角的平分线性质及应用

角平分线的性质是八年级数学中的重要内容之一，它是指从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等角的线段。

下面是关于角平分线的性质的总结，包括定义、性质和应用：一、定义：角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等角的线段。

角平分线是角的重要构造之一二、性质：1.角平分线将角分成两个相等的角。

即如果一条线段是一个角的平分线，则它将这个角分成两个度数相等的角。

2.角平分线与角的两边相交于一个点。

即角平分线与角的两边交于角的顶点。

3.角平分线与角的两边垂直相交于角平分线的中点。

即角平分线与角的两边垂直相交于角平分线上的一个点，该点同时也是角平分线的中点。

4.角平分线上的点到角的两边的距离相等。

即角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等。

5.两条平行线与角的顶点与顶边所在的线段构成的两个相似三角形，它们的角平分线平行。

即如果一条线段是一个角的平分线，另一条与之平行的线段也是这个角的平分线。

三、应用：1.判断角平分线。

当我们需要判断一个线段是否为一个角的平分线时，可以使用角平分线的定义和性质进行判断，即判断这个线段能否将角分成两个相等的角。

2.利用角平分线的性质解决问题。

当我们遇到需要将角分成两个相等的角的问题时，可以使用角平分线的性质进行解决。

例如，在解决相似三角形的问题中，可以利用角平分线的性质进行角的划分。

3.构造角平分线。

当我们需要构造角的平分线时，可以利用直尺和圆规进行构造。

常见的构造方法有尺规作图法和五线谱法等。

四、例题：1.已知角ABC，其中角平分线AD交角的两边于E、F两点，证明：AE=AF。

证明：根据角平分线的性质4，角平分线上的点到角的两边的距离相等，即DE=DF，又因为AD为角ABC的平分线，所以∠DAE=∠DAF。

再根据等腰三角形的性质，得知AE=AF。

2.已知直角三角形ABC中，角A=90°，角B的平分线BD与AC相交于点D，求证：∠ADB=45°。

证明：由直角三角形的性质，角B=90°-角A=90°-90°=0°，即角B为零角。

DOE BCAP 图2角平分线性质判定的分析与应用角平分线的性质定理与判定定理，学生往往由于理解不透，因而在具体应用时不会应用或应用不灵活. 下面就这两个定理作一简要分析并归纳其在数学中的应用，以期对同学们有所帮助.角平分线性质判定定理的分析：一、角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等. 【要点】条件：1. 点在角平分线上，2. 点到两边的距离，结论：3. 距离相等.【符号语言】如图1∵点P 在∠AOB 的平分线上，① PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，② ∴PD=PE. ③ 【作用】证线段相等.【辅助线添加提示】存在角平分线上的点， 作此点到角两边的垂线段.【错误警示】1. 学生在具体应用角平分线性质时，在做题步骤中往往出现类似漏写②，即没有点明PD 、PE 是点P 到角两边的距离，而只由①便得③的错误.2. 对定理的图形语言认识不足. 角平分线上的点到角两边的距离是指这个 点到角两边的垂线段的长度，而不是过此 点与角平分线垂直（或仅仅相交）的直线 与角两边相交所得的线段的长度.学生往往出现如下错误：如图2 ∵点P 在∠AOB 的平分线上， ∴PD=PE.二、角平分线判定定理：在一个角的内部，并且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.OE PCBDA图1【要点】条件：1. 点在角的内部，2. 点到角两边的距离相等，结论：3. 点在角的平分线上.【解释】到角两边距离相等的点所在的射线有4条，如图3，图中的虚线即是，所以要点1不可缺少.【符号语言】如图1，∵PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB ∴PD=PE ，∴点P 在∠AOB 的平分线上.【作用】：证点在角平分线上，证角相等. 角平分线性质判定定理的应用： 一、性质、判定定理往往同时应用.例1 已知，如图4，ΔABC 的外角∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点F. 求证：点F 在∠DAE 的平分线上.分析：要证点F 在∠DAE 的平分线上， 只要证出点F 到∠DAE 所以添加辅助线，过点F 作FM ⊥AD 于FN ⊥AE 于N ，证出FM=FN 即可. 而已知条件中存在两条角的平分线， 所以作其上的点到角两边的垂线段，过点F 作FH ⊥BC 于点H ，得到FM=FH ，FH=FN ，得FM=FN ，所以点F 在∠DAE 的平分线上.引申：由以上分析可以看出，ΔABC 的一个内角∠A 的平分线与另两个外角的平分线交于一点，此点到三角形三边的距离相等，这样的点在边AC 外和边AB 外还各有一个，一共有三个. 又因为三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等，所以到三角形三边距离相等的点共有四个.二、与等腰三角形、线段垂直平分线的性质判定同时应用.例2 已知，如图5，P 是∠AOB 的平分线上的一点，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别为点C 、D.求证：（1）OC=OD ；（2）OP 是CD 的垂直平分线.证明：(1) ∵P 是∠AOB 的平分线上的一点，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ， ∴PC=PD.∴∠PCD=∠PDC ， ∵∠PCO=∠PDO=900, ∴∠OCD=∠OD, ∴OC=OD. (2) ∵PC=PD ，∴点P 在CD 的垂直平分线上， 同理点O 在CD 的垂直平分线上∴OP 是CD 的垂直平分线.点评：此题也可通过三角形全等证明，或通过三线合一证明. 三、 在作图中的应用.例3 如图6，直线距离相等，可供选择的 地址有几处哪一处到 三条公路的距离最近 求作此点.分析：由例1知，可供选择的地址有四处，其中三角形的三条角平分线的交点离三条公路最近. 在作图时，只要作出ΔABC的两条角平分线，它们的交点即为所求.。

几何形的角平分线认识角平分线的性质与应用几何形的角平分线几何学中，角平分线是指将一个角分成两个相等角的线段。

本文将探讨角平分线的性质和应用。

一、角平分线的定义定义：角AOB的一条射线OC被称为角AOB的一条平分线，当且仅当OC把角AOB分成两个相等的角。

二、角平分线的性质1. 角平分线的两个性质（1）在一定平面内，如果一条线段OC是一角AOB的平分线，那么它必定只有一条。

（2）如果在一条角的内部取一点C，那么OC是AB的平分线，当且仅当∠AOC=∠BOC。

2. 角平分线定理角平分线定理是指：一个点在角的平分线上，当且仅当它到两条角的边距离相等。

（1）a在OC上，则AO=BO；（2）d在OE上，则OD=OE。

3. 角平分线的应用（1）内角平分线的应用在三角形ABC中，D为边BC上一点，AD是∠BAC的平分线，AE是∠CAD的平分线，如图所示。

[图]根据角平分线定理:AD是∠BAC的平分线，则AB/AC=BD/CD；AE是∠CAD的平分线，则AC/AB=CE/BE。

故有 BD/CD=CE/BE，两边同乘BC，可得 BD·BC=CE·BC，即BD·DC=CE·BE，这就是角平分线定理的应用。

（2）角平分线定理的推论在三角形ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE ⊥ AB，DF ⊥AC，则BD/CD=BF/CE。

