高中物理竞赛辅导讲义 动量

1. 学习动量冲量的概念，动量定理的推导与应用2. 学习连续体与瞬时过程中使用动量定理的方法动量这一章无论在高考，竞赛，自主招生中都是典型的出压轴题的章节，学习难度大，高考主要考一维的动量定理与守恒，而自主招生与竞赛主要考察二维的动量定理与守恒，相对而言更强调熟练运用矢量分解原理的数学能力。

知识点睛一．概念引入1．动量⑴ 定义：运动物体的质量和速度的乘积叫做动量，p mv =.⑵ 动量表征物体的运动状态，是矢量，其方向与速度的方向相同，两个物体的动量相同必须是大小相等、方向相同．2.动量的变化量①0t p p p ∆=-.②动量的变化量是矢量，其方向与速度变化的方向相同，与合外力冲量的方向相同，跟动量的方向无关．③求动量变化量的方法：021t p p p mv mv ∆=-=-，p Ft ∆=3.冲量⑴ 定义：力和力的作用时间的乘积，叫做该力的冲量，I Ft =.⑵ 冲量表示力在一段时间内的累积作用效果，是矢量，其方向由力的方向决定，如果在作用时间内力的方向不变，冲量的方向就和力的方向相同．⑶ 求冲量的方法：I Ft =（适用于求恒力的冲量）；I p =∆（适用于恒力和变力）.二．动量定理内容：物体所受合外力的冲量，等于这个物体动量的变化量.(')I Ft p p m v v '==-=-合三．知识理解1．动量变化p ∆：不指动量大小的变化，仍然必须用矢量计算，这个量是衡量动量大小方向总变化的一个物理量，大部分时候我们会把复杂的动量变化分解到几个独立的方向上进行计算。

2.动量定理可以认为是牛顿第二定律的过程式。

3.相互作用力的冲量等大反向。

4.对一个整体，内力总冲量为零。

本讲导学 第7讲动量 动量定理例题精讲【例1】 一个质量为m 的小球，从高度为H 的地方自由落下，与水平地面碰撞后向上弹起，设碰撞时间为定值t ，则在碰撞过程中，下列关于小球对地面的平均冲击力与球弹起的高度h 的关系中正确的是（设冲击力远大于重力）（ ）．A ．h 越大，平均冲击力越大B ．h 越小，平均冲击力越大C ．平均冲击力大小与h 无关D ．若h 一定，平均冲击力与小球质量成正比【例2】 如图，铁块压着一纸条放在水平桌面上，当以速度v 抽出纸条后，铁块掉在地上的P 点. 若以速度2v 抽出纸条，则铁块落地点为（ ）A. 仍在P 点B. P 点左边C. P 点右边不远处D. P 点右边原水平位移的两倍处【例3】 一个质量为2kg m =的物体，在18N F =的水平推力作用下，从静止开始沿水平面运动了15s t =，然后推力减小为25N F =，方向不变，物体又运动了24s t =后撤去外力，物体再经过36s t =停下来．试求物体在水平面上所受的摩擦力．【例4】 有一宇宙飞船以10km/s v =的速度在太空中飞行，突然进入一密度为7310kg/m ρ-=的微陨石尘区，假设微陨石尘与飞船碰撞后即附着在飞船上．欲使飞船保持原速度不变，试求飞船的助推器的助推力应增大多少？（已知飞船的正横截面积22m S =）【例5】 某种气体分子束由质量265.410kg m -=⨯速度460m/s v =的分子组成，各分子都向同一方向运动，垂直地打在某平面上后又以原速率反向弹回，如分子束中每立方米的体积内有200 1.510n =⨯个分子，求被分子束撞击的平面所受到的压强．复杂过程动量变化：【例6】 如图，A 、B 两小物体被平行于斜面的轻细线相连，均静止于斜面上．以平行于斜面向上的恒力拉A ，使A 、B 同时由静止起以加速度a 沿斜面向上运动．经时间1t ，细线突然被拉断．再经时间2t ，B上滑到最高点．已知A 、B 的质量分别为1m 、2m ，细线断后拉A 的恒力不变，求B 到达最高点时A 的速度．【例7】如图所示，A、B两个物体位于水平地面上，它们与地面间的动摩擦因数均为 ＝0.10。

