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华中科技大学 贝塞尔函数(课堂PPT)

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贝塞尔函数PPT演示课件

贝塞尔函数PPT演示课件


1
r 2 sin 2
2u
2
k 2u
0
设u(r, ,) R(r)( )()，代入原方程
''() m2() 0
1
s in
d
d
s in

d ( 2 d
m2
sin 2 ) 0
d r 2 dR (k 2r 2 2 )R 0
要使等式两边成立，则x各次幂的系数为零
(1) (c2 v2 ) C0 0 (k 0)
(c2 v2 ) 0
c v
(2) [(c 1)2 v2 ]C1 0 (k 1)
(3) [(c k)2 v2 ]Ck Ck2 0 (k 2)
将c=v代入(2)，得C1=0
k 2u

0
u(,, z) R()()Z(z)
''() m2() 0
Z''(z) 2Z(z) 0
2
d 2R
d 2


dR
d

(k 2
2 ) 2

m2
R

0
x (k 2 2) y(x) R()
贝塞尔方程
x2
0
0
0
0

(1) etdt et 1 0 0
(2) 1 (1) 1
(3) 2 (2) 2!
(4) 3(3) 3! (n 1) n!
求证： 1 2

(x) ett x1dt
令t=u2

(1)m
2(2mv) m ! (m 1 v)

贝塞尔函数诺伊曼函数43页PPT

贝塞尔函数诺伊曼函数43页PPT

பைடு நூலகம்
贝塞尔函数诺伊曼函数
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根

贝塞尔函数

贝塞尔函数

y ( s k )ak x s k 1
y ( s k )(s k 1)ak x s k 2
k 0

k 0
xy ( s k )ak x s k
k 0

x 2 y ( s k )(s k 1)ak x s k
2 2 x y xy ( x n ) y 0 2
5/13
比较欧拉方程
变换
x y xy y 0
2
x e xp(t )
dy dy dt 1 dy dx dt dx x dt
或
t ln x
d2y 1 dy 1 d dy 1 d 2 y dy 2 ( ) 2 ( 2 ) 2 dx x dt x dx dt x dt dt

( x) xJn1 ( x) nJ n ( x) xJ n ( x) xJn1 ( x) nJ n ( x) xJ n
2nJ n ( x) xJn1 ( x) xJn1 ( x)
③ ④
( x) J n1 ( x) J n1 ( x) 2J n
18/13
d n [ x J n ( x )] x n J n1 ( x ) dx
d n [ x J n ( x )] x n J n1 ( x ) dx

( x) x n J n1 ( x) nx n1J n ( x) x n J n ( x) x n J n1 ( x) nx n1J n ( x) x n J n
( 1)m 2( n m ) x 2 n1 2 m n 2 m m! ( n 1 m 1) m 0 2

贝塞尔公式(精品课件)

贝塞尔公式(精品课件)

样本标准差的表示公式数学表达式：•S—标准偏差（％）•n—试样总数或测量次数，一般n值不应少于20—30个•i—物料中某成分的各次测量值，1～n；[编辑］标准偏差的使用方法•在价格变化剧烈时,该指标值通常很高。

•如果价格保持平稳,这个指标值不高。

•在价格发生剧烈的上涨/下降之前,该指标值总是很低. [编辑]标准偏差的计算步骤标准偏差的计算步骤是：步骤一、（每个样本数据－样本全部数据之平均值)2。

步骤二、把步骤一所得的各个数值相加。

步骤三、把步骤二的结果除以 (n — 1)（“n”指样本数目）。

步骤四、从步骤三所得的数值之平方根就是抽样的标准偏差。

［编辑］六个计算标准偏差的公式[1][编辑]标准偏差的理论计算公式设对真值为X的某量进行一组等精度测量, 其测得值为l1、l2、……l n。

令测得值l与该量真值X之差为真差占σ，则有σl i−X.。

.。

文档交流1 =σ2 = l2−X……σn = l n−X我们定义标准偏差（也称标准差）σ为（1）由于真值X都是不可知的，因此真差σ占也就无法求得, 故式只有理论意义而无实用价值。

