中考专题1——立体图形中的最短路径问题

第8讲 立体图形上的最短路径问题一、方法技巧解决立体图形上最短路径问题：1.基本思路：立体图形平面化，即化“曲”为“直”2.“平面化”的基本方法：（1）通过平移来转化例如：求A 、B 两点的最短距离，可通过平移，将楼梯“拉直”即可（2）通过旋转来转化例如：求'A C 、两点的最短距离，可将长方体表面展开，利用勾股定理即可求例如：求小蚂蚁在圆锥底面上点A 处绕圆锥一周回到A 点的最短距离 可将圆锥侧面展开，根据“两点之间，线段最短”即可得解（3）通过轴对称来转化例如：求圆柱形杯子外侧点B到内侧点A的最短距离，可将杯子（圆柱）侧面展开，作点A关于杯口的对称点'A，根据“两点之间，线段最短”可知'A B即为最短距离3.储备知识点：（1）两点之间，线段最短（2）勾股定理4.解题关键：准确画出立体图形的平面展开图二、应用举例类型一通过平移来转化【例题1】如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想要到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？【答案】13cm【解析】试题分析：只需将其展开便可直观得出解题思路，将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B 点到A 点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案.试题解析：解：展开图如图所示，13AB cm ==所以，蚂蚁爬行的最短路线是13cm类型二 通过旋转来转化【例题2】如下图，正四棱柱的底面边长为5cm ，侧棱长为8cm ，一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的A 点沿棱柱侧面到点C’处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是多少？【答案】cm 412【解析】试题分析：解这类题应将立体图形展开，转化为平面图形，把空间两点的距离转化为平面上两点间的距离，利用“同一平面内两点间的最短路线是连接这两点的线段”进行计算.试题解析：解：如图1，设蚂蚁爬行的路径是AEC’（在面ADD’A’上爬行是一样的）.将四棱柱剪开铺平使矩形AA’B’B 与BB’C’C 相连，连接AC’，使E 点在AC’上（如图2）)(412810')('2222cm CC BC AB AC =+=++= 所以这只蚂蚁爬行的最短路径长为cm 412【难度】一般【例题3】如下图所示，圆柱形玻璃容器高18cm ，底面周长为60cm ，在外侧距下底1cm 的点S 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm 的点F 处有一苍蝇，试求蜘蛛捕获苍蝇充饥所走的最短路线的长度.【答案】34cm【解析】试题分析：展开后连接SF ，求出SF 的长就是捕获苍蝇的最短路径，过点S 作SE CD ⊥于E ，求出SE 、EF ，根据勾股定理求出SF 即可.试题解析：解：如下图所示，把圆柱的半侧面展开成矩形，点S ，F 各自所在的母线为矩形的一组对边上下底面圆的半周长为矩形的另一组对边.该矩形上的线段SF 即为所求的最短路线. 过点S 作点F 所在母线的垂线，得到SEF Rt ∆.34SF cm ==【难度】较易【例题4】（2015·红河期末）如下图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6m 的正三角形ABC ，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是__________m （结果不取近似值）【答案】【解析】试题分析：求小猫经过的最短距离，首先应将其侧面展开，将问题转化为平面上两点间的距离的问题，根据展开图中扇形的弧长与圆锥底面周长相等可求展开图的扇形圆心角度数，故可得出展开图中90BAP ∠=︒，即可用勾股定理求出小猫经过的最短距离BP 长.试题解析：解：作出圆锥侧面展开后的扇形图如下图，设该扇形的圆心角度数为n ， 由展开扇形圆弧长等于底面圆周长，可得180n AC BC ππ⋅=⋅， 再由6AC BC m ==，可得180n =︒， 故在展开的平面图形中，1180902BAC ∠=⨯︒=︒点B 到P 的最短距离为 )BP m ===【难度】一般类型三 通过轴对称来转化【例题5】桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口3厘米的A 处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B 处时，突然发现了蜜糖，问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在位置？【答案】15厘米【解析】试题分析：把圆柱展开，得到矩形形状，A B 、的最短距离就是线段'BA 的长，根据勾股定理解答即可 试题解析：解：如图所示，作A 点关于杯口的对称点'A则'15BA ==厘米【难度】较易三、实战演练类型一 通过平移来转化1．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm 、3dm 、2dm ．A 和B 是这个台阶上两个相对的端点，点A 处有一只蚂蚁，想到点B 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B 的最短路程为 dm ．【答案】25dm【解析】试题分析：先将图形平面展开，再根据勾股定理进行解答试题解析：解：如图，三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm ，宽为（2+3）×3dm ，则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长．设蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程为xdm ，由勾股定理可得x 2=202+[（2+3）×3]2，解得x =25．即蚂蚁沿着台阶面爬行到点B 的最短路程为25dm ．【难度】较易类型二 通过旋转来转化2.