第四章 能量和动量1、功 W=FScos θ=2、功率 P=dW/dt=FVcos θ3、动能4、重力势能5、引力势能6、弹性势能7、机械能8、动能定理 K E W ∆=9、势能定理10、机械能定理 它11、机械能守恒 0=∆E （只有重力做功）12、总能量守恒 0=∆总E13、冲量 I=Ft=14、动量 P=mV15、动量定理16、动量守恒 △P=0第一讲 功和动能定理一、功力的瞬时作用效果用加速度a 表示。

力对空间的积累效果用功W 表示。

力对时间的积累效果用冲量I 表示。

W= cos Fs θ变力做功的几种计算方法1、微元法。

将整个过程分为无穷小段，每一小段可以认为是恒力做功，然后再累积起来。

∑⎰=∆=ds F s F W θθcos cos利用F —s 图解释上面的积分公式。

例：F 和v 总是垂直的力，做的功为0。

如：向心力不做功，洛仑兹力不做功。

例：大小不变，且F 和v 总是同线的力，做的功绝对值等于力和路程之积。

如：摩擦力做的功。

2、图像法。

F S -图中，图线和s 轴围成的面积在数值上等于功。

3、效果法。

利用功能原理，从做功产生的效果上考虑。

例题：将立方体在地面上推翻需要做的功例题：半径为r 的半球形水池装满密度为ρ的水，问要将池内的水抽干至少要做多少功。

答案:441gr πρ 解：先求匀质半球的质心位置，在距圆心x 处，取微元dx ，设密度为ρ，球半径为r ，质心坐标为L例题：一帆船在静水中顺风飘行，风速为υ0，船速多大时，风供给船的功率最大。

（设帆面是完全弹性面，且与风向垂直） 答案:0/3υυ=解：设每个空气分子的质量为m ，单位体积内的分子数为n ，帆船的面积为S ， 对船参考系，风以（0()υυ-的速度撞击帆，并原速反弹00[()]2()Ft nm St υυυυ=--202()P F nSm υυυυ==-由上可知，υ取不同值，有不同的功率。

当0/3υυ=时，风供给船的功率最大。

物理竞赛辅导资料：动量和动量守恒高考对本章的考查每年约有题，有选择、填空、计算等题型，重点考查动量定理和动量守恒定律，是高考的“重中之重”，是高考的热点和难点。

特别在近年高考压轴题中，涉及本章知识的题目所占比例最高。

易与本章知识发生联系的知识有：能量守恒、带电粒子在电场和磁场中的运动、核反应等。

第一节 动量问题专题动量问题是指与动量有关的问题和用动量观点解决的问题。

其中，与动量有关的问题，本专题主要指动量定理和动量守恒定律。

用动量观点解决问题，即是指用动量定理和动量守恒定律解决的问题。

1.动量定理⑴动量定理内容：物体所受合外力的冲量等于它的动量变化。

⑵动量定理公式：12mv mv Ft -=∑，它为一矢量式，在一维情况时可变为代数式运算。

⑶动量定理的研究对象是质点。

它说明的是外力对时间的累积效应。

应用动量定理分析或解题时，只考虑物体的始、末状态的动量，而不必考虑中间的运动过程。

⑷应用动量定理的思路：a. 确定研究对象，进行受力分析；b. 确定初末状态的动量mv 1和mv 2(要先规定正方向，以便确定动量的正负，还要把v 1和v 2换成相对于同一惯性参照系的速度)；c. 利用12mv mv Ft -=∑列方程求解。

