，根据函数的单调性求出不等式的解集．解答：解：设g（x）=，∴g′（x）=，∵f（x）是定义在（﹣π，0）∪（0，π）上的奇函数，故g（﹣x）===g（x）∴g（x）是定义在（﹣π，0）∪（0，π）上的偶函数．∵当0＜x＜π时，f′（x）sinx﹣f（x）cosx＜0∴g'（x）＜0，∴g（x）在（0，π）上单调递减，∴g（x）在（﹣π，0）上单调递增．∵f（）=0，∴g（）==0，∵f（x）＜2f（）sinx，∴g（x）＜g（），x∈（0，π），或g（x）＞g（﹣），x∈（﹣π，0），∴，或．故x的不等式f（x）＜2f（）sinx的解集为（﹣，0）∪（，π）．故答案为：（﹣，0）∪（，π）点评：求抽象不等式的解集，一般能够利用已知条件判断出函数的单调性，再根据函数的单调性将抽象不等式转化为具体函的不等式解之16．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=（﹣1）n a n+，{S n}的前n项和为T n，则T2014=．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：由数列递推式求得数列的通项公式，得到数列的奇数项和偶数项，然后代入T2014，分组后利用等比数列的求和公式得答案．解答：解：由S n=（﹣1）n a n+，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（﹣1）n a n﹣（﹣1）n﹣1a n﹣1﹣．n为偶数时，a n﹣1=；n为奇数时，2a n+a n﹣1=，∴a2=a4=…=a2014=0．∴T2014=（﹣a1+a2﹣a3+…+a2014）+（++…+）=﹣（a1+a3+…+a2013）+（++…+）=﹣（）+（++…+）=﹣+=．故答案为：．点评：本题考查了数列递推式，考查了等比数列的前n项和，训练了数列的分组求和，是中档题．三、解答题；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C（C为钝角）所对的边分别为a，b，c，且cos（A+B ﹣C）=，a=2，=2．（1）求cosC的值；（2）求b的长．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）已知第二个等式利用正弦定理化简，把a的值代入求出c的值，第一个等式中的角度变形后，利用诱导公式及二倍角的余弦函数公式化简，即可求出cosC的值；（2）利用余弦定理列出关系式，把a，c，cosC的值代入即可求出b的值．解答：解：（1）由正弦定理得：===2，即c=2a=4，∵cos（A+B﹣C）=cos（π﹣2C）=﹣cos2C=﹣2cos2C+1=，∴cosC=﹣；（2）由余弦定理得：cosC=，把a=2，c=4，cosC=﹣代入得：b=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及诱导公式，熟练掌握定理是解本题的关键．18．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PB⊥底面ABC于B，∠BCA=90°，PB=CA=2，点E是PC的中点．（1）求证：侧面PAC⊥平面PBC；（2）若异面直线AE与PB所成的角为θ，且，求二面角C﹣AB﹣E的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）利用线面垂直的性质可得PB⊥AC，利用线面垂直的判定即可得出AC⊥平面PBC，利用面面垂直的判定定理即可证明结论；（2）通过建立空间直角坐标系，利用两条异面直线的方向向量的夹角即可得出BC的长度，进而利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角．解答：（1）证明：∵PB⊥平面ABC，∴PB⊥AC；∵∠BCA=90°，∴AC⊥BC；又∵PB∩BC=B，∴AC⊥平面PBC；又∵AC⊂平面PAC，∴面PAC⊥面PBC（2）以C为原点，CA、CB所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系，设BC=m＞0，则C（0，0，0），A（2，0，0），E（0，，1），B（0，m，0），P（0，m，2）．∴，，．由，得，由==，∴，解得m=．则，．设平面ABE的一个法向量为=（x，y，z），则，取x=1，则y=，z=1，∴=（1，，1）．取平面ABC的一个法向量=（0，0，1），∴===．∴．∴二面角C﹣AB﹣E的大小为60°．点评：本题综合考查了通过建立空间直角坐标系求异面直线的夹角、二面角，线面、面面垂直的判定与性质定理，需要较强的推理能力、计算能力和空间想象能力．19．（12分）某茶楼有四类茶饮，假设为顾客准备泡茶工具所需的时间互相独立，且都是整数分钟，经统计以往为100位顾客准备泡茶工具所需的时间（t），结果如下：类别铁观音龙井金骏眉大红袍顾客数（人）20 30 40 10时间t（分钟/人） 2 3 4 6注：服务员在准备泡茶工具时的间隔时间忽略不计，并将频率视为概率．（1）求服务员恰好在第6分钟开始准备第三位顾客的泡茶工具的概率；（2）用X表示至第4分钟末已准备好了工具的顾客人数，求X的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）设Y表示服务员准备工具所需的时间，用P表示对应的概率，求出Y的分布列，计算“服务员在第6分钟开始为第三位顾客准备泡茶工具”的概率；（2）分析X的可能取值，求出X的分布列与数学期望．解答：解：（1）设Y表示服务员准备工具所需的时间，用P表示概率，得Y的分布列如下；Y 2 3 4 6PA表示事件“服务员在6分钟开始为第三位顾客准备泡茶工具”，则事件A对应两种情形：①为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为2分钟，且为第二位所需的时间为3分钟；②为第一位顾客所需的时间为3分钟，且为第一位顾客准备所需的时间为2分钟；∴P（A）=P（Y=2）•P（Y=3）+P（Y=3）•P（Y=2）=×+×=；（2）X的取值为0、1、2，X=0时对应为第一位顾客准备所需的时间超过4分钟，∴P（X=0）=P（Y＞4）=；X=1对应为第一位顾客所需的时间2分钟且为第二位顾客准备所需的时间超过2分钟，或为第一位顾客准备所需的时间3分钟或为第一位顾客准备所需的时间4分钟，∴P（X=1）=P（Y=2）•P（Y＞2）+P（Y=3）+P（ Y=4）=×++=；X=2对应准备两位顾客泡茶工具的时间均为2分钟，∴P（X=2）=P（Y=2）P（Y=2）=×=；∴X的数学期望是E（X）=0×+1×+2×=．点评：本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望，解题的关键是得出随机变量的可能取值，把随机变量与事件结合起来，是中档题．20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（2，）．（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若k AC•k BD=﹣，（i）求•的最值．（ii）求证：四边形ABCD的面积为定值．考点：直线与圆锥曲线的关系；三角形的面积公式；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）把点代入椭圆的方程，得到，由离心率，再由a2=b2+c2，联立即可得到a2、b2、c2；（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），设k AC=k，由k AC•k BD=﹣=﹣，可得．把直线AC、BD的方程分别与椭圆的方程联立解得点A，B，的坐标，再利用数量积即可得到关于k的表达式，利用基本不等式的性质即可得出最值；（ii）由椭圆的对称性可知S四边形ABCD=4×S△AOB=2|OA||OB|sin∠AOB，得到=4，代入计算即可证明．解答：解：（1）由题意可得，解得，∴椭圆的标准方程为．（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设x1＞0，x2＞0．设k AC=k，∵k AC•k BD=﹣=﹣，∴．可得直线AC、BD的方程分别为y=kx，．联立，．解得，．∴=x1x2+y1y2===2，当且仅当时取等号．可知：当x1＞0，x2＞0时，有最大值2．当x1＜0，x2＜0．有最小值﹣2．ii）由椭圆的对称性可知S四边形ABCD=4×S△AOB=2|OA||OB|sin∠AOB．∴=4=4=4=4==128，∴四边形ABCD的面积=为定值．点评：熟练掌握椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为联立方程得到一元二次方程的根与系数的关系、数量积、基本不等式的性质、三角形的面积计算公式等是解题的关键．21．（12分）已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=xe1﹣x（a∈R，e为自然对数的底）．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）若对任意的x0∈（0，e]，在（0，e]上存在两个不同的x i（i=1，2），使得f（x i）=g （x0）成立，求a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）当a=1时，f（x）=x﹣1﹣2lnx，f′（x）=1﹣=．分别解出f′（x）＜0，f′（x）＞0，即可得出函数的单调区间．（2）g′（x）=（1﹣x）e1﹣x，分别解出g′（x）＞0，g′（x）＜0，即可得出函数g（x）的单调性极值与最值．因此函数g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]．当a=2时，不适合题意；当a≠2时，f′（x）=，x∈（0，e]．由于在（0，e]上存在两个不同的x i（i=1，2），使得f（x i）=g（x0）成立，可得：函数f（x）在（0，e]上不单调，于是．解得①，此时，当x变化时，可得函数f（x）的单调性极值与最值．由于x→0时，f（x）→+∞，，f（e）=（2﹣a）（e﹣1）﹣2．由题意当且仅当满足：≤0②，f（e）≥1③．再利用导数研究其单调性极值与最值即可．解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x﹣1﹣2lnx，f′（x）=1﹣=．由f′（x）＜0，解得0＜x＜2；由f′（x）＞0，解得2＜x．∴函数f（x）的单调递增区间为（2，+∞）；单调递减区间为（0，2）．（2）g′（x）=（1﹣x）e1﹣x，当0＜x＜1时，g′（x）＞0，此时函数g（x）单调递增；当1＜x时，g′（x）＜0，此时函数g（x）单调递减．∵g（0）=0，g（1）=1，1＞g（e）=e•e1﹣e=e2﹣e＞0，∴函数g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]．当a=2时，不适合题意；当a≠2时，f′（x）=，x∈（0，e]．∵在（0，e]上存在两个不同的x i（i=1，2），使得f（x i）=g（x0）成立，∴函数f（x）在（0，e]上不单调，∴．∴①，此时，当x变化时，列表如下：xf′（x）﹣0 +f（x）单调递减极小值单调递增∵x→0时，f（x）→+∞，，f（e）=（2﹣a）（e﹣1）﹣2．由于对任意的x0∈（0，e]，在（0，e]上存在两个不同的x i（i=1，2），使得f（x i）=g（x0）成立，当且仅当满足：≤0②，f（e）≥1③．令h（a）=a﹣2，，h′（a）=．令h′（a）=0，解得a=0．当a∈（﹣∞，0）时，h′（a）＞0，函数h（a）为增函数；当a∈时，h′（a）＜0，函数h（a）为减函数．∴当a=0时，函数h（a）取得极大值即最大值，h（0）=0．即②式在恒成立．由③式解得a≤，④．由①④可得：当a∈时，对任意的x0∈（0，e]，在（0，e]上存在两个不同的x i（i=1，2），使得f（x i）=g（x0）成立．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论的思想方法与恒成立问题等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．（10分）如图，△ABO三边上的点C、D、E都在⊙O上，已知AB∥DE，AC=CB．（l）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）若AD=2，且tan∠ACD=，求⊙O的半径r的长．考点：与圆有关的比例线段．专题：立体几何．分析：（1）如图所示，连接OC．由AB∥DE，可得，由于OD=OE，可得OA=OB．由于AC=CB，可得OC⊥AB．即可得出直线AB是EO的切线．（2）延长AO交⊙O于点F，连接CF．由（1）可得∠ACD=∠F．由tan∠AC D=，可得tan∠F=．由于△ACD∽△AFC，可得，再利用切割线定理可得：AC2=AD•（AD+2r），即可得出．解答：（1）证明：如图所示，连接OC．∵AB∥DE，∴，∵OD=OE，∴OA=OB．∵AC=CB，∴OC⊥AB．∴直线AB是EO的切线．（2）解：延长AO交⊙O于点F，连接CF．由（1）可得∠ACD=∠F．∵tan∠ACD=，∴tan∠F=．∵△ACD∽△AFC，∴，而AD=2，∴AC=4．由切割线定理可得：AC2=AD•（AD+2r），∴42=2×（2+2r），解得r=3．点评：本题考查了圆的切线的性质、切割线定理、相似三角形的性质、平行线分线段成比例定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23．（10分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的参数方程为，（t为参数），曲线C1的方程为ρ（ρ﹣4sinθ）=12，定点A（6，0），点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线l与直线C2交于A，B两点，若|AB|≥2，求实数a的取值范围．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）首先，将曲线C1化为直角坐标方程，然后，根据中点坐标公式，建立关系，从而确定点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）首先，将直线方程化为普通方程，然后，根据距离关系，确定取值范围．解答：解：（1）根据题意，得曲线C1的直角坐标方程为：x2+y2﹣4y=12，设点P（x′，y′），Q（x，y），根据中点坐标公式，得，代入x2+y2﹣4y=12，得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为：（x﹣3）2+（y﹣1）2=4，（2）直线l的普通方程为：y=ax，根据题意，得，解得实数a的取值范围为：．点评：本题重点考查了圆的极坐标方程、直线的参数方程，直线与圆的位置关系等知识，考查比较综合，属于中档题，解题关键是准确运用直线和圆的特定方程求解．24．（10分）已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|a﹣1|的解集非空，求实数a的取值范围．考点：带绝对值的函数；其他不等式的解法．专题：计算题；压轴题．分析：（Ⅰ）不等式等价于①，或②，或③．分别求出这3个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由绝对值不等式的性质求出f（x）的最小值等于4，故有|a﹣1|＞4，解此不等式求得实数a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）不等式f（x）≤6 即|2x+1|+|2x﹣3|≤6，∴①，或②，或③．解①得﹣1≤x＜﹣，解②得﹣≤x≤，解③得＜x≤2．故由不等式可得，即不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}．（Ⅱ）∵f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|≥|（2x+1）﹣（2x﹣3）|=4，即f（x）的最小值等于4，∴|a﹣1|＞4，解此不等式得a＜﹣3或a＞5．故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解．体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。