［编辑]标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式由于真值是不可知的，在实际应用中, 我们常用n次测量的算术平均值来代表真值。

理论上也证明, 随着测量次数的增多，算术平均值最接近真值，当时，算术平均值就是真值。

.。

.文档交流于是我们用测得值l i与算术平均值之差——剩余误差(也叫残差）V i来代替真差σ，即设一组等精度测量值为l1、l2、……l n则……通过数学推导可得真差σ与剩余误差V的关系为将上式代入式(1)有(2)式(2)就是著名的贝塞尔公式（Bessel).它用于有限次测量次数时标准偏差的计算.由于当时，,可见贝塞尔公式与σ的定义式（1）是完全一致的。

应该指出, 在n有限时, 用贝塞尔公式所得到的是标准偏差σ的一个估计值。

它不是总体标准偏差σ。

因此, 我们称式(2)为标准偏差σ的常用估计。

数学物理方程----3-Bessel-函数PPT优秀课件

数学物理方程----3-Bessel-函数PPT优秀课件

贝 塞
erx (r2 + pr + q) = 0 .
尔
由于erx 0，因此，只要 r 满足方程
函 数
r2 + pr + q = 0，
⑤
即 r 是上述一元二次方程的根时，y = erx 就是
④式的解. 方程⑤称为方程④的特征方程. 特征方
程根称为特征根.
西安交通大学 数学与统计学院
例 1 求方程 y - 2y - 3y = 0 的通解.
西安交通大学 数学与统计学院
定理 4 设二阶线性非齐次方程为
数
y + p(x)y + q(x)y = f1 (x) + f2 (x)， ① 第
学
三
物
理 且y1*与y2*分 别 是
方
程
y + p(x)y + q(x)y = f1 (x)，
章 贝 ②塞
尔
和
函
y + p(x)y + q(x)y = f2 (x)
数 学
y = C1 y1 + C2 y2
第 三
物理是该方程的通解，其中
方
C1,
C2为任意常数.
程
章 贝
塞
尔
函
数
西安交通大学 数学与统计学院
定理 3 如果函数 y* 是线性非齐次方程的一个
特解，Y 是该方程所对应的线性齐次方程的通解，则
数
第
学 物
y = Y + y*，
理 方
是线性非齐次方程的通解.
程
数
解 该方程的特征方程为 r2 - 4r + 4 = 0，它 有 第
学 物
重根

贝塞尔函数3

贝塞尔函数3
数学物理方程与特殊函数
工程项目
贝塞尔函数3 管理
主编：危道军 刘志强
本节内容
贝塞尔函数第二次课内容总结 贝塞尔函数的递推公式 函数展成贝塞尔函数的级数
贝塞尔函数应用举例
3 工程项目管理规划
贝塞尔函数的递推公式
d dx
[xnJn
x]
x n J n1
x
(1)
d dx
[
xnJ
n
x
]
xnJ
n1
x
(2)
Cm e Dm e 0
U
J
0
(
(0) m b
)
b 2
J
01
(
(0) m
)
d
2U
(0) m
J1
(m(0)
)
(12)
3 工程项目管理规划
四、确定常数
Cm Dm 0 (m 1,2, ) (11)
将（5.11）与先前得到的（5.12）联立，解得
Cm
(0) m
sh
U
(0) m b
hJ1(m(0) )
Dm e
)J0(
m
b
)
(10)
3 工程项目管理规划
四、确定常数
u(, z)
m1
m(0) z
m(0) z
(0)
(Cm e
Dm e
)J0(
m
b
)
(10)
由条件(4），得
u 0 , u U (4)
z0
zh
u(, 0)
m1
(Cm
Dm
)
J
0
(
(0) m b
)
0
于是得