2.动量守恒定律⑴内容及表达式：a. 动量守恒定律内容：系统不受外力或所受外力的合力为零时，系统的总动量保持不变。

b. 动量守恒定律的公式：'2'121mv mv mv mv +=+⑵说明及注意事项：a.定律适用条件：① 系统不受外力或所受外力的合力为零时；② 系统内力远大于外力时（如碰撞、爆炸等）；③ 系统在某一方向上不受外力或所受外力的合力为零时（只在这一方向上动量守恒）b .注意表达式的矢量性：对一维情况，先选定某一方向为正方向，速度方向与正方向相同的速度取正，反之取负，把矢量运算简化为代数运算。

c .注意速度的相对性。

所有速度必须是相对同一惯性参照系。

d.注意同时性：表达式中v 1和v 2必须是相互作用前同一时刻的瞬时速度，v 1’和v 2’必须是相互作用后同一时刻的瞬时速度。

2021高中物理竞赛江苏省苏州高级中学竞赛讲义第二章动量、能量守恒第一次课：2学时1 题目：§动量定理§动量守恒定律目的：1〕掌握运动学描述的主要参量。

2〕由运动方程求解。

一、引入课题：守恒定律是指一定的物理系统在一定的条件下某种物理量的总量始终保持不变的规律，因而是物质世界的根本规律，它们服从相对性原理。

物理量的转移和转化同一物理量可能具有不同的形式，如能量有动能和势能；某些物理量可以转移，如动量由一个物体转移到另一个物体；不同形式的物理量可以发生转化，如动能和势能的相互转化；物理量守恒表现为在某过程中该物理量的各种形式的总和保持不变，如机械能守恒、动量守恒。

守恒定律的应用①应用守恒定律无需知道运动过程中状态变化和相互作用的细节，便可表述系统变化过程中一些普遍的特征和规律，如“永动机〞不可能制成。

②即使有关相互作用，守恒定律是简化、求解问题的有力工具。

一般在求解问题时，常常先应用相应的守恒定律，再去考虑应用别的定律和定理。

我们讨论动量、角动量和能量以及相应的守恒定律。

二、讲授新课：第二章动量守恒能量守恒§动量定理一、动量冲量力F〔t〕在dt时间内的元冲量定义为dI=F(t)dt物体间相互作用的过程总是要经历一端时间，冲量描述力相互作用的时间积累效果。

讨论：元冲量是矢量，它的方向与力F的方向相同单位：N·S设在时间(t2t1)内，有变力F作用在物体上，我们把力F对时间积分称为力的冲量。

用I表示v t2vI Fdtt1力为恒力时，冲量的方向与力的方向相同冲量的方向力为变力时，冲量的方向与力的方向不同2动量质点的动量质量为m，速度为v的质点，其动量p定义为P=mv因v是矢量，动量p是矢量，对质点而言动量的方向与速度的方向相同；因v 是相对量，动量p是相对量，在相对论中，m也是相对量。

质点系的动量由N个质点组成的系统，系统的动量p定义为该N个质点的动量的矢量和，即r p N r rp i m i v ii1 i质点系的动量p是矢量，对质点系而言速度的方向没有明确的物理意义，一般也不沿动量的方向。

高中物理竞赛辅导讲义第6篇 角动量【知识梳理】 1．力矩（1）力对轴的力矩 力矩=力×力臂（2）力对参考点的力矩 M r F =⨯从参考点指向力的作用点的矢量r 与作用力F 的矢积。

