导数的几何意义优秀教学设计

导数的几何意义【教学目标】1. 理解切线的定义2. 理解导数的几何意义3. 学会应用导数的几何意义。

【教学重点与难点】重点:理解导数的几何意义及应用于解决实际问题，体会数形结合的思想方法。

难点：发现、理解及应用导数的几何意义。

割线 --------- ►切线------ 逼近 ------------【教学过程】教学过程设计意图一、创设情境、导入新课1.回顾旧知、引出研究的问题：(1)已知y=f(x)= y f (x) X2，求f" (1)老师引导学生回忆联系本节课的旧知识，下冋：①f (1)表示什么意思面探究导数的几何意义②求导数的步骤有哪几步？也是依据导数概念的形生：第一步：求平均变化率y f X。

x f(X。

)；成，寻求解决问题的途X X径。

第二步：求瞬时变化率f (X0) lim f X。

X f(X o).X。

X【知识狂图】（即x 0 ,平均变化率趋近.于的确定常数就是该点导数）⑵类比平均变化率得出导数，同样我们可以利用平均变化率的几何意义，得出导数的几何意义，我们观察函数y f（x）的图象，平均变化率y f X。

x f（x。

）的几何意义是什么？X X生：平均变化率表示的是割线PF n的斜率二、引导探究、获得新知1.得到切线的新定义要研究导数的几何意义，结合导数的概念，即要探究X 0，割线的变化趋势，♦多媒体显示：曲线上点F处的切线FT和割线PF n，演示点P从右边沿着曲线逼近点F ,即X 0，割线PP n的变化趋势。

教师引导学生观察割线与切线是否有某种内在联系呢？生：先观察后发现，当X 0 ,随着点P n沿着曲线逼近点P,割用逼近的方法体会割线逼近切线。

教师板书，便于学生数形结合探究导数的几何意义。

突破平均变化率的几何意义，后面在表示割线斜率时能直接联系此知识。

同时引出本节课的研究问题一一导数几何意义是什么？以求导数的两个步骤为依据，从平均变化率的几何意义入手探索导数的几何意义，抓住X 0 的联系，在图形上从割线入手来研究问题。

导数的几何意义
教学目标
1. 了解一般曲线的切线的定义，理解导数的几何意义。

2. 经历发现导数的几何意义的过程，体会逼近、类比、数形结合的思想方法。

3. 领悟有限与无限，量变与质变的辩证关系，感受数学与生活的联系。

教学重点
理解导数的几何意义
教学难点
理解切线新定义
教学过程
（一）导入新课
介绍导数的产生源于解决两类问题：
①力学中的速度、加速度问题；
②几何学中曲线的切线问题。

上节课以物理为背景，从“数”的角度研究导数，本节课则从“形”的角度探索导数。

2.发现导数的几何意义
1）从直观上感知了“割线逼近切线”的变化过程，应该如何用数量关系来表示这种变化呢？生：直线方程的变化。

2）怎样求割线方程？（小组讨论）生1：已知两个点坐标，因此选用两点式。

（三）巩固提升
课件中的练习题：判断下图中直线与曲线的位置关系。

生：图1相切；图2相切，有两个交点；图3相交。

（四）课堂小结
知识：导数的几何意义思想：“逼近”和“极限”的思想方法（五）作业设计必做题：导学案练习题。

选做题：导学案提高题
板书设计。

导数的几何意义课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解导数的定义，掌握导数的计算方法；2. 掌握导数的几何意义，能够运用导数解释曲线的切线斜率和函数的增减性；3. 了解导数与函数图像之间的关系，能够分析导数对函数图像的影响。

技能目标：1. 能够准确地计算给定函数在某一点的导数；2. 能够运用导数的几何意义分析曲线的切线斜率和函数的单调性；3. 能够通过导数的符号判断函数图像的凹凸性和拐点。

情感态度价值观目标：1. 培养学生对数学学科的的兴趣，激发他们对导数几何意义的探索欲望；2. 培养学生的逻辑思维和分析问题的能力，使他们能够运用导数解决实际问题；3. 培养学生的团队合作意识，在小组讨论和交流中互相学习，共同提高。

课程性质：本课程为高中数学选修课程，旨在帮助学生深入理解导数的概念，掌握导数的计算方法，并运用导数的几何意义分析曲线和函数的性质。

学生特点：学生已经掌握了函数的基本概念和性质，具备一定的数学分析能力，但对导数的理解可能还不够深入。

教学要求：通过讲解、例题分析、小组讨论和课后练习等多种教学手段，使学生能够全面理解和掌握导数的几何意义，并能够灵活运用。

在教学过程中，注重培养学生的动手能力和实际问题解决能力，提高他们的数学素养。

二、教学内容本节教学内容主要包括以下几部分：1. 导数的定义及其计算方法：回顾导数的概念，强调导数表示函数在某一点的瞬时变化率；讲解导数的计算规则，包括幂函数、指数函数、对数函数的导数计算。

2. 导数的几何意义：阐述导数与曲线切线斜率之间的关系，解释导数表示曲线在某一点的切线斜率；通过实例分析，让学生理解导数在几何图形中的应用。

3. 函数图像与导数的关系：介绍函数图像的凹凸性、拐点与导数之间的关系；指导学生通过导数的符号判断函数图像的凹凸性和拐点。

4. 导数在实际问题中的应用：举例说明导数在物理、经济等领域的应用，让学生了解导数在解决实际问题中的重要性。

教学内容依据教材章节进行安排，具体包括：1. 教材第二章第五节：导数的定义及其计算方法；2. 教材第二章第六节：导数的几何意义；3. 教材第二章第七节：函数图像与导数的关系；4. 教材第二章第八节：导数在实际问题中的应用。

