机械制图之点线面的投影规律

模块三点、直线、平面的投影〖相关描述〗组成物体的基本几何元素是点、线、面。

为了表达物体的结构，必须首先掌握几何元素的投影规律。

〖知识准备〗学习情境一点的投影一、点的三面投影特性如图3-1，由于投影面相互垂直，所以连影线也相互垂直，八个顶点A、a、aY、a′、a″、aX、O、aZ构成正六面体，根据正六面体的性质，可以得出点的三面投影图的投影特性如下。

（1）点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴，即aa′⊥OX；点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴，即a′a″⊥OZ；同时aaYH⊥OYH，a″aYW⊥OYW。

（2）点的投影到投影轴的距离，反映空间点到另一投影面的距离，即a′aX=a″ aYW=Aa，也即空间点A到H面的距离；aaX=a″aZ=Aa′，也即空间点A到V面的距离；a′aZ=aaYH=Aa″，也即空间点A到W面的距离。

图3-1 立体上点的投影二、点的投影与直角坐标若将三面投影体系看作直角坐标系，则投影面为坐标面，投影轴为坐标轴，这时点O即为坐标原点，如图31所示。

规定OX轴从点O向左为正，OY轴从点O向前为正，OZ轴从点O向上为正，反之为负。

从图31可得，点A(xA，yA,zA)的投影与坐标有下述关系：xA=OaX=a′aZ；yA=OaY=aaX；zA=OaZ=a′aX。

因此，若已知点的坐标(x，y,z)，就可以画出点的投影图。

三、特殊位置点的投影特殊情况下，点可以属于投影面或投影轴。

1.属于投影面的点当点的某一个坐标为0时，点就从属于一个投影面。

如图3-4(a)所示，点A的Z坐标zA=0，则点A在H面上。

点A的水平投影a与空间点A重合，正面投影a′在OX轴上，侧面投影a″在OYW轴上。

所以，属于投影面的点的投影特性如下。

（1）点的一个投影与空间点本身重合。

（2）点的另外两个投影在坐标轴上。

2.在投影轴上的点当点的两个坐标为0时，点就在投影轴上。

如图3-4(b)所示，点B的X坐标xB=0，Y坐标yB=0，则点B在Z轴上。

点、直线、平面的投影一、点的投影点的投影规律：（1）点的正面投影和水平面投影的连线一定垂直于OX 轴，即aa ˊ⊥OX ；（2）点的正面投影和侧面投影的连线一定垂直OZ 轴，即a ＇a 〞⊥OZ;（3）点的水平面投影到OX 轴的距离等于点的侧面投影到OZ 轴的距离，即x z aa a a ''=。

点的投影永远是点。

点本身没有长、宽、高，但是，点在三投影面体系中的投影规律，实质上与上节所述的“三等”对应关系是一致的，几何体上的每一个点的投影都符合这条投影规律。

二、点的坐标点到W 面（侧面）的距离，以坐标x 标记，x 坐标确定左右位置。

点到V 面（正面）的距离，以坐标y 标记，y 坐标确定前后位置。

点到H 面（水平面）的距离，以坐标z 坐标标记，z 坐标确定上下位置。

如图点A （20,15,25），即表示点A 的x 坐标为20mm ，y 坐标为15mm ，z 坐标为25mm ，且A 点距离W 面20mm ，距离V 面距离15mm ，距H 面25mm 。

由此判断：点的空间位置是由三个坐标值或者由点的任意两面投影确定。

四、点的三面投影1、点的标记空间点用大写字母或者罗马数字表示，如A,B,C,D, Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ， 投影用小写字母或者阿拉伯数字表示正面投影加一撇，如：a ,b ,c ,d ,1,2,3,4''''''''侧面投影加两撇，如：a '',,1,2,3b c ''''''''''水平投影不加撇，如：a ，b ，c ，1,2,3，2、点的投影与坐标的关系如图所示，空间点的任一面投影，均由该点的两个坐标确定。

如()()(),,,,,a x z a y z a x y '''表示。

因此，根据点的投影规律，知道点的任两面投影，第三面投影均可求。

机械制图重点知识点机械制图重点知识点第二章投影基础小结：点的投影1.点的投影特性: 两个垂直，一个相等①a'a⊥OX轴a'a"⊥OZ轴②aax= a"az=y2.点的坐标与投影:点A到W面的距离= x = oax点A到V面的距离= y = aax点A到H面的距离= z = a’ax3.点的相对位置:X:左右, Y:前后(大拇指),Z:上下，坐标大者为左、前、上.4.重影点:上遮下，左遮右，前遮后。