（2015·陕西）有一个圆柱形油罐，已知油罐周长是12m ，高AB 是5m ，要从点A 处开始绕油罐一周造梯子，正好到达A 点的正上方B 处，问梯子最短有多长？【答案】13m【解析】试题分析：把圆柱沿AB 侧面展开，连接AB ，再根据勾股定理得出结论试题解析：解：展开图如图所示，12AC m =，5BC m =13AB m ===【难度】较易3.有一个圆柱体，如图，高4cm ，底面半径5cm ，A 处有一小蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C 处蚂蚁爬行的最短距离 .)cm【解析】试题分析：圆柱展开就是一个长方形，根据两点之间线段最短可求试题解析：解：∵4AB =，BC 为底面周长的一半，即5BC π=∴)AC cm ===【难度】较易4.葛藤是一种刁钻的植物，它的腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线总是沿最短路线-螺旋前进的，难道植物也懂得数学？ 阅读以上信息，解决下列问题：（1）如果树干的周长（即图中圆柱体的底面周长）为30cm ，绕一圈升高（即圆柱的高）40cm ,则它爬行一周的路程是多少？（2）如果树干的周长是80cm ,绕一圈爬行100cm ，它爬行10圈到达树顶，则树干高多少？【答案】（1）50cm ；（2）6m【解析】试题分析：（1）如下图，将圆柱展开，可知底面圆周长，即为AC 的长，圆柱的高即为BC 的长，求出AB 的长即为葛藤树的最短路程（2）先根据勾股定理求出绕行1圈的高度，再求出绕行10圈的高度，即为树干高 试题解析：解：（1）如图，O 的周长为30cm ，即AC =30cm高是40cm ，则BC =40cm ，由勾股定理得50AB cm ==故爬行一周的路程是50cm（2）O 的周长为80cm ，即AC =80cm绕一圈爬行100cm ，则AB=100cm ，高BC =60cm∴树干高=60×10=600cm =6m故树干高6m【难度】一般5．（2015·江阴市）如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从盒外的B 点沿正方形的表面爬到盒内的M 点，蚂蚁爬行的最短距离是 （ ）A B C ．1 D ．2+【答案】B【解析】试题分析：根据已知得出蚂蚁从盒外的B点沿正方形的表面爬到盒内的M点，蚂蚁爬行的最短距离是如图BM的长度，进而利用勾股定理求出试题解析：解：∵蚂蚁从盒外的B点沿正方体的表面爬到盒内的M点∴蚂蚁爬行的最短距离是如图BM的长度∵无盖的正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M∴1224A B=+=11A M=∴BM=故选：B【难度】较易6.已知O为圆锥顶点，OA、OB为圆锥的母线，C为OB中点，一只小蚂蚁从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A，另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B，它们所爬行的最短路线的痕迹如右图所示，若沿OA剪开，则得到的圆锥侧面展开图为（）【答案】C【解析】试题分析：要求小蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，再利用做对称点作出另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B ，它们所爬行的最短路线. 试题解析：解：∵C 为OB 中点，一只小蚂蚁从点C 开始沿圆锥侧面爬行到点A∴侧面展开图BO 为扇形对称轴，连接AC 即是最短路线∵另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B ，作出C 关于OA 的对称点，再利用扇形对称性得出关于BO 的另一对称点，连接即可.故选C【难度】一般7．（2014·枣庄）图①所示的正方体木块棱长为6cm ，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A 爬行到顶点B 的最短距离为 cm ．【答案】(cm【解析】试题分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将图②的几何体表面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果试题解析：解：如答图，易知△BCD 是等腰直角三角形，△ACD 是等边三角形，在Rt △BCD 中，CD ==，∴12BE CD ==，在Rt △ACE 中，AE ==，∴从顶点A 爬行到顶点B 的最短距离为(cm【难度】一般8.一个圆锥的母线长为QA =8，底面圆的半径r =2，若一只小蚂蚁从A 点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A 点，则蚂蚁爬行的最短路线长是________（结果保留根式）【答案】【解析】解：设圆锥的展开图扇形’QAA 的中心角'AQA ∠的度数为n ，则 822180n ππ⨯⨯⨯=，解得：90n = 即'90AQA ∠=在'Rt AQA 中，根据勾股定理'AA =【难度】一般9.如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为2cm ，假若点B 有一只蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC 的中点P 处的食物，那么它爬行的最短路程是多少？【答案】【解析】试题分析：根据圆锥的主视图是等边三角形可知，展开图是半径是4的半圆，点B 是半圆的一个端点，而点P 是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点B 和P 在展开图中的距离，就是这只蚂蚁爬行的最短距离试题解析：解：设圆锥的展开图的圆心角为n ， 则422180n ππ⨯⨯⨯=， 解得：180n =︒ 即'180CAC ∠=︒在展开图中，'BA CC ⊥，4BA =，2AP =由勾股定理得，BP =点评：本题主要考查了圆锥的侧面展开图的计算，正确判断蚂蚁爬行的路线，把曲面的问题化为平面的问题是解题的关键【难度】较难10.