因为三角形ADE与三角形BDF和三角形CDE都相似，所以BD/CD=BF/CE。

（3）外角平分线的应用在三角形ABC中，D和E分别为BC和AC的延长线上的点，AF是∠A的外角平分线，如图所示。

[图]连接DE并延长到与AF相交于点G，根据梅涅劳斯定理可得：BD/CD·AE/CE·AF/BF=1又根据角平分线定理可得：BD/CD=AB/ACAE/CE=AB/BCAF/BF=AB/BC带入可得：AB/AC·AB/BC·AB/BC=1，整理可得： AB²=AC·BC，这就是外角平分线应用的定理。

第三节角平分线的性质及应用一、课标导航二、核心纲要1．角平分线的性质定理角的平分线上的点到角的两边的距离相等．如下左图所示：∵OC平分∠AOB，CD⊥OA，CE⊥OB，∴CD=CE．注：考查点到线的距离相等时，可以考虑角平分线的性质．2．角平分线的判定定理到角的两边距离相等的点在角的平分线上．如下中图所示：∵CD⊥OA，CE⊥OB，CD=CE,∴OC平分∠AO B．注：用来证明一条线是一个角的平分线．3．角平分线的画法如下右图所示，已知：∠AO B．作法；（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N．（2）分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点C．（3）作射线O C．∴射线OC即为所求．4.三角形的角平分线三角形的三个内角的角平分线交于一点，且到三边的距离相等．5.与角平分线有关的辅助线模型（1）在角的平分线上取一点向角的两边作垂线．（点垂线，垂两边，线等全等都出现）如下左图所示，过点C作CD⊥OA，CE⊥OB，则CD=CE，△OCD≌△OCE．（2）在角两边截取相等的线段，构造全等三角形．（角分线，分两边，对称全等要记全）如下图所示:在OA、OB上分别截取OD=OE，连接CD、CE，则△OCD≌△OCE．（3）角平分线+垂线，全等必出现．如下右图所示：延长DC交OB于点E，则△OCD≌△OCE．本节重点讲解：两个定理，两个作法（角平分线的作法和与角平分线有关的辅助线）．三、全能突破基础演练1．如图12-3-1所示，OA是∠BAC的平分线，OM⊥AC于点M，ON⊥AB于点N，若ON=8cm，则OM长为（）．A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm2．如图12-3-2所示，OP平分∠AOB，P A⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A、B．下列结论中不一定成立的是（）A．P A=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP 3．如图12-3-3所示，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC=3：2，则△ABD与△ACD的面积之比为（）．A．3:2 B．9：4 C．2：3 D．4：94．如图12-3-4所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，若CD=n，AB=m，则△ABD的面积是．5．如图12-3-5所示，BD是∠ABC的平分线，AB=CB，点P在BD的延长线上，PM⊥AD，PN ⊥CD，垂足分别是点M、N，求证：PM=PN．6．如图12-3-6所示，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，DF⊥BC，BD平分∠AB C．（1）求证：∠BAD+∠BCD=180°．（2）若DF=3，BF=6，求四边形ABCD的面积．7．如图12-3-7所示，D、E、F分别是△ABC的三边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等，求证：AD平分∠BA C．能力提升8．如图12-3-8所示，∠AOB和一条定长线段a，在∠AOB内找一点P，使点P到OA、OB的距离都等于a，作法如下：（1）作OB的垂线NH，使NH=a，点H为垂足；（2）过点N作NM∥OB；（3）作∠AOB的平分线OP，与NM交于点P；（4）点P即为所求．其中（3）的依据是（）．A．平行线之间的距离处处相等B．到角的两边距离相等的点在角的平分线上C．角的平分线上的点到角的两边的距离相等D．到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上9．如图12-3-9所示，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S．若AQ=PQ，PR=PS，QD⊥AP，下列结论：①AS=AR；②AP平分∠BAC；③△BRP≌△CSP；④PQ∥AR．其中正确的是（）．A．①③B．②③C．①②④D．①②③④10．如图12-3-10所示，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）处．A．1 B．2 C．3D．411．如图12-3-11所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AC 的延长线于F，E为垂足．则结论：①AD=BF；②CF=CD；③AC+CD=AB；④BE=CF；⑤BF=2BE，其中正确结论的个数是（）．A．1 B．2 C．3 D．412．如图12-3-12所示，已知AB平行CD，∠CAB，∠ACD的平分线交于点O，OE⊥AC，且OE=2，则两平行线AB、CD之间的距离等于．13．（1）如图12-3-13所示，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于．（2）如图12-3-14所示，已知△ABC的周长是18cm，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD ⊥BC于点D，若△ABC的面积为54cm2，则OD= ．14．如图12-3-15所示，∠B=∠C=90°，M是BC中点，AM平分∠DAB，求证：DM平分∠AD C．15．如图12-3-16所示，在河中有座水文观测台O，它到河岸以及河上大桥AB的距离相等，一水文数据记录员站在台上，发现桥上有辆漂亮的彩车，从桥头A走到桥头B，问记录员的视线转过多大角度？16．如图12-3-17所示，在△ABC中，PB、PC分别是△ABC的外角的平分线，求证：∠1=∠2．17．已知，如图12-3-18所示，在△ABC和△DCE中，BC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE，B、C、E三点在一条直线上，A、B、C、D、E、F、G、O为“公交停靠点”，甲公共汽车从A站出发，按照A、F、G、E、C、F的顺序达到F站，乙公共汽车从B哦出发，按照BOFDGDF的顺序达到F站，（1）如果甲乙两公共汽车分别从AB站出发，在各站耽误的时间相同，两车的速度也相同，试问哪一辆公共汽车先达到指定站点？为什么？（2）求证：①∠AFB=∠CDE；②CF平分∠BFE．18．如图12-3-19所示，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD，垂足为点D，（1）求证：∠2=∠1+∠C；（2）若ED∥BC，∠ABD=28°，求∠ADE的度数．19．如图12-3-20所示，在△ABC中，AB＞AC，∠1=∠2，P为AD上任意一点．求证：AB－AC＞PB-P C．20．如图12-3-21所示，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由．中考链接21．（2011·浙江衢州）如图12-3-22所示，OP平分∠MON，P A⊥ON于点A，点Q是射线OM 上的一个动点，若P A=2，则PQ的最小值为（）．A．1 B．2 C．3 D．422．(2010·青海西宁)八（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图12-3-23所示）设计了如下方案：（I）∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．（II）∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P 的射线OP就是∠AOB的平分线．（1）方案（I）、方案（II）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由．（2）在方案（I）PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥O B．此方案是否可行？请说明理由．巅峰突破23．如图12-3-24所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，∠ACB的平分线与∠ABC 的外角平分线交于点E，则∠AEB=（）．A．50° B．45° C．40°D．35°24．如图12-3-25所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，AE=12BD，求证：BD是∠ABC的平分线．。