《导数的几何意义》导学案教学目标：通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，知道导数的概念并会运用概念求导数.教学重难点：函数切线的概念，切线的斜率，导数的几何意义.教学过程：情景导入：如图，曲线C 是函数y =f (x )的图象，P (x 0，y 0)是曲线C 上的任意一点，Q (x 0+Δx ，y 0+Δy )为P 邻近一点，PQ 为C 的割线，PM //x 轴，QM //y 轴，β为PQ 的倾斜角. .tan ,,:β=∆∆∆=∆=x y y MQ x MP 则合作探究：探究任务：导数的几何意义问题1：当点(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =，沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线的变化趋是什么？y x∆∆请问：是割线PQ 的什么?新知：当割线P n P 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线C 在点P 处的切线割线的斜率是：n k =____________.当点n P 无限趋近于点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率. 因此，函数()f x 在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即0000()()lim()x f x x f x k f x x ∆→+∆-'==∆ 新知：函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率.即k =000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 精讲精练：例1 如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图象.根据图象，请描述、比较曲线()h t 在012,,t t t 附近的变化情况.例2 如图，它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位:/mg mL )随时间t (单位:min )变化的函数图象.根据图象，估计t =0.2，0.4，0.6，0.8时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1).有效训练练1. 求双曲线1y x =在点1(,2)2处的切线的斜率，并写出切线方程. 练2. 求2y x =在点1x =处的导数.反思总结函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率. 即k =000()()()lim x f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆.。

教 学 过 程设 计 意 图一、创设情境、导入新课1.回顾旧知、引出研究的问题：前面我们初步了解了一些微积分背景知识，对有“微积分之父”之称的牛顿和莱布尼慈，也相识了（幽默：同时知道当爹的不易），之后重点学习了函数在0x x =处的导数0()f x '就是函数在该点处的瞬时变化．．．．率．。

那么： 提问：(1) 求导数0()f x '的步骤有哪几步? 生：总共分三步（拉音，模仿赵本山）： 第一步：求增量y ∆第二步：求平均变化率()00()f x x f x y xx+∆-∆=∆∆；第三步：求瞬时变化率()0000()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆.（即0x ∆→，平均变化率趋近．．于的确定常数．．．．就是该点导数．．） (2)观察函数()y f x =的图象，平均变化率()00()f x x f x y xx+∆-∆=∆∆在图形中表示什么？生：平均变化率表示的是割线n PP 的斜率.师：这就是平均变化率．．．．．(．y x ∆∆)．的几何意义．．．．．，那么瞬时变化率(0lim x yx∆→∆∆)在图中又表示什么呢？今天我们就来探究导数的几何意义。

板书老师引导学生回忆联系本节课的旧知识，下面探究导数的几何意义也是依据导数概念的形成，寻求解决问题的途径。

教师板书，便于学生数形结合探究导数的几何意义。

突破平均变化率的几何意义，后面在表示割线斜率时能直接联系此知识。

同时引出本节课的研究问题——导数几何意义是什么？（复习引入 用时约3分钟）二、引导探究、获得新知1.动画类比，得到切线的新定义要研究导数的几何意义，结合导数的概念，即要探究0x ∆→，割线的变化趋势．．．．．．．，看下面的动画。

◆多媒体显示【动画1】：圆上点P 处的切线PT 和割线PPn ，演示点Pn 从右边沿着圆逼近点P ,然后再从左边沿着圆逼近点P ，即0x ∆→，割线PPn 的变化趋势。

导数的几何意义教案一、【教学目标】 1.知识与技能目标：（1）使学生掌握函数)(x f 在0x x =处的导数()0/x f 的几何意义就是函数)(x f 的图像在0x x =处的切线的斜率。

（数形结合），即：()()xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)(lim0000/＝切线的斜率(2)会利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“以直代曲”的数学思想方法。

2.过程与方法：通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、讨论、总结，发现问题，解决问题，从而达到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能力的目的。

3.情感态度与价值观：导数的几何意义能够很好地帮助理解导数的定义，达到数与形的结合；同时又是知识在几何学，物理学方面的迁移应用。

培养学生学数学，用数学的意识。

【教学手段】采用幻灯片，实物投影等多媒体手段，增大教学容量与直观性，有效提高教学效率和教学质量。

【课型】探究课【教学重点与难点】重点：导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法。

难点：发现、理解及应用导数的几何意义 二、【教学过程】（一） 课题引入，类比探讨： 让学生回忆导数的概念及其本质。

（承上启下，自然过渡）。

师：导数的本质是什么？写出它的表达式。

（一位学生板书），其他学生在“学案”中写：导数)(0/x f 的本质是函数)(x f 在0x x =处的瞬时变化率．．．．．，即：()()xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)(lim0000/（注记：教师不能代替学生的思维活动，学生将大脑中已有的经验、认识转换成数学符号，有利于学生思维能力的有效提高，为学生“发现”,感知导数的几何意义奠定基础）师：导数的本质仅是从代数（数）的角度来诠释导数，若从图形（形）的角度来探究导数的几何意义（板书课题），应从哪儿入手呢？ （教师引导学生：数形结合是重要的思想方法。

要研究“形”，自然要结合“数”） 生1：研究导数的代数表达式。

《导数的几何意义》教学设计【教材分析】本节课选自高中数学人教A版选修1-1第三章《导数及其应用》中的3.1.3《导数的几何意义》第一课时。

导数是微积分的核心概念之一，它为研究函数提供了有效的方法。

教材从形的角度即割线入手，用形象直观的“逼近”方法，通过观察发现、思考归纳的方式定义了切线，获得导数的几何意义。

通过本节的学习，可以帮助学生进一步理解导数的定义，渗透数形结合、以直代曲的思想方法，体会导数是研究函数的单调性、函数值变化快慢等性质的有效工具。

【教学目标】知识与技能：了解平均变化率与割线之间、瞬时变化率与切线之间的关系，通过函数的图象理解并掌握导数的几何意义。

利用导数的几何意义会求曲线上某点处的切线方程。

过程与方法：通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、讨论、总结，发现问题，解决问题，从而达到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能力的目的。