华中科技大学课件贝塞尔函数课堂课件


r2
两端乘以 r 2 移项得
FG
G r 2 F rF r 2 F
,
G
F
于是有
G G 0,
(9)
r 2 F rF (r 2 )F 0. (10)
医药&医学
6
G G 0,
(9)
r 2 F rF (r 2 )F 0. (10)
由于温度函数 u(x, y,t)是单值的，所以V (x, y)也必
m um m 4(m 1)(n m 1)
则由达朗贝尔判别法可知级数(18)在整个实轴上
是绝对收敛的。
医药&医学
17
y(x) ak x sk k 0
(a0 0),
[(s 1)2 n2 ]a1 0,
[(s k)2 n2 ]ak ak2 0 (k 2, 3, )
(13) (15) (16)
r 2 r r r 2 2
V |rR 0.
(8)
医药&医学
5
2V 1 V 1 2V V 0 (0 r R), (7)
r 2 r r r 2 2
V |rR 0.
(8)
再令 V (r, ) F(r)G( ), 代入方程(7)得
F G 1 F G 1 FG FG 0,
r
u(x, y,t) V (x, y)T (t), 代入方程(1)得
VT a2 (Vxx Vyy )T,
用 1 乘之，得
a 2VT
T a 2T
Vxx Vyy V
( 0),
医药&医学
3
ut a2 (uxx uyy ) (x2 y2 R2), u |x2 y2 R2 0,
u |t0 (x, y).
我们用u(x, y,t)来表示时刻 t 圆盘上点 (x, y)

第7章贝塞尔(Bessel)函数


⎡∞ ⎢ ⎢⎣ l =0
(−1)l ⎛ (n + l)!l ! ⎜⎝
x 2
⎞n+2l ⎟⎠
⎤ ⎥t n ⎥⎦
=
∞ n=−∞
J n (x)t n
母函数.
x (t−1)
e2 t
2. 贝塞尔函数的积分表达式
∫ 由洛朗系数公式
ak
=
1
2π i
f (x,t) L t k +1 dt
得积分表达式
x (t−1)
∫ J n ( x )
12
( i i ) 当ν = n (整数)时, J−n (x) = (−1)n Jn (x)P6线9 已性证相明关.不构
成通解. ∞ ∑ 故另一特解应为 y2 (x) = aJn (x) ln X + X −ν Dk X k k =0
但是用上式计算 a 和Dk 通常不易.
因此引入一个与 Jn 线性无关的特解.即诺伊曼函数(Neumann）
k =0
k =2
∞
∑ (1+ 2ν )C1x1+ν + [k(k + 2ν )Ck + Ck−2 ]xk+ν = 0
k =2
由x 的同次幂系数之和为零，得
⎧(1 + ⎨⎩k (k
2ν )C1 = + 2ν )Ck
0, +
(ν
Ck −2
> 0) =0
⎧⎪C1 ⎨⎪⎩Ck
= =
0 k
−Ck −2
(2ν + k
3
求正则解的步骤：
为方便起见，设正则奇点 z0 = 0 （对于一般的 z0点，只需把 z → z − z0 ）

华科大数理方程课件——贝塞尔函数的应用(2014)


由有界条件| R(0) | 知 D 0, 再利用条件(67)
R( B) 0得 J 0 ( B) 0, 即 B 是J 0 ( x) 0 的零点。
(n) ( 0) ) 0. 则得方程 以 m 表示 J 0 ( x) 的正零点， 即J 0 ( m (66)在有界条件及(67)下的固有值及相应固有函数 为
r u |t 0 h(1 ), u t |t 0 0. B
u | r B 0,
(62) (63) (64)
再由初始条件(64)中的第二式得
( 0) m
于是得
B
bm J 0 (( 0) ຫໍສະໝຸດ mBr ) 0,
bm 0 (m 1, 2, ).
16
1 u tt a (u rr u r ) (0 r B), r
2
根据叠加原理，方程(62)满足条件(63)的解为
( 0) (0) ( 0) a m a m m u (r , t ) (a m cos t bm sin t)J 0 ( r ). B B B m 1
2
(44) (45)
u | t 0 1 r 2 .
u (r , t ) C m e
m 1
(0) 2 ( m a) t
(46)
(0) J 0 ( m r ).
(51)
(0) 4J 2 m C m (0) 2 2 (0) , ( m ) J1 m




