点线面的投影规律总结

措施二 b" ab : cd不等于a'b': c'd‘
d b
举例： 试作一直线MN与AB、CD两直线相交 , 且平行 EF 能否作？有几条？
e ’
(m ’)
(a’) b’
d
’
分析
作图环节
X
f ’
c n’ ’
ac f
（1）过m’作直线 O m’n’平行e’f’
, 且与c’d’交于 (2) n’由n’求得n
复杂－－展为平面
1. 展开
V a
●
X
ax
a● H
Z
az
O
ay
Y
不动
W a
●
Y
ay
V a
●
X ax
向下翻
Z
向右翻
az
A
●
a● H
●a
O
W
ay
Y
2. 投影规律
Z
V
a
●
az
A
X ax
●
●a
W O
a●
ay
H Y
a ●
X ax
a●
Z az
a
●
O
Y
ay
ay
Y
从投影展开图能够看出: (1) aa⊥OX轴 aa⊥OZ轴
返回
§2.3 直线旳投影（续）
四、两直线旳相对位置
1. 两直线平行
b' d'
b
V
d
a
B
c
A
C
D
a' c'
a
c
c b
a
dH
d b
投影特征:

b a a b a
b
投影特性：
三个投影都为类似 形。即: 都不反映空间 线段的实长及与三个投 影面夹角的实大，且与 三根投影轴都倾斜。
三、直线上点的投影
直线上的点具有两个特性：
1 从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线 的各同面投影上。 利用这一特性可以在直线上找点，或 判断已知点是否在直线上。
两直线相交吗？ ★ 同名投影可能相交， 但 “交点”不符合空间 为什么？ 一个点的投影规律。 ★ “交点”是两直线上 的一 对重影点的投影， 用其可帮助判断两直线 的空间位置。
投影特性：
例：判断两直线的相对位置
c
1 a d d 1
相交吗？
b
X
a
c 1d
b
1c
判断两直线重影点的可见性
a k● b a
●
k
b
a k●
b
因k 不在a b 上， 故点K不在AB上。
另一判断法 如何判断 ? ?
应用定比定理
例3 ：已知点K在线段AB上，求点K正面投影。
解法一： （应用第三投影）
a k
b
●
解法二： （应用定比定理）
a
a k
● ●
●
k● b
怎么做?
b
b
k● a
求出侧面投影
⒉ 两直线相交
V a
A a c k b
注意：交点 为两直线共 有！
B c b k d
C
d K D d
k
a b
H
c
a c k
d
b
投影特性：
若空间两直线相交，则其同名投影必 相交，且交点的投影必符合空间一点的投 影规律。 (反之 用于判断） 。

A
E B
c
d
c b
直线和平面平行
• 几何条件
如果平面P 外的一条直线AB 与平面内的一条直线 平行,那么这条直线AB 和这个平面P 平行。 ∵ L∈P ；
L
A
L ∥AB ；
∴ AB ∥ P 。
B
反之，如果直线AB 与平面P 平行，那么在平面内 一定有一条直线与该直线AB 平行。
平面与平面平行
• 几何条件：
实长
α
α z 坐标差
水平投影
z 坐标差
实长
α
α
α
实长
z坐标差
实长
实长
水平投影 水平投影
z 坐标差 α
z 坐标差
两直线平行
两直线在空间平行则它们的各组同面投影必平行
即若AB∥CD B 则ab∥cd ； a’b’∥c’d’ 。
C A
D
c’ d’ X b’
a’
O d c
a d
b
c
b
a
两直线平行
① a a b c c b ② c d d c b a b
b m
c a n
b
m(n)
a
●
c
两平面相交
⑴ 两特殊位置平面 相交，根据交线的 投影特性分析交线 的空间位置，有时 可找出两平面的一 个共有点，画出交 线的投影。
a b e f
c
d a e c
d
b f
两平面相交
⑵ 一般位置平面与特殊 位置平面相交，可利 用特殊位置平面的积 聚性找出两平面的两 个共有点，求出交线。
平行于 面 （侧平线）
＝
反映 、实角
直线的位置
直 观 图