角平分线基本性质及简单应用角平分线的定义：一条射线，把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线. 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的举距离相等.（“3-1-4”定理）逆定理：到角两边距离相等的点在角的角平分线上.三角形角平分线性质：三角形三条角平分线交于三角形内部一点，并且交点到三边距离相等. 方法总结：（1）有角平分线时，常国角平分线上的点向角两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边距离相等. （2）有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形.（利用角平分线翻折）一、基本性质及简单应用例1. 如图，MP ⊥NP ，MQ 为ΔNMP 的角平分线，MT=MP ，连接TQ ，则下列结论中，不正确的是（ ）A. TQ=PQB. ∠MQT=∠MQPC.∠QTN=900D. ∠NQT=∠MQT例2．已知：如图，BD 是ABC ∠的平分线，BC AB =，P 在BD 上，AD PM ⊥，CD PN ⊥.求证：PN PM =.例3．如图，已知：在ABC ∆中，外角CBD ∠和BCE ∠的平分线BF ，CF 相交于点F . 求证：点F 在DAE ∠的平分线上.例4. D 是ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线的交点，DE ∥BC ，交AB 于E ，交AC 于F.求证：.CF BE EF -=例5.如图，CE ⊥AB 于E ，BD ⊥AC 于点D,BD,CE 交于点O ，且AO 平分∠BAC.（1）求证：OB=OC;(2 )若将条件“AO 平分∠BAC ”和结论“OB=OC ”互换，命题还能成立吗？请说明理由.M N P Q T F A AE DB C A BCE D O CE F DB A例6. 如图，ABC ∆是等腰直角三角形，︒=∠90A ，BD 是ABC ∠的平分线，BC DE ⊥于E ，cm BC 10=，求DEC ∆的周长.针对练习：1．如图，已知：AD 是ABC ∆的角平分线，DE 、DF 分别是ABD ∆和ACD ∆的高.求证：AF AE =.2．如图，已知：在ABC ∆中AD 是BAC ∠的平分线，AB DE ⊥于E ，AC DF ⊥于F .求证：EF AD ⊥.3．已知：如图，在ABC ∆中，︒=∠90C ，BC AC =，AD 是A ∠的平分线.求证：AB CD AC =+.4．如图，已知：CD BD =，AC BF ⊥于F ，AB CE ⊥于E .求证：D 在BAC ∠的平分线上.第 3 页 共 5 页二、拓展应用例1. EG ，FG 分别是∠MEF 和∠NFE 的平分线，交点是G 点，BP ，CP 分别是∠MBC 和∠NCB 的平分线，交点是P 点，点F,C 在AN 上，点B,E 在AM 上.(1) 如果∠G ＝470，那么∠P 的度数大小你能知道吗？ (2) 试求出来.点A,P,G 的位置关系如何？证明你的结论.例2. 如图，BD 平分∠ABC ，AD=DC ，BC>AB,问∠A 与∠C 有怎样的关系？变式题：若上题中条件该为“BD 平分∠ABC ，BC>AB, ∠A ＋∠C ＝1800.”求证：AD=DC.例3.如图,在△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线，AC=AB+BD.求证：∠B=2∠C 变式题: 如图,在△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线，∠B=2∠C. 求证： AC=AB+AD例4.如图，BD ＝DC,ED ⊥BC 交∠BAC 的平分线于E ，作EM ⊥AB,EN ⊥AC,求证：BM ＝CN.例5. 如图，∠B=∠C=900,M 点是BC 中点，DM 平分∠ADC.求证：AM 平分∠DAB. D C AB B M ED NC A A BD C A B D C变式题. 如图，AB ∥CD, ∠ABC 、∠BCD 的平分线恰好交于AD 上一点E ，试说明BC ＝AB+CD.针对练习：1.如图，D 是等边△ABC 内一点，DB ＝DA ，BP ＝AB ，∠DBP ＝∠DBC.求证：∠P ＝0302、已知：如图，在△ABC 中，∠B ＝060，△ABC 的角平分线AD 、CE 线相交于点O求证：AE+CD ＝AC3.如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，且AB=AC ，BE 平分∠ABC 交AC 于F ，过C 作BE 的垂线交BE 于E.求证：BF=2CE巩固性练习1、下列说法正确的有几个（ ）（1） 角的平分线上的点到角的两边的距离相等； （2） 三角形两个内角的平分线交点到三边距离相等；（3） 三角形两个内角的平分线的交点到三个顶点的距离相等；AB DPCABCE FD C A B M B A C DE DO A BCE第 5 页 共 5 页ED CBA （4） 点E 、F 分别在∠AOB 的两边上，P 点到E 、F 两点距离相等，所以P 点在∠AOB 的平分线上； （5） 若OC 是∠AOB 的平分线，过OC 上的点P 作OC 的垂线，交OB 于D ，交OA 于E ，则线段PD 、PE 的长分别是P 点到角两边的距离A ．2B 3C 4D 5 2、在△ABC 中，∠C ＝090，BC ＝16cm ，∠A 的平分线AD 交BC 于D ，且CD ：DB ＝3：5，则D 到AB 的距离等于＿＿＿＿3、已知：如图，BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，236cm S ABC =∆AB ＝18cm,BC ＝12cm, 求DE 的长4．已知：如图，在ABC ∆中，BE 、CF 分别平分ABC ∠、ACB ∠，且交于点O ，求证：点O 在A ∠的平分线上.5、.如图在 △ABC 中,∠BAC ＝100°,∠ACB ＝20°,CE 是∠ACB 的平分线,D 是BC 上一点,若∠DAC ＝20°,求∠CED 的度数.6.在四边形ABCD 中,BC ﹥BA,AD ＝CD,BD 平分∠ABC,∠C ＝72°,求∠BAD 的度数C B ADE CA B D O B F CEA。