情感态度与价值观：通过分组讨论、合作探究、各组积分制等多种教学形式，培养学生的合作意识及竞争意识，提高学生的积极性。

体会类比、数形结合、以直代曲、从特殊到一般的思想方法。

【教学重点与难点】教学重点：导数的几何意义及利用导数的几何意义会求曲线上某点处的切线方程。

教学难点：发现、理解导数的几何意义，进一步理解导数的概念，渗透以直代曲的思想方法。

【指导思想】树立以学生发展为本的思想。

通过构建以学习者为中心、有利于学生主体精神、创新能力健康发展的宽松的教学环境，为学生提供自主探索和动手操作的机会，鼓励他们创新思考，亲身参与知识的形成过程，从而解决问题。

【教学方法】本节课以一个物体做直线运动为主线，对具体的由浅入深的问题进行分析引导，依据建构主义教学原理，从数的角度即平均变化率与瞬时变化率的关系和形的角度即割线与切线的关系，用形象直观的“逼近”方法，通过类比、从特殊到一般，逐步渗透从有限到无限，量变到质变，把新的知识化归到学生原有的认知结构中去。

【学法指导】在本节课中，学生对具体的问题进行逐步解决，经过探索、观察几何画板的动态演示、对比分析、自己发现结论的学习方法，以培养学生逻辑思维能力、自学能力、动手实践能力和探索精神，并渗透了辩证唯物主义认识论和方法论的教育。

教学课题 选修2-2第一章1.1.3导数的几何意义课标要求 一、知识与技能：1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2．理解曲线的切线的概念；3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；4．理解导函数二、过程与方法：通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、讨论、总结，发现问题，解决问题，达到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能力的目的。

三、情感态度与价值观：导数的几何意义能够很好地帮助理解导数的定义，达到数与形的结合；同时又是知识在几何学，物理学方面的迁移应用。

培养学生学数学，用数学的意识。

识记 理解 应用 综合 知识点1平均变化率与割线斜率的关系∨ 知识点2曲线切线的概念∨ 知识点3导数的几何意义∨ 知识点4导函数的概念 ∨目标设计1.通过作函数)x (f 图像上过点))x (f ,x (P 00的割线和切线直观感受由割线过渡到切线的变化过程 2.掌握函数在某一点处的导数的几何意义，进一步理解导数的定义 3.会利用导数求函数曲线上某一点的切线方程（注意在某一点处和过该点的切线方程的区别）情境一：如图，观察图中当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n 沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n PP 的变化趋势问题1：当点n P 沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时,割线n PP 逐渐趋近于哪个位置？这个位置有什么特点？（得出切线定义）问题2：这个切线的定义与以前我们学过的切线定义有何不同？（可引导学生从交点个数上进行分析）问题3：割线n PP 的斜率n k 如何表达？切线PT 的斜率k 如何表知识点认知层次达，它们有何关系？（容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-,当点n P 沿着曲线无限接近点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率k ）情境二：联系上节课我们所学的平均变化率和瞬时变化率，与这节课的割线斜率和切线斜率进行类比，从而发现知识间的相互关系再进一步得到导数的几何意义平均变化率0x ∆→−−−→瞬时变化率割线的斜率0x ∆→−−−→切线的斜率问题1：已知曲线上两点0000(,()),(,())n x x P x f x P x f x +∆+∆， 求：(1)结合两点坐标，割线n PP 的斜率n k 可表示为什么？（()00()n f x x f x k x+∆-=∆） （2）结合0x ∆→，割线n PP →切线PT ，则切线PT 的斜率k 可表示为什么？（()000()lim x f x x f x k x∆→+∆-=∆） 问题2：你能发现导数的几何意义吗？ 函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率，即 0000()()()lim x f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ 情境三 典例探究（课本例2）如右图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h x x x =-++，根据图像，请描述、比较曲线()h t 在0t 、1t 、2t 附近的变化情况．问题1：用图形体现3.3)1(/-=h ，6.1)5.0(/=h 的几何意义。

导数的几何意义教案及说明教案章节：一、导数的定义；二、导数的计算；三、导数的应用；四、导数与曲线的切线；五、导数与函数的单调性一、导数的定义1. 教学目标：理解导数的定义，掌握导数的几何意义。

