公开课：角平分线性质

12．3 角的平分线的性质第1课时 角平分线的性质1．经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理．(重点) 2．能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题．(难点)一、情境导入问题：在S 区有一个集贸市场P ，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P 点建两条路，一条到公路，一条到铁路．问题1：怎样修建道路最短？ 问题2：往哪条路走更近呢？二、合作探究探究点一：角平分线的作法如图，AB ∥CD ，以点A 为圆心，小于AC 长为半径作圆弧，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，再分别以E 、F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP ，交CD于点M .若∠ACD ＝120°，求∠MAB 的度数．解析：根据AB ∥CD ，∠ACD ＝120°，得出∠CAB ＝60°，再根据AM 是∠CAB 的平分线，即可得出∠MAB 的度数．解：∵AB ∥CD ，∴∠ACD ＋∠CAB ＝180°，又∵∠ACD ＝120°，∴∠CAB ＝60°，由作法知，AM 是∠CAB 的平分线，∴∠MAB ＝12∠CAB ＝30°.方法总结：通过本题要掌握角平分线的作图步骤，根据作图明确AM 是∠BAC 的角平分线是解题的关键．探究点二：角平分线的性质【类型一】 利用角平分线的性质证明线段相等如图：在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD ＝DF .求证：(1)CF ＝EB ；(2)AB ＝AF ＋2EB .解析：(1)根据角平分线的性质，可得点D 到AB 的距离等于点D 到AC 的距离，即CD ＝DE .再根据Rt △CDF ≌Rt △EDB ，得CF ＝EB ；(2)利用角平分线的性质证明△ADC 和△ADE 全等得到AC ＝AE ，然后通过线段之间的相互转化进行证明．证明：(1)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴DE ＝DC .∵在Rt △DCF 和Rt △DEB 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧DF ＝BD ，DC ＝DE ，∴Rt △CDF ≌Rt △EDB (HL)．∴CF ＝EB ；(2)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴CD ＝DE .在△ADC 与△ADE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝DE ，AD ＝AD ，∴△ADC ≌△ADE (HL)，∴AC ＝AE ，∴AB ＝AE ＋BE ＝AC ＋EB ＝AF ＋CF ＋EB ＝AF ＋2EB . 方法总结：角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在运用时一定要注意是两条“垂线段”相等．【类型二】 角平分线的性质与三角形面积的综合运用如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，则AC 的长是( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：过点D 作DF ⊥AC 于F ，∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，∴DF ＝DE ＝2，∴S △ABC＝12×4×2＋12AC ×2＝7，解得AC ＝3.故选D. 方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．【类型三】 角平分线的性质与全等三角形综合如图所示，D 是△ABC 外角∠ACG 的平分线上的一点．DE ⊥AC ，DF ⊥CG ，垂足分别为E ，F .求证：CE ＝CF .解析：由角平分线的性质可得DE ＝DF ，再利用“HL ”证明Rt △CDE 和Rt △CDF 全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．证明：∵CD 是∠ACG 的平分线，DE ⊥AC ，DF ⊥CG ，∴DE ＝DF .在Rt △CDE 和Rt △CDF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝CD ，DE ＝DF ，∴Rt △CDE ≌Rt △CDF (HL)，∴CE ＝CF . 方法总结：全等三角形的判定离不开边，而角平分线的性质是判定线段相等的主要依据，可作为判定三角形全等的条件．三、板书设计角平分线的性质1．角平分线的作法； 2．角平分线的性质； 3．角平分线性质的应用．