角平分线性质定理定理说明在几何学中，角平分线性质定理是一个重要的几何定理。

它指出：如果一条直线将一个角分成两个相等的角（即平分该角），那么这条直线就被称为该角的角平分线。

根据这个定理，我们可以得出一些有趣的推论和性质。

角平分线的性质性质一：角平分线两侧的角相等若一条直线分割一个角，并且它分成的两个角相等，那么这条直线就是该角的平分线。

以角A为例，若BD为角A的角平分线，则∠ABD = ∠CBD。

性质二：角平分线在三角形中的应用在一个三角形中，如果一条角平分线平分了一个内角，那么它将三角形分成两个相似的三角形。

我们可以利用这个性质来求解三角形内部角的度数。

性质三：角平分线长度关系两内锐角平分线的长度之比等于与这两个角的正弦比值。

性质四：角平分线与外切圆关系若角BAC的角平分线交外接圆于点D，那么∠BDC = 90°。

性质五：角平分线的唯一性对于一个给定的角，其角平分线唯一且确定。

应用和分析角平分线性质定理在几何学中有着广泛的应用。

通过合理应用这些性质，我们可以有效地解决角平分线相关的问题，从而推理出更复杂的几何问题的解决方案。

同时，深入了解角平分线的性质也有助于提高我们的几何推理能力，培养我们的数学思维和逻辑推理能力。

结论角平分线性质定理是几何学中一个基础而重要的定理，它揭示了角平分线的一些重要性质和应用。

通过深入理解和应用这个定理，我们可以更好地解决几何学中有关角平分线的问题，并且提高自己的数学分析能力。

对于学习几何学的人来说，掌握角平分线性质定理是必不可少的，它将为我们的数学学习之路增添光彩。

九年级角平分线知识点总结角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等的小角的线段。

在九年级的几何学中，学生需要学习角平分线的性质和应用。

以下是对九年级角平分线知识点的总结。

一、角平分线的定义和性质角平分线的定义：从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等的小角的线段被称为角的平分线。

角平分线的性质：1. 角平分线将角分成两个相等的小角。

2. 角平分线与所分角的两边相交于一个点，并且与所分角的两边垂直相交。

3. 一个角的平分线只有一个。

二、角平分线的应用1. 找出角平分线：当需要找出一个角的平分线时，可以使用直尺和量角器进行作图。

首先，绘制出所给角；然后，在顶点处使用量角器测量出等分的角度，然后沿着顶点指示的方向绘制角平分线。

2. 角平分线的性质应用于证明：角平分线的性质可以在证明中起到重要的作用。

例如，可以利用角平分线的性质证明两个角相等。

3. 解题中的应用：角平分线的性质也可以在解题中应用。

例如，当需要计算一个角的度数时，可以利用角平分线将角分成两个相等的小角，从而更方便计算角的度数。

三、角平分线相关定理1. 角平分线定理：如果一条线段将一个角分成两个相等的小角，那么这条线段就是这个角的平分线。

2. 角平分线的角度关系：当一条角平分线与另外一个角的两边相交时，所形成的角与原角之间存在着特定的关系。

具体而言，两个原角与所形成的两个小角互为补角，并且两个小角之间互为互补角。

四、综合练习1. 练习题一：在下图中，角ABC被角平分线AD分成两个小角，若∠BAC = 40°，求∠BAD和∠DAC的度数。

2. 练习题二：如下图所示，∠ABC的角平分线AD交边BC于点D，若∠A = 120°，求∠BAD的度数。

五、总结本文总结了九年级角平分线的相关知识点，包括角平分线的定义和性质、角平分线的应用、角平分线相关定理以及综合练习题。

通过掌握这些知识，可以更好地理解和应用角平分线相关的概念，在几何学中取得更好的成绩。

角平分线的定义及性质应用角平分线是指从一个角的顶点到其两边上任意一点的线段，将这个角分成两个大小相等的角。

角平分线具有一些重要的性质和应用。

首先，角平分线的定义是从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等的角。

这意味着角平分线与角的两边所夹的角度大小是相等的。

这是角平分线最基本的性质之一。

其次，角平分线具有对称性。

如果一个角的平分线通过其顶点并交于角的另一边上的一个点，那么这个交点将把角分成两个大小相等的角。

同样地，这个交点也可以看作是这个角的另一个平分线通过其顶点并交于另一边上的一个点。

这个交点将角分成两部分，而这两部分的大小是相等的。

此外，角平分线还具有一些其他的重要性质和应用。

以下是其中的一些：1. 角平分线相交于角的内部：角平分线必定在角的内部相交。

这是因为在平面几何中，两点之间的直线是最短的路径，所以角平分线将角分成两部分时必须通过角的内部。

2. 角平分线垂直于角的边：如果一个角的平分线与角的一条边相交，那么它与这条边所夹的角是垂直的。

也就是说，平分线和边的交点处的两个相邻角度是垂直的。

这是一个很有用的性质，可以用来构造垂直角、垂直平分线和垂直双准线等几何图形。

3. 角平分线的长度相等：如果一个角的两条平分线相交，那么它们的长度是相等的。

换句话说，一个角的两条平分线与该角两条边的交点之间的距离是相等的。

这可以通过解析几何或使用三角函数来证明。

4. 角平分线被分成一定比例的线段：如果两个角的平分线相交于一个点，并且它们分别与这两个角的另外一条边相交于不同的点，那么这个交点将把角平分线分成一定比例的线段。