晋冀豫三省2015届高三上学期联考数学试卷（文科）一.选择题，共60分，每题5分1．（5分）已知集合A={x|y=﹣}，则B={x|x≤6}，则A∩B等于（）A．C．D．（﹣∞，6]2．（5分）已知复数z1=1+i，z2=2﹣2i，则•等于（）A．8B．﹣4i C．4﹣4i D．4+4i3．（5分）曲线y=x3﹣1在x=1处的切线方程为（）A．x=1 B．y=1 C．y=3x﹣3 D．y=2x﹣24．（5分）已知等比数列{a n}满足a2=2，a4a6=4a72，则a4的值为（）A．B．1C．2D．5．（5分）在△ABC中，M是BC的中点，AM=5，BC=6，则•等于（）A．9B．12 C．16 D．306．（5分）已知三棱锥的直观图及其俯视图与侧视图如图，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图面积为（）A．B．2C．4D．7．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=7x+2y的最大值是（）A．27 B．19 C．13 D．98．（5分）已知函数f（x）=2x﹣2，则函数y=|f（x）|的图象可能是（）A．B．C．D．9．（5分）已知m＞0，n＞0，且2m，，3n成等差数列，则m+++n的最小值为（）A．B．5C．D．1510．（5分）已知函数f（x）=sin（x+θ）﹣cos（x+θ）（|θ|＜）的图象关于y中对称，则y=f（x）在下列哪个区间上是减函数（）A．（0，）B．（，π）C．（﹣，﹣）D．（，2π）11．（5分）命题p：幂函数y=在（﹣∞，0）上单调递减；命题q：已知函数f（x）=x3﹣3x2+m，若a，b，c∈，且f（a），f（b），f（c）能构成一个三角形的三边长，且4＜m＜8，则（）A．p且q为真命题B．p或q为假命题C．（￢p）且q为真命题D．p且（￢q）为真命题12．（5分）已知x0是函数的一个零点，若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则（）A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＞0，f（x2）＞0 C． f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＜0，f（x2）＞0二.每题5分，共20分13．（5分）已知||=1，•=，（﹣）2=，则||=．14．（5分）已知sin（+α）=，则cos2α=．15．（5分）正方形AP1P2P3的边长为4，点B，C分别是边P1，P2，P3，P4的中点，沿AB，BC，CA折成一个三棱锥P﹣ABC（使P1，P2，P3重合于P），则三棱锥P﹣ABC的外接球体积为．16．（5分）已知{a n}是公差不等于0的等差数列，a1=2且a2，a4，a8成等比数列，若b n=，则数列{b n}的前n项和的取值范围是．三.解答题，6小题，共70分17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA+sinB=2sinC，a=2b．（1）求角A的余弦值；（2）若c=4，求△ABC的面积．18．（12分）在R上定义运算⊗：x⊗y=x（2﹣y），已知f（x）=（x+1）⊗（x+1﹣a）．（1）若关于x的不等式f（x）≥0的解集是A={x|b≤x≤1}，求实数a，b；（2）对于任意的x，不等式f（x）≤1恒成立，求实数a的取值范围．19．（12分）如图，四棱锥P﹣BCDE中，四边形ABCD为菱形，且∠DAB=60°，△PAD为对边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，AB=2，E为AD的中点．（1）求证：AD⊥PB；（2）求点E到平面PBC的距离．20．（12分）已知函数f（x）=（a＞0，x＞0）的图象过点（a，0）．（1）判断函数f（x）在（0．+∞）上的单调并用函数单调性定义加以证明；（2）若a＞函数f（x）在上的值域是，求实数a的值．21．（12分）已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且满足2S n=a n2+a n．（1）求证：{a n}为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2an log2an，数列{b n}的前n项和为H n，求使得H n+n•2n+1＞50成立的最小正整数n．22．（12分）已知函数f（x）=x2+2ax﹣a2lnx﹣1（1）a≠0时，讨论函数f（x）的单调性；（2）若不等式2xlnx≤xf′（x）+a2+1恒成立，其中f′（x）f（x）是f（x）的导数，求实数a的取值范围．晋冀豫三省2015届高三上学期联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题，共60分，每题5分1．（5分）已知集合A={x|y=﹣}，则B={x|x≤6}，则A∩B等于（）A．C．D．（﹣∞，6]考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出y=﹣的定义域即集合A，从而求A∩B．解答：解：y=﹣的定义域是：，解得2≤x≤8．∴A=，又B={x|x≤6}，∴A∩B=．故选B．点评：考查集合的交集的求法，对数函数的定义域的求解是解题的关键，考查计算能力．2．（5分）已知复数z1=1+i，z2=2﹣2i，则•等于（）A．8B．﹣4i C．4﹣4i D．4+4i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：求出两复数的共轭复数，然后直接利用复数代数形式的乘法运算求解．解答：解：∵z1=1+i，z2=2﹣2i，∴，∴•===．故选：C．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．3．（5分）曲线y=x3﹣1在x=1处的切线方程为（）A．x=1 B．y=1 C．y=3x﹣3 D．y=2x﹣2考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出原函数的导函数，得到函数在x=1时的导数，再求出x=1时的函数值，则切线方程可求．解答：解：∵y=x3﹣1，∴y′|x=1=3，∴y′=3x2，又当x=1时y=0，∴曲线y=x3﹣1在x=1处的切线方程为y=3x﹣3．故选：C．点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．4．（5分）已知等比数列{a n}满足a2=2，a4a6=4a72，则a4的值为（）A．B．1C．2D．考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意和等比数列的性质得q4==，求出q2，再由a2=2求出a4的值．解答：解：设等比数列{a n}的公比是q，由等比数列的性质得，a4a6=4a72，a52=4a72，则q4==，解得q2=，又a2=2，所以a4=a2q2=1，故选：B．点评：本题考查等比数列的性质、通项公式，属于基础题．5．（5分）在△ABC中，M是BC的中点，AM=5，BC=6，则•等于（）A．9B．12 C．16 D．30考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：将，分别用三角形法则表示，然后用数量积计算所求．解答：解：由已知，得到BM=MC=3，，，所以=（）（）=++==52﹣32=16；故选C．点评：本题考查了向量的三角形法则以及数量积的运用，属于基础题．6．（5分）已知三棱锥的直观图及其俯视图与侧视图如图，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图面积为（）A．B．2C．4D．考点：简单空间图形的三视图．专题：空间位置关系与距离．分析：三棱锥的正视图如图所示，即可得出该三棱锥的正视图面积=．解答：解：三棱锥的正视图如图所示，∴该三棱锥的正视图面积==2．故选：B．点评：本题考查了三视图的有关知识、三角形面积计算公式，属于基础题．7．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=7x+2y的最大值是（）A．27 B．19 C．13 D．9考点：简单线性规划．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合的到最优解，求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（3，3）．化目标函数z=7x+2y为，由图可知，当直线过B时，Z最大，为z=7×3+2×3=27．故选：A．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．8．（5分）已知函数f（x）=2x﹣2，则函数y=|f（x）|的图象可能是（）A．B．C．D．考点：指数函数的图像变换．专题：数形结合．分析：因为y=|f（x）|=，故只需作出y=f（x）的图象，将x轴下方的部分做关于x轴的对称图象即可．解答：解：先做出y=2x的图象，在向下平移两个单位，得到y=f（x）的图象，再将x轴下方的部分做关于x轴的对称图象即得y=|f（x）|的图象．故选B点评：本题考查含有绝对值的函数的图象问题，先作出y=f（x）的图象，再将x轴下方的部分做关于x轴的对称图象即得y=|f（x）|的图象．9．（5分）已知m＞0，n＞0，且2m，，3n成等差数列，则m+++n的最小值为（）A．B．5C．D．15考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差中项的性质可得2m+3n=5，化简式子m+++n后，由“乘1法”和基本不等式求出它的最小值．解答：解：因为2m，，3n成等差数列，所以2m+3n=5，所以m+++n=++=+，因为m＞0，n＞0，所以=（2m+3n）（）=（13+）≥（13+2）=5（当且仅当时取等号），则，所以m+++n≥5+=，则m+++n的最小值为，故选：C．点评：本题考查等差中项的性质，“乘1法”和基本不等式求最值问题，考查推理与计算能力，属于中档题．10．（5分）已知函数f（x）=sin（x+θ）﹣cos（x+θ）（|θ|＜）的图象关于y中对称，则y=f（x）在下列哪个区间上是减函数（）A．（0，）B．（，π）C．（﹣，﹣）D．（，2π）考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：首先，结合所给函数图象关于y轴对称，得到该θ=﹣，然后，化简函数即可．解答：解：∵函数f（x）的图象关于y中对称，∴当x=0时，函数f（x）取得最大（或最小）值，此时，f（x）=2sin（θ﹣），∵|θ|＜，∴θ=﹣，∴f（x）=sin（x﹣）﹣cos（x）=﹣2cos，∴函数f（x）在区间（﹣，﹣）上为减函数，故选：C．点评：本题重点考查了三角函数公式、三角恒等变换等公式、属于中档题．11．（5分）命题p：幂函数y=在（﹣∞，0）上单调递减；命题q：已知函数f（x）=x3﹣3x2+m，若a，b，c∈，且f（a），f（b），f（c）能构成一个三角形的三边长，且4＜m＜8，则（）A．p且q为真命题B．p或q为假命题C．（￢p）且q为真命题D．p且（￢q）为真命题考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：由幂函数易判命题p为真命题；求导数可得函数的单调性，结合三角形的三边关系可的m的范围，可判命题q为假命题；由复合命题的真假可得．解答：解：∵幂函数y=是偶函数，在（0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0）上单调递减，∴命题p为真命题；∵f（x）=x3﹣3x2+m，∴f′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2），令f′（x）＜0可得0＜x＜2，∴函数f（x）=x3﹣3x2+m在（1，2）单调递减，在（2，3）单调递增，∵f（3）=m＞f（1）=m﹣2，∴函数f（x）在的最大值为f（3）=m，最小值为f（2）=m﹣4，由三角形的三边关系可得（m﹣4）+（m﹣4）＞m，解得m＞8，故命题q为假命题；故p且（￢q）为真命题故选：D点评：本题考查复合命题的真假，涉及函数的单调性和导数，属基础题．12．（5分）已知x0是函数的一个零点，若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则（）A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＞0，f（x2）＞0 C． f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＜0，f（x2）＞0考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得方程的解即为函数f（x）的零点，在同一坐标系中作出函数y=1nx与的图象，由图象易知，，即f（x1）＜0，同理可得，f（x2）＞0，由此得出结论．解答：解：令=0，从而有，此方程的解即为函数f（x）的零点．在同一坐标系中作出函数y=1nx与的图象，如图所示．由图象易知，，从而，故，即f（x1）＜0，同理可得，f（x2）＞0．故选D．点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了化归与转化与数形结合的数学思想，属于基础题．二.每题5分，共20分13．（5分）已知||=1，•=，（﹣）2=，则||=．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用平面向量的数量积的性质：向量的平方即为模的平方，计算即可得到结论．解答：解：由于||=1，•=，则（﹣）2===1﹣2×=，即有||=．故答案为：．点评：本题考查平面向量的数量积的性质：向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．14．（5分）已知sin（+α）=，则cos2α=．考点：二倍角的余弦；运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：先求得sin（+α）=cosα=，则有cos2α=2cos2α﹣1=．解答：解：sin（+α）=cosα=，则cos2α=2cos2α﹣1=．故答案为：．点评：本题主要考察了二倍角的余弦，运用诱导公式化简求值，属于基本知识的考查．15．（5分）正方形AP1P2P3的边长为4，点B，C分别是边P1，P2，P3，P4的中点，沿AB，BC，CA折成一个三棱锥P﹣ABC（使P1，P2，P3重合于P），则三棱锥P﹣ABC的外接球体积为8．