二重极限与累次极限的联系及应用

关于二重极限与累次极限的研究二重极限与累次极限是微积分学中重要的研究内容，用于描述多元函数的性质。

在本文中，我们将探讨二重极限与累次极限的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。

首先，我们先来定义二重极限。

设有二元函数$f(x,y)$，当$x$和$y$的取值在其中一区域中变化时，如果当$(x,y)$趋近于其中一点$(a,b)$时，函数值$f(x,y)$无限接近于常数$L$，则称$L$为$f(x,y)$当$(x,y)$趋近于$(a,b)$时的二重极限，记作：$$\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=L$$接下来，我们来看一些二重极限的性质。

首先，在计算二重极限时常用的方法有直接代入法、夹逼法和极坐标转化法等。

其次，对$f(x,y)$的二重极限不存在的情况，通常表明函数在$(a,b)$处没有定义或者存在其中一种不连续性。

最后，对于其中一点$(a,b)$，若存在不同的趋近方式使得二重极限的值不同，则二重极限不存在。

然后我们来介绍一下累次极限。

设有二元函数$f(x,y)$，如果对于每个$x$，当$y$趋近于其中一点$b$时，有$\lim_{y\to b}f(x,y)=g(x)$，则称$g(x)$为$f(x,y)$当$y$趋近于$b$时的累次极限，记作：$$\lim_{y\to b}(\lim_{x\to a}f(x,y))= g(x)$$类似地，如果对于每个$y$，当$x$趋近于其中一点$a$时，有$\lim_{x\to a}f(x,y)=h(y)$，则称$h(y)$为$f(x,y)$当$x$趋近于$a$时的累次极限。

累次极限与二重极限的关系是：如果当$(x,y)$趋近于$(a,b)$时，存在$L$使得$f(x,y)$的二重极限等于$L$且$f(x,y)$的累次极限存在，则二重极限和累次极限相等。

接下来，我们来看一些关于二重极限和累次极限的例子。

以函数$f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$为例，当我们计算$f(x,y)$在$(0,0)$处的二重极限时，可以使用极坐标转化法，令$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，则有：$$f(x,y)=\frac{r\cos\theta\cdotr\sin\theta}{r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta}=\frac{r^2\cos\theta\sin\theta}{r^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)}=\frac{\cos\theta\sin\theta}{\cos^2\theta+\sin^2\theta}=\frac{1}{2}\sin(2\theta)$$当$(x,y)$趋近于$(0,0)$时，$r$趋近于零，而$\theta$可以取任意值。