（1）如图○1，一个无盖的长方体盒子的棱长分别为3BC cm =，4AB cm =，15AA cm =，盒子的内部顶点1C 处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A 处有一只昆虫乙（盒壁的厚度忽略不计）假设昆虫甲在顶点1C 处静止不动，请计算A 处的昆虫乙沿盒子内壁爬行到昆虫甲1C 处的最短路程，并画出其最短路径，简要说明画法（2）如果（1）问中的长方体的棱长分别为6AB BC cm ==，114AA cm =，如图○2，假 设昆虫甲从盒内顶点1C 以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱1C C 向下爬行，同时昆虫乙从 盒内顶点A 以3厘米/秒的速度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕 捉到昆虫甲？【答案】（1）1A E C →→就是最短路径 （2）5秒【解析】解：（1）如图二，将上表面展开，使上表面与前表面在同一平面内，即11A A D 、、三点共线，111538AA A D +=+= 114D C =根据勾股定理得1AC =如图三，将右侧面展开，使右侧面与下面在同一平面内，即1A B B 、、三点共线 1459AB BB +=+=，113B C =根据勾股定理得1AC =如图四，将右侧面展开，使右侧面与前表面在同一平面内，即A B C 、、三点共线. 437AB BC +=+=，15CC =根据勾股定理得1AC.在图四中，∵1ABE ACC ∽ ∴1BE AB CC AC= ∴457BE =，207BE =如图一，在1BB 上取一点E ，使207BE =，连接AE ，1EC ，1A E C →→就是最短路径 （2）如图五，设1C F x =，则3AF x =，5CF x =-在Rt ACF 中，根据勾股定理得222AF AC CF =+即：()()()22236614x x =++-解得：15x =，2172x =- ∵0x ＞∴5x =所以，昆虫至少需要5秒才能捉到昆虫甲.点评：在长方体中，经过它的表面，从一个顶点到另一个与它相对的顶点的最短距离是：在 长、宽、高中，以较短的两条边的和作为一条直角边，最长的边作为另一条直角边，斜边即 为最短路线长【难度】较难11．如图，A 是高为10cm 的圆柱底面圆上一点，一只蜗牛从A 点出发，沿30°角绕圆柱侧面爬行，当他爬到顶上时，他沿圆柱侧面爬行的最短距离是（ ）A. 10cmB. 20cmC. 30cmD. 40cm【答案】B试题分析：将圆柱侧面展开，连接AB ,根据三角函数求出AB 的长即可试题解析：解：根据题意得，10BC cm =，30BAC ∠=︒ ∴13010202A BC Sin cmB =÷︒=÷= 故选B ．【难度】一般12．如图，是一个长4m ，宽3m ，高2m 的有盖仓库，在其内壁的A 处（长的四等分）有一只壁虎，B 处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（ ）A ．4.8B ．5 D【答案】C【解析】有两种展开方法：①长方体展开成如图所示，连接A B 、，②将长方体展开成如图所示，连接A B 、【难度】较易13．（2015-2016·内蒙古包头）如图，长方体的长为15 cm，宽为10 cm，高为20 cm，点B 距离C点5 cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是cm．【答案】25【解析】试题分析：要求正方体中两点之间的最短路径，最直接的作法就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答.试题解析：解：如图：（1（2（3所以需要爬行的最短距离是25．【难度】较难14．已知：如图，一个玻璃材质的长方体，其中6,4,8===BF BC AB ，在顶点E 处有一块爆米花残渣，一只蚂蚁从侧面BCSF 的中心沿长方体表面爬行到点E ．则此蚂蚁爬行的最短距离为 ．【解析】试题分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需要将立体图形转化为平面图形，将E 、O （设面BCSF 的中心为点O ）所在的两个面展开，但展开图并非只有一种，而是两种，需要利用“两点之间，线段最短”，来一一求出线段EO 的长度，然后比较两种情况的结果，找出最短路径 试题解析：解：设面BCSF 的中心为点O ，根据题意，最短路径有下列两种情况：○1如图1，沿SF 把长方体的侧面展开，蚂蚁爬行的最短距离==○2如图2，沿BF 把长方体的侧面展开，蚂蚁爬行的最短距离==∵【难度】较难15．如图，圆柱形容器中，高为1.2m ，底面周长为1m ，在容器内壁．．离容器底部0.3m 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁．．，离容器上沿0.3m 与蚊子相对．．的点A 处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m （容器厚度忽略不计）.【答案】1.3m【解析】试题分析：将容器侧面展开，建立A 关于EF 的对称点A’，根据两点之间线段最短可知A ’B 的长度即为所求试题解析：解：要求壁虎捉蚊子的最短距离，实际上是求在EC 上找一点P ，使P A+PB 最短， 过点A 作EC 的对称点A ’，连结A ’B ，则A ’B 与EF 的交点P 就是所求的点P因为两点之间，线段最短，A’B 的长即为壁虎捕捉蚊子的最短距离∵底面周长为1m∴'0.5A D m =， 1.2BD m =' 1.3A B m =【难度】一般类型三 通过轴对称来转化16.一只蚂蚁欲从圆柱形桶外的A 点爬到桶内的B 点处寻找食物，已知点A 到桶口的距离AC 为12cm ,点B 到桶口的距离BD 为8cm ，CD 的长为15cm ，那么蚂蚁爬行的最短路程是多少？【答案】25cm【解析】试题分析：如图，作点B 关于CD 的对称点B’，连结AB ’， 交CD 于点P ，连结PB ，则最短路线应该 是沿AP 、PB ’ 即可试题解析：解：如下图所示，作点B 关于CD 的对称点'B ，连结'AB ，交CD 于点P ，则蚂蚁的爬 行路线'A P B →→ 为最短，且'AP PB AP PB +=+在'Rt AEB 中，15AE CD ==，''=12820EB ED DB AC BD =++=+=由勾股定理知 '25AB =所以，蚂蚁爬行的最短路程是25cm【难度】一般。