考点：球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据题意，得折叠成的三棱锥P﹣ABC三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，可得三棱锥P﹣ABC的外接球的直径等于以PA、PB、PC为长、宽、高的长方体的对角线长，由此结合AP=4、BP=CP=2，算出外接球的半径R=，结合球的体积公式即可算出三棱锥P﹣ABC的外接球的体积．解答：解：根据题意，得三棱锥P﹣ABC中，AP=4，BP=CP=2∵PA、PB、PC两两互相垂直，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的直径2R==2，可得三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为R=，根据球的体积公式，得三棱锥P﹣ABC的外接球的体积为；点评：本题将正方形折叠成三棱锥，求三棱锥的外接球的表面积．着重考查了长方体的对角线长公式、三棱锥的外接球和球的体积公式等知识，考查空间想象能力，属于中档题．16．（5分）已知{a n}是公差不等于0的等差数列，a1=2且a2，a4，a8成等比数列，若b n=，则数列{b n}的前n项和的取值范围是专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：设等差数列{a n}是公差为d且d不为0，由题意和等比中项的性质列出方程求出d 的值，代入等差数列的通项公式求出a n，再代入b n=化简后进行裂项，由裂项相消法求出数列{b n}的前n项和，化简后由式子个特点和n的取值范围求出它的范围．解答：解：设等差数列{a n}是公差为d，且d不为0，由a1=2且a2，a4，a8成等比数列得，（2+3d）2=（2+d）（2+7d），解得d=2或d=0（舍去），所以a n=a1+（n﹣1）d=2n，则b n==（﹣），所以数列{b n}的前n项和S n=b1+b2+…+b n==＜，又n≥1，所以S n≥，所以数列{b n}的前n项和S n的取值范围是=（x+1）（a+1﹣x），又∵f（x）≥0的解集是A={x|b≤x≤1}，∴b和1为方程（x+1）（a+1﹣x）=0的根，∴b=﹣1，a+1=b，解得a=0，b=﹣1；（2）∵对于任意的x，不等式f（x）≤1恒成立，∴（x+1）（a+1﹣x）≤1恒成立，化简可得x2﹣ax﹣a≥0恒成立，∴△=a2+4a≤0，解得﹣4≤a≤0，∴实数a的取值范围为点评：本题考查不等式的解集，涉及新定义和恒成立问题，属中档题．19．（12分）如图，四棱锥P﹣BCDE中，四边形ABCD为菱形，且∠DAB=60°，△PAD为对边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，AB=2，E为AD的中点．（1）求证：AD⊥PB；（2）求点E到平面PBC的距离．考点：点、线、面间的距离计算．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）连接PE、EB、BD，分别在等边△PAD和等边△BAD中利用“三线合一”，证出PE⊥AD且BE⊥AD，结合线面垂直判定定理证出AD⊥平面PBE，从而可得AD⊥PB；（2）过E作EF⊥PB于F，利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定与性质，证出EF⊥平面PBC，得EF长就是点E到平面PBC的距离．根据题中数据算出Rt△PEB中各边之长，利用直角三角形的面积公式算出EF的长，即得点E到平面PBC的距离．解答：解：（1）连接PE、EB、BD，∵△PAD为等边三角形，E为AD的中点，∴PE⊥AD；∵四边形ABCD为菱形，且∠DAB=60°，E为AD的中点，∴BE⊥AD；∵PE∩BE=E，∴AD⊥平面PBE，∵PB⊂平面PBE，∴AD⊥PB；（2）过E作EF⊥PB于F∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PE⊂平面PAD，PE⊥AD∴PE⊥平面ABCD，∵BC⊂平面ABCD，∴PE⊥BC∵菱形ABCD中，AD∥BC，BE⊥AD，∴BE⊥BC∵PE、BE是平面PBE内的相交直线，∴BC⊥平面PBE∵EF⊂平面PBE，∴BC⊥EF，∵EF⊥PB且PB∩BC=B，∴EF⊥平面PBC，得EF长就是点E到平面PBC的距离∵△ADB、△ADP是边长为2的等边三角形，∴Rt△PEB中，PE=BE=AD=，得PB=BE=由此可得：EF==，即点E到平面PBC的距离等于点评：本题在四棱锥中证明线线垂直，并求点到平面的距离．着重考查了面面垂直性质定理、线面垂直的判定与性质，考查了等边三角形的性质和点到平面距离求法等知识，属于中档题．20．（12分）已知函数f（x）=（a＞0，x＞0）的图象过点（a，0）．（1）判断函数f（x）在（0．+∞）上的单调并用函数单调性定义加以证明；（2）若a＞函数f（x）在上的值域是，求实数a的值．考点：函数单调性的判断与证明；函数的值域．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）代入点的坐标，求得f（x），再由单调性的定义，即可证得f（x）在（0．+∞）上为增函数；（2）由函数的单调性，即可得到最值，解方程，即可求得a．解答：解：（1）函数f（x）=（a＞0，x＞0）的图象过点（a，0），则0=，则b=1，则f（x）==，f（x）在（0．+∞）上为增函数，理由如下：设0＜m＜n，则f（m）﹣f（n）=﹣（）=，由于0＜m＜n，则m﹣n＜0，mn＞0，则f（m）﹣f（n）＜0，则f（x）在（0．+∞）上为增函数；（2）由于f（x）在（0．+∞）上为增函数，则函数f（x）在上的值域是，即有，解得，a=．点评：本题考查函数的单调性的判断和运用，考查运算能力，属于基础题．21．（12分）已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且满足2S n=a n2+a n．（1）求证：{a n}为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2an log2an，数列{b n}的前n项和为H n，求使得H n+n•2n+1＞50成立的最小正整数n．考点：数列的求和；等差数列的前n项和；等差关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由2S n=a n2+a n，得2S n﹣1=a n﹣12+a n﹣1，从而{a n}是公差为1的等差数列，由此能求出数列{a n}的通项公式．（2）b n=2an log2an=﹣n•2n，由此利用错位相减法能求出H n=﹣n•2n+1+2n+1﹣2，由此能求出使得H n+n•2n+1＞50成立的最小正整数n．解答：解：（1）由2S n=a n2+a n．①得2S n﹣1=a n﹣12+a n﹣1．②①﹣②，得：2a n=，∴，∴a n﹣a n﹣1=1，∴{a n}是公差为1的等差数列，由，得a1=1，∴a n=1+（n﹣1）×1=n．（2）b n=2an log2an=﹣n•2n，∴H n=﹣（1×2+2×22+3×23+…+n×2n），∴2H n=﹣（22+2×23+3×24+…+n×2n+1），∴H n=2+22+23+…+2n﹣n×2n+1==﹣n•2n+1+2n+1﹣2，∵H n+n•2n+1＞50，∴2n+1＞52，∴n的最小值为5．点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的n的最小值的求法，是中档题，解题时要注意错位相减求和法的合理运用．22．（12分）已知函数f（x）=x2+2ax﹣a2lnx﹣1（1）a≠0时，讨论函数f（x）的单调性；（2）若不等式2xlnx≤xf′（x）+a2+1恒成立，其中f′（x）f（x）是f（x）的导数，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的概念及应用．分析：（1）求出f′（x）=3x+2a﹣，（x＞0），分类讨论当a＜0时，当a＞0时，解不等式即可．（2）构造函数h（x）=lnx﹣﹣，h′（x）==﹣，求解最大值，即可求解a的取值范围．解答：解：（1）以题意得：函数的定义域为：（0，+∞），∵函数f（x）=x2+2ax﹣a2lnx﹣1，∴f′（x）=3x+2a﹣，（x＞0），由f′（x）=3x+2a﹣=0，（x＞0），得出：x=﹣a，x=，当a＜0时，由f′（x）＜0（x＞0），得0＜x＜﹣a，由f′（x）＞0（x＞0），得x＞﹣a，∴函数f（x）=x2+2ax﹣a2lnx﹣1，单调递增为（﹣a，+∞），单调递减为（0，﹣a，）；当a＞0时，由f′（x）＜0，（x＞0），得：0，由f′（x）＞0，（x＞0），得x；∴函数f（x）=x2+2ax﹣a2lnx﹣1，单调递增为（，+∞），单调递减为（0，），（2）以题意x∈（0，+∞），不等式2xlnx≤xf′（x）+a2+1恒成立，等价于2xlnx≤2+2ax+1在（0，+∞）上恒成立，可得：a≥lnx﹣﹣，在（0，+∞）上恒成立，设h（x）=lnx﹣﹣，h′（x）==﹣，h′（x）=0，得：x=1，x=﹣（舍去），当0＜x＜1时，h′（x）＞0，当x＞1时，h′（x）＜0，∴当x=1时，h（x）max=﹣2，∴a≥﹣2，∴实数a的取值范围：[﹣2，+∞）．点评：本题考查了利用导数在函数单调性中的应用，运用导数求解函数最值，解决不等式恒成立问题，属于难题．。

山西省2014—2015年度高三第二次诊断考试数学试卷（文科）考生注意：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟；2、本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、函数与导数、平面向量、三角函数与解三角形、数列。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1、已知集合}06|{2>+-∈=x x Z x M ，}05|{2<-=x x N ，则=⋂N M （ ）A 、｛1，2，3｝B 、｛1，2｝C 、｛2，3｝D 、｛3，4｝2、)32014cos(π的值为（ ） A 、21-B 、23C 、21D 、23- 3、已知等差数列}{n a 中，17,594==a a ，则=14a （ ）A 、11B 、22C 、29D 、124、已知定义在R 上的奇函数)(x f ，当0>x 时，)12(log )(2+=x x f ，则)21(-f =（ ）A 、3log 2B 、5log 2C 、1D 、1-5、已知α为第三象限角，且m 2cos sin =+αα，22sin m =α，则m 的值为（ ）A 、33B 、33-C 、31- D 、32- 6、已知“)0(0><<m m t ”是“函数t tx x x f 3)(2+--=在区间（0，2）上只有一个零点”的充分不必要条件，则m 的取值范围是（ ）A 、（0，2）B 、（0，2]C 、（0，4）D 、（0，4]7、已知非零向量b a 、满足1||=b ，且b 与a b -的夹角为30°，则||a 的取值范围为（ ）A 、（0,21） B 、)1,21[ C 、),1[+∞ D 、),21[+∞ 8、设3log ,8log ,1===c b a ，则c b a 、、之间的大小关系中（ ）A 、b a c >>B 、b c a >>C 、b a c >>D 、a b c >>9、设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若623,622015201420142013+=+=S a S a ，则数列}{n a 的公比q 等于（ ）A 、21B 、21-或1 C 、21或1 D 、2 10、给出下列命题，其中错误的是（ ）A 、在ABC ∆中，若B A >，则B A sin sin >；B 、在锐角ABC ∆中，B A sin sin >；C 、把函数x y 2sin =的图像沿x 轴向左平移4π个单位，可以得到函数x y 2cos =的图像； D 、函数)0(cos 3sin ≠+=ωωωx x y 最小正周期为π的充要条件是2=ω。

河南省信阳市2015届高三数学上学期第二次调研检测（期末）试卷文（扫描版）高三数学文科参考答案 一.DACDB ABCDA DA 二.13.0 14. 4515. 16. (2，+∞) 中，由，得又由正弦定理：所以，=．……………………n ∴a n =2n +1……………………3分 当1n =时，114b S ==； 当2n ≥时，b n =S n －S n －1=n 2－(n －1)2＋2 对1=4b 不成立所以，数列{}n b 的通项公式: 4,(1)2n 1,(n 2)n n b =⎧=⎨+≥⎩……6分（II ）当1n =时，1121120T b b ==当2n ≥时，111111()(21)(23)22123n n b b n n n n +==-++++………………8分 ∴1111111111612025779212320101520(23)n n n T n n n n --⎛⎫=+-+-++-=+= ⎪++++⎝⎭ 1n =仍然适合上式综上，)32(2016+-=n n T n ……………………12分19. （本题满分12分）解（I ）因为20至50岁的54人有9人节能意识强，大于50岁的46人有36人节能意识强，549与4636相差较大， 所以节能意识强弱与年龄有关……3分 （II ）年龄大于50岁的有2883604536=⨯（人）……6分（列式2分，结果1分）(Ⅲ)抽取节能意识强的5人中,年龄在20至50岁的有95145⨯=人…………7分 年龄大于50岁的有4人………………8分记这5人分别为1234,,,,A B B B B ,从这5人中任取2人,所有可能情况有10种,列举如下{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}1234121314232434,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A B B B B B B B B B B B B B …10分设A 表示事件“这5人中任取2人，恰有1人年龄在20岁至50岁”，则A 中的基本事件有{}{}{}{}1234,,,,,,,,A B A B A B A B 共4种…………………11分故所求概率为42()105P A ==……………………12分 20. 解：（Ⅰ）由已知可得⎪⎩⎪⎨⎧==-=,3,42222b a b a c 解得a 2＝6，b 2＝2.所以椭圆C 的标准方程是12622=+y x . ………………………………………（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，F 点的坐标是(2，0).设直线PQ 的方程为x ＝my +2，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my +2，x 26＋y 22＝1.消去x ，得(m 2＋3)y 2+4my －2＝0，其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝-4m m 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3.于是x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)+4＝12m 2＋3. 设M 为PQ 的中点，则M 点的坐标为)32,36(22+-+m mm . …………7分因为Q P TF ⊥，所以直线FT 的斜率为m -，其方程为.当t x =时，()2--=t m y ，所以点T 的坐标为()()2,--t m t )2(--=x m y ，此时直线OT 的斜率为()tt m 2--，其方程为x t t m y )2(-=.