一、各种位置直线的投影特性(三大类七种位置直线)⒈一般位置直线（三斜无实长）三个投影与各投影轴都倾斜。

⒉投影面平行线（一斜两平行）水平线、正平线、侧平线在其平行的投影面上的投影反映线段实长，与相应投影面的倾角。

另两个投影平行于相应的投影轴。

⒊投影面垂直线（一点两垂直）铅垂线、正垂线、侧垂线在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。

另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。

二、直线上的点⒈从属性：点的投影在直线的同面投影上。

⒉定比性：点分线段之比在投影中不变。

平面的投影一、各种位置平面的投影特性⒈一般位置平面（三类似）三个投影为边数相等的类似多边形。

⒉投影面垂直面（一斜两类似）在其垂直的投影面上的投影积聚成直线。

另外两个投影为类似多边形。

⒊投影面平行面（两线一实形）在其平行的投影面上的投影反映实形。

另外两个投影积聚为直线。

空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉一、平行问题（P38）⒈直线与平面平行直线平行于平面内的一条直线。

当直线与特殊位置平面相平行时，直线的投影平行于平面的具有积聚性的同面投影。

⒉两平面平行若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。

二、相交问题⒈求直线与平面⑴平面特殊，利用交点的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一个投影可投在直线的另一个投影上；可见性直接判断。

(P47)⑵直线特殊，利用交点的一个投影与直线的积聚性投影重合，另一个投影可利用平面上取点的方法求解；可见性用重影点判断。

第二章点、直线和平面的投影我们知道，点、直线和平面是形成立体的基本几何元素，因此，在学习形体的投影之前，我们首先要掌握这些几何元素的投影规律。

§2-1 投影的基本知识一．投影的形成人们在投影现象的基础上，经过科学的抽象：将太阳光或灯光抽象为投射中心，将光线抽象为投射线，将地面抽象为投影面，于是就形成了投影方法。

．．．形．的方法。

●投影的三要素：投射线、形体、投影面●三要素之间关系：人（投射线）——物——面二．投影法的分类1．中心投影法：投射线从投影中心出发的投影法。

（投影线交于一点）缺点：随着物体和投影面之间距离的改变，其投影图的大小会改 变；随着投射角度不同，其投影图的形状也有所变化。

因而 不能反映物体的真实形状和大小，不适合绘制机械图样。

特点：立体感较强，建筑上用作透视投影，绘制建筑物的效果图。

2．平行投影法：投射线互相平行⑴斜投影法——投射线 投影面 缺点：投射角度不同，图形形状变化。

特点：立体感较强，用作斜轴测投影。

⑵正投影法——投射线⊥投影面特点：能够反映形体的真实形状和大小，工程上多。

应用：工程上应用的正投影法有正投影图——绘制机械图样 正轴测投影图——绘制立体图 标高投影图——表达地形图三． 正投影的基本性质a) 显实性——线或面平行于投影面b) 积聚性——线或面垂直于投影面c) 类似性——线或面倾斜于投影面d) 平行性——空间互相平行的直线，其同面投影依然保持平行。

四．多面正投影法点Ａ的空间位置的。

是不能唯一的确定其空间形状的。

多面正投影图具有正投影法的所有性质，并具有良好的度量性,只要物体上的平面或直线与投影面平行，就能反映其实形或实长。

最常见的是三面正投影（三视图）。

§2-2 点的投影点是组成形体的最基本几何元素，在形体中以顶点（交点）的形式存在。

一． 点在三投影面体系中的投影１． 三投影面体系的建立三个投影面互相垂直（V ⊥H ⊥W H V —— W 三个投影轴互相垂直（OX ⊥OY ⊥OZ ） OX ——V 面与H 面的交线，代表长度方向 OY ——H 面与W 面的交线，代表宽度方向 OZ ——V 面与W 面的交线，代表高度方向 2． 点在三投影面体系中的投影及三投影面的展开 水平投影a ——从上向下投影到H 正面投影a ′——从前向后投影到侧面投影a ″——从左向右投影到 直的投影面展开在一个平面上。