2. 教学内容：引入导数的概念，解释导数的几何意义，举例说明导数表示曲线的切线斜率。

3. 教学步骤：a. 引入导数的概念，解释导数表示函数在某一点的瞬时变化率。

b. 解释导数的几何意义，即导数表示曲线的切线斜率。

c. 举例说明导数表示曲线的切线斜率，通过图形演示导数的变化。

4. 教学练习：a. 练习计算函数在某一点的导数。

b. 练习根据导数的几何意义，确定曲线的切线斜率。

二、导数的计算1. 教学目标：掌握导数的计算方法，能够计算常见函数的导数。

2. 教学内容：介绍导数的计算方法，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数的导数。

3. 教学步骤：a. 介绍导数的计算方法，包括常数函数的导数为0，幂函数的导数按幂次降次，指数函数的导数为自身，对数函数的导数为1/x。

b. 举例说明常见函数的导数计算，包括正弦函数、余弦函数、绝对值函数等。

4. 教学练习：a. 练习计算常见函数的导数。

b. 练习根据导数的计算结果，分析函数的单调性。

三、导数的应用1. 教学目标：理解导数在实际问题中的应用，掌握导数的基本应用方法。

2. 教学内容：介绍导数在实际问题中的应用，包括速度、加速度、优化问题等。

3. 教学步骤：a. 介绍导数在速度和加速度中的应用，解释速度是位置关于时间的导数，加速度是速度关于时间的导数。

b. 举例说明导数在优化问题中的应用，通过导数找到函数的最大值和最小值。

4. 教学练习：a. 练习根据导数计算速度和加速度。

b. 练习使用导数解决优化问题。

四、导数与曲线的切线1. 教学目标：理解导数与曲线的切线的关系，掌握求解切线方程的方法。

2. 教学内容：解释导数与曲线的切线的关系，介绍求解切线方程的方法。

3. 教学步骤：a. 解释导数与曲线的切线的关系，即导数表示曲线的切线斜率。

导数的几何意义教案及说明一、教学目标1. 理解导数的定义和几何意义2. 掌握导数的计算方法3. 能够运用导数解决实际问题二、教学内容1. 导数的定义2. 导数的几何意义3. 导数的计算方法4. 导数在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 重点：导数的定义、几何意义和计算方法2. 难点：导数的计算方法和在实际问题中的应用四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究导数的定义和几何意义2. 通过图形演示和实例分析，帮助学生理解导数的概念和应用3. 利用练习题和实践项目，巩固学生的理解和应用能力五、教学准备1. 教学PPT或黑板2. 导数的定义和几何意义的讲解材料3. 练习题和实践项目教案说明：本教案旨在帮助学生理解和掌握导数的定义、几何意义和计算方法，并能够运用导数解决实际问题。

通过问题驱动法和图形演示，引导学生主动探究导数的概念，并通过练习题和实践项目巩固学生的理解和应用能力。

六、教学过程1. 引入：通过回顾函数的图像，引导学生思考函数在某一点的切线斜率与函数值的变化关系。

2. 导数的定义：解释导数的定义，即函数在某一点的导数是其切线斜率。

引导学生通过图形演示和实例分析来理解导数的几何意义。

3. 导数的计算方法：介绍导数的计算方法，包括基本的求导法则和导数的运算法则。

通过示例和练习题，让学生掌握求导的方法和技巧。

4. 导数在实际问题中的应用：通过实际问题实例，展示导数在解决实际问题中的应用，如运动物体的速度和加速度、函数的极值和最大值等。

七、练习与巩固1. 针对本节课的内容，设计一些相关的练习题，包括选择题、填空题和解答题，以巩固学生对导数的定义和计算方法的理解。

2. 组织学生进行小组讨论和合作，共同解决练习题，促进学生之间的交流和互助。

八、拓展与延伸1. 引导学生思考导数的其他几何意义，如切线与曲线的切点处的切线斜率、曲线的凹凸性等。

2. 引入高阶导数的概念，即函数的导数的导数，解释其几何意义和应用。

导数的几何意义教案70278教案：导数的几何意义一、教学目标：了解导数的几何意义；掌握导数的定义；理解导数与函数的变化率的关系；能够利用导数解决几何问题。

二、教学内容：1.导数的定义2.导数与函数的变化率的关系3.几何问题中的导数应用三、教学过程：第一步：导入导数的概念（10分钟）1.引导学生回顾函数的变化率及其意义。

2.提问：在几何中，如何计算图像的切线的斜率呢？第二步：导数的定义（20分钟）1.引导学生观察并思考曲线上其中一点的切线问题。

2.引导学生找到切线的斜率与函数的变化率之间的关系。

3.引导学生运用极限的思想，得出导数的定义。

4.指导学生通过求导的方法计算导数，并讲解求导法则。

第三步：导数与函数的变化率的关系（30分钟）1.引导学生观察并思考函数的导数与函数的变化率之间的关系。

2.引导学生发现当函数的导数为正时，函数递增；当导数为负时，函数递减；当导数为零时，函数取极值。

3.结合具体函数的图像，让学生理解导数与函数的变化率之间的关系。

第四步：几何问题中的导数应用（30分钟）1.通过具体实例，引导学生利用导数解决几何问题，如判断曲线上其中一点的凹凸性，求切线与曲线的交点等。

2.引导学生使用导数求解极值问题，并指导他们如何判别极值的种类。

3.给予学生充分的练习时间，并进行评价和讨论。

四、教学资源：PPT课件、练习题五、教学评价：1.教师观察学生的学习状态，及时给予指导和帮助。

2.利用课堂讨论、小组合作等形式，促进学生的主动学习和思考。

3.针对学生练习题的答案和思路，进行评价和反馈。

六、教学反思：本节课通过引导学生观察和思考，使他们逐步理解导数的定义和几何意义，并能够应用导数解决几何问题。

但是，在给予学生练习的过程中，遇到了一些学生理解困难的情况，导致课堂进展较慢。

因此，在今后的教学中，可以设置更多的例题和练习，帮助学生深入理解导数的几何意义，提高他们的应用能力。

可编辑修改精选全文完整版《导数的几何意义》教学设计海口市琼山中学郭小兰教材：人教A版选修2-2教学目标：1、知识与技能 :理解导数的几何意义；2、过程与方法：经历导数几何意义的学习过程，体会用导数的几何意义分析图象上点的变化情况的方法。

3、情感态度与价值观：体会导数与曲线的联系，初步认识数学的科学价值，发展理性思维能力。

教学重点：理解导数的几何意义；教学难点：理解函数的导数就是在某点处的切线的斜率。

教具准备：多媒体课件，三角板。

教学过程：一、引入新课师：在前面的学习中，我们知道函数y=f(x)在x=x0处的导数就是函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，这是导数的物理意义，那么导数的几何意义是什么呢？我们本节课就来学习导数的几何意义。

二．讲授新课教师引导学生观察右图，回答下面问题：师：初中平面几何中我们是如何定义圆的切线和割线的？有两个交点时，直线是圆的割线。

师补充说明1.圆的切线在点P附近位于圆的一侧（为一般曲线的切线做准备）；2.当点P n趋近于点P时，圆的割线PP n趋近于圆的切线PT。

当点P n与点P重合时，割线变成了切线。

师：对于一般曲线的切线和割线，它们又具有怎样的位置关系呢？探究一:观察一般曲线y =f (x )割线的变化趋势，教师引导学生给出一般曲线的切线定义。

师：过一般曲线上任一点P ，我们可以在点P 附近类似圆的切线做一条直线PT ，使得直线在点P师：同样的，我们可以在曲线上找另一 点P n ，连接PP n ，易知PP n 是曲线在点 P 处的割线。