将M 点的坐标)32,36(22+-+m m m 代入上式得36)2(3222+⋅-=+-m t t m m m . 解得3=t . ………………………………………………（12分）21.解：2221()1'()x a x a x af x x x x x x----=+=-=(0x >) …………………… 2分 （I ）因为曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线与直线121+=x y 垂直，所以'(1)-2f =，即12, 3.a a -=-=解得 ……………………………………4分（II ）当01a <≤时，'()0f x >在（1，2）上恒成立，这时()f x 在[1，2]上为增函数,min ()(1)1f x f a ∴==-．…………………………………………6分当12a <<时，由'()0f x =得，(1,2)x a =∈，当(1,)x a ∈有'()0,f x <()f x 在[1，a ]上为减函数，当(,2)x a ∈有'()0,f x >()f x 在[a ，2]上为增函数，min ()()ln f x f a a ∴==． ………………………………………………………8分当2a ≥时，'()0f x <在（1，2）上恒成立，这时()f x 在[1，2]上为减函数， min ()(2)ln 212af x f ∴==+-．…………………………………………………10分 于是，①当01a <≤时，min ()1f x a =-0≤；……………………11分 ②当12a <<时，min ()ln f x a =，令21ln =a ，得e a =；③当a ≤2时，min()ln 212a f x =+-212ln >≥．综上所述，e a =．……12分22.解：（Ⅰ）∵PA 是圆O 的切线 ∴ACB PAB ∠=∠ 又P ∠是公共角∴ABP ∆∽CAP ∆ …………………2分∴2==PBAPAB AC ∴AB AC 2= ………4分 （II ）由切割线定理得：PC PB PA ⋅=2 ∴20=PC又PB=5 ∴15=BC ………6分又∵AD 是BAC ∠的平分线 ∴2==DBCDAB AC∴DB CD 2= ∴5,10==DB CD ………8分 又由相交弦定理得：50=⋅=⋅DB CD DE AD ………10分23.解：（Ⅰ）(法一)曲线C 的直角坐标方程为05622=+-+x y x即4)3(22=+-y x 曲线C 为圆心为(3,0)，半径为2的圆.直线l 的方程为:0sin cos sin =+-αααy x ………3分 ∵直线l 与曲线C 相切 ∴2cos sin |sin sin 3|22=++αααα即21sin =α ………5分 ∵[0,π) ∴=656ππ或 ………6分(法二)将05cos 62=+-θρρ化成直角坐标方程为05622=+-+x y x ……2分由⎪⎩⎪⎨⎧=+-==+-+ααsin cos 105622t y t x x y x 消去y x ,得012cos 82=+-αt t …………4分 ∵ l 与C 相切 ∴ Δ=64α2cos -48=0 解得cos =23±∵[0,π) ∴=656ππ或…………6分 （II ）设θθsin 2,cos 23=+=y x则 y x +=θθsin 2cos 23++)4sin(223πθ++= ………9分∴ y x +的取值范围是[]223,223+-. ………10分24.解：（Ⅰ）∵ 2ab 即 ab ab ≥ ∴ ≤1 …2分又 当且仅当a =b 取等号.∴ 2m = ………5分 （II ）()f x 2|1||1|||≥+≥++-=tt t x t x ………9分 ∴ 满足条件的实数x 不存在. ………10分ab 2211≥≥+abb a。

2015-2016学年豫晋冀三省联考高三（上)第二次调研数学试卷(理科)一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A=｛x｜x2﹣x﹣12＞0｝，B={x｜x≥m｝．若A∩B=｛x｜x＞4｝，则实数m的取值范围是（（）A．（﹣4，3）B．［﹣3，4] C．（﹣3，4）D．（﹣∞，4]2．设向量，=（2，﹣2),且（）,则x的值是（）A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2=15,则n的值为（）3．已知在等差数列{a n}中，a1=﹣1,公差d=2，a n﹣1A．7 B．8 C．9 D．104．已知cos（π﹣θ)=3m（m＜0），且cos(+θ）(1﹣2cos2）＜0，则θ是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角5．若(x﹣a）dx=cos2xdx,则a等于（）A．﹣1 B．1 C．2 D．46．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c．若c=2a，bsinB﹣asinA=asinC，则sinB等于（）A．B．C．D．7．已知函数f（x）=2sinxsin（x++φ）是奇函数，其中φ∈（0，π），则函数g（x）=cos(2x ﹣φ)的图象()A．关于点（，0）对称B．可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到C．可由函数f（x)的图象向左平移个单位得到D．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到8．已知命题p:∀x∈[﹣1，2］,函数f（x）=x2﹣x的值大于0，若p∨q是真命题，则命题q可以是（）A．∃x∈(﹣1，1）使得cosx＜B．“﹣3＜m＜0”是“函数f（x）=x+log2x+m在区间（，2）上有零点”的必要不充分条件C．x=是曲线f（x)=sin2x+cos2x的一条对称轴D．若x∈（0,2），则在曲线f（x）=e x（x﹣2）上任意一点处的切线的斜率不小于﹣9．设函数f（x）=，则不等式f（6﹣x2）＞f（x）的解集为（）A．(﹣3，1) B．(﹣3,2）C．(﹣2，）D．（﹣，2）10．公差不为0的等差数列{a n｝的部分项a,a,a…构成等比数列｛a｝，且k1=1,k2=2，k3=6，则下列项中是数列{a｝中的项是（）A．a86B．a84C．a24D．a2011．若非零向量与向量的夹角为钝角，｜|=2，且当t=﹣时，|﹣t｜取最小值．向量满足(）⊥(),则当取最大值时，||等于(）A．B．2C．2D．12．已知函数f（x）=（b∈R）．若存在x∈[，2],使得f(x）+xf′（x）＞0，则实数b的取值范围是(）A．(﹣∞，）B．（﹣∞,）C．（﹣∞，3）D．（﹣∞，）二、填空题(共4小题，每小题5分,满分20分）13．若x∈［,]，则f(x）=的最小值为．14．在△ABC中，点O在线段BC的延长线上，且||=3｜|，当=，则x ﹣y=．15．若不等式x3﹣2xlog a x≤0在x∈（0，］恒成立，则实数a的最小值为．16．数列｛log k a n｝是首项为4,公差为2的等差数列，其中k＞0,且k≠1,设c n=a n lga n，若{c n}中的每一项恒小于它后面的项，则实数k的取值范围为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为Aa，b,c，且满足=（1)若4sinC=c2sinB,求△ABC的面积；（2）若+=4，求a的最小值．18．已知数列｛a n｝的前n项和为S n,且S n=﹣1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n｝的通项公式;=b n+a n，求数列｛log9（b n﹣4）}的前n项和T n．（Ⅱ）在数列｛b n}中，b1=5，b n+119．某市政府欲在如图所示的矩形ABCD的非农业用地中规划出一个休闲娱乐公园（如图中阴影部分），形状为直角梯形OPRE（线段EO和RP为两条底边),已知AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km，其中曲线AF是以A为顶点、AD为对称轴的抛物线的一部分．（1）求曲线AF与AB,BF所围成区域的面积；(2）求该公园的最大面积．20．已知数列{a n｝，a1=2，当n≥2时，a n=2a n+3•2n﹣1﹣1(1）求数列{}及数列{a n}的通项公式；（2)令c n=2a n﹣3•2n，设T n为数列｛c n}的前n项和，求T n．21．已知函数f（x）=（sinx+cosx）2﹣2．（1）当x∈［0,]时，求函数f（x）的单调递增区间;（2）若x∈［﹣,],求函数g（x）=f2（x）﹣f（x+）﹣1的值域．22．设函数f(x）=mlnx+（m﹣1）x．（1）若f（x）存在最大值M，且M＞0，求m的取值范围．（2）当m=1时，试问方程xf(x）﹣=﹣是否有实数根，若有,求出所有实数根；若没有，请说明理由．2015—2016学年豫晋冀三省联考高三（上）第二次调研数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|x2﹣x﹣12＞0｝，B=｛x｜x≥m}．若A∩B=｛x｜x＞4}，则实数m的取值范围是（（)A．（﹣4，3）B．[﹣3，4] C．（﹣3，4）D．（﹣∞,4］【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，根据B，以及A与B的交集，确定出m的范围即可．【解答】解：由A中不等式变形得：(x﹣4)（x+3）＞0，解得：x＜﹣3或x＞4，即A={x|x＜﹣3或x＞4}，∵B={x｜x≥m}，A∩B=｛x｜x＞4｝，∴﹣3≤m≤4,则实数m的取值范围是[﹣3，4]．故选:B．2．设向量，=（2，﹣2），且（）,则x的值是(）A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出向量，然后利用向量的数量积为0,列出方程即可求出x的值．【解答】解：向量，=（2,﹣2），=（4,x+2），(），可得:8+(﹣2）（x+2）=0，解得x=2．故选:C．3．已知在等差数列{a n｝中,a1=﹣1，公差d=2，a n=15,则n的值为（)﹣1A．7 B．8 C．9 D．10【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．=15,【解答】解:∵在等差数列｛a n}中，a1=﹣1，公差d=2，a n﹣1∴15=﹣1+2（n﹣2）,解得n=10．故选：A．4．已知cos（π﹣θ)=3m（m＜0），且cos(+θ）（1﹣2cos2)＜0，则θ是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【考点】二倍角的余弦；三角函数的化简求值．【分析】由已知可得cosθ∈(0，1），利用诱导公式化简已知不等式可得sinθcosθ＜0，得解sinθ＞0,即可判断象限角．【解答】解：∵cos(π﹣θ）=3m（m＜0）,0＜3m＜1∴﹣cosθ∈（0，1），∵cos（+θ）（1﹣2cos2)=sinθcosθ＜0，∴sinθ＞0，∴θ是第二象限角．故选:B．5．若（x﹣a）dx=cos2xdx，则a等于（）A．﹣1 B．1 C．2 D．4【考点】定积分．【分析】利用定积分的运算法则化简求解即可．【解答】解：（x﹣a)dx=(）=；cos2xdx==，∵（x﹣a）dx=cos2xdx，∴，解得a=2．故选：C．6．在△ABC中,内角A，B，C的对边分别是a，b,c．若c=2a，bsinB﹣asinA=asinC，则sinB等于（）A．B．C．D．【考点】正弦定理．【分析】由正弦定理化简已知可得：b2﹣a2=，又c=2a，可解得a2+c2﹣b2=3a2，利用余弦定理可得cosB，结合范围0＜B＜π，即可解得sinB．【解答】解：∵bsinB﹣asinA=asinC，∴由正弦定理可得：b2﹣a2=,又∵c=2a，∴a2+c2﹣b2=4a2﹣=3a2，∴利用余弦定理可得：cosB===，∴由于0＜B＜π，解得：sinB===．故选：A．7．已知函数f（x）=2sinxsin（x++φ）是奇函数，其中φ∈(0，π），则函数g（x)=cos（2x﹣φ）的图象（）A．关于点（，0)对称B．可由函数f(x）的图象向右平移个单位得到C．可由函数f(x）的图象向左平移个单位得到D．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到【考点】函数y=Asin（ωx+φ)的图象变换．【分析】由条件利用诱导公式，正弦函数、余弦函数的奇偶性,函数y=Asin（ωx+φ)的图象变换规律，可得结论．【解答】解：由于函数f(x)=2sinxsin（x++φ）是奇函数，故y=sin(x++φ)是偶函数，故φ+=kπ+，k∈Z,即φ=kπ+，结合φ∈（0，π），可得φ=，故f（x）=2sinxsin(x++）=sin2x=cos(2x﹣）．故函数g（x）=cos(2x﹣）=cos2（x﹣）的图象,∵﹣=﹣+，可以由f（x）=cos（2x﹣）=cos2(x﹣)的图象向左平移个单位得到的，故选：C．8．已知命题p:∀x∈［﹣1，2]，函数f(x）=x2﹣x的值大于0,若p∨q是真命题，则命题q 可以是（）A．∃x∈（﹣1，1）使得cosx＜B．“﹣3＜m＜0”是“函数f（x)=x+log2x+m在区间(，2）上有零点"的必要不充分条件C．x=是曲线f（x）=sin2x+cos2x的一条对称轴D．若x∈（0，2)，则在曲线f(x）=e x（x﹣2）上任意一点处的切线的斜率不小于﹣【考点】复合命题的真假．【分析】对于命题p:函数f（x）=x2﹣x=﹣，当x=时，取得最小值，=＜0,因此命题p是假命题．若p∨q是真命题，则命题q必须是真命题．A．∀x∈（﹣1，1)，可得cosx∈（cos1，1］，而cos1＞=，即可判断出真假; B．函数f（x）=x+log2x+m在区间（,2）上单调递增，若函数f（x）在此区间上有零点，则=＜0，解得m范围，即可判断出真假；C．f（x）=2，当x=时，=1，即可判断出真假;D．f′（x）=e x+e x（x﹣2）=e x(x﹣1)，当x∈（0，2）时,f′（x）＞f′(0）=﹣1，几节课判断出真假．【解答】解：对于命题p：函数f（x）=x2﹣x=﹣，则函数f（x)在上单调递减；在上单调递增．∴当x=时，取得最小值，=＜0，因此命题p是假命题．若p∨q是真命题，则命题q必须是真命题．A．∀x∈（﹣1,1），cosx∈（cos1，1]，而cos1＞=，因此A是假命题;B．函数f（x）=x+log2x+m在区间（,2）上单调递增，若函数f（x)在此区间上有零点，则=＜0，解得，因此“﹣3＜m＜0”是“函数f （x)=x+log2x+m在区间（,2)上有零点”的充分不必要条件，因此是假命题；C．f（x）=sin2x+cos2x=2，当x=时,==1,因此x=是函数f（x）的一条对称轴，是真命题；D．曲线f（x）=e x（x﹣2）,f′（x)=e x+e x（x﹣2)=e x(x﹣1）,当x∈（0，2)时,f′（x）＞f′（0）=﹣1，因此D是假命题．故选：C．9．设函数f（x）=，则不等式f（6﹣x2)＞f（x）的解集为（）A．（﹣3，1）B．(﹣3，2）C．(﹣2,) D．（﹣，2）【考点】其他不等式的解法．【分析】利用导数求得函数f(x）在[1，+∞）为增函数，故由不等式可得①，或6﹣x2＞x≥1②,分别求得①、②的解集,再取并集,即得所求．【解答】解：当x≥1，f(x）=x+﹣，f′（x）=1﹣＞0，故函数f（x)为增函数，且f（x）≥f(1）=1．故由不等式f(6﹣x2）＞f（x)，可得①，或6﹣x2＞x≥1②．解①求得﹣＜x＜1，解②求得1≤x＜2．综上可得，不等式的解集为（﹣，2），故选:D．10．公差不为0的等差数列{a n}的部分项a，a，a…构成等比数列{a}，且k1=1，k2=2，k3=6，则下列项中是数列｛a}中的项是（）A．a86B．a84C．a24D．