b′ a′ b″ b′ a″ a′ b Z B b″
β γ α A
b a
a″
X
a
Y
直线的投影特性：
一般来说，直线的投影 仍然为直线。当直线垂直 于投影面时，直线的投影 则积聚为一点。
A B b C D E F
a c
d
e(f)
H
直线对投影面的位置不同，直线可分为三类：
一般位置直线 —— 直线与三个投影面均倾斜。
b′
a′
△Z=15 △X=20 X=35
b″ a″
Z=10
b
a
Y=20 △Y=10
二、直线的投影(P51)
• 直线的投影
• 直线上的点
a′ V b′ β A b aH Y γ
Z B b″
W a″
• 两直线间的相对位置
X
α
1、直线的投影
直线的投影就是将直线上两端点投影求出，再将连接 同面投影即可得到。
1′ b′
k′
2′
c′
b 1 k 2
c
(三)平面上的点和直线
直线在平面上的几何条件： 若直线在平面上，则该直线 必通过平面上的两个已知点或通 过平面上的一个点且平行于平面 上某一直线。
V
b´
Z
B
b"
n´
点在平面上的几何条件： 若点在平面上，则该点必定位 于平面上的某一直线上。反之，若 一点位于平面上的某一直线上，则 该点必定位于平面上。 X
a ′ b ′ c ′z b ″a ″ c ″ a″ W c″
C
X
b
o
YW
x
a
H b
O
a
c
Y
c Y H

四、作图
1． 求直线的实长及对水平投影面的夹角角 2． 求直线的实长及对正面投影面的夹角角
3． 求直线的实长及对侧面投影面的夹角角
1． 求直线的实长及对水平投影面的夹角角
AB
|zA-zB|
|zA-zB|
ab

O

AB AB |zA-zB |

ab
|zA-zB|
2． 求直线的实长及对正面投影面的夹角 角
（解法1） （解法2） [例题7] 作正平线CD, 与直线AB相交于点D
[例题5] 已知线段AB的投影图，试将AB分成2﹕1两段， 求分点C的投影c、c' 。
c'
c
[例题6（解法1）] 已知点C在线段AB上，求点C 的正面投影。
bc
c' ca
[例题6（解法2）] 已知点C在线段AB上，求点C 的正面投影。
(a')b'
a"
b"
a'
b'
a"(b ")
a'
a b(a) b
a
b
（2）物体上垂直线的投影分析
§4.3 直线上的点
一、属于直线的点的投影 二、例题
一、属于直线的点的投影
e'
E
e'
e
e
二、例题
[例题5] 已知线段AB的投影图，试将AB分成2﹕1两段
[例题6] 已知点C在线段AB上，求点C 的正面投影
d'
d
三、两交叉直线
1. 交叉直线的投影
2. 交叉二直线重影点投影的可见性判断
3. 例题
1. 交叉二直线的投影
凡不满足平行和相交条件的直线为交叉二直线。

一、点的投影分析
点的投影规律： (1)点的正面投影和水平投影的连线
垂直于OX 轴。即ss’⊥ OX
(2)点的正面投影和侧面投影的连线
垂直于OZ 轴。即s’s” ⊥ OZ (3)点的水平投影到OX轴的距离等于
侧面投影到OZ 的距离。
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§2－3 立体表面上点、线、面的投影分析
一、点的投影分析
影面。
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§2－3 立体表面上点、线、面的投影分析
三、平面的投影分析
1.一般位置平面 投影特性：
(1)三个投影都不 反映平面实形。 (2)三个投影均对 投影轴倾斜。
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§2－3 立体表面上点、线、面的投影分析 三、平面的投影分析
2.投影面平行面 投影特性：
（1）在所平行 的投影面上投 影反映实形。 （2）其他两个 投影面上的投 影积聚为直线， 且分别平行于 相应的投影轴。
2.投影面平行面 投影特性：
（1）在所平行 的投影面上投 影反映实形。 （2）其他两个 投影面上的投 影积聚为直线， 且分别平行于 相应的投影轴。
平行于侧面的平面称为侧平面
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§2－3 立体表面上点、线、面的投影分析 三、平面的投影分析
3.投影面垂直面 投影特性：
(1)在所垂直的投 影面内投影积聚 为一段斜线。 (2)其他两个投影 面上的投影均为 缩小的类似形。
平行于侧面的直线称为侧平线
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§2－3 立体表面上点、线、面的投影分析
二、直线的投影分析
3.投影面垂直线 投影特性：
（1）在所垂直的 投影面上投影积 聚为一点。
（2）其他两个投 影面上的投影反 映实长，且分别 垂直于相应的投 影轴。
垂直于水平面的直线称为铅垂线