这个性质可以用于求解角平分线上的长度比例，从而解决几何问题。

5. 角平分线和三角形内心：在一个三角形中，三条角的平分线交于一点，这个点称为三角形的内心。

内心是三角形内接圆的圆心，角平分线与三角形内接圆的切点均相交于角的顶点。

内心的存在和性质可以用角平分线来证明。

综上所述，角平分线具有分割角度、对称性、相交于角的内部、垂直于角的边、长度相等、被分成一定比例的线段等性质。

角平分线的性质角平分线是指将一个角分成两个相等的角的线段。

在几何学中，角平分线具有一些重要的性质和应用。

本文将探讨角平分线的性质以及相关的几何问题。

一、角平分线的定义和性质在平面几何中，给定一个角，如果存在一条直线将这个角分成两个相等的部分，那么这条直线被称为这个角的平分线。

1. 角平分线等分角角平分线的主要性质是将一个角等分为两个相等的角。

设角AOB 为被平分的角，AC为其平分线，那么∠CAB = ∠CBO，∠CBA =∠CAO。

2. 角平分线垂直角当角的两边与平分线相交时，所形成的四个小角中，相邻的两个小角互为补角，即它们的和为90度。

这是因为角平分线将角分成两个相等的角，而补角的度数总是相等的。

3. 角平分线等分周角在一个凸多边形中，如果有一个角的两边分别与相邻两边的平分线相交，那么该角被平分成两个相等的角。

这个性质可以用来证明角平分线的存在和角平分线的长度。

二、角平分线的应用角平分线的性质在几何学中有许多重要的应用。

下面介绍两个常见的应用场景：1. 证明角平分线的存在在一些几何问题中，需要证明角的平分线是否存在，以及如何构造这条平分线。

通常可以利用角平分线等分角的性质进行证明。

通过使用尺规作图或其他几何方法，可以找到这条平分线并证明其存在。

2. 角平分线的长度在一些几何问题中，需要求解角平分线的长度。

根据角平分线性质，可以设计出一些方法来计算角平分线的长度。

比如，可以利用三角函数或相似三角形的性质，通过已知条件求解平分线的长度。

三、小结角平分线是将一个角分成两个相等的角的直线。

它具有等分角和垂直角的性质，在几何学中具有重要的应用。

通过证明角平分线的存在和求解角平分线的长度，可以解决一些与角平分线相关的几何问题。

在解题过程中，我们可以利用角平分线等分角、角平分线垂直角以及角平分线等分周角的性质来推导和计算。

熟练掌握角平分线的性质和应用，能够更好地解决几何学中与角平分线相关的问题。

角平分线的性质与应用角平分线是指将一个角平分成两个相等的角的线段。

在几何学中，研究角平分线的性质与应用有助于解决各种角相关的问题。

本文将探讨角平分线的性质以及它们在几何学中的应用。

一、角平分线的性质1. 定理1：角平分线将角分成两个相等的角。

证明：设角AOB为已知角，AC是角AOB的平分线。

假设角CAC'和角C'AB是不等的，即角CAC'≠角C'AB。

因为角CAC'和角C'AB之和等于角AOB，即角CAC'+角C'AB=角AOB。

又因为角CAC'和角C'AB是不等的，所以它们的和必然小于角AOB，产生矛盾。

因此，角CAC'和角C'AB必然相等。

2. 定理2：如果一个角的两条平分线相交于一个点，则该点在角的内部，并且到角的各边距离相等。

证明：设角AOB为已知角，AC和BD是角AOB的两条平分线，交于点E。

我们分别证明点E在角AOB的内部以及到角的各边距离相等：a) 点E在角AOB的内部的证明：假设点E在角AOB的外部，我们取点F在射线EB上，使得EF = EC。

在△AFC中，角AFC =角AFC’ +角C’FA =角 ABD +角 BDA =90°。

另一方面，在△BFD中，角BFD=角BFD’+角DFB=角ABD’+角DBA=90°。

因此，角AFC和角BFD之和等于180°，即角AFCB为一直线，这与假设矛盾。

因此，点E在角AOB的内部。

b) 到角的各边距离相等的证明：由定理1可知，∠ACB =∠DCB。

又因为∠AEC和∠BEC分别是角ACB的两个相等的角，所以∠AEC=∠BEC。

由于∠AEB是锐角，所以点E到射线AB上的点的距离相等。

二、角平分线的应用角平分线在几何学中有广泛的应用，下面介绍几种常见的应用情况：1. 求角平分线的长度：已知一个角的两条边长以及夹角的大小，可以利用三角函数求出角平分线的长度。

角平分线的性质定理及应用角平分线的性质定理可以分为下面几个方面进行详细阐述：1. 定理一：角平分线的定义及性质角平分线是指将一个角分成两个相等的部分的直线。

具体来说，设角AOB的内部有一条直线OC（O是角AOB的顶点），且∠AOC=∠COB，则称OC为角AOB 的角平分线。

特性：角平分线的两个性质如下：（1）OC是角AOB内角的平分线，即∠AOC=∠COB；（2）OC上的点到角AOB的两边的距离相等，即OD=OE。

2. 定理二：角平分线存在唯一性角平分线存在唯一性是指在一个角中，只存在一条角平分线。

证明如下：假设在角AOB中有两条角平分线OC1 与OC2。

不妨设OC1 与AB交于E1，OC2与AB交于E2。

由于OC1 是角AOB的角平分线，所以∠AOC1=∠C1OB。

同理，由于OC2 是角AOB的角平分线，所以∠AOC2=∠C2OB。

因为OC1 与OC2 都在角AOB内部，所以C1、C2两个点是可以重合的。

不管C1与C2 是重合还是不重合，都有∠C1OC2=0。

又因为OC1 与OC2 是交于同一条直线上的两个点，所以也有∠C1OE2+∠E2OC2+∠C2OE1+∠E1OC1=360。

将∠C1OE2、∠E2OC2、∠C2OE1、∠E1OC1在图上绘出，我们可以发现角AOB的度数，使用的角平分线有两种情况：（1）∠C1OE2和∠E2OC2同时等于180，此时C1 与C2 必须是同一个点，所以OC1和OC2 是同一条线。

（2）∠C1OE2=∠C2OE1，∠E2OC2=∠E1OC1=0 ，此时C1 与C2 可以是同一个点，也可以是两个不同的点。

但无论如何选择，∠C1OE2+∠E2OC2+∠C2OE1+∠E1OC1=0+0+0+0=0，不满足∠C1OE2+∠E2OC2+∠C2OE1+∠E1OC1=360。