a20【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知得a1,a2,a6构成等比数列,由此得到等比数列的公比q=4,从而等比数列{a}的通项公式为=，由此能求出结果．【解答】解：∵公差不为0的等差数列{a n｝的部分项a，a，a…构成等比数列｛a｝,且k1=1，k2=2，k3=6，∴a1，a2,a6构成等比数列，∴（a1+d）2=a1（a1+5d），得d=3a1，∴等比数列的公比q===4,等差数列{a n｝的通项公式为a n=a1+(n﹣1）×3a1=3a1n﹣2a1=（3n﹣2)a1，等比数列｛a｝的通项公式为=，a86=a1+85d=256a1=,a84=a1+83d=250a1，a24=a1+23d=70a1,a20=a1+19d=58a1，∴a86是数列{a}中的项．故选：A．11．若非零向量与向量的夹角为钝角，｜|=2，且当t=﹣时,｜﹣t|取最小值．向量满足(）⊥（），则当取最大值时，|｜等于（）A．B．2C．2D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】=+﹣，根据当t=﹣时，|﹣t|取最小值．可得=﹣，=3,解得=2,=﹣2，可得=．不妨设=（﹣1，）,=（2,0）,=（x，y）．根据向量满足（）⊥（），可得（)•（）=0，可得+=3．令=x+y=t．当上述直线与圆相切时，可得t=，取t=2+2时，取最大值．直线方程与圆的方程联立解得(x，y），即可得出．【解答】解：=﹣+=+﹣，∵当t=﹣时,｜﹣t|取最小值．∴=﹣，=3,解得=2，=﹣2，∴=﹣2，∴=﹣，∴=．不妨设=（﹣1，）,=(2,0)，=（x，y）．向量满足（）⊥(）,∴（）•(）=（x﹣2，y)•（x+1，)=（x﹣2）(x+1）+y（y﹣）=+﹣3=0，∴+=3．（＊)=（x，y）•(1，）=x+y．令t=x+y．当上述直线与(＊）相切时，=,解得t=,取t=2+2时，取最大值．此时联立，解得,∴=．||==．故选：A．12．已知函数f（x）=(b∈R)．若存在x∈［，2］，使得f（x）+xf′（x）＞0，则实数b的取值范围是（)A．（﹣∞,）B．（﹣∞，）C．(﹣∞，3）D．(﹣∞,）【考点】导数的运算．【分析】求导函数，确定函数的单调性，进而可得函数的最大值，故可求实数a的取值范围．【解答】解:∵f（x）=f（x）=，x＞0，∴f′（x）==，∴f（x)+xf′（x）=﹣=，∵存在x∈[，2]，使得f(x）+xf′（x）＞0,∴1+2x（x﹣b）＞0∴b＜x+，设g（x）=x+，∴b＜g（x）max，∴g′（x)=1﹣=,当g′(x）=0时，解的x=,当g′（x）＞0时，即＜x≤2时，函数单调递增，当g′（x）＜0时，即≤x＜2时，函数单调递减,∴当x=2时，函数g（x）取最大值,最大值为g（2)=2+=∴b＜,故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分,满分20分）13．若x∈［,]，则f（x）=的最小值为﹣1．【考点】三角函数的最值．【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系求得f（x）=tanx﹣．令t=tanx，则1≤t≤2+,f（x）=y=t﹣,利用导数的符号可得函数y在[1,2+]上单调递增,从而求得y的最小值．【解答】解：x∈［，］，则f（x）===tanx﹣，tan=tan（+）==2+,令t=tanx，则1≤t≤2+，f（x）=y=t﹣,∴y′=1+2•＞0,故函数y在［1，2+］上单调递增，故当t=1时,f（x)=y取得最小值为1﹣2=﹣1，故答案为:﹣1．14．在△ABC中，点O在线段BC的延长线上，且｜|=3｜|,当=,则x﹣y=﹣2．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】根据题意，画出图形,结合图形，用向量、表示出,求出x、y的值即可．【解答】解：如图所示，△ABC中,|｜=3｜｜，∴=3，∴=，即=；∴=+=+=+（﹣）=﹣+；又=,∴x=﹣，y=，∴x﹣y=﹣﹣=﹣2．故答案为：﹣2．15．若不等式x3﹣2xlog a x≤0在x∈（0，］恒成立，则实数a的最小值为．【考点】函数恒成立问题．【分析】不等式整理为x2≤log a x在x∈（0，)时恒成立，只需x2的最大值小于log a x 的最小值，利用分类讨论对a讨论即可．【解答】解：x3﹣2xlog a x≤0在x∈(0，］恒成立，x2﹣2log a x≤0∴x2≤log a x在x∈（0，）时恒成立∴x2的最大值小于log a x的最小值∴x2≤1/4≤log a x当a＞1时，log a x为递增但最小值为负数不成立当0＜a＜1时，log a x为递减最小值在x=上取到，∴log a≥1/4=log a∴a≥,故a的最小值为．16．数列｛log k a n｝是首项为4，公差为2的等差数列，其中k＞0，且k≠1，设c n=a n lga n，若{c n｝中的每一项恒小于它后面的项,则实数k的取值范围为∪(1,+∞）．【考点】数列的函数特性．【分析】利用等差数列的通项公式可得：log k a n=2n+2，解出a n=k2n+2．可得=k2．可得c n=a n lga n=（2n+2）•k2n+2lgk．要使c n＜c n+1对∀n∈N＊恒成立,化为：（n+1）lgk＜(n+2）•k2•lgk．对k分类讨论即可得出．【解答】解：∵log k a n=4+2(n﹣1）=2n+2，∴a n=k2n+2．∴==k2．∴数列｛a n｝是等比数列,首项为k4，公比为k2．∴c n=a n lga n=（2n+2)•k2n+2lgk．要使c n＜c n+1对∀n∈N＊恒成立，∴（2n+2）•k2n+2lgk＜（2n+4）k2n+4•lgk，化为：（n+1）lgk ＜（n+2）•k2•lgk．当k＞1时，lgk＞0，化为：(n+1）＜（n+2)•k2．此式恒成立．当0＜k＜1时，lgk＜0，化为：(n+1）＞（n+2）•k2．对n∈N＊恒成立，只需k2＜，∵=1﹣单调递增，∴当n=1时，=．∴k2，且0＜k＜1，∴．综上可得：∪（1，+∞）．故答案为：∪（1，+∞)．三、解答题（共6小题,满分70分）17．在△ABC中，角A,B，C所对的边分别为Aa，b，c，且满足=（1）若4sinC=c2sinB，求△ABC的面积;（2）若+=4，求a的最小值．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）运用正弦定理和同角的商数关系，即可得到角A，再由三角形的面积公式，计算即可得到；（2）运用向量的数量积的定义和向量的平方即为模的平方，由余弦定理和基本不等式，即可得到最小值．【解答】解：(1）由正弦定理，可得==1, 即有tanA=，由0＜A ＜π，可得A=，由正弦定理可得4c=bc 2，即有bc=4， △ABC 的面积为S=bcsinA=×4×=;（2）+=4，可得c 2﹣accosB=4,由余弦定理，可得2c 2﹣(a 2+c 2﹣b 2)=8， 即b 2+c 2﹣a 2=8，又a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=b 2+c 2﹣bc ， 即有bc=8，由a 2=b 2+c 2﹣bc ≥2bc ﹣bc=bc=8，当且仅当b=c 时，a 取得最小值，且为2．18．已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且S n =﹣1（n ∈N ＊)．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ）在数列｛b n }中，b 1=5，b n +1=b n +a n ，求数列{log 9（b n ﹣4）｝的前n 项和T n ． 【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（I ）利用递推公式、等比数列的前n 项和公式即可得出．（II ）利用“累加求和”、等比数列与等差数列的前n 项和公式、对数的运算性质即可得出． 【解答】解：（I)∵S n =﹣1（n ∈N *)， ∴当n=1时，a 1=﹣1，解得a 1=2．当n ≥2时,a n =S n ﹣S n ﹣1=﹣，化为：a n =3a n ﹣1．∴数列｛a n }是等比数列,首项为2，公比为3． ∴a n =2•3n ﹣1．（II)∵b n +1=b n +a n ， ∴b n +1﹣b n =2×3n ﹣1．∴b n =(b n ﹣b n ﹣1)+(b n ﹣1﹣b n ﹣2)+…+（b 2﹣b 1）+b 1 =2×（3n ﹣2+3n ﹣3+…+3+1）+5 =2×+5=3n ﹣1+4．∴log9（b n﹣4）==．∴数列｛log9（b n﹣4）}的前n项和T n==．19．某市政府欲在如图所示的矩形ABCD的非农业用地中规划出一个休闲娱乐公园（如图中阴影部分），形状为直角梯形OPRE（线段EO和RP为两条底边)，已知AB=2km，BC=6km,AE=BF=4km，其中曲线AF是以A为顶点、AD为对称轴的抛物线的一部分．（1）求曲线AF与AB，BF所围成区域的面积；（2）求该公园的最大面积．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】(1）以A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设出抛物线方程y=ax2（a＞0),把F的坐标代入求得a值得答案；(2）由题意求出E，C的坐标，得到直线EC的方程,设P（x，x2）(0＜x＜2），由梯形面积公式得到公园的面积S，利用导数求得公园的最大面积．【解答】解：（1）以A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,设曲线AF所在抛物线方程为y=ax2(a＞0），∵抛物线过F（2，4），∴4=a×22，得a=1．∴AF所在抛物线方程为y=x2．则曲线AF与AB，BF所围成区域的面积km2；(2）又E（0，4），C（2，6)，则EC所在直线方程为y=x+4．设P（x，x2）（0＜x＜2），则PO=x，OE=4﹣x2,PR=4+x﹣x2，∴公园的面积S=（0＜x＜2）．∴S′=﹣3x2+x+4,令S′=0，得x=或x=﹣1(舍去）．当x变化时，S′和S的变化情况如下表:x（0，）（）S′+0 ﹣S 单调递增单调递减极大值当x=时，S取得最大值．故该公园的最大面积为．20．已知数列{a n}，a1=2，当n≥2时，a n=2a n+3•2n﹣1﹣1（1）求数列｛｝及数列｛a n｝的通项公式；(2）令c n=2a n﹣3•2n,设T n为数列｛c n}的前n项和，求T n．【考点】数列的求和;数列递推式．【分析】（1）对等式同除以2n，再由等差数列的定义和通项公式，即可得到所求；（2）化简c n，再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式,化简即可得到所求．+3•2n﹣1【解答】解：(1）a1=2，当n≥2时，a n=2a n﹣1即有=+，则数列｛}是以1为首项,为公差的等差数列，=1+（n﹣1)=，即有a n=（3n﹣1)•2n﹣1；（2）c n=2a n﹣3•2n=（3n﹣4）•2n；T n=(﹣1）•2+2•22+5•23+…+(3n﹣4）•2n，2T n=（﹣1）•22+2•23+5•24+…+(3n﹣4）•2n+1,两式相减可得，﹣T n=﹣2+3（22+23+24+…+2n）﹣（3n﹣4）•2n+1=﹣2+3•﹣（3n﹣4）•2n+1，化简可得T n=14+（3n﹣7）•2n+1．21．已知函数f（x）=（sinx+cosx）2﹣2．（1）当x∈[0，］时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）若x∈[﹣，］,求函数g（x）=f2（x）﹣f（x+）﹣1的值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）首先，结合辅助角公式,化简函数解析式,然后，利用降幂公式进行处理即可，然后,结合正弦函数的单调性和周期进行求解；（2）首先，化简函数g（x)的解析式，然后，结合所给角度的范围，换元法进行转化为二次函数的区间最值问题进行求解即可．【解答】解:（1）函数f（x）=（sinx+cosx）2﹣2．=［2sin(x+)]2﹣2=4sin2（x+）﹣2=2［1﹣cos（2x+）］﹣2=﹣2cos（2x+）,∴f（x）=﹣2cos（2x+），可以令2kπ≤2x+≤π+2kπ，k∈Z，∴kπ﹣≤x≤+kπ，∵x∈［0,]，∴函数f（x）的单调递增区间［0，］．（2)g(x）=f2(x)﹣f（x+）﹣1=×4cos2(2x+）+2cos[2（x+）+]﹣1=2cos2（2x+）+2cos（2x++）﹣1=2cos2(2x+)﹣2sin（2x+）﹣1=2﹣2sin2（2x+）﹣2sin（2x+）﹣1=﹣2sin2(2x+）﹣2sin(2x+)+1∴g（x）=﹣2sin2（2x+）﹣2sin(2x+）+1令sin（2x+)=t，∵x∈[﹣，]，∴﹣≤2x≤，∴≤2x+≤，∴sin（2x+)∈［﹣，1］，∴t∈[﹣，1］，∴y=﹣2t2﹣2t+1，t∈［﹣，1]，=﹣2（t+）2+1+=﹣2（t+）2+,∴最大值为，最小值为﹣3．∴值域为[﹣3，]．22．设函数f(x）=mlnx+（m﹣1)x．(1）若f(x）存在最大值M，且M＞0，求m的取值范围．（2）当m=1时，试问方程xf（x)﹣=﹣是否有实数根，若有，求出所有实数根;若没有,请说明理由．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；根的存在性及根的个数判断．（1)求导数,分类讨论，确定函数的单调性,可得函数的最大值，M＞0，所以有mln【分析】﹣m＞0，解之得m＞．即可求m的取值范围．（2）m=1时，方程可化为xlnx=﹣．构造函数h(x)=xlnx，g(x）=﹣，证明h（x）＞g（x）在区间（1，+∞）上恒成立，即可得出结论．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）,f′（x)=．当m≤0时，由x＞0知f′(x)＜0恒成立，此时f（x）在区间（0，+∞）上单调递减．当m≥1时，由x＞0知f′（x）＞0恒成立,此时f（x)在区间（0，+∞）上单调递增．当0＜m＜1时，由f'（x）＞0，得x＜，由f’（x）＜0，得x＞，此时f（x）在区间（0，)内单调递增，在区间（，+∞）内单调递减．所以当0＜m＜1时函数f（x）有最大值，最大值M=f(）=mln﹣m．因为M＞0，所以有mln﹣m＞0，解之得m＞．所以m的取值范围是（,1）．（2）m=1时,方程可化为xlnx=﹣．设h（x)=xlnx，则h′（x）=1+lnx，∴x∈（0，），h′（x）＜0，x∈（，+∞），h′（x）＞0, ∴h（x）min=h()=﹣，设g（x）=﹣．g′（x）=，0＜x＜1时，g′（x)＞0，x＞1时，g′（x）＜0，∴g（x)max=g（1）=﹣，∵≠1，∴h（x）＞g（x）在区间（1，+∞)上恒成立,∴方程xf（x)﹣=﹣没有实数根．2016年12月3日。