师：我们发现，当点P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 叫做曲线在点P探究二：割线n PP 的斜率n k 与切线PT 师：我们首先来看这样一个问题：你能借助图象说说割线PP n 的斜率是多少吗？ 生：平均变化率xx f x x f ∆-∆+)()(00。

师继续引导学生发现并说出：当0→∆x 时，割线PP n →切线PT ，所以割线PP n 的斜率→切线PT 的斜率。

3.1.3 导数的几何意义学习目标 1.了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系.2.理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义.3.会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义.知识点一 导数的几何意义思考1 观察函数y ＝f (x )的图象，平均变化率ΔyΔx在图中有什么几何意义？答案 平均变化率表示的是割线AB 的斜率.思考2 如图，当点P n (x n ，f (x n ))(n ＝1,2,3,4)沿着曲线f (x )趋近于点P (x 0，f (x 0))时，割线PP n 的变化趋势是什么？答案 点P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于过点P 的切线PT .思考3 思考2图中割线PP n 的斜率k n ＝f (x n )－f (x 0)x n －x 0，当点P n 无限趋近于点P 时，此斜率与切线PT 的斜率有何大小关系？ 答案 k n 无限趋近于切线PT 的斜率.函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率.也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是f ′(x 0).相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0).知识点二函数的导数从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f′(x)是x的一个函数，称f′(x)是f(x)的导函数(简称导数).f′(x)也记作y′，即f′(x)＝y′＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx.思考导函数f′(x)与函数在x＝x0处的导数f′(x0)相同吗？它们有什么区别与联系？答案不相同.(1)两者的区别：由导数的定义知，f′(x0)是一个具体的值，f′(x)是由于f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义在I上的一个新函数，所以两者的区别是：前者是数值，后者是函数.(2)两者的联系：在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此是函数在某一点处的导数.类型一导数的几何意义例1已知曲线y＝x2，(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程.解(1)设切点为(x0，y0)，∵y′|x＝x0＝limΔx→0(x0＋Δx)2－x20Δx＝limΔx→0x20＋2x0·Δx＋(Δx)2－x20Δx＝2x0，∴y′|x＝1＝2.∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.(2)点P(3,5)不在曲线y＝x2上，设切点为(x0，y0)，由(1)知，y′|x＝x0＝2x0，∴切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，由P(3,5)在所求直线上得5－y0＝2x0(3－x0)，①再由A(x0，y0)在曲线y＝x2上得y0＝x20，②联立①②得，x0＝1或x0＝5.从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25).当切点为(1,1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2，此时切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10，此时切线方程为y－25＝10(x－5)，即y＝10x－25.综上所述，过点P(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程为2x－y－1＝0或10x－y－25＝0. 反思与感悟(1)求曲线上某点处的切线方程，可以直接利用导数求出曲线上此点处的切线斜率，然后利用点斜式写出切线方程；(2)求曲线过某点的切线方程，要先求出切点坐标，再按(1)完成解答.跟踪训练1已知曲线y＝2x2－7，求：(1)曲线在哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(2)曲线过点P(3,9)的切线方程.解y′＝limΔx→0Δy Δx＝limΔx→0[2(x＋Δx)2－7]－(2x2－7)Δx＝limΔx→0(4x＋2Δx)＝4x.(1)设切点为(x0，y0)，则4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，∴切点坐标为(1，－5).即曲线在点(1，－5)处的切线平行于直线4x－y－2＝0.(2)由于点P(3,9)不在曲线上.设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0).将P(3,9)及y0＝2x20－7代入上式，得9－(2x20－7)＝4x0(3－x0).解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25).从而所求切线方程为8x－y－15＝0和16x－y－39＝0.类型二根据切线方程判断函数值的变化情况例2如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象.根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t0，t1，t2附近的变化情况.并讨论在(t0，t1)和(t1，t2)两个区间上函数的单调性.解用曲线h(t)在t0，t1，t2处的切线，刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况. (1)当t＝t0时，曲线h(t)在t0处的切线l0平行于t轴.所以，在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降.(2)当t＝t1时，曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率h′(t1)<0.所以，在t＝t1附近曲线下降，即函数h(t)在t＝t1附近单调递减.(3)当t＝t2时，曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率h′(t2)<0.所以，在t＝t2附近曲线下降，即函数h(t)在t＝t2附近也单调递减.(4)从图中可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线h(t)在t1附近比在t2附近下降得缓慢.在(t0，t1)和(t1，t2)上各个切点处切线的斜率均为负，故函数在这两个区间上均为减函数，在(t1，t2)上函数下降的更快.反思与感悟导数与函数图象升降的关系：(1)若函数y＝f(x)在x＝x0处的导数存在且f′(x0)>0(即切线的斜率大于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是上升的；若f′(x0)<0(即切线的斜率小于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是下降的.(2)导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢.跟踪训练2已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(x A)与f′(x B)的大小关系是()A.f′(x A)>f′(x B)B.f′(x A)<f′(x B)C.f′(x A)＝f′(x B)D.不能确定答案 B解析由导数的几何意义，f′(x A)，f′(x B)分别是切线在点A、B处切线的斜率，由图象可知f′(x A)<f′(x B).1.已知曲线y ＝f (x )＝2x 2上一点A (2,8)，则点A 处的切线斜率为( ) A.4 B.16 C.8 D.2答案 C解析 f ′(2)＝lim Δx →f (2＋Δx )－f (2)Δx＝lim Δx →0 2(2＋Δx )2－8Δx ＝lim Δx →0 (8＋2Δx )＝8，即k ＝8.2.设f (x )为可导函数，且满足lim Δx →f (1)－f (1－Δx )Δx＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率是( ) A.2 B.