综上所述，角平分线存在唯一性。

3. 定理三：角平分线与等分点的关系设在角AOB的内部有一点M，并且OM是角AOB的角平分线。

直角三角形角平分线定理
直角三角形角平分线定理是指：在一个直角三角形中，从直角顶点引出一条直线，将直角分为两个角度相等的角，则该直线被称为直角三角形的角平分线。

这个定理是数学中基础的定理之一，在数学中经常应用。

一、角平分线的性质
1. 角平分线把对边分为相等的两部分。

2. 角平分线上的点，到对边两点的距离相等。

3. 对于同一条角平分线，可以作出两条垂直于这条角平分线的直线，这两条直线相交于直角。

二、角平分线的应用
1. 海伦公式：用于计算任意三角形的面积。

海伦公式中需要用到三条边的长度，以及半周长。

而角平分线可以将三角形分成两个相似的三角形，其中一个边长为三角形斜边的一半，而另一个边长可以通过勾股定理计算得出。

这样，我们就可以轻松地计算半周长和三条边的长度。

2. 证明两条直线垂直：假设我们有两条直线交于一点，现在需要证明它们垂直。

我们可以在这个交点处引出一条角平分线，将两条直线分为两个相等的角度。

然后，我们再作两条垂直于角平分线的直线，这两条直线将交于直角。

3. 证明三角形相似：如果我们有两个三角形，需要证明它们相似。

我们可以找到它们的一个顶点，然后从该顶点引出两条角平分线，将这两个三角形分成两个相似的三角形。

如果另外两个顶点所在的线段比例相等，则这两个三角形相似。

总之，角平分线定理是数学学习中非常重要的一条定理，它广泛应用于几何分析、数学证明等领域，具有非常高的实用性和普适性。

角平分线定理及其应用角平分线定理是平面几何中一个重要的定理，它是指一个角的平分线将该角分成两个相等的角。

这个定理是很多其它定理的基础，而且在各种应用中也有着广泛的应用。

角平分线定理的表述很简洁，即一个角的平分线将该角分成两个相等的角。

对于一个角ABC，假设BD是角ABC的平分线，那么角ABD和角CBD是相等的。

这个性质可以通过严谨的证明得出，但在此不再详述。

角平分线定理的应用非常广泛。

首先，它可以用来证明其它定理。

例如，利用角平分线定理可以证明“一个角所对的弧等于该角所对的另一个角所对的弧”的定理。

具体来说，如果一个角ABD的平分线BD所对的弧是AC，那么角CBD所对的弧也是AC。

这个定理在圆的相关问题中有着重要的应用。

其次，角平分线定理还可以用来解决一些有关角度的问题。

例如，在解决三角形的相关问题中，可以利用角平分线定理求解未知的角度。

假设有一个三角形ABC，若角BAD和角CAD是相等的，即平分了角BAC，那么可以根据已知的角度求得角BAD和角CAD的具体数值。

这在解决三角形的角度问题时是非常有用的。

除了以上两个应用之外，角平分线定理还可以在一些几何建模问题中有所应用。

例如，在设计建筑物或道路时，需要进行各种测量和角度确定。

利用角平分线定理可以确保所设计的结构物的角度准确无误。

这对于保证建筑物的安全和美观性非常重要。

总的来说，角平分线定理是平面几何中一个非常重要的定理，它的应用涉及到了各个领域。

在证明其它定理、解决角度问题以及几何建模中都有着广泛的应用。

它不仅是数学研究的基础，也在实际生活中发挥着重要的作用。

对于学习数学的学生来说，理解和掌握角平分线定理是至关重要的。

角平分线定理不仅仅在数学领域中有着广泛的应用，它也可以在生活中的各种场景中得到运用。

例如，当我们使用罗盘进行导航时，角平分线定理可以帮助我们确定正确的方向。

在使用罗盘时，我们需要将罗盘的指针对准北方，以便获得准确的方向信息。

然而，在实际使用中，我们很难完全准确地判断罗盘指针是否指向了北方，因为我们无法直接看到罗盘的指针和地球北极。

角的平分线性质及应用山东 李其明我们知道，把一个角分成两个相等的角的射线，叫做角的平分线．关于角的平分线，它有两个重要性质（1）性质定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等；（2）性质定理的逆定理：到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．利用角的平分线的性质定理可以证明题目中某两条线段相等；利用性质定理的逆定理可以证明某两个角相等，下面举例说明角的平分线的应用．例1．三角形内到三边的距离相等的点是（ ）的交点．（A ）三条中线（B ）三条高（C ）三条角平分线（D ）以上均不对．解：由角平分线性质定理的逆定理可知：应选（C ）．例2．如图1，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P ，试问：P 到AB 、BC 、CA 的距离相等吗？解：相等．理由如下：过P 作PD 、PE 、PF 分别垂直于AB 、BC 、CA ，垂足为D 、E 、F ，∵BM 是△ABC 的角平分线，点P 在BM 上，∴PD=PE ，同理PE=PF ，∴PD=PE=PF ，即点P 到边AB 、BC 、CA 的距离相等． 例3．如图2，△ABC 中，∠C=900，AD 平分∠BAC ，BD=4，BC=7， 则D 到AB 的距离是 ．分析：∵∠C=900，∴DC ⊥CA ，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，∵AD 平分∠BAC ，∴DE=DC=BC －BD=7－4=3，即点D 到AB 的距离是3． 例4．如图3，△ABC 中，∠B 、∠C 的角平分线相交于O ，下面结论中正确的是（ ）．（A ）∠1＞∠2（B ）∠1=∠2（C ）∠1＜∠2（D ）不能确定．分析：由例2知点O 到△ABC 的三边距离相等，因此点在∠BAC的平分线上，即AO 平分∠BAC ，故选（B ）．例5．如图4，在△ABC 中，∠A=900，BD 是角平分线，若AD=m ，BC=n ，求△BDC 的面积．分析：过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，∵BD 是角平分线，AD ⊥AB ，DE ⊥BC ，∴DE=AD=m ，∴mn DE BC S ABC 2121=⨯⨯=∆． 例6．如图4，在△ABC 中，∠A=900，AC=AB ，BD 平分∠BAC ，DE ⊥BC ，BC=8，求△BED 的周长．分析：△BED 的周长为DE+DC+EC=AD+DC+EC=AC+EC=AB+EC=BE+EC=BC=8． 例7．如图5，△ABC 中，∠A=900，点D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，且AE=EB ，DE=DC ， 求∠B 的度数． B D C 图2 B C A B C D E 图４解：∵DC ⊥AC ，DE ⊥AB ，且DE=DC ，∠1=∠2，在△AED 和△BED 中，AE=BE ， ∠AED=∠BED ，ED=ED ，∴△AED 和△BED ，∠1=∠B ，∴∠B=∠1=∠2， 又∵在Rt △ABC 中，∠B+∠BAC=900，∴∠B=300．1 A B C DE 2图５。