平顶山、许昌、新乡三市2015届高三第二次调研考试文科数学答案一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．1．C 2．B 3．C 4．D 5．C 6．C 7．A 8．A 9．D 10．A 11．C 12．D二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．13．2a ≥ ；14．81π4； 15．2； 16．231-． 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．解：（Ⅰ）∵VC 是圆柱OO 1的母线，∴VC ⊥⊙O 所在的平面ABC ， ……2分∴VC ⊥BC ． …… 3分∵AB 是⊙O 的直径，∴BC ⊥AC ． …… 4分∴BC ⊥平面VAC ． …… 5分∴平面VAC ⊥平面VBC ． …… 6分（Ⅱ）作CD ⊥AB 于D ，连VD ，由（Ⅰ）可知，AB ⊥平面VCD ，∴∠VDC 就是二面角V －AB －C 的平面角，即∠VDC =60°． …… 8分在Rt △ABC 中，AB =2，AC =1，∴CD ，∴3tan 602VC CD =︒=． …… 10分∴圆柱OO 1的侧面积为23S ==π． …… 12分 19．解：（Ⅰ）由已知得，样本中有“高中组”学生60名，“初中组”学生40名． 在“高中组”抽取的60名样品中，“周平均学习时间”分别落在区间[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)的人数依次为：6，15，24，12，3．∴高中部学生的“周平均学习时间”为(645155524651275385)6063.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯÷=（小时）． …… 4分（Ⅱ）由已知得，样本中“周平均学习时间”不足50小时的学生中，“高中组”学生有600.106⨯=（人），记为1A ，2A ，…，6A ；“初中组”学生有400.052⨯=（人），记为1B ，2B ．从中随机抽选取2名学生，所有可能的结果共有28种，他们是：12(,)A A ，…，16(,)A A ，…，56(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，…，61(,)A B ，62(,)A B ，12(,)B B ．其中，至少有一名“初中组”学生的可能结果共13种，它们是：11(,)A B ，12(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，…，61(,)A B ，62(,)A B ，12(,)B B ．故所求的概率：1328P =． …… 8分 （Ⅲ）由频率分布直方图可知，在抽取的100名学生中，“高中组”中“学霸”人数为600.2515⨯= （人），“初中组”中“学霸”人数为400.37515⨯=（人），据此可得22⨯列联表如下：高中组 15 45 60 初中组15 25 40 合计30 70 100 所以得：222()100(15251545)25 1.79()()()()6040307014n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈++++⨯⨯⨯ 因为1.79 2.706<，所以没有90%的把握认为“学霸”与学生所在的年级组有关． …… 12分21．解：（Ⅰ）令()l n 10f x x '=+=，得1x e=． 当1(0,)x e ∈时，()0f x '<；当1(,)x e∈+∞时，()0f x '>． 所以函数()f x 在1(0,)e 上单调递减，在1(,)e+∞上单调递增． …… 5分 （Ⅱ）由于0x >，所以11()l n l n 22fx xxk x k x x =>-⇔<+．构造函数1()ln 2k x x x =+，则令221121()022x kx x x x-'=-==，得12x =． 当1(0,)2x ∈时，()0k x '<；当1(,)2x ∈+∞时，()0k x '>． 所以函数在点12x =处取得最小值，即m i n 11()()l n 11l n 222k x k ==+=-． 因此所求的k的取值范围是(,1l n 2)-∞-． ……12分……5分（Ⅱ）∵(2,)4A π的直角坐标为(1,1)A ，曲线2sin ρθ=-是圆C ：22(1)1x y ++=（C为圆心）．∴||||||||1||151PA PB PA PC AC +≥+-≥-=．∴||||PA PB +的最小值为51-（这时P 是直线l 与直线AC 的交点）． ……10分。

平顶山、许昌、新乡三市2015届高三第二次调研考试文科数学答案一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．1．C 2．B 3．C 4．D 5．C 6．C 7．A 8．A 9．D 10．A 11．C 12．D二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．13．；14．； 15．2； 16．．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：（Ⅰ）设等比数列的公比为，∵S3 + a3，S5 + a5，S4 + a4成等差数列，∴（S5 + a5）－（S3 + a3）=（S4 + a4）－（S5 +a5），…… 2分∴4 a5= a3，因此，．∵数列不是递减数列，∴．…… 4分∴．…… 6分（Ⅱ）∵，…… 7分∴，…… 8分∴，……10分以上两式相减得：，∴．…… 12分18．解：（Ⅰ）∵VC是圆柱OO1的母线，∴VC⊥⊙O所在的平面ABC，…… 2分∴VC⊥BC．…… 3分∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC．…… 4分∴BC⊥平面VAC．…… 5分∴平面VAC⊥平面VBC．…… 6分（Ⅱ）作CD⊥AB于D，连VD，由（Ⅰ）可知，AB⊥平面VCD，∴∠VDC就是二面角V－AB－C的平面角，即∠VDC=60°．…… 8分在Rt△ABC中，AB=2，AC=1，∴CD=，∴．…… 10分∴圆柱OO1的侧面积为．…… 12分19．解：（Ⅰ）由已知得，样本中有“高中组”学生名，“初中组”学生名．在“高中组”抽取的名样品中，“周平均学习时间”分别落在区间[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)的人数依次为：6，15，24，12，3．∴高中部学生的“周平均学习时间”为（小时）．…… 4分（Ⅱ）由已知得，样本中“周平均学习时间”不足50小时的学生中，“高中组”学生有（人），记为，，…，；“初中组”学生有（人），记为，．从中随机抽选取名学生，所有可能的结果共有28种，他们是：，…，，…，，，，，，…，，，．其中，至少有一名“初中组”学生的可能结果共13种，它们是：，，，，…，，，．故所求的概率：．…… 8分（Ⅲ）由频率分布直方图可知，在抽取的名学生中，“高中组”中“学霸”人数为（人），“初中组”中“学霸”人数为（人），据此可得列联表如下：所以得：因为，所以没有的把握认为“学霸”与学生所在的年级组有关．…… 12分20．解：（Ⅰ）∵直线AB交椭圆于点，∴，又直线AB的倾斜角为45°，∴，∴椭圆的方程为．……2分将AB：代入椭圆得：，解得，将其代入，得．……5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得AB的中点为（，），∴AB的中垂线CD的方程为．设，，将CD：代入椭圆得：．∵．∴，∴A，B，C，D四点共圆．∵CD的中点为，半径为，∴经过A，B，C，D四点的圆的方程为．……12分21．解：（Ⅰ）令，得．当时，；当时，．所以函数在上单调递减，在上单调递增．…… 5分（Ⅱ）由于，所以．构造函数，则令，得．当时，；当时，．所以函数在点处取得最小值，即．因此所求的的取值范围是．……12分22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）消去参数t得，即，∴直线l的极坐标方程为．（答案也可以化为）……5分（Ⅱ）∵的直角坐标为，曲线是圆：（C为圆心）．∴．∴的最小值为（这时P是直线l与直线AC的交点）．……10分24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲解：（Ⅰ）当x<0时，原不等式可化为，解得，又∵，∴不存在；当时，原不等式可化为，解得，又∵，∴；当时，原不等式可化为，解得，又∵，∴；综上，原不等式的解为．…… 5分（Ⅱ）由得，∴，∴的最大值为，此时相应的，．……10分。

豫晋冀三省联考2015届高三上学期第二次调研数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．（5分）已知集合U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，5}，C U B={4，5，6}，则集合A∩B=（）A．{5} B．{1，2} C．{1，2，3} D．{3，4，6}2．（5分）已知复数1﹣i=（i为虚数单位），则z等于（）A．﹣1+3i B．﹣1+2i C．1﹣3i D．1﹣2i3．（5分）设{a n}是等差数列，若a5=log8，则a4+a6等于（）A．6 B．8 C．9 D．164．（5分）我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为（）A．2 B．3 C．4 D．55．（5分）已知向量=（1，k），=（2，2），且+与共线，那么•的值为（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与圆（x﹣3）2+y2=9相交于A，B两点，若|AB|=2，则该双曲线曲离心率为（）A．8 B．C．3 D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．3 B．﹣6 C．10 D．﹣158．（5分）已知P（x，y）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x﹣y的最大值是（）A．6 B．0 C．2 D．29．（5分）函数y=（0＜φ＜）的图象如图，则（）A．k=，ω=，φ=B．k=，ω=，φ=C．k=﹣，ω=2，φ=D．k=﹣2，ω=2，φ=10．（5分）某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（）A．2B．2C．2D．411．（5分）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△AFO与△BFO面积之和的最小值是（）A．B．C．D．12．（5分）设函数f（x）=x3﹣2ex2+mx﹣lnx，记g（x）=，若函数g（x）至少存在一个零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，e2+] B．（0，e2+] C．（e2+，+∞] D．（﹣e2﹣，e2+]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卷中的横线上．13．（5分）已知α为锐角，且，则sinα=．14．（5分）某次测量发现一组数据（x i，y i）具有较强的相关性，并计算得=x+1，其中数据（1，y0）因书写不清，只记得y0是任意一个值，则该数据对应的残差的绝对值不大于1的概率为．（残差=真实值﹣预测值）15．（5分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1内接于球O，底面ABCD是边长为2的正方形，E为AA1的中点，OA⊥平面BDE，则球O的表面积为．16．（5分）设{a n}是等比数列，公比，S n为{a n}的前n项和．记．设为数列{T n}的最大项，则n0=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边长，S表示该三角形的面积，且2cos2B=cos2B+2cosB．（1）求角B的大小；（2）若a=2，S=2，求b的值．18．（12分）如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，．（Ⅰ）求证：OM∥平面ABD；（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面MDO；（Ⅲ）求三棱锥M﹣ABD的体积．19．（12分）某车间将10名技工平均分为甲、乙两组来加工某种零件，在单位时间内每个技工加工零件若干个，其中合格零件的个数如表：1号2号3号4号5号甲组 4 5 7 9 10乙组 5 6 7 8 9（1）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内完成合格零件的平均数及方差，并由此分析两组技工的技术水平；（2）评审组从该车间甲、乙两组中各随机抽取1名技工，对其加工的零件进行检测，若两人完成合格零件个数之和超过14件，则称该车间“生产率高效”，求该车间“生产率高效”的概率．20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（2，）．（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若k AC•k BD=﹣，（i）求•的最值．（ii）求证：四边形ABCD的面积为定值．21．（12分）已知函数，令（m∈R）．（1）若∃x＞0，，使f（x）≤0成立，求实数m的取值范围；（2）设1＜m≤e，H（x）=f（x）﹣（m+1）x，证明：对∀x1，x2∈，恒有H（x1）﹣H（x2）＜1．22．（10分）如图，△ABO三边上的点C、D、E都在⊙O上，已知AB∥DE，AC=CB．（l）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）若AD=2，且tan∠ACD=，求⊙O的半径r的长．四、选修4-4:坐标系与参数方程23．（10分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的参数方程为，（t为参数），曲线C1的方程为ρ（ρ﹣4sinθ）=12，定点A（6，0），点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线l与直线C2交于A，B两点，若|AB|≥2，求实数a的取值范围．24．（10分）已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|a﹣1|的解集非空，求实数a的取值范围．豫晋冀三省联考2015届高三上学期第二次调研数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．（5分）已知集合U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，5}，C U B={4，5，6}，则集合A∩B=（）A．{5} B．{1，2} C．{1，2，3} D．{3，4，6}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：根据B补集及全集U求出B，找出A与B的公共元素即可．解答：解：∵集合U={1，2，3，4，5，6}，C U B={4，5，6}，∴B={1，2，3}，∵集合A={1，2，5}，∴A∩B={1，2}．故选B点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．（5分）已知复数1﹣i=（i为虚数单位），则z等于（）A．﹣1+3i B．﹣1+2i C．1﹣3i D．1﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：∵复数1﹣i=，∴==﹣1+3i．故选：A．点评：本题考查了复数定义是法则，属于基础题．3．（5分）设{a n}是等差数列，若a5=log8，则a4+a6等于（）A．6 B．8 C．9 D．16考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：根据a4+a6=2a5，即可得出结论．解答：解：由题意，a5=log8=3，∵{a n}是等差数列，∴a4+a6=2a5=6，故选：A．点评：本题主要考查了等差数列中的等差中项的性质，比较基础．4．