－1 C.12 D.－2 答案 B解析 由题意得lim Δx →f [1＋(－Δx )]－f (1)－Δx＝f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率f ′(1)＝－1.3.曲线y ＝9x 在点(3,3)处的切线的倾斜角等于( )A.45°B.60°C.135°D.120°答案 C解析 f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝9lim Δx →0 1x ＋Δx －1x Δx＝－9lim Δx →1(x ＋Δx )x＝－9x 2，∴y ′|x ＝3＝－99＝－1，又∵直线的倾斜角范围为[0°，180°)， ∴倾斜角为135°.4.设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A.1 B.12 C.－12D.－1答案 A解析∵y′＝limΔx→0a(1＋Δx)2－a×12Δx＝limΔx→0(2a＋aΔx)＝2a，∴2a＝2，即a＝1.1.导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝li mΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.2.“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值.3.利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.一、选择题1.下列说法正确的是()A.若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处就没有切线B.若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在C.若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在D.若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在答案 C解析因为k＝f′(x0)，所以f′(x0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x＝x0.2.过点(－1,0)作抛物线y＝x2＋x＋1的切线，则其中一条切线为()A.2x＋y＋3＝0B.3x－y＋5＝0C.2x＋y＋1＝0D.x－y＋1＝0答案 D解析因为点(－1,0)不在抛物线y＝x2＋x＋1上，故点(－1,0)不是切点，但此点在切线上，应满足切线方程，经验证，只有D符合.3.函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则在y＝f(x)的图象上A，B 的对应点附近，有( ) A.A 处下降，B 处上升 B.A 处上升，B 处下降 C.A 处下降，B 处下降 D.A 处上升，B 处上升 答案 A解析 ∵所给图象是导函数的图象，且A 点处y <0，B 点处y >0，故原函数图象上A 处下降，B 处上升.4.如图所示，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)等于( )A.12 B.1 C.2 D.0 答案 C解析 f (5)＝－5＋8＝3. 由导数几何意义知f ′(5)＝－1. ∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2.5.若直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点P (1,3)，则b 等于( ) A.3 B.－3 C.5 D.－5答案 A解析 ∵点P (1,3)既在直线上又在曲线上， ∴3＝k ＋1，且3＝1＋a ＋b ， 即k ＝2，a ＋b ＝2.根据导数的定义知y ＝x 3＋ax ＋b 的导数为y ′＝3x 2＋a ， ∴3×12＋a ＝k ，∴a ＝－1，b ＝3.6.设P 0为曲线f (x )＝x 3＋x －2上的点，且曲线在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则点P 0的坐标为( ) A.(1,0) B.(2,8)C.(1,0)或(－1，－4)D.(2,8)或(－1，－4) 答案 C解析 根据导数的定义可求得f ′(x )＝3x 2＋1，由于曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，所以f (x )在P 0处的导数值等于4，设P 0(x 0，y 0)，故f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，解得x 0＝±1，这时P 0点的坐标为(1,0)或(－1，－4)，选C. 二、填空题7.已知y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba ＝________.答案 2解析 由题意lim Δx →0 a (1＋Δx )2＋b －a －bΔx＝lim Δx →(a Δx ＋2a )＝2a ＝2， ∴a ＝1，又3＝a ×12＋b ， ∴b ＝2，∴ba＝2.8.曲线f (x )＝3x ＋x 2在点(1，f (1))处的切线方程为________________. 答案 y ＝5x －1解析 k ＝lim Δx →0 3(1＋Δx )＋(1＋Δx )2－3－12Δx ＝5.∵f (1)＝4.由点斜式得y －4＝5(x －1)， 即y ＝5x －1.9.y ＝f (x )，y ＝g (x )，y ＝α(x )的图象如图所示：而下图是其对应导数的图象：则y ＝f (x )对应________；y ＝g (x )对应________；y ＝α(x )对应________. 答案 B C A解析 由导数的几何意义，y ＝f (x )上任一点处的切线斜率均小于零且保持不变，则y ＝f (x )对应B.y ＝g (x )上任一点处的切线斜率均小于零，且在起始部分切线斜率值趋近负无限，故y ＝g (x )对应C.y ＝α(x )图象上任一点处的切线斜率都大于零，且先小后大，故y ＝a (x )对应A.10.已知函数f (x )在区间[0,3]上的图象如图所示，记k 1＝f ′(1)，k 2＝f ′(2)，k 3＝f (2)－f (1)，则k 1、k 2、k 3之间的大小关系为________________.(请用“>”连接)答案 k 1>k 3>k 2解析 由导数的几何意义可知k 1，k 2分别为曲线在A ，B 处切线的斜率，而k 3＝f (2)－f (1)＝f (2)－f (1)2－1，为直线AB 的斜率，由图象易知k 1>k 3>k 2. 三、解答题11.已知曲线y ＝13x 3上一点P ⎝⎛⎭⎫2，83，求： (1)点P 处的切线的斜率； (2)点P 处的切线方程. 解 (1)由y ＝13x 3，得y ′＝lim Δx →ΔyΔx＝lim Δx →013(x ＋Δx )3－13x 3Δx＝13lim Δx →0 3x 2Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3Δx ＝13lim Δx →0[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2]＝x 2， y ′|x ＝2＝22＝4.所以点P 处的切线的斜率等于4.(2)在点P 处的切线方程为y －83＝4(x －2)，即12x －3y －16＝0.12.曲线y ＝x 3在点(a ，a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴、直线x ＝a 所围成的三角形的面积为16，求a 的值. 解 ∵y ＝x 3，∴y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－x 3Δx ＝3x 2， ∴y ′|x ＝a ＝3a 2，∴曲线y ＝x 3在点(a ，a 3)处的切线方程为y －a 3＝3a 2(x －a )，即y ＝3a 2x －2a 3. 令x ＝a ，则y ＝a 3； 令y ＝0，则x ＝23a .∴S ＝12×13|a |×|a 3|＝16|a |4，∴16|a |4＝16，∴|a |4＝1， ∴a ＝±1.13.设点P 是曲线f (x )＝x 3－3x ＋2上的任意一点，k 是曲线在点P 处的切线的斜率. (1)求k 的取值范围；(2)求当k 取最小值时的切线方程. 解 (1)设P (x 0，x 30－3x 0＋2)，则k ＝lim Δx →0(x 0＋Δx )3－3(x 0＋Δx )＋2－(x 30－3x 0＋2)Δx＝lim Δx →0 3x 20Δx ＋3x 0(Δx )2＋(Δx )3－3ΔxΔx＝lim Δx →[3x 20－3＋3x 0Δx ＋(Δx )2] ＝3x 20－3≥－ 3.即k 的取值范围为[－3，＋∞).(2)由(1)知k min ＝－3，此时x 0＝0，即P (0,2)， ∴此时曲线在点P 处的切线方程为y ＝－3x ＋2.。