影上kn为可见。
还可通过重影点判别可见性。
47
⑵ 直线为特殊位置
m
空间及投影分析
b
直线MN为铅垂线，其
k●
水平投影积聚成一个点，
a
c ●1(2)
故交点K的水平投影也积聚
n
在该点上。
b
作图
a
mk(●●n2) ● 1
e f e(f) ●
b
b
d
●
a(b)
c
ef
投影特性:
① 在其垂直的投影面上，投影有积聚性。
② 另外两个投影，反映线段实长。且垂直 于相应的投影轴。
13
⑶ 一般位置直线
b
b
投影特性：
a
a
a b
三个投影都缩短。 即: 都不反映空间线段 的实长及与三个投影面 夹角的实大，且与三根 投影轴都倾斜。
14
二、直线与点的相对位置
是什么位置
的平面？ a
b
b
类似性
c c a
积聚性
βc
b
γ
a
投影特性：
铅垂面
在它垂直的投影面上的投影积聚成直
线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面 与另外两投影面夹角的大小。
另外两个投影面上的投影有类似性。
34
⒉ 投影面平行面
积聚性
a b
积聚性
c a c b
a
实形性
c
水平面
b
投影特性：
在它所平行的投影面上的投影反映实形。
解法一:
a●
az ●a
通过作45°线 使aaz=aax
ax
a●
解法二:
用圆规直接量 取aaz=aax

两点中X值大的点 ——在左 两点中Y值大的点 ——在前 两点中Z值大的点 ——在上
1.3 重影点
a'
b'
被挡住的 投影加( )
(c')d' A B
被挡住的 投影加( )
C
D
A、B和C、D 分别为哪个投 影面的重影点 呢？
a(b)
c
d
1.3 重影点
被挡住的 投影加( )
b″
d″ c"
被挡住的 投影加( )
① 在与其垂直的投影面上，投影有积聚性。 ② 另外两个投影反映线段实长，且垂直于相应 的投影轴。
判断线的空间位置 特殊位置直线的投影特征
X
O
3、从属于投影面的直线
从属于投影面的直线
从属于投影面的铅垂线
从属于投影轴的直线
返回
从属于V面的直线
返回
从属于V投影面的铅垂线
返回
从属于OX轴的直线
返回
Y
3 、 a b 与OX、OZ 的夹角反映α、 角的真实大小
返回
3 、侧垂面 b’
z
c’
b’’
β c’’ α
x
a’ b
c
o
a’’ Y
a
投影特性：1、 a’’b’’c’’积聚为一条线 2 、 a’b’c’、 a’b’c’为 ABC的类似形
Y
3 、 a’’b’’c’’与OZ、 OY的夹角反映α、β角的真实大小 返回
例：已知点的两个投影，求第三投影。
解法一:
a● ax
az
●a
通过作45°线 使aaz=aax
a● 解法二: 用分规直接量 取aaz=aax
a●
ax az

应用：在工程和设计中，投影是重要的几何概念，用于描述物体表面的形状和轮廓。
平面方程的一般形式：Ax + By + Cz + D = 0
平面方程的参数形式：通过点P(x0, y0, z0)且与向量v=(A, B, C)垂直的平面方程 为：A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
展览展示：利用投影技术，将展品或艺术品投影到屏幕上，让观众更全面地欣赏和了解
广告宣传：通过投影技术，将广告内容投影到建筑物、街道、车辆等物体上，吸引路人的注 意力
舞台演出：利用投影技术，将虚拟场景、人物、道具等投影到舞台上，增强演出的视觉效指点在垂直于平面的方向上向平面内投射形成的影子。
建筑图纸的规范与标准：介绍建筑图 纸的规范和标准，如制图比例、线型、 符号等，以及它们在实际应用中的作 用。
表达方式：点、线、 面与体的投影在工 程图样中的表示方 法
解读技巧：如何准 确理解工程图样的 投影关系和尺寸标 注
应用案例：介绍实际 工程中点、线、面与 体的投影在工程图样 中的应用实例
重要性：强调工程 图样的表达与解读 在工程建设中的重 要地位和作用
建筑图纸的绘制：点、线、面与体 的投影在实际建筑图纸中的应用， 如平面图、立面图和剖面图的绘制。
建筑图纸的投影原理：介绍投影的 基本原理，如正投影、斜投影等， 以及它们在建筑图纸中的应用。
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建筑图纸的解读：如何通过点、线、 面与体的投影来理解建筑图纸，如从 平面图解读房间功能、从立面图了解 建筑外观等。
直线投影的应用：在工程设计中，常常需要利用直线的投影变换来绘制三维物体 的二维图形，或者根据二维图形想象出三维物体的形状。