本节课由于采用了动手操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生对角以及角平分线的性质的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生在性质的运用上还存在问题，需要在今后的教学与作业中进一步的加强巩固和训练．第2课时 含30°角的直角三角形的性质1．理解并掌握含30°角的直角三角形的性质定理．(重点)2．能灵活运用含30°角的直角三角形的性质定理解决有关问题．(难点)一、情境导入 问题：1．我们学习过直角三角形，直角三角形的角之间都有什么数量关系？ 2．用你的30°角的直角三角尺，把斜边和30°角所对的直角边量一量，你有什么发现？ 今天，我们先来看一个特殊的直角三角形，看它的边角具有什么性质．二、合作探究探究点：含30°角的直角三角形的性质【类型一】 利用含30°角的直角三角形的性质求线段长如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，CD 是斜边AB 上的高，AD ＝3cm ，则AB 的长度是( )A ．3cmB ．6cmC ．9cmD ．12cm解析：在Rt △ABC 中，∵CD 是斜边AB 上的高，∴∠ADC ＝90°，∴∠ACD ＝∠B ＝30°.在Rt △ACD 中，AC ＝2AD ＝6cm ，在Rt △ABC 中，AB ＝2AC ＝12cm.∴AB 的长度是12cm.故选D.方法总结：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．【类型二】 与角平分线或垂直平分线性质的综合运用如图，∠AOP ＝∠BOP ＝15°，PC ∥OA 交OB 于C ，PD ⊥OA 于D ，若PC ＝3，则PD等于( )A ．3B ．2C ．1.5D ．1解析：如图，过点P 作PE ⊥OB 于E ，∵PC ∥OA ，∴∠AOP ＝∠CPO ，∴∠PCE ＝∠BOP ＋∠CPO ＝∠BOP ＋∠AOP ＝∠AOB ＝30°.又∵PC ＝3，∴PE ＝12PC ＝12×3＝1.5.∵∠AOP ＝∠BOP ，PD ⊥OA ，∴PD ＝PE ＝1.5.故选C.方法总结：含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．【类型三】 利用含30°角的直角三角形的性质探究线段之间的倍、分关系如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，过点D 作DE ⊥AB .DE 恰好是∠ADB 的平分线．CD 与DB 有怎样的数量关系？请说明理由．解析：由条件先证△AED ≌△BED ，得出∠BAD ＝∠CAD ＝∠B ，求得∠B ＝30°，即可得到CD ＝12DB .解：CD ＝12DB .理由如下：∵DE ⊥AB ，∴∠AED ＝∠BED ＝90°.∵DE 是∠ADB 的平分线，∴∠ADE ＝∠BDE .又∵DE ＝DE ，∴△AED ≌△BED (ASA)，∴AD ＝BD ，∠DAE ＝∠B .∵∠BAD ＝∠CAD ＝12∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD ＝∠B .∵∠BAD ＋∠CAD ＋∠B ＝90°，∴∠B ＝∠BAD ＝∠CAD＝30°.在Rt △ACD 中，∵∠CAD ＝30°，∴CD ＝12AD ＝12BD ，即CD ＝12DB .方法总结：含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质．【类型四】 利用含30°角的直角三角形解决实际问题某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知AC ＝50m ，AB ＝40m ，∠BAC ＝150°，这种草皮每平方米的售价是a 元，求购买这种草皮至少需要多少元？解析：作BD ⊥CA 交CA 的延长线于点D .在Rt △ABD 中，利用30°角所对的直角边是斜边的一半求BD ，即△ABC 的高．运用三角形面积公式计算面积求解．解：如图所示，作BD ⊥CA 于D 点．∵∠BAC ＝150°，∴∠DAB ＝30°.∵AB ＝40m ，∴BD ＝12AB ＝20m ，∴S △ABC ＝12×50×20＝500(m 2)．已知这种草皮每平方米a 元，所以一共需要500a 元．方法总结：解此题的关键在于作出CA 边上的高，根据相关的性质推出高BD 的长度，正确的计算出△ABC 的面积．三、板书设计含30°角的直角三角形的性质性质：在直角三角形中，如果一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．本节课借助于教学活动的开展，有效地激发了学生的探究热情和学习兴趣，从而引导学生通过自主探究以及合作交流等活动探究并归纳出本节课所学的新知识，促进了学生思维能力的提高．不足之处是部分学生的综合运用知识解决问题的能力还有待于在今后的教学和作业中进行进一步的训练和提高．六、词语点将（据意写词）。