大小 sin M Fr α=；方向 由右手螺旋定则确定。

2．角动量为了描述质点相对某一参考点的运动，可仿照力矩的定义引入动量矩的概念。

从给定的参考点指向质点的矢量和质点动量的矢积称为质点对于参考点的的动量矩。

L r p =⨯，大小 sin L pr θ=，方向 由右手螺旋定则确定。

动量矩又称角动量。

角动量是矢量，方向由右手螺旋定则确定。

3．冲量矩仿照力对时间的积累效应叫冲量，引入冲量矩的概念。

力对时间的积累效应Mt叫做冲量矩。

4．质点角动量定理质点对任参考点的角动量的增量等于外力的冲量矩。

21M t L L ⋅∆=- 。

质点对参考点的角动量的时间变化率等于外力对该点的力矩。

L M t∆=∆。

5．角动量守恒定律当质点所受外力对固定参考点（简称定点）的力矩为零时，质点对该点的角动量守恒。

6．转动惯量 在经典力学中，转动惯量（又称质量惯性矩，简称惯距）通常以I 或J 表示，SI 单位为kg·m 2。

对于一个质点，I =mr 2，其中m 是其质量，r 是质点和转轴的垂直距离。

转动惯量在转动中的角色相当于平动中的质量，可形式地理解为一个物体对于旋转运动的惯性，用于建立角动量、角速度、力矩和角加速度等数个量之间的关系。

7．描述平动与描述转动的相关物理量对照平动转动质量m转动惯量I=∑Δm i r i2速度v=Δx/Δt角速度ω=Δθ/Δt = v/r加速度a=Δv/Δt角加速度β=Δω/Δt = aτ/r动量p=m v角动量（动量矩）L=Iω = Σm i r i2力F力矩M = Fr sinθ牛顿第二定律F=ma刚体定轴转动定律M=Iβ冲量Ft冲量矩Mt动量定理Ft=Δp角动量定理Mt=ΔL动量守恒条件F=0 角动量守恒条件M=0平动动能m v2/2 转动动能Iω2/2【例题选讲】1．如图所示，质量为m的小球自由落下，某时刻具有速度v，此时小球与图中的A、B、C三点恰好位于某长方形四个顶点，且小球与A、C点的距离分别为l1、l2。

高中物理竞赛讲义动量和能量专题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN高中物理竞赛讲义动量和能量专题一、冲量1．冲量的定义：力F和力的作用时间t的乘积Ft叫做力的冲量，通常用符号I表示冲量。

2．定义式：I=Ft 3．单位：冲量的国际单位是牛·秒（N·s）4．冲量是矢量，它的方向是由力的方向决定的。

如果力的方向在作用时间内不变，冲量的方向就跟力的方向相同。

如果力的方向在不断变化，如绳子拉物体做圆周运动，则绳的拉力在时间t内的冲量，就不能说是力的方向就是冲量的方向。

对于方向不断变化的力的冲量，其方向可以通过动量变化的方向间接得出。

5、冲量的计算：冲量是表示物体在力的作用下经历一段时间的累积的物理量。

因此，力对物体有冲量作用必须具备力F和该力作用下的时间t两个条件。

换句话说：只要有力并有作用一段时间，那么该力对物体就有冲量作用，可见，冲量是个过程量。

例：以初速度竖直向上抛出一物体，空气阻力不可忽略。

关于物体受到的冲量，以下说法正确的是：（）A、物体上升阶段和下落阶段受到的重力的冲量方向相反；B、物体上升阶段和下落阶段受到空气阻力冲量的方向相反；C、物体在下落阶段受到重力的冲量大于上升阶段受到重力的冲量；D、物体从抛出到返回抛出点，所受各力冲量的总和方向向下。

二、动量1.定义：质量m和速度v的乘积mv．2.公式：p=mv3.单位:千克•米/秒（kg•m/s)，1N•m=1kg•m/s2•m=1kg•m/s4.动量也是矢量：动量的方向与速度方向相同。

三、动量的变化1．动量变化就是在某过程中的末动量与初动量的矢量差。

即△P=P’-P。

例1：一个质量是0.2kg的钢球，以2m/s的速度水平向右运动，碰到一块竖硬的大理石后被弹回，沿着同一直线以2m/s的速度水平向左运动，碰撞前后钢球的动量有没有变化变化了多少例2：一个质量是0.2kg的钢球，以2m/s的速度斜射到坚硬的大理石板上，入射的角度是45º，碰撞后被斜着弹出，弹出的角度也是45º，速度大小仍为2m/s，用作图法求出钢球动量变化大小和方向？2．动量是矢量，求其变化量可以用平行四边形定则四、动量定理1.物理意义:物体所受合外力的冲量等于物体的动量变化2.公式:Ft=p’一p＝mv'-mv3.动量定理的适用范围：恒力或变力 (变力时，F为平均力)例：质量2kg的木块与水平面间的动摩擦因数μ=0.2，木块在F=5N的水平恒力作用下由静止开始运动。