中考压轴题（4）最短路径问题1【典型例题】1．如图，点A、B分别在直线m的上方．（1）在直线m上找到点P，使得AP BP+最短．（要求：保留作图痕迹，不要求写作法）（2）在（1）的条件下，若点A、B到直线m的距离分别为3.5cm、8.5cm，且点B在点A的东北方向，则AP BP+的最短距离为______cm．2．如图，在45⨯的网格中，最小正方形的边长为1，A，B，C，D均为格点（最小正方形的顶点）．（1）如图1，在网格中画出一个以AB为一边且与△ABC全等的格点三角形，△ABC的面积为．（2）如图2，在线段AB上画出一点P，使CP PD+最小，其最小值为__________．知识点思想方法步骤其他【对应练习】3．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图）（1）画出格点△ABC顶点均在格点上关于直线DE对称的111CBA∆；（2）在DE上画出点P，使1PB PC+最小；（3）在DE上画出点Q，使1QB QC-最大4．如图，在旷野上，一个人骑着马从A地到B地，半路上他必须让马先到河岸l的P点去饮水，然后再让马到河岸m的Q点再次饮水，最后到达B点，他应该如何选择马饮水地点P、Q，才能使所走路程AP PQ QB++最短？（假设河岸l、m为直线）5．在桌面上放了一个正方体盒子，如图，一只蚂蚁在顶点A处，它要爬到顶点B处找食物，你能帮助蚂蚁设计一条最短的爬行路线吗？要是爬到顶点C呢？6．有一根底面周长为30cm，高2米的圆柱形枯木，一条长藤自根部缠绕向上，缠了五周刚好到达顶部，这条长藤最短有多长？7．一只蚂蚁从长为4cm、宽为3 cm，高是12 cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是多少？8．已知点P在∠MON内．（1）如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP.①若∠MON=50°，则∠GOH=______°；②若OP=5，连接GH，请说明当∠MON 为°时，GH=10；（2）如图2，若∠MON=60°，A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当△PAB的周长最小时，求∠APB的度数．9．（源模：模型建立）白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．——《古从军行》唐李欣诗中隐含着一个有趣的数学问题，我们称之为“将军饮马”问题．关键是利用轴对称变换，把直线同侧两点的折线问题转化为直线两侧的线段问题，从而解决距高和最短的一类问题．“将军饮马”问题的数学模型如图所示：（新模1：模型应用）如图1，正方形ABCD的边长为3，点E在边AB上，且1BE=，F为对角线AC上一动点，欲使BFE△周长最小．（1）在图中确定点F的位置（要有必要的画图痕迹，不用写画法）；（2）BFE△周长的最小值为______．（新模2：模型变式）（3）如图2，在矩形ABCD中，5AB=，4=AD，在矩形ABCD内部有一动点P，满足14PAB ABCDS S=矩形△，则点P到A，B两点的距离和PA PB+的最小值为．（超模：模型拓广）（4）如图3，90ABD BDE∠=∠=︒，2AB=，3BD DE==．请构造合理的数学模型，并借助模()22439x x+-+()0x>的最小值．。