角平分线的性质的教案一、教学目标：1. 知识与技能：了解角平分线的定义和性质，学会运用角平分线的性质解题。

2. 过程与方法：通过教师讲解和实例演示相结合的方式，提高学生的理解和运用能力。

3. 情感态度价值观：培养学生严谨的数学思维，注重观察与推理，提高学生的自学、合作学习和解决问题的能力。

二、教学重点与难点：1. 重点：掌握角平分线的定义和性质。

2. 难点：运用角平分线的性质解决实际问题。

三、教学过程：Step 1 引入新知（1）教师通过提问，引导学生回顾角的定义和性质，复习相关知识。

（2）教师出示一张图纸，上面有两条射线，从一个点出发，交于一点，并各自形成两个角。

教师问学生：如何判断这两个角是否相等？请从几何性质的角度进行推理。

Step 2 角平分线的定义（1）教师解释角平分线的含义：角平分线是指从角的顶点出发，把角分成两个相等的角的射线或线段。

（2）教师出示角平分线的实例图，并要求学生观察并总结出角平分线的特点。

Step 3 角平分线的性质（1）教师提供一些角平分线的性质，如：a. 角平分线把一个角分成两个相等的角。

b. 一个角的两个相等角的角平分线相交于同一点，且这个点在角的内部。

（2）教师通过具体例子进行演示，让学生观察并找出角平分线的性质，引导学生进行类比和推理。

Step 4 角平分线的运用（1）教师提供一些具体问题，要求学生利用角平分线的性质解决问题。

a. 已知一个角的两个角平分线相交于点O，求证这两个角相等。

b. 在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，且∠ADB = 30°，求证∠ACB = 60°。