高三物理竞赛辅导讲义（一）一、知识讲解1．动量运动物体的质量和速度的乘积叫动量，即p=mv。

动量是矢量，其方向与速度的方向相同．两个动量相等必须是大小相等，方向相同．动量和动能的区别和联系：(1)动量是矢量，动能是标量，因此物体的动量发生变化时，动能不一定变化；而物体的动能发生变化时，其动量一定变化．(2)动量和动能都与物体的质量有关，两者从不同角度描述了运动物体的特征，两者都是状态量，且二者大小间存在关系式p2=2mE k．2．动量的变化物体末动量与初动量的差叫做动量的变化，公式为△p=p’一p．动量是矢量，因此动量的变化也是矢量．3．系统内力和外力(1)系统：碰撞问题的研究对象不是一个物体，而是两个或两个以上的物体．我们说这两个或这两个以上的物体组成了一个力学系统．(2)内力：碰撞时两个物体之间的相互作用力．(3)外力：除碰撞时两个物体之间的相互作用力之外的其他力叫做外力．4．动量守恒定律(1)内容：相互作用的物体，如果不受外力作用，或者它们所受的合外力为零，它们的总动量保持不变．(2)常用的三种表达式①p’=p，其中p’、p分别表示系统的末动量和初动量．②m1v1+m2v2=m1v1’+m2v2’．③△p1=△p2其中△p1、△p2分别表示系统初、末动量的变化量．5．判定动量守恒条件(1)在运用定律时，系统的选取有时十分重要，选择某系统，动量可能守恒，对另一系统就可能不守恒．(2)动量守恒定律成立的条件①系统不受外力或系统所受的外力的合力为零；②系统所受的外力的合力虽不为零，但系统的内力远大于外力：③系统所受的合外力不为零，但在某方向上的合力为零，则在该方向上系统的总动量的分量保持不变．6．应用动量守恒定律解题时要注意“四性”①矢量性：动量守恒方程是一个矢量方程．对于作用前后物体的运动方向都在同一直线上的问题，应选取统一的正方向，凡是与选取正方向相同的动量为正，相反为负．若方向未知，可设为与正方向相同列动量守恒方程，通过解得结果的正负，判定未知量的方向．②同时性：动量是一个瞬时量，动量守恒指的是系统任一瞬时的动量恒定，列方程m1v1+m2v2=m1v1’+m2v2’时，等号左侧是作用前(或某一时刻)各物体的动量和，等号右侧是作用后(或另一时刻)各物体的动量和，不同时刻的动量不能相加．③相对性：由于动量大小与参考系的选取有关，因此应用动量守恒定律时，应注意各物体的速度必须是相对于同一惯性系的速度．一般以地面为参考系．④普适性：它不仅适用于两个物体所组成的系统；也适用于多个物体组成的系统，不仅适用于宏观物体组成的系统，也适用于微观粒子组成的系统。

高中物理竞赛讲义动量和能量专题(总7页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--高中物理竞赛讲义动量和能量专题一、冲量1．冲量的定义：力F和力的作用时间t的乘积Ft叫做力的冲量，通常用符号I表示冲量。

