高中物理竞赛辅导讲义-7.1简谐振动

高考物理简谐波知识点简谐波是指周期性运动中的一种特殊情况，其运动方向与力的方向相同或者相反，并且其运动规律符合正弦或余弦函数。

在高考物理考试中，简谐波是一个重要的知识点。

本文将从简谐振动的定义、特点以及相关公式等方面进行论述，帮助考生更好地理解和掌握这一知识点。

一、简谐振动的定义简谐振动是指系统在受到一个恒定作用力的情况下，从平衡位置出发，沿着一条直线或者围绕某个固定轴进行的来回运动。

简谐振动具有以下几个特点：1. 运动方向与作用力方向相同或相反；2. 运动规律符合正弦或余弦函数；3. 振动频率不变，振动周期相等。

二、简谐振动的重要性简谐振动不仅是物理学中的重要概念，而且在我们的日常生活和许多科学研究领域都有着广泛的应用。

例如，天体物理学中的行星公转、地球的自转等都可以看作是简谐振动。

此外，简谐振动的理论还可以应用于弹簧振子、钟摆、电路中的交流电等问题的分析与研究。

三、简谐振动的基本公式1. 位移公式：x = A * sin(ωt + φ)其中，x表示质点的位移，A表示振幅，ω表示角频率，t表示时间，φ表示初相位。

初相位决定了振动起点在平衡位置的相对位置。

2. 速度公式：v = ωA * cos(ωt + φ)v表示质点的速度，在位移公式的基础上对时间求一阶导数。

3. 加速度公式：a = -ω^2 * A * sin(ωt + φ)a表示质点的加速度，在位移公式的基础上对时间求两阶导数。

四、简谐振动的主要特点1. 振幅：振幅是指简谐振动中质点离开平衡位置的最大位移。

振幅越大，位移变化的幅度越大。

2. 角频率和周期：角频率ω和周期T是简谐振动的两个重要参数。

角频率等于2π除以周期。

周期是指简谐振动完成一个完整往复运动所需要的时间。

3. 频率和周期的关系：频率f是指单位时间内完成的振动次数，与周期的倒数相等，即f=1/T。

4. 动能和势能的转化：简谐振动过程中，质点的动能和势能不断地相互转化。

当质点位移最大时，动能最小，势能最大；当质点经过平衡位置时，动能最大，势能最小。

第七讲 振动与波动湖南郴州市湘南中学 陈礼生一、知识点击1．简谐运动的描述和基本模型⑴简谐振动的描述：当一质点，或一物体的质心偏离其平衡位置x ，且其所受合力F 满足(0)F kx k =->，故得2ka x x m ω=-=-，ω=则该物体将在其平衡位置附近作简谐振动。

⑵简谐运动的能量：一个弹簧振子的能量由振子的动能和弹簧的弹性势能构成，即222111222E m kx kA υ=+=∑ ⑶简谐运动的周期：如果能证明一个物体受的合外力F k x =-∑，那么这个物体一定做简谐运动，而且振动的周期22T πω==m 是振动物体的质量。

⑷弹簧振子：恒力对弹簧振子的作用：只要m 和k 都相同，则弹簧振子的振动周期T 就是相同的，这就是说，一个振动方向上的恒力一般不会改变振动的周期。

多振子系统：如果在一个振动系统中有不止一个振子，那么我们一般要找振动系统的等效质量。

悬点不固定的弹簧振子：如果弹簧振子是有加速度的，那么在研究振子的运动时应加上惯性力．⑸单摆及等效摆：单摆的运动在摆角小于50时可近似地看做是一个简谐运动，振动的周期为2T =，在一些“异型单摆”中，l g 和的含义及值会发生变化。