128教育版■文/师：3cm 处吃食物，生：方体：是利用转化思想，转化成平面问题；2.方法：（1）展开；（2）运用两点之间线段最短找到最短路径；（3）运用勾股定理解决问题；3.思想：转化思想；建模思想；分类讨论思想。

三、结尾：举一反三，过关训练。

四、教学反思：本节微课是学生通过自主学习，以获得解决问题经验和培养实践能力的课程。

它可以弥补数学学科实践能力的不足，加强实践环节，重视数学思维的训练，促进学生兴趣、个性、特长等自主和谐的发展，从而全面提高学生的数学素质。

（单位：临江市宝山中学）知识点描述：《数鸭子》是一首颇具说唱风格、形象生动、活泼有趣的童谣歌曲。

歌词描述了小朋友看到鸭群游过大桥、兴奋地数鸭子的情景。

歌曲前后皆有数板，说唱结合，表现出儿童活泼可爱的天性，童趣盎然。

教学目标：1.知识：在歌曲学唱过程中，认识四分休止符，并能准确地运用；2.过程：能随音乐用轻巧活泼的声音表情演唱《数鸭子》，能积极主动、自信有表情地参与表演，从中感受乐趣；3.情感：通过歌曲《数鸭子》的教学，让学生与同伴之间友好相处，保护小动物。