2．定义式：I=Ft 3．单位：冲量的国际单位是牛·秒（N·s）4．冲量是矢量，它的方向是由力的方向决定的。

如果力的方向在作用时间内不变，冲量的方向就跟力的方向相同。

如果力的方向在不断变化，如绳子拉物体做圆周运动，则绳的拉力在时间t内的冲量，就不能说是力的方向就是冲量的方向。

对于方向不断变化的力的冲量，其方向可以通过动量变化的方向间接得出。

5、冲量的计算：冲量是表示物体在力的作用下经历一段时间的累积的物理量。

因此，力对物体有冲量作用必须具备力F和该力作用下的时间t两个条件。

换句话说：只要有力并有作用一段时间，那么该力对物体就有冲量作用，可见，冲量是个过程量。

例：以初速度竖直向上抛出一物体，空气阻力不可忽略。

关于物体受到的冲量，以下说法正确的是：（）A、物体上升阶段和下落阶段受到的重力的冲量方向相反；B、物体上升阶段和下落阶段受到空气阻力冲量的方向相反；C、物体在下落阶段受到重力的冲量大于上升阶段受到重力的冲量；D、物体从抛出到返回抛出点，所受各力冲量的总和方向向下。

二、动量1.定义：质量m和速度v的乘积mv．2.公式：p=mv3.单位:千克•米/秒（kg•m/s)，1N•m=1kg•m/s2•m=1kg•m/s4.动量也是矢量：动量的方向与速度方向相同。

三、动量的变化1．动量变化就是在某过程中的末动量与初动量的矢量差。

即△P=P’-P。

例1：一个质量是的钢球，以2m/s的速度水平向右运动，碰到一块竖硬的大理石后被弹回，沿着同一直线以2m/s的速度水平向左运动，碰撞前后钢球的动量有没有变化变化了多少例2：一个质量是的钢球，以2m/s的速度斜射到坚硬的大理石板上，入射的角度是45º，碰撞后被斜着弹出，弹出的角度也是45º，速度大小仍为2m/s，用作图法求出钢球动量变化大小和方向？2．动量是矢量，求其变化量可以用平行四边形定则四、动量定理1.物理意义:物体所受合外力的冲量等于物体的动量变化2.公式:Ft=p’一p＝mv'-mv3.动量定理的适用范围：恒力或变力 (变力时，F为平均力)例：质量2kg的木块与水平面间的动摩擦因数μ=，木块在F=5N的水平恒力作用下由静止开始运动。

高中物理竞赛讲义：动量【扩展知识】1．动量定理的分量表达式I 合x =mv 2x -mv 1x ,I 合y =mv 2y -mv 1y ,I 合z =mv 2z -mv 1z .2．质心与质心运动2.1质点系的质量中心称为质心。

若质点系内有n 个质点，它们的质量分别为m 1,m 2,……m n ,相对于坐标原点的位置矢量分别为r 1,r 2,……r n ,则质点系的质心位置矢量为r c=nn n m m m r m r m r m ++++++ 211211=M r m ni i i ∑=1 若将其投影到直角坐标系中，可得质心位置坐标为 x c =M x m n i ii ∑=1, y c =M y m n i ii ∑=1, z c =M z m n i ii ∑=1.2.2质心速度与质心动量相对于选定的参考系，质点位置矢量对时间的变化率称为质心的速度。

v c=t r c ∆∆=M p 总=M v m n i i i ∑=1, p c =Mv c =∑=n i i i v m 1. 作用于质点系的合外力的冲量等于质心动量的增量I 合=∑=n i i I 1=p c －p c0=mv c －mv c0 .2.3质心运动定律作用于质点系的合外力等于质点总质量与质心加速度的乘积。

Ｆ合＝Ma c.。

对于由n 个质点组成的系统，若第i 个质点的加速度为a i ，则质点系的质心加速度可表示为 a c =M a m n i ii ∑=1.【典型例题】1．将不可伸长的细绳的一端固定于天花板上的C点，另一端系一质量为m的小球以以角速度ω绕竖直轴做匀速圆周运动，细绳与竖直轴之间的夹角为θ，如图所示。

已知A、B为某一直径上的两点，问小球从A点运动到B点的过程中细绳对小球的拉力T的冲量为多少？2．一根均匀柔软绳长为l=3m，质量m=3kg，悬挂在天花板的钉子上，且下端刚好接触地板，现将软绳的最下端拾起与上端对齐，使之对折起来，然后让它无初速地自由下落，如图所示。