〔6〕同方向、同频率简谐振动的合成：假设有两个同方向的简谐振动，它们的圆频率都是ω，振幅分别为A 1和A 2，初相分别为1ϕ和2ϕ，则它们的运动学方程分别为111cos()x A t ωϕ=+ 222cos()x A t ωϕ=+因振动是同方向的，所以这两个简谐振动在任一时刻的合位移x 仍应在同一直线上，而且等于这两个分振动位移的代数和，即12x x x =+由旋转矢量法，可求得合振动的运动学方程为cos()x A t ωϕ=+这说明，合振动仍是简谐振动，它的圆频率与分振动的圆频率相同，而其合振幅为A =合振动的初相满足11221122sin sin tan cos cos A A A A ϕϕϕϕϕ+=+2．机械波：〔1〕机械波的描述：如果有一列波沿x 方向传播，振源的振动方程为y=Acos ωt ，波的传播速度为υ，那么在离振源x 远处一个质点的振动方程便是cos ()x y A t ωυ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，在此方程中有两个自变量：t 和x ，当t 不变时，这个方程描写某一时刻波上各点相对平衡位置的位移；当x 不变时，这个方程就是波中某一点的振动方程．〔2〕简谐波的波动方程：简谐振动在均匀、无吸收的弹性介质中传播所形成的波叫做平面简谐波。

7.1简谐振动一、简谐运动的定义1、平衡位置：物体受合力为0的位置2、回复力F ：物体受到的合力，由于其总是指向平衡位置，所以叫回复力3、简谐运动：回复力大小与相对于平衡位置的位移成正比，方向相反F k x =-二、简谐运动的性质F kx =-''mx kx =-取试探解（解微分方程的一种重要方法）cos()x A t ωϕ=+代回微分方程得：2m x kx ω-=-解得： 22T πω==对位移函数对时间求导，可得速度和加速度的函数cos()x A t ωϕ=+sin()v A t ωωϕ=-+2cos()a A t ωωϕ=-+由以上三个方程还可推导出：222()vx A ω+=2a x ω=-三、简谐运动的几何表述一个做匀速圆周运动的物体在一条直径上的投影所做的运动即为简谐运动。

因此ω叫做振动的角频率或圆频率，ωt +φ为t 时刻质点位置对应的圆心角，也叫做相位，φ为初始时刻质点位置对应的圆心角，也叫做初相位。

四、常见的简谐运动1、弹簧振子(1)水平弹簧振子(2)竖直弹簧振子2、单摆（摆角很小）sin F mg mg θθ=-≈-x l θ≈因此： F k x =-其中： mg k l=周期为：222T πω===例1、北京和南京的重力加速度分别为g 1=9.801m/s 2和g 2=9.795m/s 2，把在北京走时准确的摆钟拿到南京，它是快了还是慢了？一昼夜差多少秒？怎样调整？例2、三根长度均为l=2.00m 、质量均匀的直杆，构成一正三角彤框架ABC ．C 点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动．杆AB 是一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨运动，如图所示．现观察到松鼠正在导轨上运动，而框架却静止不动，试论证松鼠的运动是一种什么样的运动?例3、位于铅垂平面内的“∠”形等截面弯管．两管分别与水平面成α角和β角．如图所示．其内盛有长为l、质量为m的液柱，受扰动后，液柱将沿管作往返振荡，求振荡周期(设管壁无阻力)．例4、如图所示，假想在地球表面的A、B两地之间开凿一直通隧道，在A处放置一个小球，小球在地球引力的作用下从静止开始在隧道内运动，忽略一切摩擦阻力，试求小球的最大速度，以及小球从A运动到B所需要的时间，已知地球半径为R，地球半径为R，A和B之间的直线距离为L，设地球内部质量密度均匀，不考虑地球的自转。

1简谐运动[学习目标] 1.了解机械振动的概念，知道弹簧振子是一种理想化模型，理解弹簧振子的平衡位置(重点)。

2.理解简谐运动的概念和特点，知道简谐运动的图像特征(重点)。

3.会利用简谐运动的图像分析振子的位移和速度的变化情况(重难点)。

一、弹簧振子如图所示的装置，把小球向右拉到B点后释放，可以观察到小球左右运动了一段时间，最终停止运动。

(1)小球的运动具有什么特点？为什么小球最终停止运动？(2)在横杆上涂上一层润滑油，重复刚才的实验，观察到的结果与第一次实验有何不同？(3)猜想：如果小球受到的阻力忽略不计，弹簧的质量比小球的质量小得多，也忽略不计，实验结果如何？答案(1)小球的运动具有往复性。