1 / 151.二元函数极限概念分析定义1 设函数f 在2D R ⊂上有定义,0P 是D 的聚点,A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈时,都有 ()f P A ε-<,则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限,记0lim ()P P P Df P A →∈=.上述极限又称为二重极限．２.二元函数极限的求法2.1 利用二元函数的连续性命题 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=．例１ 求2(,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解： 因为2(,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续,所以122122lim (,)lim(2)12125.x y x y f x y x xy →→→→=+=+⨯⨯=例2 求极限()()221,1,21limy x y x +→.解: 因函数在()1,1点的邻域内连续,故可直接代入求极限,即()()221,1,21limy x y x +→=31.2 / 152．2 利用恒等变形法将二元函数进行恒等变形,例如分母或分子有理化等. 例3 求00x y →→解: 00x y →→00x y →→=0x y →→=001.4x y →→==-例4 ()()22220,0,321)31)(21(lim yx y x y x +-++→．解:原式()()())()(),0,02211lim231x y xy →=+()(22,0,0limx y →=+11022=+=．2.3 利用等价无穷小代换一元函数中的等价无穷小概念可以推广到二元函数．在二元函数中常见的等价无穷小((,)0)u x y→,有sin(,)(,)u x y u x y;2(,)1cos(,)2u x yu x y-;[]ln1(,)(,)u x y u x y+；tan(,)(,)u x y u x y;arcsin(,)(,)u x y u x y；arctan(,)(,)u x y u x y(,)1u x yn;(,)1(,)u x ye u x y-；同一元函数一样,等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用.例５求xy→→解: 当x→,0y→时，有0x y+→11()2x y+，所以1()2lim1.2xyxyx yx y→→→→+=+=这个例子也可以用恒等变形法计算,如:1.2xyxyxy→→→→→→===3 / 154 / 152.4 利用两个重要极限(,)0sin (,)lim 1(,)u x y u x y u x y →=，[]1(,)(,)0lim 1(,)u x y u x y u x y e →+= 它们分别是一元函数中两个重要极限的推广．例6 求极限 21lim(1)x x yx y axy+→∞→+．解: 先把已知极限化为22()11lim(1)lim (1)x x xy x y xy x yx x y ay a xy xy ++→∞→∞→→⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦，而 211limlim ,()(1)x x y a y a x y xy x y ay x→∞→∞→→==++ 当 ,x y a →∞→时1,0xy xy →∞→,所以 1lim(1).xy x y ae xy →∞→+=故原式=2()11lim (1).x xy x y xy xy a axy e +→∞→⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=例７ 求 0sin()limx y axy x →→极限.解: 因为sin()sin().xy xy y x xy=，当0,x y a →→时，0xy →,所以 sin()1xy xy→,再利用极限四则运算可得： 000sin()sin()sin()limlim .lim .lim .x x y a xy y a y axy xy xy y y a x xy xy →→→→→→===·1＝a ．这个例子也可以用等价无穷小代换计算,如: 当 0x →,y a →时，0xy → ,sin()xy xy ．5 / 15所以， 00sin()limlim lim .x x y a y a y axy xyy a x x →→→→→===２.5 利用无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量的结论例8 求0011)sin cos x y y x y →→解: 因为00)0x y y →→= 是无穷小量, 11sin cos 1x y ≤ 是有界量 ，故可知，0011)sin cos 0.x y y x y →→=例9 求 22232(3)(2)lim (3)(2)x y x y x y →→---+-解 原式=2232(3)(2)lim(3)(3)(2)x y x y x x y →→--⋅--+-因为 222222(3)(2)(3)(2)1(3)(2)22(3)(2)x y x y x y x y ---+-≤=-+-⎡⎤-+-⎣⎦ 是有界量，又 32lim(3)0x y x →→-= 是无穷小量，所以 ， 22232(3)(2)lim0(3)(2)x y x y x y →→--=-+- ． 虽然这个方法计算实际问题上不那么多用,但计算对无穷小量与有界量的乘积形式的极限的最简单方法之一 .２.６利用变量替换法通过变量替换可以将某些二元函数的极限转化为一元函数的极限来计算,6 / 15从而使二元函数的极限变得简单.但利用时一定要满足下面的定理。

. .word..1.二元函数极限概念分析定义1设函数f 在2D R ⊂上有定义，0P 是D 的聚点，A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈时，都有 ()f P A ε-<,那么称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限，记0lim ()P P P Df P A →∈=.上述极限又称为二重极限.2．二元函数极限的求法2.1 利用二元函数的连续性命题假设函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，那么0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=.例1求2(,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解： 因为2(,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续，所以122122lim (,)lim(2)12125.x y x y f x y x xy →→→→=+=+⨯⨯=例2 求极限()()221,1,21limy x y x +→．解： 因函数在()1,1点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即. .word..()()221,1,21limy x y x +→=31．2.2 利用恒等变形法将二元函数进展恒等变形，例如分母或分子有理化等. 例3 求00x y →→解：00x y →→00x y →→=0x y →→=001.4x y →→==-例4()()22220,0,321)31)(21(limyx y x y x +-++→．解： 原式()()())()(),0,02211lim231x y xy →=+()(22,0,0limx y →=+1122=+=．2.3 利用等价无穷小代换一元函数中的等价无穷小概念可以推广到二元函数.在二元函数中常见的等价无穷小((,)0)u x y→，有sin(,)(,)u x y u x y；2(,)1cos(,)2u x yu x y-；[]ln1(,)(,)u x y u x y+；tan(,)(,)u x y u x y；arcsin(,)(,)u x y u x y；arctan(,)(,)u x y u x y(,)1u x yn；(,)1(,)u x ye ux y-；同一元函数一样，等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用.例5求xy→→解：当x→，0y→时，有0x y+→11()2x y+，所以1()2lim1.2xyxyx yx y→→→→+=+=. .word... .word..这个例子也可以用恒等变形法计算，如：00001.2x y x y x y →→→→→→===2.4 利用两个重要极限(,)0sin (,)lim 1(,)u x y u x y u x y →=，[]1(,)(,)0lim 1(,)u x y u x y u x y e →+= 它们分别是一元函数中两个重要极限的推广.例6求极限 21lim(1)x x yx y axy+→∞→+.解：先把极限化为22()11lim(1)lim (1)x x xy x y xy x yx x y ay a xy xy ++→∞→∞→→⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦，而 211limlim ,()(1)x x y a y a x y xy x y ay x→∞→∞→→==++ 当 ,x y a →∞→时1,0xy xy →∞→，所以 1lim(1).xy x y ae xy →∞→+=故原式=2()11lim (1).x xy x y xy xy a axy e +→∞→⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=例7 求 0sin()limx y axy x →→极限.. .word..解： 因为sin()sin().xy xy y x xy=，当0,x y a →→时，0xy →，所以 sin()1xy xy→，再利用极限四那么运算可得： 000sin()sin()sin()limlim .lim .lim .x x y a xy y a y axy xy xy y y a x xy xy →→→→→→===·1=a .这个例子也可以用等价无穷小代换计算，如： 当 0x →，y a →时，0xy → ，sin()xy xy .所以， 00sin()limlim lim .x x y a y a y axy xyy a x x →→→→→===2.5 利用无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量的结论例8求0011)sin cos x y y x y →→解:因为00)0x y y →→= 是无穷小量， 11sin cos 1x y ≤ 是有界量 ，故可知，0011)sin cos 0.x y y x y →→=例9 求 22232(3)(2)lim (3)(2)x y x y x y →→---+-解 原式=2232(3)(2)lim(3)(3)(2)x y x y x x y →→--⋅--+-因为 222222(3)(2)(3)(2)1(3)(2)22(3)(2)x y x y x y x y ---+-≤=-+-⎡⎤-+-⎣⎦是有界量，又. .word..32lim(3)0x y x →→-= 是无穷小量，所以 ， 22232(3)(2)lim 0(3)(2)x y x y x y →→--=-+- .虽然这个方法计算实际问题上不那么多用，但计算对无穷小量与有界量的乘积形式的极限的最简单方法之一 .2.6利用变量替换法通过变量替换可以将某些二元函数的极限转化为一元函数的极限来计算，从而使二元函数的极限变得简单.但利用时一定要满足下面的定理。