（2）学生独立思考并进行解答，然后进行讨论，通过合作学习的方式互相交流和纠正错误。

Step 5 拓展练习（1）教师布置一些拓展练习题，要求学生独立完成。

（2）教师进行答疑解惑，引导学生进行错误分析和订正，提高学生的解题能力和思维能力。

四、教学反思：本节课通过引导学生观察、思考和推理，使学生在实际操作中领会到角平分线的定义和性质，并能灵活运用角平分线的性质解决实际问题。

人教版初中公开课一等奖教案《角平分线的性质》(一)创设情境导入新课不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。

你有什么办法?如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢?设计目的：能聚拢学生的思维为新课的开展创造了良好的教学氛围。

(二)合作交流探究新知(活动一)探究角平分仪的原理。

具体过程如下：播放奥巴马访问我国的录像资料------引出雨伞-----观察它的截面图，使学生认清其中的边角关系-----引出角平分线;并且运用几何画板对伞的开合进行动态演示，让学生直观感受伞面形成的角与主杆的关系-----让学生设计制作角平分仪;并利用以前所学的知识寻找理论上的依据，说明这个仪器的制作原理。

设计目的：用生活中的实例感知。

以最近大事作引入点，以最常见的事物为载体，让学生感受到生活中处处都有数学，认识到数学的价值。

其中设计制作角平分仪，可培养学生的创造力和成就感以及学习数学的兴趣。

使学生很轻松的完成活动二。

(活动二)通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法.自己动手做做看.然后与同伴交流操作心得.分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性。

讨论结果展示：教师根据学生的叙述，利用多媒体课件演示作已知角的平分线的方法：已知：∠AO B.求作：∠AOB的平分线.作法：(1)以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N.(2)分别以M、N为圆心，大于1/2MN的长为半径作弧.两弧在∠AOB内部交叉点C.(3)作射线OC，射线OC即为所求.设计目的：使学生能更直观地理解画法，提高学习数学的兴趣。

议一议：1.在上面作法的第二步中，去掉“大于MN的长”这个条件行吗?2.第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗?设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解，培养数学严密性的良好学习习惯。

学生讨论结果总结：1.去掉“大于MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线.2.若分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB•的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，•否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了.3.角的平分线是一条射线.它不是线段，也不是直线，•所以第二步中的两个限制缺一不可.4.这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明.(活动三)探究角平分线的性质思考：已知一角及其角平分线添加辅助线构成全等三角形;构成全等的直角三角形。

角平分线性质教案一、教学目标1. 知识与技能：- 理解什么是角平分线及其性质；- 掌握角平分线的性质及其应用。

2. 过程与方法：- 通过示例，引导学生发现并理解角平分线的性质；- 教师讲解和学生独立思考相结合，培养学生分析问题的能力；- 通过练习题，巩固对角平分线性质的理解和应用。

3. 情感态度与价值观：- 培养学生善于观察和思考的习惯；- 培养学生对几何问题的兴趣，提高学生的几何思维能力；- 培养学生合作学习的能力。

二、教学重点与难点1. 教学重点：- 角平分线的定义及其性质；- 使用角平分线解决实际问题。

2. 教学难点：- 掌握角平分线的性质及其推理过程；- 理解并灵活运用角平分线的性质解决实际问题。

三、教学过程1. 导入（5分钟）- 教师出示一张图纸，图纸中画有一个三角形ABC，并标出角A、角B和角C。

- 请学生观察图纸，思考如何将角A平分。

2. 观察与总结（10分钟）- 学生应用直尺或者量角器研究平分角A的方法，并就此和同学们讨论交流。

- 教师引导学生将总结写在黑板上。

3. 角平分线的定义与性质（15分钟）- 教师向学生介绍角平分线定义：在一个角的内部，从顶点引一条射线，使得这条射线把该角分成两个相等的角，这条射线就是角的平分线。