将 C m 代入(51)即得问题(44)-(46)的解为
(65) (66)
12
1 u tt a (u rr u r ) (0 r B), r
2

第七章 贝塞尔函数


2 x 1 n 1 (n m 1)! x n 2 m N n ( x) J n ( x)(ln ) ( ) π 2 π m0 m! 2 m x n2m (1) ( ) n m 1 m 1 1 1 1 2 ( ) π m 0 m!(n m)! k 0 k 1 k 0 k 1 0.5772 为欧拉常数． 其中，
故 x 0为 p( x), q( x) 的奇点
数学物理方法
x 2 y xy ( x 2 2 ) y 0
0 xb
下面应用奇点邻域的幂级数解法：贝塞尔方程的求 解．设方程的一个特解具有下列幂级数形式：
y x Ck x k Ck x k
k 0 k 0
(1) x J v ( x) n ! ( v n 1) 2 n 0
n
2 n v
讨论： (1)当 不为整数时，例如 J ( x) 为分数阶贝塞尔函数：
J ( x), J ( x),
1 2 1 2
等, 当 x 0 时，
2n
x J ( x) 2
可证明， Nv ( x) 是贝塞尔函数方程的解，
Neumann 函数曲线
数学物理方法
cos( π)J ( x) J ( x) N ( x) sin( π) 是一个特解，它既满足贝塞尔方程，又与J n ( x) 线性无关．
这样我们可以得到
我们定义第二类贝塞尔函数（又称为诺依曼函数）为
l 从零开始，故
x n J n ( x) ( ) (1) n l 2 l 0
x 2l 2 n x 2l n ( ) ( ) 2 (1) n ( 1)l 2 (n l )!l ! (n l )!l ! l 0
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分布为已知， 求圆盘内的瞬时温度分布规律。
我们用u(x, y,t)来表示时刻 t 圆盘上点 (x, y)
处的温度函数。
2020/4/25
3
这个问题归结为求解下列定解问题：
ut a2 (uxx uyy ) (x2 y2 R2),
(1)
u |x2 y2 R2 0,
(2)
u |t0 (x, y).
由于温度函数 u(x, y,t)是单值的，所以V (x, y)也必
是单值函数，即 V (r, ) V (r, 2 ),
G( ) G( 2 ),
求解常微分方程的边值问题
G G 0, G( ) G( 2 ),
可得
n2 (n 0,1, 2, )
G0 ( )
1 2
a0
Gn ( ) an cos n bn sin n. (n 1, 2, )
F(r) F
x
y(x),
则
Fr yx , Frr ( yxx ) yxx ,
将上式代入方程(11)可得
x 2 y xy (x 2 n2 ) y 0.
(12)
方程(12)是具有变系数的二阶线性常微分方程，
它的解称为贝塞尔函数。(有时称之为柱函数)。
2020/4/25
10
x 2 y xy (x 2 n2 ) y 0.
F G 1 F G 1 FG FG 0,
r
r2
两端乘以 r 2 移项得
FG
G r 2 F rF r 2 F
,
G
F
于是有
G G 0,
(9)
r 2 F rF (r 2 )F 0. (10)
2020/4/25
7
G G 0,
(9)
r 2 F rF (r 2 )F 0. (10)
2020/4/25
2
5.1 贝塞尔方程及贝塞尔函数
一、贝塞尔方程的导出
在应用分离变量法解决圆形膜的振动问题或 薄圆盘上瞬时温度分布规律时，我们就会遇到
贝塞尔方程。下面，我们以圆盘的瞬时温度分 布为例来导出贝塞尔方程。
设有半径为 R 的圆形薄盘，上下两面绝热，
圆盘边界上的温度始终保持0度，且初始温度
5
ut a2 (uxx uyy ) (x2 y2 R2),
(1)
u |x2 y2 R2 0,
(2)
u |t0 (x, y).
(3)