角平分线的性质用途角平分线是指将一个角平分为两个等角的直线。

角平分线的性质：1. 角平分线将原角分为两个等角，因此从几何的角度来看，角平分线具有等分角的性质。

这个性质在解决各类几何问题时非常有用，例如确定两条线段之间的夹角、构造正多边形等。

2. 角平分线与角的两边相交于角的顶点，这意味着角平分线与角的两边相对称。

这个性质可以用来证明一些关于角的性质，例如垂直角的对角也是垂直的。

3. 在平面几何中，如果两条角平分线相交于角的顶点，那么这个点就是角的内心。

角的内心是一个非常重要的点，它有许多独特的性质。

例如，角的内心到角的三边距离相等，角的内心到角平分线的距离最小等等。

这些性质在解决几何问题时非常有用。

4. 角平分线还可以用来证明两条直线平行的性质。

如果一条直线与两条平行直线相交，且被这两条平行直线所平分的角相等，那么这条直线与平行直线平行。

5. 角平分线还可以用来判断一个点是否在一个角的内部。

如果一个点在角的内部，那么从这个点到角的两边的距离不相等，但到角的平分线的距离相等。

角平分线的应用：1. 在解决几何问题时，角平分线是非常常用的工具。

利用角平分线的等分角的性质，我们可以构造出一些特殊图形，例如正三角形、正五边形等。

2. 角平分线的对称性质可以用于证明一些几何性质。

例如，通过证明角的平分线与角的两边相对称，可以证明垂直角的对角也是垂直的。

3. 角平分线的内心性质可以帮助我们计算出角的内接圆的半径和圆心坐标。

这在解决关于角的圆的问题时非常有用。

4. 角平分线还可以用于证明两条直线平行的性质。

通过证明一条直线与两条平行直线所平分的角相等，可以得出这条直线与平行直线平行的结论。

综上所述，角平分线具有等分角、对称性、内心性等性质。

在解决几何问题时，角平分线可以帮助我们构造特殊图形、证明几何性质、计算圆的相关参数等。

因此，角平分线是几何学中一种非常有用的工具。

角平分线的定义、性质和判定应用指南山东沂源县徐家庄中心学校 256116 张明忠左效平角平分线的定义、性质和判定在解题中有着广泛的应用，下面就分别从定义，性质和判定三个层面谈一谈.一、应用角平分线的定义在三角形中解题1、平分三角形的两个内角例1 如图1，已知点O是三角形ABC内部一点，且OB,OC分别平分∠ABC和∠ACB，若∠A=40°，求∠BOC的度数.解析：因为OB,OC分别平分∠ABC和∠ACB，所以∠OBC=1/2∠ABC，∠OCB=1/2∠ACB，所以∠OBC+∠OCB=1/2∠ACB+1/2∠ABC=1/2（∠ABC+∠ACB），因为∠ABC+∠ACB+∠A=180°，∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°，所以∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-1/2（∠ABC+∠ACB）=180°-1/2（180°-∠A）=90°+1/2∠A，因为∠A=40°，所以∠BOC=90°+20°=110°. 点评：此题可以引申为一般性结论：如果点O是三角形ABC内部一点，且OB,OC分别平分∠ABC和∠ACB，若∠A=β，则∠BOC=90°+1/2β.2、平分三角形的两个外角例2 如图2，已知三角形ABC,OB,OC分别平分∠EBC和∠FCB，若∠A=40°，求∠BOC 的度数.解析：因为OB,OC分别平分∠EBC和∠FCB，所以∠OBC=1/2∠EBC，∠OCB=1/2∠FCB，所以∠OBC+∠OCB=1/2∠FCB+1/2∠EBC=1/2（∠EBC+∠FCB），因为∠EBC+∠FCB=180°-∠ABC +180°-∠ACB，∠ABC+∠ACB+∠A=180°，∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°，所以∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°-1/2∠A，因为∠A=40°，所以∠BOC=90°-20°=70°.点评：此题可以引申为一般性结论：如果点O是三角形ABC两个外角角平分线的交点，若∠A=β，则∠BOC=90°-1/2β.3、平分三角形的一个内角和一个外角例3 如图3，已知三角形ABC，OB,OC分别平分∠ABC和∠ACD，若∠A=40°，求∠BOC 的度数.解析：因为OB,OC分别平分∠ABC和∠ACD，所以∠OBC=1/2∠ABC，∠OCD=1/2∠ACD，因为2∠OCD=2∠OBC+∠A，所以∠OCD=∠OBC+1/2∠A，因为∠OCD=∠OBC+∠O，所以∠O=1/2∠A，因为∠A=40°，所以∠BOC=20°.点评：此题可以引申为一般性结论：如图3，已知三角形ABC，OB,OC分别平分∠ABC和∠ACD，若∠A=β，则∠BOC=1/2β.二、应用角平分线的定义在平行线中解题例4 如图4，已知AB∥CD，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，二线交于点E.求证：AE⊥CE.证明：因为AB∥CD，所以∠BAC+∠ACD =180°,因为AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，所以∠BAC=2∠CAE，∠ACD =2∠ACE，所以2∠CAE+2∠ACE =180°,所以∠CAE+∠ACE =90°,在三角形ACE中，∠CAE+∠ACE+∠AEC=180°，所以∠AEC=90°，所以AE⊥CE.点评：熟记平行线的性质和角平分线的性质是正确解题的关键.三、应用角平分线的性质在三角形中解题例5 （2014•四川遂宁）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A. 3B. 4C. 6D. 5解析：如图5，过点D作DF⊥AC于F，因为AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，所以DE=DF，所以，S△ABC=S△ABD+S△ACD，1/2×4×2+1/2×AC×2=7,解得AC=3．所以选A．点评：熟记角平分线的性质是解题的关键．四、应用角平分线的判定在三角形中解题例6 如图6，已知△A CD和△BCE均是等边三角形，点A、C、B在同一条直线上，AE与BD交于点O，连结OC，求证：OC平分∠BOE.解析：因为三角形ACD是等边三角形，所以AC=CD=AD，∠ACD=∠CDA=∠DAC=60°,因为三角形△BCE是等边三角形，所以BC=CE=EB，∠BCE=∠CEB=∠EBC=60°.所以∠BCD=∠ACB+∠ACD =60°+∠ACD，∠ACE=∠DCE+∠ACD =60°+∠ACD，所以∠BCD=∠ACE，所以△BCD≌△ACE，所以三角形BCD的面积等于三角形ACE的面积，AE=BD. 过点C分别作CG⊥AE，垂足为G,CH⊥BD，垂足为H，所以1/2×AE×CG=1/2×BD×CH,所以CG=CH,所以点C在∠BOE的平分线上，所以 OC平分∠BOE.点评：熟记角平分线的判定是解题的关键，借助三角形的面积相等得出等距离是解题的基础.。