导数的几何意义教案（后附教学反思）一、教学目标1. 让学生理解导数的定义，掌握导数的几何意义。

2. 能够运用导数求解曲线的切线斜率。

3. 培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

二、教学内容1. 导数的定义2. 导数的几何意义3. 导数与切线斜率的关系4. 求解曲线的切线斜率5. 应用实例三、教学重点与难点1. 重点：导数的定义，导数的几何意义，求解曲线的切线斜率。

2. 难点：导数的几何意义的理解，求解曲线的切线斜率的应用。

四、教学方法1. 采用讲解法、问答法、案例分析法、互动讨论法等。

2. 通过图形演示、实例分析，引导学生直观理解导数的几何意义。

3. 以学生为主体，鼓励学生主动探究、积极参与，培养学生的动手能力和思考能力。

五、教学过程1. 导入：回顾初中阶段学习的函数图像，引导学生思考如何描述曲线的变化率。

2. 讲解导数的定义：引入极限的概念，讲解导数的定义，强调导数表示的是函数在某一点的瞬时变化率。

3. 导数的几何意义：通过图形演示，解释导数表示的是曲线在某一点的切线斜率。

引导学生直观理解导数的几何意义。

4. 导数与切线斜率的关系：讲解导数与切线斜率的关系，引导学生掌握求解曲线的切线斜率的方法。

5. 应用实例：分析实际问题，运用导数求解曲线的切线斜率，巩固所学知识。

6. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固导数的几何意义及求解切线斜率的方法。

7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调导数的几何意义及求解切线斜率的方法。

8. 布置作业：布置课后作业，巩固所学知识。

教学反思：1. 讲解导数的定义时，要注重极限思想的理解，引导学生明白导数表示的是函数在某一点的瞬时变化率。

2. 通过图形演示，让学生直观地理解导数的几何意义，强化空间想象能力。

3. 结合实际问题，让学生学会运用导数求解曲线的切线斜率，提高学生的应用能力。

4. 课堂练习环节，要注意引导学生主动思考，培养学生的解决问题能力。

5. 教学过程中，关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏，确保学生能够扎实掌握所学知识。

《导数的几何意义》教学设计教学内容解析1、教材分析《导数的几何意义》是人教A版选修2-2第一章《导数及其应用》§1.1.3的内容，本节课为第一课时。

微积分学是人类思维的伟大成果之一，它开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法。

导数是微积分的核心概念之一，有极其丰富的实际背景和广泛的应用。

导数的几何意义作为导数的概念的下位知识课，是学生掌握了上位知识——平均变化率、瞬时变化率以及导数的概念的基础上进一步从几何意义的角度理解导数的含义与价值，体会逼近，以直代曲和数形结合的数学思想方法。

同时，本节的学习也为下位知识——导数的计算以及导数在研究函数中的应用奠定坚实的基础。

因此，导数的几何意义具有承前启后的重要作用，是本章的关键内容。

2、教学重点与难点教学重点：理解导数的几何意义及其应用。

教学难点：逼近思想，以直代曲的思想。

二、教学目标设置（一）知识与技能：（1）会描述一般曲线的切线定义；（2）会根据导数的几何意义求切线斜率，并会用其分析描述“曲线在某点附近的变化情况”。

（二）过程与方法：（1）通过观察类比，合作探究，概括出一般曲线的切线定义；（2）经历发现导数的几何意义的过程，体会逼近、类比、数形结合的思想方法。

（三）情感态度与价值观：领悟有限与无限，量变与质变的辩证关系，感受人类理性思维的作用。

三、学生学情分析从知识储备上看，学生通过了对实例的分析，经历了由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解了导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，从数上体会了“逼近”的思想；同时，学生已经学习了直线的斜率与直线方程的相关知识。

从学习能力上看，教学对象是高二理科班的学生，思维活跃，具有一定的想象能力和研究问题的能力。

经过半年多的训练，学生逐步形成小组合作探究，代表上台解释概括总结的学习模式。

从学习心理上看，学生已经从实际意义，数值意义这些“数”的角度理解了导数，学生也渴求从几何意义，即“形”的角度来理解导数，但学生对切线认识存在一定的思维定势——“与曲线仅有一个公共点的直线是曲线的切线”。

高二数学教课设计：导数的几何意义2.2.2 导数的几何意义(一 )复习引入1、函数的均匀变化率：已知函数，是其定义域内不一样的两点，记则函数在区间的均匀变化率为2、曲线的割线AB 的斜率：由此可知：曲线割线的斜率就是函数的均匀变化率。

3、函数在一点处的导数定义：函数在点处的导数就是函数在点的刹时变化率：记作：(二 )讲解新课1、创建情境：问题：平面几何中我们如何判断直线是不是圆的切线?学生回答：与圆只有一个公共点的直线就叫做圆的切线教师发问：可否将它推行为一般的曲线的切线定义?教师指引学生举出反比以下：教师举反比以下：所以，关于一般曲线，一定从头追求曲线的切线定义。