为了求解方程(5)满足条件(6)的非零解，
Vxx Vyy V 0,
(5)
V |x2 y2 R2 0.
(6)
我们采用平面上的极坐标系，则得定解问题
k 0
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11
x 2 y xy (x 2 n2 ) y 0.
(12)
y(x) ak x sk
(a0 0),
(13)
k 0
y ak (s k )x sk1, y ak (s k 1)(s k)x sk2
k 0
k 0
可得
ak (s k 1)(s k)x sk ak (s k )x sk
F(R) 0.
另外，由于圆盘上的温度是有限的，特别在圆心 处也应如此，由此可得
| F(0) | ,
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9
因此，原定解问题的最后解决就归结为求问题
r 2 F rF (r 2 n2 )F 0,
(11)
F(R) 0 | F(0) | ,
的固有值与固有函数。
若令 x
r, 并记
2020/4/25
1
第五章 贝塞尔函数
在应用分离变量法解其他偏微分方程的定解问 题时，也会导出其他形式的常微分方程边值问题， 从而引出各种各样坐标函数系。这些坐标函数系就 是人们常说的特殊函数。
本章，我们将通过在柱坐标系中对定解问题进 行分离变量，导出贝塞尔方程；然后讨论这个方程 的解法及解的有关性质；最后再来介绍贝塞尔函数 在解决数学物理中有关定解问题的一些应用。
附录： 函数的基本知识
(1) 定义
(x) ett x1dt (x 0), 0
(1) 1, (1) .
2
(2) 函数的递推公式
(x) 1 (x 1) x
特别的，当 x 为正整数 n 时，有
(n 1) n(n) n(n 1)(n 1) n!(1) n!.
(3) 当 n 0, 1, 2, 时 1 0. (n)
u |t0 (x, y).
于是有
亥姆霍兹 方程
方程(4)的解为
T a2T 0, Vxx Vyy V 0.
T (t) Aea2t .
由边界条件(2)有
V |x2 y2 R2 T (t) 0,
2020/4/25
V |x2 y2 R2 0.
(1) (2) (3) (4) (5)
(6)
(12)
二、贝塞尔函数
由微分方程解的理论知：方程(12)有如下形式
的广义幂级数解：
y(x) ak x sk
(a0 0),
(13)
k 0
其中 s 为常数，下面来确定 s, ak (k 0,1, 2, ).
为此，将(13)以及
y ak (s k )x sk1,
k 0
带入方程(12)
y ak (s k 1)(s k )x sk2
2V 1 V 1 2V V 0 (0 r R), (7)
r 2 r r r 2 2
V |rR 0.
(8)
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6
2V 1 V 1 2V V 0 (0 r R), (7)
r 2 r r r 2 2
V |rR 0.
(8)
再令 V (r, ) F(r)G( ), 代入方程(7)得
(3)
应用分, y)T (t), 代入方程(1)得
VT a2 (Vxx Vyy )T,
用 1 乘之，得
a 2VT
T a 2T
Vxx Vyy V
( 0),
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4
ut a2 (uxx uyy ) (x2 y2 R2), u |x2 y2 R2 0,
2020/4/25
8
G G 0,
(9)
r 2 F rF (r 2 )F 0. (10)
将 n2代入方程(10)得
r 2 F rF (r 2 n2 )F 0,
(11)
该方程叫做 n 阶贝塞尔方程。
由边界条件(8) V |rR 0 可知 V (R, ) F (R)G( ) 0,
k 0
k 0
n 2 ak x sk ak x sk2 0,