适用对象：小学一年级学生。

设计思路：我本着推行教学民主的理念，从主宰变为主导，发挥学生主体作用，形成良好的合作关系。

从全面提高学生素质出发，为学生创造良好的教学氛围。

在教学方法上变繁为简，变被动为主动，做到既能促进学生智能最大限度地发展，又不加重学生负担，特别在情感上使学生的学习积极性得到激发，让每个学生享受到成功的快乐。

教学过程：一、片头（30秒以内） 大家好，我是吉林省临江市宝山中学教师吴宛姗，我带来的课程是人民音乐出版社出版，义务教育教科书音乐，一年级下册第三课手拉手，歌曲《数鸭子》。

17秒。

二、正文讲解 （8分钟左右）（一）发声练习：12345 555 小鸡怎样叫叽叽叽，小鸭怎样叫嘎嘎嘎，小猫怎样叫喵喵喵。

9分钟；（二）新课讲授：1.出示课题，欣赏歌曲播放《数鸭子》，感受音乐节奏和情绪。

word专业资料-可复制编辑-欢迎下载A B C DABABL A BCDDO CP中考专题复习——路径最短问题一、具体内容包括：蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题；线段（之和）最短问题；二、原理：两点之间，线段最短；垂线段最短。

（构建“对称模型”实现转化）三、例题：例1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A沿木块侧面爬到点B处，则它爬行的最短路径是。

②如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是。

例2、①如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。

②如图，直线L同侧有两点A、B，已知A、B到直线L的垂直距离分别为1和3，两点的水平距离为3，要在直线L上找一个点P，使PA+PB的和最小。

请在图中找出点P的位置，并计算PA+PB的最小值。

③要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km和3Km，张村与李庄的水平距离为3Km，则所用水管最短长度为。

四、练习题（巩固提高）（一）1、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是。

2、现要在如图所示的圆柱体侧面A点与B点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm，底面圆周长为16cm，则所缠金丝带长度的最小值为。

3、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A点爬到点B处吃到食物，知圆柱体的高为5 cm，底面圆的周长为24cm，则蚂蚁爬行的最短路径为。

4、正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN第2题张村李庄张村李庄AABB第1题第3题图(2)EBDACP＋MN 的最小值为 。

第4题 第5题 第6题 第7题 5、在菱形ABCD 中，AB=2， ∠BAD=60°，点E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值为 。