二元函数极限证明)in1y?ysin1x, 求在点( 0 , 0 )的两个累次极限 .二重极限与累次极限的关系:（１）两个累次极限可以相等也可以不相等，所以计算累次极限时一定要注意不能随意改变它们的次序。

例函数 f(x,y)?x?y?x?yx?y22的两个累次极限是 y?yyx?xx22limlimx?y?x?yx?yx?y?x?yx?yy?0x?0?limy?0?lim(y?1)??1y?0?lim(x?1)?1x?0limlimx?0y?0?limx?0（２）两个累次极限即使都存在而且相等，也不能保证二重极限存在例f(x,y)?xyx?yxyx?y，两个累次极限都存在limlimy?0x?0?0,limlimxyx?yx?0y?0?0但二重极限却不存在，事实上若点p(x,)沿直线 y?kx趋于原点时，kxf(x,y)?x?(kx)?k1?k二重极限存在也不能保证累次极限存在二重极限存在时,两个累次极限可以不存在.例函数 f(x,y)?xsin1y?ysin1x由|f(x,y)| ? |x|?|y|?0 ,( x ,y)?(0,0).可见二重极限存在 ,但1xlimsinx?0和limsiny?01y不存在，从而两个累次极限不存在。

（4）二重极限极限lim(x,y)?(x0,y0)f(x,y)和累次极限limlimf(x,y)(或另一次序)都存x?x0y?y0在 , 则必相等.( 证 )（5）累次极限与二重极限的关系若累次极限和二重极限都存在，则它们必相等第三篇：二元函数极限的研究二元函数极限的研究作者：郑露遥指导教师：杨翠摘要函数的极限是高等数学重要的内容，二元函数的极限是一元函数极限的基础上发展起来的，本文讨论了二元函数极限的定义、二元函数极限存在或不存在的判定方法、求二元函数极限的方法、简单讨论二元函数极限与一元函数极限的关系以及二元函数极限复杂的原因、最后讨论二重极限与累次极限的关系。

累次极限和二重极限累次极限和二重极限是微积分中的重要概念，它们在求解多元函数的极限问题中起着重要的作用。

本文将从定义、性质和应用三个方面来介绍累次极限和二重极限。

一、累次极限的定义和性质1. 定义设函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某一邻域内有定义，如果对于任意给定的数列 $\{x_n\}$ 和 $\{y_n\}$，满足$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x_0$，$\lim\limits_{n\to\infty}y_n=y_0$，则称 $f(x,y)$ 在点$(x_0,y_0)$ 处的累次极限存在，记为：$$\lim_{x\to x_0}\lim_{y\to y_0}f(x,y)=\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y) $$2. 性质（1）若 $\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)$ 存在，则$\lim\limits_{x\to x_0}\lim\limits_{y\to y_0}f(x,y)$ 和$\lim\limits_{y\to y_0}\lim\limits_{x\to x_0}f(x,y)$ 存在，且三者相等。