- 教师讲解角平分线的性质，并与学生一起探讨证明过程。

4. 角平分线练习（15分钟）- 教师将一些角的平分线问题写在黑板上，要求学生独立思考并解答。

- 学生完成后，教师与学生分享思路和解答过程。

5. 角平分线的应用（10分钟）- 教师给出一些实际问题，并引导学生运用角平分线的性质进行解答。

- 学生独立思考和解答，然后与同学讨论答案。

6. 总结与拓展（10分钟）- 教师对本节课的内容进行小结，并强调角平分线的定义和性质。

- 学生可以自由提问有关角平分线的问题，并与同学一起探讨。

7. 作业布置（5分钟）- 布置相关练习题，要求学生独立完成，并明天交作业。

四、教学反思本节课采用了多种教学方法，如观察与总结、讨论解题等。

1．4角平分线的性质1．理解并掌握角平分线的性质及判定；(重点)2．能够对角平分线的性质及判定进行简单应用．(难点)一、情境导入在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路．问题1：怎样修建道路最短？问题2：往哪条路走更近呢？二、合作探究探究点一：角平分线上的点到角两边的距离相等【类型一】利用角平分线的性质求线段长如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC ＝BC，∠BAC的平分线AD交BC于D，DE ⊥AB于E，假设AB＝7cm，那么△DBE的周长是____________．解析：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠BAC的平分线AD交BC于D，DE ⊥AB于E，根据角平分线的性质，可得CD ＝ED，AC＝AE＝BC，继而可得△DBE的周长为DE＋BD＋BE＝CD＋BD＋BE＝BC ＋BE＝AE＋BE＝AB.故答案为7cm.方法总结：此题考查了角平分线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．【类型二】利用角平分线的性质求面积如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC且交BC的延长线于点F.假设AB＝18cm，BC＝12cm，DE cm，求△ABC 的面积．解析：根据角平分线的性质得到DE＝DF，再将△ABC分成△BCD和△ADB两个三角形，分别求出它们的面积再求和．解：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF ⊥BF，∴DE＝DF.∵S△ABC＝S△BCD＋S△ABD＝12BC·DF＋12AB·DE＝12(BC＋AB)·DE＝12×30×＝36(cm2)．方法总结：如果求三角形面积出现困难可将此三角形分成几个三角形再利用一些性质，如角平分线的性质或等腰三角形的性质，求这几个三角形面积的和．【类型三】利用角平分线的性质进行证明如图，∠1＝∠2，P为BN上一点且PD⊥BC于D，AB＋BC＝2BD，求证：∠BAP ＋∠BCP＝180°.解析：过点P作PE⊥BA，根据条件得Rt△BPE≌Rt BPD，再根据AB＋BC＝2BD 得AE＝CD，可证Rt△APE和Rt PDC，可得∠PCD＝∠P AE，根据邻补角互补可得∠BAP＋∠BCP＝180°.证明：过P作PE⊥AB，交BA的延长线于E.∵PD⊥BC，∠1＝∠2，∴PE＝PD，在Rt△BPE和Rt△BPD中，⎩⎪⎨⎪⎧PE＝PD，BP＝BP，∴Rt△BPE≌Rt△BPD(HL)，∴BE＝BD.∵AB ＋BC＝2BD，BC＝CD＋BD，AB＝BE－AE，∴AE＝CD.∵PE⊥BE，PD⊥BC，∴∠PEA ＝∠PDC＝90°.在△PEA和△PDC中，⎩⎪⎨⎪⎧PE ＝PD ，∠PEB ＝∠PDC ，AE ＝CD ，∴△PEA ≌△PDC (SAS)，∴∠PCD ＝∠P AE .∵∠BAP ＋∠EAP ＝180°，∴∠BAP ＋∠BCP ＝180°.方法总结：题目中有角平分线可过角平分线上的点作角两边的垂线，这是角平分线题目中常见的辅助线．探究点二：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上如以下图，在△ABC 中，PD 垂直平分BC ，PM ⊥AB 于点M ，PN ⊥AC 交AC 的延长线于点N ，且BM ＝CN .求证：∠1＝∠2.解析：先根据中垂线性质得出PB ＝PC ，再根据HL 证Rt △PBM ≌Rt △PCN ，再根据角平分线性质的逆定理得出结论．证明：连接PB 、PC .∵PD 垂直平分BC ，∴PB ＝PC .∵PM ⊥AB ，PN ⊥AC ，∴∠PMB ＝∠PNC ＝90°.在Rt △PBM 与Rt △PCN 中，∵PB ＝PC ，BM ＝CN ，∴Rt △PBM ≌Rt △PCN (HL)．∴PM ＝PN .∴点P 在∠BAC 的平分线上，即∠1＝∠2.方法总结：证明一条射线是角的平分线有两种方法：一是利用三角形全等证明；二是利用角平分线性质定理的逆定理证明．显然，方法二比方法一更简捷，在用方法二判定一条射线是一个角的平分线时一般分两步：一是找出或作出射线上的一点到角两边的垂线段；二是证明这两条线段相等．探究点三：角平分线的性质和判定的综合应用如以下图，在△ABC 外作等腰三角形ABD 和等腰三角形ACE ，且使它们的顶角∠DAB ＝∠EAC ，连接BE 、CD 相交于P 点，AP 的延长线交BC 于F 点，试判断∠BPF 与∠CPF 的关系，并加以说明．解析：首先猜测∠BPF ＝∠CPF ，即∠DP A ＝∠EP A ，显然这两个角所在的三角形不一定全等，可考虑用角平分线的判定来求解．解：∠BPF ＝∠CPF ，理由如下：过A 点作AM ⊥DC 于M ，作AN ⊥BE 于N .∵∠DAB ＝∠EAC ，∴∠DAB ＋∠BAC ＝∠EAC ＋∠BAC ，∴∠DAC ＝∠BAE ，在△BAE 和△DAC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠BAE ＝∠DAC ，AE ＝AC ，∴△BAE ≌△DAC (SAS)，∴BE ＝DC ，S △BAE ＝S △DAC .∵AM ⊥DC ，AN ⊥BE ，∴12BE ·AN ＝12DC ·AM ，∴AN ＝AM ，∴P A 平分∠DPE ，∴∠DP A ＝∠APE .