（5分）我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为（）A．2 B．3 C．4 D．5考点：系统抽样方法．专题：计算题；概率与统计．分析：求出系统抽样的抽取间隔，设抽到的最小编号x，根据编号的和为48，求x即可．解答：解：系统抽样的抽取间隔为=6．设抽到的最小编号x，则x+（6+x）+（12+x）+（18+x）=48，所以x=3．故选：B．点评：本题考查了系统抽样方法，熟练掌握系统抽样的特征是解答本题的关键．5．（5分）已知向量=（1，k），=（2，2），且+与共线，那么•的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：平面向量的坐标运算；平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：由向量的坐标加法运算求得+与的坐标，然后直接利用向量共线的坐标表示列式求解k的值，再求其数量积．解答：解：∵向量=（1，k），=（2，2），∴+=（3，k+2），又+与共线，∴（k+2）﹣3k=0，解得：k=1，∴•=1×2+1×2=4，故选D点评：平行问题是一个重要的知识点，在2015届高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．6．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与圆（x﹣3）2+y2=9相交于A，B两点，若|AB|=2，则该双曲线曲离心率为（）A．8 B．C．3 D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据双曲线方程求得其中一条渐近线方程，根据题意可知圆心到渐近线的距离为2，进而表示出圆心到渐近线的距离，求得a，b的关系，即可求出双曲线的离心率．解答：解：依题意可知双曲线的一渐近线方程为bx﹣ay=0，∵|AB|=2，圆的半径为3∴圆心到渐近线的距离为2，即=2，解得b= a∴c=3a，∴双曲线的离心率为e==3．故选：C．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是利用数形结合的方法求得圆心到渐近线的距离．7．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．3 B．﹣6 C．10 D．﹣15考点：循环结构；选择结构．专题：计算题．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环判断i是否为奇数求出S的值，并输出最后的S值．解答：解：程序运行过程中，各变量的值如下表示：是否继续循环 i S循环前 1 0第一圈是 2﹣1第二圈是 3 3第三圈是 4﹣6第四圈是 5 10第五圈否故最后输出的S值为10故选C．点评：根据流程图写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是从流程图中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据，选择恰当的数学模型解答．8．（5分）已知P（x，y）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x﹣y的最大值是（）A．6 B．0 C．2 D．2考点：简单线性规划．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，求出使可行域面积为4的a值，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解答：解：由作出可行域如图，由图可得A（a，﹣a），B（a，a），由，得a=2．∴A（2，﹣2），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，∴当y=2x﹣z过A点时，z最大，等于2×2﹣（﹣2）=6．故选：A．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．9．（5分）函数y=（0＜φ＜）的图象如图，则（）A．k=，ω=，φ=B．k=，ω=，φ=C．k=﹣，ω=2，φ=D．k=﹣2，ω=2，φ=考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：用待定系数法求出k的值，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．解答：解：把（﹣2，0）代入y=kx+1，求得k=．再根据•=﹣=π，可得ω=．再根据五点法作图可得×+φ=π，求得φ=，故选：A．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于基础题．10．（5分）某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（）A．2B．2C．2D．4考点：棱锥的结构特征；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：本题只要画出原几何体，理清位置及数量关系，由勾股定理可得答案．解答：解：由三视图可知原几何体为三棱锥，其中底面△ABC为俯视图中的钝角三角形，∠BCA为钝角，其中BC=2，BC边上的高为2，PC⊥底面ABC，且PC=2，由以上条件可知，∠PCA为直角，最长的棱为PA或AB，在直角三角形PAC中，由勾股定理得，PA===2，又在钝角三角形ABC中，AB==．故选C．点评：本题为几何体的还原，与垂直关系的确定，属基础题．11．（5分）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△AFO与△BFO面积之和的最小值是（）A．B．C．D．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及•=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．解答：解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与x轴的交点为M（0，m），x=ty+m代入y2=x，可得y2﹣ty﹣m=0，根据韦达定理有y1•y2=﹣m，∵•=2，∴x1•x2+y1•y2=2，从而（y1•y2）2+y1•y2﹣2=0，∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1•y2=﹣2，故m=2．不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又F（，0），∴S△B FO+S△AFO=••y1+••|y2=（y1+）≥•2=当且仅当y1=，即y1=时，取“=”号，∴△BFO与△AFO面积之和的最小值是，故选：B．点评：求解本题时，应考虑以下几个要点：1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式．2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高．3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”．12．（5分）设函数f（x）=x3﹣2ex2+mx﹣lnx，记g（x）=，若函数g（x）至少存在一个零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，e2+] B．（0，e2+] C．（e2+，+∞] D．（﹣e2﹣，e2+]考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题；导数的综合应用．分析：由题意先求函数的定义域，再化简为方程x3﹣2ex2+mx﹣lnx=0有解，则m==﹣x2+2ex+，求导求函数m=﹣x2+2ex+的值域，从而得m的取值范围．解答：解：∵f（x）=x3﹣2ex2+mx﹣lnx的定义域为（0，+∞），又∵g（x）=，∴函数g（x）至少存在一个零点可化为函数f（x）=x3﹣2ex2+mx﹣lnx至少有一个零点；即方程x3﹣2ex2+mx﹣lnx=0有解，则m==﹣x2+2ex+，m′=﹣2x+2e+=﹣2（x﹣e）+；故当x∈（0，e）时，m′＞0，当x∈（e，+∞）时，m′＜0；则m=﹣x2+2ex+在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，故m≤﹣e2+2•e•e+=e2+；又∵当x+→0时，m=﹣x2+2ex+→﹣∞，故m≤e2+；故选A．点评：本题考查了导数的综合应用及函数的零点与方程的关系，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卷中的横线上．13．（5分）已知α为锐角，且，则sinα=．考点：两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由α为锐角求出α+的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α+）的值，所求式子中的角变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．解答：解：∵α为锐角，∴α+∈（，），∵cos（α+）=，∴sin（α+）==，则sinα=sin=sin（α+）cos﹣cos（α+）sin=×﹣×=．故答案为：点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．14．（5分）某次测量发现一组数据（x i，y i）具有较强的相关性，并计算得=x+1，其中数据（1，y0）因书写不清，只记得y0是任意一个值，则该数据对应的残差的绝对值不大于1的概率为．（残差=真实值﹣预测值）考点：回归分析．专题：计算题；概率与统计．分析：求出预测值，再求出该数据对应的残差的绝对值不大于1时y0的取值范围，用几何概型解答．解答：解：由题意，其预估值为1+1=2，该数据对应的残差的绝对值不大于1时，1≤y0≤3，其概率可由几何概型求得，即该数据对应的残差的绝对值不大于1的概率P==．故答案为：．点评：本题考查了几何概型的概率公式，属于基础题．15．（5分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1内接于球O，底面ABCD是边长为2的正方形，E为AA1的中点，OA⊥平面BDE，则球O的表面积为16π．考点：球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据已知结合长方体锥的几何特征和球的几何特征，求出球的半径，代入可得球的表面积．解答：解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1内接于球O，底面ABCD是边长为2的正方形，设AA1=2a，E为AA1的中点，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x，y，z轴建立空间坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），E（0，0，a），C1（2，2，2a），O（1，1，a），则=（﹣2，2，0），=（﹣2，0，a），=（1，1，a），若OA⊥平面BDE，则，即，即a2﹣2=0，解得a=，∴球O的半径R满足：2R==4，故球O的表面积S=4πR2=16π，故答案为：16π．点评：本题考查的知识点是球的表面积，其中根据已知求出半径是解答的关键．16．（5分）设{a n}是等比数列，公比，S n为{a n}的前n项和．记．设为数列{T n}的最大项，则n0=4．考点：等比数列的前n项和；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：首先用公比q和a1分别表示出S n和S2n，代入T n易得到T n的表达式．再根据基本不等式得出n0解答：解：==因为≧8，当且仅当=4，即n=4时取等号，所以当n0=4时T n有最大值．故答案为：4．点评：本题主要考查了等比数列的前n项和公式与通项及平均值不等式的应用，属于中等题．本题的实质是求T n取得最大值时的n值，求解时为便于运算可以对进行换元，分子、分母都有变量的情况下通常可以采用分离变量的方法求解．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边长，S表示该三角形的面积，且2cos2B=cos2B+2cosB．（1）求角B的大小；（2）若a=2，S=2，求b的值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题；综合题．分析：（1）根据二倍角的余弦公式，结合2cos2B=cos2B+2cosB可得，结合0＜B ＜π，可得；（2）根据正弦定理的面积公式，可得，结合a=2且算出c=4，最后在△ABC中，利用余弦定理得：b2=12，从而得出．解答：解：（1）∵2cos2B=cos2B+2cosB，cos2B=2cos2B﹣1∴2cosB﹣1，可得又∵0＜B＜π，∴．…6分（2）∵a=2，且，∴c===4，∴△ABC中，根据余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB==12．∴（舍负）．….12分点评：本题结合二倍角的三角函数公式和正、余弦定理，求△ABC的角B大小，并在已知边a长和面积的情况下求边b的长，着重考查了解三角形的常用思路与方法，属于中档题．18．（12分）如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，．（Ⅰ）求证：OM∥平面ABD；（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面MDO；（Ⅲ）求三棱锥M﹣ABD的体积．考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题．分析：（Ⅰ）根据点O是菱形ABCD的对角线的交点，则O是AC的中点．又点M是棱BC 的中点，根据中位线定理可知OM∥AB，而OM⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，满足线面平行的判定定理；（Ⅱ）根据OM=OD=3，而，则OD⊥OM，根据菱形ABCD的性质可知OD⊥AC，而OM∩AC=O，根据线面垂直的判定定理可得OD⊥平面AB C，OD⊂平面MDO，满足面面垂直的判定定理，从而证得结论；（Ⅲ）根据三棱锥M﹣ABD的体积等于三棱锥D﹣ABM的体积，由（Ⅱ）知，OD⊥平面ABC，则OD=3为三棱锥D﹣ABM的高，最后根据三棱锥的体积公式解之即可．解答：（Ⅰ）证明：因为点O是菱形ABCD的对角线的交点，所以O是AC的中点．又点M是棱BC的中点，所以OM是△ABC的中位线，OM∥AB．…（2分）因为OM⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，所以OM∥平面ABD．…（4分）（Ⅱ）证明：由题意，OM=OD=3，因为，所以∠DOM=90°，OD⊥OM．…（6分）又因为菱形ABCD，所以OD⊥AC．…（7分）因为OM∩AC=O，所以OD⊥平面ABC，…（8分）因为OD⊂平面MDO，所以平面ABC⊥平面MDO．…（9分）（Ⅲ）解：三棱锥M﹣ABD的体积等于三棱锥D﹣ABM的体积．…（10分）由（Ⅱ）知，OD⊥平面ABC，所以OD=3为三棱锥D﹣ABM的高．…（11分）△ABM的面积为BA×BM×sin120°=×6×3×=，…（12分）所求体积等于．…（13分）点评：本题主要考查了线面平行的判定，以及面面垂直的判定和体积的计算，同时考查了推理论证和计算能力，属于中档题．