（2）若 $\lim\limits_{x\to x_0}\lim\limits_{y\to y_0}f(x,y)$ 和$\lim\limits_{y\to y_0}\lim\limits_{x\to x_0}f(x,y)$ 存在，则$\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)$ 存在，且三者相等。

二、二重极限的定义和性质1. 定义设函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某一邻域内有定义，如果对于任意给定的 $\epsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得当 $(x,y)$ 满足$0<\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta$ 时，有 $|f(x,y)-A|<\epsilon$，则称 $A$ 是 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处的二重极限，记为：$$\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=A$$2. 性质（1）若 $\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)$ 存在，则 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处的二重极限存在，且二者相等。

二重极限与累次极限及其应用作者：左双勇来源：《求知导刊》2015年第11期摘要：极限是研究函数的重要工具之一，二重极限是定义二元以上函数极限的基础，这里主要介绍了二重极限和累次极限的概念。

举例说明了二重极限与累次极限在存在性上相互独立的关系，最后给出了二重极限与累次极限的某些应用。

关键词：极限;二重极限;累次极限1.二重极限与累次极限的概念二元函数的极限有两种概念，它们分别是二重极限与累次极限，其定义分别如下：定义1：设函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）某邻域（P0可除外）有定义，若存在常数A，对∨ε>0，总;δ>0，只要点P（x，y）与P0（x0，y0）的距离ρ=√（x-x0）2-（y-y0）2< δ，恒有|f（x，y）-A|limf（x，y）=A或 limf（P）=A上面定义的二元函数的极限也称为二重极限。

[1]定义2：设函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）某邻域（P0可除外）有定义，若limf （x，y）=φ（y）存在，且limφ（y）=A存在，则称A为函数z=f（x，y）的先x→x0后y→y0次序的累次极限，记作：lim limf（x，y）=A。

同样的方法可以定义相反次序的累次极限lim limf（x，y）=A。

[2]2.二重极限与累次极限的关系举例二重极限与累次极限是分别独立定义的两个概念，下面举例说明它们在存在性上是相互独立的，没有必然的联系。

（1）二重极限存在，两种不同次序的累次极限也存在，且相等。

例如，—，x2+y2≠0f（x，y）=0， ; ; ; ; x2+y2=0二重极限lim—=0存在。

这是因为对∨ε>0，取δ=ε，只要ρ=√x2+y2两种不同次序的累次极限lim lim—=0，lim lim—=0存在且相等。

（2）二重极限存在，两种不同次序的累次极限都不存在。

例如，xsin—+ysin—，x≠0，y≠0f（x，y）=0， ; ; ; ; ; ; ; ; ;x=0，y=0二重极限lim（xsin—+ysin—）=0存在。

累次极限和二重极限的关系1.引言在微积分学中，极限是非常重要的一个概念，可以用来描述数列或函数的趋势，同时也是计算各种微积分和积分学题目的基础。

在极限的研究中，我们经常遇到的是单变量函数的一元极限，但是对于多变量函数的极限，我们则需要讨论累次极限和二重极限，本文将会介绍这两种极限的概念和它们之间的关系。

2.多元函数的极限多元函数指的是含有多个变量的函数，例如$f(x,y)$。

在讨论多元函数的极限时，我们需要的是函数在趋向某个点$(x_0,y_0)$时的极限，也就是$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$附近值的变化趋势。

如果当$(x,y)$趋向于$(x_0,y_0)$时，函数$f(x,y)$无限接近于某个常数$L$，那么我们称$L$为$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$处的极限，记作$\lim\limits_{(x,y)\rightarrow(x_0,y_0)}f(x,y)=L$。

需要注意的是，多元函数的极限并不是惟一的，它需要与趋近路径有关，也就是说，当我们改变$(x,y)$趋近于$(x_0,y_0)$的路径时，极限可能会有所不同，因此需要讨论不同路径下的极限。

3.累次极限对于二元函数$f(x,y)$，我们可以先将其中一个变量固定，然后将另一个变量趋向于某个值，这样得到的极限称为累次极限。

具体说，当$y\rightarrow y_0$时，$f(x,y)$的极限值为$g(x)$，则称$\lim\limits_{y\rightarrow y_0}f(x,y)=g(x)$为$f(x,y)$在$x=x_0$处的累次极限。

其中，$g(x)$可以看作是$x$所对应的一元函数，称为$f(x,y)$在$x=x_0$处的横截面。

同样地，当$x\rightarrow x_0$时，$f(x,y)$的极限为$h(y)$，则称$\lim\limits_{x\rightarrowx_0}f(x,y)=h(y)$为$f(x,y)$在$y=y_0$处的累次极限。