立体图形中的最短线问题立体图形中的最短线问题，大都直接来源于生活．这类问题集知识性、实践性和趣味性于一“题”，因而倍受中考命题者的青睐．在近几年考题中频频出现，现选取几例分析如下，供同学们参考．一、长方体上的最最短线问题例１：如图1是一个长8m 、宽6m 、高5m 的仓库，在其内壁的A （长的四等份点）处有一只壁虎，B （宽的三等份点）处有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处的最短距离为 m ．分析与解：壁虎从A 处爬到B 处，所有可能最短路径有三种：①→③；②→③；①→④．（1）从①→③，展开使A 、B 两点同在一个平面内，如图2—①所示，由题意知AC =10m ，BC =5m ．由勾股定理222BC AC AB +=，得5551022=+=AB （m ）； （2）从②→③，展开使A 、B 两点同在一个平面内，如图2—②所示，由题意知AC =11m ，BC =4m ．由勾股定理222BC AC AB +=，得13741122=+=AB （m ）； （3）从①→④，展开使A 、B 两点同在一个平面内，如图2—③所示，由题意知AC =6m ，BC =9 m ．由勾股定理222BC AC AB +=，得1339622=+=AB （m ）．综合上述（1）、（2）、（3）可得，壁虎爬到蚊子处的最短距离为133 m ．B图2—② A C图1—③二、正方体上的最短线问题例２：如图2，一个无盖的正方体盒子的棱长为10cm ，顶点C 1处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A 处有一只昆虫乙．（盒壁的厚度忽略不计） 1（1）假设昆虫甲在顶点C 1处静止不动，如图3，在盒 子的内部我们先取棱BB 1中点E ，再连结AE 、E C 1，昆虫 乙如果沿路径A →E →C 1爬行，那么可以在最短的时间内捕 捉到昆虫甲．仔细体会其中的道理，并在图3中画出另一条 路径，使昆虫乙从顶点A 沿这条路径爬行，同样可以在最短 AB 的时间内捕捉到昆虫甲；（2）假设昆虫甲从顶点C 1以1 cm∕s 的速度在盒子的 图2内部沿棱C 1C 向下爬行，同时昆虫乙从顶点A 以2 cm∕s 的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多少时间才能捕捉到昆虫甲？（精确到1s ）解：（1）可取DD 1中点E 1，DC 中点E 2，BC 中点E 3，将这些中点与A 和C 1相连，则A →E i →C 1（i=1，2，3）均为所求的路径，见图3．（2）所有可能费时最短的路径有如图四种：可以看出，图3—①与图3—②中的路径相等，图3—③与图3—④中的路径相等． 1F F图3—① 图3—②D 1 C 1F D C F C 1D CA B B 1A B图3—③ 图3—④设昆虫甲从顶点C 1沿棱C 1C 向F 爬行的同时，昆虫乙从顶点A 按路径A →E 1→F 爬行捕捉到昆虫甲需x s ．如图3—①，在RtΔACF 中，22220)10()2(+-=x x ，解得x =10；设昆虫甲从顶点C 1沿棱C 1C 向顶点C 爬行的同时，昆虫乙从顶点A 按路径A →E 2→F 爬行捕捉到昆虫甲需y s ．如图3—③，在RtΔABF 中，22210)20()2(+-=x y ，解得8≈y ．∴昆虫乙顶点A 爬行捕捉到昆虫甲需8 s ．四、圆柱体上的最短线问题例4：如图4，一个蚂蚁要从树干（看做圆柱）底面的A 点沿表面爬到与A 点相对的B 点，已知从A 点到B 点升高了3米，树干底面的半径为1.27米，这只蚂蚁爬行的最短路程是（精确到1米，π取3.14） （ ）A ．4米B ．5米C ．6米D ． 6.5 米A A 图4—①分析与解：圆柱的侧面展开图为矩形，如图4—①所示．连结AB ，则A 、B 两点之间的最短距离就是A B 的长．由题意知BC =3米，AC =1.27π米，由勾股定理222BC AC AB +=，得53)271(22≈+=⋅πAB 米．故选B ．五、圆锥体上的最短线问题例5：如图5，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6米．的正三角形A BC ，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路线是 米．（结果不取近似值）APC B图5 图5—①分析与解：圆锥的侧面展开图为扇形，如图5—①所示．连结B P ，则B 、P 两点之间的最短距离就是BP 的长．由已知条件可得圆锥的侧面积为18π米2，∴2618360n π⨯=π，解得n =180º，则∠BAP =90º，又AB =6米，AP =3米，由勾股定理得53=BP 米．从以上几例可以看出，解决立体图形中的最短线问题的主要思想是：把立体图形平面化；具体方法是：把立体图形的侧面展开，根据“两点之间线段最短”，利用勾股定理，直接求出平面上两点之间的距离．。

立体图形最短距离问题1.在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在C 处，恰好一只在A 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从圆柱侧面从A 处爬向B 处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？2.在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在C 处，恰好一只在A 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从圆柱侧面从A 处爬向C 处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？3.有一圆形油罐底面圆的周长为16m，高为7m，一只蚂蚁从距底面1m 的A 处爬行到对角B 处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？4.圆柱形玻璃杯,高为12cm,底面圆的周长为18cm,在杯子内壁离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，距离杯子上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为多少?C A ABBAB A CACA5.如图，在棱长为10厘米的正方体的一个顶点A 处有一只蚂蚁，现要向顶点B 处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1厘米/秒，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20秒内从A 爬到B？6.已知长方体的长为AC=2cm，宽BC=1cm，高AA′=4．一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A 点爬到B′点，那么沿哪条路最近？最短路程是多少？7..如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短路程是多少？8.有一个如图示的长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长AD=80cm，高AB=60cm，水深为AE=40cm，在水面上紧贴内壁G 处有一鱼饵，G 在水面线EF 上，且EG=60cm；一小虫想从鱼缸外的A 点沿壁爬进鱼缸内G 处吃鱼饵．（1）小动物应该走怎样的路线才使爬的路线最短呢？请你在图中画出它爬行的路线，并用箭头标注．（2）求小动物爬行的最短路线长？AB。