19．（12分）某车间将10名技工平均分为甲、乙两组来加工某种零件，在单位时间内每个技工加工零件若干个，其中合格零件的个数如表：1号2号3号4号5号甲组 4 5 7 9 10乙组 5 6 7 8 9（1）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内完成合格零件的平均数及方差，并由此分析两组技工的技术水平；（2）评审组从该车间甲、乙两组中各随机抽取1名技工，对其加工的零件进行检测，若两人完成合格零件个数之和超过14件，则称该车间“生产率高效”，求该车间“生产率高效”的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．分析：（Ⅰ）先分别求出，和S甲2，S乙2，由此能够比较两组员工的业务水平．（Ⅱ）记“优秀团队”为事件A，从甲乙两组中各抽取一名员工完成销售数的基本事件共25种，事件A包含的基本事件共11种，由此能求出“优秀团队”的概率．解答：解：（Ⅰ）依题意，=（4+5+7+9+10）=7，=（5+6+7+8+9）=，S==5.2，S==2．∵=，S甲2＞S乙2，∴两组员工的总体水平相同，甲组员工的业务水平差异比乙组大．（Ⅱ）记“优秀团队”为事件A，则从甲乙两组中各抽取一名员工完成销售数的基本事件为：（4，5），（4，6），（4，7），（4，8），（4，9），（5，5），（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（7，5），（7，6），（7，7），（7，8），（7，9），（9，5），（9，6），（9，7），（9，8），（9，9），（10，5），（10，6），（10，7），（10，8），（10，9），共25种，事件A包含的基本事件为：（7，8），（7，9），（9，6），（9，7），（9，8），（9，9），（10，5），（10，6），（10，7），（10，8），（10，9），共11种，∴P（A）=．点评：本题考查平均数、方差的求法，考查古典概率的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意列举法的合理运用．20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（2，）．（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若k AC•k BD=﹣，（i）求•的最值．（ii）求证：四边形ABCD的面积为定值．考点：直线与圆锥曲线的关系；三角形的面积公式；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）把点代入椭圆的方程，得到，由离心率，再由a2=b2+c2，联立即可得到a2、b2、c2；（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），设k AC=k，由k AC•k BD=﹣=﹣，可得．把直线AC、BD的方程分别与椭圆的方程联立解得点A，B，的坐标，再利用数量积即可得到关于k的表达式，利用基本不等式的性质即可得出最值；（ii）由椭圆的对称性可知S四边形ABCD=4×S△AOB=2|OA||OB|sin∠AOB，得到=4，代入计算即可证明．解答：解：（1）由题意可得，解得，∴椭圆的标准方程为．（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设x1＞0，x2＞0．设k AC=k，∵k AC•k BD=﹣=﹣，∴．可得直线AC、BD的方程分别为y=kx，．联立，．解得，．∴=x1x2+y1y2===2，当且仅当时取等号．可知：当x1＞0，x2＞0时，有最大值2．当x1＜0，x2＜0．有最小值﹣2．ii）由椭圆的对称性可知S四边形ABCD=4×S△AOB=2|OA||OB|sin∠AOB．∴=4=4=4=4==128，∴四边形ABCD的面积=为定值．点评：熟练掌握椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为联立方程得到一元二次方程的根与系数的关系、数量积、基本不等式的性质、三角形的面积计算公式等是解题的关键．21．（12分）已知函数，令（m∈R）．（1）若∃x＞0，，使f（x）≤0成立，求实数m的取值范围；（2）设1＜m≤e，H（x）=f（x）﹣（m+1）x，证明：对∀x1，x2∈，恒有H（x1）﹣H（x2）＜1．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题．专题：证明题；分类讨论．分析：（1）由题意，得．讨论m的范围判断函数的单调性与其最值，通过最小值与0的关系得到m的范围．（2）≤0，所以函数H（x）在上单调递减．，所以设判断其单调性求其最值即可证得．解答：解：（1）由题意，得．①当m＞0时，，因此f（x）在（0，+∞）上单调递增，由对数函数的性质，知f（x）的值域为R，因此∃x＞0，使f（x）≤0成立；②当m=0时，，对∀x＞0，f（x）＞0恒成立；③当m＜0时，由得，x﹣0+f（x）↘极小值↗此时．令．所以对∀x＞0，f（x）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（﹣e，0]．故∃x＞0，使f（x）≤0成立，实数m的取值范围是（﹣∞，﹣e]∪（0，+∞）．（2）∵，∴．∀x∈，≤0，所以函数H（x）在上单调递减．于是．．记，则，所以函数在（1，e]上是单调增函数，所以，故对∀x1，x2∈，恒有H（x1）﹣H（x2）＜1．点评：解决至少存在问题可从正面入手找到存在的原因也可以先做它的反面，证明不等式问题一般利用导数判断函数单调性通过函数的单调性求函数的最值，在利用最值求证不等式，函数与不等式结合是2015届高考考查的热点之一．22．（10分）如图，△ABO三边上的点C、D、E都在⊙O上，已知AB∥DE，AC=CB．（l）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）若AD=2，且tan∠ACD=，求⊙O的半径r的长．考点：与圆有关的比例线段．专题：立体几何．分析：（1）如图所示，连接OC．由AB∥DE，可得，由于OD=OE，可得OA=OB．由于AC=CB，可得OC⊥AB．即可得出直线AB是EO的切线．（2）延长AO交⊙O于点F，连接CF．由（1）可得∠ACD=∠F．由tan∠ACD=，可得tan∠F=．由于△ACD∽△AFC，可得，再利用切割线定理可得：AC2=AD•（AD+2r），即可得出．解答：（1）证明：如图所示，连接OC．∵AB∥DE，∴，∵OD=OE，∴OA=OB．∵AC=CB，∴OC⊥AB．∴直线AB是EO的切线．（2）解：延长AO交⊙O于点F，连接CF．由（1）可得∠ACD=∠F．∵tan∠ACD=，∴tan∠F=．∵△ACD∽△AFC，∴，而AD=2，∴AC=4．由切割线定理可得：AC2=AD•（AD+2r），∴42=2×（2+2r），解得r=3．点评：本题考查了圆的切线的性质、切割线定理、相似三角形的性质、平行线分线段成比例定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．四、选修4-4:坐标系与参数方程23．（10分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的参数方程为，（t为参数），曲线C1的方程为ρ（ρ﹣4sinθ）=12，定点A（6，0），点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线l与直线C2交于A，B两点，若|AB|≥2，求实数a的取值范围．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）首先，将曲线C1化为直角坐标方程，然后，根据中点坐标公式，建立关系，从而确定点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）首先，将直线方程化为普通方程，然后，根据距离关系，确定取值范围．解答：解：（1）根据题意，得曲线C1的直角坐标方程为：x2+y2﹣4y=12，设点P（x′，y′），Q（x，y），根据中点坐标公式，得，代入x2+y2﹣4y=12，得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为：（x﹣3）2+（y﹣1）2=4，（2）直线l的普通方程为：y=ax，根据题意，得，解得实数a的取值范围为：．点评：本题重点考查了圆的极坐标方程、直线的参数方程，直线与圆的位置关系等知识，考查比较综合，属于中档题，解题关键是准确运用直线和圆的特定方程求解．24．（10分）已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|a﹣1|的解集非空，求实数a的取值范围．考点：带绝对值的函数；其他不等式的解法．专题：计算题；压轴题．分析：（Ⅰ）不等式等价于①，或②，或③．分别求出这3个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由绝对值不等式的性质求出f（x）的最小值等于4，故有|a﹣1|＞4，解此不等式求得实数a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）不等式f（x）≤6 即|2x+1|+|2x﹣3|≤6，∴①，或②，或③．解①得﹣1≤x＜﹣，解②得﹣≤x≤，解③得＜x≤2．故由不等式可得，即不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}．（Ⅱ）∵f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|≥|（2x+1）﹣（2x﹣3）|=4，即f（x）的最小值等于4，∴|a﹣1|＞4，解此不等式得a＜﹣3或a＞5．故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解．体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。

文科数学注意事项：1．本试题分第 I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第1 卷 1 至2 页，第Ⅱ卷3至4页．2．答卷前，考生务势必自己的姓名、准考据号填写在本试题相应的地点． 3．所有答案在答题卡上达成，答在本试题上无效． 4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回，第 I 卷一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．函数 f ( x)e x2x 的图象在点 x=0 处的切线的倾斜角为A ． 0B ．C ．3 D ．4242．设 i 是虚数单位，若z1 i ，则复数 z=2 iA ． 2 iB ． l+iC ．3+iD ．3-i3．察看下边对于循环小数化分数的等式：据此推断循环小数0.23 可化成分数23 99 8 7 A ．B ．C ．D ．90231530一 154．若直线y k( x 1) 与圆 x 2y21订交于 A,B 两点，且 A ．1 3 C ．3 B ．2D ．231 OA OB，则实数 k=235．设等差数列a n 的前 n 项和为 S n ,若， S 12 288, S 9 162 ,则 S 6A ． 18B ．36C ． 54D ． 726．设函数f ( x)cos(2x) sin(2 x ) ，则33A ．函数f (x) 在区间 (, ) 内单一递加，其图象对于直线x 对称24B ．函数f (x) 在区间 (, ) 内单一递加，其图象对于直线 x对称C．函数 f (x) D．函数 f (x)在区间( , ) 内单一递减，其图象对于直线x对称24在区间( , ) 内单一递减，其图象对于直线x对称227．履行以下图的程序框图，若输入的N 值为 6，则输出的所有 S 值之和为A． 26B． 31C． 32D． 578．已知向量a， b 的夹角为，b 1 ，且对随意实数x，不等式3a xb a b 恒建立，则aA．2B． 1C． 2D． 39．某几何体的三视图以下图，则该几何体的体积为1A．B．3121C．D．3 4112 1410．已知 x， y 知足拘束条件2 y11,z 3x y 的最大值是-3，则实数y2(a，若目标函数x)aA． 0B． -lC． 1D．1 211．设 P 为双曲线 C : x2y2 1 的一点，F1, F2分别为双曲线 C 的左、右焦点，若cos F PF 1 ,则△ PF1 F2的内切圆的半径为123A．21B．21C．31D．3112．设a n 8ncosn sinn(n11sinn)(n N ) ，则数列a n的前2015项的33323和 S2015=A.0B. 2014C.2015D.2016第Ⅱ卷本卷包含必考题和选考题两部分．第 13 题 ~第 21 题为必考题，每个试题考生都一定作答，第22 题 ~第 24 题为选考题，考生依据要求作答．13.某地域 3 月 1 日至 30 日的天气状况及晚间空气湿度统计以下表， 比方，依据表中数据可知3 月 1 日无雨，且当天晚间空气相对湿度等级为 C ．若气象工作者依据某天晚间的相对湿度等级预告次日有雨的概率，则3 月 31 日有雨的概率为 _______．14.若函数f ( x) e x x a 有两个零点，则实数a 的取值范围是 _______．15．已知四而体 ABCD 的极点都在球O 的球面上， AD=AC=BD=2，CD=2 2 ,BDC=90 平面ADC 平面 BDC ，则球 O 的体积为 _______．16．定义在 R 上的函数f ( x) 满 足f ( x 2) f ( x) 2 ， 当 x0,2 时 ，x 2 x 6, x0,1 x 6, 4 时，对于 x 的方程af(x) a22 0(a 0)有解，f (x)5, x1,2 ，若2x 1则实数 a 的取值范围是 _______．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17． （本小题满分 12分）在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且3c a sin C3c cos A(1)求 A ；( II)若 a 23 ，△ ABC 的面积 S3 ．求 b,c ．18.（本小题满分 12 分）甲、乙两名骑手骑术相当，他们各自精选 3 匹马备用，甲精选的三匹马分别记为A ，B ，C ，乙精选的三匹马分别记为A ',B ',C ' ,已知 6 匹马按奔跑速度从快到慢的摆列次序依次为： A, A ', B, B ',C ',C ．竞赛前甲、乙均不知道这个次序．规定：每人只好骑自己精选的马进行竞赛，且领先抵达终点者获胜．(I)若甲、乙二人进行一次竞赛，求乙获胜的概率；(Ⅱ)若甲、乙二人进行三次竞赛，且不可以重复使用马匹，求乙获胜次数多于甲的概率．19.（本小题满分 12 分）如图，在三棱柱 ABCA 1B 1C 1 中，侧面 AA 1 C 1C 底面 ABC ，AA 1 A 1 C AC BC2, ACBC ，点 S 是侧棱AA 1延伸线上一点， EF 是平面 SBC 与平面 A 1 B 1 C 1 的交线．( I)求证 ： EFAC 1 ；(Ⅱ )求四棱锥 A 1 BCC 1B 1 的体积．20.（本小题满分 12 分）已知函数f (x)x 2 a ln x 1(aR)( I)判断函数 f(x)的单一性；(Ⅱ )若对于随意的x1,e ，随意的a2, 1 ，不等式 ma 1f ( x)a 2 建立，2 务实数 m 的取值范同．21.（本小题满分 12 分）已知椭圆E : x 2y 2 1，过点P( 2,0) 的直线l 交 E 于 A ， B 两 点 ， 且2PB PA( 1) 。