又∵∠DP A ＝∠CPF ，∠EP A ＝∠BPF ，∴∠BPF ＝∠CPF .方法总结：证明两个角相等：①如果在一个三角形里，通常利用等边对等角；②如果在两个三角形里，通常证所在的两个三角形全等或利用角平分线的判定．探究点四：利用角平分线的性质作图 如以下图，一条南北走向的铁路与一条东西走向的公路交叉通过，一工厂在铁路的东面，公路的南面，距交叉路口300m ，并且工厂到铁路与公路的距离相等．请在图上标出工厂的位置，并说明理由(比例尺为1∶20000)．解：画出∠AOB的平分线OC，在射线OC上量出表示实际距离300m长度的图上距离线段OP，OP＝300×120000＝0.015(m)＝1.5(cm)．因为角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以点P即是工厂在图中的位置．方法总结：解决此类问题的关键是把实际问题转化为数学模型，进一步运用数学知识来解决．三、板书设计角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．角平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．在教学中要注意强调与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等，从而可以简化解题过程.4．5一次函数的应用第1课时利用一次函数解决实际问题1．根据问题条件找出能反映出实际问题的函数；(重点)2．能利用一次函数图象解决简单的实际问题，开展学生的应用能力；(重点) 3．建立一次函数模型解决实际问题．(难点)一、情境导入联通公司话费收费有A套餐(月租费15元，通话费每分钟0.1元)和B套餐(月租费0元，通话费每分钟0.15元)两种．设A 套餐每月话费为y1(元)，B套餐每月话费为y2(元)，月通话时间为x分钟．(1)分别表示出y1与x，y2与x的函数关系式；(2)月通话时间为多长时，A、B两种套餐收费一样？(3)什么情况下A套餐更省钱？二、合作探究探究点：一次函数与实际问题利用图象(表)解决实际问题我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费的方法收费：月用水10t以内(包括10t)的用户，每吨收水费a元；月用水超过10t的用户，10t水仍按每吨a元收费，超过10t的局部，按每吨b元(b>a)收费．设某户居民月用水x t，应收水费y元，y与x之间的函数关系如以下图．(1)求a的值，并求出该户居民上月用水8t应收的水费；(2)求b的值，并写出当x>10时，y与x 之间的函数表达式；(3)上月居民甲比居民乙多用4t水，两家共收水费46元，他们上月分别用水多少吨？解析：(1)用水量不超过10t时，设其函数表达式为y＝ax，由上图可知图象经过点(10，15)，从而求得a的值；再将x＝8代入即可求得应收的水费；(2)可知图象过点(10，15)和(20，35)，利用待定系数法可求得b的值和函数表达式；(3)分别判断居民甲和居民乙用水比10t多还是比10t少，然后用相对应的表达式分别求出甲、乙上月用水量．解：(1)当0≤x≤10时，图象过原点，所以设y＝ax.把(10，15)代入，解得ayx(0≤x≤10)．当x＝8时，y×8＝12，即该户居民的水费为12元；(2)当x>10时，设y＝bx＋m(b≠0)．把(10，15)和(20，35)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧10b ＋m ＝15，20b ＋m ＝35，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，m ＝－5，即超过10t 的局部按每吨2元收费，此时函数表达式为y ＝2x －5(x >10)； (3)因为10×1.5＋10×1.5＋4×2＝38<46，所以居民乙用水比10t 多．设居民乙上月用水x t ，那么居民甲上月用水(x ＋4)t.y 甲＝2(x ＋4)－5，y 乙＝2x ，得[2(x ＋4)－5]＋(2x －5)＝46，解得x t ，居民乙用水12t.方法总结：此题的关键是读懂图象，从图象中获取有用信息，列出二元一次方程组得出函数关系式，根据关系式再得出相关结论．广安某水果店方案购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示：(1)假设该水果店预计进货款为1000元，那么这两种水果各购进多少千克？(2)假设该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？解析：(1)根据方案购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，进而利用该水果店预计进货款为1000元，得出等式求出即可；(2)利用两种水果每千克的利润表示出总利润，再利用一次函数增减性得出最大值即可．解：(1)设购进甲种水果x 千克，那么购进乙种水果(140－x )千克，根据题意可得5x ＋9(140－x )＝1000，解得x ＝65，∴140－x ＝75(千克)．答：购进甲种水果65千克，乙种水果75千克；(2)由图表可得甲种水果每千克利润为3元，乙种水果每千克利润为4元．设总利润为W ，由题意可得W ＝3x ＋4(140－x )＝－x ＋560，故W 随x 的增大而减小，那么x 越小，W 越大．∵该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，∴140－x ≤3x ，解得x ≥35，∴当x ＝35时，W 最大＝－35＋560＝525(元)，故140－35＝105(千克)．答：当购进甲种水果35千克，购进乙种水果105千克时，此时利润最大为525元．方法总结：利用一次函数增减性得出函数最值是解题关键．如图①，底面积为30cm 2的空圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体〞，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h (cm)与注水时间t (s)之间的关系如图②所示．请根据图中提供的信息，解答以下问题：(1)圆柱形容器的高为多少？匀速注水的水流速度(单位：cm 3/s)为多少？