专题训练(一) 三种立体图形中的最短路径问题求立体图形中的最短路径问题最常见的三种类型是圆柱中的最短路径、棱柱中的最短路径和台阶中的最短路径，主要的解题思路是“化曲为平”．► 类型一 圆柱中的最短路径1．如图1－ZT －1，一圆柱高8 cm ，底面半径为2 cm ，一只蚂蚁从下底面点A 爬到上底面相对的点B 处吃食，要爬行的最短路程(π取3)约是( )A ．20 cmB ．10 cmC ．14 cmD ．无法确定1－ZT －12．如图1－ZT －2，为了庆祝五一劳动节，学校准备在教学大厅的圆柱形柱子上贴彩带，已知柱子的底面圆周长为1 m ，高为3 m ．如果要求彩带从柱子底端的A 处绕柱子4圈后到达柱子顶端的B 处(线段AB 与地面垂直)，那么应购买彩带的长至少为( )1－ZT －2 A ．2 mB ．3 mC ．4 mD ．5 m3．如图1－ZT －3，有一个圆柱，底面直径AB ＝16π cm ，高BC ＝12 cm ，P 为BC 的中点，求蚂蚁从点A 爬到点P 的最短路程．图1－ZT－3►类型二棱柱中的最短路径4．如图1－ZT－4，一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的点A沿纸箱外表面爬到点B，那么它爬行的最短路线的长是()A．3 B．6 C．10 D．121－ZT－45．某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜(如图1－ZT－5)．在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点A′镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为8 cm，底面边长为2 cm，则这圈金属丝的长度至少为()1－ZT－5A．8 cm B．10 cm C．12 cm D．15 cm6．如图1－ZT－6，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从点A爬到点B，则它走过的最短路程的平方为________．1－ZT－67．如图1－ZT－7，棱柱的底面是边长为8 cm的正方形，侧面都是长为16 cm的长方形，D是BC的中点，在棱柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点D处的食物，需要爬行的最短路程是________．1－ZT－7►类型三台阶中的最短路径8．如图1－ZT－8是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20 dm，3 dm，2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶表面爬到B点的最短路程是多少？1－ZT－8教师详解详析1．[解析] B 如图所示，可以把A 和B 展开到一个平面内，即圆柱的半个侧面是长方形，长方形的宽BC ＝2π≈6 (cm)，长方形的长AC ＝8 cm.在直角三角形ABC 中，AC ＝8 cm ，BC ≈6 cm ，根据勾股定理得AB ≈62＋82＝100，所以AB ≈10 cm.故选B.2．[解析] D 将圆柱表面切开展开呈长方形，则螺旋线长等于四个长方形并排后的长方形的对角线长，如图．因为圆柱高3 m ，底面圆周长为1 m ，(1×4)2＋32＝16＋9＝25，所以彩带长至少是5 m.故选D.3．解：将圆柱侧面沿母线展开，如图．因为圆柱底面直径AB ＝16π cm ，高BC ＝12 cm ，P 为BC 的中点，所以展开图中AB ＝12×π×16π＝8(cm)，BP ＝6 cm.在Rt △ABP 中， AP 2＝AB 2＋PB 2＝100， 所以AP ＝10 cm.所以蚂蚁从点A 爬到点P 的最短路程为10 cm.4．C5．B6．5a27．20 cm8．解：如图是三级台阶上表面展开图，长为20 dm，宽为[(2＋3)×3]dm，则蚂蚁沿台阶表面爬行到B点的最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶表面爬行到B点的最短路程为x dm，由勾股定理得x2＝202＋[(2＋3)×3]2＝252，解得x＝25.故蚂蚁沿着台阶表面爬到B点的最短路程是25 dm.。