初中数学知识归纳角平分线和垂直平分线的性质和应用初中数学知识归纳：角平分线和垂直平分线的性质和应用角平分线和垂直平分线是初中数学中两个重要的概念。

它们具有各自独特的性质和应用。

本文将对这两个概念进行归纳总结，并分析它们在数学问题中的实际应用。

一、角平分线的性质和应用角平分线是指把一个角平分成两个相等的角的线段。

下面我们来归纳角平分线的性质和应用。

1. 性质：（1）角平分线把一个角分成两个相等的角。

（2）角平分线上的点到角的两边距离相等。

（3）角平分线是角的内切线。

2. 应用：（1）角平分线的性质可以用于解决角度相等或相似的证明问题，例如证明两条线段的夹角相等，证明两个三角形相似等。

（2）利用角平分线的性质，可以快速求解角平分线在三角形中的位置，从而解决与三角形相关的计算问题。

以上是角平分线的性质和应用的简要介绍。

二、垂直平分线的性质和应用垂直平分线是指垂直于线段并将其平分的线段。

下面我们来归纳垂直平分线的性质和应用。

1. 性质：（1）垂直平分线将线段分成两个相等的部分。

（2）垂直平分线与线段的两个端点和中点连线垂直。

（3）垂直平分线是线段的中垂线。

2. 应用：（1）垂直平分线的性质可用于证明线段的平分线与垂直平分线相交于线段的中点。

（2）利用垂直平分线的性质，我们可以求解线段的中点坐标，从而解决与平面几何相关的计算问题。

以上是垂直平分线的性质和应用的简要介绍。

三、角平分线和垂直平分线的实际应用举例角平分线和垂直平分线不仅在数学问题中有重要的应用，也在实际生活中有着广泛的应用。

以下是两个实际问题的举例：1. 实际问题1：假设我们要设计一个广告牌，使其以某个角度正好对准太阳光的照射方向。

根据角平分线的性质，我们可以确定广告牌的角度，并根据此角度来安装广告牌，以获取最佳的阳光照射效果。

2. 实际问题2：在制作家具的过程中，如果要确保家具的一条边是水平的，可以利用垂直平分线的性质，通过测量线段两个端点到垂直平分线的距离来调整线段的位置，以保证家具制作的精准度。

角平分线的原理及应用角平分线的原理及应用1. 介绍角平分线的概念和定义角平分线是指将一个角分成两个相等的角的直线。

具体来说，对于一个角ABC，如果有一条线段AD，且AD等于BD，那么AD就是角ABC的平分线。

角平分线可以通过作图和计算来确定，它从角的顶点向角的两边延伸。

2. 角平分线的原理与性质角平分线有一些重要的原理和性质，下面将逐一介绍。

2.1 角平分线将角分成相等的两个角根据角平分线的定义，角平分线将一个角分成两个相等的角。

这是角平分线的基本性质之一。

2.2 角平分线与角的两边相交于角的顶点角平分线与角的两边相交于角的顶点。

这是角平分线的另一个重要性质。

具体来说，如果一条线段与角的两边相交于角的顶点，并且将这个角分成两个相等的角，那么这条线段就是角的平分线。

2.3 角平分线对称地分割角的两边角平分线将角的两边对称地分割成相等的线段。

也就是说，将角的两边上的点与角的顶点连线后，由角平分线分割的两个线段的长度相等。

3. 角平分线的一些常见应用3.1 三角形内部角平分线定理在一个三角形中，如果一条线段从一个角的顶点出发，并且平分了这个角，那么这条线段分割了相对应的边，并且这些分割线段的比值等于相邻两边的比值。

这个定理可以用于解决一些与三角形有关的问题。

3.2 角平分线判定角的大小关系通过角平分线可以判断两个角的大小关系。

如果两个角的平分线相交且交点在角的内部，那么这两个角的大小关系可以根据平分线分割角的两边的长度来确定，长度较长的一边对应的角较大。

3.3 三角形外角平分线定理在一个三角形中，如果从三角形的一个外角作出一条平分线，那么这条平分线将另外两个内角分割成相等的角。

这个定理可以应用于解决一些与三角形外角有关的问题。

总结回顾：角平分线是将一个角分成相等的两个角的直线。

它具有多个重要性质，如：将角分成相等的两个角、与角的两边相交于角的顶点等。

角平分线可以运用于三角形内部角平分线定理、判定角的大小关系以及三角形外角平分线定理等问题的求解。

角平分线问题的处理方法角平分线是数学中的一种基本概念，它是指从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等的角的线。

在现实生活中，角平分线有着广泛的应用，如几何学、物理学的许多问题中。

本文将介绍角平分线问题的处理方法。

一、角平分线的性质角平分线的性质主要有以下几点：1.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；2.角平分线分成的两个角相等或互补；3.角平分线的长度等于这个角的内角的平分线的夹角的一半；4.在同一个三角形中，若有两个角相等，那么这两个角的平分线所对的边也相等。

这些性质可以帮助我们解决许多角平分线问题。

二、处理方法对于角平分线问题，我们可以采取以下几种处理方法：1.利用角平分线的性质：根据题目中的条件，利用角平分线的性质可以快速地解决一些问题。

如利用角平分线的性质可以证明一些等腰三角形或互补的三角形，从而得到一些结论。

2.利用基本图形：在解决角平分线问题时，可以利用一些基本图形，如等腰三角形、直角三角形、三角形内切圆半径等，通过这些基本图形的性质和特点来解决一些复杂的问题。

3.利用三角函数：对于一些比较精确的测量问题，可以利用三角函数来求解。

通过测量角的顶点和角的两边之间的距离，利用三角函数可以求出角的平分线的位置和长度。

4.利用代数方法：对于一些比较复杂的问题，可以利用代数方法将其转化为代数方程或不等式来求解。

通过建立适当的代数模型，可以解决一些看似无法解决的问题。

三、实例分析下面是一个角平分线问题的实例分析：问题：在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，点E是AD上的一点，且BE=CE。

求证：AB-BE=AE。

分析：本题涉及到角平分线和等腰三角形的问题，可以利用角平分线的性质和等腰三角形的性质来证明。

首先利用角平分线的性质可以得到EB=EC，然后根据等腰三角形的性质可得AB=AC=2AE+EB=2AE+EC=2AE+BE。

因此，可以证明AB-BE=AE。

总结：角平分线问题是一个比较复杂的问题，需要掌握相关的性质和处理方法。