高中物理竞赛讲义·动量与能量第一讲、动量定理一．冲量：力对时间的累积效应；I=Ft变力冲量的求解：重视F-t 图的物理意义二．动量：物体的质量与速度的乘积；P=mv质点系（系统）的动量：P =i i v m三．动量定理：1、动量定理的基本形式与表达式：I 合=ΔP2、单方向动量定理的表达式：I x 合=ΔP x ，I y 合=ΔP y …3、质点系动量定理：I 外合=P t 总—P 0总例1、一个质量为2kg 的小球从80m 高处由静止下落，它所受的空气阻力大小与速度成正比，物体下落60m 后做匀速直线运动，其速度为30m/s 。

求物体开始下落60m 所用的时间（g 取10 m/s 2）例2、如图所示，一个半径为R 的光滑半球壳固定在水平面上，一质量为m 的物体从A 点以速度v 0开始滑动，物体由A 滑到C 的时间为t 。

求物体从A 运动到B 和从A 运动到C 的过程中所受支持力的冲量分别为多少？例3、一根均匀柔软的链条悬挂在天花板上，且下端正好触地。

若松开悬点，让链条自由下落。

试证明，在下落过程中，链条对地板的作用力等于已落在地板上的那段链条重力的三倍。

例4、一根均匀柔软的绳子长为l、质量为m，对折后两端固定在一个钉子上。

其中一端突然从钉子上脱落。

求下落的绳端点离钉子的距离为x时，钉子对绳子另一端的作用力。

例5、质量为M的金属球和质量为m的木球以细线相连，从静止开始以加速度a在水中下沉，经时间t1细线断开，再经时间t2木球停止下沉，求此时金属球M的下沉速度。

例6、如图所示，一个质量为M的木球静止放在一个架子上，一个质量为m的子弹以初速度v0竖直向上击中木球，子弹穿过木球后，还能上升的高度为h，求木球能上升的最大高度。

例7、一枚质量为M的火箭，依靠向正下方喷气在空中保持静止，如果喷出的气体速度为v，那么火箭发动机的功率是多少？例8、三个质点A、B、C质量分别为m1、m2、m3，位于光滑水平面上，用已拉直的不可伸长的柔软细绳AB和BC连接，∠ABC=π－α，α为锐角，如图所示。

5.1角动量一、力矩（对比力）1、质点对轴的力矩可以使物体绕轴转动或改变物体的角速度2、力矩可以用M 或τ表示3、力矩是矢量4、力矩的大小和方向（1）二维问题sin rF τθ=注意，式中的角度θ为F 、r 两个矢量方向的夹角。