小球因为受到阻力的作用最终停止运动。

(2)小球往复运动的次数增多，运动时间变长。

(3)小球将持续地在AB间做往复运动。

1．机械振动：物体或物体的一部分在一个位置附近的往复运动，简称振动。

2．平衡位置：振动的物体在振动方向上所受合力为0的位置。

3．弹簧振子(1)由小球和弹簧组成的系统，有时也简称振子，是一个理想化模型。

(2)小球与弹簧组成的振动系统看成弹簧振子的条件①弹簧为轻质弹簧，不计弹簧的质量，可认为质量集中于小球。

②不计摩擦阻力和空气阻力。

③小球从平衡位置被拉开的距离在弹簧弹性限度内。

对平衡位置的理解(1)弹簧振子的平衡位置是振子不振动时，小球静止的位置，①如图甲，水平方向弹簧振子：弹簧弹力为零时的位置。

②如图乙，竖直方向弹簧振子：弹簧的拉力与重力平衡时的位置。

③如图丙，光滑斜面上的弹簧振子：弹簧拉力与重力沿斜面向下的分力平衡时的位置。

(2)弹簧振子的平衡位置是振动过程中，小球的速度最大的位置。

(1)乒乓球在地面上的上下运动是一种机械振动。

(×)(2)弹奏吉他时琴弦的运动是机械振动。

(√)(3)机械振动是匀变速直线运动。

(×)(4)平衡位置即为速度为零的位置。

(×)例1(多选)弹簧上端固定在O点，下端连接一小球，组成一个振动系统，如图所示，用手竖直向下拉一小段距离后释放小球，小球便上下振动起来，关于小球的平衡位置，下列说法正确的是()A．在小球运动的最低点B．在弹簧处于原长的位置C．在小球速度最大的位置D．在小球原来静止的位置答案CD解析平衡位置是振动系统不振动、小球处于平衡状态时所处的位置，可知在该位置小球所受的重力大小与弹簧的弹力大小相等，即mg＝kx，则小球原来静止的位置是小球的平衡位置，故选项D正确，A、B错误；当小球在振动过程中经过平衡位置时，其加速度为零，速度最大，选项C正确。

7.1简谐振动一、简谐运动的定义1、平衡位置：物体受合力为0的位置2、回复力F ：物体受到的合力，由于其总是指向平衡位置，所以叫回复力3、简谐运动：回复力大小与相对于平衡位置的位移成正比，方向相反F k x =-二、简谐运动的性质F kx =-''mx kx =-取试探解（解微分方程的一种重要方法）cos()x A t ωϕ=+代回微分方程得：2m x kx ω-=-解得： 22T πω== 对位移函数对时间求导，可得速度和加速度的函数cos()x A t ωϕ=+sin()v A t ωωϕ=-+2cos()a A t ωωϕ=-+由以上三个方程还可推导出：222()vx A ω+= 2a x ω=-三、简谐运动的几何表述一个做匀速圆周运动的物体在一条直径上的投影所做的运动即为简谐运动。

因此ω叫做振动的角频率或圆频率，ωt +φ为t 时刻质点位置对应的圆心角，也叫做相位，φ为初始时刻质点位置对应的圆心角，也叫做初相位。

四、常见的简谐运动1、弹簧振子(1)水平弹簧振子(2)竖直弹簧振子2、单摆（摆角很小）sin F mg mg θθ=-≈-x l θ≈因此： F k x =-其中： mg k l=周期为：222T πω===例1、北京和南京的重力加速度分别为g 1=9.801m/s 2和g 2=9.795m/s 2，把在北京走时准确的摆钟拿到南京，它是快了还是慢了？一昼夜差多少秒？怎样调整？例2、三根长度均为l=2.00m 、质量均匀的直杆，构成一正三角彤框架ABC ．C 点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动．杆AB 是一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨运动，如图所示．现观察到松鼠正在导轨上运动，而框架却静止不动，试论证松鼠的运动是一种什么样的运动?例3、位于铅垂平面内的“∠”形等截面弯管．两管分别与水平面成α角和β角．如图所示．其内盛有长为l、质量为m的液柱，受扰动后，液柱将沿管作往返振荡，求振荡周期(设管壁无阻力)．例4、如图所示，假想在地球表面的A、B两地之间开凿一直通隧道，在A处放置一个小球，小球在地球引力的作用下从静止开始在隧道内运动，忽略一切摩擦阻力，试求小球的最大速度，以及小球从A运动到B所需要的时间，已知地球半径为R，地球半径为R，A和B之间的直线距离为L，设地球内部质量密度均匀，不考虑地球的自转。