(2)假设“几何体〞的下方圆柱的底面积为15cm 2，求“几何体〞上方圆柱的高和底面积．解析：(1)根据图象，分三个局部：注满“几何体〞下方圆柱需18s ；注满“几何体〞上方圆柱需24－18＝6(s)；注满“几何体〞上面的空圆柱形容器需42－24＝18(s)，再设匀速注水的水流速度为x cm 3/s ，根据圆柱的体积公式列方程，再解方程；(2)由图②知几何体下方圆柱的高为a cm ，根据圆柱的体积公式得a ·(30－15)＝18×5，解得a ＝6，于是得到“几何体〞上方圆柱的高为5cm ，设“几何体〞上方圆柱的底面积为S cm 2，根据圆柱的体积公式得5×(30－S )＝5×(24－18)，再解方程即可．解：(1)根据函数图象得到圆柱形容器的高为14cm ，两个实心圆柱组成的“几何体〞的高度为11cm ，水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体〞到注满用了42－24＝18(s)，这段高度为14－11＝3(cm)．设匀速注水的水流速度为x cm3/s，那么18·x＝30×3，解得x＝5，即匀速注水的水流速度为5cm3/s；(2)由图②知“几何体〞下方圆柱的高为a cm，那么a·(30－15)＝18×5，解得a＝6，所以“几何体〞上方圆柱的高为11－6＝5(cm)．设“几何体〞上方圆柱的底面积为S cm2，根据题意得5×(30－S)＝5×(24－18)，解得S＝24，即“几何体〞上方圆柱的底面积为24cm2.方法总结：此题考查了一次函数的应用：把分段函数图象中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题．【类型二】建立一次函数模型解决实际问题某商场欲购进A、B两种品牌的饮料共500箱，两种饮料每箱的进价和售价如下表所示．设购进A种饮料x箱，且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为y元．(1)求y关于x的函数表达式；(2)如果购进两种饮料的总费用不超过20000元，那么该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润．(注：利润＝售价－本钱)解析：由表格中的信息可得到A、B两种品牌每箱的利润，再根据它们的数量求出利润，进而利用函数的图象性质求出最大利润．解：(1)由题意，知B种饮料有(500－x)箱，那么y＝(63－55)x＋(40－35)(500－x)＝3xy＝3x＋2500(0≤x≤500)；(2)由题意，得55x＋35(500－x)≤x≤125.∴当x＝125时，y最大值＝3×125＋2500＝2875.∴该商场购进A、B两种品牌的饮料分别为125箱、375箱时，能获得最大利润2875元．方法总结：此类题型往往取材于日常生活中的事件，通过分析、整理表格中的信息，得到函数表达式，并运用函数的性质解决实际问题．解题的关键是读懂题目的要求和表格中的数据，注意思考的层次性及其中蕴含的数量关系．【类型三】两个一次函数图象在同一坐标系内的问题为倡导低碳生活，绿色出行，某自行车俱乐部利用周末组织“远游骑行〞活动．自行车队从甲地出发，途经乙地短暂休息完成补给后，继续骑行至目的地丙地，自行车队出发1小时后，恰有一辆邮政车从甲地出发，沿自行车队行进路线前往丙地，在丙地完成2小时装卸工作后按原路返回甲地，自行车队与邮政车行驶速度均保持不变，，如图表示自行车队、邮政车离甲地的路程y(km)与自行车队离开甲地时间x(h)的函数关系图象，请根据图象提供的信息解答以下各题：(1)自行车队行驶的速度是________km/h；(2)邮政车出发多少小时与自行车队首次相遇？(3)邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地多远？解析：(1)由速度＝路程÷时间就可以求出结论；(2)由自行车的速度就可以求出邮政车的速度，再由追击问题设邮政车出发a小时两车相遇建立方程求出其解即可；(3)由邮政车的速度可以求出B的坐标和C的坐标，由自行车的速度就可以D的坐标，由待定系数法就可以求出BC，ED的解析式就可以求出结论．解：(1)由题意得，自行车队行驶的速度是72÷3＝24km/h.(2)由题意得，邮政车的速度为24×2.5＝60(km/h)．设邮政车出发a 小时两车相遇，由题意得24(a ＋1)＝60a ，解得a ＝23.答：邮政车出发23小时与自行车队首次相遇；(3)由题意，得邮政车到达丙地所需的时间为135÷60＝94(h)，∴邮政车从丙地出发的时间为94＋2＋1＝214(h)，∴B (214，135)，C ，0)．自行车队到达丙地的时间为：135÷24＋0.5＝458＋0.5＝498(h)，∴D (498，135)．设BC的解析式为y 1＝k 1x ＋b 1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧135＝214k 1＋b 1，0k 1＋b 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－60，b 1＝450，∴y 1＝－60x ＋450，设ED 的解析式为y 2＝k 2x ＋b 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧72k 2＋b 2，135＝498k 2＋b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝24，b 2＝－12，∴y 2＝24xy 1＝y 2时，－60x ＋450＝24x －12，解得x ＝5.5.y 1＝－60×5.5＋450＝120.答：邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地120km.方法总结：此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次方程的综合运用，解答时求出函数的解析式是关键．三、板书设计一次函数与实际问题1．建立一次函数模型解实际问题2．利用图象(表)解决实际问题对于分段函数的实际应用问题中，学生往往无视了自变量的取值范围，同时解决有交点的两个一次函数图象的问题还存在一定的困难，有待在以后的教学中加大训练,力争逐步提高.。