求力矩的两种方法：（类比求功的两种方法）(sin )r F τθ=(sin )r Fτθ=二维问题中，力矩的方向可以简单地用顺时针、逆时针表示。

（2）三维问题r Fτ=⨯力矩的大小为sin rF τθ=力矩的方向与r 和F 构成的平面垂直，遵循右手螺旋法则5、质点系统受到的力矩只需要考虑外力的力矩，一对内力的力矩之和一定为0.二、冲量矩（对比冲量）1、冲量矩反映了冲量改变物体转动的效果，是一个过程量2、冲量矩用L 表示3、冲量矩的大小 L r I r Ft tτ=⨯=⨯=4、冲量矩是矢量，方向与r 和F 构成的平面垂直，遵循右手螺旋法则，即方向和力矩的方向相同5、经常需用微元法（类比功和冲量这两个过程量的计算）三、动量矩（即角动量）（对比动量）1、角动量反映了物体转动的状态，是一个状态量2、角动量用l 表示3、角动量的大小l r p r vm=⨯=⨯ 4、角动量是矢量，方向与r 和v 构成的平面垂直，遵循右手螺旋法则四、角动量定理（对比动量定理）冲量矩等于角动量的变化量L t l τ==∆五、角动量守恒定律（对比动量守恒定律）角动量守恒的条件：（满足下列任意一个即可）1、合外力为02、合外力不为0，但合力矩为0例如：地球绕太阳公转此类问题常叫做“有心力”模型3、合外力不为0，每个瞬时合力矩也不为0，但全过程总的冲量矩为0例如：单摆从某位置摆动到对称位置的过程注意：讨论转动问题一定要规定转轴，转轴不同结果也不同六、转动惯量（对比质量）1、转动惯量反映了转动中惯性2、转动惯量用I 或J 表示3、质点的转动惯量等于质量乘以和转轴距离的平方2I mr =4、转动惯量是标量5、由于实际物体经常不能看作质点，转动惯量的计算需要用微元法或微积分 2i i I m r =∑6、引入转动惯量后，角动量也可以表示为（类比动量的定义）l I ω= 七、转动问题中的牛顿第二定律（即转动定理）（对比牛顿第二定律）合力矩等于转动惯量乘以角加速度I τβ=八、动能的另一种表示方式 221122k E mv I ω==例1、仿照上表，不看讲义，将本章的知识点进行归纳总结（1）小球所受的重力相对于A、B、C三点的力矩（2）小球相对于A、B、C三点的角动量例3、摆长为b的圆锥摆，悬挂点为O′，悬挂点在摆球运动所在水平面内的投影为O，摆线与竖直方向的夹角为α，求（1）用m、b、α、Δt表示相对O′点的角动量及转动小角度Δθ重力、绳子拉力的冲量矩（2）用m、b、α、Δt表示相对O点的角动量及转动小角度Δθ重力、绳子拉力的冲量矩（3）摆球的速率用绳子穿过小孔和质量为M的物体相连。

第8讲动量守恒定律本讲提示：最重要的是弄清楚动量守恒的条件！本讲的方法对初学的同学来说显得太巧妙，所以很容易计算时忽略了受力分析与动量守恒的适用范围。

其次是通过训练建立起受力、运动分析与守恒分析统一的思维模式，提高并行思维能力。

知识点睛阅读：动量守恒的发现史动量守恒是人类最早认识到的守恒定律，也是最普遍成立的物理规律。

人类很早就发现碰撞、冲击等力学过程中有明显的规律性，但定量的描述这种规律却很难。

最早对碰撞现象做过研究的人是伽利略，他曾常识通过测量冲击过程中的力去发现数学规律，不过他未能如愿。

伽利略的这个研究思路来源于他对力学现象的一贯理解：力是造成运动状态变化的根本原因。

但在当时的实验条件下，去弄清楚一瞬间的力显然是不现实的。

实际即使到现代物理学中，在实验上严格定义和测量“力”也是不可能的。

1639年马尔西通过实验，发现了等质量弹性球碰撞时一个有趣的现象：把一串等质量的弹性球排成一条线，给其中一端的一个球初速度，让这个球去撞击前方的球，结果这个球的速度最终传给了另一端的球，而其它球都停了下来。

虽然马尔西的发现还非常“初级”，但也极大的鼓励其他科学家的研究热情。

后来的研究也集中到了对碰撞前后可测量物理量的分析上，而不再执着于研究碰撞的过程中的力。

马尔西的碰撞实验：炮弹在出膛后碰到静止等质量的铁球后会停下来，把速度传递给最前方的铁球，而且被撞击的铁球落地时射程与不遇到任何障碍的炮弹射程一样。

后来在笛卡尔，惠更斯以及马略特等人的不懈努力下，总算找出了孤立体系（不考虑外界作用的的物体或物质构成的体系）动量守恒的方程。

并最终由牛顿对整个研究做了总结，这就是我们后来知道的牛顿第三定律：即在运动过程中物体间的相互作用也是等大反向并同时进行的。

在牛顿力学中，动量守恒可以看成牛顿定律的一个推论。

马略特通过小球摆起的高度来标识的球速高中实验室通过小球的水平射程来标识球速现代物理的发展揭示了牛顿力学的局限性，在微观以及接近光速的情况下，牛顿力学中概念体系完全崩盘，用牛顿力学完全无法理解和预言微观以及高速下的物理现象。