引例： (看大屏幕 )2、曲线在一点处的切线定义：当点 B 沿曲线趋近于点 A 时，割线 AB 绕点 A 转动，它的最后地点为直线 AD,这条直线 AD 叫做此曲线在点 A 的切线。

教师导语：我们如何确立切线的方程?由直线方程的点斜式知，已知一点坐标，只要求切线的斜率。

那如何求切线的斜率呢 ?引例： (看大屏幕 ) ：3、导数的几何意义：曲线在点的切线的斜率等于注：点是曲线上的点(三 )例题精讲例 1、求抛物线过点 (1， 1)的切线方程。

解：因为所以抛物线过点 (1，1)的切线的斜率为 2由直线方程的点斜式，得切线方程为练习题 :求双曲线过点(2，)的切线方程。

答案提示：例 2、求抛物线过点(，6)的切线方程。

因为点 ( ，6)不在抛物线上，可设该切线过抛物线上的点( ， )因为所以该切线的斜率为，又因为此切线过点( ，6)和点 ( ， )第2页/共4页所以所以过切点 (2， 4) ，(3， 9 )切线方程分别为：即(四 )小结 :利用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤： (可让学生概括 )①求出函数在点处的导数②得切线方程一般说来，“教师”观点之形成经历了十分漫长的历史。

杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。

导数的几何意义的教案1.1.3导数的几何意义教学目标:1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2.理解曲线的切线的概念；3.通过函数的图像直.观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；4.体会化曲为直的极限思想。

教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；教学难点：导数的几何意义.教学过程：%1.创设情景(%1)平均变化率、割线的斜率(%1)瞬时速度、导数我们知道，导数表示函数y=f(x)在x=xO处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=xO 附近的变化情况，导数f (xO)的几何意义是什么呢？%1.新课讲授(一)曲线的切线及切线的斜率：如图3. 1-2,当P)(n 1,2, 3, 4)n(xn,f(xn)曲线f(x) 趋近于点P(xO, f(xO))时，割线PPn的变化趋势是什么？沿着我们发现，当点Pn沿着曲线无限接近点P即△ x-0时,割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.k问题：⑴割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率有什么关系？⑵切线PT的斜率k为多少？f (xn) f (xO),当点Pn沿着曲线无限接近点Pxn xOf (xO x) f (xO) f (xO)时，kn无限趋近于切线PT的斜率k,即k lim x 0 x容易知道，割线PPn的斜率是kn说明：(1)设切线的倾斜角为a,那么当△x-O时，割线PQ的斜率，称为曲线在点P处的切线的斜率.这个概念：①提供了求曲线上某点切线的斜率的一•种方法；②切线斜率的本质一函数在x xO处的导数.(2)曲线在某点处的切线：1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限，则在此点有切线,旦切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多个.(二)导数的几何意义:函数y=f(x)在x=xO处的导数等于在该点(xO, f(xO))处的切线的斜率，即f (xO) 1 im x Of (xO x) f (xO) k x说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤：%1求出P点的坐标；%1求出函数在点xO处的变化率f (xO) lim在点(xO, f (xO))的切线的斜率；%1利用点斜式求切线方程.%1.典例分析题型一：导数的几何意义的概念例1.下列说法正确的是(C )A.若f (xO)不存在，则曲线y f(x)在点(xO,.f(xO))处就没有切线；x Of (xO x) f (xO) k ,得到曲线xB.若曲线y f(x)在点(xO,. f (xO))有切线, 则f (xO)必存在；C.若f (x)不存在，则曲线y f(x)在点(x,. f (x))处的切线斜率不000存在。

《导数的几何意义》教学设计【教材分析】本节课选自高中数学人教A版选修1-1第三章《导数及其应用》中的3.1.3《导数的几何意义》第一课时。

导数是微积分的核心概念之一，它为研究函数提供了有效的方法。

教材从形的角度即割线入手，用形象直观的“逼近”方法，通过观察发现、思考归纳的方式定义了切线，获得导数的几何意义。

通过本节的学习，可以帮助学生进一步理解导数的定义，渗透数形结合、以直代曲的思想方法，体会导数是研究函数的单调性、函数值变化快慢等性质的有效工具。

【教学目标】知识与技能：了解平均变化率与割线之间、瞬时变化率与切线之间的关系，通过函数的图象理解并掌握导数的几何意义。

利用导数的几何意义会求曲线上某点处的切线方程。

过程与方法：通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、讨论、总结，发现问题，解决问题，从而达到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能力的目的。

情感态度与价值观：通过分组讨论、合作探究、各组积分制等多种教学形式，培养学生的合作意识及竞争意识，提高学生的积极性。

体会类比、数形结合、以直代曲、从特殊到一般的思想方法。

【教学重点与难点】教学重点：导数的几何意义及利用导数的几何意义会求曲线上某点处的切线方程。

教学难点：发现、理解导数的几何意义，进一步理解导数的概念，渗透以直代曲的思想方法。

【指导思想】树立以学生发展为本的思想。

通过构建以学习者为中心、有利于学生主体精神、创新能力健康发展的宽松的教学环境，为学生提供自主探索和动手操作的机会，鼓励他们创新思考，亲身参与知识的形成过程，从而解决问题。

【教学方法】本节课以一个物体做直线运动为主线，对具体的由浅入深的问题进行分析引导，依据建构主义教学原理，从数的角度即平均变化率与瞬时变化率的关系和形的角度即割线与切线的关系，用形象直观的“逼近”方法，通过类比、从特殊到一般，逐步渗透从有限到无限，量变到质变，把新的知识化归到学生原有的认知结构中去。

【学法指导】在本节课中，学生对具体的问题进行逐步解决，经过探索、观察几何画板的动态演示、对比分析、自己发现结论的学习方法，以培养学生逻辑思维能力、自学能力、动手实践能力和探索精神，并渗透了辩证唯物主义认识论和方法论的教育。