角的平分线的教案一、教学目标：1. 理解角的概念，能够准确地描述角的特征；2. 掌握角的平分线的定义和性质；3. 能够运用角的平分线的性质解决相关问题。

二、教学内容：1. 角的概念和特征；2. 角的平分线的定义和性质；3. 相关问题的解决方法。

三、教学重点：1. 角的平分线的定义；2. 角的平分线的性质。

四、教学难点：1. 运用角的平分线性质解决相关问题。

五、教学准备：教学课件、黑板、粉笔、直尺、量角器。

六、教学过程：Step 1 导入通过展示一些日常生活中的角的例子，引出角的概念，并询问学生对角的理解。

Step 2 角的概念和特征1. 讲解角的定义：由两条射线共同起源于同一点称为角。

2. 介绍角的名称和符号：角的名称通常是由其中一条射线的端点和两条射线上的一点构成，角的符号常用大写字母表示。

3. 引导学生观察并总结角的特征：角的大小由两条射线之间的夹角决定，可用度数或弧度来度量。

Step 3 角的平分线的定义和性质1. 讲解角的平分线的定义：角的平分线是指将一个角分为两个相等的角的射线或线段。

2. 引导学生发现角的平分线的性质：角的平分线相互垂直且相交于角的顶点。

Step 4 角的平分线的性质的证明通过具体的几何图形，引导学生进行观察和讨论，从而理解角的平分线的性质，并帮助学生进行简单的证明。

Step 5 角的平分线的应用举例通过一些实际问题的讨论，引导学生运用角的平分线的性质解决相关问题，包括角度的求解和角度关系的推导。

Step 6 练习与巩固在黑板上出示一些练习题，让学生进行思考和解答，并给予相应的指导和讲解。

七、课堂总结：通过本堂课的学习，我们了解了角的概念和特征，学会了角的平分线的定义和性质，并能运用这些知识解决相关问题。

八、布置作业：1. 完成课堂上未能解答的练习题；2. 总结角的平分线的性质，并在作业本上写出。

九、教学反思：本堂课通过引导学生观察和探索，帮助学生深入理解了角的平分线的性质。

12.3 《角的平分线的性质》教学设计教学目标:知识与技能：1、掌握用尺规作已知角的平分线的方法；2、理解角的平分线的性质并能初步运用。

过程与方法：通过让学生经历观察演示，动手操作，合作交流，自主探究等过程，培养学生用数学知识解决问题的能力。

情感态度与价值观：培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，激发学生应用数学的热情。

教学重点：掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用。

教学难点：1、根据角的平分仪器提炼出角的平分线的尺规画法；2、角的平分线的性质的探究。

教学过程：［活动1］创设情景，动手操作1、请大家拿出角的纸片，现在我们一起来动手把这个角对折，请和老师一起做，把角的两边完全重合，对折好后请展开观察，这时出现了一条折痕，大家觉得这条折痕有什么特点？（把角平分成两等分、是角平分线）2、对，这条折痕就是我们学过的角平分线，（它是条什么线？）3、角的平分线除了有平分角的性质以外，还有不少的其他性质，今天我们就来探讨一下角平分线的其它性质。

（依据新课程理念，从学生的动手操作出发，目的是激发学生的学习兴趣。

）板书：12.3角的平分线的性质通过折纸的方法可以做一个角的平分线，可是如果这个角在黑板上，，木板上不能折啊，你有办法吗？［活动2］探究角平分仪原理请同学们看大屏上的角平分仪是如何作出角平分线的，并且观察木工师傅用的这个角平分仪有什么特点？(多媒体展示实验过程．)【问题】：请想一想，为什么AE是已知角的平分线？你能说明它的道理吗？（独立思考后，请举手示意我）学生回答证明过程，老师多媒体出示证明过程并及时做出课堂评价。

［活动3］新知掌握1：尺规作图【问题】:如果没有角平分仪,只用尺规我们能画出角的平分线吗?那就请你用角平分仪的提示来想一想如何用尺规作角的平分线，你也可以动手自己操作一下，独立思考好后，举手示意，我将请一位同学在黑板上按你想到的方法试着来画一下，老师会协助完成。

角平分线的性质教学目标1．体会角的对称性，掌握角平分线的性质和判定；2．能用尺规作图，作出已知角的平分线；3．运用角平分线的性质解决实际问题。

教学重难点重点：角平分线的性质难点：运用角平分线的性质解决实际问题教学手段多媒体，小黑板等教学课时第一课时教学过程个人复备【自主学习】活动一：探索角的轴对称性探索交流画∠AOB，折纸使OA、OB重合，折痕与∠AOB有什么关系？小结：角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线。

活动二：用尺规画角的平分线自学课本作图，完成以下问题，小组交流已知：∠BAC，求作：∠BAC的平分线AP作法：1、以为圆心，以为半径画弧，分别交这个角的两边于D、E两点，2、分别以D、E为，以为半径画弧，两弧交于点P，3、作射线AP,结论：学生动手操作：用折叠的方法验证尺规作图的正确性。

活动三：角平分线的性质学习课本第51-52页实验与探究，自主完成，交流结果。

结论：角平分线上的点到这个角的两边距离相等。

引导学生掌握数学语言 强调说明：在上面结论中，有两个条件（1）OC 是∠AOB 的平分线；（2）点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，才能得出PD ＝PE ，两者缺一不可.下图中PD ＝PE 吗？各缺少了什么条件？ 活动四：思考：在角的内部到角的两边距离相等的点位置上有什么特征？因此处还没有学直角三角形的判定方法：HL ，所以只能用折叠来验证。

练习：课本53页练习 【课堂小结】谈谈你本节课的收获【学以致用】1、如右图所示，在一次军事演习中，红方侦查员发现蓝方指挥部在A 区内，并且该指挥部到公路（实线）、铁路（虚线）的距离相等，距公路和铁路的交叉处B 点700m ，如果你是红方的指挥员，请你在右所示的作战地图上标出蓝方指挥部的位置。

（比例尺为1:40000）2、某市农副产品集散地M 位于三个村庄A 、B 、C 之间，其位置到三条公路AB 、AC 、BC 的距离相等，你能找到M 的位置吗？【巩固提升】1.在线段、角、圆、正方形这四种几何图形中，是轴对称图形的有（ ） A.1种 B.2种 C.3种 D.4种2.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，且DE 垂直平分斜边AB 于E.ABCA OBC D EPP E DC B OA(1)请你在图形中找出至少两对相等的线段，并说明它们为什么相等？(2)如果BC=6,AC=8,则△BDC的周长为多少？【达标检测】1.到三角形的三条边距离相等的点是（）。